线性代数大一上学期考试复习

1 0 0 1 0 0 2 −3 5 1 4 0 → 0 1 4 7 4 11 12 0 0 0 2 3 0 0 2 1 0 3 5 4 0 1 4 7 0 0 0 −14
所以, 向量组的秩等于4 故向量组线性无关. 所以, 向量组的秩等于4，故向量组线性无关.
∴ X = ( A − 2 E ) −1 E
2 −1 −1 = 2 −2 −1 −1 1 1
( A − 2 E ) −1
2 −1 −1 = 2 −2 −1 −1 1 1
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第三章
线性方程组
一. 向量组的线性相关性
线性相关，线性无关的定义和判定。 线性相关，线性无关的定义和判定。 的定义和判定 定义： 定义： 向量组 α 1 , α 2 , L , α m ( m ≥ 2) 线性相关 至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示 定理： 定理：向量组 α 1 , α 2 , L , α m ( m ≥ 2) 线性相关 至少存在一组不全为零的m个数 λ1 , λ2 ,L , λm , 至少存在一组不全为零的 个数 使得等式
简记为： 简记为： Am ×n 实矩阵: 实矩阵 元素是实数
一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、 对角阵、单位阵
12
二. 矩阵的基本运算
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等 矩阵相等: 矩阵相等: 两个矩阵同型， 两个矩阵同型，且对应元素相等
= ( x1 + x2 + L + xn )a n −1
10
第二章
一. 矩阵概念
矩阵
二. 矩阵的基本运算 三. 逆矩阵的计算 四. 矩阵的初等变换
11
一. 矩阵概念 m × n 数 aij (i = 1, 2,L , m; j = 1, 2,L , n)
a11 a21 记作 A = L a m1 a12 a22 am 2 L a1 n L a2 n L L amn
{
rA = n rA < n
唯一解 （零解） 零解） 无穷多解 非零解） （非零解）
{
四. 线性方程组解的结构 △
−1 L 0 L L L 0
n
L −1
= (−1)
n −1
x (a1a2 L an )[∑ − 1] i =1 a i
8
例2： ：
x1 x2 x3 L xn −a a 0 L 0 Dn = 0 −a a L 0 L L L L L 0 0 0 L a
x1 + x2 + L xn 0 0 M 0 x2 a −a M 0 x3 L xn 0 a M 0 L L M L 0 0 M a
(4)
a12 L a1 n a22 L a2 n M 0 O M L ann
= a11a22 Lann
下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0） 主对角线上侧元素都为 ）
a11 D= a21 M an 1
0 M
L O
0 0 M
a22 L
= a11a22 Lann
5
an 2 L ann
四. 行列式的计算
9
∑c
i =2
n
i
+ c1
按第1列展开 按第 列展开
x1 + x2 + L xn 0 0 M 0
x2 a −a M 0
x3 L x n 0 L 0 a M 0 L M L 0 M a
a 0 L 0 按第1列展开 按第 列展开 −a a L 0 = ( x1 + x2 + L xn ) L L L L 0 0 L a ( n −1)
m k
m+k
k个
方阵的多项式： 方阵的多项式：
f ( A ) = a k A k + a k −1 A k −1 + L + a 1 A + a 0 E
方阵的行列式： 方阵的行列式： 满足: 满足:
1) λ A = λ n A ; (
( 2)
AB = A B
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三. 逆矩阵的计算
定义： 为 阶方阵 若存在n阶方阵 定义：A为n阶方阵，若存在 阶方阵 使得 AB = BA = E 阶方阵， 阶方阵,使得 则称矩阵A是可逆的（非奇异的、满秩的） 则称矩阵 是可逆的（非奇异的、满秩的） 是可逆的 矩阵B称为矩阵 的逆矩阵 矩阵 称为矩阵A的逆矩阵。 称为矩阵 的逆矩阵。 唯一性： 是可逆矩阵， 的逆矩阵是唯一的. 唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的 是可逆矩阵 的逆矩阵是唯一的 阶方阵A可逆 阶方阵 判定定理: n阶方阵 可逆 ⇔ A ≠ 0 且 A−1 = 判定定理 满足规律： 满足规律： ( A ) = A,
矩阵加（ 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减） 两个同型矩阵，对应元素相加（ 数与矩阵相乘：数 λ 与矩阵 A 的乘积记作 λ A 或 Aλ ，规定为 数与矩阵相乘：
λ A = Aλ = (λ aij )
矩阵与矩阵相乘： 矩阵与矩阵相乘： 设 A = ( a ij )m×s , B = ( b ij ) s×n, 规定 AB = C = ( c ij )m×n,
几个重要结论： 几个重要结论：
a11
(1)
D=
a22 O ann
= a11a22 Lann
a1n
(2)
D= an1
a2,n−1 N
= ( −1)
n ( n −1 ) 2
a1 na2 ,n−1 Lan1
4
(3)
主对角线下侧元素都为0） 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为 ）
a11 D= 0 M 0
−1
−1
1 ∗ A A
△
( λ A) =
−1
1
λ
−1 ⋅ A ( λ ≠ 0) −1
(A ) = (A ) ,
−1
T
T −1
A
−1
= A
1 1 2 3 ,B = , 求： 2 A′( B − E ) −1 = __ 4 例: 已知 A = 0 2 0 3
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1. 解矩阵方程
具体包括：对换变换、倍乘变换、 具体包括：对换变换、倍乘变换、倍加变换 △ 用初等行变换法求矩阵的逆矩阵
要求可逆矩阵 A的逆矩阵 , 只需对分块矩阵 ( A E )施行初等行变换 ,当把 A变成 E时, 原来的 E就 变成了 A − 1 .
