已打印20190505 难度中上!浙江省镇海中学自主招生数学试卷及答案
2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)期中数学试卷 -(含答案解析)
2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.方程x+|y−1|=0表示的曲线是()A. B.C. D.2.设x∈R，则“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知命题p：任意，sinx≤1，则()A. ￢p：存在，sinx0≥1B. ￢p：任意，sinx≥1C. ￢p：存在，sinx0>1D. ￢p：任意，sinx>14.已知ι，m是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是()A. 若l⊥α，l⊥m，则m⊂αB. 若l//α，m⊂α，则l//mC. 若l⊥α，m//α，则l⊥mD. 若l⊥α，l⊥m，则m//α5.点P(x,2，1)到Q(1,1，2)，R(2,1，1)的距离相等，则x的值为()A. 12B. 1 C. 32D. 26.下列有关命题的说法正确的是()①|x|≠3⇒x≠3或x≠−3；②命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是“a+b不是偶数，则a、b都不是偶数”；③“|x−1|<2”是“x<3”的充分不必要条件④若一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定是真．A. ①④B. ②③C. ②④D. ③④7.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是()A. 13B. √33C. 23D. √638. 已知直线y =2与双曲线Γ：x 29−y 24=1的渐近线交于M ，N 两点，任取双曲线Γ上的一点P ，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则( ) A. λ+μ=−14B. λ−μ=−14C. λμ=−14D. λμ=−149. 若抛物线y 2=4x ，过其焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则|AF|+2|BF|的最小值为( ) A. 6 B. 3+2√2 C. 9 D. 3−2√2 10. 如图，在三棱锥P −ABC 中，∠APB =∠BPC =∠APC =90°，M 在△ABC内，∠MPA =60°，∠MPB =45°，则∠MPC 的度数为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知双曲线x 2−y 2b 2=1 (b >0)的一个焦点是(2,0)，则b =______；双曲线渐近线的方程为______．12. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2,−3).若向量c ⃗ 满足(c ⃗⃗⃗ +a ⃗ )//b ⃗ ，c ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，则c⃗ = ______ ． 13. 已知向量{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }是空间的一个单位正交基底，向量{a ⃗ +b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ ,c ⃗ }是空间另一个基底，若向量p ⃗ 在基底{a ⃗ +b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ ,c ⃗ }下的坐标为(32,−12,3)则p ⃗ 在基底{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }下的坐标为______．14. 设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点P(−1,0)作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，若S ▵ABF =√2且|AF|<|BF|，则|AF||BF|=________．15. 如图，VA =VB =AC =BC =2,AB =2√3,VC =1，则二面角V −AB −C 的大小为______．16.如图，已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px(p>0)上，抛物线的焦点F在AB上，AB的倾斜角为60°，|BF|=|CF|=4，则直线AC的斜率为______ ．17.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，O为坐标原点，点P满足|OP|=2a，点A是椭圆C上的动点，且|PA|+|AF1|≤3|F1F2|恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知命题P：x2−2x−3≥0，命题Q：|1−x2|<1.若P是真命题且Q是假命题，求实数x的取值范围．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，∠DAB=60°，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2AD=4，线段AB与PC的中点分别为E，F．(1)求证：BF//平面PDE；(2)求二面角A−PB−D的余弦值．20.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右准线方程l:x=4，离心率e=12，左右顶点分别为A，B，右焦点为F，点C:在椭圆上，且位于A，B轴上方．(1)设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，求k1−k2的最小值；(2)点Q在右准线l上，且PF⊥QF，直线QP交k1−k2负半轴于点M，若MF=6，求点P坐标．21.如图(1)，五边形ABCDE中，ED=EA，AB//CD，CD=2AB，∠EDC=150°.如图(2)，将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P−ABCD.点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若直线PC与AB所成角的正切值为12，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值．,0)的距离与到直线x=0的距离之差为1，过点M(p,0) 22.抛物线y2=2px(p>0)上的点P到点F(p2的直线l交抛物线于A，B两点．(1)求抛物线的方程；(2)若△ABO的面积为4√3，求直线l的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查了方程所表示的曲线，属于基础题．方程x+|y−1|=0可化为|y−1|=−x≥0，可得x≤0，即可得结果．【解答】解：方程x+|y−1|=0可化为|y−1|=−x≥0，则x≤0．所以曲线方程为x+y−1=0(x≤0,y≥1)或x−y+1=0(x≤0,y<1)故选B．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x−2|<1”得1<x<3，由x2+x−2>0得x>1或x<−2，所以“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的充分不必要条件，故选A．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，且全称命题的否定是特称命题，即￢p：存在，sinx0>1，故选：C．4.答案：C解析：解：A.当满足条件l⊥α，l⊥m的直线m不一定在平面α内，也有可能在平面α外，所以A错误．B.当满足条件l//α，m⊂α时，直线l与直线m，没有任何确定的关系，所以l不一定平行m，也有可能是异面．所以B错误．C.当l⊥α，m//α，根据线面平行的性质知，必有l⊥m，所以C正确．D.当直线m⊄α时，当满足条件l⊥α，l⊥m，结论正确，但当m⊂α时，结论不正确．故选C．A.利用线面垂直的定义和性质．B.利用线面平行的性质和判断定理．C.利用线面垂直的性质．D.利用线面，线线垂直的性质．本题考查线面平行，线面垂直的性质和判断定理，正确掌握相关定理的内容，是解决问题的关键，要根据不同情况，进行讨论．5.答案：B解析：解：因为点P(x,2，1)到Q(1,1，2)，R(2,1，1)的距离相等，所以：(x −1)2+(2−1)2+(1−2)2=(x −2)2+(2−1)2+(1−1)2． 解得x =1． 故选B ．直接利用空间两点间的距离公式求解即可．本题考查空间两点间的距离公式的应用，考查计算能力． 6.答案：D解析：解：若|x|≠3，则x ≠3且x ≠−3，故①错误；命题“a 、b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题是“a +b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数”，并非“a +b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数”，故②错误；“|x −1|<2”⇔“−1<x <3”，由(1,3)⊊(−∞,3)可得“|x −1|<2”⇔是“x <3”的充分不必要条件，故③正确；一个命题的否命题和它的逆命题互为逆否命题，真假性相同，故④若一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定是真命题，故④正确； 故选：D ．由若|x|≠3，则x ≠3且x ≠−3，可判断①；由原命题“a 、b 都是偶数，则a +b 是偶数”，根据四种命题的定义写出其逆否命题，比照后可判断②；解不等式|x −1|<2，求出x 的取值范围，进而根据集合法，可判断出充要性，进而可判断③； 根据四种命题之间的相互关系及互为逆否命题的真假性相同，可判断④本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题，难度不大，属于基本题． 7.答案：D解析：【分析】本题考查了线面角的计算，考查计算能力，属于基础题．连接AC ，则∠A 1CA 为直线A 1C 与平面ABCD 所成的角，在Rt △A 1AC 中求出cos∠A 1CA 即可． 【解答】解：连接AC ，∵AA 1⊥平面ABCD ，∴∠A 1CA 为直线A 1C 与平面ABCD 所成的角， 设正方体的棱长为1，则AC =√2，A 1C =√3， ∴cos∠A 1CA =√2√3=√63． 故选：D ． 8.答案：D解析：解：双曲线Γ：x 29−y 24=1的渐近线方程为y =±23x ，将直线y =2代入y =±23x ，可得M(−43,2)，N(43,2)． ∵OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ，μ∈R ，∴P(−43(λ−μ),2λ+2μ)， ∵P 是双曲线Γ：x 29−y 24=1的点，∴1681(λ−μ)2−(λ+μ)2=1，∴可得λμ=−14．故选：D ．求出双曲线的渐近线方程，可得M ，N 两点的坐标，利用向量知识求出P 的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论．本题考查双曲线的渐近线方程，考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，确定P 的坐标是关键．9.答案：B解析：解：抛物线的焦点F(1,0)， 设直线AB 的方程为x =my +1．联立方程组{y 2=4xx =my +1，得x 2−(4m 2+2)x +1=0．设A(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)，则y 12y 2216=1.∴y 22=16y 12．由抛物线的性质得|AF|=y 124+1，|BF|=y 224+1=4y 12+1．∴|AF|+2|BF|=y 124+1+2(4y 12+1)=3+y 124+8y 12≥3+2√2．故选：B ．设直线方程为x =my +1，联立方程组得出A ，B 两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出|AF|+2|BF|关于A ，B 两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值． 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 10.答案：C解析：解：过M 做平面PBC 的垂线，交平面PBC 于Q ，连接PQ ． ∵∠APB =∠APC =90°，∴AP ⊥平面PBC ， ∵MQ ⊥平面PBC ，∴AP//MQ∵∠MPA =60°，∴∠MPQ =90°−60°=30°．由公式：cos∠MPB =cos∠MPQ ×cos∠QPB ，得到cos∠QPB =√63∵∠QPC 是∠QPB 的余角，所以cos∠QPC =√33再用公式：cos∠MPC =cos∠MPQ ×cos∠QPC ，得到cos∠MPC =12∴∠MPC =60° 故选C ．过M 做平面PBC 的垂线，交平面PBC 于Q ，连接PQ ，由公式：cos∠MPB =cos∠MPQ ×cos∠QPB ，得到cos∠QPB =√63，从而可得cos∠QPC =√33，再用公式：cos∠MPC =cos∠MPQ ×cos∠QPC ，即可求∠MPC ．本题考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，利用好公式是关键． 11.答案：√3；y =±√3x解析：解：∵双曲线x 2−y 2b =1 (b >0)的一个焦点是(2,0)，∴1+b 2=4， ∵b >0， ∴b =√3，又a =1，∴双曲线渐近线的方程为y =±√3x 故答案为：√3，y =±√3x利用双曲线x 2−y 2b 2=1 (b >0)的一个焦点是(2,0)，求出b ，即可求出双曲线渐近线的方程．本题考查双曲线渐近线的方程，考查学生的计算能力，正确求出b 是关键．12.答案：(−79,−73)解析：解：设c⃗ =(x,y)，则c ⃗ +a ⃗ =(x +1,y +2)， 又(c ⃗ +a ⃗ )//b ⃗ ，∴2(y +2)+3(x +1)=0. ①又c ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )， ∴(x,y)⋅(3,−1)=3x −y =0. ② 解①②得x =−79，y =−73． 故应填：(−79,−73)．由题设条件知，本题是求向量c⃗ 的坐标的题，题设中已经给出了与向量c ⃗ 有关系的一平行一垂直的条件．故可设出向量c⃗ 的坐标，将平行关系与垂直关系转化成关于向量c ⃗ 的坐标的方程求其坐标． 本题考点是向量平行的条件与向量垂直的条件，考查利用向量的平行与垂直转化成相关的方程求解的能力．13.答案：(1,2，3)解析：【分析】本题考查的知识点是空间向量的基本定理及其意义，空间向量的坐标，属于基础题．由已知可得p⃗ =32(a ⃗ +b ⃗ )−12(a ⃗ −b ⃗ )+3c ⃗ ，去括号合并同类项后，可得答案． 【解答】解：∵向量p ⃗ 在基底{a ⃗ +b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ ,c ⃗ }下的坐标为(32,−12,3)∴向量p⃗ =32(2+b ⃗ )−12(a ⃗ −b ⃗ )+3c ⃗ =a ⃗ +2b ⃗ +3c ⃗ ， 故p ⃗ 在基底{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }下的坐标为(1,2，3)，故答案为(1,2，3)．14.答案：12解析：【分析】本题考查了曲线的交点与方程组的关系和抛物线的概念及标准方程．利用曲线的交点与方程组的关系，结合题目条件得y 1=√2,y 2=2√2，再利用抛物线的定义计算得结论． 【解答】解：因为抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，过点P(−1,0)作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且｜AF ｜<｜BF ｜． 作图如下：设A (y 124,y 1)，A (y 224,y 2)(0<y 1<y 2)．显然直线l 的斜率存在，且不为0， 不妨设直线l 的方程为y =k (x +1)(k >0)． 由{y =k (x +1)y 2=4x 得ky 2−4y +4k =0， 则y 1+y 2=4k ,y 1y 2=4．因为S ΔABF =√2，所以12×2×(y 2−y 1)=√2． 即(y 2+y 1)2−4y 2y 1=2，所以16k2−16=2，即k=2√23．由2√23y2−4y+8√23=0解得y1=√2,y2=2√2所以|AF||BF|=y124+1y224+1=y12+4y22+4=2+48+4=12．故答案为12．15.答案：60°解析：【分析】本题考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．取AB中点O，连结VO，CO，则∠VOC是二面角V−AB−C的平面角，然后求解三角形得答案．【解答】解：如图：取AB中点O，连结VO，CO，∵三棱锥V−ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2√3，VC=1，∴AB⊥VO,AB⊥CO，∴∠VOC是二面角V−AB−C的平面角，VO=√VA2−(AB2)2=1，CO=√BC2−(AB2)2=1，△VOC为等边三角形，∴∠VOC=60°．∴二面角V−AB−C的大小为60°．故答案为：60°．16.答案：−√32解析：解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则|AB|=x 1+x 2+p =2p sin 260°=8p 3， ∴x 1+x 2=5p 3， ∵x 1x 2=p 24， ∴x 2=3p 2，x 1=p 6， ∴A(p 6,−√33p)，B(3p 2,√3p)， ∵|BF|=|CF|=4，∴C(3p 2,−√3p)，∴直线AC 的斜率为−√3p+√33p 3p 2−p 6=−√32． 故答案为：−√32． 利用|AB|=x 1+x 2+p ，x 1x 2=p 24，求出A ，B 的坐标，可得C 的坐标，即可求出直线AC 的斜率．本题考查抛物线的性质，考查直线的斜率，考查学生的计算能力，确定A ，C 的坐标是关键． 17.答案：[45,1)解析：【分析】本题考查的是椭圆的性质及不等式恒成立的知识，属于难题．由|PA|+|AF 1|≤3|F 1F 2|恒成立转化为3|F 1F 2|⩾(|PA|+|AF 1|)max ，求出(|PA|+|AF 1|)max 可得离心率的取值范围．【解答】解：为使|PA|+|AF 1|≤3|F 1F 2|恒成立，只需3|F 1F 2|⩾(|PA|+|AF 1|)max ，由椭圆的定义可得，|AF 1|+|AF 2|=2a ，所以|PA|+|AF 1|=|PA|−|AF 2|+2a ≤|PF 2|+2a ，当且仅当P ，F 2，A 三点共线时取等号(F 2在线段PA 上)，又点Ｐ的轨迹是以Ｏ为圆心，半径为2a 的圆，所以圆上点Ｐ到圆内点F 2的最大距离为半径与|OF 2|的和，即|PF 2|≤2a +c ，所以|PA|+|AF 1|≤|PF 2|+2a ≤2a +c +2a =4a +c ，所以6c ⩾4a +c ，5c ⩾4a ，e =c a ≥45，又e <1，所以椭圆C 离心率的取值范围为[45,1)．故答案为[45,1) 18.答案：解：命题p ：x 2−2x −3≥0⇔(x −3)(x +1)≥0⇔x ≥3或x ≤−1…(3分) 命题Q ：|1−x 2|<1⇔−1<1−x 2<1⇔0<x <4…(6分)Q 是假命题即x ≥4或x ≤0…(8分)P 是真命题且Q 是假命题即x ≥3或x ≤−1且x ≥4或x ≤0，(10分)综上：x ≥4或x ≤−1．解析：求出命题P ，Q 为真时x 的范围，再求Q 的反面，最后求交集即可．本题考查了命题真假的判断和否命题的求解，属于基础题型，应熟练掌握．19.答案：(1)证明：取CD 的中点G ，连接BG ，FG ，∵底面ABCD 为平行四边形，且E 为AB 的中点，则BE//DG ，BE =DG ，则四边形BEDG 为平行四边形，则BG//DE ，∵DE ⊂平面PDE ，BG ⊄平面PDE ，∴BG//平面PDE ；∵G ，F 分别为DC ，PC 的中点，∴FG//PD ，∵PD ⊂平面PDE ，FG ⊄平面PDE ，∴FG//平面PDE ．∵BG ∩GF =G ，BG ，GF ⊂平面BGF ，∴平面BGF//平面PDE ，又BF ⊂平面BGF ，则BF//平面PDE ；(2)解：以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，在平面ABCD 内，过A 作垂直AB 的直线为y 轴， 以AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．∵∠DAB =60°，AP =AB =2AD =4，∴A(0,0，0)，B(4,0，0)，P(0,0，4)，D(1,√3,0)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,−4)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−4)． 设平面PBD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4x −4z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3y −4z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,1)； 平面PAB 的一个法向量为n⃗ =(0,1,0)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√5×1=√155． 且由图可知二面角A −PB −D 为锐二面角，∴二面角A −PB −D 的余弦值为√155．解析：本题考查线面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．(1)取CD 的中点G ，连接BG ，FG ，由已知可证四边形BEDG 为平行四边形，则BG//DE ，得到BG//平面PDE ，再由中位线定理得到FG//PD ，进一步得到FG//平面PDE ，由面面平行的判定可得平面BGF//平面PDE，从而得到BF//平面PDE；(2)以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，在平面ABCD内，过A作垂直AB的直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBD与平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A−PB−D的余弦值．20.答案：解(1)x24+y23=1，设点P(x0,y0)，则，因为y0∈(0,√3],所以当y0=√3时(x0,+∞)的最小值为√3．(2)设点P(x0,y0)，则QF：y=−x0−1y0(x−1)，所以点Q(4,−3(x0−1)y0)，因为点P、Q、M三点共线，所以k PM=k QM，所以3y02=(x0+5)(1−x0)又因为x024+y023=1，所以x0=4或−45，因为x0∈(−2,2)，所以P(−45,3√7 5)解析：本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题．(1)a2c =4,ca=12求出a，c，得到b，就求得椭圆方程，设点P(x0,y0)，利用斜率公式把k1−k2表示为y0的函数，由y0的范围求得最小值；(2)求出QF的方程，得到Q的坐标，再由k PM=k QM，结合x024+y023=1，解出x0，得到P的坐标．21.答案：(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，则MN//CD,MN=12CD，又AB//CD,AB=12CD，所以MN//AB，MN=AB，则四边形ABMN为平行四边形，所以AN//BM，又BM⊥平面PCD，∴AN⊥平面PCD，∴AN⊥PD，AN⊥CD．由ED=EA即PD=PA，及N为PD的中点，∴PA=AD，可得△PAD为等边三角形，∴∠PDA=60°，又∠EDC=150°，∴∠CDA=90°，∴CD⊥AD，∴CD ⊥平面PAD ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD.