复变函数课件6-3唯一决定分式线性映射的条
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海南大学复变函数课件
例1 中心分别在z=1与z=-1，半径为 2 的二圆弧所围成 的区域在映射 w z i 下映射成什么区域？
zi
例2 求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆 w 1 的分式 线性映射.
例3 求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆 w 1 ,且满足 w(2i)=0,argw′(2i)=0的分式线性映射.
例4 求将单位圆 z 1 映射成单位圆 w 1 的分式线 性映射.
例5 求将单位圆映射成单位圆,且满足w(1/2)=0, argw′(1/2)>0的分式线性映射.
:
w 2 w1 w 3 w2
z z1 z z2
:
z 3 z1 z3 z2
2.分式线性映射的几何表现 （1）将圆周C映射成圆周C′。 （2）若将圆周C内的某点z0映射成圆周C′内的点w0, 则将C的内部映射成C′的内部。 若将圆周C内的某点z0映射成圆周C′外的点w0, 则将C的内部映射成C′的外部。 （3）若二圆周上没有点映射成无穷远点，这二圆周 的弧围成的区域映射成二圆弧围成的区域。 （4）若二圆周上有一个点映射成无穷远点，这二圆周 的弧围成的区域映射成一圆弧与一直线围成的区域。 （5）若二圆周交点中的一个映射成无穷远点，这二圆周 的弧围成的区域映射成角形区域。
1.唯一决定分式线性映射的条件
§3唯一决定分式线性射的条件
定理 在 z平面上任意给定三个相异的点z1,z2,z3，在 w平面上也任意给定三个相异的点w1,w2,w3,那么就存 在唯一的分式线性映射，将zk (k=1,2,3)依次映射成wk (k=1,2,3).并且该映射可以写成：
w w1 w w2
复变函数课件章节
复变函数(第四版)课件 章节大纲
汇报人：
目录
添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
汇报人：
目录
添加目录标题
01
复变函数的基本概念
02
复变函数的微积分
03
全纯函数与亚纯函数
04
复变函数的积分公式 和全纯函数的性质
05
全纯映射和几何函数 论
06
添加章节标题
复变函数的基本 概念
复数及其几何意义
复数：实数与 虚数的组合
复平面：复数 的几何表示
复数的模：表 示复数的大小
全纯函数的性质
全纯函数是复变函数中的重要概念，具有解析性和连续性
全纯函数在复平面上的解析性，即函数在复平面上的任意点处都可以解析
全纯函数的连续性，即函数在复平面上的任意点处都可以连续
全纯函数的性质还包括其解析性和连续性的关系，即全纯函数在复平面上的解析性和连续性是等价 的
最大模原理和柯西积分公式
亚纯函数的展开 和值分布理论
亚纯函数的展开和米塔-列夫勒理论
展开：将亚纯函数分解为幂 级数的形式
米塔-列夫勒理论：研究亚纯 函数展开的性质和规律
亚纯函数：复变函数中的一 种特殊函数
应用：在解析数论、复动力 系统等领域有广泛应用
值分布理论和皮卡定理
值分布理论：研 究函数在复平面 上的值分布规律
皮卡定理：描述 函数在复平面上 的值分布规律
极值性质：全纯 映射的极值性质， 包括最大值和最 小值
泰勒定理：泰勒 定理的证明和应 用，包括泰勒级 数和泰勒展开式
极值定理：极值 定理的证明和应 用，包括极值点 的存在性和唯一 性
泰勒定理的应用： 泰勒定理在复变 函数中的应用， 包括求解微分方 程和积分方程
几何函数论和单叶函数
几何函数论：研究复变函数在几何上的性质，如解析性、单值性、连续性等 单叶函数：复变函数在某一区域内具有唯一确定的值，且该值与自变量一一对应 单叶函数的性质：解析性、单值性、连续性、可微性等 单叶函数的应用：在工程、物理、化学等领域有广泛应用，如流体力学、电磁学、量子力学等
复变函数课件：分式线性变换.ppt
注 三对对应点唯一确定一分式线性变换.
