动态规划解背包问题.ppt
动态规划例题讲解精品PPT课件
山东师大附中
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本节课主要通过几道例题，总揽NOIp中较 常见的动态规划模型，不会过多涉及优化 内容。
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最长上升子序列 内存碎片 背包问题 最长公共子序列 石子合并
括号序列 决斗 三取方格数 选课 贪吃的九头龙
最长上升子序列
给出一个数列{a1,a2,...,an}，要求你选出尽量 多的元素，使这些元素按其相对位置单调
完全背包问题
共有N种物品，每种物品有一定的重量w[i] 和一定的价值v[i]，每种物品有无限个。现 在我们有一个最大载重量limit的包，问放入 哪些物品能使得总价值最高？
w[i]和v[i]均为整数，N<=100，limit<=10000
完全背包问题
fillchar(f,sizeof(f),0); for i:=1 to n do for j:= w[i] to limit do f[j] = max(f[j], f[j-w[i]]+v[i]); writeln(f[limit]);
1400
共有3件物品 重量分别为30/80/10 价值分别为300/1200/200 背包最大载重量为100
0/1背包问题
令f[i,j]表示考虑完前i项物品，并且当前背包 承重不大于j的情况下能获得的最大价值
f[i,j]=max( f[i-1,j], //不选第i项物品 f[i-1,j–w[i]]+v[i]) //选择第i项物品
2
插入a6后 -inf
1
插入a7后 -inf
1
插入a8后 -inf
1
插入a9后 -inf
1
inf
inf
inf
8
动态规划——01背包问题
动态规划——01背包问题⼀、最基础的动态规划之⼀01背包问题是动态规划中最基础的问题之⼀，它的解法完美地体现了动态规划的思想和性质。
01背包问题最常见的问题形式是：给定n件物品的体积和价值，将他们尽可能地放⼊⼀个体积固定的背包，最⼤的价值可以是多少。
我们可以⽤费⽤c和价值v来描述⼀件物品，再设允许的最⼤花费为w。
只要n稍⼤，我们就不可能通过搜索来遍查所有组合的可能。
运⽤动态规划的思想，我们把原来的问题拆分为⼦问题，⼦问题再进⼀步拆分直⾄不可再分（初始值），随后从初始值开始，尽可能地求取每⼀个⼦问题的最优解，最终就能求得原问题的解。
由于不同的问题可能有相同的⼦问题，⼦问题存在⼤量重叠，我们需要额外的空间来存储已经求得的⼦问题的最优解。
这样，可以⼤幅度地降低时间复杂度。
有了这样的思想，我们来看01背包问题可以怎样拆分成⼦问题：要求解的问题是：在n件物品中最⼤花费为w能得到的最⼤价值。
显然，对于0 <= i <= n,0 <= j <= w，在前i件物品中最⼤花费为j能得到的最⼤价值。
可以使⽤数组dp[n + 1][w + 1]来存储所有的⼦问题，dp[i][j]就代表从前i件物品中选出总花费不超过j时的最⼤价值。
可知dp[0][j]值⼀定为零。
那么，该怎么递推求取所有⼦问题的解呢。
显⽽易见，要考虑在前i件物品中拿取，⾸先要考虑前i - 1件物品中拿取的最优情况。
当我们从第i - 1件物品递推到第i件时，我们就要考虑这件物品是拿，还是不拿，怎样收益最⼤。
①：⾸先，如果j < c[i]，那第i件物品是⽆论如何拿不了的，dp[i][j] = dp[i - 1][j];②：如果可以拿，那就要考虑拿了之后收益是否更⼤。
拿这件物品需要花费c[i]，除去这c[i]的⼦问题应该是dp[i - 1][j - c[i]]，这时，就要⽐较dp[i - 1][j]和dp[i - 1][j - c[i]] + v[i]，得出最优⽅案。
背包问题课件
刷表法——手推
【样例输入】package.in
10 4
21
for(int i=1;i<=n;++i)
Hale Waihona Puke 33for(int v=m;v>=w[i];--v)
45
f[v]=max(f[v],f[v-w[i]]+c[i])
79
【样例输出】package.out
12
i
W[i]
C[i]
i=0
0
0
i=1
2
1
i=2
理一件物品，作为一个阶段，共有n个 阶段 2、定义状态：
定义f[i][v]是前i件物品恰好放 入一个容量为v的背包，所得到的最大 价值 3、状态转移方程： 若第i件物品没有放入背包，则f[i][v]=f[i-
1][v] 若第i件物品放入背包，则f[i][v]=f[i-1][v-
w[i]]+c[i] 根据状态定义，f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-
【输出格式】 仅一行，一个数，表示最大总价值。
【样例输入】package.in 10 4 21 33 45 79
【样例输出】package.out 12
01背包
【问题描述】 一个旅行者有一个最多能用m公斤的
背包，现在有n件物品，它们的重量分别是 W1，W2，...,Wn,它们的价值分别为 C1,C2,...,Cn.若每种物品只有一件求旅行者 能获得最大总价值。 【输入格式】
1][v-w[i]]+c[i]) 4、临界值： 当i==0时，表示一件物品也没有， f[0][v]=0，数组f在main函数前定义即可
刷表法——手推
【样例输入】package.in 10 4
背包问题的贪心算法20页PPT文档
则用j比i好，∵装入A， V i 2 ;而装入B,Vi=3
对例。4.3的数据使用按效益值的非增次序的选择策略.