(2)解：AB//CD ，∴∠PCD 为直线PC 与AB 所成的角，由(1)可得∠PDC =90°，∴tan∠PCD =PD CD =12，∴CD =2PD ， 设PD =1，则CD =2，PA =AD =AB =1，取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则D(−12,0,0),B(12,1,0),C(−12,2,0),P(0,0,√32)， ∴M(−14,1,√34)， 所以DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,−√32),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−34,0,√34)， 设n ⃗ =(x,y ，z)为平面PBD 的法向量，则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y =012x +y −√32z =0， 取x =3，则n ⃗ =(3,3,−√3)为平面PBD 的一个法向量，∵cos <n ⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21×√32=−2√77，则直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值为2√77．解析：(1)取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，则MN//CD,MN =12CD ，可得四边形ABMN 为平行四边形，又BM ⊥平面PCD ，可得AN ⊥平面PCD ，AN ⊥PD ，AN ⊥CD.可得△PAD 为等边三角形，∠PDA =60°，又∠EDC =150°，可得CD ⊥AD ，再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．(2)AB//CD ，可得∠PCD 为直线PC 与AB 所成的角，可得tan∠PCD =PD CD =12，CD =2PD ，设PD =1，则CD =2，PA =AD =AB =1，取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，设n ⃗ =(x,y ，z)为平面PBD 的法向量，则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，利用cos <n ⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可得出．本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角、等边三角形的判定与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)设P(x0,y0)，由定义知|PF|=x0+p2，∴(x0+p2)−x0=1，即p=2，∴抛物线方程为y2=4x；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，则方程为x=2，此时|AB|=4√2，∴△ABO的面积为4√2，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−2)，代入抛物线方程得：k2x2−4(k2+1)x+4k2=0．△=16(k2+1)2−16k2>0．x1+x2=4+4k，x1x2=4，∴|AB|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2√(4+4k2)2−4=√1+k2⋅4√2k2+1k2，点O到直线l的距离为d=√1+k2，∴12√1+k2⋅4√2k2+1k⋅2=4√3，解得：k=±1，满足△>0．∴直线l的方程为y=x−2或y=−x+2．解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．(1)设P(x0,y0)，由题意列式求得p，可得抛物线方程；(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，则方程为x=2，此时△ABO的面积为4√2，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−2)，与抛物线方程联立，利用弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求得点O到直线l的距离，代入三角形面积公式求解k，则直线l的方程可求．。
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y =√x +1在x ＝3处的导数是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．42．设数列{a n }满足a 1=1，a n a n+1=(−1)n (n +1)2，则a 3＝（ ） A ．4 B ．﹣4C ．94D ．−943．若方程x 22−m+y 23+m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．−3＜m ＜−12B ．−12＜m ＜2C ．m ＜﹣3D ．m ＞24．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98 A ．17.9万亿B ．19.1万亿C ．20.3万亿D ．21.6万亿5．函数y ＝e x ﹣2x 图象与直线y ＝a 恰有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2﹣2ln 2） B ．（2﹣2ln 2，+∞） C ．[2﹣2ln 2，+∞）D ．（2﹣ln 2，+∞）6．已知a =1.01，b =e 0.01，c =√1.02，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−16=1的左、右焦点，O 为坐标原点，M 是椭圆C 上的点（不在坐标轴上），∠F 1MF 2的平分线交OF 2于N ，且ON ＝2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(0，13)D ．(13，1)8．已知无穷正整数数列{a n }满足a n+2=a n +2023a n+1+1(n ∈N ∗)，则a 1的可能值有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．9二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．定义在R 上的可导函数y ＝f （x ）的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．f （1）＜f （6）B ．函数y ＝f （x ）的最大值为f （5）C ．1是函数y ＝f （x ）的极小值点D ．3是函数y ＝f （x ）的极小值点10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．若{a n }为递减等比数列，则{a n }的公比q ∈（0，1）B ．“{a n }为等差数列”是“{Sn n}为等差数列”的充要条件C ．若{S n }为等比数列，则{a n }可能为等比数列D ．若对于任意的p ，q ∈N *，数列{a n }满足a p +q ＝a p a q ，且各项均不为0，则{a n }为等比数列11．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，设b n ＝log 3（1+a n ），记{b n }的前n 项和为S n ，{1S n}的前n 项和为T n ，则（ ） A ．{b n }为等比数列 B ．{a n +1}为等比数列C ．S n ＝b n +1﹣1D ．T n ＜212．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24−y 25=1的左、右焦点，点A 为双曲线右支上任意一点，点M （2，3），下列结论中正确的是（ ） A ．|AF 1|﹣|AF 2|＝4B ．|AM |+|AF 1|的最小值为4+√10C ．过M 与双曲线有一个公共点直线有3条D ．若∠F 1AF 2＝90°，则△F 1AF 2的面积为5 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n }为等比数列，a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则a 5+a 6＝ ． 14．设函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处可导且f ′（x 0）＝2，则limℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ= ．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 11＞0，S 12＜0，数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为第 项． 16．若函数f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx 在区间（1，2）上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列﹣2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使得插入的所有数成为一个新的等差数列{a n }． （1）求新数列{a n }的通项公式；（2）16是新数列{a n }中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． 18．（12分）已知函数f(x)=13x 3+ax 2+b ，a ，b ∈R ，f(x)在x ＝2处取到极小值23．（1）求a ，b 的值；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点P （1，m ）到其焦点F 的距离为2． （1）求C 的方程及焦点F 的坐标．（2）过点（2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且△OAB 的面积为8，求直线l 的方程． 20．（12分）已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝3，a 10﹣12＝b 2，3a 4＝b 3． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ax +1，a ∈R ． （1）当a ＝1时，求函数f （x ）的最小值；（2）若f （x ）≥﹣a 对任意的x ＞0恒成立，求整数a 的最大值．22．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点分别为点A ，B ，其中|AB |＝2，且双曲线过点C （2，3）．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点P （1，1）的直线分别交Γ的左、右支于D ，E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF →=FG →．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y =√x +1在x ＝3处的导数是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：由y =√x +1，得y ′=12(x +1)−12⋅(x +1)′=12√x+1， 所以函数y =√x +1在x ＝3处的导数是2√3+1=14．故选：A ．2．设数列{a n }满足a 1=1，a n a n+1=(−1)n (n +1)2，则a 3＝（ ） A ．4B ．﹣4C ．94D ．−94解：由a n ⋅a n+1=(−1)n ⋅(n +1)2，a 1=1，得a 1⋅a 2=(−1)⋅(1+1)2=−4，则a 2＝﹣4， 又a 2a 3=(−1)2⋅(2+1)2=9，得a 3=−94． 故选：D ． 3．若方程x 22−m+y 23+m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．−3＜m ＜−12B ．−12＜m ＜2C ．m ＜﹣3D ．m ＞2解：由题意可得：0＜3+m ＜2﹣m ，解得−3＜m ＜−12， ∴m 的取值范围为(−3，−12)． 故选：A ．4．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98 A ．17.9万亿B ．19.1万亿C ．20.3万亿D ．21.6万亿解：依题意可得：从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列{a n }，其中a1＝10.9，公比q＝1+6.4%＝1.064，所以2022年进出口累计总额为a10=a1q9=10.9×1.0649≈10.9×1.75≈19.1（万亿）．故选：B．5．函数y＝e x﹣2x图象与直线y＝a恰有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2﹣2ln2）B．（2﹣2ln2，+∞）C．[2﹣2ln2，+∞）D．（2﹣ln2，+∞）解：函数y＝e x﹣2x的定义域为R，求导得y′＝e x﹣2，当x＜ln2时，y′＜0，函数y＝e x﹣2x递减，函数单调减区间为（﹣∞，ln2），当x＞ln2时，y′＞0，函数y＝e x﹣2x递增，函数单调增区间为（ln2，+∞），当x＝ln2时，函数y＝e x﹣2x取得最小值2﹣2ln2，如图，所以函数y＝e x﹣2x图象与直线y＝a恰有两个不同的交点时，a＞2﹣2ln2．故选：B．6．已知a=1.01，b=e0.01，c=√1.02，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a解：令f（x）＝e x﹣（x+1），则f′（x）＝e x﹣1，可知x＜0时f′（x）＜0，x＞0时f′（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（0）＝0，所以e x≥x+1，x＝0时等号成立，所以b＝e0.01＞0.01+1＝1.01＝a，故b＞a，又√x≤1+x2，当x＝1时等号成立，则c=√1.02＜1+1.022=1.01=a，故c＜a，综上，b＞a＞c．故选：C．7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−16=1的左、右焦点，O 为坐标原点，M 是椭圆C 上的点（不在坐标轴上），∠F 1MF 2的平分线交OF 2于N ，且ON ＝2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(0，13)D ．(13，1)解：设椭圆的焦距为2c （c ＞0），则c 2＝a 2﹣（a 2﹣16）＝16，即c ＝4， 因为MN 平分∠F 1MF 2，且ON ＝2， 所以|MF 1||MF 2|=|NF 1||NF 2|=62=3，由椭圆的定义知，|MF 1|+|MF 2|＝2a ， 所以|MF 1|=32a ，|MF 2|=a 2， 因为a ﹣c ＜|MF 1|＜a +c ，所以a ﹣c ＜32a ＜a +c ，解得a ＜2c ，即ca＞12，所以离心率e =ca∈（12，1）．故选：B ．8．已知无穷正整数数列{a n }满足a n+2=a n +2023a n+1+1(n ∈N ∗)，则a 1的可能值有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．9解：由a n+2=a n+2023a n+1+1，得a n +2+a n +2•a n +1＝a n +2023，当n ≥2时，a n +1+a n +1•a n ＝a n ﹣1+2023，两式相减得a n +2﹣a n +1+a n +1（a n +2﹣a n ）＝a n ﹣a n ﹣1，即a n +2﹣a n +a n +1（a n +2﹣a n ）＝a n +1﹣a n ﹣1， 于是（a n +2﹣a n ）（a n +1+1）＝a n +1﹣a n ﹣1，依题意a n +1+1＞1， 若a n +2﹣a n ≠0，有a n+2−a n =a n+1−a n−1a n+1+1，则0＜|a n+2−a n |=|a n+1−a n−1a n+1+1|＜|a n+1−a n−1|，即{|a n +2﹣a n |}是递减数列，由于{a n }是无穷正整数数列，则必存在n ≥N *，使得|a n +2﹣a n |＝0与|a n +2﹣a n |＞0矛盾， 因此a n +2﹣a n ＝0，即a n +2＝a n ，于是数列{a n }是周期为2的周期数列，当n ＝1时，由a 3＝a 1，得a 1=a 1+2023a 2+1，即a 1a 2＝2023＝1×2023＝7×17×17， 从而a 1∈{1，2023，7，17，119，289}，∴a 1的可能值有6个． 故选：C ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．定义在R 上的可导函数y ＝f （x ）的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．f （1）＜f （6）B ．函数y ＝f （x ）的最大值为f （5）C ．1是函数y ＝f （x ）的极小值点D ．3是函数y ＝f （x ）的极小值点解：易知函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增，在（6，+∞）上单调递减， 所以f （1）＜f （6），故选项A 正确； 因为f （5）＜f （6），故选项B 错误；因为y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增， 所以1是函数y ＝f （x ）的极小值点，故选项C 正确； 当x ＝3时，f ′（x ）的符号未发生改变，所以3不是函数y ＝f （x ）的极小值点，故选项D 错误． 故选：AC ．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．若{a n }为递减等比数列，则{a n }的公比q ∈（0，1）B ．“{a n }为等差数列”是“{Snn }为等差数列”的充要条件C ．若{S n }为等比数列，则{a n }可能为等比数列D ．若对于任意的p ，q ∈N *，数列{a n }满足a p +q ＝a p a q ，且各项均不为0，则{a n }为等比数列 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，取a n =−2n−1，则{a n }为递减等比数列，公比q ＝2∉（0，1），故A 错误； 对于B ，若{a n }为等差数列，则S n =na 1+n(n−1)2d ，所以S n n =a 1+(n −1)d 2， 故S n+1n+1−S n n=(n +1−1)d 2−(n −1)d 2=d 2（常数），故{Sn n }为等差数列，若{S n n}为等差数列，则S n n=a 1+(n −1)d′，即S n ＝na 1+n （n ﹣1）d ′，所以S n +1＝（n +1）a 1+n （n +1）d ′，两式相减得a n +1＝S n +1﹣S n ＝a 1+2nd ′， 所以a n ＝a 1+2（n ﹣1）d ′，故a n +1﹣a n ＝2d ′（常数），所以{a n }为等差数列，所以“{a n }为等差数列”是“{Sn n }为等差数列”的充要条件，故B 正确；对于C ，若S n ＝1，满足{S n }为等比数列，此时a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝0， 所以a n ={1，n =10，n ≥2，不是等比数列，故C 错误；对于D ，任意的p ，q ∈N *，满足a p +q ＝a p a q ，不妨取p ＝1，q ＝n ，则 a n +1＝a 1a n ，因为各项均不为0，所以a n+1a n=a 1（不为0的常数），故{a n }为等比数列，故D 正确． 故选：BD ．11．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，设b n ＝log 3（1+a n ），记{b n }的前n 项和为S n ，{1S n}的前n 项和为T n ，则（ ） A ．{b n }为等比数列 B ．{a n +1}为等比数列C ．S n ＝b n +1﹣1D ．T n ＜2解：由a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，知a n ＞0，且a n+1+1=(a n +1)2，两边取对数得log 3（a n +1+1）＝2log 3（a n +1）， 即b n +1＝2b n ，而b 1＝log 3（1+a 1）＝1， 所以b n ＞0， 所以b n+1b n=2，即数列{b n }为等比数列，故选项A 正确；由a n+1+1=(a n +1)2，知a n+1+1a n +1=a n +1，不是常数，即选项B 错误；因为{b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以b n =1×2n−1=2n−1，S n =1−2n1−2=2n −1=b n+1−1，即选项C 正确；因为1S n=12n −1＜1+12n −1+1=(12)n−1(n ≥2)，所以T n ＜(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1=1−(12)n 1−12=2−2(12)n ＜2（n ≥2），当n ＝1时，T 1=1S 1=1＜2成立， 综上，T n ＜2，即选项D 正确． 故选：ACD ．12．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24−y 25=1的左、右焦点，点A 为双曲线右支上任意一点，点M （2，3），下列结论中正确的是（ ） A ．|AF 1|﹣|AF 2|＝4B ．|AM |+|AF 1|的最小值为4+√10C ．过M 与双曲线有一个公共点直线有3条D ．若∠F 1AF 2＝90°，则△F 1AF 2的面积为5 解：如图，由双曲线方程x 24−y 25=1，知2a ＝4，所以由双曲线定义知|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ＝4，故A 正确；因为c 2＝a 2+b 2＝9，所以F 2（3，0），|MF 2|=√(2−3)2+(3−0)2=√10， 由|AM|+|AF 1|=|AM|+|AF 2|+4≥|MF 2|+4=√10+4，故B 正确；过M 与两渐近线平行的直线仅有1个交点，过M 与左支相切与右支无交点的直线有1条， 过M 与右支相切且与左支无交点的直线有1条，故共有4条，故C 错误；若∠F 1AF 2＝90°，则|AF 1|2+|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即（|AF 1|﹣|AF 2|）2+2|AF 1|•|AF 2|＝|F 1F 2|2， 所以4a 2+2|AF 1|⋅|AF 2|=4c 2，解得|AF 1|⋅|AF 2|=12(36−16)=10， 所以S △F 1AF 2=12|AF 1|•|AF 2|=12×10＝5，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n }为等比数列，a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则a 5+a 6＝ 48 ． 解：根据题意，设数列{a n }的公比为q ，由于a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则有a 3+a 4a 1+a 2=q 2=4，所以a 5+a 6=q 2(a 3+a 4)=4×12=48． 故答案为：48．14．设函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处可导且f ′（x 0）＝2，则lim ℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ= 4 ． 解：由limℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ=2lim ℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)2ℎ=2f′(x 0)=4．故答案为：4．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 11＞0，S 12＜0，数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为第 6 项．