矩形的性质与判定习题课
北师版九年级数学上册第1章2矩形的性质与判定
称
性 是中心对称图形，对称中心是对角线
的交点
矩形的任意一条对角线都把矩形分成两个全等的直角三角形，
如Rt △ ADB ≌Rt△CBD，Rt△ ABC ≌Rt △ CDA.
2.矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，
并且相对的两个等腰三角形全等，如S△ AOB=S △ AOD=
解题秘方：紧扣矩形定义的“两个条件”进行证明.
解题通法：根据矩形的定义判定矩形的方法
知1－练
知1－练
证明：∵ O 为AB 的中点，∴ OB=OA. 又∵ OE=OD，∴四边形AEBD 是平行四边形. ∵ AB=AC，AD 是△ABC 的角平分线，∴ AD⊥ BC. ∴∠ ADB=90°. ∴四边形AEBD 是矩形.
AB∥CD，AD∥BC AB=CD，AD=BC
角
矩形的四个 角都是直角
∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ DAB= ∠ DCB= ∠ ADC=∠ ABC =90°
知2－讲
图形
性质
数学表达式
对 角 线
矩形的对角 ∵四边形ABCD 是矩形，
线相等
∴ AC=BD
对
是轴对称图形，它有两条对称轴，过 每组对边中点的直线是其对称轴
第一章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
1 课时讲解 矩形的定义
矩形的性质 直角三角形斜边上中线的性质
2 课时流程 矩形的判定
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 矩形的定义
定义
有一个角是 直角的平行 四边形叫做
矩形
图示
知1－讲
数学表达式 ∵在ABCD 中，∠ A=90°(或∠ B=90° 或∠ C=90°或∠ D=90°)，∴ ABCD 是 矩形
矩形的性质与判定习题及答案
由题意得：AE＝CF＝t
AE＝CF＝t
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、 EF＝5﹣2（5﹣t）＝2t-5
DC的中点，
∴ BG 1 AB，CH 1 CD
2
2
∴2t-5=4 ∴t＝4.5
又∵AB=CD,AB∥CD
综上，当t为0.5秒或4.5秒时，
∴BG∥CH，BG=CH
四边形EGFH为矩形
∴四边形BCHG为平行四边形
2
2
4
∴ 13 PE PF 15
4
∴ PE PF 60 13
（1）矩形的面积公式是S=长×宽（两邻边的乘积）
（2）过矩形对角线交点O的任一直线平分矩形ABCD的面积
（3）矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，则
①△ABO≌△CDO，△AOD≌△COB
△ABO，△CDO，△AOD，△COB都是等腰三角形
1
2
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， 在△AEG与△CFH中
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC， ∠B＝90°
∴∠1＝∠2 ∵G、H分别是AB、DC的中点 ∴AG＝BG，CH＝DH ∴AG＝CH
AG CH
1
2
AE CF
∴△AEG≌△CFH（SAS）
∴EG＝FH
∵AE＝CF
又∵GF＝HE
②△ABD≌△CDB≌△BAC≌△DCA
△ABD，△CDB，△BAC，△DCA都是直角三角形
③S△ABO
=S△BCO
=S△CDO
=S△AOD
=
1 4
S矩形ABCD
例4．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、 H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG ＝DH． （1）求证：四边形EFGH是矩形； （2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点 ，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
矩形的性质与判定习题课
【变式练习】已知：如图所示,矩形ABCD中,E 是BC上的一点,且AE=BC,∠EDC=15° 求证：AD=2AB
证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD=BC，∠ADC=∠C=∠B=90° ∵∠EDC=15° ∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=75°， ∠DEC=90°-∠EDC=90°-15°=75° ∵AE=BC，AD=BC ∴AE=AD ∴∠ADE=∠AED=75°， ∴∠AEB=180°-∠DEC-∠AED=30° ∵∠B=90°，∠AEB=30° ∴AE=2AB ∵AE=AD ∴AD=2AB
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OB=OD，OA=OC，AD∥BC ∴∠OBF=∠ODE 在△BFO和△DEO中
∠OBF=∠ODE OB=OD ∠BOF=∠DOE ∴△BFO≌△DEO(ASA) ∴OF=OE 又∵OA=OC， ∴四边形AFCE是平行四边形 ∵AF⊥BC， ∴∠AFC=90 ° ∴平行四边形AFCE是矩形
【变式练习】（枣庄中考）如图，四边形ABCD的 对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点， AE=CF，DF∥BE (1)求证：△BOE≌△DOF (2)若AC=2 OD，则四边形ABCD是什么特殊四边 形?请证明你的结论
(1)证明：∵DF∥BE， ∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO ∵O为AC的中点 ∴OA=OC ∵AE=CF ∴OA−AE=OC−CF ，即OE=OF 在△BOE和△DOF中，
∠FDO=∠EBO ∠DFO=∠BEO OE=OF， ∴△BOE≌△DOF(AAS) (2)若AC=2OD，则四边形ABCD是矩形，理由为： ∵△BOE≌△DOF ∴OB=OD， ∵AC=2OD ∴OA=OB=OC=OD，且BD=AC ∴四边形ABCD为矩形。
1.2 矩形的性质和判定 课时练习(含答案解析)
北师大版数学九年级上册第一章第二节矩形的性质与判定课时练习一、单选题（共15题）1.如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B 与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．BD的长度增大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变答案：C解析：解答：∵矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，∴AD=BC，AB=DC，∴四边形变成平行四边形，故A正确；BD的长度增加，故B正确；∵拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，∴面积变小了，故C错误；∵四边形的每条边的长度没变，∴周长没变，故D正确，故选C．分析: 由将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，由平行四边形的判定定理知四边形变成平行四边形，由于四边形的每条边的长度没变，所以周长没变；拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，BD的长度增加了2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD 答案：D解析：解答: ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=12AC，OB=12BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误，故选：D．分析: 矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论3.