人教版高中数学必修2综合测试
高中数学必修2综合测试题
高中数学必修2综合测试题一、选择题4、对于直线丨：3 x - y • 6 = 0的截距，下列说法正确的是（）A 、在y 轴上的截距是6；B 、在x 轴上的截距是6；C 、在x 轴上的截距是3 ；D 、在y 轴上的截距是-3。
5、已知a // ,b 二書，则直线a 与直线b 的位置关系是（）A 、平行；B 、相交或异面；C 、异面；D 、平行或异面。
6、已知两条直线丨 1 : x • 2ay -1 =0,丨 2 : x-4y = 0 ,且丨1〃I 2，则满足条件a 的值为 （）1 1A 、；B 、一 ；C 、—2 ；D 、2。
227、 在空间四边形ABCD 中，E,F,G, H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点。
若AC =BD 二a ，且AC 与BD 所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为 （ ）A 、—3 a 2 ；B 、—3 a 2 ；C 、—3 a 2 ；D 、，3a 2。
8422 28、已知圆C:x y -2x 6^0，则圆心P 及半径r 分别为 （）i 下图（1）所示的圆锥的俯视图为A 、30 ；B 、60 ；C 、120 ；3、边长为a 正四面体的表面积是（）△3 33 3A 、 a :B 、 a :4 12C 、沪；D 、150。
D 、”、3a 。
（ ）A、圆心P 1,3，半径r =10 ；B、圆心P 1,3，半径r —• 10 ；其中正确命题是第2页共10页C、圆心P 1,-3，半径r =10 ；D、圆心P 1,-3，半径r = •. 10 o9、下列叙述中错误的是（）A、若P ? P| :且:-P| :=丨，则P三I ；B、三点代B, C确定一个平面；C、若直线aP|b = A，则直线a与b能够确定一个平面;D、若A • I ,B • I且A三：j B三x，贝U 1二用10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是（）A、两条平行直线；B、一点和一条直线；D、两个点。
3、4、5,且它的8个顶点都在同一个球面上,A、25 ；B、50二；C、125二；D、都不对。
人教版A版27课标高中数学必修第二册第八章综合测试试题试卷含答案
第八章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A.若m ∥α，n ∥α，则m n ∥ B.若⊥αγ，⊥βγ，则∥αβ C.若m ∥α，m ⊥β，则⊥αβD.若m ∥α，⊥αβ，则m ⊥β2.如图，O A B ′′′△是水平放置的OAB △的直观图，6A O =′′，2B O =′′，则OAB △的面积是（ ）A.6B.C.D.123.BC 是Rt ABC △的斜边，PA ABC ⊥平面，PD BC D ⊥于点，则图8-7-37中直角三角形的个数是（ ）A.8B.7C.6D.54.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是线段1DB 和1A C 上不重合的两个动点，则下列结论正确的是（ ）A.1BC MN ⊥B.1B N CM ∥C.11ABN C MD 平面∥平面D.1111CDM A B C D 平面⊥平面5.已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为（ ） A.18B.12C.6D.12π6.如图8-7-39所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB AC ==，16BB BC ==，E ，F 为侧棱1AA 上的两点，且3EF =，则多面体11BB C CEF 的体积为（ ） A.30 B.18 C.15D.127.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）B.1D.2+8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（ ）A.AC BE ⊥B.EF ABCD ∥平面C.三棱锥A BEF -的体积为定值D.AEF △的面积与BEF △的面积相等9.如图8-7-42，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD AA =，则下列结论中不正确的是（ ）A.111A B CD BC D ⊥平面平面B.1111A B CD P D P BC D 在平面上存在一点使得∥平面C.111A C Q D Q BC D 在直线上存在一点，使得∥平面D.111A C R D R BC D ⊥在直线上存在一点，使得平面10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA AD ==，E 是1DD 的中点，114BF C K AB ==，设过点E ，F ，K 的平面与平面ABCD 的交线为l ，则直线l 与直线11A D 所成角的正切值为（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上） 11.如图所示，正方形ABCD 的边长为a ，沿对角线AC 将ADC △折起，若°60DAB ∠=，则二面角D AC B --的平面角的大小为________.12.在正三棱锥S ABC -中，AB =，SA =，E ，F 分别为AC ，SB 的中点.平面α过点A ，SBC ∥平面α，ABC l α= 平面，则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为________.13.如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4，高为3，若在中间竖直钻一个圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为________.14.如图8-7-46，直角梯形ABCD 中，°90DAB ∠=，AB CD ∥，CE AB ⊥于点E .已知22BE AE ==，°30BCE ∠=.若将直角梯形绕直线AD 旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为________.三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.[12分]如图所示，一个圆锥形的空杯子（只考虑杯身部分）上放着一个直径为8 cm 的半球形冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形冰淇淋的直径，杯壁厚度忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计才能使其所用材料面积最小？并求面积的最小值.16.[12分]在四面体ABCD 中，E ，H 分别是线段AB ，AD 的中点，F ，G 分别是线段CB ，CD 上的点，且12CF CG BF DG ==.求证： （1）四边形EFGH 是梯形；（2）AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点.17.[13分]在如图所示的多面体中，EF AEB ⊥平面，AE EB ⊥，AD EF ∥，EF BC ∥，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点。
人教版高中数学必修第二册 第九章~第十章 综合测试卷 (含答案)
人教版高中数学必修第二册第九章~第十章综合测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.现要完成下列两项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②东方中学共有160名教职工,其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是()A.①抽签法,②比例分配的分层随机抽样B.①随机数法,②比例分配的分层随机抽样C.①随机数法,②抽签法D.①抽签法,②随机数法2.若A,B为对立事件,则下列式子中成立的是()A.P(A)+P(B)<1B.P(A)+P(B)>1C.P(A)+P(B)=0D.P(A)+P(B)=13.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A.0.2B.0.35C.0.3D.0.44.某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位:千克)作了测量,并根据所得数据画出了频率分布直方图如图C6-1所示,则这30只宠物狗体重的平均值大约为()图C6-1A.15.5千克B.15.6千克C.15.7千克D.16千克5.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位:分):78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,则这15人成绩的第80百分位数是()A.90分B.91.5分C.91分D.90.5分6.一组样本数据a,3,4,5,6的平均数是b,且不等式x2-6x+c<0的解集为(a,b),则这组样本数据的标准差是()A.1B.2C.3D.27.我国历史上有田忌与齐王赛马的故事:“田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹,双方各随机选1匹马进行1场比赛,则齐王的马获胜的概率为()A.23B.13C.12D.568.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为在一段时间内没有发生规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例数量不超过7”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是()A.甲地:总体的平均数为3,中位数为4B.乙地:总体的平均数为1,总体方差大于0C.丙地:中位数为2,众数为3D.丁地:总体的平均数为2,总体方差为3二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的)9.给出下列四个说法,其中正确的说法有()A.做100次抛硬币的试验,结果有51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是51100B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率C.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率10.在某次高中学科竞赛中,4000名考生的参赛成绩统计如图C6-2所示,60分以下视为不及格,若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,则下列说法中正确的是()图C6-2A.成绩在[70,80)内的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分11.某健身房为了解运动健身减肥的效果,调查了20名肥胖者健身前(如直方图C6-3(1)所示)后(如直方图(2)所示)的体重(单位:kg)变化情况:图C6-3对比数据,关于这20名肥胖者,下面结论正确的是()A.健身后,体重在区间[90,100)内的人数较健身前增加了2B.健身后,体重原在区间[100,110)内的人员一定无变化C.健身后,20人的平均体重大约减少了8kgD.健身后,原来体重在区间(110,120]内的肥胖者体重都有减少12.从甲袋中摸出一个红球的概率是13,从乙袋中摸出一个红球的概率是12,从两袋中各摸出一个球,下列结论正确的是()A.2个球都是红球的概率为16B.2个球不都是红球的概率为13C.至少有1个红球的概率为23D.2个球中恰有1个红球的概率为12请将选择题答案填入下表:题号12345678总分答案题号9101112答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品,对其使用寿命(单位:年)跟踪调查的结果如下:甲:3,4,5,6,8,8,8,10;乙:3,3,4,7,9,10,11,12.两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年,请根据结果判断厂家在广告中分别采用了平均数、众数、中位数中的哪一个特征数:甲:,乙:.14.如图C6-4是容量为100的样本数据的频率分布直方图,则样本数据落在区间[6,18)内的频数为.图C6-415.已知甲、乙、丙3名运动员射击一次击中目标的概率分别为0.7,0.8,0.85,若这3人向目标各射击一次,则目标没有被击中的概率为.16.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{0,1,2,…,9}.若|a-b|≤1,则称甲、乙两人“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则这两人“心有灵犀”的概率为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)某班选派5人,参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:获奖人数012345概率0.10.16x y0.2z(1)若获奖人数不超过2的概率为0.56,求x的值;(2)若获奖人数最多为4的概率为0.96,获奖人数最少为3的概率为0.44,求y,z的值.18.(12分)甲、乙两台机床同时加工直径为100cm的零件,为检验质量,各从中抽取6个零件测量其直径,所得数据如下.甲:99,100,98,100,100,103;乙:99,100,102,99,100,100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差;(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.19.(12分)某校高一年级举行了一次数学竞赛,为了了解参加本次竞赛的学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(取正整数,单位:分)作为样本(样本量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图C6-5所示,已知成绩在[50,60),[90,100]内的频数分别为8,2.(1)求样本量n和频率分布直方图中的x,y的值;(2)估计参加本次竞赛的学生成绩的众数、中位数、平均数.图C6-520.(12分)生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲、乙机床生产的产品中各任取1件,求:(1)至少有1件废品的概率;(2)恰有1件废品的概率.21.(12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图C6-6所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯的概率与获得饮料的概率的大小,并说明理由.图C6-622.(12分)2020年新冠肺炎疫情期间,某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度,从本区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分100分).根据调查数据制成如下表格和如图C6-7所示的频率分布直方图.已知评分在[80,100]内的居民有600人.满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的值及参与评分的总人数.(2)定义满意度指数η=(满意程度的平均分)/100,若η<0.8,则防疫工作需要进行大的调整,否则不需要进行大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整.(3)为了解部分居民不满意的原因,从不满意的居民(评分在[40,50),[50,60)内)中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6位居民,倾听他们的意见,并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员,求这2人中仅有1人对防疫工作的评分在[40,50)内的概率.图C6-7参考答案与解析1.A[解析]①总体较少,宜用抽签法;②各层间差异明显,宜用分层随机抽样.故选A.2.D[解析]若事件A与事件B是对立事件,则P(A)+P(B)=1.故选D.3.B[解析]∵事件A={抽到一等品},且P(A)=0.65,∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率P=1-P(A)=1-0.65=0.35.4.B[解析]由频率分布直方图可以计算出各组的频率分别为0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1,故各组的频数分别为3,6,9,6,3,3,则这30只宠物狗体重的平均值为11×3+13×6+15×9+17×6+19×3+21×330=15.6(千克),故选B.5.D[解析]将这15人的成绩(单位:分)由小到大依次排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,因为15×80%=12,第12,13个数据分别为90分、91分,所以这15人成绩的第80百分位数是90.5分.故选D.6.B[解析]由题意得a+3+4+5+6=5b,a+b=6,解得a=2,b=4,所以样本数据的方差s2=15×[(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2]=2,所以标准差s=2.故答案为B.7.A[解析]依题意,记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c,齐王的上等马、中等马、下等马分别为A,B,C.由题意可知,样本空间Ω={aA,bA,cA,aB,bB,cB,aC,bC,cC},共有9个样本点,其中事件“田忌可以获胜”包含的样本点为aB,aC,bC,共3个,则齐王的马获胜的概率P=1-39=23.故选A.8.D[解析]由于甲地总体数据的平均数为3,中位数为4,即按从小到大排序后,中间两个数据的平均数为4,因此后面的数据可以大于7,故甲地不一定符合.乙地总体数据的平均数为1,因此这10天的新增疑似病例总数为10,又由于方差大于0,故这10天中新增疑似病例数量不可能每天都是1,可以有一天大于7,故乙地不一定符合.丙地总体数据的中位数为2,众数为3,故数据中可以出现8,故丙地不一定符合.丁地总体数据的平均数为2,方差为3,故丁地一定符合.9.CD[解析]对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误;对于B,混淆了频率与概率的区别,故B 错误;对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是950,符合频率定义,故C正确;对于D,频率是概率的估计值,故D正确.