V 125,X 11 ,W 118 背包剩：C－18＝2；物品2有次大效益值
(V2=24 )但w2=15,背包装不下物品2。使用 x2=2/15,刚好装满背
包
6
，且物品2的24/15 = v2/w2 较物品3的15/10＝ v3/w3效益值高。按 此选择策略,得②即(1, 2/15, 0),∑vixi=28.2 .此解是一个次优解。 显然，按物品效益值的非增次序装包不能得最优解。
背包问题：
与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时 ，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包， 1≤i≤n。
这2类问题都具有最优子结构性质，极为相似，但背 包问题可以用贪心算法求解，而0-1背包问题却不能用 贪心算法求解。
2
例4.3 贪心算法不能求得0-1背包问题得最优解。
考虑背包问题: n＝3,c＝50kg,(v1,v2,v3)=(60,100,120), (w1,w2,w3)=(10,20,30). vi/wi=(6,5,4).贪心算法解是(1,1,0), ∑vixi=60+100 , ∑wixi=30;最优解是(0,1,1), ∑vixi=100+120, ∑wixi=50,
实际上，动态规划算法的确可以有效地解0-1背包问题。
3
4.2 背包问题
已知有n种物品和一个可容纳c重量的背包，每种物品i的
重量为wi。假定物品i的一部分放入背包会得到vixi的效益。其
中0≤xi≤1,vi>0 . 采用怎样的装包方法才会使装入背包物品的总
效益最大呢？即求解 n
动态规划算法--01背包问题
动态规划算法--01背包问题基本思想：动态规划算法通常⽤于求解具有某种最优性质的问题。
在这类问题中，可能会有许多可⾏解。
每⼀个解都对应于⼀个值，我们希望找到具有最优值的解。
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若⼲个⼦问题，先求解⼦问题，然后从这些⼦问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是，适合于⽤动态规划求解的问题，经分解得到⼦问题往往不是互相独⽴的（即下⼀个⼦阶段的求解是建⽴在上⼀个⼦阶段的解的基础上，进⾏进⼀步的求解）。
若⽤分治法来解这类问题，则分解得到的⼦问题数⽬太多，有些⼦问题被重复计算了很多次。
如果我们能够保存已解决的⼦问题的答案，⽽在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免⼤量的重复计算，节省时间。
我们可以⽤⼀个表来记录所有已解的⼦问题的答案。
不管该⼦问题以后是否被⽤到，只要它被计算过，就将其结果填⼊表中。
这就是动态规划法的基本思路。
具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。
应⽤场景：适⽤动态规划的问题必须满⾜最优化原理、⽆后效性和重叠性。
1、最优化原理（最优⼦结构性质）最优化原理可这样阐述：⼀个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前⾯的决策所形成的状态⽽⾔，余下的诸决策必须构成最优策略。
简⽽⾔之，⼀个最优化策略的⼦策略总是最优的。
⼀个问题满⾜最优化原理⼜称其具有最优⼦结构性质。
2、⽆后效性将各阶段按照⼀定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态⽆法直接影响它未来的决策，⽽只能通过当前的这个状态。
换句话说，每个状态都是过去历史的⼀个完整总结。
这就是⽆后向性，⼜称为⽆后效性。
3、⼦问题的重叠性动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。
其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本⽬的。
动态规划实质上是⼀种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产⽣过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要⼤于其它的算法。
NOI导刊资源背包动态规划
少。
剩下钱数最少的找零方案中的所需的最少 硬币数。
N<=500,T<=10000.