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A．17 B．18 C．19 D．20答案：D解析：解答: ∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB，OM为△ACD的中位线，∴OM=12CD=2.5，AC=22512=13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO=12AC=6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故选：D．分析: 本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好4. 如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm 答案:D解析：解答: ∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=OB=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=5cm，故选D．分析:根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角形OAB，求出AB=OA，代入求出即可5.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB=6，则AC等于（）A．8 B．10 C．12 D．18答案:C解析：解答: ∵矩形ABCD的两条对角线交于点O，∴OA=OB=12 AC，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=6，∴AC=2OA=2×6=12．故选C．分析: 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（）A．4 B．3 C．2 D．1答案:A解析：解答: 在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．故选A．分析: 根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB，再根据矩形的对角线相等解答7.一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是212，则该矩形的面积为（）A．602B．702 C．1202 D．1402答案:A解析：解答：∵黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%；∴矩形的面积=21÷（50%-15%）=21÷35%=60（2）．故选：A．分析: 黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%-15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，用除法即可得出矩形的面积8.如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=3，则OE=（）A．1 B．2 C．3 D．4答案:A解析：解答: ∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=60°，∴△ADO是等边三角形，∴OA=3，∠OAD=60°，∴∠OAE=30°，∵OE⊥AC，∴△OAE是一个含30°的直角三角形，∴OE=1，故选A分析: 先根据等边三角形的性质得出OA=3，根据△OAE是一个含30°的直角三角形，进而得出OE的长度9.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）A．16 B．22或16 C．26 D．22或26答案:D解析：解答: ∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，①当AE=3，DE=5时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=3，即矩形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=8+3+8+3=22；②当AE=5，DE=3时，AD=BC=3+5=8，AB=CD=AE=5，即矩形ABCD的周长是AD+AB+BC+CD=8+5+8+5=26；即矩形的周长是22或26分析: 根据矩形性质得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，求出AE=AB，分为当AE=3或AE=5两种情况，求出即可10.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等B．两组对边分别平行C．对角线互相平分D．两组对角分别相等答案:A解析：解答: ∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．故选A．分析: 根据矩形与菱形的性质求解即可求得答案．注意矩形与菱形都是平行四边形．11.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两部分，则此矩形的周长为（）A．16cm B．22cm C．26cm D．22cm或26cm答案:D解析：解答: ∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，当AE=3cm时，AB=AE=3=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=3cm+8cm+3cm+8cm=22cm；当AE=5cm时，AB=AE=5cm=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+8cm+5cm+8cm=26cm；故选D．分析: 根据矩形的性质得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，推出∠AEB=∠CBE，求出∠ABE=∠CBE=∠AEB，推出AB=AE=CD，分为两种情况，代入求出即可12. 矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）A．57.5°B．32.5°C．57.5°，23.5°D．57.5°，32.5°答案:D解析：解答: ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，AB∥CD，AC=BD，AO=OC，OB=OD，∴OB=OA=OC=OD，∠OAB=∠OCD，∠DAO=∠OCB，∴∠OAD=∠ODA，∠OCB=∠OBC，∠ODC=∠OCD，∠OAB=∠OBA=12×（180°-∠AOB）=12×（180°-65°）=57.5°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=90°-57.5°=32.5°，即∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=32.5°，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD=57.5°，对角线与各边所成的角度是57.5°和32.5°，故选D．分析: 根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AD∥BC，AB∥CD，AC=BD，AO=OC，OB=OD，推出OB=OA=OC=OD，∠OAB=∠OCD，∠DAO=∠OCB，求出∠OAD=∠ODA，∠OCB=∠OBC，∠ODC=∠OCD，根据三角形内角和定理求出即可13.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线平分一组对角C．对角线互相平分D．对角线互相垂直答案:A解析：解答：矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；根据矩形和菱形的性质得出：矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等；故选：A．