故选CD.10.ABC [解析]由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,考生人数最多,故A 正确;由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)内的频率为0.25,则不及格的考生人数为4000×0.25=1000,故B 正确;由频率分布直方图可得,平均数为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),故C 正确;因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,在[70,80)内的频率为0.3,所以中位数为70+10×0.050.3≈71.67(分),故D 错误.故选ABC .11.AD[解析]体重在区间[90,100)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人,增加了2人,故A 正确;健身后,体重在区间[100,110)内的频率没有变,但人员组成可能改变,故B 错误;健身后,20人的平均体重大约减少了(0.3×95+0.5×105+0.2×115)-(0.1×85+0.4×95+0.5×105)=5(kg),故C 错误;因为图(2)中没有体重在区间(110,120]内的人员,所以原来体重在区间(110,120]内的肥胖者体重都有减少,故D 正确.故选AD .12.ACD[解析]设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2,则P (A 1)=13,P (A 2)=12,且A 1,A 2独立;在A 中,“2个球都是红球”为事件A 1A 2,其概率为13×12=16,A 正确;在B中,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为56,B 错误;在C 中,“2个球中至少有1个红球”的概率为1-P ( )P ( )=1-23×12=23,C 正确;在D 中,2个球中恰有1个红球的概率为13×12+23×12=12,D 正确.故选ACD .13.众数中位数[解析]对甲厂的数据进行分析:该组数据中8年出现的次数最多,故广告中采用了众数;对乙厂的数据进行分析:该组数据最中间的是7年与9年,故中位数是7+92=8(年),故广告中采用了中位数.14.80[解析]由题图知,样本数据落在区间[6,18)内的频数为100×0.8=80.15.0.009[解析]由相互独立事件的概率计算公式知,3人向目标各射击一次,目标没有被击中的概率P=(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.3×0.2×0.15=0.009.16.725[解析]从{0,1,2,…,9}中任意取两个数(可重复),该试验共有100个样本点,事件“|a-b|≤1”包含的样本点为(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5),(6,7),(7,6),(7,8),(8,7),(8,9),(9,8),共有28个,所以所求概率P=28100=725.17.解:记事件“在竞赛中,有k 人获奖”为A k (k ∈N,k ≤5),则事件A k 彼此互斥.(1)∵获奖人数不超过2的概率为0.56,∴P (A 0)+P (A 1)+P (A 2)=0.1+0.16+x=0.56,解得x=0.3.(2)由获奖人数最多为4的概率为0.96,得P (A 5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.由获奖人数最少为3的概率为0.44,得P (A 3)+P (A 4)+P (A 5)=0.44,即y+0.2+0.04=0.44,解得y=0.2.18.解:(1)由题中数据可得 甲=16×(99+100+98+100+100+103)=100(cm); 乙=16×(99+100+102+99+100+100)=100(cm).甲2=16×(1+0+4+0+0+9)=73, 乙2=16×(1+0+4+1+0+0)=1.(2)由(1)知两台机床所加工零件的直径的平均数相同,又 甲2> 乙2,所以乙机床加工零件的质量更稳定.19.解:(1)由题意可知,样本量n=80.016×10=50,y=250×10=0.004,x=0.1-0.016-0.04-0.01-0.004=0.03.(2)由频率分布直方图可估计,参加本次竞赛的学生成绩的众数为75分.设样本数据的中位数为m ,因为(0.016+0.03)×10<0.5<(0.016+0.03+0.04)×10,所以m ∈[70,80),所以(0.016+0.03)×10+(m-70)×0.04=0.5,解得m=71,故估计参加本次竞赛的学生成绩的中位数为71分.由频率分布直方图可估计,参加本次竞赛的学生成绩的平均数为55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6(分).20.解:记从甲、乙机床生产的产品中取1件是废品分别为事件A ,B ,则事件A ,B 相互独立,且P (A )=0.04,P (B )=0.05.(1)设“至少有1件废品”为事件C ,则P (C )=1-P ( )=1-P ( )P ( )=1-(1-0.04)×(1-0.05)=0.088.(2)设“恰有1件废品”为事件D ,则P (D )=P (A )+P ( B )=0.04×(1-0.05)+(1-0.04)×0.05=0.086.21.解:(1)试验的所有样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),( 4,3),(4,4),共16个.事件“xy≤3”包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共5个,所以小亮获得玩具的概率为516.(2)事件“xy≥8”包含的样本点有(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),共6个,所以小亮获得水杯的概率为38,小亮获得饮料的概率为1-516-38=516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.22.解:(1)由频率分布直方图知(0.002+0.004+0.014+0.02+0.035+a)×10=1,即10×(0.075+a)=1,解得a=0.025,设共有n人参与评分,则600 =(0.035+0.025)×10,解得n=1000,即参与评分的总人数为1000.(2)由频率分布直方图知各组的频率分别为0.02,0.04,0.14,0.2,0.35,0.25,所以η=45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25100=0.807>0.8,所以该区防疫工作不需要进行大调整.(3)因为0.002×10×1000=20,0.004×10×1000=40,所以评分在[40,50),[50,60)内的居民人数分别为20,40,所以所抽取的评分在[40,50)内的居民人数为20×660=2,将这2人分别记为a,b,所抽取的评分在[50,60)内的居民人数为40×660=4,将这4人分别记为A,B,C,D.从这6人中抽取2人,试验的样本点有ab,aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,AB,AC,AD,BC,BD,CD,共15个.而“仅有1人对防疫工作的评分在[40,50)内”包含的样本点有aA,aB,aC,aD,bA,bB,bC,bD,共8个,则所求事件的概率为815.。
高中数学必修二测试题及答案人教版
第一章 空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图 左视图 俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶36．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )．A ．29 B ．5 C ．6 D ．2159．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．(第8题)(第10题)二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第19题)20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第一章 空间几何体参考答案A 组一、选择题 1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2．3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1.5－1)＝23π．7．D解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52，而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160． 8．D解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V ＝2×31×43×3×2＋21×3×2×23＝215．9．B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．10．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 二、填空题11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．12．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．13．参考答案：361a ．解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点， 三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3． 另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面．14．参考答案：平行四边形或线段．15．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1， l ＝1＋2＋3＝6． 16．参考答案：12．解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3，R ＝32764×＝12． 三、解答题 17．参考答案：V ＝31(S ＋S S ′＋S )h ，h ＝S S S S V ′＋′＋3＝6001＋4002＋60030001903×＝75．18．参考答案：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝22a ，OC'＝R ．(第18题)在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC' 2，即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝26a ，∴V 半球＝26πa 3，V 正方体＝a 3． ∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2． 19．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π． V ＝V 台－V 锥 ＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π．20．解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝31Sh ＝31×π×(216)2×4＝3256π(m 3)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积COAV 2＝31Sh ＝31×π×(212)2×8＝3288π(m 3)．(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ． 棱锥的母线长为l ＝224＋8＝45， 仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)． 如果按方案二，仓库的高变成8 m ．棱锥的母线长为l ＝226＋8＝10，仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3) 参考答案：∵V 2＞V 1，S 2＜S 1，∴方案二比方案一更加经济些．。
(word完整版)高中数学必修二练习题(人教版,附答案)
高中数学必修二练习题（人教版，附答案）本文适合复习评估，借以评价学习成效。
一、选择题1. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）A.3B.-2C. 2D. 不存在2．过点且平行于直线的直线方程为（）A． B．C．D．3. 下列说法不正确的．．．．是（）A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.4．已知点、，则线段的垂直平分线的方程是（）A． B． C． D．5. 研究下在同一直角坐标系中，表示直线与的关系6. 已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A.一定是异面B.一定是相交C.不可能平行D.不可能相交7. 设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的序号是( )（A）①和②（B）②和③（C）③和④（D）①和④8. 圆与直线的位置关系是（）A．相交 B.相切 C.相离 D.直线过圆心9. 两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线x－y+c=0上，则m+c的值为（）A．－1 B．2 C．3 D．010. 在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么( )A．点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内 D.点P必在平面ABC外11. 若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是（C ）A.MN∥βB.MN与β相交或MNβC. MN∥β或MNβD. MN∥β或MN与β相交或MNβ12. 已知A、B、C、D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC（A ）A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定二填空题13.已知A（1，-2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且|PA|=|PB|,则点P的坐标为；14.已知正方形ABCD的边长为1，AP⊥平面ABCD，且AP=2,则PC＝；15.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 ___________；16.圆心在直线上的圆C与轴交于两点，，则圆C的方程为．三解答题17(12分) 已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x－3y+16=0，CA：2x+y－2=0 求AC边上的高所在的直线方程.18(12分)如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：(1) FD∥平面ABC;(2) AF⊥平面EDB.19（12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点，（1）求证：平面A B1D1∥平面EFG;（2）求证：平面AA1C⊥面EFG.20(12分)已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切;②在直线y=x上截得弦长为2;③圆心在直线x－3y=0上. 求圆C的方程.设所求的圆C与y轴相切，又与直线交于AB，2分)设有半径为3的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇.设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇？22（14分）已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；(3) 当直线l的倾斜角为45度时，求弦AB的长.一、选择题（5’×12=60’）（参考答案）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A D B C C A A C A C A二、填空题：(4’×4=16’) （参考答案）13. (0,0,3) 14. 15 y=2x或x+y-3=0 16. (x-2)2+(y+3)2=5三解答题17(12分) 解：由解得交点B（－4，0），. ∴AC边上的高线BD的方程为.18(12分) 解：(1)取AB的中点M,连FM,MC,∵F、M分别是BE、BA的中点∴ FM∥EA, FM=EA∵ EA、CD都垂直于平面ABC ∴ CD∥EA∴ CD∥FM又 DC=a, ∴ FM=DC ∴四边形FMCD是平行四边形∴FD∥MCFD∥平面ABC(2)因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB又 CM⊥AE,所以CM⊥面EAB, CM⊥AF, FD⊥AF,因F是BE的中点, EA=AB所以AF⊥EB.19解：略20解：∵圆心C在直线上，∴圆心C（3a，a），又圆与y轴相切，∴R=3|a|. 又圆心C到直线y－x=0的距离在Rt△CBD中，.∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（－3，－1），故所求圆的方程为或.21解解：如图建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时，v千米/小时，再设出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇.则P、Q两点坐标为（3vx0, 0），（0,vx0+vy0）.由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，………………3分（3vx0）2+(vx0+vy0)2=(3vy0)2,即.……①………………6分将①代入……………8分又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置. 设直线相切，则有……………………11分答：A、B相遇点在离村中心正北千米处………………12分22解：(1)已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2(x-1),即 2x-y-20.(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC, 直线l的方程为, 即 x+2y-6=0(3)当直线l的倾斜角为45度时，斜率为1，直线l的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为.。
(人教版)高中数学必修二(全册)同步练习+单元检测卷汇总
