新人教B版高中数学必修四全册同步课时分层练习(附解析)
2019-2020年人教B版数学必修四课时分层作业16 数乘向量+Word版含解析
课时分层作业(十六) 数乘向量(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋34b －c 等于( )A ．a －14b ＋2c B ．5a －14b ＋2c C ．a ＋54b ＋2cD ．5a ＋54bA [⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋34b －c ＝(3a －2a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －34b ＋(c ＋c )＝a －14b ＋2c.故选A.]2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →A [由2OA →＋OB →＋OC →＝0，得OB →＋OC →＝－2OA →，又因为OB →＋OC →＝2OD →，所以AO →＝OD →.]3．下列给出四个命题，其中正确的命题个数是( ) ①对于实数m 和向量a 、b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ； ②对于实数m 、n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b (m ∈R ，m ≠0)，则a ＝b ； ④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n . A ．1 B ．2 C ．3D ．4D [①②两命题考查数和向量运算的运算律，正确；③中m a ＝m b ，则a 、b同向，而模又相等，故正确；④中表示相等向量则其模必定相等，故正确．]4．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( ) A ．65a B ．－6a C ．6aD ．－65aC [由题意得：2x －3x ＋6a ＝0， 所以有x ＝6a .]5．设P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0D.P A →＋PB →＋PC →＝0 B [因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，故选项B 正确．] 二、填空题6．已知P 1P →＝23PP 2→，若PP 1→＝λP 1P 2→，则λ等于________． －25 [因为P 1P →＝23PP 2→， 所以－PP 1→＝23(PP 1→＋P 1P 2→)， 即PP 1→＝－25P 1P 2→＝λP 1P 2→， 所以λ＝－25.]7．已知|a |＝6，b 与a 的方向相反，且|b |＝3，a ＝m b ，则实数m ＝__________. －2 [|a ||b |＝63＝2，∴|a |＝2|b |，又a 与b 的方向相反， ∴a ＝－2b ，∴m ＝－2.]8．若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP →＝________.(用OA →，OB →表示)(1－t )OA →＋tOB → [AP →＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)， OP →＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →.] 三、解答题9．设a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，试用i ，j 表示向量23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b ). [解] 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b )＝23(4a －3b )＋29b －16(6a －7b ) ＝83a －2b ＋29b －a ＋76b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋29＋76b ＝53a －1118b ＝53(3i ＋2j )－1118(2i －j ) ＝5i ＋103j －119i ＋1118j ＝349i ＋7118j .10.如图所示，OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.[解] BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →) ＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ， CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD → ＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b . MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .[等级过关练]1．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23 B ．－23 C.25D.13 A [由题意知CD →＝CA →＋AD →， ① CD →＝CB →＋BD →，②且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.]2．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 B [因为MA →＋MB →＋MC →＝0， 所以MA →＋MA →＋AB →＋MA →＋AC →＝0，从而有AB →＋AC →＝－3MA →＝3AM →＝mAM →，故有m ＝3.]3．若OA →＝3e 1，OB →＝3e 2，且P 是线段AB 靠近点A 的一个三等分点，则向量OP →用e 1，e 2可表示为OP →＝________.2e 1＋e 2 [如图， OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB → ＝OA →＋13(OB →－OA →)＝13OB →＋23OA →＝13×3e 2＋23×3e 1＝2e 1＋e 2.]4．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．12 [由题意结合向量的运算可得 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC → ＝12AB →＋23(BA →＋AC →) ＝12AB →－23AB →＋23AC → ＝－16AB →＋23AC →.又由题意可知DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， 则λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.]5．