分析: 根据矩形好菱形的性质，容易得出结论．14.过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）A．对角线相等的四边形B．对角线垂直的四边形C．对角线互相平分且相等的四边形D．对角线互相垂直平分的四边形答案:B解析：解答：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴∠E=90°，∵EF∥AC，EH∥BD，∴∠E+∠EAG=180°，∠E+∠EBO=180°，∴∠EAO=∠EBO=90°，∴四边形AEBO是矩形，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，故选：B．分析: 由矩形的性质得出∠E=90°，由平行线的性质得出∠EAO=∠EBO=90°，证出四边形AEBO是矩形，得出∠AOB=90°即可15. 若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹的锐角的度数为（）A．80°B．60°C．45°D．40°答案:A解析：解答：图形中∠1=40°，∵矩形的性质对角线相等且互相平分，∴OB=OC，∴△BOC是等腰三角形，∴∠OBC=∠1，则∠AOB=2∠1=80°．故选A．分析: 根据矩形的性质，得△BOC是等腰三角形，再由等腰三角形的性质进行答题．二、填空题（共5题）16.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．答案: AC=BD．答案不唯一解析：解答: 添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．答案不唯一分析:根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可17.平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________答案:①⑤解析：解答: 要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可分析：四边形ABCD是平行四边形，要成为矩形加上一个角为直角或对角线相等即可18.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（只填一个）．答案:∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）解析：解答: 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．故答案为：∠ABC=90°或AC=BD分析: 根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可19.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是________（填上你认为正确的一个答案即可）答案：∠DAB=90°解析：解答：可以添加条件∠DAB=90°，∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠DAB=90°分析: 根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定20.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为15cm，宽为8cm，对角线为17cm，这个桌面_________（填”合格”或”不合格”）答案：合格解析：解答：∵AB=DC=8cm，BC=AD=15cm，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=17cm，AB=8cm，BC=15cm，∴AC2=AB2+BC2，∴∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，即四边形是长方形，故答案为：合格．分析: 先退出思想是平行四边形，根据勾股定理的逆定理求出∠B=90°，根据矩形的判定推出即可三、解答题（共5题）21.如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；答案：解答: （1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．∴EH=GF．在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．∴GH=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形答案：解答: （2）证明：连接BD，AC．∵AH=AE，AD=AB，∴AH AE AD AB∴HE∥BD，同理可证，GH∥AC，∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠EHG=90°．又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形解析：分析: （1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由1知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE 是矩形． 22.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，AD 为BC 边上的高，过点A 作AE ∥BC ，过点D 作DE ∥AC ，AE 与DE 交于点E ，AB 与DE 交于点F ，连结BE ．求四边形AEBD 的面积答案: 解答：∵AE ∥BC ，BE ∥AC ，∴四边形AEDC 是平行四边形．∴AE =CD ．在△ABC 中，AB =AC ，AD 为BC 边上的高，∴∠ADB =90°，BD =CD ． ∴BD =AE ．∴平行四边形AEBD 是矩形．在Rt △ADC 中，∠ADB =90°，AC =5，CD =12BC =3， ∴AD =2253 =4．∴四边形AEBD 的面积为：BD •AD =CD •AD =3×4=12．解析：分析：利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD 是矩形．在Rt △ADC 中，由勾股定理可以求得AD 的长度，由等腰三角形的性质求得CD （或BD ）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD •BD =AD •CD23.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°．求证：四边形ABCD 是矩形答案：解答：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠F．∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°．∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，21世纪教育网∴四边形ABCD是矩形．解析：分析: 欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角24.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？答案：AD＝140cm．解析：解答：过C作CM∥AB，交AD于M，∵∠A=120°，∠B=60°，∴∠A+∠B=180°，∴AM∥BC，∵AB∥CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AB=CM=60cm，BC=AM=80cm，∠B=∠AMC=60°，∵AD∥BC，∠C=150°，∴∠D=180°-150°=30°，∴∠MCD=60°-30°=30°=∠D，∴CM=DM=60cm，∴AD=60cm+80cm=140cm．分析: 过C作CM∥AB，交AD于M，推出平行四边形ABCM，推出AM=BC=80cm，AB=CM=60cm，∠B=∠AMC，求出∠D=∠MCD，求出CM=DM=60cm，代入AD=AM+DM 求出即可25.如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE答案：见解答解析：解答：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=12（∠BAC+∠FAB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE．分析: 先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC 的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论。