（人教版）高中数学必修二（全册）同步练习+单元检测卷汇总课后提升作业一棱柱、棱锥、棱台的结构特征(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.下列说法中正确的是( )A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】选A.棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点【解析】选C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点.3.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形，故D错误.4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.由一个棱柱与一个棱锥构成D.不能确定【解析】选 A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的四棱柱.5.(2016·郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断.【解析】选B.在图(2)(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)(3)完全一样，而(1)(4)则不同. 【补偿训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )【解析】选D.A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等.6.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1【解析】选 B.由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4.7.(2016·温州高一检测)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有( )A.20条B.15条C.12条D.10条【解析】选 D.因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧棱的截面为一个平行四边形，共可得5个截面，每个平行四边形可得到五棱柱的两条对角线，故共有10条对角线.8.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【解析】选 C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值至多等于4.二、填空题(每小题5分，共10分)9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.【解析】如图：①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤.答案：①③④⑤10.(2016·天津高一检测)一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.【解析】因为n棱柱有2n个顶点，又此棱柱有10个顶点，所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为60cm，可知每条侧棱长为12cm.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)11.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.(1)由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.(2)由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形.【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱.(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.12.已知三棱柱ABC-A′B′C′，底面是边长为1的正三角形，侧面为全等的矩形且高为8，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达A′点的最短路线长.【解析】将三棱柱侧面沿侧棱AA′剪开，展成平面图形如图，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A″=8，所以AA″==.【延伸探究】本题条件不变，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A′点的最短路线长.【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿AA′剪开，然后展开并拼接成如图所示，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=6，A1A″=8，所以AA″===10.【能力挑战题】如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第六章 平面向量及其应用 综合测试(附答案与解析)
第六章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC △中，内角,A B C ,的对边分别为,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B 等于（ ）D.62.已知两个单位向量a 和b 的夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为（ ）A.12a B.aC.12-aD.-a3.已知点(2,1),(4,2)A B -，点P 在x 轴上，当PA PB 取最小值时，P 点的坐标是（ ） A.(2,0) B.(4,0)C.10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(3,0)4.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若有OA OC OB +=，圆O 的半径为2，则OB CB =（ ） A.1- B.2- C.1 D.25.已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则||()OA tOB t +∈R 的最小值为（ ）A. B.5 C.36.已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a ，那么a 的取值范围为（ ） A.(8,10)B.C.D.7.已知圆的半径为4,,,a b c 为该圆的内接三角形的三边，若abc =，则三角形的面积为（ ）A.B.8.已知向量,a b 满足(2)(54)0+⋅-=a b a b ，且1==a b ，则a 与b 的夹角θ为（ ）A.34π B.4π C.3π D.23π 9.已知sin 1sin cos 2ααα=+，且向量(tan ,1)AB α=，(tan ,2)BC α=，则AC 等于（ ）A.(2,3)-B.(1,2)C.(4,3)D.(2,3)10.在ABC △中，E F ,分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任意一点，实数,x y 满足PA xPB yPC ++=0，设,,,ABC PBC PCA PAB △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，记(1,2,3)ii S i Sλ==，则23λλ⋅取到最大值时， 2x y +的值为（ ）A.1-B.1C.32-D.32二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,3B a c π=+，则ac=（ ） A.2 B.3C.12D.1312.点P 是ABC △所在平面内一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则ABC △的形状不可能是（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上） 13.已知,12e e 是平面内的单位向量，且12⋅=12e e .若向量b 满足1⋅=⋅=12b e b e ，则=b ________.14.已知向量,a b 满足5,1==a b ，且4-a b ⋅a b 的最小值为________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，2DC A A B D ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+，则λ=________，μ=________.（本题第一空2分，第二空3分）16.如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60︒的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60︒的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速的大小为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图所示，以向量,OA OB ==a b 为邻边作OADB ，11,33BM BC CN CD ==，用,a b 表现,,OM ON MN .18.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3cos 5B =. （1）若4b =，求sin A 的值； （2）若4ABC S ∆=，求,b c 的值.19.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 1sin 2C C C +=-， （1）求sin C 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为(4π+，试求AC BC 的取值范围.20.（本小题满分12分）某观测站在城A 南偏西20︒方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40︒，距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时,C D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ？21.（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F 、分别是CD AD 、的中点，BE CF 、交于点P ，连接AP .用向量法证明： （1）BE CF ⊥； （2）AP AB =.22.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )x x =a ，sin ,sin 6x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ，函数()2f x =⋅a b ，()4g x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，并求出相应的x 的值；（2）计算(1)(2)(3)(2014)g g g g ++++的值；（3）已知t ∈R ，讨论()g x 在[,2]t t +上零点的个数.第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a Ab B=，a ∴=可化为sin sin A B =.又sin 22sin cos 2,sin sin 2B B B A B B B =∴==，cos B ∴. 2.【答案】A【解析】由已知可得111122⋅=⨯⨯=a b ，211()122-⋅=-⋅=-=a b a a a b ，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为()12-⋅⋅=a b a a a a . 3.【答案】D【解析】点P 在x 轴上，∴设P 上的坐标是(,0),(2,1),(4,2)x PA x PB x ∴=--=-，22(2)(4)266(3)3PA PB x x x x x ∴⋅=---=-+=--，∴当3x =时，PA PB ⋅取最小值.P ∴点的坐标是(3,0).4.【答案】D 【解析】OA OC OB +=，OA OC =，∴四边形OABC 是菱形，且120AOC ∠=︒，又圆O 的半径为2，22cos602OB CB ∴⋅=⨯⨯︒=. 5.【答案】D【解析】点(4,3),(1,2)A B ，O 为坐标原点，则(4,32)OA tOB t t +=++，22222()(4)(32)520255(2)55OA tOB t t t t t ∴+=+++=++=++≥，∴当2t =-时，等号成立，此时OA tOB +取得最小值6.【答案】B【解析】设1,3，a 所对的角分别为,,C B A ∠∠∠，由余弦定理的推论知2222222213cos 0,21313cos 0,2131cos 0,23a A a B a a C a ⎧+-=⎪⨯⨯⎪⎪+-=⎨⨯⨯⎪⎪+-=⎪⨯⨯⎩＞＞＞即()()222100,280,680,a a a a a ⎧-⎪⎪-⎨⎪+⎪⎩＞＞＞解得a ，故选B . 7.【答案】C【解析】设圆的半径为R ，内接三角形的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .28sin sin sin a b cR A B C====，sin 8cC∴=，1sin 216ABC abc S ab C ∆∴===8.【答案】C 【解析】22(2)(54)5680+⋅-=+⋅=-a b a b a a b b ，又11,63,cos 2θ==∴⋅=∴=a b a b ，又[0,],3πθπθ∈∴=，故选C .9.【答案】D【解析】sin 1sin cos 2ααα=+，cos sin αα∴=，tan 1α∴=，(2tan ,3)(2,3)AC AB BC α∴=+==.故选D .10.【答案】D【解析】由题意可得，EF 是ABC △的中位线，P ∴到BC 的距离等于ABC △的边BC 上的高的一半，可得12323121,2S S S S λλ++===.由此可得223231216λλλλ+⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当23S S =，即P 为EF 的中点时，等号成立.0PE PF ∴+=.由向量加法的四边形法则可得，2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，两式相加，得20PA PB PC ++=.0PA xPB yPC ++=，∴根据平面向量基本定理，得12x y ==，从而得到322x y +=. 二、11.【答案】AC【解析】3B π=，a c +=，2222()23a c a c ac b ∴+=++=，①由余弦定理可得，2222cos3a c acb π+-=，②联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2ac=或12a c =.故选AC .12.【答案】ACD 【解析】P 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，|||()()|0CB PB PA PC PA ∴--+-=，即||||CB AC AB =+，||||AB AC AC AB ∴-=+，两边平方并化简得0MC AB ⋅=，AC AB ∴⊥，90A ︒∴∠=，则ABC △一定是直角三角形.故选ACD .三、13.【解析】解析令1e 与2e 的夹角为θ.1cos cos 2θθ∴⋅=⋅==1212e e e e ，又0θ︒︒≤≤180，60θ∴=︒.()0⋅-=12b e e ，∴b 与,12e e 的夹角均为30︒，从而1||cos30︒=b . 14.【答案】52【解析】|4|-a b ，52⋅≥a b ，即⋅a b 的最小值为52. 15.【答案】65 25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.不妨设1AB =，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,2),(0,1)D C A B E .(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=，,(2,2)(2,1)(1,2)CA CE DB λμλμ=+∴-=-+，22,22,λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6,52.5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩16./h【解析】轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BC EB =.设EB x =，则4BC x =，由已知得30BAE ∠=︒，150EAC ∠=︒.在AEC △中，由正弦定理的sin sin EC AE EAC C=∠， sin 5sin1501sin 52AE EAC C EC x x︒∠∴===. 在ABC △中，由正弦定理得sin120sin BC ABC =︒，14sin sin120x BC C AB ⋅∴===︒. 在ABE △中，由余弦定理得22216312cos30252533BE AB AE AB AE︒=+-=+-=，故BE ∴船速的大小为/h)3BE t==. 四、 17.【答案】解：BA OA OB =-=-a b ，11153666OM OB BM OB BC OB BA ∴=+=+=+=+a b . 又OD =+a b ，222333ON OC CN OD ∴=+==+a b ， 221511336626MN ON OM ∴=-=+--=-a b a b a b . 18.【答案】解：3cos 05B =＞，且0B π＜＜， 4sin 5B ∴=. 由正弦定理得sin sin a b A B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯∴===. （2）1sin 42ABC S ac B ∆==， 142425c ∴⨯⨯⨯=，5c ∴=. 由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=19.【答案】（1）解：ABC △中，由sin cos 1sin 2C C C +=-，得22sin cos 2sin sin 2222C C C C =-， sin 02C ＞，1cos sin 222C C ∴-=-，两边平方得11sin 4C -=，解得3sin 4C =. （2）设ABC △的外接圆的半径为R ，由（1）知sin cos 22C C ＞，24C π∴＞， 2C π∴＞，cos C ∴=. 易得2sin c R C =，22294sin (44c R C ∴==，由余弦定理得，222977(4221444c a b ab ab⎛⎫⎛⎫=+=+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，902ab ∴＜≤，cos 8AC BC ab C ⎡⎫∴=∈-⎪⎢⎪⎣⎭，即AC BC 的取值范围是8⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 20.【答案】解：如图所示，设ACD α∠=，CDB β∠=.在CBD △中，由余弦定理的推论得2222222021311cos 2220217BD CD CB BD CD β+-+-===-⨯⨯，sin 7β∴=()411sin sin 60sin cos60sin 60cos 27αβββ︒︒︒⎛⎫∴=-=-=--= ⎪⎝⎭在CBD △中，由正弦定理得21sin 60sin AD α=︒， 21sin 15sin60AD α∴==︒（千米）. ∴这人还要再走15千米可到达城A .21.