证明 先考虑已给各点都是有限点的情形,
设所求分式线性函数是
w az b , cz d
那么，由
w1
az1 b cz1 d
, w2
az2 cz2
b d
, w2
az2 cz2
b d
18
得
w
w1
(az
b)(cz1 d ) (az1 b)(cz (cz d )(cz1 d )
1定义7.4 扩充z平面上有顺序的四个相异点z1, z2, z3, z4
构成下面的量, 称为它们的交比,记为:(z1, z2, z3, z4 ).
(z1, z2 , z3, z4 )
z4 z1 z4 z2
:
z3 z1 z3 z2
.
注 当四点中有一点为时,包含此点的项用1代替.
如( z1 ,
z2, ,
“充 ”
z2
分性
a
由z2 R2 z1 a
a
z1 a z1 a
R2 ,有 z1 a R2
z1 a
2
( z1
a)
k (z1 a)
29
2 定理7.1 扩充z平面上的两点z1, z2关于圆周 对称的
充要条件是,经过z1, z2的
任何圆周与 正交.
z.
证明 设 z1, z2是关于圆周
z0. z.1
z4 )
z4 z4
z1 z2
:1, 1
相当于z3 .
15
2 定理7.8 在分式线性变换下，四点的交比不变。
证明
设wi
azi b czi d 则wi wj
i 1, 2,3, 4, (ad bc)(zi z j ) , (czi d )(cz j d )
《复变函数映射》课件
4
用
介绍Schwarz-Christoffel映射及其在 实际中的应用。
线性变换和仿射变换
探索线性变换和仿射变换对复变函数 的映射作用。
双全纯映射以及作用
双全纯映射在复变函数的映射中具有 重要作用。
复变函数的应用
线性分式变换及其应用
线性分式变换在复变函数的应用中发挥着重要 的作用。
上对数函数和多重连通域
探索上对数函数和多重连通域的关系。
球面上的全纯函数及其应用
应用于物理的调和函数
了解球面上的全纯函数以及它们在物理中的应用。 将调和函数应用于物理问题的解决。
复变函数的展望
微分形式和调和形式
深入研究微分形式和调和形式的关联及其在 复变函数中的应用。
复植根和三维建模
探索复植根的特性，并了解它在三维建模中 的应用。
复平面及其表示方法
复平面将帮助我们可视化复数，学习不同表 示方法对理解复变函数至关重要。
全纯函数和亚纯函数的定义
全纯函数和亚纯函数是我们研究复变函数映 射时的关键概念。
复变函数的映射
1
保角变换和相应的代数特征
2
保角变换是复变函数映射中的重要概
念，了解它们的代数特征。
3
Schwarz-Christoffel映射及其作
3 复变函数映射在未来的应用展望
展望复变函数映射在未来发展中的可能性和应用。
Bergman空间及其应用
了解Bergman空间的概念以及它在复变函数 领域的重要性。
计算机辅助设计中的应用
介绍复变函数映射在计算机辅助设计中的实 际应用。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ语
1 复变函数映射在数学和物理中的应用
总结复变函数映射在数学和物理领域中的实际应用。
唯一决定分式线性映射的条件课件
05
分式线性映射的习题和解答
习题
题目1
给定两个向量空间V和W，以及从V到W的分式线性映射f，如果存在一个常数k使得对于 所有v∈V，都有f(v)=kv，那么f是线性映射吗？给出证明或反例。
题目2
设f是向量空间V到W的满射分式线性映射，如果对于所有v∈V和标量a，都有f(av)=af(v) ，那么称f是可乘的。证明：如果f是可乘的，那么f是线性的。
THANKS
感谢观看
分式线性映射的分类
有理分式线性映射
有理分式线性映射的分母和分子都是多项式的倍数，即$varphi(x) = p(x)/q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$都是多项式。
无理分式线性映射
无理分式线性映射的分母是多项式的倍数，分子不是多项式的倍数，即 $varphi(x) = p(x)/q(x)$，其中$p(x)$是多项式，$q(x)$不是多项式的倍数。
许分母为零。
02 03
线性映射
线性映射是保持向量间线性关系的映射，即满足$varphi(x+y) = varphi(x) + varphi(y)$和$varphi(lambda x) = lambda varphi(x)$的 映射。
分式线性映射
分式线性映射允许分母为零，即允许$varphi(0) = 0$，同时保持向量 间的线性关系。
时。
分式线性映射的展望
探索新的应用领域
随着分式线性映射的发展，可以进一 步探索其在其他领域的应用，例如机 器学习、图像处理、数据分析等。
深入研究映射性质
优化算法和实现
为了提高分式线性映射的效率和精度 ，可以进一步优化相关的算法和实现 方式，例如采用更高效的数值计算方 法、优化软件实现等。
第3节 唯一决定分式线性映射的条件
那么z1→z2→z3与 C 依w1→w2→w3 的绕向相同。
所得求分式线性映射为
w 1 1 i = z + 1 1 0 即w = z i
wi 11 z1 1+1
iz 1
15
2019/6/4
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复变函数
例２ 求将单位圆 z 1映射成单位圆 w 1的分 式线性映射.