矩形的性质及判定习题课
1.平行四 : 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 边形定义:
平行四边形 有一个内角
课时小结
矩形
是直角
2.矩形的性质:
边: 角:
对边平行且相等 四个角都是直角
对角线平分且相等 中心对称图形， 轴对称图形（有2条对称轴）
对角线: 对称性:
推论: 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半
矩形的判定 1、判定一个四边形是矩形的方法与思路是：
基础知识关
1、在判定一个四边形是矩形时： ⑴、若判定的对象是平行四边形，则还需有一个角是 直角 或 对角线相等 ； ⑵、若判定的对象是四边形，则需三个角是 直角 或需先判定这个 四边形为 平行四边形 ，再找一直角或对角线相等。 2、选择题 ⑴、具备条件____的四边形是矩形．【 D 】 A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直 C．一组对角是直角 D．有三个角是直角 ⑵、能够判断一个四边形是矩形的条件是【 C 】 A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形；
X X X
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
（3）有一个角是直角的四边形是矩形； （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； X
5、已知△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过 Ｏ作直线MN∥BC，交∠BCA的平分线于点E，交 ∠ACD的平分线于点F。 （1）求证： OE=OF （2）当点O运动到何处时，四边形AECF为矩形？ 说明理由。
A
M B
矩形性质判定习题课
八年级主备人：孙金莲集体备课时间： 3.14个人授课时间：序号：sx14FEA N OM DBE B D A 课题：矩形的性质判定习题课 学生姓名： 学案序号： 一 基础知识回顾：引导学生进入学科学习状态，组织学生知晓本次课学习目标。
1 矩形的判定及性质重点内容: ①具有 的一切性质；②内角都是 ；③对角线 ；④全等三角形的个数 ；⑤等腰三角形的个数 ；⑥对称轴的条数 ；⑦斜边中线定理 ；⑧平方等式 ；⑨两种面积计算方法 ； ⑩有一个直角的 矩形；⑾有三个直角的 矩形；⑿对角线相等的 矩.形２ 基础练习1． 在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______________. 若矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为__________________.2．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对边相互平行B. 对角线相等C. 对角线相互平分D. 对角相等 3．矩形具备而平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．邻角互补C ．对角相等D ．对角线相等 4．下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ） （3）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （4）对角线相等的四边形是矩形；（ ） (5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ ） （6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ） （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( ) 三 疑难点拔，因势利导通过学生独立思考，采用演板展示，个别查看，教师讲解，同伴辅导等方式完成相关内容，注意督促学生形成规范书写过程，优化思考方法。
北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定 同步练习题
北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时 矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF 与MN ，PQ 分别交于A ，C 两点，过A ，C 两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ， 即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形． 在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时 矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS)．∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM. ∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG.。
1.2.3 矩形的性质与判定(第三课时)
2. 矩形的性质与判定（第3课时）
学习目标
1．回顾矩形的性质及判定方法． 2．矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合 运用.(难点)
知识回顾
1. 如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD= 120°， AB=2.5 cm，则∠DAO= 30° ， AC= 5 cm .
2
2
∴ ∠DAE=∠CAD+∠CAN
= 1 (∠BAC+∠CAM ) 2
= 1×180° 2
=90°.
B
D
C
图4
在△ABC中， ∵ AB=AC，AD为∠BAC的角平分线， ∴ AD⊥BC. ∴∠ADC=90°. 又∵ CE⊥AN， ∴ ∠CEA=90° . ∴ 四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边 B 形是矩形）. 你还有其他的解法吗？和同学们交流 .
2
∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角），
图3
∵ ED=3BE，∴ BE=OE.
又∵ AE⊥BD，∴ AB=AO.
∴ AB=AO=BO.
即△ABO是等边三角形.
∴∠ABO=60°.
∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.
在Rt△AED中，
∵∠ADB=30°，
图3
∴
AE=
1 2
1
AD= 2
×6=3.
2. 如图2，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件 AC=BD（答案不唯一），
可使它成为矩形.
B
Байду номын сангаас
C
A
D
O
O
B
C
图1
A
D
图2
例题讲解
例1 如图3，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD交于点O， AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE. 求AE的长.