【答案】证明：如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则(0,0),(2,0),(2,2),(1,2),(0,1)A B C E F .（1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=-，(0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=--，(1)(2)2(1)0BE CF ∴⋅=-⨯-+⨯-=，BE CF ∴⊥，即BE CF ⊥.（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =-，(2,)BP x y =-，由（1）知(2,1)CF =--，(1,2)BE =-，FP CF ∥，2(1)x y ∴-=--，即24y x =-+.同理，由BP BE ∥，即24y x =-+.22,24,x y y x =-⎧∴⎨=-+⎩解得6,58,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即68,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 222268455AP AB ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ||||AP AB ∴=，即AP AB =.22.【答案】（1）解：21()22sin sin(2sin cos sin 262f x x x x x x x π⎫=⋅=-+=+=⎪⎭a b1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 252333x πππ∴-≤≤，1sin 23x π⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭≤，∴当3232x ππ-=，即1112x π=时，()f x 1-，当2233x ππ-=，即2x π=时，()f x（2）由（1）得()sin 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. ()sin 423g x f x x πππ⎛⎫⎛⎫∴==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4T ∴=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2009)(2010)(2011)(2012)g g g g g g g g g g g g ∴+++=+++==+++.又(1)(2)(3)(4)gg g g +++=，(1)(2)(3)(2014)503(1)(2)g g g g g g ∴++++=⨯+=.（3）()g x 在[,2]t t +上零点的个数等价于sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =.在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的图象（图略）.当4443k t k +＜＜，k ∈Z 时，由图象可知，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与2y =-两图象无交点，即()g x 无零点；当44243k t k ++≤＜或10444,3k t k k ++∈Z ＜≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =1个交点，即()g x 有1个零点；当10244,3k t k k ++∈Z ≤≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =2个交点，即()g x 有2个零点.。
人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第七章 复数 综合测试(附答案与解析)
第七章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设1234i,23i z z =-+=-其中i 为虚数单位，则12z z +在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知i 为虚数单位，复数122i,2i z a z =+=-，且21z z =，则实数a 的值为（）A .1B .1-C .1或1-D .1±或03.复数：满足31i z z +=-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点的轨迹是（）A .直线B .正方形C .圆D .射线4.已知复数(12i)(23i)z =++（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.若复数z 满足(12i)5z +=，i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A 2i-B .2C .2-D .2i 6.定义运算a b ad bc c d =-，则符合条件1142i i z z -=+（i 是虚数单位）的复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限7.已知复数2349i+i +i +i ++i 1+iz =L （i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点为（）A .11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B .(1,1)C .11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D .(1,1)-8.设z 是纯虚数，i 是虚数单位，若21i z +-是实数，则z =（）A .2i -B .1i 2-C .1i 2D .2i9.对于复数,,,a b c d ，若集合{,,,}S a b c d =具有性质“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”，则当,,,a b c d 同时满足①1a =：②21b =；③2c b =时，b c d ++=（）A .1B .1-C .0D .i10.已知i 是虚数单位，给出下列命题，其中正确的是（）A .满足i i z z -=+的复数z 对应的点的轨迹是圆B .若2,i 1m ∈=-Z ，则123i i i i 0m m m m ++++++=C .复数i z a b =+（其中,a b ∈R ）的虚部为iD .在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示虚数二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知复数z ，下列结论正确的是（）A .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B .“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C .“z z =”是“z 为实数”的充要条件D .“z z ∈R g ”是“z 为实数”的充分不必要条件12.设()()2225322i,z t t t t t =+-+++∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（）A .z 对应的点在第一象限B .z 一定不为纯虚数C .z 一定不为实数D .z 对应的点在实轴的下方三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知i 为虚数单位，若复数24(2)i()z a a a =-+-∈R 是纯虚数，则1z +=________；z z =g ________.（本题第一空2分，第二空3分）14.如图所示，网格中的小正方形的边长是1，复平面内的点Z 对应复数z ，则复数12z i-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部是________.15.若34i z =-（i 为虚数单位），则z z=________.16.复数12,z z 分别对应复平面内的点12M M 、，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 为虚数单位），则2212z z +=________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知复数z 满足13z i z =+-，i 是虚数单位，化简22(1i)(34i)2z++.18.（本小题满分12分）（1）已知m ∈R ，i 是虚数单位，复数()()2245215i z m m m m =--+--是纯虚数，求m 的值；（2）已知复数z 满足方程(2)i 0z z +-=，i 是虚数单位，求z 及|2i |z +的值.19.（本小题满分12分）（1）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，,m n ∈R ，求+m n 的值；（2）已知2i 1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，,m n ∈R ，求+m n 的值.20.（本小题满分12分）已知复数()21223(25)i,10i 15z a z a a a =+-=+--+，其中a 为实数，i 为虚数单位.（1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若12z z +是实数（2z 是2z 的共轭复数），求1z 的值.21.（本小题满分12分）欧拉公式cos sin ix e x i x =+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位，x ∈R ）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：（1）判断复数2i e 在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；（2）若0ix e ＜，求cos x 的值.22.（本小题满分12分）若,42i,sin icos z z z ωθθ∈+=+=-C （θ为实数），i 为虚数单位.（1）求复数z ；（2）求z ω-的取值范围.第七章综合测试答案解析一、1.【答案】B【解析】1234i,23i z z =-+=-Q ，1234i 23i 1i z z ∴+=-++-=-+，12z z ∴+在复平面内对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B .2.【答案】C【解析】因为复数12i z a =+，22i z =-，且12z z =，所以2441a +=+，解得1a =±，故选C .3.【答案】C【解析】设i(,)z x y x y =+∈R ，则33i 1i i x y x y ++=+-，所以2222(31)9(1)x y x y ++=+-，即224430x y x y +++=.所以复数z 对应的点的轨迹为圆.故选C .4.【答案】B【解析】(12i)(23i)47i z =++=-+Q ，z ∴在复平面内对应的点的坐标为(4,7)-，位于第二象限，故选B .5.【答案】C 【解析】依题意得，512i 12iz ==-+，所以z 的虚部为2-，故选C .6.【答案】D【解析】依题意得，i 42i z z +=+，42i 3i 1iz +∴==-+，对应的点的坐标为(3,1)-，位于第四象限，故选D .7.【答案】A【解析】2349i i i i i i 1i 1i ==1i 1iz +++++--+++=++L L i (1i)i 11i 1i (1i)(1i)22-==+++-，所以复数z 在复平面呢对应的点的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.8.【答案】A【解析】z Q 为纯虚数，∴设i z b =（b ∈R 且0b ≠），则2i 2(i 2)(1i)21(2)i 1i 1i (1i)(1i)22z b b b b ++++-+===++---+，又21i z +-Q 为实数，1(2)02b ∴+=，即2b =-，2i z ∴=-.9.【答案】B【解析】由题意知1,i b c =-=±.当i c =时，满足性质“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”的d 为i -；同理，当i c =-时，i d =.综上可知，0c d +=，1b c d ∴++=-.10.【答案】B【解析】对于A ，满足i i z z -=+的复数：对应的点的轨迹是实轴，不是圆，A 错误；对于B ，若2,i 1m ∈=-Z ，则123i i i i i (1i 1i)0m m m m n ++++++=+--=，B 正确；对于C ，复数i z a b =+（其中,a b ∈R ）的虚部为b ，i 是虚数单位，C 错误；对于D ，在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点除原点外都表示虚数，D 错误.故选B .二、11.【答案】BC【解析】对于复数z ，若0z z +=，z 不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z 为纯虚数，则0z z +=，∴“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件，A 错误，B 正确；“z z =”是“z 为实数”的充要条件，C 正确；若z z ⋅∈R ，z 不一定为实数，也可以为虚数，反之，若z ∈R ，则z z ⋅∈R .∴“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件，D 错误.故选BC .12.【答案】CD【解析】对于A ，22549492532488t t t ⎛⎫+-=+-- ⎪⎝⎭＞，2222(1)10t t t ++=++＞，所以复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；对于B ，当222530,220,t t t t ⎧+-=⎪⎨++≠⎪⎩即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误；对于C ，因为2220t t ++＞恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；对于D ，由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确.故选CD .三、1316【解析】Q 复数24(2)i()z a a a =-+-∈R 是纯虚数，240,20,a a ⎧-=⎪∴⎨-≠⎪⎩解得2a =-，4i z ∴=-，4i z =，114i z ∴+=-=，=16z z ⋅.14.【答案】1-【解析】由题图可知，点Z 的坐标为(2,1)，2i z ∴=+，2i (2i)(12i)i 12i 12i (12i)(12i)z +++∴===---+，其共轭复数为i -，∴其共轭复数的虚数是1-.15.【答案】34i 55+【解析】依题意得，34i 55z z ==+.16.【答案】100【解析】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段12,OM OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，5OM =uuu r ，所以1210M M =uuuuu u r ，所以22222121212100z z OM OM M M +=+==uuur uuur uuuuu u r .四、17.【答案】解：设i(,)z a b a b =+∈R ，则由13i z z =+-13i i 0a b -++=，10,30,a b -=∴-=⎪⎩解得4,3,a b =-⎧⎨=⎩43iz ∴=-+22(1i)(34i)2i(724i)247i (247i)(43i)34i 22(43i)43i (43i)(43i)z ++-++++∴====+-+--+.18.【答案】（1）解：由复数z 是纯虚数，可得22450,2150,m m m m ⎧--=⎪⎨--≠⎪⎩即251,53,m k m m m ⎧==-⎪⎨≠≠-⎪⎩或且解得1m =-.（2）解：由题意可得，2i 2i(1i)1+i 1i (1i)(1i)z -===++-，从而1i z =-，所以2i (1i)2i 1i z +=-+=+.19.【答案】（1）解：由已知得(2i 1)10m n -+-=，(1)2i 0n m m ∴--+=，10,20,n m m --=⎧∴⎨=⎩解得1,0,n m =⎧⎨=⎩1m n ∴+=.（2）解：解法一：由已知得2(2i 1)(2i 1)10m n -+-+-=，(4)(24)i 0n m m ∴--+-=，40,240,n m m --=⎧∴⎨-=⎩解得6,2,n m =⎧⎨=⎩8m n ∴+=.解法二：2i 1-Q 是实系数方程21=0x mx n ++-的根，∴12i --也是此方程的根，因此，(12)(12),(12)(12)1,i i m i i n -++--=-⎧⎨-+--=-⎩解得6,2,n m =⎧⎨=⎩8m n ∴+=.20.【答案】（1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则20,1250.a a ⎧⎪-⎨⎪-⎩＜＜解得1,5,2a a ⎧⎪⎨⎪⎩＞＜即52a 1＜＜，故实数a 的取值范围是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）解：()22310i 5z a a =+-+Q ()22310i 5z a a ∴=--+()()22122332(25)i 10i (25)10i 1551z z a a a a a a a a ⎡⎤∴+=+-+--=++---⎣⎦-++-.12z z +Q 是实数，()225100(15)a a a a ∴---=≠≠且.由()225100a a ---=得22150a a +-=，解得3a =或5a =-（舍）.12(25)i 1i 1z a a ∴=+-=-+-，1z ∴=21.【答案】（1）解：位于第二象限.理由如下：2i cos2isin 2e =+在复平面内对应的点的坐标为(cos 2,sin 2)，由于22ππ＜，因此cos2＜0，sin 20＞，∴点(cos 2,sin 2)在第二象限，故复数2i e 在复平面内对应的点位于第二象限。
(人教版)高中数学必修二(全册)单元测试卷汇总
（人教版）高中数学必修二（全册）单元测试卷汇总、阶段通关训练（一）（60分钟 100分）一、选择题（每小题5分，共3。
分）1・已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是□ □便視囲A. 长方体 C.匹棱锥【解析】选A.该几何体是长方体，如图所示» 入城商中目字必零二01 ：酚俭1王训停 爺人椒版為中教学宕偌2!； &馈通关训号 信，奴薮版快9E 必偌二好：阶段遑关训澤 司：人馭艇苣中数猝偌二桂測：跻蜀■美训遂 琼人板版毫中gtl 修二窗I ；樓埃蜃量怦估 S 人会版毎中數⑴ C 2） Word 版言眾忻 Word 版合解忻 W 。
