一道高考立体几何题的评析及教学反思

一道高考立体几何试题的评析及教学反思
一年一度的高考已尘埃落定，新的学年即将来临，教师只有深入研究高考原题，及时反思自己的教学行为，积极总结教学的得失与成败，才能不断丰富自我素养，提升自我发展能力，最终达到切实提高教育教学效益的目的。

下面从2019年全国3数学（理）高考题19题的立体几何试题说起：
1试题
2试题特点
2019年全国3数学高考试题充分体现了高考核
心功能：立德树人、服务选才、引导教学，重点考
查必备知识、关键能力、学科素养、核心价值，强
调基础性、综合性、应用性及创新性。

第19题立
体几何的考查也毫不例外， 题目的优点是：（1）该题是一道背景熟悉、朴实无华、极为简约、通俗易懂的试题，不存在阅读、审题障碍，也没有设置让考生摸不着门道的思维深度和阻碍；
（2）本题全面考查空间立体几何的公理，考查面面垂直的证明，考查二面角的计算及空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力和计算能力，属中档题；（3）第一问比较基础，易得分，另外本题的三问之间没有直接联系，即使第一问错，第二问也可以做对，即使前两问都做错了，也不影响第三问的解答；（4）每个小问解决的方法比较多，不同思路可得到不同的解法；（5）考查跨度非常大，以初中平面几何为出发点，通过折叠得到空间几何体，充分体现数学是一门非常重要的基础学科。

3解法探析
3.1证明A 、C 、G 、D 四点共面的方法有：
证法一：（依据是平行公理4和公理2的推论）由已知得AD BE CG BE AD CG ，，所以， 故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．
1ADEB RT ABC BFGC 1,2,60,AB,BC BE BF DG A C G D ABC BCGE 22B-CG-A AB BE BF FBC ∆===∠=⊥图是由矩形、和菱形 组成的一个平面图形，
其中将其沿 折起使得与重合，连结，如图2
（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；
（）求图中的二面角的大小。

证法二：（依据向量相等）
ADEB AD=BE BEGC CG=BE AD =CG A C D G 在矩形中有，在菱形中有，所以，故，，，四点共面. 证法三：（依据空间四点共面充要条件）
3.2证明ABC BCGE ⊥平面平面方法有：
证法一：（在平面ABC 中找一条直线垂直平面BCGE ）
证法二：（在面BCGE 中找一条直线垂直面ABC ）
3.3求二面角B -CG -A 大小的方法： 解法一：向量法
由（1）知EH ABC ⊥平面，以H 为坐标原点，HC 的方向为
x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H –xyz ，
由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC =60°，可求得BH =1，EH 3
则A （–1，1，0），C （1，0，0），G （2，03）， CG =（1，03AC =（2，–1，0）．
设平面ACGD 的法向量为n =（x ，y ，z ），则CG 0,AC 0,⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,20.x z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪
⎩所以可取n =（3，6，3）．
又平面BCGE 的法向量可取为m =（0，1，0），所以3cos ,||||⋅〈〉==n m n m n m ． 因此二面角B –CG –A 的大小为30°．
解法二：几何法
ADEB BE=AD BEGC BE=CG AG=AC+CG AG=AC+AD A C G D 在矩形中有，在菱形中有又，所以有，故、、、四点共面.
AB BE AB BC AB BCGE
AB ABC ABC BCGE.⊥⊥⊥⊂⊥证明：由已知得，，故平面又因为平面，所以平面平面E EH BC BC H AH AE AE=53AH=2EH AH
AB BE AB BC AB BCGE
EH BCGE AB EH EH AB EH ABC EH BCGE ABC BCGE.
⊥⊥⊥⊥⊥⊂⊥⊥⊥⊂⊥证明：过作，交于，连结和，由已知易求得，，
，由勾股定理逆定理得又因为，，故平面且平面，所以，即所以有平面，
因为平面，平面平面
解法三：投影法
4教学反思
4.1本题从公理、定理到应用的考查，既考查了学生对理论的掌握情况又考查了学生学以致用的情况。

第一问中证明四点共面，这是公理2和公理4的简单应用，因为老师复习时不重视理论，在几十套模拟试题也没出现过，所以很多学生就蒙了，心里一紧张，也认为第二问第三问都难了，中下的学生丢分现象较严重，有的尖子生心理素质差点也跟着栽了跟斗。

要知道，证明四点共面的题型在必修2的习题和选修2-1的课本及习题都有出现的。

我们的复习是否以本为本呢？这是很值得深思的问题。

4.2在历年的立体几何的考查中，考查面面垂直的概率达到了三分之二，面面垂直应该是师生复习的重点，但是很多学生难以下笔，思维混乱，绕来绕去，就没出现线面垂直这一关键桥梁，归根结底是对立体几何的一系列定理没有理解到位。

这么高失分率显而易见地暴露了教师在教学中没有立足学生实际，没有采取相应措施查缺补漏，没有对高频考点进行专题训练，只顾发试卷讲评试卷，让学生成为试卷的奴隶，甚至轮为做试卷的机械。

师生们岂能把知识的记忆、梳理、查缺补漏这一复习真理忘得一干二净了呢？
4.3在求二面角大小时，一般方法就是向量法，依次通过建立空间直角系——求点坐标和向量坐标——再求法向量——再代入向量夹角公式——最后根据实际求出角的大小。

教师在教学中要意识到学生的差异性，故在梳理基础知识和基本技能时不要“滑”过，而是要多收集多E EK CG CG K DK 1AB BCGD AB CG DE AB DE CG DKE DKE B-CG-A 3RT DEK DE=3tan DKE 3DE EK ⊥⊥
⊥⊥⊥∠∆∠=
==过作，交于，连结，由（）知面，所以又，所以CG ,故面，所以为二面角的平面角。

在中，1，，所以所以所求二面角的大小为30。

AB BCGE DE BCGE ACGD BCGE BCGE E EK CG CG K DK 1AB BCGD AB CG
DE AB DE CG DKE CG DK
RT DEK DE=EK=3DK=S ACGD=22=4S BCGE=23=23S B-CG-A θθ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥∆⨯⨯因为面，面，所以平行四边形在面的投影是平行四边形，过作，交于，连结，由（）知面，所以又，所以CG ,故面，所以在中，1，，2
所以，设二面角的平面角为，则有cos =
BCGE 233S ACGD 42
.==故所求二面角大小为30
整理不同背景的题型，给学生纵横比较，除了用常规向量法，有时用几何法、投影法也容易凑效，通过不同解法让学生思维的深度和广度在复习中都有所提高。