(福建专用)高考数学总复习 第六章第4课时 基本不等式 课时闯关(含解析)

（福建专用）2013年高考数学总复习 第六章第4课时 基本不

等式 课时闯关（含解析）

一、选择题

1．已知a >0，b >0，则1a ＋1

b

＋2ab 的最小值是( )

A ．2

B ．2 2

C ．4

D ．5

解析：选C.∵1a ＋1b ＋2ab ≥2

ab ＋2ab ≥22×2＝4.当且仅当⎩

⎪⎨

⎪⎧

a ＝

b ab ＝1时，等号成

立，即a ＝b ＝1时，不等式取最小值4.

2．下列函数中，最小值为4的函数是( )

A ．y ＝x ＋4

x

B ．y ＝sin x ＋4

sin x (0

C ．y ＝e x ＋4e －x

D ．y ＝log 3x ＋log x 81

解析：选C.对于A ，x ＋4x ≥4或者x ＋4

x

≤－4；对于B ，等号成立的条件不满足；对于

D ，也是log 3x ＋log x 81≥4或者log 3x ＋log x 81≤－4，所以答案为C.

3．(2012·广州检测)已知x >1，y >1，且14ln x ，1

4

，ln y 成等比数列，则xy ( )

A ．有最大值e

B ．有最大值 e

C ．有最小值e

D ．有最小值 e

解析：选C.∵x >1，y >1，且14ln x ，1

4

，ln y 成等比数列，

∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫ln x ＋ln y 22

，

∴ln x ＋ln y ≥1⇒xy ≥e.

4．(2011·高考陕西卷)设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )

A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2

B ．a ＜ab ＜a ＋b

2＜b

C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b

2

＜b

解析：选B.∵0＜a ＜b ，∴a ＜a ＋b

2

＜b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )＞0，即ab

＞a ，故选B.

5．(2012·北京海淀区质检)设x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2

≤1”是“|x |＋|y |≤ 2”成立的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A.∵2|x ||y |≤|x |2＋|y |2＝x 2＋y 2

≤1，

∴(|x |＋|y |)2＝x 2＋2|x ||y |＋y 2

≤2. ∴|x |＋|y |≤ 2.

取x ＝0，y ＝2，不满足x 2＋y 2

≤1，故是充分不必要条件． 二、填空题

6．若x >0，y >0且xy ＝4，则x 2＋y 2

的最小值为________，x ＋y 的最小值为________．

解析：x 2＋y 2

≥2xy ＝8；x ＋y ≥2xy ＝4. 答案：8 4

7．已知a 、b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则1a ＋1

b

≥m ，恒成立的实数m 的最大值是________．

解析：1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a

b

≥4.

所以1a ＋1b 的最小值为4, m ≤1a ＋1

b

恒成立，m 的最大值是4.

答案：4 8．(2011·高考浙江卷)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．

解析：由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2

－xy ，

∴(x ＋y )2

＝1＋xy ≤1＋x ＋y 24，解得－233≤x ＋y ≤233，

∴x ＋y 的最大值为23

3.

答案：233

三、解答题

9．(1)当x <1，求函数f (x )＝x 2＋x

x －1

的最大值；

(2)当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，求表达式3x ＋27y

＋2的最小值； (3)已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0，求xy 的最小值． 解：(1)∵ x <1，∴设t ＝1－x >0.

∴f (t )＝x 2＋x x －1＝1－t 2

＋1－t －t ＝t 2－3t ＋2

－t

＝－⎝

⎛⎭

⎪⎫t ＋2t ＋3.

∵t ＋2

t

≥22，

∴f (t )≤－22＋3.

当且仅当t ＝2

t

时取等号，即t ＝2，x ＝1－2，

∴函数f (x )＝x 2＋x

x －1

的最大值为－22＋3.

(2)由x ＋3y －4＝0得x ＋3y ＝4，

∴3x

＋27y

＋2＝3x

＋33y

＋2

≥2·3x ·33y ＋2＝2·3x ＋3y

＋2

＝2·34

＋2＝20，

当且仅当3x ＝33y

且x ＋3y －4＝0，即x ＝2，y ＝23

时取“＝”．

(3)由x ＋y －3xy ＋5＝0得x ＋y ＋5＝3xy . ∴2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy .

∴3xy －2xy －5≥0，∴(xy ＋1)(3xy －5)≥0，

∴xy ≥53，即xy ≥25

9

，等号成立的条件是x ＝y .