招版含解忻 （AS ） Word 板合樹ff （B 卷）WordB.圆性 D.四棱台正視图悟视图2.以钝角三角形旳较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是（）A .两个圆锥拼桜而成的组合体B.一个圖台C.一个圆锥D . 一个圆锥挖去一个同底的小圆维【解析】选D.如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.3.已知AAB攏边长为2a的正三角形，那么△ABCE勺平面直观图△ A'B‘ C'的面积为（）D.\Ga~【鮮析】选C.直观图面积S与原图面积S具有关系：S' Mfs.因为S 好芸12a）所以S …c 三•X\/3a'=^a .4- 4 4【补偿训练】某三角形的直观图是斜边长为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三信形的面积是【解析】根据宜观图和原图形的关系可知原图形的面积为X 2vl X 2二2卮 答案：2^24. 某三梭锥的三视图如图所示，则该三検锥的体积是【解析】选B .由三视图可判断该三棱锥底面为等腰直角三角形，三 棱锥旳高为 2. RI V=x x 1 x 1 x 2=.^【补偿洲练】已知正三棱镣V-ABC 的正视图、侧视图和帽视图如图所 示，则该正三枝锥侧视图的面积是A.B. C. D.1A.v39B.6\,r 3D.6俯视C.即3【解析】选D .如图，根据三视图间的关系可得BCM3,所以侧视图 中VA 二\|铲一任X ? X 2妁七整，所以三橙锥侧视图面积S- 海=x 2V 3X 2\顶二6,故选 D.5.（2016 •蚌瑋高二检测）若一个回锥的侧面展开图是面积为 2工的半圆面,则该圆锥的体积为B.V3 X C .拓x【解析】选A.设园锥的母线长为I,底面半径为r,由题意|7苗2 = 211,vnl = 2TTT ,解得'所以圆锥的高为 h=\F —尸=寸3 , V= * r 2h= r x 12x r = L . 6.(2016 •雅安高二检测）设正方体的全面积为 24,邪么其内切球的体积是A .扼KB.兀32 D.—【解析】 选B.正方体的全面积为24,所以，设正方体的棱长为a.6 宀 24, a 二2,正方体的内切球的直径就是正方体的校长，所以球的半径为1,内切球旳体积：V = 7t . ID RC乙 第*已回刮寻詠回王曲＞=s '哥USS 甲'里蛔国皿【果到】&&価91实逐刘t ¥豈我到国丑屬T 風濕&一天喔宰邕€好日-6肝里N 二縛：毒虽•*+£，W=M*£Axl X >t=S rft凰峯4 Z^A^Ax^ x=A '風刘"坦 NN 八一醇E3HI 诳乙 弟学段皿期一旧耳闻1/峯'皓也乎书屋絶三零净【爆蜴】醇車回1/溟【四'（国⑰）国隴三阳财回廿必日（脈玛二堆※困• 9L0S1-8LL :孝晶U=x 韧 N 刮’壽」三三）阜尚‘X 興覃毋号密祺［菓到】 麹*辛矣廚留丄壬至藏乌去廖犯讪目丄竺羽诲同争宙【睾里區墙】^实些阳号屛醇斟濯施*09实邊回回淮即回通士互士 .乙屿％邊国基’9L 实雙団驚勢N（G&详‘&9鲤W 辱）谴乏帯 '二=M 媛苴'務nD所以AQ=\吃，A O=R^/6.所以S丼二4兀F<=24T.答案：24 x10•圖台的底面半径分别为1和2,母线长为3,则此圖台的体积为【解析】圆台的高h= 732 - （2 - I）2 =2 <1 ,所以体积71 2 aV=y(R+Rr4-r )h=^^i(. 答案：學三、解答题（共4小题，共50分）11.（12分）如區几何体上半部分是母线长为5,底面圆半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2,母线长为2的圆台，计算该几何体的表面枳和体枳【韻析】圖锥侧面积为S = X rl=15r ,圖台的侧面积为缶冗(r+r ' )1二10冗，圖台的底面宜积为订’』牝，所以表面积为:S=S+S+S s=15i +10兀+4H=29X;圆锥的体积V-xr2hi=12x ,圆台的体积V：= r h2（r ：+rr , +「’ 2）=^y^r ,所以体积为：V=V+U=12i------ X .312.(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图(1)试判断该几何体是什么几何体？(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积.(3)求出该几何体的体积.【解析】(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥.(2)该几何体的側视图如图.其中AB=AC AD^BC,且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC=v3a, AD是正六棱锥的高，即AD十3a,所以该平面图形的面积(3)没这个正六棱锥的底面积是S,体积为V,则S=6< —a=—a\4 2所以V=x三歯x JJa=a°.13.（13分）如图所示，在四边形ABC畔，Z DAB=90 , ZADCF35 ,AB二5 CD二不臣，AD二2求四边形ABC说AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.【鮮析】S 表面二S SOFB +S Bo ma +S 四部面=it x 5~+ i x (2+5) x 5+ r X 2X 2V2=(4 克+60) x .V=V H&-V B*=z (4-r if z+Fj )h- x h148=I (25+10+4) X 4- Jt X 4X 2. x .14.(13分)(2016 ,湖北实验中学高一检测 )如图，△ ABC中，ZACB=90 , Z ABC=30* , BC%3 在三角形内挖去一个半圆(圆心。
(人教版A版2017课标)高中数学必修第二册 第八章综合测试卷(附答案)03
第八章综合测试一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a 都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．其中，能确定一个平面的条件有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如图8-7-1所示，若G ，H ，M ，N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④3．已知α，β是平面，m ，n 是直线，给出下列表述：①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥；②若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥；③若m α⊂，n α⊄，m ，n 是异面直线，则n 与α相交；④若m αβ=I ，m n ∥，且n α⊄，n β⊄，则n α∥且n β∥．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．如图8-7-2，在正三棱锥S ABC -中，异面直线SA 与BC 所成角的大小为（ ） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π5．如图8-7-3，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是（ ） A ．5B ．10C ．20D ．406．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是侧面11AA D D 与底面ABCD 的中心，则下列命题中错误的个数为（ ） ①DF ∥平面11D EB ；②异面直线DF 与1B C 所成角为60°； ③1ED 与平面1B DC 垂直； ④1112F CDB V -=． A ．0B ．1C ．2D ．37．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是AB ，1BB 的中点，则直线MN 与平面11A BC 所成角的余弦值为（ ）A B ．2 C D ．138．如图8-7-4，直角梯形ABCD ，满足AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，现将其沿AC 折叠成三棱锥D ABC -，当三棱锥D ABC -体积取最大值时，其表面积为（ ）A ．(12 B ．(12C ．(12D ．(129．在四面体ABCD 中，已知2AB AC CD ===，BC =，且CD ⊥平面ABC ，则该四面体外接球的体积为（ ）A ．16πB ．12πC ．D ．6π10．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，则过E ，F ，H 的平面截四棱锥P ABCD -所得截面的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．11．在三棱锥P ABC -中，侧面PAB 、侧面PAC 、侧面PBC 两两互相垂直，且::PA PB PC =设三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的外接球的体积为2V ，则21=V V （ ）AB ．6πC ．3πD ．83π 12．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A ．βγ＜，αγ＜B ．βα＜，βγ＜C ．βα＜，γα＜D ．αβ＜，γβ＜二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l m ⊥；②m α∥；③l α⊥以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．14．在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为________（相同质量的冰与水的体积比为10：9）15．如图8-7-5，1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，则1A B 与平面11D B BD 所成的角为________．16．如图8-7-6，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB △，将剩余部分沿OC ，OD 折叠，使OA ，OB 重合，则折叠后以A （B ），C ，D ，O 为顶点的四面体的体积为________． 三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．18．（12分）如图8-7-7，在三棱柱111ABC A B C -中，底面三角形ABC 是等边三角形，且1AA ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点． （1）求证：直线1BC ∥平面1A CD ．（2）若12AB BB ==，E 是1BB 的中点，求三棱锥1A CDE -的体积．19．（12分）如图8-7-8所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，M ，N 分别是1A B ，11B C 的中点．（1）求证：MN ⊥平面1A BC ．（2）求直线1BC 和平面1A BC 所成的角的大小．20．（12分）如图8-7-9所示，已知多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 为矩形，AB EF ∥，AF BF ⊥，平面ABEF ⊥平面ABCD ，O ，M 分别为AB ，FC 的中点． （1）求证：AF FC ⊥． （2）求证：OM ∥平面DAF ．（3）若过EF 的平面交BC 于点G ，交AD 于点H ，求证：EF GH ∥．21．（12分）某部门建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m ，高4 m ，该部门拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是底面直径比原来增加4 m （高不变）；二是高度增加4 m （底面直径不变）． （1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积． （2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积． （3）哪个方案更经济些？为什么？22．（12分）如图8-7-10，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PAB △为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ．E ，M 分别为线段AB ，PD 的中点． （1）求证：PE ⊥平面ABCD ． （2）求证：PB ∥平面ACM ．（3）在棱CD 上是否存在点G ，使平面MAG ⊥平面ABCD ，请说明理由．第八章综合测试 答案解析一、 1.【答案】A【解析】①中，空间三点共线时不能确定一个平面；②中，点在直线上时不能确定一个平面；③中，两直线可能是异面直线，不只确定一个平面；④中，三条直线交于一点时可能确定三个平面。
人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第九章 统计 综合测试(附答案与解析)
第九章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某公司从代理的,,,A B C D四A B C D四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知,,,种产品的数量比是2:3:2:4，则该样本中D类产品的数量为（）A.22件B.33件C.40件D.55件2.已知总体容量为106，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号最方便的是（）A.1，2，…，106B.0，1，2，…，105C.00，01，…，105D.000，001，…，1053.一个容量为200的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：则样本数据落在[20,60)内的频率为（）A.0.11B.0.5C.0.45D.0.554.如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为[96,98)，[98,100)，100,[102)，102,[104)，104,[106]，则在区间[98,100)内的频数为（ ）A .10B .30C .20D .405.图甲和图乙分别表示某地区中小学生人数和近视情况.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取了2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）图甲图乙A .100，10B .100，20C .200，10D .200，206.某学校高一年级有1 802人，高二年级有1 600人，高三年级有1 499人，现采用分层随机抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（ ） A .33，33，30 B .36，32，30C .36，33，29D .35，32，317.若数据12,,,n x x x L 的平均数为x ，方差为2s ，则1235,35,,35n x x x +++L 的平均数和标准差分别为（ ） A . ,x s B .35,x s + C .35,3x s +D .3x +8.如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s 则（ ）ABA .,AB A B x x s s ＞＞B .,A B A B x x s s ＜＞C .A ,B A B x x s s ＞＜D .,A B A B x x s s ＜＜9.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg ），将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（ ）A .4:3:1B .5:3:1C .5:3:2D .3:2:110.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数为1234,,,x x x x ，且满足324123x x x x x x ==，后6组的频数123456,,,,,y y y y y y ，且后6组各频数之间差值相同，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则,a b 的值分别为（ ）A .0.27，78B .0.27，83C .2.7，78D .2.7，83二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A.成绩在[70,80)分的考生人数最多B.不及格的考生人数为1 000C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分12.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（）A.平均数3x≤B.平均数3s≤x≤且标准差2C.平均数3x≤且极差小于或等于2D.众数等于1且极差小于或等于4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命（单位：年）跟踪调查结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：3，3，4，7，9，10，11，12.两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲：________，乙：________.（本题第一空2分，第二空3分）14.1895年，在英国伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土.经考证，这些头盖骨的主人死于1665~1666年的大瘟疫.人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度（单位：mm），数据如下：146 141 139 140 145 141 142 131 142 140 144 140 138 139 147 139 141 137 141 132 140 140 141 143 134 146 134 142 133 149 140 140 143 143 149 136 141 143 143 141 138 136 138 144 136 145 143 137 142 146 140 148 140 140 139 139 144 138 146 153 158 135 132 148 142 145 145 121 129 143 148 138 148 152 143 140 141 145 148 139 136 141 140 139 149 146 141 142 144 137 153 148 144 138 150 148 138 145 145 142 143 143 148 141 145 141则95%分位数是________mm.15.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组，单位：人）：16.从一堆苹果中任取20个称其重量，它们的质量（单位：克）数据分布如下：则这堆苹果中，质量不少于120克的苹果数约占苹果总数的________%.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）某市化工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工人的可能性是0.15.（1）求x的值；（2）现用分层随机抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？18.（本小题满分12分）从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.试利用频率分布直方图估算：（结果保留小数点后一位）（1）这50名学生成绩的众数与中位数；（2）这50名学生的平均成绩.19.（本小题满分12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查.某中学,A B两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分分别为5，8，9，9，9；B班5名学生得分分别为6，7，8，9，10（单位：分）.请你估计A，B两个班中哪个班的预防知识的问卷得分要稳定一些。