= 1,2)
5
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复变函数
w3
wk
=
(z3 zk )(ad bc) , (k (cz3 + d )(czk + d )
=
1,2)
w w1 = (z z1)(ad bc) (cz + d )(cz2 + d ) w w2 (cz + d )(cz1 + d ) (z z2)(ad bc)
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复变函数
2.分式线性映射对圆弧边界区域的映射
Ａ． 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所
围成的区域.
Ｂ． 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与
一直线所围成的区域.
Ｃ． 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时,
所以 w = k 1 a = 1. 1a
又因为 1 a = 1 a ，
所以 k = 1, 即 k = ei .
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复变函数
故所求分式线性映射为:
w = ei z a ( 为任意实数 )
1 az 例３ 中心分别在z = 1与z = 1,半径为 2的二圆弧
复变函数与积分变换第06章 共形映射
在D内 过z0引 一 条 有 向 光 滑 曲 线:
C : z z(t) t [ , ] 取t0 ( , ) z0 z(t0 ) z'(t0 ) 0 则
w f (z)
z平面上C : z z(t) w平面上 : w f [z(t)]
~~~~~~~~~~
(2)补 充 定 义 使 分 式 线 性 函数 在 整 个 扩 充 平 面
上 有 定 义: 当c 0时，w a / c
z d / c z
当c 0时， 在z 时 ， 定 义w .
(3)w az b z dw b (d )(a) bc 0
由(1)式 仅与映射w f (z)及点 z0的值有关。
② 转动角的大小及方向与曲线C的形状与
方向无关，这种性质称为映射具有转动角
~~~~~~~~~~~
的不变性.
~~~~~~~~~~~~~
设Ci (i 1,2)在 点z0的 夹 角 为 , Ci (i 1,2)
在 变 换w f (z)下 映 射 为 相 交 于 点w0 f (z0 )
(ii)w az
设z re i a ei ,则w rei( )
把z先转一个角度再将z 伸长(或缩短) a
倍后就得w, w az是旋转和伸缩合成的映射.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
名词介绍: 关于圆的对称点(见图） y
o
x
割线方向p0 p的极限位置：
z'(t0
)
lim
t 0
z(t0
t ) t
z(t0
)
—曲线C在p0处的切向量且方向与C正向一致.
C : z z(t) t [ , ] 取t0 ( , ) z0 z(t0 ) z'(t0 ) 0 则
w f (z)
z平面上C : z z(t) w平面上 : w f [z(t)]
~~~~~~~~~~
(2)补 充 定 义 使 分 式 线 性 函数 在 整 个 扩 充 平 面
上 有 定 义: 当c 0时，w a / c
z d / c z
当c 0时， 在z 时 ， 定 义w .
(3)w az b z dw b (d )(a) bc 0
由(1)式 仅与映射w f (z)及点 z0的值有关。
② 转动角的大小及方向与曲线C的形状与
方向无关，这种性质称为映射具有转动角
~~~~~~~~~~~
的不变性.
~~~~~~~~~~~~~
设Ci (i 1,2)在 点z0的 夹 角 为 , Ci (i 1,2)
在 变 换w f (z)下 映 射 为 相 交 于 点w0 f (z0 )
(ii)w az
设z re i a ei ,则w rei( )
把z先转一个角度再将z 伸长(或缩短) a
倍后就得w, w az是旋转和伸缩合成的映射.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
名词介绍: 关于圆的对称点(见图） y
o
x
割线方向p0 p的极限位置：
z'(t0
)
lim
t 0
z(t0
t ) t
z(t0
)
—曲线C在p0处的切向量且方向与C正向一致.
