高三第六次强化训练(学生参考答案版)

湖南省衡阳县第六中学高三数学第六次强化训练

文科试卷（问 卷）

时量：120分钟 总分：150分 （2010．12．29） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6．C 7．B 8．C

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上． 9．=z i 27

21±

-

10．7- 11．⎥⎦⎤

⎢⎣⎡23,

0 12．M N P <<13．6614．(

)

2,1∈a

15．

4

2

三、解答题：本大题共六小题，共计75分．解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．

16．（本小题12分）

已知非零向量→

1e 、→

2e 不共线，且→

→

→

+=21e e AB ，→

→

→

+=2182e e AC ，→

→

→

-=213e e AD ．

⑴若E 是BC 的中点，试用→

1e 、→

2e 表示→

AE ；

⑵如果121==→

→

e e ，221=+→

→

e e ，求→

→⋅21e e ； ⑶判断B 、C 、D 三点是否共线，并证明你的结论．

解：⑴→

→→

→→

+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21292

321e e AC AB AE ；

⑵→

→⋅21e e =2；

⑶假设B 、C 、D 三点共线，则存在实数R ∈λ，使得→

→

=BD BC λ，即

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-→→→

→

AB AD AB AC λ，∴⎪

⎭⎫

⎝⎛-=+→→→→2121227e e e e λ， →1e ，→2e 不共线，⎩⎨⎧=-=∴7212λλ，故λ无解，故假设不成立．

17.（本小题12分）

有一道解三角形的题目，因纸张破损致使有一个条件不清，具体如下： 在ABC ∆中，已知

45,3==

B a ， ，求角A .

经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示

60=A ，试将条件补充完整，并

说明理由．

解：将角 60=A 看作已知条件，由

B

b A

a sin sin =

，得2=b ；

由C

c A

a sin sin =，得22

6+=

c ．

若已知条件为2=b ，则由B

b A

a sin sin =

得2

3sin =

A ， 60=∴A 或 120，不合题意，

舍去．若已知条件为2

2

6+=

c ，则由2cos 2222=-+=B ac c a b ，得2=b ．

,2

12cos 2

22=

-+=

∴bc

a

c b A ∴

60=A ，符合题意．

综上所述，破损处的条件应为2

2

6+=c ．

18.（本小题12分）

已知二次函数()()R c b a c bx x x f ∈++=,,,2，且同时满足下列条件：①()01=-f ；②R x ∈∀都有()0≥-x x f ；③当()2,0∈x 时，有()2

21⎪⎭

⎫

⎝⎛+≤x x f ．

⑴求()1f 的值；

⑵求实数a 、b 、c 的值；

⑶当[]1,1-∈x 时，函数()()()R m mx x f x g ∈-=是单调函数，求实数m 的取值范围． 解：⑴令1=x ，由②有()011≥-f ，由③有()121112

=⎪⎭

⎫

⎝⎛+≤f ，()11=∴f ．

⑵()()01,1=+-=-++=c b a f c b a f ，⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧==+∴212

1b c a ，又R x ∈∀都有()0≥-x x f ，021441

≤⎪⎭⎫

⎝⎛--⎪⎩

⎪⎨⎧=

∆>∴a a a ，41=∴a ，从而41=c ． ⑶由⑵知()412141

2

+⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=

x m x x g ，

要使()()()R m mx x f x g ∈-=在[]1,1-∈x 上是单

调函数，14

1

221

≥⨯

-

∴

m 或14

1221

-≤⨯

-∴m ，1≥∴m 或0≤m ． 19．（本小题13分）

在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为BD 、1BB 的中点． （1）求证：1AD EF ⊥； （2）求三棱锥AEF D -1的体积．

（1）证明：连接D B 1、D A 1，易证得11AD D A ⊥，111AD B A ⊥，D B A AD 111平面⊥∴，D B AD 11⊥∴，易证D B EF 1//，1AD EF ⊥∴．

（2）由（1）知1AD EF ⊥，又显然AE EF ⊥，1AED EF 平面⊥∴，EF ∴就是三棱锥1AED F -的高．又D D BB AE 11平面⊥ ，E D AE 1⊥，∴三棱锥1AED F -的底面1AED 是直角三角形，易求得6,2,312

2

=

=

=+=

E D AE BF

BE

EF ，所以，三

棱锥AEF D -1的体积：12

1313

11111=⨯⨯⨯=

==∆--

EF ED AE EF S V V AED AED F AEF

D ．

20．（本小题13分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知a a =1，()++∈+=N n S a n

n n 31．

⑴设n

n n S b 3-=，求数列{}n b 的通项公式；

⑵若++∈≥N n a a n n ,1，求实数a 的取值范围．

解：⑴依题意，()+++∈+==-N n S a S S n n n n n 311，即n

n n S S 321+=+．由此得：

(

)n

n n n S S 3

23

1

1-=-++，因此所求的通项公式为()+-∈-=-=N n a S b

n n

n n

,2

33

1

．

⑵由⑴知()+-∈-+=N n a S n n n ,2331

，于是，当2≥n 时，

()2

1

12

33

2----+⨯=-=n n n n n a S S a ，则

()⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪

⎭⎫ ⎝⎛⨯=-+⨯=-----+3231222

33

42

2

2

1

1a a a a n n n n n n ，当2≥n 时，n n a a ≥+1，因此，0323122≥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪

⎭⎫ ⎝⎛⨯-a n ，即9123231232

-=-≥⎪⎭⎫

⎝⎛⨯-≥-n a ．又1123a a a >+=