高中数学必修二测试题及答案人教版
第一章 空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图 左视图 俯视图 （第1题） A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）．A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ）．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( ）． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶36．在△ABC 中,AB ＝2，BC ＝1。
5，∠ABC ＝120°,若使△ABC 绕直线BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是( )．A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是( ）．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( ）．A ．29 B ．5 C ．6 D ．2159．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是（ )．(第8题)（第10题）二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中,O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a,则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________,它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．［提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中,∠DAB＝90°，∠ADC＝135°,AB＝5，CD＝22,AD ＝2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．（第20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐,现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变）；二是高度增加4 m（底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;（3)哪个方案更经济些？第一章 空间几何体参考答案A 组一、选择题 1．A解析:从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样,可以判断可能是棱台． 2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21（1＋2＋1)×2＝2＋2．3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52,R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析:V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1。
人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第十章 概率 综合测试(附答案与解析)
6 B. 1
13.一个袋子中有 5 个红球，4 个绿球，8 个黑球，如果随机地摸出一个球，记事件 A = 摸出黑球 ，事件
B = 摸出绿球 ，事件 C = 摸出红球 ，则 P( A) = ________； P(B UC) = ________.（本题第一空 2 分，
第二空 3 分）
14.袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平” 两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整 数值的随机数，分别用 0，1，2，3 代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第十章综合测试
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1.从含有 10 件正品、2 件次品的 12 件产品中任意抽取 3 件，则必然事件是（ ） A.3 件都是正品 B.3 件都是次品 C.至少有 1 件次品 D.至少有 1 件正品 2.下列说法正确的是（ ） A.甲、乙两人比赛，甲胜的概率为 3 ，则比赛 5 场，甲胜 3 场
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
“第二次摸到白球”
C.袋中有 3 白、2 黑共 5 个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件 M “第一次摸到白球”，事件 N “第二次摸到黑球”
人教版高中数学必修2+必修5线性规划综合练习(含答案,版已排好,B4,可直接打印)
高二理科周末检测题13.12.6一、选择题 (本大题共12小题 ，每小题4分，共48分)1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )． A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D．(0,1)2． 圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系是( )． A ．外切B ．内切C ．外离D ．内含3．经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ． 23-B ．32-C ．32D ．24．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为( )． A ．1B ．2C ．3D ．45．已知圆心为C （6，5），且过点B （3，6）的圆的方程为（ ）A ．22(6)(5)10x y -+-=B ．22(6)(5)10x y +++= C ．22(5)(6)10x y -+-= D ．22(5)(6)10x y +++= 6． 圆(x －1)2＋(y －1)2＝2被x 轴截得的弦长等于( )．A ． 1B ．23C ． 2D ． 37.已知点(,1,2)A x B 和点(2,3,4),且26AB =,则实数x 的值是（ ）． A.-3或4 B.–6或2 C.3或-4 D.6或-2 8．如果AC ＜0，BC ＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．点),(00y x P 在圆222r y x =+内，则直线200r y y x x =+和已知圆的公共点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不能确定11．直线y ＝2x ＋1关于y 轴对称的直线方程为( )．A ．y ＝－2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －1D ．y ＝－x －112.已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 范围是（ ）A 、34k ≥或4k ≤- B 、34k ≥或14k ≤- C 、434≤≤-k D 、443≤≤k 二、填空题（每题4分，共16分）13．经过两圆922=+y x 和8)3()4(22=+++y x 的交点的直线方程 14．过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程15．一个圆柱和一个圆锥的底面直径．．和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．16．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y ＋2≥0，x －y ＋1≥0表示的区域为D ，z ＝x ＋y 是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面 积为__________；z 的最大值为__________．M T三、解答题17．求经过直线L 1：3x + 4y – 5 = 0与直线L 2：2x – 3y + 8 = 0的交点M ，且满足下列条件的直线方程 （1）与直线2x + y + 5 = 0平行 ； （2）与直线2x + y + 5 = 0垂直18．求过点(5,2),(3,2)M N 且圆心在直线32-=x y 上的圆的方程。
高中数学新人教A版必修2综合测试卷(答案)
高中数学必修二综合测试卷一、选择题：（共10小题，每小题5分）1. 在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于x 轴的对称点的坐标为（C ） A ．(2,1,4)-- B ．(2,1,4)- C ．(2,1,4)--- D ．(2,1,4)-2. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ B ） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π 3．ABC ∆的斜二侧直观图如图所示，则ABC ∆的面积为（ B ） A 、1 B 、2 C 、22D 、24. 过点P(－2,4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1 ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( B) A.285B.125C.85D.255. 已知点（3，1）和（- 4，6）在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围是（ C ） A. a <-7或a >24 B. a =7或a =24 C. -7<a <24 D. -24<a <76. 直线320x y +-=截圆224x y +=得到的弦长为（ B ） A ．1 B ． 23 C ． 22 D ． 27. 关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ D ） A ．若//a b ，b α⊂，则//a α B ．若//a α，b α⊂，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b 8. 下列四个命题中错误．．的．是（C ） A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 确定一个平面 B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面9.对于任意实数a ，点(),2P a a -与圆22:1C x y +=的位置关系的所有可能是（ B ）A 、都在圆内B 、都在圆外C 、在圆上、圆外D 、在圆上、圆内、圆外Oxy 12()C AB10．如右图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++= 与直线10x y +-=的交点在（ D ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题：（共5小题，每小题5分）11. 圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是___相交_____.12. 已知直线a 和两个不同的平面α、β，且a α⊥，a β⊥，则α、β的位置关系是_平行____.13. 如图,在三棱锥ABC P -中,PA ⊥底面ABC ,∠ACB = 90,AE ⊥PB 于E ,AF ⊥PC 于F ,若2==AB PA ,∠BPC =θ,则当AEF ∆的面积最大时,θtan 的值为___22___. 14. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D ABC -中，给出下列三个命题：①面DBC 是等边三角形； ②AC BD ⊥； ③三棱锥D ABC -的体积是26. 其中正确命题的序号是_①②________.（写出所有正确命题的序号）15. 已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边，若点P(m ，n)在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为__4___．三、解答题：（共6小题）16.（本小题满分12分）已知一个几何体的三视图如图所示。
(人教版B版2017课标)高中数学必修第二册：第五章综合测试(附答案)
第五章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列说法正确的是（）A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲一定会胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指明天降水的可能性是90%2.小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）图1图2A.1%B.2%C.3%D.5%3.如图是容量为100的某样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为（）A.11B.11.5C.12D.12.54.从一批羽毛球中任取一个，如果取到质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是（）A.0.62B.0.38C.0.70D.0.685.空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的标准，AQI指数与空气质量对应如表所示：下图是某城市2018年11月全月的AQI变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（）A.从整体上看，这个月的空气质量越来越差B.从整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C.从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差D.从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值6.AQI（Air Quality Index，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度.AQI 共分六级：一级优（0~50）；二级良（51~100）；三级轻度污染（101~150）；四级中度污染（151~200）；五级重度污染（201~300）；六级严重污染（大于300）.如图是某市2019年4月份随机抽取10天的AQI指数的茎叶图，利用该样本估计该市2020年4月份空气质量为优的天数为（）A.3B.4C.12D.217.黄冈市的天气预报显示，大别山区在今后的三天中，一天有强浓雾的概率为40%，现用随机模拟的方法计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算器产生0~9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，表示没有强浓雾，用6，7，8，9表示有强浓雾，再以每个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如20组随机数：779 537 113 730 588 506 027 394 357 231683 569 479 812 842 273 925 191 978 520则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（）A.14B.25C.310D.158.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A.310B.15C.110D.1209.洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从4个阴数中随机抽取2个数，则能使这2个数与居中阳数之和等于15的概率是（ ）A .12B .23C .14D .1310.某公司10位员工的月工资（单位：元）为1210,,,x x x L ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ） A .22,100x s + B .22100,100x s ++ C .2,x sD .2100,x s +二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.如图是某电视台主办的歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0～9中的一个），则下列结论中不正确的是（ ）A .甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等B .甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高C .甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低D .甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高12.如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A .2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B .2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C .2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D .2019年3月全国居民消费价格环比变化最快三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取50名职工的年龄作为样本，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取________人.14.