分析
设F[i]表示需要找的钱数为i时所需要的最少 钱币数。显然有：
F[i]=Min{F[ i - A[j] ] + 1} { i≤ T，1≤j≤N} 初始值：F[0]=0。 A[j]表示其中 第j种钱币的面值。 时间复杂度为O(N*T)。
动态规划
• 可以按每个物品进行规划，同样每种物品有选和 不选两种选择
• 设F(i,j)表示前i件物品载重为j的最大效益，则有
F(i 1, j w[i]) C[i],第i种物品装载 F(i, j) MaxF(i 1, j),第i种物品不装载
• 1<=i<=N, 0<=j<=N • 初值：F(0,j)=0 • F(N,M)即答案 • 显然时间复杂度为O(NM)
for j:=0 to m do
begin
if j>=w[i] then //背包容量够大
f[j]:=max(f[j-w[i]]+c[i],f[j])
end;
思考题1：机器分配
• M台设备，分给N个公司。 • 若公司i获得j台设备，则能产生Aij效益 • 问如何分配设备使得总效益最大？ • M<=15，N<=10。
else
//背包容量不足
f[i,j]:=f[i-1,j];
end;
满背包问题（01背包）
• 有N件物品; • 第i件物品Wi公斤; • 第i件物品价值Ci元; • 现有一辆载重M公斤的卡车; • 问选取装载哪些物品，使得卡车开车正
好装满时，运送的总价值最大？ 若无法装满卡车，则输出无解。
动态规划求解01背包问题
动态规划求解01背包问题问题给定n种物品和⼀个背包，物品(1<=i<=n)重量是w I ，其价值v i,背包容量为C,对每种物品只有两种选择：装⼊背包和不装⼊背包，即物品是不可能部分装⼊，部分不装⼊。
如何选择装⼊背包的物品，使其价值最⼤？想法该问题是最优化问题，求解此问题⼀般采⽤动态规划（dynamic plan），很容易证明该问题满⾜最优性原理。
动态规划的求解过程分三部分：⼀：划分⼦问题：将原问题划分为若⼲个⼦问题，每个⼦问题对应⼀个决策阶段，并且⼦问题之间具有重叠关系⼆：确定动态规划函数：根据⼦问题之间的重叠关系找到⼦问题满⾜递推关系式（即动态规划函数），这是动态规划的关键三：填写表格：设计表格，以⾃底向上的⽅式计算各个⼦问题的解并填表，实现动态规划过程。
思路：如何定义⼦问题？0/1背包可以看做是决策⼀个序列（x1,x2,x3,…,xn）,对任何⼀个变量xi的决策时xi=1还是xi=0. 设V(n,C)是将n个物品装⼊容量为C的背包时背包所获得的的最⼤价值，显然初始⼦问题是将前i个物品装如容量为0的背包中和把0个物品装⼊容量为j的背包中，这些情况背包价值为0即V(i,0)=V(0,j)=0 0<=i<=n, 0<=j<=C接下来考虑原问题的⼀部分，设V(I,j)表⽰将前i个物品装⼊容量为j的背包获得的最⼤价值，在决策xi时，已经确定了(x1,x2,…,xi-1)，则问题处于下列两种情况之⼀：1. 背包容量不⾜以装⼊物品i，则装⼊前i-1个物品的最⼤价值和装⼊前i个物品最⼤价值相同，即xi=0，背包价值没有增加2. 背包容量⾜以装⼊物品i，如果把物品i装⼊背包，则背包物品价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi；如果第i个物品没有装⼊背包，则背包价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j的背包中所取得的价值，显然，取⼆者最⼤价值作为把物品i装⼊容量为j的背包中的最优解，得到如下递推公式为了确定装⼊背包中的具体物品，从V(n,C)的值向前推，如果V（n，C）>V(n-1,C),则表明第n个物品被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C-wn的背包中；否则，第n个物品没有被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C的背包中，依次类推，直到确认第⼀个物品是否被装⼊背包中代码C++实现1. // dp_01Knapsack.cpp : 定义控制台应⽤程序的⼊⼝点。
背包问题全套PPT
用来求最优解具体组成的时间效率
②式表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：
V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) } j-Wi>=0；
(1) V(i,0)=V(0,j)=0；
所以时间效率主要取决于W，用另一种话说本次测试的数据里面，在物品数目相同的情况下，求解背包问题法最优解分析
问题分析：
令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，
则可以得到如下的动态规划函数:
(1) V(i,0)=V(0,j)=0；i>=0，j>=0；//初始化
(2) V(i,j)=V(i-1,j)
j-Wi<0； ---①//递推式
(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-