18.2.1__矩形的性质与判定_习题课
D E B
5、已知矩形的对角线与较长边所 夹的角等于30°，那么较短边与两 对角线所围成的三角形是 等边 三角形。 __________
A
D
O B
C
3、已知：如图，AB=AC，AE=AF， 且∠EAB=∠FAC，EF=BC． 求证：四边形EBCF是矩形．
A E F
B
C
练一练
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、 BD 相交于点o， △ AOB是等边三角形。求： ∠BAD的度数 解：∵ △AOB是等边三角形 D A ∴OA=OB O ∵四边形ABCD是平行四边形 B ∴AC=2OA,BD=2BO C ∴AC=BD ∴平行四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD＝90°。
3． 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点， 矩形的两条边长AB、BC分别为8和15，求点P到 矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．
提示：过点P分别作 PE⊥AC,PF⊥BD,分别交 AC,BD于点E,F.设AC与BD 相交于O,连结PO,利用 ⊿PAO与⊿PDO的面积之 和是矩形面积的四分之一， 求得结果为120/17.
矩形习题课
复习回顾
1、根据平行四边形、矩形的定义填空：
四边形
（ 两组对边分别平行 ） 平行四边形 （ 有一个角是直角 矩形 ）
A
D
O
边
矩形对边平行且相等；
B
C
角
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且互相平分；
对角线
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
A
D
O
方法1：
B
C
（第 1 题）
2． 如图， ABCD中，∠1=∠2.此时四边形 ABCD是矩形吗？为什么？
人教版八年级数学下册第02课 矩形的性质与判定 同步练习题
初中数学试卷第02课矩形的性质与判定同步练习题【例1】如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE＝AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：DF＝DC.【例2】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4,AD=8,求MD的长．【例3】如图,已知在△ABC中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E、F,连接EF,M为EF的中点．(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．【例4】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E，F分别在边AD,BC上,且DE＝CF,连接OE,OF.求证:OE＝OF.【例5】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证:OE＝OF；(2)若CE＝12,CF＝5,求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由．课堂同步练习一、选择题：1、如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E，使DE＝AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE 成为矩形的是( )A.AB＝BEB.DE⊥DCC.∠ADB＝90°D.CE⊥DE第1题图第2题图第4题图2、如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则DC的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于（）A.50°B.55°C.60°D.65°5、如图.矩形ABCD中.E在AD上.且EF⊥EC.EF=EC.DE=2.矩形的周长为16.则AE的长是（）A.3B.4C.5D.7第5题图第6题图第7题图6、如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AFE,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G 点,若∠AEB＝55°,则∠DAF＝( )A.40°B.35°C.20°D.15°7、如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG的面积之比为( )A.9：4B.3：2C.4：3D.16：98、如图,矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,则DE长为( )A.3B.4C.5D.6第8题图第9题图9、如图,在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE，则CE的长为( )A.3B.3.5C.2.5D.2.810、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下列结论：△ODC是等边三角形;②BC=2AB;③∠AOE=135°;④S△AOE=S△COE.其中正确的结论的个数有( )A.1B.2C.3D.4第10题图第11题图第12题图11、在矩形ABCD中,点A关于∠B的角平分线的对称点为E,点E关于∠C的角平分线的对称点为F,若AD=,AB=3,则S △ADF=（）A.2B.3C.3D.12、如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,EF过O点,且EF⊥AC分别交DC于F,交AB于E,点G是AE中点,且∠AOG＝30°.①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE＝S矩形ABCD.则结论正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题:13、若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为cm．14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4 cm，则四边形CODE的周长为。
《18.2 矩形的性质、矩形的判定》课件(含习题)
求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
A
B
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
D
C
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
定理 对角线相等的平行四边形是矩形.
典例精析
2
2
性质1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
典例精析
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=4 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
A
D
∴AC = BD(矩形的对角线相等).
O
OA= OC= AC,OB = OD = BD , B
C
(矩形对角线相互平分)
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
求证: BO = 1 AC ?
2
证明: 延长BO至D, 使OD=BO,
A
D
连结AD、DC.