初等行变换 1 即， ( A , E ) → E ， A −
x L 0
L
x 0
对第 i 列 提出公因子 ai 箭形行列式
7
i = 2,3,L, n
−a2 L
L L L −an
x − a1 a1 (a1a2 L an ) 1 L 1
n
x a2
x L an 0
−1 L
L L L 0 L −1
x L an
∑ c i + c1
i = 2,L , n
x x ∑ a −1 a i =1 i 2 (a1a2 L an ) 0 L 0
△
转置矩阵: 转置矩阵: 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵， 的转置矩阵， 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A′ 或 AΤ 13 .
Ak = A AL A 方阵的幂： 是 阶方阵， 方阵的幂： A是n 阶方阵， 1 24 4 3
并且
( )
A A =A k m 为正整数） 为正整数 A = Amk （m,k为正整数）
(1)AX = B ⇒ X = A − 1 B (2)XA = B ⇒ X = BA − 1
2. 克莱姆法则（求解线性方程组） 克莱姆法则（求解线性方程组）
AX = b
D1 D2 D2 Dn x1 = , x2 = , x3 = ,L , x n = . D D D D
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四. 矩阵的初等变换
初等变换 初等行变换 初等列变换
△
1. 利用行列式性质计算： 利用行列式性质计算：
→ →
化为三角形行列式 化为箭形行列式
2. 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质进 利用行列式按行按列展开定理， 行计算
6
例1： ：
x − a1 D= x L x
x L x
L L
x x L
x − a2 L
L x − an
−r1 + ri
x − a1 a1 L a1
第一章
一. 二. 排列与反序 n 阶行列式的定义
行列式
}
行列式的概念定义
三. 行列式的性质 四. 行列式的计算
}
行列式的基本性质及 计算方法
1
一. 排列与反序 反序， 反序，反序数 奇排列， 奇排列，偶排列 二. n阶行列式的定义 阶行列式的定义 例：34512 反序数： 反序数：6 偶排列
a11 a21 M an1
∑λ α
j =1 j
m
j
成立。 = λ1α1 +λ2α 2 + L + λmα m = 0 成立。
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向量组的秩、 二. 向量组的秩、矩阵的秩及其求法
若向量组的一个部分组线性无关， 极大线性无关组： 极大线性无关组： 若向量组的一个部分组线性无关，但将 向量组中任何一个向量添加到这个线性无关的部分组中去， 向量组中任何一个向量添加到这个线性无关的部分组中去， 得到的都是线性相关的部分组， 得到的都是线性相关的部分组，则称该线性无关部分组为 向量组的极大线性无关组。 向量组的极大线性无关组。 向量组的秩： 向量组的秩：一个向量组的极大线性无关组所含向量的 个数称为这个向量组的秩。 个数称为这个向量组的秩。 矩阵的秩：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。 矩阵的秩：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。
a12
L a1 n
a22 L a2 n = M M M an 2 L ann
∑Leabharlann Baidu
( −1)τ ( j j L j ) a1 j a2 j Lanj
1 2 n 1 2
n
j1 j 2 L j n
例：五阶行列式， a13a52 a41a35a24 五阶行列式，
a13a52 a41a35a24 ⇒ a13a24 a35a41a52
(
)
17
例:
3 0 1 A = 1 1 0 且 AX = E + 2 X ,求矩阵 求矩阵X. 设 0 1 4
解： Q AX = E + 2 X ,
∴ ( A − 2E ) X = E,
∴ X = ( A − 2E ) E ,
−1
1 0 1 1 −1 0 A − 2E = 0 1 2
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三. 线性方程组的求解 △
{
非齐次： 非齐次：化B为阶梯形，比较 为阶梯形， 为阶梯形 rA,rB,n之间的关系 之间的关系
{
r A < rB
rA = rB < n rA = rB = n
无解 无穷多解 唯一解
齐次： 齐次： 化A为阶梯形，比较 为阶梯形， 为阶梯形 rA,n之间的关系 之间的关系
△ 如何求向量组或矩阵的秩
（将向量组写成）矩阵 将向量组写成）
?
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→ 行阶梯形矩阵
初等行变换
化成行阶梯形矩阵后，看非零行的行数。 化成行阶梯形矩阵后，看非零行的行数。
例：判断下列向量组的线性相关性并求秩。 判断下列向量组的线性相关性并求秩。 (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,(1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12); 解 因为
带正号
2
三. 行列式的性质 性质1：行列式与它的转置行列式相等。 性质 ：行列式与它的转置行列式相等。 性质2：互换行列式的两行（ ），行列式的值变号。 性质 ：互换行列式的两行（列），行列式的值变号。 行列式的值变号 性质3： 乘行列式的某一行（ 性质 ：用数 k 乘行列式的某一行（列）中所有 元素， 乘此行列式。 元素，等于用数 k 乘此行列式。 性质4：如果某一行（列）是两组数的和，则此行列式就等 性质 ：如果某一行（ 是两组数的和， 于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行（ 于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）以外 全与原来行列式的对应的行（ 一样。 全与原来行列式的对应的行（列）一样。 性质5： 行列式某行（ 的元全为零； 性质 ：(i) 行列式某行（列）的元全为零；(ii) 行列式有 两行（ 相同； 行列式有两行（ 两行（列）相同；(iii) 行列式有两行（列）的对应元素 成比例，若上述条件之一满足，则行列式等于0 成比例，若上述条件之一满足，则行列式等于 。 性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后 性质 ：行列式的某一行（ 的所有元素乘以同一数 后 3 再加到另一行（ 对应的元素上去，行列式的值不变。 再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。