Wi的背包中的价值加上第i个物品的价值Vi；
(b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入 容量
为j的背包中所取得的价值。
取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。
3.数据处理与分析
时间应该是线性效率的。
物品数n=10时背包最大容量
取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。
（1）实验之前，先对算法进行理论效率分析和正确性分析：
用来求最优解具体组成的时间效率
(2) V(i,j)=V(i-1,j)
j-Wi<0；
动态规划法基本思想: 动态规划算法的基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
5.5动态规划求解01背包问题
xn-2,…,x1将依次推导得出
例2的解向量推导
S0={(0,0)}
S1={(0,0),(1,2)}
S2={(0,0),(1,2), (2,3),(3,5)}
● Si的构造
记S1i 是fi-1(X-wi)+pi的所有序偶的集合，则
S1i {( P,W ) | (P pi ,W wi ) S i1}
其中，Si-1是fi-1的所有序偶的集合
Si的构造：由Si-1和 S1i 按照支配规则合并而成。
支配规则：如果Si-1和S1i 之一有序偶(Pj,Wj),另一有(Pk,Wk)，
5.5动态规划求解 0/1背包问题
1.问题描述 背包容量M，n个物品，分别具有效益值P1…Pn,物
品重量w1…wn,从n个物品中，选择若干物品放入 背包，物品要么整件放入背包，要么不放入。怎 样决策可以使装入背包的物品总效益值最大？
形式化描述：
目标函数：
约束条件：
max pixi
1i j
wixi M
1in
xi
0或1,
pi
0, wi
0,1
i
n
0/1背包问题：KNAP(1,n,M)
❖ 0/1背包问题：M=6,N=3,W=(3,3,4),P=(3,3,5) ❖ 贪心法：p3/w3 > p1/w1 > p2/w2 ❖ 贪心解 ∑P=5（0,0,1） ❖ 最优解是：∑P=6（1,1,0）
❖ 贪心法求解0/1背包问题不一定得到最优解！ ❖ 动态规划求解的问题必须满足最优化原理
动规-背包九讲完整版
为什么呢？可以这样理解：初始化的 f 数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合 法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为 0 的背包可能被价值为 0 的 nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都 应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不 装”，这个解的价值为 0，所以初始时状态的值也就全部为 0 了。
前言
本篇文章是我(dd_engi)正在进行中的一个雄心勃勃的写作计划的一部分，这个计划的内容是 写作一份较为完善的 NOIP 难度的动态规划总结，名为《解动态规划题的基本思考方式》。现 在你看到的是这个写作计划最先发布的一部分。
背包问题是一个经典的动态规划模型。它既简单形象容易理解，又在某种程度上能够揭示动 态规划的本质，故不少教材都把它作为动态规划部分的第一道例题，我也将它放在我的写作 计划的第一部分。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始 化进行讲解。
小结
01 背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另 外，别的类型的背包问题往往也可以转换成 01 背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思 路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。
感谢 XiaQ，它针对本文的第一个 beta 版发表了用词严厉的六条建议，虽然我只认同并采纳 了其中的两条。在所有读者几乎一边倒的赞扬将我包围的当时，你的贴子是我的一剂清醒 剂，让我能清醒起来并用更严厉的眼光审视自己的作品。
当然，还有用各种方式对我表示鼓励和支持的几乎无法计数的同学。不管是当面赞扬，或是 在论坛上回复我的贴子，不管是发来热情洋溢的邮件，或是在即时聊天的窗口里竖起大拇 指，你们的鼓励和支持是支撑我的写作计划的强大动力，也鞭策着我不断提高自身水平，谢 谢你们！
动态规划讲解+例子ppt课件
5
多阶段决策过程的特点：
• 根据过程的特性可以将过程按空间、时间等标志分为若干个互相联系又
互相区别的阶段。
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
4
5
63