解：根据题意，等差数列{a n }中，S 11＞0，S 12＜0， 则有S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6＞0，S 12=12(a 1+a 12)2=6(a 6+a 7)＜0，显然a 7＜﹣a 6＜0，且|a 7|＞a 6，等差数列{a n }的公差d ＝a 7﹣a 6＜﹣2a 6＜0， 即数列{a n }是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列{S n }的最大项为S 6，a 6是数列{|a n |}中的最小项，且a 6＞0， 所以数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为S 6a 6，是第6项．故答案为：6．16．若函数f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx 在区间（1，2）上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是 (−∞，94) ． 解：已知f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx ，函数定义域为（0，+∞）， 可得f ′（x ）＝2（x ﹣m ）+1x ， 因为f ′（x ）＞0在（1，2）上有解， 即m ＜x +12x 在（1，2）上有解， 由对勾函数的性质可知函数y =x +12x在（1，2）上单调递增， 所以y =x +12x 在x ＝2时取得最大值， 此时m ＜2+14=94，则实数m 的取值范围为(−∞，94)．故答案为：(−∞，94)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列﹣2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使得插入的所有数成为一个新的等差数列{a n }．（1）求新数列{a n }的通项公式；（2）16是新数列{a n }中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由．解：（1）设原等差数列为{b n }，易知b 1＝﹣2，b 2＝1，则d ＝b 2﹣b 1＝3，则b n ＝b 1+（n ﹣1）•d ＝3n ﹣5，由题意知：2a n ＝b n +b n +1＝3n ﹣5+3（n +1）﹣5＝6n ﹣7，则a n =3n −72．（2）令a n =16⇒3n −72=16⇒n =132∉N ∗，故16不是新数列{a n }中的项．18．（12分）已知函数f(x)=13x 3+ax 2+b ，a ，b ∈R ，f(x)在x ＝2处取到极小值23． （1）求a ，b 的值；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．解：（1）已知f （x ）=13x 3+ax 2+b ，函数定义域为R ，可得f ′（x ）＝x 2+2ax ，因为f （x ）在x ＝2处取到极小值23， 所以{f ′(2)=4+4a =0f(2)=83+4a +b =23， 解得a ＝﹣1，b ＝2，当a ＝﹣1，b ＝2时，f ′（x ）＝x 2﹣2x ，当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以函数f （x ）在x ＝2处取得极小值，则a ＝﹣1，b ＝2满足题意；（2）由（1）知f(x)=13x 3−x 2+2，可得f ′（x ）＝x 2﹣2x ，此时f ′（1）＝﹣1，又f （1）=43，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y −43=−（x ﹣1），即3x +3y ﹣7＝0．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点P （1，m ）到其焦点F 的距离为2．（1）求C 的方程及焦点F 的坐标．（2）过点（2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且△OAB 的面积为8，求直线l 的方程． 解：（1）由抛物线的定义可得：|PF|=x ，+p 2=2=1+p 2，解得P ＝2，所以抛物线的方程为C ：y 2＝4x ；（2）由题意可设直线方程为x ＝ty +2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x =ty +2y 2=4x，得y 2﹣4ty ﹣8＝0， 所以Δ＝16t 2+4×8＞0，y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣8，因为S △AOB =12×2×|y 1﹣y 2|＝|y 1﹣y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16t 2+32， 所以t 2＝2，得t =±√2，故直线l 的方程为：x =±√2y +2．20．（12分）已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝3，a 10﹣12＝b 2，3a 4＝b 3．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由题意知，{a 10−12=b 23a 4=b 3⇒{a 1+9d −12=b 1⋅q 3(a 1+3d)=b 1⋅q 2⇒{9d −9=3q 3(3+3d)=3⋅q 2，消元得q2﹣q﹣6＝0，解得q＝3或q＝﹣2（舍去），所以d＝2，故a n=3+2(n−1)=2n+1，b n=3⋅3n−1=3n．（2）由（1）知，c n=a n⋅b n=(2n+1)⋅3n，所以S n=(2×1+1)×31+(2×2+1)×32+(2×3+1)×33+⋯+(2n+1)×3n①，3S n=(2×1+1)×32+(2×2+1)×33+⋯+(2n−1)×3n+(2n+1)×3n+1②，①﹣②得：−2S n=3×3+2(32+33+⋯+3n)−(2n+1)⋅3n+1=3+2(3+32+⋯+3n)−(2n+1)⋅3n+1=3+2×3(1−3n)1−3−(2n+1)⋅3n+1=−2n⋅3n+1，故S n=n⋅3n+1．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥﹣a对任意的x＞0恒成立，求整数a的最大值．解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx﹣x+1，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=lnx+x⋅1x−1=lnx，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值也是最小值，最小值f（1）＝0；（2）若f（x）≥﹣a对任意的x＞0恒成立，此时lnx−a+1+ax≥0，不妨设g(x)=lnx−a+1+ax，函数定义域为（0，+∞），可得g′(x)=1x−1+ax2=x−(1+a)x2，若1+a≤0，即a≤﹣1时，g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值，不符合题意；若1+a＞0，即a＞﹣1时，当0＜x＜1+a时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1+a时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（1+a）＝ln（1+a）+1﹣a≥0，不妨设h （a ）＝ln （1+a ）+1﹣a ，可得ℎ′(a)=11+a −1=−a 1+a，函数定义域为（﹣1，+∞）， 当﹣1＜a ＜0时，h ′（a ）＞0，h （a ）单调递增；当a ＞0时，h ′（a ）＜0，h （a ）单调递减，又h （0）＝1＞0，h （1）＝ln 2＞0，h （2）＝ln 3﹣1＝ln 3﹣lne ＞0，h （3）＝2ln 2﹣2＝ln 4﹣lne 2＜0， 故整数a 的最大值为2．22．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点分别为点A ，B ，其中|AB |＝2，且双曲线过点C （2，3）．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点P （1，1）的直线分别交Γ的左、右支于D ，E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF →=FG →．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．解：（1）由|AB |＝2a ＝2，则a ＝1，又4a 2−9b 2=1，则9b 2=4a 2−1=3，所以b 2＝3，故双曲线Γ的方程为：x 2−y 23=1． （2）证明：如图，由B （1，0），C （2，3），则BC 方程为y ＝3x ﹣3，设直线DE 方程为：y ＝k （x ﹣1）+1，D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），则y F ＝3x 2﹣3，则F （x 2，3x 2﹣3），由EF →=FG →，则G （x 2，6x 2﹣6﹣y 2），则k BD =y 1x 1−1=k(x 1−1)+1x 1−1=k +1x 1−1，k BG =b(x 2−1)−y 2x 2−1=6(x 2−1)−k(x 2−1)−1x 2−1=6−k −1x 2−1， 联立{y =k(x −1)+13x 2−y 2=3⇒(3−k 2)x 2−2k(1−k)x −(1−k)2−3=0， 则x 1+x 2=2k(1−k)3−k 2，x 1⋅x 2=−(1−k)2−33−k 2， 则1x 1−1+1x 2−1=x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=2k(1−k)3−k 2−2−(1−k)2−33−k 2−2k(1−k)3−k 2=6−2k ， 所以k BD ﹣k BG ＝k ﹣（6﹣k ）+6﹣2k ＝0， 故k BD ＝k BG ，故DG 过定点B （1，0）．。
2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x＞1}，则集合A∩∁U B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0＜x≤1} 2．函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）3．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．f（x）＝lgx2与g（x）＝2lgxD．f（x）＝x0与4．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b5．关于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）最小值为1B．f（x）的图象不具备对称性C．f（x）在[﹣2，+∞）上单调递增D．对任意x∈R，均有f（x）≤16．若函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，则实数m的取值为（）A．[]B．[]C．[）D．[）7．设a为实数，若函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，则函数y＝f[f（x）]零点的个数是（）A．1或3B．2或3C．2或4D．3或48．已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，g（x）＝e x+e﹣x，则以下结论正确的是（）A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有C．f（x）有最小值，无最大值D．g（x）有最小值，无最大值9．函数f（x）＝|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．10．己知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则﹣x1x2+x3+x4的取值范围为（）A．（3，3+e]B．[3，3+e）C．（3，+∞）D．[3，3+e）二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．已知集合，则列举法表示集合A＝，集合A的真子集有个．12．函数的定义域是，值域是．13．已知函数，则f（f（﹣2））＝；若f（a）＝2，则实数a＝．14．已知集合A＝B＝{1，2，3}，设f：A→B为从集合A到集合B的函数，则这样的函数一共有个，其中函数的值域一共有种不同情况．15．若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．16．若|x|且x≠0时，不等式|ax2﹣x﹣a|≥2|x|恒成立，则实数a的取值范围为．17．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣1＞0}，B＝{x|x2﹣2tx﹣1≤0}，若A∩B＝{x1，x2}，求t的取值范围．三、解答题：5小题，共74分18．计算求值：（1）；（2）．19．已知集合A＝{x|2a≤x≤a2+1}，B＝{x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0}，其中a∈R．（1）若4∈A，3∉A，求实数a的取值范围；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．20．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，．（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[m﹣1，m]，不等式f（2﹣x）≤f（x+m）恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数．（1）当a＝5，b＝﹣3时，求满足f（x）＝3x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）满足f（x）•[g（x）+3]＝3x﹣3﹣x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．22．已知函数f（x）＝|x﹣2a+1|，g（x）＝|x﹣a|+1，x∈R．（1）若a＝2且x∈[2，3]，求函数φ（x）＝e f（x）+e g（x）的最小值；（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，求a的取值范围；（3）若x∈[1，6]，求函数h（x）＝max{e f（x），e g（x）}的最小值．2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x＞1}，则集合A∩∁U B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0＜x≤1}【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，又∵B＝{x|x＞1}，∴∁U B＝{x|x≤1}，则集合A∩∁U B＝{x|0＜x≤1}故选：D．2．函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：函数f（x）＝2x+3x是增函数，f（﹣1）＝＜0，f（0）＝1+0＝1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．故选：B．3．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．f（x）＝lgx2与g（x）＝2lgxD．f（x）＝x0与【解答】解：对于A，函数f（x）＝＝﹣x（x≤R），与g（x）＝x（x ≤0）的对应关系不同，不是同一函数；对于B，函数f（x）＝•＝（x≥1），与g（x）＝（x≤﹣1或x≥1）的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数f（x）＝lgx2＝2lg|x|（x≠0），与g（x）＝2lgx（x＞0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于D，函数f（x）＝x0＝1（x≠0），与g（x）＝＝1（x≠0）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．4．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：由题意，可知：a＝log52＜1，b＝log0.50.2＝＝＝log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，∴b最大，a、c都小于1．∵a＝log52＝，c＝0.50.2＝＝＝．而log25＞log24＝2＞，∴＜．∴a＜c，∴a＜c＜b．故选：A．5．关于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）最小值为1B．f（x）的图象不具备对称性C．f（x）在[﹣2，+∞）上单调递增D．对任意x∈R，均有f（x）≤1【解答】解：根据题意，对于函数，设t＝x2+4x+5，则y＝，t＝x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，在区间（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，+∞）上为增函数，y＝在[1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，+∞）上为减函数，则当x＝﹣2时，f（x）取得最大值f（﹣2）＝1，故A、C错误，D正确；t＝x2+4x+5＝（x+2）2+1为二次函数，其图象关于直线x＝﹣2对称，则的图象关于直线x＝﹣2对称，B错误；故选：D．6．若函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，则实数m的取值为（）A．[]B．[]C．[）D．[）【解答】解：先保证对数有意义﹣x2+4x+5＞0，解得﹣1＜x＜5，又可得二次函数y＝﹣x2+4x+5的对称轴为x＝﹣＝2，由复合函数单调性可得函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）的单调递增区间为（2，5），要使函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，只需，解关于m的不等式组得≤m＜2，故选：C．7．设a为实数，若函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，则函数y＝f[f（x）]零点的个数是（）A．1或3B．2或3C．2或4D．3或4【解答】解：令t＝f（x），y＝f[f（x）]＝f（t）＝2t2﹣t+a．函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，即方程2x2﹣x+a＝0有根，若方程2x2﹣x+a＝0有1个零点，则△＝1﹣8a＝0，即a＝．而方程2t2﹣t+a＝0化为，即（4t﹣1）2＝0，t＝，此时函数y＝f[f（x）]有2个零点；若方程2x2﹣x+a＝0有2个零点，则△＝1﹣8a＞0，得a＜．此时方程2t2﹣t+a＝0的根为t＝，而小根＞在a＜时成立，∴函数y＝f[f（x）]有4个零点．综上，函数y＝f[f（x）]零点的个数是2或4．故选：C．8．已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，g（x）＝e x+e﹣x，则以下结论正确的是（）A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有C．f（x）有最小值，无最大值D．g（x）有最小值，无最大值【解答】解：函数f（x）＝e x﹣e﹣x，f“（x）＝e x+e﹣x≥2，f（x）递增，无最小值，无最大值，g（x）＝e x+e﹣x≥2，当x＞0时，g'（x）＝e x﹣e﹣x＝≥0，g（x）递增，g（x）为偶函数，所以g（x）在（﹣∞，0）递减，所以（0，+∞）上递增，所以g（x）min＝g（0）＝2，无最大，故选：D．9．函数f（x）＝|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当a＝0时，f（x）＝|x|，且x≠0，故A符合，当x＞0时，且a＞0时，f（x）＝x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f（x）＝﹣x+在（﹣∞，0）上为减函数，故B符合，当x＜0时，且a＜0时，f（x）＝﹣x+≥2＝2，当x＞0时，且a＜0时，f （x）＝x+在（0，+∞）上为增函数，故D符合，故选：C．10．己知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则﹣x1x2+x3+x4的取值范围为（）A．（3，3+e]B．[3，3+e）C．（3，+∞）D．[3，3+e）【解答】解：函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，即两函数y＝f（x）与y＝a图象有四个不同的交点，如图所示，由图象可知，1＜a≤e，x1，x2是方程的两根，即x2+2x+1﹣lna＝0的两根，∴x1x2＝1﹣lna，x3，x4是方程x+﹣3＝a的两根，即x2﹣（3+a）x+4＝0的两个根，∴x3+x4＝3+a，∴﹣x1x2+x3+x4＝2+a+lna．∵g（a）＝2+a+lna在（1，e]上为单调增函数，∴g（a）∈（3，e+3]．故选：A．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．已知集合，则列举法表示集合A＝{0，1，3，9}，集合A 的真子集有15个．【解答】解：∵集合，∴列举法表示集合A＝{0，1，3，9}，集合A的真子集有24﹣1＝15个．故答案为：{0，1，3，9}，15．12．函数的定义域是[﹣1，7]，值域是[0，4]．【解答】解：7+6x﹣x2≥0，解得x∈[﹣1，7]，t＝﹣（x﹣3）2+16，t∈[0，16]，y＝∈[0，4]，故答案为：[﹣1，7]，[0，4]13．已知函数，则f（f（﹣2））＝；若f（a）＝2，则实数a＝﹣2或4．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）＝|﹣2|＝2，f（f（﹣2））＝f（2）＝；∵f（a）＝2，∴当a≤0时，f（a）＝|a|＝2，解得a＝﹣2；当a＞0时，f（a）＝＝2，解得a＝4．综上，实数a的值为﹣2或4．故答案为：，﹣2或4．14．已知集合A＝B＝{1，2，3}，设f：A→B为从集合A到集合B的函数，则这样的函数一共有27个，其中函数的值域一共有7种不同情况．【解答】解：因为函数的对应可以是“一对一”，也可以是“多对一”，所以：①当函数值为一个数时，函数共有3个，函数的值域有3种情况，②当函数值为两个数时，函数共有＝18个，函数的值域有3种情况，③当函数值为三个数时，函数共有A＝6个，函数的值域有1种情况，故这样的函数一共有3+18+6＝27个，函数的值域一共有7种情况，故答案为：27；7．15．若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为2＜a ≤4．【解答】解：根据题意函数是R上的单调减函数，2﹣a＜0，a≤4，且2﹣a+3a≥4，即a＞2，a≤4，a≥1，故2＜a≤4，故答案为：2＜a≤4．16．若|x|且x≠0时，不等式|ax2﹣x﹣a|≥2|x|恒成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：若|x|且x≠0时，不等式|ax2﹣x﹣a|≥2|x|，即为|ax﹣﹣1|≥2恒成立，可得a（x﹣）≥3或a（x﹣）≤﹣1，由|x|且x≠0可得y＝x﹣的值域为（﹣∞，﹣]∪[，+∞），由于a＝0不等式不成立，当a＞0，0＜x≤时，a∈∅或a（x﹣）≤﹣a，即﹣1≥﹣a，则a≥；当a＞0，﹣≤x＜0时，a（x﹣）≥a或a∈∅，即3≤a，则a≥2，综上可得a≥2；同理可得a＜0时，|ax﹣﹣1|≥2恒成立，可得a≤﹣2，故所求a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．17．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣1＞0}，B＝{x|x2﹣2tx﹣1≤0}，若A∩B＝{x1，x2}，求t的取值范围（﹣，﹣]∪[，）．．