3.3幂函数
3.3幂函数(课件)人教A版必修第一册
(２)
1
，
−1.5
1
−1)3<(－1.4)3;
1
(２)
−1.5
>
1
−1.4
3.3 幂函数
思维篇
知识篇
素养篇
1.已知y=(m2+2m-2)
2−2
+3n-6(m,n∈N)是幂函数，
求m，n的值.
逻
辑
推
理
解：由m2+2m-2=1 得 m=-3(舍), 或m=1 ；
这里V是b的函数；
y=x3
(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形
的边长c＝ ，这里c是S的函数；
y=
1
2
(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平
1
均速度v＝
km/s，即v＝t-1，这里v是t的函数．
观察(1)～(5)中的函数解析式，它们有什么共同特征？
y=x-1
1 幂函数
第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
高中数学/人教A版/必修一
3.3 幂函数
思维篇
素养篇
知识篇
先看几个实例．
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，
那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
y=x
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，
这里S是a的函数；
y=x2
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，
逻
辑
推
理
所以 f(x)= ,且定义域[0,+∞)上为增函数.
由f(2-a)>f(a) 得：2-a > a≥0，
3.3-幂函数课件-2025届高三数学一轮复习
(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函
数，否则就不是幂函数．
•
(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα(α为常
数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②
底数为自变量，③底数系数为1.
知识点2 幂函数的图象与性质
1．五个幂函数的图象
5
6
5
∴ 0.31 < 0.35 ，即 −0.31
6
5
6
5
< 0.35 .
6
5
例12 (2024·湖南省长沙市期末)已知幂函数y =
m2
+m−5
2 −2m−3
m
x
,当
2
x ∈ 0, +∞ 时，y随x的增大而减小，则实数m的值为___.
【解析】∵ y
=（m2
+m
2 −2m−3
m
− 5）x
是幂函数，
(x α 的系数为1，注意该隐含条件)
高中数学人教版必修第一册A版
第三章 函数的概念与性质
3.3-幂函数
知识点1 幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数，其中
x是自变量，α是常数．
y＝xα
基础过关
例1-1 在函数y = x −4 ,y = 3x 2 ,y = x 2 + 2x,y = 1中,幂函数的个数为(
A.0
B.1
C.2
对于C，由幂函数的性质可知，幂函数的图象一定不经过第四象限，故C正确；
对于D，幂函数y = x与y = x 3 的图象的交点为(−1, −1)， 0,0 ， 1,1 ，共3个，故D
错误.
3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
高中数学必修一3.3幂函数-课件-人教A版
公共点
图象都过点(1,1)
性质总结
(1) 图像都过点（1，1)；
(2) y=x、y=x3、y=x-1是奇函数，y=x2是偶函
数；
1
(3) 在（0，+∞)上，y=x、y=x3、y=x2、y＝ x2单调递增，y=x-1单调递
(减4)；在第一象限内，y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x 轴无限接
高中数学人教A版（202X）必修第一册
3.3 幂函数
学习目标
幂函数定义的抽象
❖ 视察下面几个例子
❖ (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元;
❖ (2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2; ❖ (3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3;
1
c S2
❖ (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c= S
❖ (5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v= 1 km/s . t
这5个关系式都是函数关系，若将它们的自变量全部用x来 表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式分别是
t v 1
问题1：视察这五个函数的解析式，能不能找出它们的共同特征？能不能用 一个通式来表示这一类函数？
新知探究
问题2 （1）对于一类新函数，我们需要从哪些方面入手去研究？ （2）你能根据以前研究函数的思路，提出研究幂函数的方法吗？
（1）函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等． （2）通常先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再 利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．
新知探究
yx
y x2
y
3
x
1
y x2
数学人教A版必修第一册3.3幂函数课件
3 3
3 3
∴( )4 > ( )2
2
4
3
2
1 = 1.
课堂练习
变3.比较下列各题中两个幂的值的大小.
1
−2
1
−2
(1)1.1 与0.9 ；
(2)3
3
−4
1 3
与( )4 .
2
课堂练习
变3.比较下列各题中两个幂的值的大小.
1
−2
1
−2
(1)1.1 与0.9 ；
(2)3
−
3
−4
1
2
1 3
与( )4 .
）.
. > > >
=
=
=
. > > >
. > > >
例题讲授
例 证明幂函数() = 是增函数.
证明：函数的定义域是[0, +∞).
∀1 , 2 ∈ [0, +∞),且1 < 2 ,有
(1 ) − (2 ) = 1 − 2 =
例题讲授
题型二：幂函数的图象及应用
例2.若点(
, )在幂函数()的图象上，点(−, )在幂函数()的图象上，问
当为何值时，(1)() > (); ()() = (); ()() < ().
f ( x), f ( x) g ( x)
变式： 定义 h( x)
(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数，函数y＝x2是 偶函数；
1
2
(3)在区间(0,＋∞)上,函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ x 单调递增 ,函数y＝x－1 单调递减 ；
3.3幂函数(共43张PPT)
解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂 函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn， 因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 所以 3＝3n，解得 n＝12， 即 f(x)＝ x， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减， 所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式 为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0， 所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.
课件2：3.3 幂函数
{y|y≠0}
{y|y≥0}
定点
(0,0)(1,1) (0,0)(1,1) (0,0)(1,1)
(1,1)
(0,0)(1,1)
第Ⅰ象限单调性
单调增
奇偶性
奇函数
单调增 偶函数
单调增 奇函数
所在象限
Ⅰ,Ⅲ
Ⅰ,Ⅱ
Ⅰ,Ⅲ
单调减 奇函数
Ⅰ,Ⅲ
单调增 无 Ⅰ
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，因函数式中α 的不同而各异. • ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象 都通过点(1,1).