背包问题 有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为a 公斤，设有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的重量及使用价值（作用），问此 人应如何选择携带的物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？
物品
12…j…n
重量（公斤/件） a1 a2 … aj … an 每件使用价值 c1 c2 … cj … cn
112
2
B1
10
14
A
5
B2 610
1
4
13
B3
12 11
C1 3
9 6
C2 5
8
C3 10
D1 5 E
2
D2
8
112
2
B1
10
14
A
5
B2 610
1
4
13
B3
12 11
C1 3
9 6
C2 5
8
C3 10
D1 5
2
D2
解：整个计算过程分四个阶段，从最后一个阶段开始。
第四阶段（D →E）： D 有两条路线到终点E 。
学习动态规划，我们首先要了解多阶段决策问题。
2
最短路径问题：给定一个交通网络图如下，其中两点之间的数字表示距离 （或运费），试求从A点到G点的最短距离（总运输费用最小）。
动态规划01背包问题
01 背包问题的时间复杂度为 O(nW)，空间复杂度为 O(nW)。
• 选择放入第 i 个物品。此时，背包的剩余容量为 j-w[i]， 所以 f[i][j] = f[i-1][j-w[i]] + v[i]。 • 不选择放入第 i 个物品。此时，f[i][j] = f[i-1][j]。
综上所述，状态转移方程为：
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i])
01 背包问题是一种经典的动态规划问题，其目的是在限制条 件下，使得背包内的物品价值最大。
在 01 背包问题中，每种物品都有其体积和价值。同时，背 包也有一定的容量限制。问题的目标是在不超过背包容量的 前提下，使得背包内物品的价值最大。
为了解决 [j]表示前 i 个物品放入一个容量为 j 的背包可以获得的最大价值。然后，我们考虑第 i 个物品的 选择情况，其中有两种情况：
动态规划算法0-1背包问题课件PPT
回溯法
要点一
总结词
通过递归和剪枝来减少搜索空间，但仍然时间复杂度高。
要点二
详细描述
回溯法是一种基于递归的搜索算法，通过深度优先搜索来 找出所有可能的解。在0-1背包问题中，回溯法会尝试将物 品放入背包中，并递归地考虑下一个物品。如果当前物品 无法放入背包或放入背包的总价值不增加，则剪枝该分支 。回溯法能够避免搜索一些无效的组合，但仍然需要遍历 所有可能的组合，时间复杂度较高。
缺点
需要存储所有子问题的解，因此空间 复杂度较高。对于状态转移方程的确 定和状态空间的填充需要仔细考虑， 否则可能导致错误的结果。
04
0-1背包问题的动态规划解法
状态定义
状态定义
dp[i][ j]表示在前i个物品中选，总 重量不超过j的情况下，能够获得 的最大价值。
状态转移方程
dp[i][ j] = max(dp[i-1][ j], dp[i1][ j-w[i]] + v[i])，其中w[i]和v[i] 分别表示第i个物品的重量和价值。
02
计算时间复杂度：时间复杂度是指求解问题所需的时间与问题规模之间的关系。对 于0-1背包问题，时间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被遍历， 因此时间复杂度为O(2^n)，其中n是物品的数量。
03
空间复杂度：空间复杂度是指求解问题所需的空间与问题规模之间的关系。在0-1 背包问题中，空间复杂度主要取决于状态总数。由于每个状态都需要被存储，因此 空间复杂度也为O(2^n)，其中n是物品的数量。
06
0-1背包问题的扩展和实际应用
多多个物品和多个 背包，每个物品有各自的重量和价值， 每个背包有各自的容量，目标是选择物 品，使得在不超过背包容量限制的情况 下，所选物品的总价值最大。
0-1背包问题之动态规划法_-
1.5 无后效性原则
所谓无后效性原则，指的是这样一种性质：
某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不 再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与 过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结， 此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演 变。具体地说，如果一个问题被划分各个阶段之后， 阶段 I 中的状态只能由阶段 I+1 中的状态通过状态 转移方程得来，与其他状态没有关系，特别是与未发 生的状态没有关系，这就是无后效性。
2.
组合问题中的动态规划法
2.1 2.2 0/1背包问题 最长公共子序列问题
2.1 0/1背包问题
给定 n 种物品和一个背包， 物品i的重量是wi，其价值为 v i ，背包的容量为 C 。背包 问题是如何选择装入背包的 物品，使得装入背包中物品 的总价值最大 ? 如果在选择 装入背包的物品时，对每种 物品 i 只有两种选择：装入 背包或不装入背包，即不能 将物品 i 装入背包多次，也 不能只装入物品 i 的一部分， 则称为0/1背包问题。