O
∵AO=OC, BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
C
∵∠ABC=90°
∴平行四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
∴BO= 1 BD= 1 AC
∠ABC的角平分线
B
E
C
1
∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+
1 ∠ABC=900
2
2
∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°
同理可证∠AED=∠EHG=90°
∴四边形EFGH是矩形．
矩形的性质练习题 (2)
矩形的性质与判定第1课时矩形的性质课后作业:方案（A）一、教材题目：P13—P14，T1-T41．一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长．2．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个矩形较短边的长．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论．(第3题)数学理解4．证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．二、补充题目：部分题目来源于《典中点》3．如图，不含阴影部分的矩形的个数是( )（第3题）A．15 B．16 C．17 D．194．(2015·南昌)如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( )（第4题）A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．BD的长度增大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变7．(2015·哈尔滨)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE 为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为________．9．(2015·益阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是( ) A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD(第9题)答案教材1．解：如图，由题可知∠BAC＝45°，AC＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°.又∵∠BAC＝45°，∴∠BCA＝45°.∴AB＝BC.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，∴AC2＝2AB2.∴AB＝22AC＝22×6＝3 2.∴AB＝BC＝CD＝AD＝3 2.即这个矩形的各边长均为3 2.点拨：根据题意可判定△ABC为等腰直角三角形，从而求出AB的长，根据矩形的性质及AB ＝BC可得矩形ABCD的各边长都相等．(第2题)2．解：如图，∠AOB＝60°，∵四边形ABCD 是矩形，∴BO＝AO ＝12AC ＝152.又∵∠AOB＝60°，∴△ABO 是等边三角形．∴AB＝BO ＝152，即这个矩形较短边的长为152. 点拨：根据矩形的对角线相等且互相平分可知BO ＝AO ＝12AC.又已知∠AOB＝60°，从而可得△ABO 是等边三角形，进而得到这个矩形较短边的长．3．解：四边形ADCE 是菱形．证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE 是平行四边形．∴AE＝CD ，CE ＝AD.又∵∠ACB＝90°，D 为AB 的中点，∴CD＝AD ＝12AB.∴AE＝CD ＝CE ＝AD.∴四边形ADCE 是菱形． 点拨：判定四边形是菱形时，应根据条件选择合适的判定方法．如本题可得到边的关系，应根据四边相等的四边形是菱形进行判定．(第4题)4．解：已知，如图，CD 是△ABC 的中线，且CD ＝12AB.求证：△ABC 是直角三角形． 证明：∵CD 是△ABC 的中线，∴AD＝BD ＝12AB.又∵CD＝12AB ，∴CD＝AD ＝BD.∴∠A＝∠ACD，∠B ＝∠BCD.∴∠ACD ＋∠BCD ＝∠A ＋∠B ，即∠ACB ＝∠A ＋∠B.∴∠ACB ＝180°－∠ACB.∴∠ACB＝90°.∴△ABC 是直角三角形．点拨：要证明一个三角形是直角三角形，一般证明它的一个内角等于90°.典中点3．C4.C7．5.5或0.5 点拨：分两种情况：①如图①，由矩形的性质得出CD ＝AB ＝4，BC ＝AD ＝5，∠ADC ＝∠CDF ＝90°，由菱形的性质得出CF ＝EF ＝BE ＝BC ＝5，由点M 为EF 的中点得MF ＝2.5，由勾股定理求出DF 的长，即可求出AM 的长；②如图②，同①易得出AE ＝3，ME ＝2.5，即可得出AM 的长．(第7题)9.D。
矩形的性质与判定习题课
矩形基础练习1．矩形的对边 且 ，对角线 且 ，四个角都是 。
2．矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。
3、如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。
4．平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ） A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等5、下列叙述错误的是（ ）A.平行四边形的对角线互相平分。
B.平行四边形的四个内角相等。
C.矩形的对角线相等。
D.有一个角时90º的平行四边形是矩形6若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 . 7．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（ ） A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm8、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A 、平行四边形B 、等边三角形C 、矩形D 、直角三角形 二、解答题例1．如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，︒=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。
2、矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，MA ⊥MD ，若矩形的周长为48cm,则矩形的面积是多少？D B C M例3．如图，□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点，求证：四边形EFGH 的矩形。
4. 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形．5．如图，矩形ABCD 中，ABCD EB EF EB EF ,,=⊥周长为22cm ，CE=3cm ，求：DE 的长。
6． 如图，矩形ABCD 中，DE=AB ，DE CF ⊥，求证：EF=EB 。
HG OFEDCBA矩形的习题精选一、性质1、下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ）A 、对边相等B 、对角相等C 、对角线相等D 、对边平行 2.在矩形ABCD 中，∠AOD=130°，则∠ACB=__ _3.已知矩形的一条对角线长是8cm ，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______4.矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ， 对角线是13cm ，那么矩形的周长是____________5.如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠BAE=30°，BE=1cm ，那么DE 的长为_____6、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，则它的面积为___7、已知，在Rt △ABC 中，BD 为斜边AC 上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC= 。
矩形和菱形的性质与判定经典例题练习
、用中学习:
1.如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD勺面积为()
形的较小的内角是度.
精讲精练
例1如图，在矩形ABCD中，AC、BD相较于点O,AE平分.BAD交BC于E,若
.