如图，M 、N 、P 分别是△ABC 三边BC 、CA 、AB 上的点，且满足AP AB ＝BMBC ＝CN CA ＝14，设AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a 、b 表示MN →；(2)若点G 是△MNP 的重心，用a ，b 表示AG →. [解] (1)根据条件， MN →＝MC →＋CN →＝34BC →＋14CA → ＝34(AC →－AB →)－14AC → ＝－34AB →＋12AC → ＝－34a ＋12b .(2)MP →＝MN →＋NA →＋AP →＝－34a ＋12b －34b ＋14a ＝－12a －14b . 如图，连接AG ，MG ，G 为△MNP 的重心，则MG →＝13(MN →＋MP →) ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ＋12b －12a －14b ＝－512a ＋112b ， ∴AG →＝AP →＋PM →＋MG → ＝14a ＋12a ＋14b －512a ＋112b ＝13a ＋13b .。
2020学年高中数学课时分层作业16数乘向量(含解析)新人教B版必修4(2021-2022学年)
课时分层作业(十六）数乘向量(建议用时:6０分钟)［合格基础练]一、选择题1.化简：错误!未定义书签。
－错误!等于（ )A.ａ－错误!未定义书签。
ｂ＋2cB.5a－错误!未定义书签。
b+2ｃＣ．a＋错误!未定义书签。
b＋2cﻩＤ.5a+错误!bA［错误!未定义书签。
－错误!未定义书签。
=（3a-2a)＋错误!未定义书签。
+（c＋c)=a－14b＋2c.故选A.]2．已知O是△AＢC所在平面内一点,D为BＣ边中点,且2错误!未定义书签。
+错误!＋错误!未定义书签。
＝０,那么( )A．错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
B。
错误!＝2错误!未定义书签。
C。
错误!未定义书签。
=3错误!ﻩ D.２错误!=错误!A[由２错误!未定义书签。
＋错误!未定义书签。
＋错误!未定义书签。
=０,得错误!+错误! =－２错误!未定义书签。
，又因为错误!＋错误!未定义书签。
＝2错误!未定义书签。
,所以错误!未定义书签。
＝错误!．]3.下列给出四个命题，其中正确的命题个数是()①对于实数m和向量a、b，恒有m（a－b)＝ｍa-ｍb;②对于实数ｍ、n和向量ａ,恒有（ｍ-n)a＝ｍａ－ｎa；③若m a＝m b（m∈R,ｍ≠0)，则a＝b;④若ｍa＝n a(ａ≠0）,则m＝ｎ。
Ａ.１ﻩＢ.2C．3ﻩD．４D[①②两命题考查数和向量运算的运算律，正确；③中mａ＝m b,则a、b同向，而模又相等,故正确;④中表示相等向量则其模必定相等，故正确.]4．若向量方程2ｘ－３（ｘ-2ａ)=0，则向量ｘ等于（ )A.错误!未定义书签。
ａﻩB.－6aC．6aﻩ D.-错误!未定义书签。
aﻬC［由题意得:２x-3x＋6a＝0,所以有x=6a。
]5.设Ｐ是△AＢC所在平面内一点,且错误!+错误!=2错误!，则( )Ａ．错误!+错误!未定义书签。
=０Ｂ.错误!+错误!＝０C.错误!未定义书签。
+错误!=0D。
错误!＋错误!未定义书签。
+错误!＝0B [因为错误!未定义书签。
人教B版高中数学必修4同步练习题及答案全册汇编
人B版高中数学必修4同步习题目录第1章1.1.1同步练习第1章1.1.2同步练习第1章1.2.1同步练习第1章1.2.2同步练习第1章1.2.3同步练习第1章1.2.4同步练习第1章1.3.1第一课时同步练习第1章1.3.1第二课时同步练习第1章1.3.2第一课时同步练习第1章1.3.2第二课时同步练习第1章1.3.3同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.3同步练习第2章2.1.4同步练习第2章2.1.5同步练习第2章2.2.2同步练习第2章2.2.3同步练习第2章2.3.2同步练习第2章2.3.3同步练习第2章2.4.2同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1同步练习第3章3.1.2同步练习第3章3.1.3同步练习第3章3.2.1同步练习第3章3.2.2同步练习第3章3.3同步练习第3章章末综合检测模块综合检测人教B版必修4同步练习1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，再顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝()A．150°B．－150°C．390°D．－390°解析：选B.∠AOC＝120°－270°＝－150°.2．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}解析：选C.∵－457°＝－2×360°＋263°∴与－457°角终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}．3．在0°～360°之间与－35°终边相同的角是()A．325°B．－125°C．35°D．235°解析：选A.∵－35°＝(－1)×360°＋325°∴0°～360°之间与－35°终边相同的角是325°.4．将－885°化为α＋k·360°(k∈Z,0°≤α<360°)的形式是________．解析：－885°＝(－3)×360°＋195°答案：195°＋(－3)×360°一、选择题1．下列说法中正确的是()A．第一象限角一定不是负角B．－831°是第四象限角C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等解析：选C.－330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B错误；0°角，360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误．2．(2011年杭州高一检测)下列各角中，与角330°的终边相同的角是()A．510°B．150°C．－150°D．－390°解析：选D.330°＝360°＋(－30°)，－390°＝－360°＋(－30°)．∴330°角与－390°角终边相同．3．若α是第一象限角，则下面各角中是第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α解析：选C.α为第一象限角，那么－α为第四象限角，而360°－α与－α的终边相同．4．已知角α是第三象限的角，则角－α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.因为α是第三象限的角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，则－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°，k∈Z，所以－α所在范围与(－270°，－180°)范围相同．