可以用动态规划法求解的问题除了能够分解为相互重叠的 若干子问题外，还要满足最优性原理（也称最优子结构性 质），这类问题具有如下特征：该问题的最优解中也包含 着其子问题的最优解。在分析问题是否满足最优性原理时， 通常先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的， 然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更 好的解，从而导致矛盾。 动态规划法利用问题的最优性原理，以自底向上的方 式从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。应用 动态规划法设计算法一般分成三个阶段： （1）分段：将原问题分解为若干个相互重叠的子问题； （2）分析：分析问题是否满足最优性原理，找出动态规划 函数的递推式； （3）求解：利用递推式自底向上计算，实现动态规划过程。
(完整版)动态规划问题常见解法
(完整版)动态规划问题常见解法动态规划问题常见解法一、背包问题1. 0/1背包问题0/1背包问题是动态规划中的经典问题，解决的是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化。
常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。
记忆化搜索是一种自顶向下的解法，通过保存子问题的解来避免重复计算，提高效率。
动态规划是一种自底向上的解法，通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。
2. 完全背包问题完全背包问题是在背包容量固定的情况下，如何选择物品放入背包，使得总价值最大化，且每种物品可以选择任意个。
常见的解法有两种：记忆化搜索和动态规划。
记忆化搜索和动态规划的思路和0/1背包问题相似，只是在状态转移方程上有所不同。
二、最长公共子序列问题最长公共子序列问题是指给定两个序列，求它们之间最长的公共子序列的长度。
常见的解法有两种：递归和动态规划。
递归的思路是通过分别考虑两个序列末尾元素是否相等来进一步缩小问题规模，直至问题规模减小到边界情况。
动态规划的思路是通过填表格的方式记录每个子问题的解，最终得到整个问题的最优解。
三、最短路径问题最短路径问题是指在加权有向图或无向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径的问题。
常见的解法有两种：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法是通过维护一个距离表，不断选择距离最短的顶点来更新距离表，直至找到目标顶点。
Bellman-Ford算法是通过进行多次松弛操作，逐步缩小问题规模，直至找到目标顶点或发现负权环。
总结：动态规划是一种解决最优化问题的常见方法，它通过分组子问题、定义状态、确定状态转移方程和填表格的方式，来得到整个问题的最优解。
在解决动态规划问题时，可以采用记忆化搜索或者动态规划的策略，具体选择哪种方法可以根据问题的特点和优化的需要来决定。
《背包问题详解》课件
VS
约束条件
背包的容量有限，每个物品的数量和重量 、价值是已知的，目标是最大化背包中物 品的总价值。
多重背包问题的最优解法
贪心算法
按照物品单位重量的价值进行排序，优先选择单位重量价值最高的物品，直到背包满或者无法再放入更多物品。
动态规划
将问题分解为子问题，通过解决子问题的最优解来得到原问题的最优解。具体来说，对于多重背包问题，可以将 问题分解为多个一维背包问题，然后分别求解每个一维背包问题的最优解，最后取最优解中的最大值。
02
背包问题通常涉及到多个约束条 件，如物品的重量、价值、体积 等，以及一个目标函数，如背包 中物品的总价值或总重量。
背包问题的分类
根据物品能否分割，背包问题可以分为可分割问题和不可分 割问题。在可分割问题中，物品可以被切割成任意大小，而 在不可分割问题中，物品只能以完整的形式装入背包。
根据是否考虑时间因素，背包问题可以分为静态问题和动态 问题。在静态问题中，所有物品的属性和背包的容量都是固 定的，而在动态问题中，物品的属性和背包的容量可能会随 着时间变化。
完全背包问题的最优解法
最优解法通常采用贪心算法，即每次选择单位重量价值最高的物品，直到背包容量用完为止。这种方 法能够得到最优解，但并不是所有情况下都能找到最优解。
在某些情况下，贪心算法可能会错过最优解，因为它的选择是基于当前的最优选择，而不是全局的最 优选择。
完全背包问题的动态规划解法
动态规划是解决完全背包问题的另一 种方法，它通过将问题分解为更小的 子问题来求解。对于完全背包问题， 动态规划的思路是先解决子问题，再 根据子问题的解来解决原问题。
《背包问题详解》ppt 课件
目录
• 背包问题的定义与分类 • 0-1背包问题详解 • 多重背包问题详解 • 完全背包问题详解 • 变种背包问题详解