变式：已知矩形ABCD中，如图2,对角线AC、BD相交于O,AE丄BD于E,若∠DAE:
∠BAE=3：1,则∠EAC=.
例2、如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4 ,P是AD上的动点，PE_AC于E,PF_BD于F,求PE+PF的值。
D.75°
【探究三】直角三角形斜边上的中线性质
1、根据矩形对角线性质可得到直角三角形斜边上的中线性质：
2、归纳我们已学过的直角三角形的性质：
角：
边：
斜边上的中线：
边与角：
练一练：1、已知直角三角形的周长为14,斜边上的中线长为3.则直角三角形的面积为()
A.5 B.6 C.7 D.8
2、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为34°那么这个直角三角
第一课时一一矩形的性质
矩形的性质：
边
角
对角线
对称性
练一练：
1矩形的两条对角线把矩形分成个等腰三角形•
2、矩形具有而平行四边形不具有的性质是()
A对角线互相平分B•两组对边分别相等C•相邻两角互补D•对角线相等
3.已知E是矩形ABCD的Байду номын сангаасBC的中点，那么SUed=S矩形ABCD()
1
6
E,且CE=DE若AB=2AD,贝q∠ADE等于()
矩形的性质与判定习题课教案鲁教版(可编辑修改word版)
教学设计3 月日2 32教学过程（包括导引新课、依标导学、异步训练、达标测试、作业设计等）矩形的性质练习题一．选择题．下面的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ). 角. 任意三角形. 矩形. 等腰三角形．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ). 对角相等. 对边相等. 对角线相等. 对角线互相平分．已知一矩形的周长是 24cm，相邻两边之比是，那么这个矩形的面积是（）．24cm．32cm2．48cm ．128cm．如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果∠°，那么∠等于（）．．°°°°．若矩形的一条角平分线分一边为 3cm 和 5cm 两部分，则矩形的周长为（）．．26 ．或．．由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为：两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（）、°、°、°、°．如图，在矩形中，⊥,∠1∠,那么∠等于（）．°．°．°．°．如图，矩形中，是的中点，且∠°．当10c m时，等于（）..5.5 .5A P D ．如图，过矩形的对角线上一点分别作矩形两边的平行线与，那么图中矩形的面积，与矩形的面积的大小关系是( ) MRN . > . 2 . < . 不能确定．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，∠＝°，＝ B Q C3 ，折叠后，点落在边上的处，并且点落在边上的处．则的长为（）．．．．2D CAo D A C'B'第()题EA第()题B B E第()题C B E C33二．填空题、矩形是轴对称图形，它有条对称轴．、在矩形中，对角线，相交于点，若对角线 10cm，边 8cm，则△的周长为．、矩形的两条对角线相交于,∠＝＝,则矩形对角线的长＿＿＿、矩形的两条对角线的夹角为°，一条对角线与短边的和为，则短边的长是，对角线的长是.、矩形的对角线相交于，则△为三角形。
北师大版九年级上册数学-1.2-矩形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
北师大版九年级上册数学矩形的性质和判定课堂讲义及练习（含答案）【矩形的性质】1．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.温馨提示①对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；②定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；③矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。
2. 矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心,过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分..矩形中相等的线段：AC=BD， OA = OC=OB = OD．矩形中相等的角：∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°．矩形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①矩形具有平行四边形的一切性质；②利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；③“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；④矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。
【练习】1.如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．52.如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是( )A．30° B．° C．15° D．10°3第4题第5题第6题第7题4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF ＝________cm.5.△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )A．15° B．25° C．35° D．45°6.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( ) A．3 B．4 C．5 D．67.在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．208.如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E为AB的中点．求证：CE＝DE.9.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．【矩形的判定】1.矩形的判定定理（1）有三个角是直角的四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形。
九年级数学上2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定习题北师大
4．【2019·重庆】下列命题正确的是( A ) A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
5．【2018·上海】已知平行四边形ABCD，下列条件中，
不能判定这个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ行四边形为矩形的是( B )
A．∠A＝∠B
*9.【2019·安顺】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， 且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过 点 D分别作 DM⊥AB于点 M，DN⊥AC于点 N，连接 MN，则线段MN的最
小值为________．
【点拨】连接 AD.∵∠BAC＝90°，BA＝3，AC＝4， ∴BC＝ BA2＋AC2＝5.∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°.∴四边形 AMDN 是矩形． ∴MN＝AD.当 AD⊥BC 时，AD 的值最小． 此时，△ ABC 的面积＝12AB·AC＝12BC·AD， ∴AD＝ABB·CAC＝152.∴MN 的最小值为152. 【答案】152
(2)若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数． 解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB∥CD，∠BAO＝∠ABO. ∴∠ABO＝∠CDO.∵∠AOB：∠ODC＝4：3， ∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3. ∴∠ABO＝3＋34＋3×180°＝54°，∵∠BAD＝90°， ∴∠ADO＝90°－54°＝36°.