第三章 基本初等函数（Ⅰ） 3.3 幂函数
复习:
１.正分数指数幂，负分数指数幂是如何定义的？
m
a n n am
m
an
1
n am
2.求下列函数的定义域：
（１）y = x2 y = x3 y = x ½
（２）y = x-1 y = x-2 y = x -1/2
答案:（１） R
R
[ 0,+∞)
（２）(-∞,０)∪(０,+∞) (-∞,０)∪(０,+∞)
3
（1）y=x0 {x|x≠0} 偶函数（2）y= x 2 = x3 {x|x≥0}
2
1
（3）y=x 3 = 3 x2
{x|x≠0} 偶函数
1
x （4）y=x0.2 x5 5
R 奇函数
幂函数 定义域
y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y=x0.5
R
R
R
{x|x≠0} {x|x≥0}
值域
R
{y|y≥0} R
(０,+∞)
第3章3.3幂函数
❖
1
(5)如果某人t s内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v= km/s .
t
s= a2 ;
3
这些函数的解
析式有什么共
同特征？
都是形如
y=xα 的函数
S
讲授新课
一、幂函数的概念
1.幂函数的定义
一般地，函数 y=xα叫做幂函数,其中x为自变量,α
为常数.
2.幂函数的解析式的特征：
①xα的系数为1，
以 f(x)＝x3.因为 f(x)＝x3 在 R 上为增函数，所以由 f(a－3)>f(1－a)，得 a－3>1－a，解
得 a>2.所以满足不等式 f(a－3)>f(1－a)的实数 a 的取值范围是(2，＋∞).
变式1： 已知幂函数f()= 的图象过点P（2,8），
证明：f()在（0,+∞）上的单调递减。
典例讲解
例2： 利用单调性判断下列各值的大小.
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.2- 0.3 与 0.3-0.3
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)上是增函数,
∵5.2＜5.3
∴ 5.20.8 ＜5.30.8
关于这五个幂函数的图象，其中 = ， = ， = − ，
我们在初中已经画过了。
1
2
思考：如何画出 = 3 , = ,的图象？
讲授新课
1. 五种常见幂函数的图象
y=x3
y=x2
y=x
4
1
3
y= x 2
2
1
(1,1)
(-1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
3.3 幂函数
3.3 幂函数学习目标1．能够通过给出的具体实例，得出幂函数的概念.2.能够结合五个具体的幂函数y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝x 3的图象，通过归纳，抽象概括出五个幂函数的基本性质．知识点一 幂函数的概念 1．幂函数的定义一般地，函数□1y ＝x 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的特征(1)x α的系数为□21； (2)x α的□3底数是自变量； (3)x α的指数为□4常数． 只有满足这三个条件特征，才是幂函数，对于形如y ＝(2x )α，y ＝2x 5，y ＝x α＋6等函数都不是幂函数．[微练1] 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝2x 2是幂函数．(×) (2)函数f (x )＝2x 是幂函数．(×) (3)函数f (x )＝(x ＋1)3不是幂函数．(√)[微练2] 若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (x )＝________． 解析：设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，∴α＝12. 即f (x )＝x 12. 答案：x 12知识点二 常见幂函数的图象与性质 1．五种常见幂函数的图象2．五类幂函数的性质幂函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域□5R□6R□7R □8[0，＋∞)□9(－∞，0)∪(0，＋∞)值域□10R□11[0，＋∞)□12R □13[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性□14奇函数□15偶函数□16奇函数□17非奇非偶□18奇函数单调性□19增函数x∈[0，＋∞)，单调递增；x∈(－∞，0)，单调递减□20增函数□21增函数x∈(0，＋∞)单调递减；x∈(－∞，0)，单调递减公共点都经过点□22(1，1)幂函数的图象不经过第四象限．[微练3]函数f(x)＝－x3的图象是()解析：B f(x)＝－x3与f(x)＝x3关于x轴对称．故选B．[微练4]函数y＝x－3在区间[－4，－3]上的最小值为________．解析：因为函数y＝x－3＝1x3在(－∞，0)上单调递减，所以当x＝－3时，y min ＝(－3)－3＝1（－3）3＝－127. 答案：－127题型一 幂函数的概念1．在函数y ＝1x 2，y ＝2＋x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：B y ＝1x 2＝x －2，y ＝x －2是幂函数，其余都不是幂函数．2．若函数y ＝(m 2＋2m －2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数，则m 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．3解析：A 因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x m 为幂函数且在第一象限为增函数，所以⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，m >0， 所以m ＝1.3．已知幂函数f (x )的图象过点(4，12)，且f (x )＝8，则x ＝( ) A ．2 2 B ．64 C ．24D ．164解析：D 设f (x )＝x α，将点(4，12)代入得12＝4α，所以α＝－12，所以f (x )＝x －12.令x －12＝8，得x ＝8－2＝164.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式．题型二幂函数的图象及应用(1)幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x 13，y＝x－12在第一象限内的图象依次是图中的曲线()A．C1，C2，C3，C4B．C1，C4，C3，C2C．C3，C2，C1，C4D．C1，C4，C2，C3(2)点(2，2)与点(－2，－12)分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．(1)[解析]由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－1在第一象限内的图象为C4，y＝x 13在第一象限内的图象为C2，y＝x－12在第一象限内的图象为C3. [答案] D(2)[解]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；②当x＝1时，f(x)＝g(x)；③当x∈(0，1)时，f(x)<g(x)．解决幂函数图象问题应把握的原则(1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x－1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．1.已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b解析：A 由幂函数的图象特征知，c <0，a >0，b >0.由幂函数的性质知，当x >1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a >b .综上可知c <b <a .题型三 幂函数性质及应用 角度1 比较幂的大小(链接教材P 91练习T 2)利用幂函数的性质，比较下列各组数的大小； (1)1.554，1，1.754；(2)(－0.75)－2，0.76－2； (3)(23)23与(34)23.[解] (1)1＝154，幂函数y ＝x 54在(0，＋∞)上是增函数，故1<1.554<1.754. (2)(－0.75)－2＝0.75－2，幂函数y ＝x －2在(0，＋∞)上是减函数，故(－0.75)－2＝0.75－2>0.76－2.(3)∵函数y ＝x 23在(0，＋∞)是增函数，且34>23，∴(34)23>(23)23.比较幂值大小的方法(1)若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小．