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是________.15.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈L .若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为________.16.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.由图中数据可知a = ________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示.（1）直接根据茎叶图判断哪个班学生的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率.18.（12分）改革开放40年来，体育产业的蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及.如图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图.其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（%）.（1）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率；（2）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（只写结论，不要求证明）19.（12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量的情况，通过抽样，获得了100位L分成9组，制成了如图所示的频率居民某年的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5),[0.5,1),[4,4.5]分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.20.（12分）一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每枝2元，云南空运来的百合花每枝进价1.6元，本地供应商处百合花每枝进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的日需求量（单位：枝）依次为251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（1）求今年四月前10天订单中百合花日需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（2）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（1）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250枝还是255枝百合花，才能使四月后20天百合花销售总利润更大？21.（12分）2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是新时代全民健身动起来.某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄（单位：岁）分成7段：[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]，得到如图所示的频率分布直方图.（1）试求这40人年龄的平均数和中位数的估计值；（2）①若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；②已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2 000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.,两道题目22.（12分）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A B中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001—900.（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端，写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）采用分层抽样的方法按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1.用样本估计总体，求900名考生选做题得分的平均数与方差。
2021-2022学年人教版高中数学必修二教材用书：模块综合检测(一) Word版含答案
模块综合检测(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案：C2．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是()A．6πB．12πC．18π D．24π答案：B3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2 cm，则球的表面积是()A．8π cm2B．12π cm2C．2π cm2D．20π cm2答案：B4．已知高为3的直棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如图所示)，则三棱锥B′-ABC 的体积为()A.14 B.12C.36 D.34答案：D5．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，则等于() A．2 B．－2C．4 D．1答案：A6．一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于()A．6 B．2C. 3 D．2 3答案：C7．当0＜r≤8时，两圆x2＋y2＝9与(x－3)2＋(y－4)2＝r2的位置关系为()A．相交B．相切C．相交或相切D．相交、相切或相离答案：D8．过点(0，－1)的直线l与半圆C：x2＋y2－4x＋3＝0(y≥0)有且只有一个交点，则直线l的斜率k的取值范围为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝0或k＝43B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫k13≤k＜1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝43或13≤k＜1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫kk＝43或13≤k≤1答案：C9．在四周体A-BCD中，棱AB，AC，AD两两相互垂直，则顶点A在底面BCD上的投影H为△BCD的()A．垂心B．重心C．外心D．内心答案：A10．过直线y＝x上的一点作圆(x－5)2＋(y－1)2＝2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y＝x对称时，它们之间的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案：12π12．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m∥β；(2)当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)答案：(1)③⑤(2)②⑤13．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三种说法：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D-ABC 的体积是2 6.其中正确的序号是________(写出全部正确说法的序号)．答案：①②14．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是________．答案：4x＋3y＋25＝0或x＝－4三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l经过点D(－2,0)，且斜率为k.(1)求以线段CD为直径的圆E的方程；(2)若直线l与圆C相离，求k的取值范围．解：(1)将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为C(0,4)，半径为2.所以CD的中点E(－1,2)，|CD|＝22＋42＝25，所以r＝5，故所求圆E的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.(2)直线l的方程为y－0＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.若直线l与圆C相离，则有圆心C到直线l的距离|0－4＋2k|k2＋1＞2，解得k＜34.所以k的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，34.16．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．(1)依据三视图，画出该几何体的直观图．(2)在直观图中，①证明：PD∥平面AGC；②证明：平面PBD⊥平面AGC.解：(1)该几何体的直观图如图①所示．(2)证明：如图②.①连接AC，BD交于点O，连接OG，由于G为PB的中点，O 为BD的中点，所以OG∥PD.又OG⊂平面AGC，PD⊄平面AGC，所以PD∥平面AGC.②连接PO，由三视图，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.又AO⊥BO，BO∩PO＝O，所以AO ⊥平面PBD .由于AO ⊂平面AGC ，所以平面PBD ⊥平面AGC .17．(本小题满分12分)已知点P (2,0)，及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)当直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1时，求直线l 的方程；(2)设过点P 的直线与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝4时，求以线段AB 为直径的圆的方程． 解：(1)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y －0＝k (x －2)， 又圆C 的圆心为(3，－2)，r ＝3，由|3k －2k ＋2|k 2＋1＝1⇒k ＝－34.所以直线l 的方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0，当k 不存在时，l 的方程为x ＝2，符合题意． (2)由弦心距d ＝ r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝5，又|CP |＝5，知P 为AB 的中点，故以AB 为直径的圆的方程为(x－2)2＋y 2＝4.18．(本小题满分12分)多面体P -ABCD 的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．(1)求证：PA ∥平面EFG ； (2)求三棱锥P -EFG 的体积．解：(1)法一：如图，取AD 的中点H ，连结GH ，FH . ∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD . ∵G 、H 分别为BC 、AD 的中点，∴GH ∥CD . ∴EF ∥GH .∴E ，F ，H ，G 四点共面．∵F ，H 分别为DP 、DA 的中点，∴PA ∥FH .∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， ∴PA ∥平面EFG .法二：∵E ，F ，G 分别为PC ，PD ，BC 的中点． ∴EF ∥CD ，EG ∥PB . ∵CD ∥AB ， ∴EF ∥AB .∵PB ∩AB ＝B ，EF ∩EG ＝E ， ∴平面EFG ∥平面PAB . ∵PA ⊂平面PAB ， ∴PA ∥平面EFG .(2)由三视图可知，PD ⊥平面ABCD ， 又∵GC ⊂平面ABCD ， ∴GC ⊥PD .∵四边形ABCD 为正方形， ∴GC ⊥CD . ∵PD ∩CD ＝D ，∴GC ⊥平面PCD .∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1，∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12.∵GC ＝12BC ＝1，∴V P －EFG ＝V G －PEF ＝13S △PEF ·GC ＝13×12×1＝16.19．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当MN ＝455时，求MN 所在直线的方程． 解：(1)过点A 的切线存在，即点A 在圆外或圆上， ∴1＋a 2≥4，∴a ≥ 3或a ≤－ 3.即实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)如图所示，设MN 与AC 交于点D . ∵MN ＝455，∴DM ＝255.又MC ＝2，∴CD ＝4－45＝455. ∴cos ∠MCA ＝4552＝255，∴AC ＝2255＝5，OC ＝2，AM ＝1，MN 是以A 为圆心，半径AM ＝1的圆A 与圆C 的公共弦，圆A 的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4或x 2＋(y ＋2)2＝4，∴MN 所在直线方程为(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y －2)2＋4＝0，即x －2y ＝0，或(x －1)2＋y 2－1－x 2－(y ＋2)2＋4＝0，即x ＋2y ＝0.因此，MN 所在的直线方程为x －2y ＝0或x ＋2y ＝0.20．(本小题满分12分)(四川高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .解：(1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：连接MC ，由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形， 所以CM ∥AB .又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明：由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD .连接BM .由于AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB . 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。
人教版B版(2019)高中数学必修第二册：第六章 平面向量初步 综合测试(附答案与解析)
第六章综合测试
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的）
1.已知平面向量 a = (−1, 2) ； b = (1,0) ，则向量 3a + b 等于（ ）
A. (−2,6)
C.若 a 和 b 都是单位向量，则 a = b 或 a = −b
D.零向量与任何向量都共线
uuur uuur uuur
uuur
4.在四边形 ABCD 中，设 AB = a, AD = b, BC = c ，则 DC 等于（ ）
D. (2, −6) uuur
D. DB
A. a − b + c
B. b − (a + c)
（1）求 3a + b − 3c 的值； （2）求满足 a = mb + nc 的实数 m,n 的值；
uuur （3）若线段 AB 的中点为 M ，线段 BC 的三等分点为 N （点 N 靠近点 B ），求 MN .
6 / 15
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 22.（12 分）如图，已知河水自西向东流，流速为 v0 = 1 m / s ，设某人在静水中游泳的速度为 v1 ，在水中的
C.外心
D.内心
uuur uuur
uuur
9.已知 O, A, B 是平面内的三个点，直线 AB 上有一点 C ，满足 AB + AC = 0 ，则 OC = （ ）
uur uuur A. 2OA − OB
uur uuur B. −OA + 2OB
C.
2
uur OA
(完整)人教版高中数学必修二期末测试题一及答案(20200814125816)
高中数学必修二期末测试题一1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为2、直线l ：-、3x y 3 0的倾斜角D 、 150 o3、边长为a 正四面体的表面积是D 、 、，3a 2。
4、对于直线l:3x y 6 0的截距，下列说法正确的是距是6；C 、在x 轴上的截距是3；D 、在y 轴上的截、选择题(本大题共2道小题，每小题5分，共60分。
)A 、30；；60：； 120 ；B 、込 a 3 ；12C 、刍；4A 、在y 轴上的截距是6；B 、在x 轴上的截距是35、已知a// ,b ，则直线a与直线b的位置关系是（）A、平行；B、相交或异面；C、异面；D、平行或异面。
6、已知两条直线|「x 2ay 1 0,l2：x 4y 0，且W，则满足条件a的值为（）1 1A、；B、；C、2 ；2 2D、2。
7、在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB, BC, CD, DA的中点。
若AC BD a，且AC与BD所成的角为60：，贝卩四边形EFGH的面积为（）3 2 3 2 3 2A、 a ；B、 a ；C、 a ；8 4 2D、■-/3a。
8已知圆C:x2 y2 2x 6y 0 ,则圆心P及半径r分别为（）A、圆心P 1,3，半径r 10 ；B、圆心P 1,3 ,半径r ；C、圆心P 1, 3，半径r 10 ;D、圆心P 1, 3 ,半径r J0。
9、下列叙述中错误的是（）A、若P 口且口l，则PI ；B、三点A,B,C确定一个平面；C、若直线ap|b A，则直线a与b能够确定一个平面;D、若 A I,B I 且 A ,B ，贝卩I 。
10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是( )A、两条平行直线；B、一点和一条直线;C、两条相交直线；D、两个点。
11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为4、5,且它的8个顶3、点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )C 、125A、25 ；B、50 ；；D、都不对。
人教A版(2019)高中数学必修第二册第六章、第七章检测试题及参考答案