复变函数映射 ppt课件
图1-2
o 图2
x、u
11
例5 研究w z2 所构成的映. 射
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
2020/12/12
12
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称w z为z=w2的反函数或逆映射
2k
w z ze 2 (k0,1)∴为多值函数,2支.
第三讲 复变函数与解析函数
2020/12/12
1
§3 复变函数
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
2020/12/12
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义 设G是 一 个 复 z数 xiy的 非 空 集 ,存合在 法 f ,使 得zG,就 有 一 个 或w几u个 iv与 之 对, 应 则 称 复 变 w是数复 变z的 数函 数 （ 简 称 复 ）变 记 作w f(z).
u(x,y)iv(x,y)
故 u u (x ,y )v v (x ,y )
w f ( z ) u i v u u ( x , y )v v ( x , y )
2020/12/12
o 图2
x、u
11
例5 研究w z2 所构成的映. 射
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
w z2
o
6
x w z2 o
3
u
x2 y2 4
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12
3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称w z为z=w2的反函数或逆映射
2k
w z ze 2 (k0,1)∴为多值函数,2支.
第三讲 复变函数与解析函数
2020/12/12
1
§3 复变函数
1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射
2020/12/12
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义 设G是 一 个 复 z数 xiy的 非 空 集 ,存合在 法 f ,使 得zG,就 有 一 个 或w几u个 iv与 之 对, 应 则 称 复 变 w是数复 变z的 数函 数 （ 简 称 复 ）变 记 作w f(z).
u(x,y)iv(x,y)
故 u u (x ,y )v v (x ,y )
w f ( z ) u i v u u ( x , y )v v ( x , y )
2020/12/12
复变函数的映射ppt课件
正向: t 增大的方向; z0 z(t0 ), 且 z(t0 ) 0 .
如果规定: 割线 p0 p正向对应于 t y
增大的方向, 那么 P0P
p. C z(t0 t)
与 z(t0 t) z(t0 )同向, t
p0. z(t0 )
即 z 与 t 增大的方向一致. t
0
x
当 p 沿C p0 时,
在上一章中曾证明定理 6.11 : 若函数 f (z) 在 区域 D 内单叶解析 ，则在 D 内 f (z) 0 .
但其逆未必成立 .例如, 函数 f (z) ez 在z 平面 上 f (z) ez 0, 但 f (z) ez在 z 平面不是单叶的.
下面的定理表明，解析函数具有局部单叶性 .
f (z) w f (z) w0 w0 w , 由解析函数零点的孤立性，必有以 z0 为心的某 个圆周 C ,C 及 C 的内部全含于 D , 使得 f (z) w0 在 C 上及 C 的内部 (除 z0 外)均不为零 . 因而在 C 上 | f (z) w0 | 0 .对在邻域 | w w0 | 内的任意
保变持，lzimz曲则0 ||线称wz 的w=wz交0f0(|z|角)是的lzi第m大z0二||小zz类不保zz变00 角||但变1方（换向极.相限反存和在伸）缩率不
因此变换 w z 具有伸缩率不变性;
又由于 w z 是关于实轴对称的变换，因此它使得 曲线的交角大小不变但方向相反. y
根据定义知，函数 w z 是第 o
相交于一点的两条曲线 C1与 C2正向之间 的夹角 , 就是 C1与 C2在交点处的两条切线正向之间的夹角.
设 ： C1 : z z1(t ), C2 : z z2(t ); arg z2 (t0 )
第四节 分式线性映射
i 1 e 令z re i , 则 w , z r
1 所以当z在单位圆内 (外 )时w 在单位圆外 z 图7-16 1 (内),当z在上(下 )半平面时w 在下(上 )半 z dw 1 1 平面,当z 0时 2 0, 所以当z 0时反演映射w dz z z 是共形映射, 如果规定两条伸向无穷 远点的曲线在无穷远 1 点的交角等于它们由反 演映射w 所映成的过原点 w0 z
的任一圆周K '都与 '正交.设K '的原像为K ,由性质2知它 是z平面的圆周通过点 z1与z2 ,因z1与z2 关于圆周对称, 故 由引理知K与正交, 又因分式线性映射具有 保角性, 故它 们的像K 与 也正交, 再由引理知w1和w2 关于 对称.