(2)若指数不同，可采用中介值法或估值法，如先与0比较大小，若都大于0，再与1比较，直到比较出所有数的大小，若中介值法不行则要采用估值法，判断各数的范围，进而比较出各数的大小．角度2 解不等式若(3－2m )12>(m ＋1)12，求实数m 的取值范围．[解] 因为y ＝x 12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧3－2m ≥0，m ＋1≥0，3－2m >m ＋1，解得－1≤m <23.故实数m 的取值范围为[－1，23)．利用幂函数解不等式的两个步骤利用幂函数解不等式，实质是已知函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；另外解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用．2．(多选题)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y ＝x α的值域为R ，且为奇函数的α的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3答案：BD3．(－0.31)65与0.3565的大小关系为________．解析：因为y ＝x 65为R 上的偶函数，所以(－0.31)65＝0.3165.又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，所以0.3165<0.3565，即(－0.31)65<0.3565.答案：(－0.31)65<0.35654．若幂函数f(x)过点(2，8)，则满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是________．解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为其图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数，所以由f(a－3)>f(1－a)，得a－3>1－a，解得a>2.所以满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)拓展提升幂函数图象的特征当α＝1时，y＝x的图象是一条直线；当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)的图象是一条不包含点(0，1)的直线；当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表．α＝pqα<00<α<1α>1p，q都是奇数p为偶数，q为奇数p为奇数，q为偶数课时规范训练A基础巩固练1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)()A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 解析：D 由题意设f (x )＝x n ， 因为函数f (x )的图象经过点(3，3)， 所以3＝3n，解得n ＝12，即f (x )＝x ，所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数．故选D ．2．已知当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝x α的图象恒在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是( )A ．0<α<1B ．α<0C ．α<1D ．α>1解析：C 由幂函数的图象特征知α<1.3．若f (x )＝x －12，则函数f (4x －3)的定义域为( ) A ．R B ．(－∞，34) C ．[34，＋∞)D ．(34，＋∞)解析：D ∵f (x )＝x －12的定义域为(0，＋∞)， ∴4x －3>0，∴x >34，故选D ．4．已知a ＝1.212，b ＝0.9－12，c ＝ 1.1，则( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <cD ．a <c <b解析：A b ＝0.9－12＝(910)－12＝(109)12，c ＝ 1.1＝1.112，因为f (x )＝x 12在[0，＋∞)上单调递增且1.2>109>1.1，所以1.212>(109)12>1.112，即a >b >c .5．(多选题)已知幂函数f (x )＝x n ，n ∈{－2，－1，1，3}的图象关于y 轴对称，则下列说法正确的是()A．f(－2)>f(1)B．f(－2)<f(1)C．f(－2)＝f(－1)D．若|a|>|b|>0，则f(a)<f(b)解析：BD幂函数f(x)＝x n，n∈{－2，－1，1，3}的图象关于y轴对称，则n＝－2，则f(x)＝1x2，f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是有f(－2)＝f(2)<f(1)＝f(－1)，则A错误，B正确，C错误；若|a|>|b|>0，则f(|a|)<f(|b|)，即f(a)<f(b)成立，故D正确．故选BD．6．(多选题)给出下列四个说法：①当n＝0时，y＝x n的图象是一个点；②幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④若幂函数y＝x n的图象在第一象限为减函数，则n<0.其中正确说法的序号是()A．①B．②C．③D．④解析：CD①显然错误；②中如y＝x－12的图象不过点(0，0)．根据幂函数的图象可知③，④正确．7．幂函数y＝x 23的定义域为________；其奇偶性是________．解析：y＝x 23＝(x2)13，∴定义域为R；偶函数．答案：(－∞，＋∞)偶函数8．已知幂函数f(x)＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限内是单调递减函数，则m＝________．解析：因为幂函数f(x)＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数．又因为f(x)在第一象限内是单调递减函数，故m2－2m－3<0，又m∈Z所以m＝1.答案：19．比较下列各组数的大小：(1)3－72和3.2－72；(2)(－23)23和(－π6)23；(3)4.125和3.8－43.解：(1)函数y＝x－72在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.2，所以3－72>3.2－7 2.(2)(－23)23＝(23)23，(－π6)23＝(π6)23，函数y＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，而23>π6，所以(－23)23>(－π6)23.(3)4.125>125＝1，0<3.8－43<1－43＝1，所以4.125>3.8－43.B能力进阶练10．函数f(x)＝x a＋b，不论a为何值，f(x)的图象均过点(m，0)，则实数b的值为()A．－1 B．1C．2 D．3解析：A∵幂函数y＝xα过定点(1，1)，∴f(x)＝xα＋b过定点(1，1＋b)，由题意1＋b＝0，∴b＝－1.11．(多选题)已知实数a，b满足等式a 12＝b13，则下列关系式中可能成立的是()A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<a<b D．1<b<a解析：AC画出y＝x 12与y＝x13的图象(如图)，设a12＝b13＝m，作直线y＝m.由图象知，若m ＝0或1，则a ＝b ；若0<m <1，则0<b <a <1；若m >1，则1<a <b .故其中可能成立的是AC ．12．(多选题)下列不等式在a <b <0的条件下能成立的是( ) A ．a －1>b －1B ．a 13<b 13C ．b 2<a 2D ．a －23>b －23解析：ABC 分别构造函数y ＝x －1，y ＝x 13，y ＝x 2，y ＝x －23，其中函数y ＝x －1，y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，而y ＝x 13，y ＝x －23为(－∞，0)上的增函数，故D 不成立，其他都成立．13．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________． 解析：因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α， 所以y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α<0. 答案：(－∞，0)14．已知幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N *)的图象关于原点对称，且在R 上单调递增． (1)求f (x )的解析式；(2)求满足f (a ＋1)＋f (3a －4)<0的a 的取值范围．