(完整版)第四章_控制系统的稳定性分析_

点处的平衡点；
取能量函数 v(x) x2 x2 ，满足条件；
1
2
计算该系统能量的变化量：
v(x)
2x x 11
2x x 22
2x (x 11
x) 2
2x (x
2
1
x) 2
2( x 2 1
x2 ) 2
xT
2 0
0 2 x
显然，能量的变化量函数 v(x) 正定。结论：此系统不稳定。
解(2)：
线性系统因状态矩阵的逆存在，所以只存在一个在原点处的平衡点；
解：
x x x (x2 x2 )
1
2
11
2
x x x (x2 x2 )
2
1
21
2
求平衡点：xe 0 ；
取能量函数 v(x) x2 x2 ，满足条件；
1
2
v(x)
2(x2 1
x2 )2 2
，在x
0时，有v(x)
0；在x
0时，有v(x)
0
结论：系统在平衡点处稳定，当 x 时，有 v(x) ，则此系 统为大范围渐近稳定。
v(x) (Ax)T px xT p(Ax) xT (AT p pA)x 显然，系统稳定的充分必要条件是 (AT p pA) Q 负定，即Q，P都 为正定实对称矩阵。
定义 (AT p pA) Q 为李亚普诺夫方程。 （2）判别方法（充分条件）：
• 取矩阵Q=I，则 v(x) 负定，由李亚普诺夫方程(AT p pA) Q 反
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(3) 不稳定
如果对于某个实数 0 和任一实数 0 ，当
x x 时
0
e
总存在一个初始状态x0使得
(t, x ,t ) x
00
e
(t t ) 0
，则称平衡
状态不稳定。
几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡点的 距离越来越远。
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3. 稳定的范围
（1） 渐近稳定：当系统初始状态在平衡点附近的有限 区域内时，系统稳定。
的解 (t, x ,t ) 满足 (t, x ,t ) x (t t ) ,则称系统在平衡
00
00
e
0
状态是李亚普诺夫意义下的稳定。
几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡点 的距离可以维持在一个确定的数值内，而到达不了平衡点。即 二维空间运动轨迹在直径为有限值的圆内，三维空间运动轨迹 在直径为有限值的球面内。
则称状态xe是系统的一个平衡点。平衡点的物理意义可以解释为所有状态的变 化速度为零，即是静止状态故称平衡点。
(2) 平衡状态的计算
平衡状态即为代数方程组 f (x,t) 0 的解。 • 线性定常系统的平衡状态：当A是非奇异时，则Ax=0，所以平衡状态是唯
一的且在原点。
• 非线性系统的平衡状态：可能存在一个或多个平衡状态。
推P正定，则系统在原点处渐近稳定，且大范围渐近稳定。
• 为计算简便，可选 v(x) 半负定，即Q半正定，由李亚普诺夫方程
(AT p pA) Q 反推P正定，然后再确定在 x 0 时，有 v(x) 不衡 等于零存在。则系统在原点处渐近稳定，且大范围渐近稳定。 其中：v(x) xTQx; v(x) xT Px ( AT P PA) Q P167例4-8[例3] P167例4-9[例4] 3. 线性时变系统的稳定性（自学） 4.线性定常离散系统的稳定性（自学） 返回
第四章 控制系统的稳定性分析
一．概述 二．线性动态系统的外部稳定性 三．动态系统的内部稳定性 四．李亚普诺夫稳定性判别定理 五．线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法 六．非线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法
一．概述
1. 稳定性是系统性能研究的首要问题 2. 古典控制理论对稳定性描述存在一定的局限性
(1) 局限于研究线性系统； (2) 局限于对系统外部稳定性的描述。
1、二次型函数的引出及一般概念（1-3） 2、李亚普诺夫第二方法分析系统稳定性 3、李亚普诺夫第二方法应用举例
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1. 二次型函数的一般概念
(1) 定义：代数式中一种多项式函数，每一项的次数都 是二次，则称该函数为二次型函数（标量函数）。
(2) 二次型函数的表示形式（以三阶系统为例）
代数式： v(x) dx1x2 ax12 ex1x3 bx22 cx32 fx2 x3
3. 古典控制理论的稳定性判别是Routh和Nyquist判据 4. 现代控制理论采用的稳定判别是李亚普诺夫稳定判据
