复变函数课件6-3唯一决定分式线性映射的条
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一直线所围成的区域. 3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
课件
10
三、典型例题
例1 求将上半平面Im( z ) 0映射成单位圆w 1的 v 分式线性映射. (w) i . y (z)
. . 1 o
. 1
. 1
o
. 1 u
x
解 在 x轴上任取三点z1 1, z2 0, z3 1 使之
课件
6来自百度文库
方法2 在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向:
z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.
则 C的内部就映为 C 的内部.
C
. z3
w3 .
C
.w 2 . w1
z1 .
. z 2
课件
7
方法2 在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向:
( z zk )( ad bc ) 所以 w wk , ( k 1,2) (cz d )( czk d )
( z3 zk )( ad bc) w3 wk , ( k 1,2) (cz3 d )( czk d )
w w1 w3 w2 z z1 z3 z2 . (6.3.1) w w2 w3 w1 z z2 z3 z1
在 w 平面上也任意给定三个相异的点 w1 , w2 , w3 ,
那末就存在唯一的分式线性映射, 将 zk ( k 1,2,3)
依次映射成 wk (k 1,2,3).
课件
2
az b 证 设 w (ad bc 0) 将相异点 cz d azk b zk ( k 1,2,3) 依次映射成 wk ( k 1,2,3) czk d
解
由条件 w( 2i ) 0 知 :
z 2i 映射成 w 0.
z 2i ), 依上题结论得 w e ( z 2i
i
课件
15
4i 因为 w( z ) e 2, ( z 2i )
i
.
.
(w)
o
.
x
o
u
( )
z ) k为常数. 则所求映射具有下列形式: w k ( z
课件
13
z 由于z为实数时, w 1, 1, z z k 1, 即k e i (为任意实数). 所以 w k z
z we , (Im( ) 0) z
第三节 唯一决定分式线性映射 的条件
一、分式线性映射的确定 二、分式线性映射对圆域的映射 三、典型例题 四、小结与思考
一、分式线性映射的确定
az b 分式线性映射w (ad bc 0) cz d
含有三个独立的常数, 只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射. 定理 在 z 平面上任意给定三个相异的点 z1 , z2 , z3 ,
依次对应于 w 1上的三点w1 1, w2 i , w3 1
课件
11
由于 z1 z2 z3 与 w1 w2 w3 绕向相同,
w 1 1 i z 1 1 0 所求分式线性映射为 , w i 1 1 z 0 1 1 zi 化简得: w . iz 1
课件
3
唯一性:
az b 如果另一映射w (ad bc 0) 也将 cz d
azk b zk ( k 1,2,3) 依次映射成 wk ( k 1,2,3) czk d
重复上述步骤, 仍得到相同形式的结果. 所以三对对应点可唯一确定一个分式线性映射. [证毕]
课件
课件
5
结论: 在分式线性映射下, C的内部不是映射成
C 的内部便映射成 C 的外部.
判别方法: 方法1 在分式线性映射下, 如果在圆周C内任取
一点 z0 ,若 z0的象在 C 内部, 则 C的内部就映为
C 的内部; 若 z0的象在 C 外部, 则 C的内部就映
为 C 的外部.
注意: 本题中如果选取其他三对不同点, 也能得 出满足要求但不同于本题结果的分式线性映射. 可见, 把上半平面映射成单位圆的分式线性映射 不唯一, 有无穷多个.
课件
12
另解: 设实轴映射成单位圆周,
上半平面某点 z 映射成圆心 w 0 那么 z 必映射成 w (z)
y
v
i
上半平面映为单位圆的分式线性映射的一般形式 zi π . 说明: 取 i , , 得 w iz 1 2 zi 若取 i , 0 , 得 w . zi
课件
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例2
求将上半平面Im( z ) 0映射成单位圆w 1,
且满足条件 w ( 2i ) 0, arg w( 2i ) 0的分式线 性映射.
则 C的内部就映为 C 的内部. 若绕向相反, 则C 的内部就映射为 C 的外部.
C
. z3
w3 .
C
.w1 . w2
z1 .
. z 2
课件
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2.分式线性映射对圆弧边界区域的映射: 1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所 围成的区域.
2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与
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二、分式线性映射对圆域的映射
1. 问题: 圆域内部被映射成什么区域?
C
. z1
. z2
.
.
C
z1 z2上某点 Q C上某点 Q . w2 . 与一一对应性 . w1 相矛盾.
z1 , z2为C内任意两点
假设 : z1 z2 圆弧 w1w2 , 且w1在C 外部, w2在C 内部.
z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.
则 C的内部就映为 C 的内部. 若绕向相反, 则C 的内部就映射为 C 的外部.