解：(1)由题可知，函数f (x )在R 上单调递增，所以9－3m >0，解得m <3. 又m ∈N *，所以m ＝1，2.又函数图象关于原点对称，所以9－3m 为奇数，故m ＝2.所以f (x )＝x 3. (2)因为f (a ＋1)＋f (3a －4)<0， 所以f (a ＋1)<－f (3a －4)．因为f (x )为奇函数，所以f (a ＋1)<f (4－3a )． 又函数在R 上单调递增，所以a ＋1<4－3a . 所以a <34.所以a 的取值范围是(－∞，34)．C 探索创新练15．(多选题)已知幂函数f (x )＝x m n(m ，n ∈N *，m ，n 互质)，下列关于f (x )的结论正确的是( )A ．m ，n 是奇数时，f (x )是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，f (x )是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，f (x )是偶函数D ．0<mn <1时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数解析：AB f (x )＝x m n＝nx m ，当m ，n 是奇数时，f (x )是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数时，f (x )是偶函数，故B 中的结论正确；当m 是奇数，n 是偶数时，f (x )在x <0时无意义，故C 中的结论错误；当0<mn <1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故D 中的结论错误．故选AB ．。
3.3幂函数11题型分类(学生版) 2024-2025学年高一数学同步知识题型讲义(人教必修第一册)
3.3幂函数11题型分类一、幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．注意：幂函数的特征(1)xα的系数是1；(2)xα的底数x是自变量；(3)xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．二、一些常用幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)．三、一些常用幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y ＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数在[0，＋∞)上单调递增在(0，＋∞)上单调递减单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减注意：幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；(3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．（一）幂函数的概念判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.C ．3D ．132-4．（2024·浙江·模拟预测）已知()f x 是幂函数，且满足：①()()f x f x -=；②()f x 在()0,+¥上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数()f x =.2-5．（2024高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数()f x x a = (α是常数)的图象经过点()2,4，那么f (−2)=（ ）A ．4B ．-4C ．14D ．-14题型3：根据幂函数求参数3-1．（24-25高一上·上海·单元测试）函数()12122m y m m x -=+-是幂函数，则m =．3-2．（2024高一上·湖北孝感·阶段练习）函数()2227y k k x =--是幂函数，则实数k 的值是（ ）A ．4k =B ．2k =-C ．4k =或2k =-D ．4k ¹且2k ¹-3-3．（2024高一下·上海杨浦·开学考试）已知幂函数()()22325m m f x m m x--=+-×的图像不经过原点，则实数m =.（二）幂函数的图象及应用依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．题型4：幂函数过定点问题4-1．（2024高一上·广东东莞·期中）函数()2y x a a =-为常数的图象过定点．4-2．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数a y x =的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为.题型5：幂函数的图象及应用5-1．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数2,0,()()()1,0,x xf xg x f xxxì³ï==-í<ïî，则函数()g x的图象大致是（）A．B．C．D．5-2．（2024·全国·模拟预测）函数()11 3x xf xx --=的图象大致为（）A．B．C．D．5-3．（2024高三·全国·对口高考）已知幂函数p qy x=（,p q ZÎ且p与q互质）的图像如图所示，则（）A ．p 、q 均为奇数且0p q<B ．p 为奇数，q 为偶数且0p q <C ．p 为奇数，q 为偶数且0p q>D ．p 为偶数，q 为奇数且0p q<5-4．（2024高一上·福建泉州·期中）已知幂函数()()2231mm f x m m x+-=--，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为 ．5-5．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若点()4,2P 在幂函数()f x 的图象上，则()f x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5-6．（2024高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式：①34y x =；②23y x =；③32y x -=；④23y x -=；⑤32y x =；⑥13y x -=；⑦13y x =．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）A ．⑥③④②⑦①⑤B ．⑥④②③⑦①⑤C ．⑥④③②⑦①⑤D ．⑥④③②⑦⑤①（三）求幂函数的定义域和值域幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.幂函数的定义域由幂指数a 确定：①当幂指数取正整数时，定义域为R ；②当幂指数取零或负整数时，定义域为(一∞,0) U (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会学到)，再根据根式的要求求定义域.题型6：求幂函数的定义域6-1．（2024高一·全国·课后作业）若幂函数()f x 的图象经过点(25,5)，求()f x 的定义域.6-2．（2024·上海杨浦·一模）函数()12f x x -=的定义域为．6-3．（2024高一上·浙江·期末）已知幂函数3y x a a =-，则此函数的定义域为．题型7：求幂函数的值域（四）利用幂函数的性质比较大小（1）比较幂大小的三种常用方法:(2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题:比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.（五）幂函数的性质综合应用利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．题型10：利用幂函数解不等式10-1．（2024高三上·四川遂宁·阶段练习）若12()f x x =，则不等式()(816)f x f x >-的解集是（ ）A ．162,7éö÷êëøB ．(]0,2C ．16(,)7-¥D ．[2,+∞)10-2．（2024高一上·安徽·期中）已知幂函数()f x 的图象经过点1,93æöç÷èø，且()()12f a f +<，则a 的取值范围为（ ）A ．(),1-¥B ．()1,+¥C ．()3,1-D ．()(),31,-¥-+¥U 10-3．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）“1122(1)(32)a a +<-”是“223a -<<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10-4．