高中数学必修第2册第六章、第七章综合测试一、单选题（共8小题）1. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )A. a2＝b2＋c2＋2bc cos AB. a2＝b2＋c2＋bc cos AC. a2＝b2＋c2－2bc cos AD. a2＝b2＋c2－bc cos A2. 如果将直角三角形的三边分别增加同样的长度，那么新三角形的形状是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 由增加的长度确定3. 已知复数z＝－i，则复平面内对应的点Z的坐标为( )A. (0，－1)B. (－1,0)C. (0,0)D. (－1，－1)4. 设复数z1＝，z2＝6，则z1z2为( )A. 3iB. 3C. －3iD. 35. “复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点位于第三象限”是“a≥0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若(1＋i)＝1－i，则z＝( )A. 1－iB. 1＋iC. －iD. i7. 在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC的中点,则等于()A. B. C. D.8. 已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于( )A. (－1，－2)B. (1，－2)C. (－1,2)D. (1,2)二、多选题（共4小题）9. 如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是( )A. ||＝||B. 与共线C. 与共线D. ＝10. 已知△ABC是边长为2a(a>0)的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则·(＋)的值可能是( )A. －2a2B. －a2C. －a2D. －a211. 下列各式中结果为零向量的是( )A. ＋＋＋B. ＋＋C. ＋＋＋D. －＋－12. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于△ABC，有如下命题，其中正确的有( )A. sin(B＋C)＝sin AB. cos(B＋C)＝cos AC. 若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形D. 若a2＋b2<c2，则△ABC为锐角三角形三、填空题（共4小题）13. 已知|a|＝|b|＝1，且a⊥b，若|a＋b＋m|≤1恒成立，则|m|的取值范围是________．14. 方程x2－2x＋5的复数根为________．15. 设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围是________.16. 小顾同学在用向量法研究解三角形面积问题时有如下研究成果：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则S△OAB＝|x1y2－x2y1|.试用上述成果解决问题：已知A(1，1)，B(2，3)，C(4，5)，则S△ABC＝______.四、解答题（共6小题）17. 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.18. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．19. 在△ABC中，已知A＝15°，B＝45°，c＝3＋，解这个三角形．20. 如图所示，四边形ABCD是矩形，点A和B对应的复数分别为－1＋2i,1＋i，并且|BA|∶|DA|＝1∶，求点C和点D分别对应的复数．21. 设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R；(2)z 是纯虚数；(3)z是零．22. 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)＋＋；(2)＋＋＋.参考答案1. 【答案】C【解析】由余弦定理的结构特征易知选C.2. 【答案】A【解析】设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，三条边均增加同样的长度m，三边长度变为a＋m，b＋m，c＋m，此时最长边为c＋m，设该边所对角为θ，则由余弦定理，得cosθ＝＝.因为m2>0，a＋b－c>0，所以cosθ>0，所以θ为锐角，其他各角必为锐角，故新三角形是锐角三角形．3. 【答案】A【解析】由z＝－i可知，复平面内对应的点Z的坐标为(0，－1)．4. 【答案】A【解析】z1z2＝×6＝3＝3i.5. 【答案】A【解析】易得z＝＝－a－3i，则z在复平面内对应的点位于第三象限⇔a>0.又a>0⇒a≥0，a≥0D⇒/a>0，所以“a>0”是“a≥0”的充分不必要条件，即“z在复平面内对应的点位于第三象限”是“a≥0”的充分不必要条件．6. 【答案】D【解析】由(1＋i)＝1－i，得＝＝＝－i，故z＝i.7. 【答案】A【解析】=-=8. 【答案】D【解析】为使物体平衡，则合力为零，即F4＝(0－(－2)－(－3)－4,0－(－1)－2－(－3))＝(1,2)．9. 【答案】ABD【解析】由向量相等及共线的概念，由∠EDB与∠HED不一定相等可知C选项不一定正确．10. 【答案】BCD【解析】建立如图所示的平面直角坐标系．设P(x，y)，因为A(0，a)，B(－a,0)，C(a,0)，则＝(－x，a－y)，＝(－a－x，－y)，＝(a－x，－y)．所以·(＋)＝(－x，a－y)·[(－a－x，－y)＋(a－x，－y)]＝(－x，a－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2y2－2ay＝2x2＋22－a2≥－a2，当且仅当x＝0，y＝a时取等．故选项B，C，D满足，故选BCD.11. 【答案】BD【解析】由向量加法的法则得A：＋＋＋＝＋＋＝，故结果不为零向量；B：＋＋＝＋＝0，结果为零向量；C：＋＋＋＝＋＝，结果不为零向量；D：－＋－＝＋－(＋)＝－＝0，结果为零向量．12. 【答案】AC【解析】依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，A正确；cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A，B不正确；因为a2＋b2＝c2，则由余弦定理的推论得cos C＝＝0，而0<C<π，即有C＝，则△ABC为直角三角形，C正确；因为a2＋b2<c2，则cos C＝<0，而0<C<π，即有<C<π，则△ABC为钝角三角形，D不正确．13. 【答案】[－1，＋1]【解析】建立平面直角坐标系(图略)，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，a＋b＝(1,1)，m＝(x，y)，a＋b＋m＝(x＋1，y＋1)．由题意可知(x＋1)2＋(y＋1)2≤1，|m|表示以点(－1，－1)为圆心，1为半径的圆面(包括边界)上的动点与原点连线段的长度，易知|m|的最大值为＋1，最小值为－1.14. 【答案】1±2i【解析】由求根公式得x＝＝＝1±2i.15. 【答案】[0，3]【解析】由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，d min＝0，当点A与点C(2，0)重合时，d max＝3，所以0≤|z＋1|≤3.16. 【答案】1【解析】因为A(1,1)，B(2,3)，C(4,5)，所以＝(1,2)，＝(3,4)，又当＝(x1，y1)，＝(x2，y2)时，S△OAB＝|x1y2－x2y1|，所以S△ABC＝×|1×4－3×2|＝1.17. 【答案】证明方法一设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋，所以·＝·＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE.方法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0，2)，E(1,0)，F(2,1)，则＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0.所以⊥，即AF⊥DE.18. 【答案】解(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴cos A＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)∵在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝，∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，∴∴b＝c＝，又∵a＝，∴△ABC为等边三角形．19. 【答案】解由三角形内角和定理，得C＝180°－(A＋B)＝180°－(15°＋45°)＝120°.由正弦定理，得a＝＝＝＝＝，b＝＝＝＝＝＝＋.20. 【答案】解要求出点C对应的复数，即求出向量对应的复数，结合图形并注意到＝＋，可以先求向量对应的复数．向量可以看成向量的长度扩大为原来的倍，并绕点B按顺时针方向旋转90°后得到，又向量对应的复数为(－1＋2i)－(1＋i)＝－2＋i，故向量对应的复数为(－2＋i)··[cos(－90°)＋isin(－90°)]＝＋2i.于是点C对应的复数为(＋2i)＋(1＋i)＝(＋1)＋(2＋1)i.同理可得点D对应的复数是(－1)＋(2＋2)i.21. 【答案】解(1)z∈R，只需a2－7a＋6＝0，所以a＝1或a＝6.(2)z是纯虚数，只需所以a＝－2.(3)因为z＝0，所以所以a＝1.22. 【答案】解(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.。
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必修2综合测试题
一、选择题
1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是()．
A ．21
B ．2
3C ．22D ．223 2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是()．
A ．x －2y －1＝0
B ．x －2y ＋1＝0
C ．2x ＋y －2＝0
D ．x ＋2y －1＝0
3．下列直线中与直线2x ＋y ＋1＝0垂直的一条是()．
A ．2x ―y ―1＝0
B ．x －2y ＋1＝0
C ．x ＋2y ＋1＝0
D ．x ＋2
1y －1＝0 4．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0，那么通过圆心的一条直线方程是()．
A ．2x －y －1＝0
B ．2x ＋y ＋1＝0
C ．2x －y ＋1＝0
D ．2x ＋y －1＝0
5．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为()．
A
．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台
D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
6．直线3x ＋4y －5＝0与圆2x 2＋2y 2―4x ―2y ＋1＝0的位置关系()．
A ．相离
B ．相切
C ．相交但直线不过圆心
D ．相交且直线过圆心
7．过点P (a ，5)作圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝4的切线，切线长为32，
（4（3（1（2
则a 等于()．
A ．－1
B ．－2
C ．－3
D ．0
8．圆A : x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0与圆B : x 2＋y 2―2x ―6y ＋1＝0的位置关系是()．
A ．相交
B ．相离
C ．相切
D ．内含
9．已知点A (2，3，5)，B (－2，1，3)，则|AB |＝()．
A ．6
B ．26
C ．2
D ．22
10．如果一个正四面体的体积为9dm 3，则其表面积S 的值为()．
A ．183dm 2
B ．18 dm 2
C ．123dm 2
D ．12 dm 2
11．正六棱锥底面边长为a ，体积为
23a 3，则侧棱与底面所成的角为()A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°
12．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的2
3，此梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为(5＋2)π，则旋转体的体积为()．A ．2πB ．
32 ＋ 4πC ．32 ＋ 5πD ．3
7π 二、填空题
13．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是______．
14．若圆B : x 2＋y 2＋b ＝0与圆C : x 2＋y 2－6x ＋8y ＋16＝0没有公共点，则b 的取值范围是________________．
15．已知△P 1P 2P 3的三顶点坐标分别为P 1(1，2)，P 2(4，3)和P 3(3，－1)，则这个三角形的最大边边长是__________，最小边边长是_________．
16．已知三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a 的值为___________．
三、解答题
17．求斜率为4
3，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程． 18.已知三角形三顶点A(4,0), B(8,10), C(0,6),求：(1)AC 边上的高所在的直线方程；(2)过A 点且平行与BC 的直线方程；
19.如图，1111ABCD A B C D -是正四棱柱。
(1)求证：BD ⊥平面11ACC A
(2)若O 是11A C 的中点，求证：AO ∥平面1BDC
20.如图，在棱长为a 的正方体
ABCD D C B A -1111中，（1）证明1B D ⊥面
11A BC ；（2）求线AC 到面11A BC 的距离；（3）
建立空间直角坐标系，试写出1,B B 两点的坐标.
21．求半径为4，与圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0
相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．
22．如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱P A 与底面ABCD 所成的角的正切值为2
6． (1)求侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；
(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；
(3)问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由． 参考答案
一、选择题 1．D2．A3．B4．B5．C6．D7．B8．C9．B10．A11．B 12．D 二、填空题 13．y ＝3x －6或y ＝―3x ―6．
14．－4＜b ＜0或b ＜－64．
15．17，10．
(21) B
C
O
E
16．－1．
三、解答题
17．解：设所求直线的方程为y ＝4
3x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－34b ，由已知，得21 34 － ⎪⎭
⎫ ⎝⎛b b ·＝6，即32b 2＝6，解得b ＝±3． 故所求的直线方程是y ＝
43x ±3，即3x －4y ±12＝0． 18．解：（1）直线AC 的斜率K=1-
2 它的高的斜率为23
，因C 此直线还过A （4，0），则方程为2-0=(x-4)3
y , 化简得2x-3y+14=0 (2) 直线BC 的斜率K=12
过A 点且平行与BC 的直线方程为1-0=
(x-4)2
y , 化简得x-2y-4=0
19．（1）∵1111ABCD A B C D -是正四棱柱
∴1CC ⊥平面ABCD ∴BD ⊥1CC
∴ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC
又∵AC ，1CC 平面11ACC A ，且AC ∩1CC =C ， ∴BD ⊥平面11ACC A （2）连结AO ，设AC 与BD 交于点E 则1OC 平行且等于AE
∴四边形1AEC O 是平行四边形∴AO ∥1EC
∴AO ∥平面1BDC
20.解：（1）易证11A C ⊥面11DBB D ，∴11A C ⊥1B D ， 同理可证1A B ⊥1B D ，
又11A C ⋂1A B =1A ，∴1B D ⊥面11A BC .
（2）线AC 到面11A BC 的距离即为点A 到面11A BC 的距离，也就是点1B 到面11A BC 的距离，记为h ，在三棱锥111B BA C -中有
111111B BA C B A B C V V --=，即1111111133
A BC A
B
C S h S BB ∆∆⋅=⋅，∴3h =. （3）1(,,0),(,,)C a a C a a a
21．解：由题意，所求圆与直线y ＝0相切，且半径为4， 则圆心坐标为O 1(a ，4)，O 1(a ，－4)．
又已知圆x 2＋y 2―4x ―2y ―4＝0的圆心为O 2(2，1)，半径为3， ①若两圆内切，则|O 1O 2|＝4－3＝1．
即(a －2)2＋(4－1)2＝12，或(a －2)2＋(－4－1)2＝12． 显然两方程都无解．
②若两圆外切，则|O 1O 2|＝4＋3＝7．
即(a －2)2＋(4－1)2＝72，或(a －2)2＋(－4－1)2＝72． 解得a ＝2±210，或a ＝2±26．
∴所求圆的方程为
(x ―2―210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16； 或(x ―2―26)2＋(y ＋4)2＝16或(x ―2＋26)2＋(y ＋4)2＝16． 22．解：(1)取AD 中点M ，连接MO ，PM ，
依条件可知AD ⊥MO ，AD ⊥PO ，
则∠PMO 为所求二面角P －AD －O 的平面角．
∵PO ⊥面ABCD ，
∴∠P AO 为侧棱P A 与底面ABCD 所成的角．
∴tan ∠P AO ＝2
6． 设AB ＝a ，AO ＝
22a ， ∴PO ＝AO ·tan ∠POA ＝
23a ， tan ∠PMO ＝MO PO ＝3． ∴∠PMO ＝60°．
(2)连接AE ，OE ， ∵OE ∥PD ，
∴∠OEA 为异面直线PD 与AE
所成的角．
∵AO ⊥BD ，AO ⊥PO ，∴AO ⊥
平面PBD ．又OE 平面PBD ，
∴AO ⊥OE ． ∵OE ＝21PD ＝2122 ＋ DO PO ＝4
5a ， ∴tan ∠AEO ＝EO AO ＝5102． (3)延长MO 交BC 于N ，取
PN 中点G ，连BG ，EG ，MG ．
∵BC ⊥MN ，BC ⊥PN ，
∴BC ⊥平面PMN ．
∴平面PMN ⊥平面PBC ．
又PM ＝PN ，∠PMN ＝60°，
∴△PMN 为正三角形．
∴MG ⊥PN ．又平面PMN ∩平面PBC ＝PN ，∴MG ⊥平面PBC ． M
D B A C O
E
P (第21题(1)) M D B A C O
E P (第21题(2)) M D B A
C O E P
N G F (第21题(3))
取AM 中点F ，∵EG ∥MF ，∴MF ＝2
1MA ＝EG ，∴EF ∥MG ． ∴EF ⊥平面PBC ．点F 为AD 的四等分点．。