C
. z3
w3 .
C
.w1 . w2
z1 .
. z 2
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方法2 在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向:
z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.
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三、典型例题
例1 求将上半平面Im( z ) 0映射成单位圆w 1的 v 分式线性映射. (w) i . y (z)
. . 1 o
. 1
. 1
o
. 1 u
x
解 在 x轴上任取三点z1 1, z2 0, z3 1 使之
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方法2 在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向:
z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.
则 C的内部就映为 C 的内部.
C
. z3
w3 .
C
.w 2 . w1
z1 .
. z 2
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方法2 在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向:
( z zk )( ad bc ) 所以 w wk , ( k 1,2) (cz d )( czk d )
( z3 zk )( ad bc) w3 wk , ( k 1,2) (cz3 d )( czk d )
w w1 w3 w2 z z1 z3 z2 . (6.3.1) w w2 w3 w1 z z2 z3 z1
在 w 平面上也任意给定三个相异的点 w1 , w2 , w3 ,
那末就存在唯一的分式线性映射, 将 zk ( k 1,2,3)
依次映射成 wk (k 1,2,3).
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az b 证 设 w (ad bc 0) 将相异点 cz d azk b zk ( k 1,2,3) 依次映射成 wk ( k 1,2,3) czk d
解
由条件 w( 2i ) 0 知 :
z 2i 映射成 w 0.
z 2i ), 依上题结论得 w e ( z 2i
i
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4i 因为 w( z ) e 2, ( z 2i )
i
.
.
(w)
o
.
x
o
u
( )
z ) k为常数. 则所求映射具有下列形式: w k ( z
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z 由于z为实数时, w 1, 1, z z k 1, 即k e i (为任意实数). 所以 w k z
z we , (Im( ) 0) z
第三节 唯一决定分式线性映射 的条件
一、分式线性映射的确定 二、分式线性映射对圆域的映射 三、典型例题 四、小结与思考
一、分式线性映射的确定
az b 分式线性映射w (ad bc 0) cz d
含有三个独立的常数, 只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射. 定理 在 z 平面上任意给定三个相异的点 z1 , z2 , z3 ,
依次对应于 w 1上的三点w1 1, w2 i , w3 1
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由于 z1 z2 z3 与 w1 w2 w3 绕向相同,
w 1 1 i z 1 1 0 所求分式线性映射为 , w i 1 1 z 0 1 1 zi 化简得: w . iz 1
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唯一性:
az b 如果另一映射w (ad bc 0) 也将 cz d
azk b zk ( k 1,2,3) 依次映射成 wk ( k 1,2,3) czk d
重复上述步骤, 仍得到相同形式的结果. 所以三对对应点可唯一确定一个分式线性映射. [证毕]
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结论: 在分式线性映射下, C的内部不是映射成
C 的内部便映射成 C 的外部.
判别方法: 方法1 在分式线性映射下, 如果在圆周C内任取
一点 z0 ,若 z0的象在 C 内部, 则 C的内部就映为
C 的内部; 若 z0的象在 C 外部, 则 C的内部就映
为 C 的外部.
注意: 本题中如果选取其他三对不同点, 也能得 出满足要求但不同于本题结果的分式线性映射. 可见, 把上半平面映射成单位圆的分式线性映射 不唯一, 有无穷多个.
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另解: 设实轴映射成单位圆周,
上半平面某点 z 映射成圆心 w 0 那么 z 必映射成 w (z)
y
v
i
上半平面映为单位圆的分式线性映射的一般形式 zi π . 说明: 取 i , , 得 w iz 1 2 zi 若取 i , 0 , 得 w . zi
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例2
求将上半平面Im( z ) 0映射成单位圆w 1,
且满足条件 w ( 2i ) 0, arg w( 2i ) 0的分式线 性映射.
则 C的内部就映为 C 的内部. 若绕向相反, 则C 的内部就映射为 C 的外部.
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. z3
w3 .
C
.w1 . w2
z1 .
. z 2
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2.分式线性映射对圆弧边界区域的映射: 1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所 围成的区域.
2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与
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二、分式线性映射对圆域的映射
1. 问题: 圆域内部被映射成什么区域?
C
. z1
. z2
.
.
C
z1 z2上某点 Q C上某点 Q . w2 . 与一一对应性 . w1 相矛盾.
z1 , z2为C内任意两点
假设 : z1 z2 圆弧 w1w2 , 且w1在C 外部, w2在C 内部.
z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.
则 C的内部就映为 C 的内部. 若绕向相反, 则C 的内部就映射为 C 的外部.
C
. z3
w3 .
C
.w1 . w2
z1 .
. z 2
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方法2 在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向:
z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.