【解答】解：∵x2﹣1＞0，x∈Z，∴A＝{x|x＞1或x＜﹣1，x∈Z}，∵B＝{x|x2﹣2tx﹣1≤0}，设方程x2﹣2tx﹣1＝0的两根为m，n，不妨设m＜n，则m+n＝2t，mn＝﹣1；∴m，n一正一负，且互为负倒数；且B＝{x|m≤x≤n}∵A∩B＝{x1，x2}，令f（x）＝x2﹣2tx﹣1，则有2种情况：①，当A∩B＝{2，3}时，即﹣1＜m＜0，3≤n＜4，则，得，解得，≤t＜；②当A∩B＝{﹣2，﹣3}时，即﹣4＜m≤﹣3，0＜n＜1，则，得，解得，﹣＜t≤﹣；综上述：t的取值范围是（﹣，﹣]∪[，）．故答案为：（﹣，﹣]∪[，）．三、解答题：5小题，共74分18．计算求值：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝﹣1+﹣+＝﹣1+100﹣+24＝﹣1+100﹣+16＝115．（2）＝lg（×）+＝lg10+＝+1＝．19．已知集合A＝{x|2a≤x≤a2+1}，B＝{x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0}，其中a∈R．（1）若4∈A，3∉A，求实数a的取值范围；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为4∈A，所以2a≤4≤a2+1，解得a≤﹣或≤a≤2．又3∉A，所以2a＞3或a2+1＜3，故﹣＜a＜或a＞．∴若4∈A，3∉A，有≤a≤2；故a的取值范围是：[，2]．（2）B＝{x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0，当3a+1＝2，即a＝时，B＝{2}，不合题意．当3a+1＜2，即a＜时，B＝{x|3a+1≤x≤2}，所以，∴，解得a＝﹣1．当3a+1＞2，即a＞时，B＝{x|2≤x≤3a+1}，所以，∴，解得1≤a≤3．综上知，a＝﹣1或1≤a≤3．故实数a的取值范围是{a|a＝﹣1或1≤a≤3}．20．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，．（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[m﹣1，m]，不等式f（2﹣x）≤f（x+m）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设﹣1＜x≤0，则0≤﹣x＜1，∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+1＝﹣x2+1，∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝﹣x2+1，（﹣1＜x＜≤0），设x≤﹣1，则﹣x≥1，∴f（﹣x）＝2﹣2﹣x，∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝2﹣2﹣x，（x≤﹣1），∴当x＜0时，f（x）的解析式为；（2）易知函数f（x）为定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）为减函数，∴f（2﹣x）≤f（x+m）⇔f（|2﹣x|）≤f（|x+m|）⇔|2﹣x|≥|x+m|，∴（2m+4）x≤4﹣m2对任意x∈[m﹣1，m]恒成立，当2m+4≥0，即m≥﹣2时，只需（2m+4）m≤4﹣m2，解得，故此时；当2m+4＜0，即m＜﹣2时，只需（2m+4）（m﹣1）≤4﹣m2，解得，此时无解．综上，实数m的取值范围为．21．已知函数．（1）当a＝5，b＝﹣3时，求满足f（x）＝3x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）满足f（x）•[g（x）+3]＝3x﹣3﹣x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（1）当a＝5，b＝﹣3时，，令，则（3x）2﹣4•3x﹣5＝0，解得3x＝5或3x＝﹣1（舍），∴x＝log35；（2）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴，∴a＝﹣1，b＝1，∴，∴＝3x+3﹣x﹣1，∴不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10即为32x+3﹣2x﹣1≥m（3x+3﹣x﹣1）﹣10，亦即（3x+3﹣x）2﹣m（3x+3﹣x）+7﹣m≥0对任意x∈R且x≠0恒成立，令t＝3x+3﹣x＞2，则t2﹣mt+7﹣m≥0对任意t∈（2，+∞）都成立，亦即对任意t∈（2，+∞）都成立，令，则m≤h（t）min，又，由双勾函数可知，h（t）在（2，+∞）为增函数，∴，∴，∴m的最大值为．22．已知函数f（x）＝|x﹣2a+1|，g（x）＝|x﹣a|+1，x∈R．（1）若a＝2且x∈[2，3]，求函数φ（x）＝e f（x）+e g（x）的最小值；（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，求a的取值范围；（3）若x∈[1，6]，求函数h（x）＝max{e f（x），e g（x）}的最小值．【解答】解：（1）若a＝2，则φ（x）＝e|x﹣3|+e|x﹣2|+1，由于x∈[2，3]，即|x﹣3|＝3﹣x，|x﹣2|+1＝x﹣2+1＝x﹣1，∴φ（x）＝e3﹣x+e x﹣1＝+≥2＝2e，当且仅当＝时，即x＝2时φ（x）有最小值2e．（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，得|x﹣2a+1|≤|x﹣a|+1，对于任意x∈[a，+∞）恒成立，即|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤1，对于任意x∈[a，+∞）恒成立，因|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤|a﹣1|，故只需|a﹣1|≤1，解得0≤a≤2，故a的取值范围为[0，2]．（3）h（x）＝max{e f（x），e g（x）}＝e max{f（x），g（x）}＝e max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}，接下来讨论max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}在[1，6]上的最小值，情形一：2a﹣1≤a≤1，即a≤1时，x∈[1，6]，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝max{x﹣2a+1，x﹣a+1}，①当a≤0时，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝max{x﹣2a+1，x﹣a+1}＝x﹣2a+1≥2﹣2a，②当0＜a≤1时，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝max{x﹣2a+1，x﹣a+1}＝x﹣a+1≥2﹣a，情形二：1＜a＜2a﹣1＜6，即时，③当1＜a≤2时，（i）当1＜x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2≤0，（ii）当a＜x≤2a﹣1时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜3a﹣2﹣2a＜0，（iii）当2a﹣1＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝﹣a＜0，∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝|x﹣a|+1≥1，④当时，（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，（ii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，（iii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜0，（ⅳ）当2a﹣1＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝﹣a＜0，∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝，；情形三：当1＜a＜6≤2a﹣1，即时，⑤当时，（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，（ii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，（iii）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜0，∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝，；⑥当时，（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，（ii）当a＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝2a﹣1﹣x，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}min＝2a﹣7；情形四：当a≥6时，（i）当1≤x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，∴max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝2a﹣1﹣x，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}min＝2a﹣7；综上，max{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}min＝，∴．。
100所名校2019届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中考试数学试题解析版
2019 届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中考试数学试题数学注意事项：1 ．答题前，先将自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题号卡上的指定地点。
位2．选择题的作答：每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、座底稿纸和答题卡上的非答题地区均无效。
3．非选择题的作答：用署名笔挺接答在答题卡上对应的答题地区内。
写在试题卷、底稿纸和答题卡上的非答题地区均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
号一、单项选择题场1．设全集，会合，则会合考A ．B．C．D．2．某几何体的三视图如下图，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线相互垂直，则该几何体的体积是号证考准A ．B ．C．D．名3．记为等差数列的前项和 ,若, 则A ．B．C． D ．姓2x y3,x2y3,z x y 的最大值是4．4．知足线性拘束条件{的目标函数x0,y 0级班3A ． 1B ．C．2D． 325．已知函数，则函数的图象为A ．B ．C． D ．6．若、是两个订交平面，则在以下命题中，真命题的序号为①若直线，则在平面内必定不存在与直线平行的直线．②若直线，则在平面内必定存在无数条直线与直线垂直．③若直线，则在平面内不必定存在与直线垂直的直线．④若直线，则在平面内必定存在与直线垂直的直线．A ．①③B ．②③C．②④D．①④7．已知，那么A ．B．C．D．8．已知正项等比数列知足，若存在两项，使得为A ．B ．C．D．9．已知双曲线的左右焦点分别为，为双线上一点，均位于第一象限，且，，则双曲线的A ．B ．C． D ．10．如图，在三棱柱中，底面为边长为的正三角形，在的距离为，已知分别是线段与上的动点，记线段中点的轨迹测度，此题中若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、11 / 9A ．B ．C．D．二、填空题11．中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第 2 月开始，每个月比前一月多入同样量的铜钱， 3 月入 25 贯，整年（按12 个月计）共入510 贯“，则该人每个月比前一月多入 _________________ 贯，第 12 月营收贯数为_________________.12．的最小正周期为_________________，为了获得函数的图象，能够将函数的图象向左最小挪动_______个单位13．已知直线，此中，若，则=______，若，则=__________.14．已知，且，则的最小值 _________，此时的值为 ___________.15．已知两不共线的非零向量知足,,则向量与夹角的最大值是 __________.16．已知数列为等差数列，其前项和为，且，给出以下结论：①②最小③④，正确的有 _________________.17．设函数，若存在互不相等的个实数，使得，则的取值范围为__________.三、解答题18．已知函数（1）求函数图象对称中心的坐标；（2）假如的三边知足，且边所对的角为，求的取值范围．19．已知数列的前项和为，且，（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（ 2）能否存在实数，对随意，不等式恒成立？若存在，说明原因．20．如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面点是线段上凑近点的三平分点（ 1）求证：（ 2）若是边长为的等边三角形，求直线与平面所成角的正21．如图，为坐标原点，点为抛物线的焦点，且抛相切于点（1）当直线的方程为时，求抛物线的方程；（2）当正数变化时，记分别为的面积，求的最小值。
2019年浙江省宁波市普通高中自主招生数学试卷及答案解析
（2）已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；
（3）在（2）的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为．
11．（15分）如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∠OPA＝45°．
A．23B．24C．25D．26
【解答】解：由图知“亮”记为数字1，“不亮”记为数字0，
则1＝1×20，2＝1×21+0×20，3＝1×21+1×21，4＝1×22+0×21+0×20，5＝1×22+0×21+1×20，
∵●〇〇●●〇用数字表示为“011001”，
∴●〇〇●●〇表示的数为0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20＝25，
6．（5分）关于x的不等式组 有且只有四个整数解，则a的取值范围是．
7．（5分）如图，矩形ABCD中分割出①②③三个等腰直角三角形，若已知EF的值，则可确定其中两个三角形的周长之差，这两个三角形的序号是．
8．（5分）如图，△ABC中，MN∥BC交AB、AC于M、N，MN与△ABC内切圆相切，若△ABC周长为12，设BC＝x，MN＝y，则y与x的函数解析式为（不要求写自变量x的取值范围）．
D．不能确定x1、x2、x3的大小
【解答】解：∵a1＞a2＞a3＞0，
∴二次函数y1＝a1（x+1）（x﹣2），y2＝a2（x+1）（x﹣2），y3＝a3（x+1）（x﹣2）开口大小为：y1＜y2＜y3．
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x ∈Z |﹣7＜2x ﹣3＜4}，B ＝{﹣1，3，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{﹣1，3}C ．{3，5}D ．{﹣1，3，5}2．设a ＝30.5，b =(13)−0.4，c ＝log 0.30.4，则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞bC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c3．函数f(x)=2x 32x −2−x 的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．4．已知a ，b 为正实数，且满足1a+2b+1a+3=12，则a +b 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．52D ．25．已知函数f(x)=log 12(x 2+ax −2a)在[1，+∞）上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1）B ．[﹣2，+∞）C ．[﹣2，1）D ．（﹣∞，﹣2]6．已知x ，y ∈R ，则“x +|x ﹣1|＜y +|y ﹣1|”是“x ＜y ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数f(x)=x −√x 2−4x +3的值域为（ ） A ．（﹣∞，3]B ．[1，3]C ．（﹣∞，1]∪[3，+∞）D ．（﹣∞，1]∪（2，3]8．已知f （x ）＝﹣x 2+2|x |+1，若方程[f （x ）]2+mf （x ）+n ＝0（m ，n ∈R ）恰好有三个互不相等的实根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ＜﹣3B ．m ≤﹣2C ．m ＜﹣3或m ＞﹣2D ．m ＝﹣2或m ＜﹣3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
浙江镇海中学高一实验班选拔考试数学卷
浙江镇海中学高一实验班选拔考试数学卷注意：(1) 试卷共有三大题35小题，满分200分，考试时间150分钟.(2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.一、 选择题（本题有11小题，每小题3分，共33分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( ) (A) 直线y = –x 上 (B) 抛物线 y =2x 上 (C) 直线y = x 上 (D) 双曲线xy = 1上2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k 的值是 ( )(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20 3．若－1＜a ＜0，则aa a a 1,,,33一定是 ( ) (A) a 1最小，3a 最大 , (B) 3a 最小，a 最大 (C)a 1最小，a 最大 , (D) a1最小， 3a 最大 4．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ）(A) AE ⊥AF （B ）EF ：AF =2：1(C) AF 2= FH ·FE （D ）FB ：FC = HB ：EC5．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（ ） (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ） （A ）30 （B ）35 （C ）56 （D ） 4487、下列图中阴影部分面积与算式2131242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的结果相同的是【 】8、下列命题中正确的个数有…【 】① 实数不是有理数就是无理数；② a ＜a ＋a ；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内，非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 9、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。
浙江省宁波市镇海中学2019年高一下开学考数学试卷
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）开学数学试卷（2月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知函数()2,33,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则的值为（ ）A.1B.2C.3D.3-【答案】B【解析】解：函数()2,33,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，()12f ∴=，，()5532f =-=，. 故选：B.推导出()12f =，，()5532f =-=，由此能求出.本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 2.已知集合{}0lg 2lg 3P x x =<<，，则P Q 为（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】解：，；()1,2P Q ∴=.故选：D.可解出集合P ，Q ，然后进行交集的运算即可.考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，分式不等式的解法，以及交集的运算. 3.下列函数的周期不为π的是（ ）A.2sin y x =B.y =C.D.cos cos y x x =+【答案】D【解析】解：函数21cos 2sin 2x y x -==的最小正周期为22ππ=，满足条件；函数tan y x ==的最小正周期为π，满足条件；函数()2sin cos 1sin 2y x x x =-=-最小正周期为22ππ=，满足条件； 函数cos cos 2cos y x x x =+=的最小正周期为221ππ=，不满足条件， 故选：D.由题意根据三角函数的周期性，得出结论. 本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题.4.已知()4,3a =，()5,12b =-则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A.165-B.C.1613-D.【答案】C 【解析】解：()4,3a =，()5,12b =-，，则向量a 在b 方向上的投影为1613a b b⋅-=， 故选：C.由向量a 在b 方向上的投影为，根据向量数量积的性质的坐标表示代入可求. 本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础试题. 5.下列关系正确的是（ ） A. B.0cos8sin1tan 2<<< C. D.【答案】C【解析】解：1是第一象限，sin10∴>，2是第二象限，tan 20∴<，且，()cos8cos 82π=-，82π-是第二象限，，， 故选：C.根据三角函数的图象和函数值的关系，分别判断角2，1，8的象限即可. 本题主要考查三角函数值的大小比较，利用条件判断角的象限是解决本题的关键.6.若非零向量a ，b 满足a b b +=，则（ ） A.22a a b >+ B.22a a b <+C.22b a b >+D.22b a b <+【答案】C 【解析】解：， ，b 是非零向量， 必有，上式中等号不成立.22b a b ∴>+，故选：C.本题是对向量意义的考查，根据进行选择，题目中注意2a b a b b +=++的变化，和题目所给的条件的应用.大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化. 7.在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cos C =（ ） A.1665-B.5665- C.1665±D.5665±【答案】A 【解析】解：B 为三角形的内角，3cos 05B =>，B ∴为锐角，4sin 5B ∴=，又5sin 13A =， sin sinB A ∴>，可得A 为锐角，， 则. 故选：A.由B 为三角形的内角，以及cos B 的值大于0，可得出B 为锐角，由cos B 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，由的值大于sin A 的值，利用正弦定理得到b 大于a ，根据大角对大边可得B 大于A ，由B 为锐角可得出A 为锐角，再sin A ，利用同角三角函数间的基本关系求出cos A 的值，最后利用诱导公式得到()cos cos C A B =-+，再利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值.