动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题

动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题

一、选择题

1.（2013福建龙岩4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【】

A．2 B．3 C．4 D．5

2.（2011年内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是【】

A、2.5秒

B、3秒

C、3.5秒

D、4秒

二、填空题

1.（2013年四川凉山5分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为▲ 。

，

2. （2012辽宁丹东3分）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P,BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有▲ 个.

【答案】5。

【考点】动点问题，正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，线段中垂线的性质，等边三角形的判定。

【分析】如图，符合条件的Q点有5个。

3. （2012青海西宁2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD的中点，点P在x轴上移动．小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为(－5，0)和(5，0)．请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标▲ ．

∴OK=。

∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，∴△POF∽△EOK。

∴OP：OE=OF：OK，即OP：5=：4，解得：OP=。

∴P点坐标为（，0）。

∴其余所有符合这个条件的P点坐标为：（8，0），（，0）。

三、解答题

1.（2013年重庆市B12分）已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F 为线段BE上一点，EF=7，连接AF。如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上。如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ。当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动。设运动时间为t秒，解答问题：

（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；

（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围。

【答案】解：（1）∵∠NGM=900，NG=6，MG=8，，

∴由勾股定理，得NM=10。

当点G在线段AE上时，如图，

此时，GG′=MN=10。

∵△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，

∴t=10秒。

（2）存在。

由矩形ABCD中，AB=12，BE=16，得AE=20。

①当0＜t≤10时，线段GN与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB 于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J。

根据题意，知AP=EN=t，

由△QNE∽△GNM得，即，∴。

由△QHE∽△NGM得，即，

∴。

若AP=AQ，则，解得，不存在；

若AP=PQ，则，△＜0，无解，不存在；

若AQ=PQ，则，无正数解，不存在。

（3）S与t的函数关系式为。

【考点】单动点和面动问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，由实际问题列函数关系式，分类思想的应用。

【分析】（1）由勾股定理，求出MN的长，点Q运动到AE上时的距离MN的长，离从而除以速度即得t 的值。

（2）分0＜t≤10和10＜t≤16两种情况讨论，每种情况分AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ三种情况讨论。

（3）当0＜t≤7时，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△QNE的面积，

二式相加，得。∴。

∴。

当＜t≤16时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于

△IFM的面积。

∵，

（同上可得），

∴。

综上所述，。

2. （2013年江苏徐州10分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x

轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：▲ ；

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）（﹣3，4）。

（2）设P A=t，OE=m，

由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE，

∴。

∴当t=时，m有最大值，即P为AO中点时，OE的最大值为。

仿①步骤，此时重叠部分的面积为。

3. （2013年辽宁大连12分）如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B

作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．

（1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明△MDE是等腰三角形；

（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；

（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．

①若DE⊥EM，

由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上，而点B、M在x轴上，因此点E必然在x

轴上。

由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合，不符合题意。

故此种情况不存在。

综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）。

（3）能。此时点P坐标为（，）。

【考点】二次函数综合题，单动点问题，平行的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰（直角）三角形的判定和性质，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，分类思想的应用。

4. （2013年辽宁锦州14分）如图，抛物线经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，3），点C在x轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数关系表达式及点C的坐标；