（2024高一上·上海浦东新·期中）不等式()()3355252x x --+<-的解集为 ．10-5．（2024高一上·江苏盐城·阶段练习）函数12()f x x -=，则不等式(21)(1)f x f x ->+的解集为．题型11：利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用11-1．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数()()22322mm f x x m ,m --+=-<<ÎΖ在区间()0,¥+上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的x ÎR ，都有()()f x f x -=；②对任意的x ÎR ，都有()()0f x f x -+=中任选1个作为已知条件，求解下列问题.(1)求()f x 的解析式；(2)在（1）问的条件下，当[]3,3x Î-时，求()f x 的值域.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）11-2．（2024高一·全国·课后作业）已知函数：①2y x -=，②43y x =，③35y x =，④45y x -=，既是偶函数，又在(,0)-¥上为增函数的是．11-3．（2024高一上·上海杨浦·期末）已知112,1,,,1,2,322a ìüÎ---íýîþ，若幂函数()f x x a =奇函数，且在()0,¥+上为严格减函数，则a =.11-4．（2024高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数()()()2157R m f x m m xm --=-+Î为奇函数.(1)求12f æöç÷èø的值；(2)若()()21f a f a +>，求实数a 的取值范围.一、单选题1．（2024高一上·四川成都·期末）函数()f x ）A ．B ．C ．D ．2．（2024高一上·青海西宁·期末）已知点()3,2a 在幂函数()()1b f x a x =-的图象上，则（ ）A ．()1f x x-=B ．()122f x x =C ．()3f x x=D ．()13f x x =3．（2024高一上·内蒙古包头·期末）已知幂函数()f x 的图象过点(，则12f æöç÷èø等于（ ）A B C D ．144．（2024·海南·模拟预测）已知()()25mf x m m x =+-为幂函数，则（ ）．A ．()f x 在(),0-¥上单调递增B ．()f x 在(),0-¥上单调递减C ．()f x 在()0,¥+上单调递增D ．()f x 在()0,¥+上单调递减5．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）设R m Î，若幂函数221m m y x -+=定义域为R ，且其图像关于y 轴成轴对称，则m 的值可以为（ ）A ．1B ．4C ．7D ．106．（2024高二下·陕西咸阳·期末）现有下列函数：①3y x =；②12xy æö=ç÷èø；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数()2133m y m m x +=-+的图像关于y 轴对称，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．38．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数mn y x =（,m n 均为正整数且,m n 互质）的图象，则（ ）A ．,m n 是奇数且1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n>D ．,m n 是奇数，且1m n>9．（24-25高二下·福建莆田·期中）如图所示，图中的曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的n 依次为（ ）A ．2-，12-，12，2B ．2，12，12-，2-C ．12-，2-，2，12D ．2，12，2-，12-10．（2024高一上·安徽·期末）若幂函数()()224122m m f x m m x-+=--在区间()0,¥+上单调递减，则m =（ ）A ．3B ．1C ．1-或3D ．1或3-11．（2024高一上·重庆九龙坡·期末）已知111333332,,555a b c -æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b<<12．（2024高一·全国·课后作业）已知()21f x x =，若01a b <<<，则下列各式中正确的是（ ）A ．()()11f a f b f f a b æöæö<<<ç÷ç÷èøèøB ．()()11f f f b f a a b æöæö<<<ç÷ç÷èøèøC ．()()11f a f b f f b a æöæö<<<ç÷ç÷èøèøD ．()()11f f a f f b a b æöæö<<<ç÷ç÷èøèø13．（2024高一下·辽宁本溪·阶段练习）若幂函数()()224122m m f x m m x-+=--在区间()0,¥+上单调递增，则m =（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-14．（2024高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数()()22222n nf x n n x-=+-×在()0,¥+上是减函数，则n 的值为（ ）A ．3-B ．1C ．3D ．1或3-15．（2024高一上·江西萍乡·期末）已知幂函数()f x 的图像过点()64,4，则()8f 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．516．（2024高一上·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）A ．y =B ．21y x =C ．22y x =D ．1y x x=+17．（2024高一上·全国·课后作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）A ．①1y x -=，②12y x =，③13y x =B ．①1y x -=，②13y x =，③12y x =C ．①13y x =，②12y x =，③1y x-=D ．①13y x =，②1y x -=，③12y x =18．（2024高一下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知幂函数()y f x =的图象过()4,32点，则()2f =（ ）．A ．B ．4C ．D ．8二、多选题19．（2024高一下·山西忻州·开学考试）已知幂函数()()23m x m x f =-的图象过点12,4æöç÷èø，则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0-¥上为减函数D ．()f x 在()0,¥+上为减函数20．（2024高一上·宁夏银川·期末）幂函数()()211m f x m m x --=+-，m ∈N ∗，则下列结论正确的是（ ）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,¥+21．（2024高一上·重庆长寿·期末）下列函数既是幂函数，又在(),0-¥上单调递减的是（ ）A ．y x =-B ．2y x -=C ．1y x -=D ．2y x =22．（2024高一上·云南红河·期末）已知幂函数()f x 的图象经过点(8,，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ³时，()2f x ³D ．当120x x <<时，()()121222f x f x x x f ++æö<ç÷èø三、填空题23．（2024高一·全国·课后作业）幂函数()()2732351t t f x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+¥上为增函数，则函数解析式为 ．24．（2024高一上·宁夏吴忠·期中）若()f x 是幂函数，且()124f =，则13f æö=ç÷èø25．（2024高一下·江苏南京·阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函数()f x ，条件：①()f x 是偶函数；②()f x 为()0,¥+上的减函数．则()f x =．26．（2024高一上·广东肇庆·期中）已知幂函数()f x 的图象过点()3,3和()m,2，则实数m ＝ .27．（2024高一·全国·课后作业）幂函数()21N nn y x n ++=Î的图像一定经过第象限28．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是．