此题考查了两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.8.向量a ，b 满足2a b a b ==⋅=，当实数1t ≥时，向量a 和的夹角范围是（ ） A. B.C.D.【答案】B 【解析】解：由2a b a b ==⋅=， 得a ，b 的夹角为3π， 不妨设，OB b =，()1OC tb t =≥， 不妨设()1OC tb t =≥， 则点C 在OB 的延长线上运动， 向量a 和的夹角可用OAC ∠表示，由图知：2,33OAC ππ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭， 故选：B.由共线向量得：不妨设()1OC tb t =≥，则点C 在OB 的延长线上运动，由数量积表示两向量的夹角得：向量a 和的夹角可用OAC ∠表示，由图知：2,33OAC ππ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭，得解 本题考查了共线向量、数量积表示两向量的夹角，属中档题 9.已知函数对任意x R ∈都满足，则函数的最大值为（ ）A.5B.3【答案】C【解析】解：函数对任意x R ∈都满足，()f x ∴的图象关于直线4x π=对称，，解得1a =.= 故选：C.由题意可得4f π⎛⎫⎪⎝⎭=1a =，可得函数，从而得到()g x 的最大值. 本题考查三角函数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用. 10.定义在R 上的奇函数()f x 满足，当()0,2x ∈时，，且2x ≥时，有()()122f x f x =-，则函数在上的零点个数为（ ） A.9 B.8C.7D.6【答案】B【解析】解：当()0,2x ∈时，，()f x 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有()()122f x f x =-， ()()12002f f ∴==，()()14202f f ==，若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则， 即，()2,0x ∈- 即当时，，当24x ≤≤时，，此时， 当时，，此时， 由，得：当0x =时，由()00F =，即0x =是()F x 的一个零点， 当0x ≠时，由()20x f x x -=得()1xf x =，即()1f x x=， 作出函数()f x 与()1g x x=在，上的图象如图： 由图象知两个函数在上共有7个交点，加上一个0x =， 故函数在上的零点个数为8个， 故选：B.根据函数奇偶性和递推关系，分别取出()f x 在上解析式和图象，利用数形结合确定两个图象的交点个数即可.本题主要考查函数与方程的应用，利用函数奇偶性和递推关系求出函数的解析式和图象，利用函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题是解决本题的关键.综合性较强，运算量较大，有一定的难度. 二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）11.函数sin y x x =的图象可由函数cos y x x =的图象至少向左平移________个单位长度得到. 【答案】【解析】解：函数，，故把函数cos y x x =的图象至少向左平移个单位，可得sin y x x =的图象， 故答案为：.利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再根据函数的图象变换规律，得出结论. 本题主要考查两角和差的三角公式，函数的图象变换规律，属于基础题.12.函数()12f x ⎛= ⎪⎝⎭的单调递减区间为________.【答案】【解析】解：函数()12f x ⎛= ⎪⎝⎭，210x x ∴--≥，求得12x ≤12x ≥， 故函数的定义域为，本题即求21t x x =--在定义域内的增区间， 再根据二次函数的性质可得21t x x =--在定义域内的增区间为， 故答案为：.先求出函数的定义域，再利用二次函数、指数函数的性质可得，本题即求21t x x =--在定义域内的增区间，再根据二次函数的性质可得结论.本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、指数函数的性质，属于中档题.13.已知()0,απ∈，sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，则的值为________. 【答案】 【解析】解：sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，7sin cos 13αα∴+=-，两边平方得：1202sin cos 169αα=-， ()0,απ∈，sin 0α∴>，cos 0α<，则.联立，解得5sin 13α=，12cos 13α=-. 5tan 12α∴=-. 则.故答案为：.由已知结合根与系数的关系求得sin cos αα+，进一步求得sin cos αα-，联立求得sin α，cos α的值，得到tan α的值，则的值可求.本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题. 14.已知2a b +=，4a b -=，则a b +的范围是________. 【答案】【解析】解：设a m =，b n =，,a b θ=.2a b +=，4a b -=， 2222cos 4m m n mn θ∴++=， 222cos 16m n mn θ+-=， 2210m n ∴+=，则， 的范围是. 故答案为：.设a m =，b n =，,a b θ=.根据2a b +=，4a b -=，可得2222cos 4m m n mn θ++=，222cos 16m n mn θ+-=，利用向量三角形法则、基本不等式的性质即可得出.本题考查了向量三角形法则、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.15.在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，，则sin ADC ∠=________，AC =________.【答案】 【解析】解：1AB =，5AD =，，在ABD ∆中，由正弦定理可得：1sin 2sin 510AB ABCADB AD⋅∠∠===. sin sin ADC ADB ∴∠=∠=. 在ABD ∆中，由余弦定理2222cos AD AB BD AB AD ABC =+-⋅⋅∠，可得：225121BD BD =+-⨯⨯2240BD -=，解得：BD =-2BC BD ∴==由余弦定理可得： ，由已知在ABD 中，利用正弦定理可得，进而可求sin ADC ∠的值，在ABD 中，由余弦定理解得BD ，可求BC ，由余弦定理可得AC 的值.本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题.16.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有，且()11f =，则不等式的解集为________. 【答案】【解析】解：根据题意，设， 若函数()f x 满足对任意12x x <，有， 则，则函数()g x 在R 上为增函数， 又由()11f =，则， ，则有0312x<-<，解可得：1x <且0x ≠，即不等式的解集为； 故答案为：.根据题意，设，将变形可得，分析可得函数()g x 在R 上为增函数，结合()1f 的值可得()1g 的值，则可以转化为()()2log 311xg g -<，进而可得2log 311312x x -<⇒-<，解可得x 的值，即可得答案.本题考查函数单调性的判断，关键是构造新函数，并分析函数的单调性，属于综合题. 17.在ABC ∆中，4AB =，5AC =，3BAC π∠=，H 为ABC ∆内一点，，则________.【答案】【解析】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则，，()5cos60,5sin60C ︒︒，即52C ⎛ ⎝⎭； 又，110HAB ABC S S ∆∆∴=，作HE AB ⊥于E ， 则H的纵坐标11024y HE ==⨯=； 又12HAC ABC S S ∆∆=，作HF AC ⊥于F ，则1sin602HF AB =⨯⨯︒=设，则sin HA α=，…① ()sin 60HA α︒-=，…②，即1sin 224sin ααα-=，求得sin tan cos ααα==点H的横坐标9tan 4HE x AE α====，9,44H ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，9,4HA ⎛∴=- ⎝⎭，14HC ⎛= ⎝⎭，91944HA HC ⎛∴⋅=-⨯+=- ⎝⎭. 故答案为：根据题意建立平面直角坐标系，利用数形结合与面积的比求出点H 的坐标， 再用坐标表示出向量，从而求出平面向量的数量积.本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是难题. 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin β=（Ⅰ）求； （Ⅱ）求2αβ+.【答案】解：（Ⅰ）α，β为锐角，且1sin tan7cos ααα==，22sin cos 1αα+=，sin 10α∴==，cos10α==.sin β=cos β∴==，求()sin sin cos cos sin 101010105αβαβαβ+=+=⋅+=. （Ⅱ）3sin 22sin cos 5βββ∴==，24cos 22cos 15ββ=-=，2β∴还是锐角，02αβπ∴<+<.()43cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ∴+=-=-=， 24παβ∴+=.【解析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数的基本关系求得α的正弦、余弦，再求出β的余弦，利用两角和的正弦公式求出的值.（Ⅱ）先求出2αβ+的余弦值，再根据2αβ+的范围，求出2αβ+的值.本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的三角公式，二倍角公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题.19.已知，()2,2b =-，，. （Ⅰ）若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且()//a b c +，求x 的值； （Ⅱ）是否存在实数k 和x ，使？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】解：()2,2b =-，，()sin 1,1b c x ∴+=--，()//a b c +，()2sin sin 1x x ∴-+=-，2sin 1x ∴=-，1sin 2x =-， ， 6x π∴=-.（Ⅱ）()3sin ,1a d x k +=++，()sin 1,1b c x +=--若，则即，，[]sin 10,2x +∈，()2sin 15x +-，x R ∈，，[]5,1k ∈--， 存在[]5,1k ∈--使.【解析】（Ⅰ）先根据()2,2b =-，，求出的坐标，再根据()//a b c +，找到向量坐标满足的关系式，根据x 的范围，就可求出x 的值.（Ⅱ）先假设存在实数k 和x ，使，则可得，再用向量数量级积的坐标公式计算，若能解出k 的值，则存在，否则，不存在.本题考查了向量共线以及向量平行的充要条件，两者不要混淆.20.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知.（1）求角A 的值；（2）若2a =，求三角形周长的取值范围.【答案】（本题满分为12分）解：（1），由余弦定理可得：，由正弦定理可得：，整理可得：，02sin cos sin B A B ∴=+，sin 0B >， 可得：1cos 2A =-， ()0,A π∈，23A π∴= 6分 2a =，23A π=， ，3c C ∴=，3b B =， 7分 设周长为y ，则y a c b =++2sin 33B C =++22cos B B =+， 8分 ， 9分 03B π<<，，，223y B π⎛⎤⎛⎫∴=++∈+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 周长的取值范围是. 12分【解析】（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求cos A ，结合A 的范围可求A 的值.（2）由正弦定理可求3c C =，3b B =，设周长为y ，利用三角函数恒等变换的应用化简得，可求范围2333B πππ<+<，利用正弦函数的性质可求取值范围.本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题.21.已知定义在上的偶函数()f x 满足：当[]0,2x ∈时，()f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数，若对于任意的1x ，[]22,2x ∈-，都有成立，求实数a 的取值范围.【答案】解：（1）根据题意，设[]2,0x ∈-，则[]0,2x -∈，从而()f x x -=+因为()f x 定义[]2,2x ∈-在偶函数，所以()()f x f x x =-=+因此，()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩ （2）因为对任意1x ，[]22,2x ∈-，都有成立，所以()()max min g x f x <又因为()f x 是定义在上的偶函数.所以()f x 在区间和区间上的值域相同.当[]2,0x ∈-时，()f x x =+设t =，则函数化为223y t t =+-，，则()min 0f x =又所以20a -<即2a <，因此，a 的取值范围为02a <<.【解析】（1）根据题意，设[]2,0x ∈-，则[]0,2x -∈，由函数的解析式可得()f x -的解析式，进而利用函数奇偶性的性质分析可得()f x 的表达式，综合即可得答案；（2）根据题意，求出函数()f x 的最小值与()g x 的最大值，分析可得()()min max f x g x >，解即可得答案. 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，注意将恒成立问题转化为函数的最值问题.22.已知向量，，且函数()f x a b =⋅的两个对称中心之间的最小距离为2π.（1）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（）2若函数()12x G x m ⎛⎫=+-⎪⎝⎭在上恰有两个零点，求实数m 的取值范围. 【答案】解：， 函数()f x a b =⋅的两个对称中心之间的最小距离为2π， 22T π∴=，得T π=， 即22T ππω==，得1ω=， 即.则，（2）函数，得162m x π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭， 当时，， 当且62x ππ-≠时，sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭才有两个交点， 此时，则，，即0622x π⎛⎫≤--< ⎪⎝⎭，111622x π⎛⎫-≤---<- ⎪⎝⎭，即11m -≤<-， 即实数m 的取值范围是.【解析】（1）根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性质求出的周期和ω即可.（2）求出函数()G x 的解析式，利用参数法，结合三角函数的图象和性质进行求解即可.本题主要考查三角函数的图象和性质，利用向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简是解决本题的关键.运算量较大.。
2025届浙江省宁波市镇海中学高三3月份模拟考试数学试题含解析
2025届浙江省宁波市镇海中学高三3月份模拟考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22-D ．12e -2．设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．15164．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x 成立 5．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ） A ．55B ．35C ．79D ．2356．i 是虚数单位，21iz i=-则||z =（ ） A ．1B ．2C ．2D ．227．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫⎪⎝⎭，上最大值是1 8．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（ ） A ．2()1x f x x =+ B ．727)2(f x x x =++-，[]1,2x ∈-C ．si 8)n (f x x =D ．2()x xe ef x x -+=9．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．16010．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．23D ．12-11．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．6898B ．6896C ．5268D ．526612．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷
2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷一．选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．（5分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y＝﹣x上B．抛物线y＝x2上C．直线y＝x上D．双曲线xy＝1上2．（5分）以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（）A．35B．30C．25D．203．（5分）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大4．（5分）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF 交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF＝：1C．AF2＝FH•FE D．FB：FC＝HB：EC5．（5分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF 的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22B．24C．36D．446．（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30B．35C．56D．448二．填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）7．（5分）已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sin A cos A+cos2A＝0，则tan A＝．8．（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．9．（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是．10．（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于cm．11．（5分）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是．12．（5分）设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆∁k的半径为（k为正整数，用a表示，不必证明）三．解答题（本题有4个小题，共60分）13．（14分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD＝AE；（2）若OC＝AB＝4，求△BCE的面积．14．（14分）已知抛物线y＝x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．16．（16分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB＝3，AD＝2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y＝x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y＝ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y＝x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．2017年浙江省宁波市镇海中学实验班自主招生数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．（5分）在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y＝﹣x上B．抛物线y＝x2上C．直线y＝x上D．双曲线xy＝1上【分析】根据相反数的概念及各函数图象上点的坐标特点解答即可．【解答】解：A、y＝﹣x即表示x与y互为相反数，故本选项正确；B、例如（﹣1，1），就符合抛物线的解析式y＝x2，故本选项正确；C、当该点坐标为（0，0）时，该点就在直线y＝x上，故本选项正确；D、因为xy＝1，所以x和y同号，该点不在双曲线xy＝1上，故本选项错误．故选：D．【点评】本题考查一定经过某点的函数应适合这个点的横纵坐标．根据函数不同特点，都对符号作出判断即可．2．（5分）以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（）A．35B．30C．25D．20【分析】设距离为S，原来速度为v．分别表示现在速度、时间、原来的时间，根据“时间可节省k%”列方程求解．【解答】解：设距离为S，原来速度为v．则原来行车时间为；现在速度为（1+25%）v，时间为．根据题意得＝k%．解得k＝20．故选：D．【点评】此题考查列分式方程解应用题，难度在设参数，解字母系数的方程．3．（5分）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大【分析】在所给范围内选择一个具体的数，代入后比较即可．【解答】解：∵若﹣1＜a＜0，∴a可取﹣0.001，那么a3＝﹣0.000 000 001，＝﹣0.1，＝﹣1000，∴最小，a3最大，故选：A．【点评】考查实数的大小比较；选择一个合适的具体的数，代入所给代数式比较，可以简化比较的步骤．4．（5分）如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF 交AB于H，则下列结论错误的是（）A．AE⊥AF B．EF：AF＝：1C．AF2＝FH•FE D．FB：FC＝HB：EC【分析】由旋转得到△AFB≌△AED，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得．【解答】解：由题意知，△AFB≌△AED∴AF＝AE，∠F AB＝∠EAD，∠F AB+∠BAE＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°．∴AE⊥AF，所以A正确；∴△AEF是等腰直角三角形，有EF：AF＝：1，所以B正确；∵HB∥EC，∴△FBH∽△FCE，∴FB：FC＝HB：EC，所以D正确．∵△AEF与△AHF不相似，∴AF2＝FH•FE不正确．故选：C．【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．5．（5分）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF 的面积为10，△BCF的面积为20，△CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A．