所以－α的终边在第二象限．故选B.5．若α＝45°＋k ·180°(k ∈Z )，则α的终边所在的象限为( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限解析：选A.当k 为奇数时，α为第三象限角，当k 为偶数时，α为第一象限角． 6．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.143 π B ．－143 π C.718 π D ．－718 π 解析：选B.显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.此题一定要记住分针顺时针旋转形成负角．二、填空题7．已知：①1240°，②－300°，③420°，④－1420°，其中是第一象限角的为________(填序号)．解析：1240°＝160°＋3×360°，所以1240°为第二象限角， －300°＝60°＋(－1)×360°，所以－300°为第一象限角， 420°＝60°＋360°，－1420°＝20°＋(－4)×360°， 所以420°、－1420°也为第一象限角． 答案：②③④8．若将时钟拨慢5分钟，则分针转了________度，时针转了________度．解析：注意时钟指针转动方向应为顺时针，所以拨慢为逆时针形成正角，分针每分钟转过的度数为360°60＝6°，而时针每分钟转过的度数为30°60＝0.5°.答案：30 2.59．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.解析：因为5α与α始边、终边分别相同， 所以5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ， 所以α＝k ·90°. 又因为180°<α<360°，∴α＝270°. 答案：270° 三、解答题 10．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角： (1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′. 解：(1)∵－120°＝240°－360°， ∴在0°～360°范围内，与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限的角； (2)∵660°＝300°＋360°， ∴在0°～360°范围内，与660°角终边相同的角是300°角，它是第四象限的角； (3)∵－950°08′＝129°52′－3×360°， ∴在0°～360°范围内，与－950°08′终边相同的角是129°52′，它是第二象限的角． 11. 如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM 上； (2)终边落在直线OM 上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解析：(1)终边落在射线OM 上的角的集合A ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }． (2)终边落在射线OM 上的角的集合为A ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在射线OM 反向延长线上的角的集合为B ＝{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }，所以终边落在直线OM 上的角的集合为：A ∪B ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．(3)同理可得终边落在直线ON 上的角的集合为{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，所以终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为：{α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．12．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A (1,0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z,14β＝n ·360°，n ∈Z .由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°<α<β<180°，知0°<2a <2β<360°，进而知2α，2β都是钝角，即90°<2α<2β<180°，即45°<α<β<90°，∴45°<α＝m7·180°<90°，45°<β＝n 7·180°<90°，∴74<m <72，74<n <72.∵α<β，∴m <n ，又m ，n ∈Z ，∴m ＝2，n ＝3，∴α＝(3607)°，β＝(5407)°人教B 版必修4同步练习1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是一度的弧与一度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小解析：选D.根据1弧度的定义，对照各选项，可知D 为真命题．2．把－8π3化成角度是( )A ．－960°B ．－480°C ．－120°D ．－60°解析：选B.－8π3＝－83×180°＝－480°.3．把－300°化为弧度是( )A ．－4π3B ．－5π3C ．－7π4D ．－7π6解析：选B.－300°＝－300×π180＝－53π.4．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π12的扇形面积是________ cm 2.解析：S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝32π.答案：32π一、选择题1．－2912π的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.－2912π＝－4π＋1912π，1912π终边落在第四象限．2．在半径为5 cm 的圆中，圆心角为圆周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3 cmB.20π3 cmC.10π3 cmD.50π3cm 解析：选B.圆心角θ＝23×2π＝4π3，由弧长公式知l ＝43π×5＝203π cm.3．已知α＝9 rad ，β＝10 rad ，下面关于α和β的说法中正确的是( ) A ．都是第一象限的角 B ．都是第二象限的角C ．分别是第二象限和第三象限的角D ．分别是第三象限和第四象限的角 解析：选C.法一：由1 rad ≈57°18′，故57°<1 rad<58°. 所以513°<9 rad<522°， 即360°＋153°<9 rad<360°＋162°.因此9 rad 是第二象限的角．同理，570°<10 rad<580°，360°＋210°<10 rad<360°＋220°. 