29．（2024高一上·陕西咸阳·期末）已知幂函数()()222m f x m m x =--满足()()23f f <，则m = .30．（2024·宁夏银川·二模）已知函数()()22221m m f x m m x--=--是幂函数，且为偶函数，则实数m = ．31．（2024高一上·辽宁·期末）已知幂函数()()231m f x m m x =++在第一象限单调递减，则()f m = .32．（2024高三上·河南许昌·期末）已知函数()()21m f x m m x =+-是幂函数，且在()0,¥+上是增函数，则实数m 的值为 ．33．（2024高三下·上海杨浦·阶段练习）已知幂函数()y f x =的图像过点(9,3)，则(2)f 的值为．34．（2024高一上·江西赣州·期中）幂函数f (x )=(m 2−2m−2)x 2m−1在()0,¥+上为减函数，则m 的值为 .35．（2024高三下·上海·阶段练习）已知函数()13f x x =，则关于t 的表达式()()222210f t t f t -+-<的解集为 .36．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数1101 ()f x x æö=ç÷èø，若f (a−1)<f (8−2a )，则a 的取值范围是.37．（2024高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数()f x 过点，则满足(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是 ．38．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）幂函数()()226633m m f x m m x-+=-+在()0,¥+上单调递减，则m 的值为 ．四、解答题39．（2024高一上·四川眉山·期末）已知幂函数()y f x =的图象经过点1,22æöç÷èø．(1)求()f x 的解析式，并指明函数()f x 的定义域；(2)设函数()()g x x f x =+，用单调性的定义证明()g x 在()1,+¥单调递增．40．（2024高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小：(1)()32--，()32.5--；(2)788--，7819æö-ç÷èø；(3)3412æöç÷èø，3415æöç÷èø，1412æöç÷èø．41．（2024高一·全国·课后作业）求不等式()()2233131x x ->+的解.42．（2024高三·全国·课后作业）已知幂函数()223mm f x x --=（m 为正整数）的图像关于y 轴对称，且在()0,¥+上是严格减函数，求满足()()33132mma a --+>-的实数a 的取值范围．43．（2024高一上·福建龙岩·期末）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)kg x f x k x =+Î．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k £，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+¥上恒成立，求k 的取值范围．44．（2024高一下·四川广安·阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-Î在()0,¥+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =+-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．45．（2024高一上·辽宁辽阳·期末）已知幂函数()()25af x a a x =+-为奇函数．(1)求()f x 的解析式；(2)若正数,m n 满足31250m n a ++=，若不等式91b m n+³恒成立．求b 的最大值．46．（2024高一上·山东枣庄·期末）已知幂函数()()215m f x m m x -=--的图像关于y 轴对称.(1)求m 的值;(2)若函数()()g x f x =-()g x 的单调递增区间.。
高中数学人教A版必修第一册3.3幂函数(课件)
所以,幂函数 −3.2 > −
1
,即
−3.2
>
1
.
−
课堂小结
1.幂函数；
2.五个具体幂函数的图象及性质；
3. 幂函数的一些性质.
作业安排
1.完成习题3.3；
1
2.利用对幂函数的研究过程,对函数 = + 进行研究.
谢谢
知识像一艘船让它载着我们驶向理想的
……
1 + 2
1 − 2
=
1 + 2
例题精讲
例1 证明幂函数 = 是增函数.
证明续 由1 , 2 ∈ [0, +∞)且1 < 2 得:
1 + 2 > 0, 1 − 2 < 0
所以 1 − 2 < 0,即 1 < (2 ) .
因此,幂函数 = 是增函数.
奇偶性: 奇函数
新知讲授
3
幂函数 = 在 = 2时的图象及性质
定义域:
值域: [0, +∞)
单调性:在(−∞, 0]上单调递减
在[0, +∞)上单调递增
最值:在 = 0时有最小值0
奇偶性: 偶函数
新知讲授
4
幂函数 = 在 = 3时的图象及性质
定义域:
定义域: −∞, 0 ∪ 0, +∞
值域: −∞, 0 ∪ 0, +∞
单调性:在(−∞, 0)上单调递减
在(0, +∞)上单调递减
最值:无
奇偶性: 奇函数
新知讲授
7
幂函数的性质
3.3幂函数课件(人教版)
定义域
值域
单调性
奇偶性
数形结合
分类讨论
特殊→一般
应用
（五）课后作业
1.（书面独立完成）课本P91的练习1、2、3题.
1
2.（小组合作完成）课本P92函数 f ( x) x 的图象和性质.
x
感谢各位老师和同学的凝听！
第一次给幂这个概念下定义的是我国明代著名的科学家、政治家徐光启,同时他
还是一位沟通中西文化的先行者。徐光启在和意大利人利玛窦合译欧几里德《几何
本来》时，给幂字下注解：“自乘之数曰幂”.
2.数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立
方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设
课堂活动二：视察函数图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在下表内.
图象
定义域
值域
R
R
R
[0, )
(,0) (0, )
R
[0, )
R
[0, )
(,0) (0, )
奇偶性 奇函数
偶函数
在 R 上单 在 ( , 0)上单调
单调性 调递增
递减，
在 (0, )上单调
递增
以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数？
通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用
图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题.
课堂活动一：尝试在同一坐标系中画出函数 = ， =
= −1 图象.(取点要具有代表性)
2 ，
=
3 ，
1
2
= ，和
数．
注：幂函数的表达式 = 中，的系数必须为“1”.
人教A版高中数学必修第一册3.3幂函数【课件】
α
∴f(2)=,∴2 =,解得 α=-2,
∴f(x)=x-2.
f(x)的图象如图所示.
f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递
增区间为(-∞,0).
反思感悟
1.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四
象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第
(2)y= 的图象位于第一象限,因为函数为增函数,所以函数图
象是上升的,函数 y= -1 的图象可看作由 y= 的图象向下平
移 1 个单位长度得到(如选项 A 中的图象所示),将 y= -1 的图
象关于 x 轴对称后即为选项 B 中的图象.
答案:(1)B (2)B
探究二 幂函数的性质及其应用
对称,且在区间(0,+∞)内单调递减,求满足(2a-1) <(3-a) 的实
数 a 的取值范围.
解:∵函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴3m-9<0,解得 m<3.
又 m∈N*,∴m=1,2.
又函数图象关于 y 轴对称,∴3m-9 为偶数,故 m=1,Leabharlann -
-
-
∴有(2a-1) <(3-a) .∵y= 在区间(-∞,0),(0,+∞)内均单调递减,
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)1.13,1.23;
(2)4.8-3,4.9-3;
(3) -
-
, -
-
.