22B．24C．36D．44【分析】可设S△ADF＝m，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系，进而用m表示出△AEF，求出m的值，进而可得四边形的面积．【解答】解：如图，连AF，设S△ADF＝m，∵S△BDF：S△BCF＝10：20＝1：2＝DF：CF，则有2m＝S△AEF+S△EFC，S△AEF＝2m﹣16，而S△BFC：S△EFC＝20：16＝5：4＝BF：EF，又∵S△ABF：S△AEF＝BF：EF＝5：4，而S△ABF＝m+S△BDF＝m+10，∴S△ABF：S△AEF＝BF：EF＝5：4＝（m+10）：（2m﹣16），解得m＝20．S△AEF＝2×20﹣16＝24，S ADEF＝S△AEF+S△ADF＝24+20＝44．故选：D．【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算．6．（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A．30B．35C．56D．448【分析】此题可运用排列组合解答，15人，每2人一班，轮流值班，则有C152＝105种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以3＝每天3个班再用105除以3＝35天．【解答】解：由已知护士15人，每2人一班，轮流值班，得：有C152＝105种组合，又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，所以最长需要的天数是105÷（24÷8）＝35（天）．故选：B．【点评】此题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出15人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．二．填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）7．（5分）已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sin A cos A+cos2A＝0，则tan A＝0.5．【分析】先根据解一元二次方程的配方法，得出2sin A﹣cos A＝0，再根据tan A的定义即可求出其值．【解答】解：由题意得：（2sin A﹣cos A）2＝0，解得：2sin A﹣cos A＝0，2sin A＝cos A，∴tan A＝＝＝0.5．故答案为：0.5．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及利用配方法解一元二次方程的知识，比较简单，注意锐角三角函数定义的掌握．8．（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流．则经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．【分析】根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，在Rt△OBC、Rt△OCA和Rt△ABO中分别应用勾股定理，即可求出x的值．【解答】解：如下图所示，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，则BC＝3x，AC＝12x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得：122+（3x）2＝OB2；在Rt△OCA中，根据勾股定理得：122+（12x）2＝AO2；在Rt△ABO中，根据勾股定理得：OB2+AO2＝AB2＝（15x）2；∴122+（3x）2+122+（12x）2＝（15x）2，解得：x＝2或﹣2（舍去）．即经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形．故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理的实际应用，难度适中，先根据题意画出图形是解题关键．9．（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是y＝﹣x2﹣x+．【分析】根据矩形的性质，利用矩形边长得出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可．【解答】解：∵沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，∴A点的坐标为：（﹣4，2），B点的坐标为：（﹣2，6），C点的坐标为：（2，4），将A，B，C代入y＝ax2+bx+c，，解得：，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2﹣x+．故答案为：y＝﹣x2﹣x+．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据矩形边长得出A，B，C三点坐标是解决问题的关键．10．（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起．已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于20cm．【分析】首先根据题意作图，可得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC＝20cm，BD＝5cm，然后过点B作BE⊥AC，又由切线的性质，即可得四边形ECDB 是矩形，则在Rt△AEB中，即可求得BE的长，即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离CD的长．【解答】解：如图，根据题意得：⊙A与⊙B外切，⊙A，⊙B与CD分别相切于C，D，AC＝20cm，BD＝5cm，∴AB＝25cm，AC⊥CD，BD⊥CD，∴∠ACD＝∠BDC＝90°，过点B作BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴四边形ECDB是矩形，∴BE＝CD，EC＝BD＝5cm，∴AE＝AC﹣EC＝15cm，在Rt△AEB中，BE＝＝＝20（cm），∴CD＝20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了外切两圆的性质，切线的性质，以及矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．11．（5分）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是（﹣，﹣2）．【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边长为4，物质B是物质A的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：正方形的边长为4，因为物质B是物质A的速度的2倍，时间相同，物质A 与物质B的路程比为1：2，由题意知：①第一次相遇物质A与物质B行的路程和为16×1，物质A行的路程为16×＝，物质B行的路程为16×＝，在BC边相遇；②第二次相遇物质A与物质B行的路程和为16×2，物质A行的路程为16×2×＝，物质B行的路程为16×2×＝，在DE边相遇；③第三次相遇物质A与物质B行的路程和为16×3，物质A行的路程为16×3×＝16，物质B行的路程为16×3×＝32，在A点相遇；④第四次相遇物质A与物质B行的路程和为16×4，物质A行的路程为16×4×＝，物质B行的路程为16×4×＝，在BC边相遇；⑤第五次相遇物质A与物质B行的路程和为16×5，物质A行的路程为16×5×＝，物质B行的路程为16×5×＝，在DE边相遇；…综上可得相遇三次一个循环，因为11＝3×3+2，即第11次相遇和第二次相遇的地点相同，所以它们第11次相遇在边DE上，点的坐标是（﹣，﹣2）．故答案为：（﹣，﹣2）．【点评】此题属于应用类问题，主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题，难度较大．12．（5分）设C1，C2，C3，…为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，…，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆∁k的半径为（﹣1 ）k﹣1 a（k为正整数，用a表示，不必证明）【分析】（1）连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，得到AC＝2a﹣2r，根据正方形的性质和勾股定理得到AC＝2r，推出方程2a﹣2r＝2r，求出即可；（2）求出r＝（﹣1）a，r3＝（﹣1）r＝a，r4＝，得出圆∁k 的半径为r k＝（﹣1 ）k﹣1 a即可．【解答】（1）解：连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，∴AC＝2a﹣2r，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，由勾股定理得：AC＝2r，∴2a﹣2r＝2r，解得：r＝（﹣1）a，故答案为：（﹣1）a．（2）解：由（1）得：r＝（﹣1）a，同理圆C3的半径是r3＝（﹣1）r＝a，C4的半径是r4＝，…圆∁k的半径为r k＝（﹣1 ）k﹣1 a，故答案为：r k＝（﹣1 ）k﹣1 a．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，勾股定理，相切两圆的性质等知识点的理解和掌握，能根据计算结果得出规律是解此题的关键．三．解答题（本题有4个小题，共60分）13．（14分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OC∥AB．（1）求证：AD＝AE；（2）若OC＝AB＝4，求△BCE的面积．【分析】（1）根据O为AD中点，OC∥AE，得到2OC＝AE，再根据AD是圆O的直径，得到2OC＝AD，从而得到AD＝AE；（2）根据平行四边形的性质得到BC∥AD，再根据C为中点，得到AB＝BE＝4，从而求得BC＝BE＝4，然后连接BD，得到∠DBE＝90°，进而得到BE＝BC＝CE＝4，然后求面积即可．【解答】解：（1）∵O为AD中点，OC∥AE，∴2OC＝AE，又∵AD是圆O的直径，∴2OC＝AD，∴AD＝AE．（2）连接BC，由条件得ABCO是平行四边形，∴BC∥AD，又AE＝2OC，∴AB＝BE＝4，∵AD＝AE，∴BC＝BE＝4，连接BD，∵点B在圆O上，∴∠DBE＝90°，∴DB⊥AE，∵AB＝BE，∴DA＝DE＝AE，∴△AED是等边三角形，∴BC＝OA＝BE＝CE＝4，∴△BCE是等边三角形，∴所求面积为4．【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质及判定，解题的关键正确的应用圆周角定理．14．（14分）已知抛物线y＝x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．【分析】（1）先判断出△的符号即可得出结论；（2）设A（x1，0），B（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b＝﹣（p﹣1）2﹣1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．【解答】解：（1）∵△＝4p2﹣8p+8＝4（p﹣1）2+4＞0，∴抛物线与x轴必有两个不同交点．（2）设A（x1，0），B（x2，0），则|AB|2＝|x2﹣x1|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4p2﹣8p+8＝4（p﹣1）2+4，∴|AB|＝2．又设顶点M（a，b），由y＝（x+p）2﹣（p﹣1）2﹣1．得b＝﹣（p﹣1）2﹣1．当p＝1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM＝|AB||b|取最小值1．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．15．（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．【分析】（1）首先假设A队胜x场，平y场，负z场，得出x+y+z＝12，3x+y＝19，即可得出y，z与x的关系，再利用x≥0，y≥0，z≥0，得出即可；（2）根据图表奖金与出场费得出W＝（1500+500）x+（700+500）y+500z，进而得出即可．【解答】解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得：依题意，知x≥0，y≥0，z≥0，且x、y、z均为整数，∴解得：≤x≤，∴x可取4、5、6∴A队胜、平、负的场数有三种情况：当x＝4时，y＝7，z＝1；当x＝5时，y＝4，z＝3；当x＝6时，y＝1，z＝5．（2）∵W＝（1500+500）x+（700+500）y+500z＝﹣600x+19300当x＝4时，W最大，W最大值＝﹣600×4+19300＝16900（元）答：W的最大值为16900元．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用等知识，利用已知得出x+y+z＝12，3x+y＝19，进而得出y，z与x的关系是解题关键．16．（16分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB＝3，AD＝2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y＝x﹣1经过这两个顶点中的一个．（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y＝ax2+bx+c的顶点是P点．①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y＝x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由．【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，由矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；然后若C点过y＝x﹣1与C 点不过y＝x﹣1分析，即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）⊙M以AB为直径，即可求得M点的坐标，又由y＝ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，利用待定系数法即可求得二次函数的图象，然后顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，即可求得a的取值范围；②首先设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF＝n，n＞0；由AD、BC、CF均为⊙M切线，求得CF与DF的长；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐标，然后由当PF∥AB时，求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标，则可得Q在直线y＝x﹣1下方．【解答】解：（1）如图，建立平面直角坐标系，∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，设A（m，0）（m＞0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；若C点过y＝x﹣1；则2＝（m+3）﹣1，m＝﹣1与m＞0不合；∴C点不过y＝x﹣1；若点D过y＝x﹣1，则2＝m﹣1，m＝2，∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M（，0），由于y＝ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，∴，∴，∴y＝ax2﹣7ax+10a（也可得：y＝a（x﹣2）（x﹣5）＝a（x2﹣7x+10）＝ax2﹣7ax+10a）∴y＝a（x﹣）2﹣a；∴抛物线顶点P（，﹣a）∵顶点同时在⊙M外侧和在矩形ABCD内部，∴＜﹣a＜2，∴﹣＜a＜﹣．②设切线CF与⊙M相切于N，交AD于F，设AF＝n，n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴AF＝NF，CN＝BC＝2，∴CF＝n+2，DF＝2﹣n；在Rt△DCF中，∵DF2+DC2＝CF2；∴32+（2﹣n）2＝（n+2）2，∴n＝，∴F（2，）∴当PF∥AB时，P点纵坐标为；∴﹣a＝，∴a＝﹣；∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x﹣5，抛物线与y轴的交点为Q（0，﹣5），又直线y＝x﹣1与y轴交点（0，﹣1）；∴Q在直线y＝x﹣1下方．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．。
2019年浙江省宁波市镇海区中考数学一模试卷及解析.docx
2019年浙江省宁波市镇海区中考数学一模试卷一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.（4分）2019的相反数是（）A.—B. - 2019C. -—D. 20192019 20192.（4分）中国企业2018年已经在“一带一路”沿线国家建立了56个经贸合作区，直接为东道国增加了20万个就业岗位，将20万用科学记数法表示应为（）A.0.2X106B. 2X105C. 20X104D. 20X1053.（4分）在以下四个环保标志中，是轴对称图形的是（）A.® B幼© e4.（4分）下列运算中，正确的是（）A. （-^）=-3B. Q3.Q6= Q18C. 6。
6：3。
2=2。
3D. （- lab1）2=2a2b45.（4分）如图所示的物体的左视图（从左面看得到的视图）是（）6.（4分）在一个不透明的口袋里有3个红球，2个黄球，4个蓝球，这些球除颜色外全部相同，搅匀后随机从中摸出一个球，不是红球的概率是（）A. AB. ?C. AD. 29 9 3 37.（4分）如图，直线a〃力，将含有45°的三角板ABC的直角顶点。
放在直线万上，若/1=27°,则Z2的度数是（）AB. 15°C. 18°D. 20°A. 10°8.（4分）如图，AB是O。
的直径，点D为上一点，且ZABD=30° , BO=4,则劣弧布的长为（C. 2TTD. |n9.（4分）如图，直线y=kx+3经过点（2, 0）,则关于尤的不等式奴+3>0的解集是（A. x>2B. x<2C. x^2D. xW210.（4分）若二次函数y^ax2 - 2ax+c（a^O）的图象经过点（-1, 0）,则方程o?"破+c=0的解为（）A. xi= - 3, X2= - 1B. xi= - 1, X2=3C. xi = l, 12=3D. xi= - 3, X2=l11.（4 分）如图，四边形ABCD中，ACLL8C, AD//BC, BC=3, AC=4f AD=6. M 是BQ的中点，则CM的长为（）2 212.（4分）把六张大小形状完全相同的小平行四边形卡片（如图）放在一个底面为平行四边形的盒子底部，两种放置方法如图2、图3所示，其中3中的重叠部分是平行四边形EFGH,若EH=2GH,且图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3.则A3 -AD的值为（B. 1C. 1.5D. 3二. 填空题（每小题4分，共24分）13.（4 分）分解因式：2/-8沥+8/?2=.14.（4分）方程的解是.x x+615.（4分）若一组数据4, 1, 7, x, 5的平均数为4,则这组数据的中位数为16.（4分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部。
2019年镇海中学数学高考模拟卷
2019年浙江省数学高考试题数学（镇海中学模拟卷及答案）考生须知：（与答题卷上的要求一致）1．全卷分试卷和答题卷，考试结束后，将答题卷上交。
2．试卷共4页，有3大题，22小题。
满分150分，考试时间120分钟。
3．答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
4.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。
作图时先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题有10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}0A x x =>，{}(2)(1)0B x x x =-+<，则A B =A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(1,2)-D ．(1,)-+∞2. ()61x +展开式中含4x 项的系数是 A ．36CB ．46C C ．56C D ．66C3. 若,x y 满足约束条件0,3,2,x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩3z x y =+的最大值是A ． 6B ．7C ．8D ．9 4. 已知等比数列{}n a 满足1322a a a +=-，则公比q = A ．1- B ． 1 C ． 2- D ． 2 5. 已知a 为实数，“1a >”是“23a a <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6. 已知随机变量ξ的分布列如右所示若2E ξ=，则D ξ的值可能是A ．43 B.32C. 2D.23（第8题图）7. 已知,a b 是正实数，若22a b +≥，则A ．12ab ≥ B.22142b a +≥ C. 1122a b+≥ D.221a b +≥ 8. 如图，11122233,,OA B A A B A A B ∆∆∆是边长相 等的等边三角形，且123,,,O A A A 四点共线. 若点123,,P P P 分别是边112233,,AB A B A B 上的动点，记113I OB OP =⋅，222I OB OP =⋅，331I OB OP =⋅，则 A ．321I I I >> B.132I I I >> C.312I I I >> D.213I I I >> 9. 已知函数21()(0)f x ax bx a x=+->有两个不同的零点12,x x ，则 A ． 12120,0x x x x +<< B ． 12120,0x x x x +>>C ． 12120,0x x x x +<>D ． 12120,0x x x x +><10. 已知三棱柱ABC A B C '''-，AA '⊥平面ABC ，P 是A B C '''∆内一点，点,E F 在直线BC 上运动，若直线PA 和AE 所成角的最小值与直线PF 和平面ABC 所成角的最大值相等，则满足条件的点P 的轨迹是 A ．直线的一部分 B ．圆的一部分 C ．抛物线的一部分 D ．椭圆的一部分非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2019届浙江镇海中学高三5月模拟数学(理)试卷【含答案及解析】