(1) 稳定判据可用于线性或非线性系统； (2) 可以研究系统的外部稳定性也可以研究系统的内部稳定性； (3) 能够反映系统稳定的本质特征。
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二．线性控制系统的外部稳定性（输出稳定）
1. 线性系统外部稳定的定义
零初始条件下，对于任意一个有界输入，若系统所产 生的相应输出也是有界的，称该系统是外部稳定的，简称 BIBO稳定。
2. 状态空间表达式所描述的系统的外部稳定性
系统外部稳定的充分必要条件是输入与输出之间的传递 函数矩阵中的所有元素的极点全部位于S平面的左半部。
x Ax Bu y(t) Cx
（2）大范围渐近稳定：系统状态在整个状态空间时系统 状态都稳定。即稳定性与初始条件无关。线性系统 渐近稳定即大范围渐近稳定。
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4. 内部稳定与外部稳定的关系
(1) 内部稳定的系统外部一定稳定； (2) 外部稳定的系统不能保证内部稳定； (3) 完全能控和能观系统，则外部稳定与内部稳定等价；
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四．李亚普诺夫稳定性的判别定理
下列条件，即
i
0 0
(i 2,4,6 ) (i 1,3,5 )
，则函数v(x) 半负定 。
• 不定：不满足上述任何一种条件的二次型函数，即可正也可负。
2. 李亚普诺夫第二方法（研究平衡点在原点的稳定性）
(1) 李亚普诺夫函数（能量函数）：
系统运动需要能量，系统在非零初始状态作用下的运动过程中，
取能量函数 v(x) 0.5x12 0.5x22 ，满足条件；
计算该系统的能量的变化量：
v(x)
x x 11
x x 22
2x (x ) 2x (x
12
2
1
x ) 2
2 x 2 2
xT
0 0
显然，能量的变化量函数 v(x) 半负定。
0 2x
需要进一步确定在非平衡点处是否衡等于零：
令 v(x) 0 x2 0 代入状态方程得
则有（1）若A的特征值都具有负实部，系统在平衡点处渐近稳定；
（2）若A的特征值至少有一个有正实部，系统在平衡点处不稳定；
（3）若A的特征值有纯虚根，其它根都是负实部，则系统在平衡 点稳定性不能确定。 [例5]：P183举例。
v(x) 0, x 0
• 负定：当 v(x) 0, x 0 时，即系数矩阵 P 的各阶主子行列式均满足
源自文库
下列条件，即
0
i
0
(i 2,4,6 ) (i 1,3,5 )
，则函数v(x)
负定。
v(x) 0, x 0
• 半负定：当 v(x) 0, x 0 时，即系数矩阵 P 的各阶主子行列式均满足
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五．线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法
1.李亚普诺夫第一方法（间接法）
(1)定理：线性系统大范围渐近稳定的充分必要条件是状态矩阵A的所 有特征值都具有负实部。 (2)判别方法：求特征方程 f (s) sI A 0 的特征值。
2.李亚普诺夫第二方法（直接法）
(1)理论依据： 已知系统状态空间表达式为 x Ax ，设标量函数 v(x) xT px ，且 v(x) 正定，得 v(x) xT px xT px，把状态方程代入得
1
1e
2
2e
n
ne
当范数
xx e
限制在某一范围之内时，可以表示为
xx e
。且具有
明确的几何意义。用此概念来分析系统的稳定性。
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2. 李亚普诺夫稳定性定义
用状态向量到平衡点的范数来表示系统在n 维空间运动过程中随时间推移状态向量与平衡点 之间的距离变化，存在以下三种情况： (1) 渐近稳定
(2) 李亚普诺夫意义下的稳定 (3) 不稳定
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•
正定：当
v(x) v(x)
0, 0,
x0 x0
时，即系数矩阵 P 的各阶主子行列式均大于零，
即 0 (i 1,2, n) 则函数 v(x) 正定。 i
•
半正定：当
v(x) 0, v(x) 0,
x0
x 0 时，即系数矩阵 P 的各阶主子行列式均大于或
等于零，即 0 (i 1,2, n，) 则函数 v(x) 半正定。 i
xx12
x 1
x 1
x 2
x3 2
x 1
x 1
0 x
2
x3 2
0
0
x e1
0,
0
x e2
1,
0
x e3
1,
