电磁场与电池波第六章 习题答案
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∴R =
η 2 − η1 1 2η 2 2 =− , T = = η 2 + η1 3 η 2 + η1 3
j
（4） Er = ax RE0e
2π z 3
= −ax
E0 j 3 z e 3
2π
Er = ax RE0e
j
2π z 3
= −ax
E0 j 3 z e 3
8π
2π
w 8π （5） k2 = w μ 2ε 2 = μ rε r = rad / m c 3
当 x=0.8m 时，
100
e −8.9 x cos(10 7 πt − 8.9 x − ) A / m 4 π
π
E = a y 0.082 cos(107 πt − 7.11)v / m
H = a z 0.026 cos(10 7 πt − 7.9) A / m
（5）当 f=50KHz 时，
α=
8
（3）磁场强度的瞬时表达式； （4）平均坡印廷 求： （1）电磁波的相速； （2）波阻抗和 β ； 矢量。 解： （1） v p =
1
με
=
c
μrε r
= 1.5 × 10 8 m / s
（2）η =
μ0 μr μ ω = = 60π (Ω) ， β =Baidu Nhomakorabea= 4 rad / m ε ε 0ε r vp
2π = 3m k
az 2πx )(mA / m) cos( 3 10π
2πx )(mV / m) 3
∴ 空气中离导体表面最近的第一个波腹点的位置为 −
λ
3 =− m 4 4
6.15 在无线电装置中常配有电磁屏蔽罩， 屏蔽罩由铜制成， 要求铜的厚度至少为 5 个趋肤深 度，为防止 200kHz～3GHz 的无线电干扰，求铜的厚度；若要屏蔽 10kHz～3GHz 的电磁干 扰，铜的厚度又是多少？ 解：铜的电导率为 σ = 5.8 × 10 7 s / m 趋肤深度 δ c =
2π c = 2m ， 频率 f = = 1.5 × 108 Hz λ k
E = η H × a x = ( a y − a z )120 π H 0 cos( wt − π x ) v / m
2 S = E × H = ax 240π H 0 cos 2 ( wt − π x) w / m 2
6.3 无耗媒质的相对介电常数 ε r = 4 ，相对磁导率 μr = 1 ，一平面电磁波沿+z 方向传播，其 电场强度的表达式为 E = a y E0 cos(6 × 10 t − β z ) v / m
和磁场表达式； （3）空气中合成波的电场和磁场； （4）空气中离导体表面最近的第一个波腹点的位 置。 解： （1） k = w με =
2πf c
=
2π × 108 2π = (rad / m) 3 × 108 3
−j 2π x 3
∴ Ei = a y 6e
( mV / m)
2π
Hi =
1
η
ax × Ei =
ωμσ
2
= πfμσ = 0.89 Np / m
∴ x = 5.2m
∴ e −0.89 x = 1%
结论：频率越大，电磁波衰减越快。 6.5 判断下面表示的平面波的极化形式： （1） E = ax cos( wt − β z ) + a y 2 sin( wt − β z ) （2） E = ax sin( wt − β z ) + a y cos( wt − β z ) （3） E = ax sin( wt − β z ) + a y 5 sin( wt − β z ) （4） E = a x cos( wt − β z −
2 ∴ Ex2 + E y = 1, φx − φ y = −
π
π
2
所以，该平面波为左旋圆极化波。
（3） E = ax sin( wt − β z ) + a y 5 sin( wt − β z )
∵φx = φ y
所以，该平面波为线极化波。
（4） E = a x cos( wt − β z −
π π
4
) + a y sin( wt − β z +
π π
4
)
= ax cos( wt − β z − ) + a y cos( wt − β z − ) 4 4
∴φx = φ y
所以，该平面波为线极化波。
6.6 均匀平面电磁波频率 f=100MHz，从空气垂直入射到 x=0 的理想导体上，设入射波电场 沿+y 方向，振幅 Em = 6mV / m 。试写出： （1）入射波电场和磁场表达式； （2）反射波电场
w / m2
6.4 一均匀平面波从海水表面（ x=0 ）沿 +x 方向向海水中传播。在 x=0 处，电场强度为
E = a y 100 cos(10 7 πt )v / m ，若海水的 ε r = 80 ， μr = 1 ， σ = 4s / m 。
求： （1）衰减常数、相位常数、波阻抗、相位速度、波长、趋肤深度； （2）写出海水中的电场强度表达式；