因此10 rad 是第三象限的角．法二：π≈3.14，π2≈1.57，π2×5<9<3π，即9∈(2π＋π2，2π＋π)，故α为第二象限的角．同理，3π<10<3π＋π2，β为第三象限的角．4．(2011年沈阳高一检测)若弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是( )A ．tan 1 B.1sin 1C.1sin 21D.1cos 1 解析：选C.如图所示，设∠AOB ＝2，AB ＝2.过点O 作OC ⊥AB 于C ，延长OC 交于D ，则∠AOC ＝12∠AOB ＝1，AC ＝12AB ＝1.在Rt △AOC 中，OA ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1.∴扇形的面积S ＝12|α|·OA 2＝12×2×1sin 21＝1sin 21.5．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( )A ．－π4－8π B.74π－8πC.π4－10πD.74π－10π 解析：选D.∵－1485°＝－5×360°＋315°，又2π rad ＝360°，315°＝7π4rad ，故－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是74π－10π.6．(2011年杭州高一检测)若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是( ) A ．β＝α＋90° B ．β＝α±90° C ．β＝α＋k ·360°＋90°(k ∈Z ) D ．β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z )解析：选D.如图(1)，角α与β终边互相垂直，β＝α＋90°. 如图(2)，角α与β终边互相垂直，α＝β＋90°.由终边相同角的表示方法知：角α与β终边互相垂直则有β＝k ·360°＋α±90°(k ∈Z )． 二、填空题7．已知θ∈{α|α＝k π＋(－1)k ·π4，k ∈Z }，则角θ的终边所在的象限是________．解析：分k 为奇数与偶数讨论．当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α＝(2n ＋1)π－π4，n ∈Z ，这时α为第二象限角．当k ＝2n ，n ∈Z 时，α＝2n π＋π4，n ∈Z ，这时α为第一象限角．综上：α的终边所在的象限是第一或第二象限． 答案：第一或第二象限 8．扇形的圆心角是72°，半径为5，它的弧长为________，面积为________．解析：∵72°＝25π rad ，∴l ＝25π×5＝2π.S ＝12l ·r ＝12×2π×5＝5π. 答案：2π 5π9．已知扇形的半径为r ，若它的周长等于弧所在圆的半圆周的长，则扇形的圆心角为________弧度，扇形的面积为________．解析：设扇形的圆心角为θ，则2r ＋rθ＝πr ，所以θ＝π－2，S 扇＝12r 2θ＝12r 2(π－2)．答案：π－2 12r 2(π－2)三、解答题10．判断下列各角所在的象限：(1)－4；(2)－2011π5.解：(1)因为－4＝－2π＋(2π－4)，而π2<2π－4<π，所以－4为第二象限角．(2)因为－2011π5＝－201×2π－π5，所以－2011π5为第四象限角．11．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设该扇形AOB 的半径为r ，圆心角为θ，面积为S ，弧长为l .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝812l ·r ＝3解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1l ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3l ＝2.∴圆心角θ＝l r ＝61＝6或θ＝l r ＝23，∴圆心角的大小为23或6.(2)θ＝8－2r r，∴S ＝12·r 2·8－2r r＝4r －r 2＝－(r －2)2＋4，∴当r ＝2即θ＝8－42＝2时，S max ＝4(cm 2)．此时弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．∴扇形面积最大时，圆心角等于2弧度，弧长AB 为4sin 1 cm.12. 已知长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，使木块底面与桌面成30°角，求点A 走过的路程的长及走过的弧度所在扇形的总面积(如图所示)．解：在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝14·2π·AB ＝14·2π·3＋1＝π(dm)，面积S 1＝14·π ·AB 2＝14·π·4＝π(dm 2)． 在扇形A 1CA 2中，圆心角亦为π2，弧长l 2＝14·2π·A 1C ＝14·2π·1＝π2(dm)，面积S 2＝14·π·A 1C 2＝14π·12＝π4(dm 2)．在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝16·2π·A 2D ＝16·2π·3＝33π(dm)．面积S 3＝16·π·A 2D 2＝16·π·(3)2＝π2(dm 2)．点A 走过路程的长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋π2＋3π3＝(9＋23)π6(dm)，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋π4＋π2＝7π4(dm 2)．人教B 版必修4同步练习1．角α的终边上有一点P (1，－1)，则sin α的值是( ) A.π2 B ．－22C ．±22D ．1解析：选B.利用三角函数定义知：sin α＝y r ＝－112＋(－1)2＝－22. 2．若sin α>0，tan α<0，则α为( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角解析：选B.由sin α>0知α终边在第一、二象限或在y 轴正半轴上， 由tan α<0知α终边在第二、四象限， 综上知α为第二象限角． 3．sin2cos3tan4的值为( ) A ．负数 B ．正数 C ．0 D ．不存在 解析：选A.因为2,3,4弧度分别是第二、二、三象限的角，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0，所以sin2cos3tan4<0.4．若点P (2m ，－3m )(m <0)在角α的终边上，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________，sec α＝________，csc α＝________，cot α＝________.