' ' '
把性质3说成分式线性映射具有 保对称性.
今后将把图7 16(a )这样由两圆弧围成的区 域称为" z 二圆域" ,因此根据边界对应原理 ,w k 把二圆域 z 映射为顶点在原点的角 形域.此外还应注意,因为直线段 被看作扩充复平面的圆 弧, 所以诸如半圆内部或半 圆外 部等也是二圆域.
例2 : 中心分别在z 1与z 1, 半径为 2的二圆弧所 zi 围成的区域(图7 17), 在映射w 下映成何区域? zi [解 ] 所设两个圆弧的交
a b a1 b1 a2 b2 c d c d c d 1 1 2 2 因此 ad bc (a1d1 b1c1 )(a2d 2 b2c2 ) 0.
(4.3)
定理1 分式线性映射(4.1)可由平移、 旋转、 伸缩和反 演四种变换复合得到 , 分式线性映射的复合仍 为分式线 性映射.
1 所以当z在单位圆内 (外 )时w 在单位圆外 z 图7-16 1 (内),当z在上(下 )半平面时w 在下(上 )半 z dw 1 1 平面,当z 0时 2 0, 所以当z 0时反演映射w dz z z 是共形映射, 如果规定两条伸向无穷 远点的曲线在无穷远 1 点的交角等于它们由反 演映射w 所映成的过原点 w0 z
的任一圆周K '都与 '正交.设K '的原像为K ,由性质2知它 是z平面的圆周通过点 z1与z2 ,因z1与z2 关于圆周对称, 故 由引理知K与正交, 又因分式线性映射具有 保角性, 故它 们的像K 与 也正交, 再由引理知w1和w2 关于 对称.
' ' '
把性质3说成分式线性映射具有 保对称性.
今后将把图7 16(a )这样由两圆弧围成的区 域称为" z 二圆域" ,因此根据边界对应原理 ,w k 把二圆域 z 映射为顶点在原点的角 形域.此外还应注意,因为直线段 被看作扩充复平面的圆 弧, 所以诸如半圆内部或半 圆外 部等也是二圆域.
例2 : 中心分别在z 1与z 1, 半径为 2的二圆弧所 zi 围成的区域(图7 17), 在映射w 下映成何区域? zi [解 ] 所设两个圆弧的交
a b a1 b1 a2 b2 c d c d c d 1 1 2 2 因此 ad bc (a1d1 b1c1 )(a2d 2 b2c2 ) 0.
(4.3)
定理1 分式线性映射(4.1)可由平移、 旋转、 伸缩和反 演四种变换复合得到 , 分式线性映射的复合仍 为分式线 性映射.
《复变函数映射》课件
光学
量子力学
在电路分析中，复变函数映射用于描述交流电路中的电压和电流，通过复平面上的映射关系，可以更方便地分析电路的稳定性和性能。
电路分析
在控制系统中，复变函数映射用于描述系统的传递函数和稳定性，通过在复平面上的分析和设计，可以提高系统的性能和稳定性。
控制系统
06
Байду номын сангаасCHAPTER
总结与展望
如果对于所有$epsilon > 0$，存在$delta > 0$，使得当$|z - z_0| < delta$时，有$|f(z) - f(z_0)| < epsilon$，则称$f(z)$在点$z_0$处连续。
连续函数具有局部有界性、局部保序性、可积性等性质。
连续定义
连续性质
04
CHAPTER
复变函数的映射
03
边界与边界的对应
映射不仅作用于区域内的点，也作用于区域的边界，表示复平面上区域的形状和大小的变化。
01
点与点的对应
在复平面中，每个点x可以对应另一个点y，表示复数在复平面上的变换。
02
区域与区域的对应
通过映射，可以将一个区域映射到另一个区域，表示复平面上的区域变换。
一一映射
如果对于集合A中的任意元素x，都存在唯一的元素y与之对应，并且这种对应关系是可逆的，则称这种映射为一一映射。
《复变函数映射》PPT课件
目录
引言复数基础复变函数复变函数的映射映射的应用总结与展望
01
CHAPTER
引言
01
02
03
02
CHAPTER
复数基础
复数的基本概念
总结词
复数是实数和虚数的组合，形式为$a+bi$，其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
量子力学