1
α
=
1
πfμσ
−7
（1）∵ f1min = 200kHz, μ = 4π × 10 H / m
∴ δ c1 =
1
πf1 min μσ
= 1.48 × 10 − 4 m
∴ d1 = 5δ c1 = 7.4 × 10 −4 m
（2）∵ f 2 min = 10kHz, μ = 4π × 10 H / m
π
4
) + a y sin( wt − β z +
π
4
)
解： （1） E = ax cos( wt − β z ) + a y 2 sin( wt − β z )
π ∴ Ex = cos( wt − βz ) ， E y = 2 sin( wt − β z ) = 2 cos( wt − β z − ) 2
az − j 3 x e (mA / m) 20π
（2）∵ 电磁波垂直入射到理想导体上
∴ R = −1, T = 0 ∴ E r = − a y 6e
j 2π x 3
(mV / m)
2π
j x a H r = (−ax ) × Er = z e 3 (mA / m) η 20π
1
（3）空气中合成波的电场 E = Ei + Er = − a y 12 j sin( 磁场 H = H i + H r = （4）∵ λ =
Et = axTE0e
−j
8π z 3
2E − j z = ax 0 e 3 3
6.2 自由空间中一均匀平面波的磁场强度为
H = (a y + az ) H 0 cos( wt − πx) A / m
求： （1）波的传播方向； （2）波长和频率； （3）电场强度; （4）瞬时坡印廷矢量。 解： H = ( a y + az ) H 0 cos( wt − πx) A / m (1) (2) (3) (4) 波沿+x 方向传播 由题意得：k= π rad/m ， 波长 λ =
−7
∴ δc2 =
1 πf 2min μσ
=6.61ٛ 10 -4 m
∴ d 2 =5δc2 =3.3ٛ 10 -3 m
6.17 一均匀平面波从空间（媒质 1）沿+z 方向垂直入射到 ε r = 8 、 μr = 2 （媒质 2）的理想 介质表面上，电磁波的频率为 100MHz，入射波电场的振幅为 E0 、极化为+x 方向。 试求： （1）入射波电场强度的表达式； （2）入射波磁场强度的表达式； （3）反射系数和透射系数； （4）媒质 1 中的电场表达式； （5）媒质 2 中的电场表达式。 解： （1） k1 = w μ1ε1 =
（3）磁场强度的复数表达式：
E( z ) = a y E0 e- j β z 则 H(z) = 1 a z × E = −a x E0 - jβ z e 60π
η
磁场强度的瞬时表达式：
H = −a x
（4） S av =
E0 cos(6 × 108 t − 4 z ) A / m 60π
E2 1 Re[ E × H * ] = a z 0 2 120π
∴ E x2 +
2 Ey
4
= 1, φx − φ y =
π
2
所以，该平面波为右旋椭圆极化波。
（2） E = ax sin( wt − β z ) + a y cos( wt − β z )
∴ Ex = sin( wt − β z ) = cos( wt − β z − ), E y = cos( wt − β z ) 2
w 2π = rad / m c 3
−j 2π z 3 2π
∴ Ei = ax E0e
（2） H i =
1
η1
az × Ei = a y
E0 − j 3 z e 120π
（3）
η1=
μ μ1 = 0 =120π ( Ω ) ε1 ε0 μμ μ2 = 0 r =60π ( Ω ) ε2 ε0 εr
η2 =
（3）电场强度的振幅衰减到表面值的 1%时，波传播的距离； （4）当 x=0.8m 时，电场和磁场的表达式； （5）如果电磁波的频率变为 f=50kHz，重复（3）的计算。比较两个结果会得到什么结 论？ 解： （1）
σ σ = = 180 >> 1 ωε ωε 0ε r
∴α =
ωμσ
2
= 2 2π ≈ 8.9( Np / m)
∵ e −8 . 9 x = 1 %
∴ x = 0.52m
j
（4）
η=
π
2
(1 + j ) = πe
π
4
E = a y100e−8.9 xe − j 8.9 x
∴H = 1
η
ax × E = az
100
π
e
−8.9 x
e
− j 8.9 x − j
π
4
A/ m
∴ H = Re[ He jωt ] = a z
β=
η=
vp =
ωμσ
2
= 8.9(rad / m)
μ ωμ π = (1 + j ) = (1 + j )Ω ε 2σ 2 ω = 3.53 × 10 6 m / s β β
1
λ=
δc =
2π
= 0.707 m
= 0.11m
α
（2） （3）