(3) 状态向量 x 的范数
在n维状态空间，向量x的长度称为向量x的范数，表示为：
x
x2
x2
x2
1
(xT x)2
。
1
2
n
状态向量x到平衡点xe的范数：
x
x e
(x x )2 (x x )2 (x x )2
则此系统为大范围渐近稳定。
• 不稳定：v(x) 正定 。 • 系统稳定性无法确定：不存在上述规律。
注意：能量函数的非唯一性。
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3. 应用举例
[例1]：已知线性系统的状态矩阵，判断系统的稳定性。
解(1)：
(1)
A
1 1
1 1
;
(2)
A
0 1
1 1
线性系统因状态矩阵的逆存在，所以系统只存在一个在原
wyu (s)
C ( sI
A)1
B
C(sI A) * sI A
B
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三．动态系统的内部稳定性
（研究系统状态的稳定性——李亚普诺夫稳定性）
1. 基本概念 2. 李亚普诺夫稳定性定义 3. 稳定的范围 4. 内部稳定与外部稳定的关系
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1. 基本概念
(1) 平衡状态的定义
设不受外力的系统状态方程为 x(t) f (x,t)，x（t），f（x，t）是 n 维 状态向量函数。若系统存在一个状态 xe 对任意时间 t 都有 x(t) f (x,t) 0
x e
，则称系统在
平衡状态xe是渐近稳定。
几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡
点距离可以无限接近，直至到达平衡点后停止运动。
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(2) 李亚普诺夫意义下的稳定
对于系统 x(t) f (x,t)，若任意给定实数 0 ，都存在另一
实数 (,t) ,0
使得当 x x
0
e
时，从任意初始状态 x0 出发
六．非线性系统李亚普诺夫稳定性分析
1.李亚普诺夫第一方法（线性化法）
已知系统状态空间表达式为 x f (x) ，
f1
f (x)
x1 f 2
A
定义
xT
x xe
x1
f1
x2 f 2
x2
f1
f n
x1 x2
f1
xn f 2
xn
f n
xn xxe
雅克比矩阵。x Ax R(x)
若能量随着时间的推移在逐渐的减小以至最终消失，则这种系统一
定是稳定的。反之，系统则不稳定，若能量在其运动过程中即不减
也不增，则为李亚普诺夫意义下的稳定。
任选一个正定的能量函数v（x），即满足：
v(x) 0, v(x) 0,
x0 x0
的条件，称为李亚普诺夫函数，然后依据系统的运动方程（状态方
程）来考察能量函数v（x）在运动过程中的变化规律，从而获得系
统稳定性判据。
(2) 李亚普诺夫稳定性判别定理
取标量（能量）函数v（x），满足正定；
连续一阶偏导数 v(x) v x v x v x 存在；
x 1 x 2
x n
1
2
n
则有下列结论存在：
• 李亚普诺夫意义下的稳定：v(x) 半负定，且在 x 0 时，有v(x) 0 存在。 • 渐近稳定：v(x) 负定；或v(x) 半负定，且在 x 0 时，v(x) 不衡为零。 • 大范围渐近稳定：系统渐近稳定的同时，满足当 x 时，有 v(x) ，
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(1) 渐近稳定
对于系统 x(t) f (x,t) ,若任意给定实数 ，0 都存在另一实
数
(,t0) ，0 使得当
x x
0
e
时,从任意初始状态 x0 出发的解
(t, x ,t ) 00
满足 (t, x ,t ) x (t t )
00
e
0
且对于任意小量
0，总有
lim
t
(t, x ,t ) 00
x
0 1
1 1 x
x2
x1 x2 x1
x2
0x1x01
x1 0
所以当 x 0 时，必有 v(x) 不衡为零。
结论：此系统稳定，又有线性系统稳定则为大范围稳定。
重新选择能量函数
v(x)
xT
3 1
1 2
x
，得
v(x)
2( x 2 1
x2 2
)
负定，结论相同。
[例2]：已知非线性系统的状态方程，判断系统在平衡点处的稳定性。
矩阵形式：
a 0.5d 0.5e x1
v(x) xT Px x1 x2 x3 0.5d
b
0.5
f
x2
0.5e 0.5 f c x3
v(x) xT Px x1 x2
标准二次型：
ax12 bx22 cxn2
a
xn
0
b
x1
0
x2
c
xn
(3) 二次型函数的符号性质