2019届浙江镇海中学高三5月模拟数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，，则（）A ．_____________________________________B ．C ．___________________________________D ．2. 下列说法正确的是（）A ．“若，则”的否命题是“若，则”B ．为等比数列，则“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件C ．，使成立D ．“若，则”是真命题3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真的是（）A ．若，且，则B ．若，且，则C ．若，且，则D ．若，且，则4. 已知，，且，，，则（）A ．______________________________B ．C ．或___________D ．以上都不对5. 过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为（）A ．B ．C ．D ．6. 在数列中，若存在非零整数，使得对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期，若数列满足，如（），当数列的周期最小时，该数列的前2016项的和是（）A ． 672______________________________________B ． 673C ． 1342_____________________________________D ． 13447. 在椭圆上有一点，椭圆内一点在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（）A ．________________________B ．C ．_________________________________D ．8. 已知函数的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则的取值范围是（）A ．____________________B ．C ．___________________________________D ．二、填空题9. 函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后得到，得到的函数图象对称轴为____________________ ，函数解析式为______________ ．10. 已知点关于直线的对称点为，则圆关于直线对称的圆的方程为____________________ ；圆与圆的公共弦的长度为______________ ．11. 已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的表面积是____________________ ；体积是____________________ ．12. 已知函数，则____________________ ，若有三个零点，则的取值范围是________________________ ．13. 设是函数的图象上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是____________________ ．14. 已知方程组，对此方程组的每一组正实数解，其中，都存在正实数，且满足，则的最大值是____________________ ．15. 如图，在平面四边形中，已知分别是棱的中点，若，设，则的最大值是____________________ ．三、解答题16. 在中，边的对角分别为，且成等差数列．（ 1 ）求的取值范围；（ 2 ）若边上的中线长为，求角的值．17. 如图，为正三角形，且，，将沿翻折．（ 1 ）若点的射影在上，求的长；（ 2 ）若点的射影在内，且与面所成的角的正弦值为，求的长．18. 已知函数．（ 1 ）若关于的方程在区间上有两个不同的解．（ⅰ ）求的取值范围；（ⅱ ）若，求的取值范围；（ 2 ）设函数在区间上的最大值和最小值分别为，求的表达式．19. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两个动点，且，过两点分别作抛物线的切线，设其交点为．（ 1 ）证明：为定值；（ 2 ）设的面积为，求的最小值．20. 已知数列满足，都有．（ 1 ）求证：；（ 2 ）求证：当时，．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
2019 年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(5 月份)
2019年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题：本大题共10小题，共40分1．（4分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈Z}，集合B＝{y|y＝2x，x∈Z}，则集合A∩B 等于（）A．{1，2}B．（1，2）C．{（1，2）}D．∅2．（4分）若f（x）sin x是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（）A．sin x B．cos x C．sin2x D．cos2x3．（4分）满足线性约束条件，的目标函数z＝x+y的最大值是（）A．1B．C．2D．34．（4分）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．4D．5．（4分）某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ＝∠AOP，练车时间为t，则函数θ＝f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．6．（4分）将函数的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则下列关于函数y＝g（x）的说法错误的是（）A．最小正周期为πB．初相为C．图象关于直线对称D．图象关于点对称7．（4分）已知，，则的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣18．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0．b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A、B分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O对称的两点，且直线AB的斜率为2．M、N 分别为AF2、BF2的中点，若原点O在以线段MN为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（4分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x+2a，若函数y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，1]C．D．[1，+∞）10．（4分）已知等差数列{a n}满足，|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣1|+|a2﹣1|+…+|a n﹣1|＝98，则n的最大值为（）A．14B．13C．12D．11二、填空题：本大题共7小题，共36分11．（3分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|3﹣4i|，则z的模为；虚部为．12．（3分）若随机变量ξ的分布列如表所示，则a＝，E（ξ）＝．ξ﹣101P a a213．（3分）已知a，b∈R+且a+2b＝3，则的最小值是；的最小值是．14．（3分）在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B＝72，则展开式中常数项的值为．15．（3分）设椭圆C2：的左右焦点为F1，F2，离心率为，抛物线C1：y2＝﹣4mx（m＞0）的准线经过椭圆的右焦点．抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，若△PF1F2的三边长恰好是三个连续的自然数，则a的值为．16．（3分）一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位．若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有种．17．（3分）已知在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为BC1的中点，点P为△A1C1D及其内部的一动点，且|PD|＝|PM|，则点P的轨迹长度为．三、解答题：本大题共5小题，共74分18．（14分）已知三角形ABC中，cos（A+B）＝，cos（A﹣B）＝．（Ⅰ）求tan A•tan B的值；（Ⅱ）若|AB|＝2，求三角形ABC的面积S．19．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，点M是棱PC的中点，P A⊥平面ABCD．（1）证明：P A∥平面BMD；（2）当P A长度为多少时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．20．（15分）对于数列{a n}，记△（1）a n＝a n+1﹣a n，，k，n∈N*，则称数列{△（k）a n}为数列{a n}的“k”阶数列．（1）已知，若{a n}为等比数列，求a1的值；（2）已知，若a1＝1，且a n≥a3对n∈N*恒成立，求a2的取值范围．21．（15分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且，若的取值范围．22．（15分）已知函数f（x）＝e ax ln（x+1），其中a∈R．（Ⅰ）设F（x）＝e﹣ax f（x），讨论F（x）的单调性；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣x在（0，+∞）内存在零点，求a的取值范围．2019年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，共40分1．（4分）已知集合A＝{（x，y）|y＝x+1，x∈Z}，集合B＝{y|y＝2x，x∈Z}，则集合A∩B 等于（）A．{1，2}B．（1，2）C．{（1，2）}D．∅【分析】由题可得：集合A是点集，集合B是数集，由交集概念即可得解．【解答】解：由题可得：集合A是点集，集合B是数集，所以A∩B＝∅．故选：D．【点评】本题主要考查了集合的表示及交集运算，属于基础题．2．（4分）若f（x）sin x是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（）A．sin x B．cos x C．sin2x D．cos2x【分析】分别把四个选项中的值代入f（x）sin x，逐一进行验证，求得f（x）＝sin x，则f（x）sin x＝sin2x为偶函数，排除A；f（x）＝sin2x，则f（x）sin x＝2cos x sin2x，为偶函数，排除C；f（x）＝cos2x，则f（x）sin x＝sin x﹣2sin3x，周期不为π排除D，f（x）＝cos x，则f（x）sin x＝sin2x，奇函数且周期为，符合题意．【解答】解：若f（x）＝sin x，则f（x）sin x＝sin2x为偶函数，不符合题意．若f（x）＝cos x，则f（x）sin x＝sin2x，奇函数且周期为，符合题意．若f（x）＝sin2x，则f（x）sin x＝2cos x sin2x，为偶函数，不符合题意．若f（x）＝cos2x，则f（x）sin x＝sin x﹣2sin3x，周期不为π不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．考查了学生综合分析问题的能力．3．（4分）满足线性约束条件，的目标函数z＝x+y的最大值是（）A．1B．C．2D．3【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z＝x+y过点B（1，1）时，z最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，当直线z＝x+y过点B（1，1）时，z最大值为2．故选：C．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（4分）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．4D．【分析】依三视图知该几何体为三棱锥，画出直观图、判断出位置关系和求出长度，利用椎体的体积公式求出答案．【解答】解：依三视图知该几何体为三棱锥D﹣ABC，连接AF，过D作DE⊥AE，则DE为底面ABC的高，由三视图可得S ABC＝，DE＝所以其体积V＝故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体和补形是解题的关键，考查空间想象能力．属于中档题．5．（4分）某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ＝∠AOP，练车时间为t，则函数θ＝f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】题干错误：θ＝∠AOP（＞0），应该去掉括号．根据视角θ＝∠AOP的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项．【解答】解：根据小车从点A出发的运动轨迹可得，视角θ＝∠AOP的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选：D．【点评】本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题．6．（4分）将函数的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g（x）的图象，则下列关于函数y＝g（x）的说法错误的是（）A．最小正周期为πB．初相为C．图象关于直线对称D．图象关于点对称【分析】首先利用三角函数的关系式的平移和伸缩变换求出函数g（x）的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，得到：y＝2sin （4x+）的图象，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g（x）＝2sin （2x+）的图象，所以：①函数的最小正周期为：T＝π．②初相为．③当x＝时，函数为最值，故图象关于x＝对称．故D错误．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的平移变换，正弦型函数的性质的应用．7．（4分）已知，，则的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣1【分析】由向量数量积的坐标运算有：设＝（2，0），＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），所以＝2（cosβ﹣cosα）﹣cos（α﹣β）+1，再结合三角函数的有界性及排除法可得解．【解答】解：因为，，设＝（2，0），＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），所以＝2（cosβ﹣cosα）﹣cos（α﹣β）+1，又cosα，cosβ，cos（α﹣β）∈[﹣1，1]，又2（cosβ﹣cosα）≥﹣4，cos（α﹣β）≤1，又2（cosβ﹣cosα）≥﹣4，cos（α﹣β）≤1不能同时取等号，所以2（cosβ﹣cosα）﹣cos（α﹣β）+1＞﹣4，又当β＝π，α＝0时，2（cosα+cosβ）﹣cos（α﹣β）+1取值﹣2，则可排除B．C，D选项，故选：A．【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算及三角函数的有界性，属中档题．8．（4分）已知双曲线﹣＝1（a＞0．b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A、B分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O对称的两点，且直线AB的斜率为2．M、N 分别为AF2、BF2的中点，若原点O在以线段MN为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设B（x0，2x0），表示出M，N的坐标，根据OM⊥ON得出x0与c的关系，代入双曲线方程化简即可得出离心率．【解答】解：设B（x0，2x0）（x0＞0），则A（﹣x0，﹣2x0），F2（c，0），∵M，N分别为AF2、BF2的中点，∴M（，﹣x0），N（，x0），∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴OM⊥ON，∴＝0，∴﹣2x02＝0，即x0＝，故B（，），把B（，）代入双曲线方程＝1可得：﹣＝1，∴c2（c2﹣a2）﹣8c2a2﹣9a2（c2﹣a2）＝0，∴9a4﹣18a2c2+c4＝0，即e4﹣18e2+9＝0，解得e2＝9+6或e2＝9﹣6（舍）．∴e＝+．故选：C．【点评】本题考查了双曲线的简单性质，离心率计算，属于中档题．9．（4分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x+2a，若函数y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，1]C．D．[1，+∞）【分析】判断f（x）的单调性，求出f（x）的值域，根据y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域得出f（x）的最小值与极小值点的关系，得出a的范围．【解答】解：f′（x）＝lnx，故而当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（1）＝2a﹣1．即f（x）的值域为[2a﹣1，+∞），∵函数y＝f（x）与y＝f（f（x））有相同的值域，∴0＜2a﹣1≤1，解得：＜a≤1．故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性判断，函数最值的计算，属于中档题．10．（4分）已知等差数列{a n}满足，|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣1|+|a2﹣1|+…+|a n﹣1|＝98，则n的最大值为（）A．14B．13C．12D．11【分析】由题意可得{a n}中的项一定满足或，且项数为偶数，设n＝2k，k∈N*，等差数列的公差设为d，由a1＜0，d＞0，且a k+1≤0，即a k≤﹣1，a k+1≥1，结合等差数列的求和公式，以及不等式的性质，可得所求最大值．【解答】解：等差数列{a n}满足，|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣1|+|a2﹣1|+…+|a n﹣1|＝98，可得等差数列不为常数列，且{a n}中的项一定满足或，且项数为偶数，设n＝2k，k∈N*，等差数列的公差设为d，不妨设，则a1＜0，d＞0，且a k+1≤0，a k﹣1＜0即a k≤﹣1，由a k+1﹣1≥0，则﹣1+kd≥a k+kd≥1，即kd≥2，即有d≥2，则|a1|+|a2|+…+|a n|＝﹣a1﹣a2﹣…﹣a k+a k+1+…+a2k＝﹣（ka1+d）+k（a1+kd）+d＝k2d＝98，可得98≥2k2，即有k≤7，即有k的最大值为7，n的最大值为14．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及绝对值的意义，考查运算能力和推理能力，属于难题．二、填空题：本大题共7小题，共36分11．（3分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|3﹣4i|，则z的模为1；虚部为．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由（3﹣4i）z＝|3﹣4i|，得z＝，∴|z|＝．z的坐标为．故答案为：1；．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．12．（3分）若随机变量ξ的分布列如表所示，则a＝，E（ξ）＝﹣．ξ﹣101P a a2【分析】由随机变量ξ的分布列的性质求出a＝，由此能求出E（ξ）．【解答】解：由随机变量ξ的分布列，得：，解得a＝，∴E（ξ）＝＝﹣．故答案为：．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查随机变量ξ的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．（3分）已知a，b∈R+且a+2b＝3，则的最小值是3；的最小值是3．【分析】由已知可知，＝（）（a+2b），展开后利用基本不等式可求；由a+2b＝3，由基本不等式可得，3＝a+b+b≥3，可求ab2≤1，再次利用基本不等式＝可求．【解答】解：∵a+2b＝3，则＝（）（a+2b）＝，当且仅当且a+2b＝3，即a＝b＝1时取等号；∵a+2b＝3，由基本不等式可得，3＝a+b+b≥3，∴ab2≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，则＝≥3，当且仅当即a＝b时取等号故答案为：3，3【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑14．（3分）在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B＝72，则展开式中常数项的值为9．【分析】由二项展开式的性质可得A＝4n，B＝2n，由A+B＝4n+2n＝72可得n＝3，而展开式的通项为＝，令可得r，代入可求【解答】解：由二项展开式的性质可得A＝4n，B＝2n∴A+B＝4n+2n＝72∴n＝3∵展开式的通项为＝令可得r＝1常数项为T2＝3×C31＝9故答案为：9【点评】本题主要考查了二项展开式的通项在求解二项展开式的指定项中的应用，解题的关键是利用二项式的性质得出A，B的值．15．（3分）设椭圆C2：的左右焦点为F1，F2，离心率为，抛物线C1：y2＝﹣4mx（m＞0）的准线经过椭圆的右焦点．抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，若△PF1F2的三边长恰好是三个连续的自然数，则a的值为6．【分析】由题意画出图形，设c＝m，a＝2m，|F1F2|＝2m，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，利用抛物线与椭圆的焦半径相等列式求得三角形PF1F2的边长分别是，，．可得m ＝3时，能使三角形PF1F2的边长是连续的自然数，此时a＝2m＝6．【解答】解：由题意，设c＝m，a＝2m，|F1F2|＝2m．又设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，有r1+r2＝2a＝4m；设P（x0，y0），对于抛物线C1，r1＝﹣x0+m；对于椭圆C2，，即，由，解得，，∴，从而．因此，三角形PF1F2的边长分别是，，．∴m＝3时，能使三角形PF1F2的边长是连续的自然数，此时a＝2m＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了圆锥曲线的位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（3分）一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位．若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有75种．【分析】根据题意，分4种情况讨论：①，小蜜蜂向正方向飞行4次，负方向飞行1次，每次飞行1个单位，②，小蜜蜂向正方向飞行4次，有3次飞行1个单位，1次飞行2个单位，负方向飞行1次，飞行2个单位，③，小蜜蜂向正方向飞行3次，有2次飞行2个单位，1次飞行1个单位，负方向飞行2次，每次飞行1个单位，④，小蜜蜂向正方向飞行3次，每次飞行2个单位，负方向飞行2次，1次飞行2个单位，1次飞行1个单位，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：①，小蜜蜂向正方向飞行4次，负方向飞行1次，每次飞行1个单位，有C51＝5种飞行方式，②，小蜜蜂向正方向飞行4次，有3次飞行1个单位，1次飞行2个单位，负方向飞行1次，飞行2个单位，有C51C41＝20种飞行方式，③，小蜜蜂向正方向飞行3次，有2次飞行2个单位，1次飞行1个单位，负方向飞行2次，每次飞行1个单位，有C52C31＝30种飞行方式，④，小蜜蜂向正方向飞行3次，每次飞行2个单位，负方向飞行2次，1次飞行2个单位，1次飞行1个单位，有C53A22＝20种飞行方式，则一共有5+20+30+20＝75种飞行方式，故答案为：75【点评】本题考查分类计数原理合的应用，关键是分析蜜蜂飞行的次数和单位，进行分类讨论．17．（3分）已知在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为BC1的中点，点P为△A1C1D及其内部的一动点，且|PD|＝|PM|，则点P的轨迹长度为．【分析】满足PM＝PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，根据P是△A1C1D内（包括边界）的动点，可得点P的轨迹是两平面的交线ST，T在中点，S在4等分点，利用余弦定理，求出ST即可．【解答】解：满足PM＝PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，∵P是△A1C1D内（包括边界）的动点，∴点P的轨迹是两平面的交线ST，T为DC1中点，S在4等分点时，SD＝3，SM＝＝3，满足SD＝SM．