解析：∵m <0，∴r ＝(2m )2＋(－3m )2＝－13m ，∴sin α＝y r ＝－3m －13m ＝31313；cos α＝x r ＝2m －13m ＝－21313；tan α＝y x ＝－3m 2m ＝－32；sec α＝r x ＝－132；csc α＝r y ＝133；cot α＝x y ＝－23；答案：31313 －21313 －32 －132 133 －23一、选择题1．设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{sin0，cosπ}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1} D ．{－1,0} 解析：选D.B ＝{sin0，cosπ}＝{0，－1}， ∴A ∩B ＝{0，－1}． 2．若600°角的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．4 3 B ．－4 3 C ．±4 3 D. 3 解析：选B.在坐标系中把600°角的终边找到，看其在第几象限，再利用数形结合思想来求a 的值．因为600°＝360°＋240°，所以600°的终边与240°的终边重合，如图所示，设P (－4，a )，作PM ⊥x 轴于M ，则－|OM |＝－4，∠MOP ＝60°，－|MP |＝a ＝－4 3.3．(2011年临沂高三模拟)在△ABC 中，若sin A cos B tan C <0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．锐角或钝角三角形 解析：选B.∵0<A <π，0<B <π，0<C <π，sin A ·cos B ·tan C <0 ∴cos B ·tan C <0∴cos B 与tan C 异号，∴B 、C 中有一个角为钝角， ∴△ABC 为钝角三角形． 4．已知cos θ·tan θ<0，那么θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角解析：选C.由cos θ·tan θ<0，知⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ<0，tan θ>0，或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，tan θ<0，且θ不在坐标轴上，因此θ在第三或第四象限．5．若角α的终边在直线y ＝2x 上，则sin α的值为( )A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C.在α的终边上任取一点P (1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝25＝255；或者取P (－1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－255.6．(2011年湛江高一检测)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则a 的取值范围是( )A ．(－2,3)B ．[－2,3)C ．(－2,3]D ．[－2,3]解析：选C.由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －9≤0，a ＋2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a >－2. 即－2<a ≤3. 二、填空题7．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．解析：由题意P (m ，n )是角α终边上一点，sin α＝y r ＝n m 2＋n 2<0，∴n <0.又角α的终边与y ＝3x 重合， 故n ＝3m <0，∴m <0.由|OP |＝10，则m 2＋n 2＝10， 10m 2＝10，m 2＝1，∴m ＝－1.由n ＝3m ，∴n ＝－3. ∴m －n ＝－1－(－3)＝2. 答案：2 8．5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°＝________. 解析：∵sin90°＝1，sin0°＝0，sin270°＝－1，cos180°＝－1，∴原式＝－2. 答案：－29．函数y ＝tan x1＋sin x的定义域为________．解析：由1＋sin x ≠0得x ≠2k π－π2，k ∈Z ，要使tan x 有意义，需x ≠k π＋π2，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．答案：{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }三、解答题10．已知角α的终边上一点P (－3，m )，且sin α＝24m ，求cos α，tan α的值．解：由于r ＝x 2＋y 2＝3＋m 2，又sin α＝y r ＝m 3＋m 2，由已知，得m 3＋m 2＝24m ，∴m ＝0或m ＝5，或m ＝－ 5. 当m ＝0时，r ＝3，y ＝0， ∴cos α＝－1，tan α＝0.当m ＝5时，r ＝22，y ＝5，∴cos α＝－64，tan α＝－153.当m ＝－5时，r ＝22，y ＝－5，∴cos α＝－64，tan α＝153.11．判断下列各式的符号： (1)α是第四象限角，sin α·tan α；(2)sin3·cos4·tan(－23π4)．解：(1)∵α是第四象限角， ∴sin α<0，tan α<0，∴sin α·tan α>0.(2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴sin3>0，cos4<0，∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan(－23π4)>0，∴sin3·cos4·tan(－234π)<0.12．已知1|sin α|＝－1sin α，且lgcos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M (35，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角． 由lgcos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角 综上可知，角α是第四象限角．(2)∵|OM |＝1，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45，由正弦函数的定义可知，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.人教B 版必修4同步练习1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在解析：选D.正弦函数和余弦函数的定义域是R ，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R ，所以任何角的正切线不一定存在．