《背包问题详解》课件
贪心算法
按照物品的单位价值排序，不断 选取物品放入背包，直至背包无 法再放入任何物品。
分支界限算法
通过添加上下界、剪枝和优化等 技巧，搜索并找到最优解。
多重背包问题的解法
动态规充最优解。
贪心算法
按照物品的单位价值排序，依次选取物品放入 背包，直至背包无法再放入任何物品。
《背包问题详解》PPT课 件
背包问题是一类经典的组合优化问题，涉及在限定容量的背包中选择一组物 品以最大化价值或满足约束条件。本课件将详细介绍背包问题的定义、分类 以及不同类型的解法。
背包问题的定义和分类
背包问题是指在给定背包容量和一组物品的条件下，选择恰当的物品放入背包中，使得物品价值最大化或满足 特定的约束条件。背包问题可以根据约束条件的不同分为0/1背包问题、完全背包问题和多重背包问题。
背包问题的贪心算法
贪心算法是一种启发式算法，通过按照某种策略选择物品放入背包，逐步构建出问题的解。贪心算法的优点是 简单高效，但是并不保证必然能够得到最优解，只能得到近似解。
背包问题的分支界限算法
分支界限算法是一种精确算法，通过搜索问题的解空间树并进行剪枝和优化， 找到最优解或最优解的近似解。算法的核心思想是根据上下界限制，分割问 题空间，减少搜索的规模。
背包问题的变种及其解法
1
部分背包问题
限制物品的选择范围，求解背包能容纳
零钱兑换问题
2
的最大价值。
将背包问题中的背包容量转化为固定的
面额，求解所需的最少硬币数量。
3
集合覆盖问题
将背包问题中的容量和物品价值转化为 集合和元素的关系，求解最小化子集覆 盖问题。
背包问题的动态规划算法
动态规划算法是求解背包问题的一种常用方法。通过定义状态转移方程和利 用动态规划表格，逐步计算填充最优解。算法的核心思想是将问题拆解成子 问题，并利用子问题的最优解构造出大问题的最优解。
浅谈几类背包题 25页PPT文档
时两者都取，那么我们就需要求泛化物品的并 ，对同一体积，我们需要选取两者中价值较大 的一者，效率O(C)。
树形依赖背包（选课）
考虑对以i为根的子树的处理，假设当前需要处 理i的一个子节点s，体积v，价值w。
如果我们在当前的Fi中强制放入物品s后作为以s 为根的子树的初始状态的话，那么处理完以s为 根的子树以后，Fs就是与Fi有交集的泛化物品（ 实际上是Fs包含Fi），同时，Fs必须满足放了物 品s，即Fs[j] (v>j>=0)已经无意义了，而 Fs[j](C>=j>=v)必然包含物品s。
下一步只要求Fs与Fi的并，就完成了对一个子节 点的处理。
树形依赖背包（选课）
对于当前节点i，我们找到一个子节点s。
编号 0 1 2 3 4 5 … …
F把i Fi赋a0值给a1Fs，a作2 为这a3棵子a树4 的a初5 始状……态。
编号 0 1 2 3 4 5 …
…
i
F递s 归a处0 理以a1s为根a2的子a3树。a4
定义：考虑这样一种物品，它并没有固定的费 用（体积）和价值，而是它的价值随着你分配 给它的费用（体积）变化而变化。
泛化物品
泛化物品可以用一个一维数组来表示体积与价 值的关系G[j]表示当体积为j的时候，相对应的 价值为G[j] (C>=j>=0)。
显然，之前的背包动规数组Fi，就是一件泛化 物品，因为Fi[j]表示的正是体积为j的时候的最 大价值。同样的，多件物品也是可以合并成一 件泛化物品。
单调队列优化
对于多次背包，用最常见的状态表示是用F[i,j] 表示前i种物品，总体积不超过j的最大价值总 和。
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={(2,3),(3,5)}
S2={(0,0),(1,2), (2,3),(3,5)}
+(5,4) 3
S1 ={(5,4),(6,6), (7,7)}
S3={(0,0),(1,2), (2,3),(5,4),(6,6), (7,7)}
注：序偶(3,5)被(5,4)“支配”而删除
KNAP(1,n,M)问题的解
2i n
pi zi
2i n
p y
i
2 i n
w z
i i
M w1
i
则序列y1,z2,…,zn将是一个对于KNAP(1,n,M)具有更大 效益值的序列。
故，最优性原理成立
3 从前向后求解的递推关系式
记fj(X)是KNAP(1,j,X)的最优解，则fn(M) 是KNAP(1,n,M)的最优解
解向量的推导 f3(M)=6 f2(M)<>6
ΔP=6-p3=1 ΔM=6-w3=2
x3=1
X=(1,0,1)
f2(ΔM)=1 f1(ΔM)=1
x2=0 x1=1
5. 0/1背包问题图解过程
i:fi-1(x-wi) p1 2 1
f0(x)=0
f3(x)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
注： ● fi-1(X-wi)+pi曲线的构造：将fi-1(X)的曲线在X轴上右移wi个单 位，然后上移pi个单位而得到； ● fi(X)曲线的构造：由fi-1(X) 和fi-1(X-wi)+pi的曲线按X相同时 取大值的规则归并而成
贪心法求解0/1背包问题不一定得到最优解！ 动态规划求解的问题必须满足最优化原理