∴SD＝3，TD＝2∴ST2＝＝14．∴ST＝．故答案为：．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查轨迹的求解，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分18．（14分）已知三角形ABC中，cos（A+B）＝，cos（A﹣B）＝．（Ⅰ）求tan A•tan B的值；（Ⅱ）若|AB|＝2，求三角形ABC的面积S．【分析】（Ⅰ）利用余弦的和角差角公式展开得sin A sin B与cos A cos B，再根据商数关系可得．（Ⅱ）根据c＝|AB|以及sin C求得外接圆直径，再利用正弦定理将a，b化成直径和正弦值代入面积公式可得．【解答】解：（Ⅰ）由cos（A+B）＝得cos A cos B﹣sin A sin B＝，①；由cos（A﹣B）＝得cos A cos B+sin A sin B＝，②；①+②得cos A cos B＝；②﹣①得sin A sin B＝，∴tan A tan B＝＝＝．（Ⅱ）∵cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cos C＝，∴cos C＝﹣，sin C＝，∴三角形外接圆直径2R＝＝＝5，∴S＝＝•2R sin A•2R sin B•sin C＝××＝．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．19．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，点M是棱PC的中点，P A⊥平面ABCD．（1）证明：P A∥平面BMD；（2）当P A长度为多少时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．【分析】（1）连结AC，BD，交于点O，连结OM，推导出OM∥P A，由此能证明P A∥平面BMD．（2）以O为原点，OB，OC，OM分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当P A长度为2或时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OM，∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，点M是棱PC的中点，∴OM∥P A，∵OM⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD．解：（2）∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，点M是棱PC的中点，∴BD⊥AC，OM⊥平面ABCD，OB＝OD＝，OA＝OC＝1，以O为原点，OB，OC，OM分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设当P A＝a时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．A（0，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，﹣1，a），M（0，0，），B（，0，0），＝（0，1，），＝（﹣），＝（﹣，﹣1，a），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，，），＝＝，解得a＝2或a＝．∴当P A长度为2或时，直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足线面角线面角的正弦值的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．（15分）对于数列{a n}，记△（1）a n＝a n+1﹣a n，，k，n∈N*，则称数列{△（k）a n}为数列{a n}的“k”阶数列．（1）已知，若{a n}为等比数列，求a1的值；（2）已知，若a1＝1，且a n≥a3对n∈N*恒成立，求a2的取值范围．【分析】（1）根据题意列出等式，利用等比数列的定义完成本题即可．（2）根据定义正确列出等式，求出满足恒成立应满足的条件即可，最后求出范围．【解答】解：（1）∵，，且{a n}为等比数列，∴，即，解得．当n≥2时，a n＝△a n﹣1+…+△a1+a1＝＝．当n＝1时，符合上式．故{a n}为等比数列，即．（2）∵＝＝＝，由是递增的，∴a n≥a3对n∈N*恒成立，当且仅当满足∴，解得﹣7≤a2≤0．故答案为a2∈[﹣7，0]．【点评】本题考查了新定义的数列应用，能读懂题意是正确完成本题的关键．21．（15分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F2，点F1与F2关于坐标原点对称，以F1，F2为焦点的椭圆C过点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且，若的取值范围．【分析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2＝4x求得c＝1．设椭圆C的标准方程为，由于椭圆C过点．代入椭圆方程可得，又a2＝b2+c2，联立解得即可；（II）对直线l的斜率分类讨论：当直线l的斜率不存在时，即λ＝﹣1时，直接求出．当直线l的斜率存在时，即λ∈[﹣2，﹣1）时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量相等，可得，且λ＜0．进而得到：．由λ∈[﹣2，﹣1）可得到k2的取值范围．由于＝（x1﹣2，y1），＝（x2﹣2，y2），可得＝，通过换元，令，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由y2＝4x得c＝＝1，设椭圆C的标准方程为，∵椭圆C过点．∴，又a2＝b2+1，联立解得b2＝1，a2＝2．故椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）1）当直线l的斜率不存在时，即λ＝﹣1时，，，又T（2，0），∴．2）当直线l的斜率存在时，即λ∈[﹣2，﹣1）时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），由得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），显然y1≠0，y2≠0，则由根与系数的关系，可得：，，∴，①②∵，∴，且λ＜0．将①式平方除以②式得：，由λ∈[﹣2，﹣1）得即．故，解得．∵＝（x1﹣2，y1），＝（x2﹣2，y2），∴＝（x1+x2﹣4，y1+y2），又，故＝，令，∵，∴，即，∴．∴．综上所述：∈．【点评】本题综合考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数、换元法、分类讨论、向量相等及其向量运算和向量的模等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题．22．（15分）已知函数f（x）＝e ax ln（x+1），其中a∈R．（Ⅰ）设F（x）＝e﹣ax f（x），讨论F（x）的单调性；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣x在（0，+∞）内存在零点，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，结合函数的零点，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是{x|x＞﹣1}，f′（x）＝a•e ax ln（x+1）+e ax•＝e ax（aln（x+1）+），故F（x）＝aln（x+1）+，则F′（x）＝，若a＝0，则F′（x）＜0，F（x）在（﹣1，+∞）递减，若a≠0，则令F′（x）＝0，解得：x＝﹣1，（i）当a＜0时，则x＝﹣1＜﹣1，故在（﹣1，+∞）上恒有F′（x）＜0，即F（x）在（﹣1，+∞）递减；（ii）a＞0时，x＝﹣1＞﹣1，因而在（﹣1，﹣1）上，F′（x）＜0，在（﹣1，+∞）上，F′（x）＞0，故F（x）在（﹣1，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增；（Ⅱ）g（x）＝f（x）﹣x＝e ax ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），g′（x）＝e ax（aln（x+1）+）﹣1＝e ax F（x）﹣1，设h（x）＝g′（x）＝e ax F（x）﹣1，则h′（x）＝e ax（a2ln（x+1）+），（i）若a≤0，由x＞0可知0＜e ax≤1，另可证当x＞0时，ln（x+1）＜x，∴g（x）＝e ax ln（x+1）﹣x＜x（e ax﹣1）≤0，故g（x）＜0对任意x∈（0，+∞）都成立，故g（x）在（0，+∞）上无零点，因此a＞0，；（ii）当0＜a＜时，考查函数h′（x），由于h′（0）＝2a﹣1＜0，h′（）＞0，故h′（x）在（0，+∞）上必存在零点，设h′（x）在（0，+∞）的第一个零点是x0，则当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，x0）递减，又h（x0）＜h（0）＝0，故x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，从而g（x）在（0，x0）递减，故在（0，x0）上恒有g（x）＜g（0）＝0，即g（x0）＜0，注意到e ax＞ax，故g（x）＞axln（x+1）﹣x＝x（aln（x+1）﹣1），令x＝，则g（x）＞0，由零点存在定理可知函数y＝g（x）在（x0，）上有零点，符合题意；（iii）若a≥，则由x＞0，可得h′（x）＞0恒成立，从而h（x）在（0，+∞）上递增，也即g′（x）在（0，+∞）递增，故g′（x）＞g′（0）＝0，即g（x）在（0，+∞）递增，从而g（x）＞g（0）＝0恒成立，综上，a的范围是（0，）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
数学答案5月镇海中学高三数学
第二学期镇海中学5月校模拟考高三年级数学答案A,C,B,C,C A,D,A,B,D8.作出椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即，故平行四边形为矩形，所以，设，则在直角中，，得，整理得，令，得，又由，得，所以，所以离心率的取值范围是，故选A.11.12.13.14.15. 16. 17.018.（本题满分14分）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，．（1）求角的大小；（2）求的取值范围．【解析】：（1）由及正弦定理得，所以，.（2），，所以，，为锐角三角形，的范围为，则，∴的取值范围是，∴.19．（本题满分15分）在三棱锥中，，，．（1）求证：；（2）若点为上一点，且，求直线与平面所形成的角的正弦值．【解析】（1）取中点，连接，，∵，又为中点，∴，同理可得：，又，∴平面，又平面，∴．·（2）∵，，∴为直角三角形，且，，∴，，即，又，所以平面，·∴以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图直角坐标系．∴，，，，设，，，，∴，∴，即，∴，，，，设是平面的法向量，∴，令，得，，∴，∴，·由，可知，∴，∴的最大值为．，即时，的值为20．（本题满分15分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【解析】：（1）若时，，所以在上为减函数若时，，则则：在上为减函数，上为增函数（2）即可令，令在上为减函数又因为：，所以，所以，所以：a的取值范围为．21．已知椭圆的方程为，在椭圆上，离心率，左、右焦点分别为．（1）求椭圆的方程；（2）直线（）与椭圆交于，，连接，并延长交椭圆于，，连接，求与之间的函数关系式．【解析】（1）由在椭圆上，可得，·，又，可得，，，所以椭圆的方程为．（2）设，则，直线，代入，得，因为，代入化简得，设，，则，所以，，·直线，同理可得，，所以，22．我们称满足：（）的数列为“级梦数列”．（1）若是“级梦数列”且．求：和的值；（2）若是“级梦数列”且满足，，求的最小值；（3）若是“0级梦数列”且，设数列的前项和为．证明：（）．【解析】：（1）是“1级梦数列”,所以，当n=2,3,4,时，代入可求得；（2）由条件可得：，∴解得∴当且仅当时取等号.（3）根据，可得①又由得累加得：，所以②由①②得。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
镇海中学跨区自主招生数学试题卷满分：120分 时间：90分钟一、选择题（每题4分，共40分）1、把26个英文字母依照轴对称性和中心对称性分成5组，现在还有5个字母D 、M 、Q 、X 、Z 请你按原规律补上，其顺序依次为 -------------------------------------------------------------------（ ）①FRPJLG ②HIO ③NS ④BCKE ⑤VATYWU (A )QXZMD (B )DMQZX (C )ZXMDQ (D )QXZDM2、若121≤≤-x ，则式子1449612222++++-++-x x x x x x 等于------（ ） （A ）－4x ＋3（B ）5（C ）2x ＋3（D ）4x ＋33、若不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，则a+b =---------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）21（B ）23 （C ）21-（D ）23- 4、若m m m =-+-20082007，则=-22007m ---------------------------------------（ ） （A ）2007 （B ）2008 （C ）20082 （D ）-200825、方程07946=--+y x xy 的整数解的个数为 -------------------------------------------（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）46、在平面直角坐标系中有两点A (–2，2)，B (3，2)，C 是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点C 有----------------------------------------------------------------------------（ ）(A )1个 (B )2个 (C )4个 (D )6个7、一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的骰子，连续投掷二次，分别出现数字m 、n ，得到一个点P (m ,n )，则点P 既在直线6+-=x y 上，又在双曲线xy 8=上的概率为------ ( ) (A )61 (B )91 (C )181 (D )3618、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，下列结论：①0>b ，②0<c ，③042>-ac b ，④0>++c b a ，⑤024>++c b a .其中正确的有---------------------------------------------------------------（ ）(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个 第8题图9、如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ( )(A ) 2)21(+ (B)251+ (C )253+ (D ) 2537+10．二次函数267y x x =-+-，当x 取值为2t x t ≤≤+时有最大值2(3)2y t =--+，则t 的取值范围为（ ）（A ）t ≤0 （B ）0≤t ≤3 （C ）t ≥３ （D ）以上都不对．第9题图y o1=xFEMBC DA二、填空题（每题 6分，共30分）11、已知关于x 的不等式mx -2≤0的负整数解只有-1,-2，则m 的取值范围是 _____ . 12、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正 多边形的边数为x 、y 、z ，则zy x 111++的值为_______________. 13、如图，△OAP 、△ABQ 是等腰直角三角形，点P 、Q 在双曲线)0(4>=x y 上，直角顶点A 、B 均在x 轴上，则点Q 的坐标为_______________.第11题图 第13题图 14、若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解为⎩⎨⎧==65y x ，则方程组⎩⎨⎧=+=+222111435435c y b x a c y b x a 的解为____________.15、如图，墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你搬走其中部分小正方体，但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走 __ ____ 个小正方体.三、解答题（共50分）16、（本题满分6分）如图，ABCD 是矩形纸片，E 是AB 上一点，且BE ：EA ＝5：3，EC =155，把△BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点B 恰好落在AD 边上，设这个点为F ，求AB 、BC 的长．17、（本题满分8分） 如图，已知四边形ABCD 内接于一圆，AB =BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM =DC +CM（图1）（图2）OM N Q PHK FEDCBAx18、（本题满分13分）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线21001x y =的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米.⑴ 如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？⑵ 如图2，若在一个坡度为1:5的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱。
①求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与坡面的最近距离为多少米？ ②这种情况下，直接写出下垂的电缆与坡面的最近距离为多少米？19、(本题满分13分)如图，直线AD 对应的函数关系式为1--=x y ，与抛物线交于点A (在x 轴上)、点D ，抛物线与 x 轴另一交点为B （3,0）, 抛物线与y 轴交点C （0,-3）,； (1)求抛物线的解析式；(2)P 是线段AD 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； (3)若点F 是抛物线的顶点，点G 是直线AD 与抛物线对称轴的交点，在线段AD 上是否存在一点P ，使得四边形GFEP 为平行四边形；(4)点H 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点Q ，使A 、D 、H 、Q 这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q 点坐标；如果不存在，请说明理由．20、(本题满分10分)一幢33层的大楼里有一部电梯停在第一层，•它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次．对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意．现在有32•人在第一层，并且他们分别住在第2层至第33层的每一层．问：电梯停在哪一层，•可以使得这32个人满意的总分达到最小？最小值是多少？（•有些人可以不乘电梯而直接从梯梯上楼）．答案1.D ；2.B ；3.C ；4.B ；5.A ；6.D ；7.C ；8. C ；9.B ；10.C ；y 1++14. 解：⎩⎨⎧5a 1x ＋3b 1y ＝4c 1，5a 2x ＋3b 2y ＝4c 2变形为⎩⎨⎧a 1×5x 4＋b 1×3y 4＝c 1， a 2×5x 4＋b 2×3y 4＝c 2⎩⎨⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2 的解是⎩⎨⎧x ＝5，y ＝6， 比较发现⎩⎨⎧5x4＝5， 3y 4＝6解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝815. 解：第1列最多可以搬走9个小正方体；第2列最多可以搬走8个小正方体；第3列最多可以搬走3个小正方体；第4列最多可以搬走5个小正方体；第5列最多可以搬走2个小正方体．9+8+3+5+2=27个．故最多可以搬走27个小正方体．故答案为：27．16.∵△BCE沿折痕EC向上翻折，点F恰好落在AD边上，∴EF=EB，CF=CB，设BE=5x，则AE=3x，AB=CD=8x，在Rt△AEF中，AF=(5x)2－(3x)2=4x，设BC=t，则CF=AD=t，∴DF=t-4x，在Rt△DFC中，t2=（t-4x）2+（8x）2，解得t=10x，在Rt△BCE中，（5x）2+（10x）2=（155）2，解得x=3，∴AB=8x=24，BC=10x=30.17.证明：在MA上截取ME=MC，连接BE，如图，∵BM⊥AC，而ME=MC，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE，∵A B= B D，∴∠ADB=∠BAD，而∠ADB=∠BCE，∴∠BEC=∠BAD，又∵∠BCD+∠BAD=180°，∠BEA+∠BCE=180°，∴∠BEA=∠BCD，而∠BAE=∠BDC，所以△ABE≌△DBC，∴AE=CD，∴AM=DC+CM．18. 解：（1）以H为坐标原点，HK方向为x轴正方向建立直角坐标系。
当电缆最低点离水平地面距离为6米时，抛物线的顶点坐标为（40，6）此时，抛物线的解析式为y＝1100(x－40)2＋6令x=0则y=22∴电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度。
（2）①以D为坐标原点，DC方向为x轴正方向建立直角坐标系。
设此时抛物线解析式为y＝1100x2＋bx＋c易知：E（0,20）F（50,30），代入解析式可求得b＝－310，c＝20.∴y＝1100x2－310x＋20易求得斜坡所在直线的解析式为：y=15x设一条与x 轴垂直的直线x=m 与抛物线交于M ，与斜坡交于N 。
则：MN=1100 m 2－310m ＋20－15m ＝1100 (m －25) 2＋13.75∴ 当m=25时，MN 的最小值为13．75即在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为13．75米。
∴点H 的纵坐标为3， ∴x 2-2x-3=3，整理得，x 2-2x-6=0，解得x 1=1-7，x 2=1+7，∵点A 的横坐标为-1，点D 的横坐标为2， 2-（-1）=2+1=3，根据平行四边形的性质，1-7+3=4-7，1+7+3=4+7， ∴点Q 的坐标为（4-7，0）或（4+7，0），综上所述，存在点Q （-3，0）或（1，0）或（4-7，0）或（4+7，0），使A 、D 、H 、Q 这四个点为顶点的四边形是平行四边形．20.解：由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住s 层的人乘电梯，而住在t 层的人直接上楼，s ＜t ，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意的总分减少．设电梯停在第x 层，在第1层有y 人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为： s=3[1+2+3+…+（33-x ）]+3（1+2+…+y ）+[1+2+…+（x-y-2）]， =3×(33－x)(34－x)2+3y ×(y ＋1)2+(x －y －2)×(x －y －1)2，=2x 2-（y+102）x+2y 2+3y+1684， =2（x-y ＋1024）2+18（15y 2-180y+3068）， =2（x-y ＋1024）2+158（y-6）2+316≥316． 又当x=27，y=6时，s=316，故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316．。