2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( ) A.π4或34π B.5π4或74π C.π4或54π D.π4或74π 解析：选C.由条件知sin α＝cos α，又0<α<2π，∴α＝π4或5π4.3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( ) A ．第一象限 B ．第一、二象限 C ．第三象限 D ．第一、三象限解析：选D.由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．4．不等式cos α≤12的解集为________．解析：画出单位圆，然后画出直线x ＝12，从图形中可以看出．答案：{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z }一、选择题1．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等解析：选B.当三角形的角为90°时，不是象限角，∴A 不正确；B 正确；终边在第二象限的角的范围是2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ，∴C 不正确；终边相同的角不一定相等，它们相差2π的整数倍，∴D 不正确．2．(2011年洋浦高一检测)若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α 解析：选D.如图，在单位圆中，作出－3π4<α<－π2内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线． 由图知，|OM →|<|MP →|<|AT →|，考虑方向可得MP →<OM →<AT →.3．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]解析：选B.利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P 2OM 2＝π6，∠P 1OM 2＝5π6，|P 1M 1|＝|P 2M 2|＝12，则图中阴影部分为所求，即x ∈[π6，5π6]．4．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]解析：选C.在同一个单位圆中分别作出正弦线、余弦线、正切线，即可看出．5．(2011年聊城高一检测)如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称 解析：选A.利用单位圆中的余弦线即得．6．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 解析：选D.如图，在单位圆O 中分别作出角57π、27π、27π的正弦线M 1P 1，余弦线OM 2、正切线AT .由57π＝π－27π知M 1P 1＝M 2P 2，又π4<27π<π2，易知AT >M 2P 2>OM 2， ∴cos 27π<sin 5π7<tan 2π7，故b <a <c . 二、填空题7．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.解析：若θ∈(3π4，π)则sin θ>0，cos θ<0，sin θ<|cos θ|，所以sin θ＋cos θ<0.答案：④8．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________． 解析：画出单位圆及y ＝32即可答案：[2k π，2k π＋π3)∪(2k π＋2π3，2k π＋π](k ∈Z )9．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0cos x ≥12，利用单位圆中的三角函数线得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )2k π－π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，解得{x |2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )}．答案：{x |2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )}三、解答题 10．比较大小：(1)sin 2π3与sin 4π5；(2)tan 2π3与tan 4π5.解：如图所示，作出2π3对应的正弦线、正切线分别为AB 和EF .作出4π5对应的正弦线、正切线分别为CD 和EG .由图可知：|AB |>|CD |，|EF |>|EG |.又tan 2π3与tan 4π5均取负值，故sin 2π3>sin 4π5，tan 2π3<tan 4π5.11．求证：当α∈(0，π2)时，sin α<α<tan α.证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P ，单位圆交x 轴正半轴于点A ，作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，作AT ⊥x 轴，交α的终边于点T ，由三角函数线定义，得sin α＝ON ＝MP ，tan α＝AT ， 又α＝AP 的长，∴S △AOP ＝12·OA ·MP ＝12sin α，S 扇形AOP ＝12·AP ·OA ＝12·AP ＝12α，S △AOT ＝12·OA ·AT ＝12tan α.又∵S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，∴sin α<α<tan α.12．若α、β是关于x 的二次方程x 2＋2(cos θ＋1)x ＋cos 2θ＝0的两根，且(α－β)2≤8.求θ的范围．解：∵方程有两实根，∴Δ＝4(cos θ＋1)2－4cos 2θ≥0.∴cos θ≥－12①由根与系数的关系得α＋β＝－2(cos θ＋1)，α·β＝cos 2θ②又(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝4(cos θ＋1)2－4cos 2θ＝8cos θ＋4≤8.∴cos θ≤12③综上知－12≤cos θ≤12如图所示，∴π3＋2k π≤θ≤2π3＋2k π或4π3＋2k π≤θ≤5π3＋2k π(k ∈Z )． ∴π3＋k π≤θ≤2π3＋k π(k ∈Z )．人教B 版必修4同步练习1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A ．－43 B.34C ．±34D ．±43解析：选A.∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－(45)2＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝45－35＝－43.2．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160° D ．