在电路分析中，复变函数映射用于描述交流电路中的电压和电流，通过复平面上的映射关系，可以更方便地分析电路的稳定性和性能。
电路分析
在控制系统中，复变函数映射用于描述系统的传递函数和稳定性，通过在复平面上的分析和设计，可以提高系统的性能和稳定性。
控制系统
06
Байду номын сангаасCHAPTER
总结与展望
如果对于所有$epsilon > 0$，存在$delta > 0$，使得当$|z - z_0| < delta$时，有$|f(z) - f(z_0)| < epsilon$，则称$f(z)$在点$z_0$处连续。
连续函数具有局部有界性、局部保序性、可积性等性质。
连续定义
连续性质
04
CHAPTER
复变函数的映射
03
边界与边界的对应
映射不仅作用于区域内的点，也作用于区域的边界，表示复平面上区域的形状和大小的变化。
01
点与点的对应
在复平面中，每个点x可以对应另一个点y，表示复数在复平面上的变换。
02
区域与区域的对应
通过映射，可以将一个区域映射到另一个区域，表示复平面上的区域变换。
一一映射
如果对于集合A中的任意元素x，都存在唯一的元素y与之对应，并且这种对应关系是可逆的，则称这种映射为一一映射。
《复变函数映射》PPT课件
目录
引言复数基础复变函数复变函数的映射映射的应用总结与展望
01
CHAPTER
引言
01
02
03
02
CHAPTER
复数基础
复数的基本概念
总结词
复数是实数和虚数的组合，形式为$a+bi$，其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
16复变函数6(2)
角等于p/2.
取C1与正实轴的交点z = 2 -1,对应点是 2 -1-i (1- 2)+i(1- 2) w= = . 2 -1+i 2- 2
此点在第三象限的分角线C1'上. 由保角性知C2映
射为第二象限的分角线C2.
10
映射的角形区如图所示
y i C2' 1 O x O C1' u
v
(w)
(z)
3
由此得
w w1 w3 w2 z z1 z3 z2 . (6.3.1) w w2 w3 w1 z z2 z3 z1
这就是所求的分式线性映射. 如果有另外一 个分式线性映射, 也把z平面上三个相异点z1,z2,z3 依次映射成w平面上的三个相异点w1,w2,w3, 则
1 z 2 1 ij w eij , w e 1 1 z 2 2 11 1 1 z z 22 2 2 1 1 z 2
4 e 3
ij z 1 2
p
2
, 得 0.
w 2i z 2i z2 于是所求映射为 或 w 2(1 i ) . 2 z 2i z 2i
(z) 2i
z2 w 2(1 i) z 2i
(w)
2i
z 2i z 2i
O
( )
w=2(i+)
26
§4 几个初等函数所构成的映射
w 1 1 i z 1 1 0 . w i 1 1 z 0 1 1
化简后即得
z i z i w i iz 1 z i
(6.3.2)
13
注意: 如果选取其他三对不同点,势必也能得出满 足要求的, 但不同于(6.3.3)的分式线性映射. 此可 见, 把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不 是唯一的, 而是有无穷多. [解法二] 将上半平面看成半径为无穷大的圆域, 实轴就是圆域的边界圆周. 因为分式线性映射具 有保圆性, 因此它必能将上半平面Im(z)>0映射成 单位圆|w|<1. 由于上半平面总有一点z=l要映成单 位圆周|w|=1的圆心w=0,
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课件
5
结论: 在分式线性映射下, C的内部不是映射成
C 的内部便映射成 C 的外部.
判别方法: 方法1 在分式线性映射下, 如果在圆周C内任取
一点 z0 ,若 z0的象在 C 内部, 则 C的内部就映为
C 的内部; 若 z0的象在 C 外部, 则 C的内部就映
为 C 的外部.
在 w 平面上也任意给定三个相异的点 w1 , w2 , w3 ,
那末就存在唯一的分式线性映射, 将 zk ( k 1,2,3)
依次映射成 wk (k 1,2,3).