13．【2019·新疆】如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD相 交 于 点 O， E是 CD的 中 点 ， 连 接 OE.过 点 C 作 CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.求证：
(1)△ODE≌△FCE；
证明：∵CF∥BD， ∴∠ODE＝∠FCE.∵E 是 CD 的中点，∴DE＝CE. 在△ ODE 和△ FCE 中，∠DEO＝DCEE＝，∠FCE，
矩形判定习题课PPT课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 矩形的定义和性质 • 矩形的判定方法 • 经典习题解析 • 解题技巧和策略 • 总结与回顾
01
引言
主题简介
矩形判定
本课程主要探讨矩形的判定方法，包括矩形的性质、判定定理以 及应用实例。
课程目标
通过本课程的学习，学生将掌握矩形的判定方法，理解矩形的性 质，并能够在实际问题中应用矩形的判定定理。
对边平行且等长
矩形的相对边平行且等长，这 是矩形与平行四边形的共性。
轴对称性
矩形是轴对称图形，具有两条 对称轴，分别是连接对角顶点 的中垂线和连接相对边中点的 中垂线。
03
矩形的判定方法
依据矩形的性质进行判定
总结词
依据矩形的性质进行判定是常见的方法之一，主要 利用矩形的角度、边长等特性进行判断。
实际应用中，需要根据具体问题选择合适的判定方法。
详细描述
在解决实际问题时，需要根据具体情况选择最合适的判定方法。例如，在建筑、机械等领 域中，常常需要判断某个物体是否为矩形，以便进行相应的设计和加工。
判定方法示例
在建筑设计中，如果一个墙面的四个角都是直角，且其长度和宽度相等或成比例，则可以 判定该墙面为矩形。在机械加工中，如果一个零件的四个边都是直的，且其对角线相等或 成比例，则可以判定该零件为矩形。
02
矩形的定义和性质
矩形的定义
矩形定义
矩形是一个四边形，其中相对边 平行且等长。
矩形分类
矩形属于平行四边形的一种特殊 形式，根据对角线是否相等，可 分为长方形和正方形。
矩形的性质
01
02
03
04
对角线相等
矩形的对角线长度相等，且互 相平分。
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1
一、基础练习
1．矩形的对边 是 ，对角线 且 ，四个角都是 。
2．矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。
3、如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。
4．平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ）
A 、对角线相等
B 、对角线互相垂直
C 、对角线互相平分
D 、对角相等 5、下列叙述错误的是（ ）
A.平行四边形的对角线互相平分。
B.平行四边形的四个内角相等。
C.矩形的对角线相等。
D.有一个角时90º的平行四边形是矩形 6若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .
7．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（ ） A 、5cm
B 、7.5cm
C 、10cm
D 、12.5cm
8、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A 、平行四边形
B 、等边三角形
C 、矩形
D 、直角三角形 二、解答题
例1．如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，︒=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。
2、矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，MA ⊥MD ，若矩形的周长为48cm,则矩形的面积是多少？
例3．如图，□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点，
求证：四边形EFGH 的矩形。
4. 如图，已知在四边形ABC D 中，AC D B ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形E F G H 是矩形．
5．如图，矩形ABCD 中，ABCD EB EF EB EF ,,=⊥周长为22cm ，CE=3cm ，求：DE 的长。
6． 如图，矩形ABCD 中，DE=AB ，DE CF ⊥，求证：EF=EB 。
D C
M
A
B
H
G O
F
E
D
C
B
A
2
能力提高
2．如图，矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上，BF//DE ，若AD=12cm ，AB=7cm ，且
AE:EB=5:2，求阴影部分。
3．如图，矩形ABCD 中，ABCD EB EF EB EF ,,=⊥周长为22cm ，CE=3cm ，求：DE 的长。
4．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，BD AE ⊥，垂足为E ，已知AB=3，AD=4，求AEO ∆的面
积。
例5．矩形ABCD 中，E 是CD 上一点，且AE=CE ，F 是AC 上一点AE FH ⊥于H ，CD FG ⊥于G ，
求证：AD FG FH =+
6、 如图，过矩形A BCD 的对角线BD 上一点R 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMRP 的面
积S 1，与矩形QCNR 的面积S 2的大小关系是( )
A. S 1>S 2
B. S 1=S 2
C. S 1<S 2
D. 不能确定
7．（2007重庆）已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 。
F。