E = a y100e −8.9 x cos(107 πt − 8.9 x)v / m
η 2 − η1 1 2η 2 2 =− , T = = η 2 + η1 3 η 2 + η1 3
j
（4） Er = ax RE0e
2π z 3
= −ax
E0 j 3 z e 3
2π
Er = ax RE0e
j
2π z 3
= −ax
E0 j 3 z e 3
8π
2π
w 8π （5） k2 = w μ 2ε 2 = μ rε r = rad / m c 3
当 x=0.8m 时，
100
e −8.9 x cos(10 7 πt − 8.9 x − ) A / m 4 π
π
E = a y 0.082 cos(107 πt − 7.11)v / m
H = a z 0.026 cos(10 7 πt − 7.9) A / m
（5）当 f=50KHz 时，
α=
8
（3）磁场强度的瞬时表达式； （4）平均坡印廷 求： （1）电磁波的相速； （2）波阻抗和 β ； 矢量。 解： （1） v p =
1
με
=
c
μrε r
= 1.5 × 10 8 m / s
（2）η =
μ0 μr μ ω = = 60π (Ω) ， β =Baidu Nhomakorabea= 4 rad / m ε ε 0ε r vp
2π = 3m k
az 2πx )(mA / m) cos( 3 10π
2πx )(mV / m) 3
∴ 空气中离导体表面最近的第一个波腹点的位置为 −
λ
3 =− m 4 4
6.15 在无线电装置中常配有电磁屏蔽罩， 屏蔽罩由铜制成， 要求铜的厚度至少为 5 个趋肤深 度，为防止 200kHz～3GHz 的无线电干扰，求铜的厚度；若要屏蔽 10kHz～3GHz 的电磁干 扰，铜的厚度又是多少？ 解：铜的电导率为 σ = 5.8 × 10 7 s / m 趋肤深度 δ c =
2π c = 2m ， 频率 f = = 1.5 × 108 Hz λ k
E = η H × a x = ( a y − a z )120 π H 0 cos( wt − π x ) v / m
2 S = E × H = ax 240π H 0 cos 2 ( wt − π x) w / m 2
6.3 无耗媒质的相对介电常数 ε r = 4 ，相对磁导率 μr = 1 ，一平面电磁波沿+z 方向传播，其 电场强度的表达式为 E = a y E0 cos(6 × 10 t − β z ) v / m
和磁场表达式； （3）空气中合成波的电场和磁场； （4）空气中离导体表面最近的第一个波腹点的位 置。 解： （1） k = w με =
2πf c
=
2π × 108 2π = (rad / m) 3 × 108 3
−j 2π x 3
∴ Ei = a y 6e
( mV / m)
2π
Hi =
1
η
ax × Ei =
ωμσ
2
= πfμσ = 0.89 Np / m
∴ x = 5.2m
∴ e −0.89 x = 1%
结论：频率越大，电磁波衰减越快。 6.5 判断下面表示的平面波的极化形式： （1） E = ax cos( wt − β z ) + a y 2 sin( wt − β z ) （2） E = ax sin( wt − β z ) + a y cos( wt − β z ) （3） E = ax sin( wt − β z ) + a y 5 sin( wt − β z ) （4） E = a x cos( wt − β z −
2 ∴ Ex2 + E y = 1, φx − φ y = −
π
π
2
所以，该平面波为左旋圆极化波。
（3） E = ax sin( wt − β z ) + a y 5 sin( wt − β z )
∵φx = φ y
所以，该平面波为线极化波。
（4） E = a x cos( wt − β z −
π π
4
) + a y sin( wt − β z +
π π
4
)
= ax cos( wt − β z − ) + a y cos( wt − β z − ) 4 4
∴φx = φ y
所以，该平面波为线极化波。
6.6 均匀平面电磁波频率 f=100MHz，从空气垂直入射到 x=0 的理想导体上，设入射波电场 沿+y 方向，振幅 Em = 6mV / m 。试写出： （1）入射波电场和磁场表达式； （2）反射波电场
w / m2
6.4 一均匀平面波从海水表面（ x=0 ）沿 +x 方向向海水中传播。在 x=0 处，电场强度为
E = a y 100 cos(10 7 πt )v / m ，若海水的 ε r = 80 ， μr = 1 ， σ = 4s / m 。
求： （1）衰减常数、相位常数、波阻抗、相位速度、波长、趋肤深度； （2）写出海水中的电场强度表达式；
1
α
=
1
πfμσ
−7