课件
2
az b 证 设 w (ad bc 0) 将相异点 cz d azk b zk ( k 1,2,3) 依次映射成 wk ( k 1,2,3) czk d
一直线所围成的区域. 3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
课件
10
三、典型例题
例1 求将上半平面Im( z ) 0映射成单位圆w 1的 v 分式线性映射. (w) i . y (z)
. . 1 o
. 1
. 1
o
. 1 u
x
解 在 x轴上任取三点z1 1, z2 0, z3 1 使之
i
上半平面映为单位圆的分式线性映射的一般形式 zi π . 说明: 取 i , , 得 w iz 1 2 zi 若取 i , 0 , 得 w . zi
课件
14
例2
求将上半平面Im( z ) 0映射成单位圆w 1,
且满足条件 w ( 2i ) 0, arg w( 2i ) 0的分式线 性映射.
课件
3
唯一性:
az b 如果另一映射w (ad bc 0) 也将 cz d
azk b zk ( k 1,2,3) 依次映射成 wk ( k 1,2,3) czk d
重复上述步骤, 仍得到相同形式的结果. 所以三对对应点可唯一确定一个分式线性映射. [证毕]
课件
z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.
则 C的内部就映为 C 的内部. 若绕向相反, 则C 的内部就映射为 C 的外部.
C
. z3
w3 .
C
.w1 . w2
z1 .
. z 2
课件
8
方法2 在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向:
z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.
第三节 唯一决定分式线性映射 的条件
一、分式线性映射的确定 二、分式线性映射对圆域的映射 三、典型例题 四、小结与思考
一、分式线性映射的确定
az b 分式线性映射w (ad bc 0) cz d
含有三个独立的常数, 只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射. 定理 在 z 平面上任意给定三个相异的点 z1 , z2 , z3 ,
课件
6
方法2 在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向:
z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.
则 C的内部就映为 C 的内部.
C
. z3
w3 .
C
.w 2 . w1
z1 .
. z 2
课件
7
方法2 在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向:
解
由条件 w(2i ) 0 知 :
z 2i 映射成 w 0.
z 2i ), 依上题结论得 w e ( z 2i
i
课件
15
4i 因为 w( z ) e 2, ( z 2i )
i
则 C的内部就映为 C 的内部. 若绕向相反, 则C 的内部就映射为 C 的外部.
C
. z3
w3 .
C
.w1 . w2
z1 .
. z 2
课件
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2.分式线性映射对圆弧边界区域的映射: 1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所 围成的区域.
2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与
依次对应于 w 1上的三点w1 1, w2 i , w3 1
课件
11
由于 z1 z2 z3 与 w1 w2 w3 绕向相同,
w 1 1 i z 1 1 0 所求分式线性映射为 , w i 1 1 z 0 1 1 zi 化简得: w . iz 1
注意: 本题中如果选取其他三对不同点, 也能得 出满足要求但不同于本题结果的分式线性映射. 可见, 把上半平面映射成单位圆的分式线性映射 不唯一, 有无穷多个.
课件
12
另解: 设实轴映射成单位圆周,
上半平面某点 z 映射成圆心 w 0 那么 z 必映射成 w (z)
y
v
.
.
(w)
o
.
x
o
u
( )
z ) k为常数. 则所求映射具有下列形式: w k ( z
课件
13
z 由于z为实数时, w 1, 1, z z k 1, 即k e i (为任意实数). 所以 w k z
z we , (Im( ) 0) z
4
二、分式线性映射对圆域的映射
1. 问题: 圆域内部被映射成什么区域?
C
. z1
. z2
.
.
C
z1 z2上某点 Q C上某点 Q . w2 . 与一一对应性 . w1 相矛盾.
z1 , z2为C内任意两点
假设 : z1 z2 圆弧 w1w2 , 且w1在C 外部, w2在C 内部.
( z zk )( ad bc ) 所以 w wk , ( k 1,2) (cz d )( czk d )
( z3 zk )( ad bc) w3 wk , ( k 1,2) (cz3 d )( czk d )
w w1 w3 w2 z z1 z3 z2 . (6.3.1) w w2 w3 w1 z z2 z3 z1
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结论: 在分式线性映射下, C的内部不是映射成
C 的内部便映射成 C 的外部.
判别方法: 方法1 在分式线性映射下, 如果在圆周C内任取
一点 z0 ,若 z0的象在 C 内部, 则 C的内部就映为
C 的内部; 若 z0的象在 C 外部, 则 C的内部就映
为 C 的外部.