解:(1)设f(x)=x3,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,
3.3幂函数课件(新教材人教版必修第一册)
× 2 y 2x2
× 3 y x2 x
× 4 y x 12
× 5 y x
× 6 y 1
√ 7 y x0
√ 8 y 4 x3
注：1.判断一个函数是否是幂函数的标准： 只有形如y=xα 的函数才称为幂函数，即
底数是自变量x，指数α是一个常数，x前面的系数为1
基础知识讲解： 关于幂函数，主要学习下列几种函数的图象与性质.
（2）在第一象限内，函数值 随x的增大而增大，即在
（0，+∞)上是增函数。
（1）图象都过点（1，1）；
（2）在第一象限内，函数值随 x的增大而减小，即在
（0，+∞）上是减函数。
注：2.当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数
例1：证明幂函数 f (x) x 是增函数．
证明：函数的定义域是[0，+∞). 任取x1,x2∈[0，+∞)，且x1＜x2，（取值）
(0,+∞)减
公共点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
注：2.当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
幂函数y=xα在第一象限的性质:
y y=x3 y=x2
y y=x－1
y=x－2
y=x－2
1
y=x1/2
1
y=x－1/2
0
1
X
α>0
0
1
X
α<0
（1）图象都过点（0，0）和 点（1，1）；
一、幂函数的定义： 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量， α是常数.
注意:幂函数中α可以为任意实数.
注：1.判断一个函数是否是幂函数的标准
高中数学必修一课件 3.3 幂 函 数
2，
则 k＋α＝
()
A．12
B．1
C．32
D．2
解析：∵幂函数 f(x)＝kxα(k∈R ，α∈R )的图象过点12，
2，
∴k＝1，f 12＝12α＝ 2，即 α＝－12，∴k＋α＝12. 答案：A
3．若 y＝ax a2＋12 是幂函数，则该函数的值域是________． 解析：由已知 y＝ax a2＋12 是幂函数，得 a＝1，所以
A．y＝x＋2
B．y＝x2
C．y＝ x
D．y＝x3
解析：设幂函数的解析式为 y＝xα，当 x＝2 时，y＝4，
故 2α＝4，即 α＝2.
答案：B
知识点二 五个幂函数的图象与性质 (一)教材梳理填空
解析式 y＝x
y＝x2 y＝x3
1
y＝x 2
图象
y＝1x
定义域 _R__
_R__
__R_ _[0_，___＋__∞__) {_x_|_x_≠__0_}
[精准训练]
1．下列不等式在 a＜b＜0 的条件下不能成立的是 ( )
A．a－1＞b－1
1
1
B．a 3 ＜b 3
C．b2＜a2
-2
-2
D．a 3 ＞b 3
解析：分别构造函数
y＝x－1，y＝x
1 3
，y＝x2，y＝x -
2 3
，其
中函数 y＝x－1，y＝x2 在(－∞，0)上为减函数，故 A、C
成立．而
2．已知函数 f(x)＝(a2－a－1)xa－1 2为幂函数，则 a＝(
)
A．－1 或 2
B．－2 或 1
C．－1
D．1
解析：因为 f(x)＝(a2－a－1)xa－1 2为幂函数，所以 a2－a －1＝1，所以 a＝2 或－1.又 a－2≠0，所以 a＝－1. 答案：C
3.3 幂函数 课件(37张)
[教材提炼]
预习教材，思考问题
函数 f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝1x，以前叫什么函数，它们有什么共同特征？
知识梳理 (1)一般地，函数__y_＝__x_α__叫做幂函数(power function)，其中 x 是自变量， α 是常数． (2)幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数； ②底数是自变量，自变量的系数为 1； ③幂 xα 的系数为 1； ④只有 1 项．
若函数 f(x)＝(2m＋3)xm2－3 是幂函数，则 m 的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：幂函数是形如 f(x)＝xα 的函数，所以 2m＋3＝1，∴m＝－1.
答案：A
探究二 幂函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的图象
[例 2] 幂函数 y＝x2，y＝x－1，y＝ 内的图象依次是图中的曲线( ) A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2 C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3
由题意得(a＋
.
∵y＝ 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减， ∴a＋1＞3－2a＞0 或 0＞a＋1＞3－2a 或 a＋1＜0＜3－2a， 解得23＜a＜32或 a＜－1.
利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与 幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式求参数范围，注意分类讨论思想的应用．
[解析] y＝ ＝3 x2≥0，故只有 D 中的图象适合． [答案] D
3．如果一个函数 f(x)在其定义域内对任意 x，y 都满足 fx＋2 y≤12[f(x)＋f(y)]，则称这 个函数为下凸函数．下列函数：
3.3 幂函数-(新教材人教版必修第一册)(33张PPT)
性质，培养逻辑推
3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 理的数学素养.
自主预习 探新知
1．幂函数的概念 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量， α 是常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12， y＝x－1的图象如图所示：
谢谢~
数．( )
(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上
是减函数．( )
2．幂函数的图象过点(2， 2)， 则该幂函数的解析式是( )
A．y＝x－1 B．y＝x12 C．y＝x2 D．y＝x3
B [设f(x)＝xα，则2α＝ 2， ∴α＝12，∴f(x)＝x12. 选B.]
3．函数 y＝x54的图象是( )
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象
多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f12＝
12log23＝13.]
幂函数的图象及应用 【例2】 点( 2，2)与点－2，－12分别在幂函数f(x)，g(x)的图象 上，问当x为何值时，有： (1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
m2＋2m－2＝1，
[解] 由题意得m2－1≠0， 2n－3＝0，
m＝－3， 解得n＝32，
所以m＝－3，n＝32.
判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的 形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2 底数为自变量；3系数为1.