2.最优化原理证明
设y1,y2,…,yn是x1,x2,…,xn的0/1值最优序列。 若y1＝0, KNAP(2,n,M)是初始决策产生的状态。则 y2,…,yn相对于KNAP(2,n,M)将构成一个最优序列。否则， y1,y2,…,yn将不是KNAP(1,n,M)的最优解 若y1＝1, KNAP(2,n,M－w1)是初始决策产生的状态。 则y2,…,yn相对于KNAP(2,n,M－w1)将构成一个最优序列。 否则，设存在另一0/1序列z1,z2,…,zn,使得 且
对于fn(M)有： fn(M) = max{fn-1(M), fn-1(M-wn)+pn}
第N个物品不放入 xn=0 第N个物品放入 xn=1
对于任意的fi(X)，i＞0,有 fi(X) = max{fi-1(X),fi-1(X-wi)+pi}
递推过程： ★初始值
0
f0（X）=
X≥0
－∞ X＜0 ★f1(X)=max{f0(X),f0(X-W1)+P1} 求出所有可能的X对应的fi值
fi(x)
2 1
0 1 2 3 4 5 6 7 x f1(x) 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x 3 2 1 f2(x)
0 1 2 3 4 5 6 7 x
3 2 1
i＝2:f1(x-w2) + p2
0 1 2 3 4 5 6 7 x
0 1 2 3 4 5 6 7 x
i＝3:f2(x-w3) + p3 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1
★fi(X)=max{fi-1(X),fi-1(X-Wi)+Pi}
★最后求 fn(M)=KNAP(1,n,M)
fi(X) = max{fi-1(X),fi-1(X-wi)+pi}
4例用动态规划法求解0/1背包问题 n=3,(w1,w2,w3)=(2,3,4),(p1,p2,p3)=(1,2,5)，M=6 递推计算过程 －∞ X＜0 f0(X)= 0 X≥0 －∞ X＜0 f1(X)= max{0,－∞+1}=0 0≤X＜2 max{0,0+1} = 1 X≥2 －∞ X＜0 0 0≤X＜2 1 2≤X＜3 f2(X)= max{1,0+2}=2 3≤X＜5 max{1,1+2} = 3 X≥5 f3(M)= max{3,1+5} = 6
★ Sn是KNAP(1,n,X)在0≤X≤M各种取值下的最优解 ★ KNAP(1,n,M)的最优解由Sn的最后一对有效序偶给出。 xi的推导 xn: 设Sn的最后一对有效序偶是(Pl,Wl)，则 (Pl,Wl)或者是Sn－1的最末一对序偶， 或者是(Pj+pn,Wj+wn)，其中 (Pj,Wj)∈ Sn－1且Wj是Sn－1中满足Wj+wn≤M的最大值。 ● 若(Pl,Wl)∈ Sn－1，则Xn＝0；否则， ● (Pl－pn,Wl-wn)∈ Sn－1 ，Xn＝1 xn-1: 若xn=0，则判断(Pl,Wl)∈ Sn－2？，以确定Xn-1的值 若xn=1，则依据(Pl－pn,Wl-wn)∈ Sn－2？，以判断Xn-1的值
0, w i 0,1 i n
1in x i 0或1, pi
wi xi M
0/1背包问题：KNAP(1,n,M)
0/1背包问题：M=6,N=3,W=(3,3,4),P=(3,3,5) 贪心法：p3/w3 > p1/w1 > p2/w2 贪心解 ∑P=5（0,0,1） 最优解是：∑P=6（1,1,0）
6. 序偶表示法
记 fi(X)的序偶集合为 Si = {(Pj,Wj)|Wj是fi曲线中使得fi产生一次阶跃的X值， 0≤j＜r} 即Pj=fi(Wj) ● (P0,W0)=(0,0) ●图中有r个阶跃值, 对应r个(Pj,Wj)序偶,1≤j≤r ●图中若Wj＜Wj+1,则Pj＜Pj+1，0≤j＜r
5.5动态规划求解 0/1背包问题
1.问题描述 背包容量M，n个物品，分别具有效益值P1…Pn,物 品重量w1…wn,从n个物品中，选择若干物品放入 背包，物品要么整件放入背包，要么不放入。怎 样决策可以使装入背包的物品总效益值最大？
形式化描述：
目标函数： 约束条件：
max
1i j
pi x i
●图中若Wj≤X＜Wj+1，fi(X)=fi(Wj)
●图中若X≥Wr，fi(X)=fi(Wr)
● Si的构造
记 S 是fi-1(X-wi)+pi的所有序偶的集合，则
i 1
S1i {( P,W ) | (P pi ,W wi ) S i1}
其中，Si-1是fi-1的所有序偶的集合
Si的构造：由Si-1和 S1i 按照支配规则合并而成。 支配规则：如果Si-1和S i 之一有序偶(Pj,Wj),另一有(Pk,Wk)，
1
且有 Wj≥Wk , Pj≤ Pk， 则序偶(Pj,Wj)将被舍弃。 （即取最大值规则）。 初始序偶集合S0={(0,0)}
(w1,w2,w3)=(2,3,4),(p1,p2,p3)=(1,2,5)
例2 例1的序偶表示法 S0={(0,0)}
+(1,2)
S
1 1
={(1,2)}
S
2 1
+(2,3) 1 S ={(0,0),(1,2)}