在 w 平面上也任意给定三个相异的点 w1 , w2 , w3 ,
那末就存在唯一的分式线性映射, 将 zk ( k 1,2,3)
依次映射成 wk (k 1,2,3).
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az b 证 设 w (ad bc 0) 将相异点 cz d azk b zk ( k 1,2,3) 依次映射成 wk ( k 1,2,3) czk d
一直线所围成的区域. 3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
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三、典型例题
例1 求将上半平面Im( z ) 0映射成单位圆w 1的 v 分式线性映射. (w) i . y (z)
. . 1 o
. 1
. 1
o
. 1 u
x
解 在 x轴上任取三点z1 1, z2 0, z3 1 使之
i
上半平面映为单位圆的分式线性映射的一般形式 zi π . 说明: 取 i , , 得 w iz 1 2 zi 若取 i , 0 , 得 w . zi
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例2
求将上半平面Im( z ) 0映射成单位圆w 1,
且满足条件 w ( 2i ) 0, arg w( 2i ) 0的分式线 性映射.
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唯一性:
az b 如果另一映射w (ad bc 0) 也将 cz d
azk b zk ( k 1,2,3) 依次映射成 wk ( k 1,2,3) czk d
重复上述步骤, 仍得到相同形式的结果. 所以三对对应点可唯一确定一个分式线性映射. [证毕]
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z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.
则 C的内部就映为 C 的内部. 若绕向相反, 则C 的内部就映射为 C 的外部.
C
. z3
w3 .
C
.w1 . w2
z1 .
. z 2
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方法2 在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向:
z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.
第三节 唯一决定分式线性映射 的条件
一、分式线性映射的确定 二、分式线性映射对圆域的映射 三、典型例题 四、小结与思考
一、分式线性映射的确定
az b 分式线性映射w (ad bc 0) cz d
含有三个独立的常数, 只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射. 定理 在 z 平面上任意给定三个相异的点 z1 , z2 , z3 ,
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方法2 在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向:
z1 z2 z3 , 与 C 上绕向w1 w2 w3 相同.
则 C的内部就映为 C 的内部.
C
. z3
w3 .
C
.w 2 . w1
z1 .
. z 2
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方法2 在 C上取三点z1 , z2 , z3 , 若绕向:
解
由条件 w(2i ) 0 知 :
z 2i 映射成 w 0.
z 2i ), 依上题结论得 w e ( z 2i
i
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4i 因为 w( z ) e 2, ( z 2i )
i
则 C的内部就映为 C 的内部. 若绕向相反, 则C 的内部就映射为 C 的外部.
C
. z3
w3 .
C
.w1 . w2
z1 .
. z 2
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2.分式线性映射对圆弧边界区域的映射: 1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所 围成的区域.
2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与
依次对应于 w 1上的三点w1 1, w2 i , w3 1
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由于 z1 z2 z3 与 w1 w2 w3 绕向相同,
w 1 1 i z 1 1 0 所求分式线性映射为 , w i 1 1 z 0 1 1 zi 化简得: w . iz 1
注意: 本题中如果选取其他三对不同点, 也能得 出满足要求但不同于本题结果的分式线性映射. 可见, 把上半平面映射成单位圆的分式线性映射 不唯一, 有无穷多个.
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另解: 设实轴映射成单位圆周,
上半平面某点 z 映射成圆心 w 0 那么 z 必映射成 w (z)
y
v
.
.
(w)
o
.
x
o
u
( )
z ) k为常数. 则所求映射具有下列形式: w k ( z
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z 由于z为实数时, w 1, 1, z z k 1, 即k e i (为任意实数). 所以 w k z
z we , (Im( ) 0) z
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二、分式线性映射对圆域的映射
1. 问题: 圆域内部被映射成什么区域?
C
. z1
. z2
.
.
C
z1 z2上某点 Q C上某点 Q . w2 . 与一一对应性 . w1 相矛盾.
z1 , z2为C内任意两点
假设 : z1 z2 圆弧 w1w2 , 且w1在C 外部, w2在C 内部.
( z zk )( ad bc ) 所以 w wk , ( k 1,2) (cz d )( czk d )
( z3 zk )( ad bc) w3 wk , ( k 1,2) (cz3 d )( czk d )
w w1 w3 w2 z z1 z3 z2 . (6.3.1) w w2 w3 w1 z z2 z3 z1