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…0
-3.38 1-1
212
30
1
24
1-0.4.113 1.073 0.123
1…
3 2
…
1…3.38 …
幂函数的性质
观察5个幂函数的 图像，填写课本 P90 的表格.
y
y
3
x
y x2
yyx x
1
y
yx
函数 y x
定义域 R
O
x 值域 R
奇偶性 奇函数
单调性 增函数
y
第三章 函数的概念与性质
3.3幂函数
温故知新
前面我们学习了函数的概念，利用函数的概念和对图 像的观察，研究了函数的一些性质： 1.函数的单调性:定义单调性证明步骤常见函数的单 调性; 2.函数的最值:定义二次函数最值最值与函数单调性； 3.函数的奇偶性:定义奇偶性判断奇偶性与单调性； 本节我们将研究一类新的函数——幂函数.
②若底数相同,利用指数函数的单调性;
③若底数,指数都不相同,构造中间量.
课堂小结
•了解幂函数的概念 •会画常见幂函数的图象 •结合图像了解幂函数图象的变化 情况和简单性质 •会用幂函数的单调性比较两个底 数不同而指数相同的幂的大小
THANKS
LOREM IPSUM
值域 R
奇偶性奇函数
O
x
单调性增函数
你能给出函数f(x)=x3的单调性，
奇偶性的代数证明吗？
提示：(a-b)3=(a-b)(a2+ab+b2)
y=x
y=x2
y=x3
y=x
1 2
y=x-1
定义域 R
值域
R
R ［0,+∞）
奇偶性 奇函数
偶函数
单调性 增函数 在(-∞，0]上单调递减
在［0，+∞)上单调递增
y x-1
O
函数
y x-1
定义域 (-∞，0)∪(0，+∞)
值域 (-∞，0)∪(0，+∞)
奇偶性
奇函数
x
单调性 (-∞，0)单调递减
(0，+∞)单调递减
y
y x2
函数
y x2
定义域
R
O
x 值域
(0，+∞)
奇偶性
偶函数
单调性 (-∞，0)单调递减
(0，+∞)单调递增
y
1
函数 y x2
1
典例解析：
例1. 如图所示,曲线是幂函数 y = xk 在第一象限内的
图象，已知 k分别取 1,1, 2, 1 四个值，则相 2
应图象依次为:_____C_4__C_2__C_1__C_3_____
1
思维升华：幂函数图象在直线x=1的右侧时:图象越高, 指数越大;图象越低，指数越小。在Y轴与直线x =1之 间正好相反。
y x2
定义域[0,+∞)
值域 [0,+∞)
奇偶性非奇非偶函数
O
x
单调性 增函数
1
你能给出函数 f ( x) x 2 x
单调性的代数证明吗？
例 证明幂函数 f (x) x 是增函数．
证明：函数的定义域为[0,+∞),任取x1,x2∈ [0,+∞),且x1＜x2,则: f (x1) f (x2 ) x1 x2
❖ (5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v= 1 km/s . t
这5个关系式都是函数关系，它们有 什么共同特征？
t v 1
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示, 则它们的函数关系式将是:
yx
y x2
y
3
x
1
y x2
y
1
x
共 同 ❖ 幂的形式
❖ 幂的底是自变量
幂函数性质的应用——比较幂值大小
例 比较下列各组中值的大小，并说明理由
（1）1.10.5 , 1.40.5;(2) 1.53 , 1.73 , 1 ;
1
1
(3) 1.40.5 , 1.43 ;(4) ( 4 ) 2 , ( 9 ) 3
比较幂5 值大10小关键是看指数相同还是底数
相同:
①若指数相同利用幂函数的单调性；
(2) 若α>0，在第一象限内递增； 若α<0，在第一象限内递减.
y 1 1
(3) 当α为奇数时，幂函数为奇函数； 当 α为偶数时，幂函数为偶函数．
(4) 当α>1 时，图象下凸 ; 当0<α<1时，图象上凸.
(5) 图像不过第四象限.
1
o1
0 1
0
x
(6)第一象限内, 当x>1时，α越大图象越高
，-1
y x y x2
y
1
x
y
3
x
1
y x2
五个常用幂函数的图象：
(-2,4)
y y x3 y x2
4
(2,4)
yx
3
1
2
y x2
1
-4
-3
-2
-1
o
(1,1)
1 2
1
2
y x1
3
4x
yx
y x2
y
1
x
1
y x2
y
3
x
(-1,-1)
-1
-2
-3
xx
…0
3 2
1-1
yy=x3x
1 2
(1) y=x4
(2) y
1 x2
(5) y=2x2 (6) y=x3+2
(3) y= -xe
1
(4) y x 2
(7)y=(x-1)2
(8) y 1 x
随堂练习
1.已知幂函数y=f(x)的图像过点(2, 2 ),求这个 函数的解析式.
1
对于幂函数y=xα,我们只研究α 的图像和性质.
=1，2，3，2
新课引入
写出下列y关于x的函数关系式
❖ (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元;
❖ (2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2; ❖ (3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3;
1
c S2
❖ (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c= S
注意:若给出的 (函x数1 是有x2 根)( 号x1的 式x子2 ) ,往往 采用有理化的方式x1. x2
x1 x2 x1 x2
因为x1 x2 0, x1 x2 0, 所以f (x1) f (x2 ),即幂函数 f (x) x在[0,)上是增函数 .
y
y x3
函数 y x3
定义域 R
特 ❖ 幂的指数是常数
征
y x
新课讲授 幂函数的定义
一般地，函数y=xα叫做幂函数，
其中x为自变量，α为常数。 几点说明:
1、y=xα中，xα的系数为1，并且后面没有常数项，要确定一 个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数α 确定下来；
2、幂函数中的α可以为任意实数.
随堂练习
判一判
判断下列函数是否为幂函数.
R R
奇
增函数
［0,+∞）
{x|x≠0}
［0,+∞）
非奇非偶
{y|y≠0}
奇
增函数
在(-∞，0)上单调递减， 在(0，+∞)上单调递减
公共点
图象都过点(1,1)
幂函数的性质
y
y
3
x
y x2
yyx x
1
y x2
y
1
x
O
x
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在第一象限内都有图象,且恒过点(1,1);