（1）∵ f1min = 200kHz, μ = 4π × 10 H / m
∴ δ c1 =
1
πf1 min μσ
= 1.48 × 10 − 4 m
∴ d1 = 5δ c1 = 7.4 × 10 −4 m
（2）∵ f 2 min = 10kHz, μ = 4π × 10 H / m
π
4
) + a y sin( wt − β z +
π
4
)
解： （1） E = ax cos( wt − β z ) + a y 2 sin( wt − β z )
π ∴ Ex = cos( wt − βz ) ， E y = 2 sin( wt − β z ) = 2 cos( wt − β z − ) 2
az − j 3 x e (mA / m) 20π
（2）∵ 电磁波垂直入射到理想导体上
∴ R = −1, T = 0 ∴ E r = − a y 6e
j 2π x 3
(mV / m)
2π
j x a H r = (−ax ) × Er = z e 3 (mA / m) η 20π
1
（3）空气中合成波的电场 E = Ei + Er = − a y 12 j sin( 磁场 H = H i + H r = （4）∵ λ =
Et = axTE0e
−j
8π z 3
2E − j z = ax 0 e 3 3
6.2 自由空间中一均匀平面波的磁场强度为
H = (a y + az ) H 0 cos( wt − πx) A / m
求： （1）波的传播方向； （2）波长和频率； （3）电场强度; （4）瞬时坡印廷矢量。 解： H = ( a y + az ) H 0 cos( wt − πx) A / m (1) (2) (3) (4) 波沿+x 方向传播 由题意得：k= π rad/m ， 波长 λ =
−7
∴ δc2 =
1 πf 2min μσ
=6.61ٛ 10 -4 m
∴ d 2 =5δc2 =3.3ٛ 10 -3 m
6.17 一均匀平面波从空间（媒质 1）沿+z 方向垂直入射到 ε r = 8 、 μr = 2 （媒质 2）的理想 介质表面上，电磁波的频率为 100MHz，入射波电场的振幅为 E0 、极化为+x 方向。 试求： （1）入射波电场强度的表达式； （2）入射波磁场强度的表达式； （3）反射系数和透射系数； （4）媒质 1 中的电场表达式； （5）媒质 2 中的电场表达式。 解： （1） k1 = w μ1ε1 =
（3）磁场强度的复数表达式：
E( z ) = a y E0 e- j β z 则 H(z) = 1 a z × E = −a x E0 - jβ z e 60π
η
磁场强度的瞬时表达式：
H = −a x
（4） S av =
E0 cos(6 × 108 t − 4 z ) A / m 60π
E2 1 Re[ E × H * ] = a z 0 2 120π
∴ E x2 +
2 Ey
4
= 1, φx − φ y =
π
2
所以，该平面波为右旋椭圆极化波。
（2） E = ax sin( wt − β z ) + a y cos( wt − β z )
∴ Ex = sin( wt − β z ) = cos( wt − β z − ), E y = cos( wt − β z ) 2
w 2π = rad / m c 3
−j 2π z 3 2π
∴ Ei = ax E0e
（2） H i =
1
η1
az × Ei = a y
E0 − j 3 z e 120π
（3）
η1=
μ μ1 = 0 =120π ( Ω ) ε1 ε0 μμ μ2 = 0 r =60π ( Ω ) ε2 ε0 εr
η2 =
（3）电场强度的振幅衰减到表面值的 1%时，波传播的距离； （4）当 x=0.8m 时，电场和磁场的表达式； （5）如果电磁波的频率变为 f=50kHz，重复（3）的计算。比较两个结果会得到什么结 论？ 解： （1）
σ σ = = 180 >> 1 ωε ωε 0ε r
∴α =
ωμσ
2
= 2 2π ≈ 8.9( Np / m)
∵ e −8 . 9 x = 1 %
∴ x = 0.52m
j
（4）
η=
π
2
(1 + j ) = πe
π
4
E = a y100e−8.9 xe − j 8.9 x
∴H = 1
η
ax × E = az
100
π
e
−8.9 x
e
− j 8.9 x − j
π
4
A/ m
∴ H = Re[ He jωt ] = a z
β=
η=
vp =
ωμσ
2
= 8.9(rad / m)
μ ωμ π = (1 + j ) = (1 + j )Ω ε 2σ 2 ω = 3.53 × 10 6 m / s β β
1
λ=
δc =
2π
= 0.707 m
= 0.11m
α
（2） （3）
E = a y100e −8.9 x cos(107 πt − 8.9 x)v / m