±|cos160°| 解析：选B.1－sin 2160°＝cos 2160°＝－cos160°.3．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34C ．1 D.54解析：选B.2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝34.4．若cos α＝－817，则sin α＝________，tan α＝________.解析：∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限角．若α是第二象限角，则sin α>0，tan α<0.∴sin α＝1－cos 2α＝1517，tan α＝sin αcos α＝－158.若α是第三象限角，则sin α<0，tan α>0.∴sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝sin αcos α＝158.答案：1517或－1517 －158或158一、选择题1．若α是第四象限的角，tan α＝－512，则sin α等于( )A.15 B ．－15 C.315 D ．－513解析：选D.∵tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝±513，又α为第四象限角，∴sin α＝－513.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B.∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，∴cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝－1－2＝－3.3．(2011年济南高一检测)A 为三角形ABC 的一个内角，若sin A ＋cos A ＝1225，则这个三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形解析：选B.∵sin A ＋cos A ＝1225，∴(sin A ＋cos A )2＝(1225)2＝144625，即1＋2sin A cos A ＝144625，∴2sin A cos A ＝－481625<0，∴sin A >0，cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．4．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54C ．－34 D.45解析：选D.sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－25＝45.5．(tan x ＋cot x )cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D ．cot x解析：选D.(tan x ＋cot x )·cos 2x ＝(sin x cos x ＋cos x sin x )·cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x ·cos x ·cos 2x ＝cos x sin x＝cot x .6．使 1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是( )A ．{x |2k π－π＜α＜2k π，k ∈Z }B ．{x |2k π－π≤α≤2k π，k ∈Z }C ．{x |2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z }D ．只能是第三或第四象限的角解析：选A . 1－cos α1＋cos α＝ (1－cos α)21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，即sin α＜0，故{x |2k π－π＜α＜2k π，k ∈Z }．二、填空题7．计算1－2sin40°·cos40°sin40°－1－sin 240°＝________.解析：原式＝(sin40°－cos40°)2sin40°－cos 240°＝cos40°－sin40°sin40°－cos40°＝－1.答案：－18．已知tan α＝－3，则1－sin αcos α2sin αcos α＋cos 2α＝________.解析：1－sin αcos α2sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α－sin αcos α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－tan α＋12tan α＋1＝(－3)2－(－3)＋12×(－3)＋1＝－135. 答案：－1359．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值为________．答案：0三、解答题10．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ·(1＋1tan θ)＝1sin θ＋1cos θ. 证明：左边＝sin θ(1＋sin θcos θ)＋cos θ·(1＋cos θsin θ)＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝(sin θ＋cos 2θsin θ)＋(sin 2θcos θ＋cos θ)＝sin 2θ＋cos 2θsin θ＋sin 2θ＋cos 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边， ∴原式成立．11．在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值．解：∵sin A ＋cos A ＝22，①∴(sin A ＋cos A )2＝12，即1＋2sin A cos A ＝12，∴2sin A cos A ＝－12.∵0°<A <180°，∴sin A >0，cos A <0. ∴sin A －cos A >0.∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝32，∴sin A －cos A ＝62.②①＋②，得sin A ＝2＋64.①－②，得cos A ＝2－64.∴tan A ＝sin A cos A ＝2＋64×42－6＝－2－ 3.12．是否存在一个实数k ，使方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦值．解：设这两个锐角为A ，B ， ∵A ＋B ＝90°，∴sin B ＝cos A ，所以sin A ，cos A 为8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根．所以⎩⎨⎧ sin A ＋cos A ＝－3k4sin A cos A ＝2k ＋18①②②代入①2，得9k 2－8k －20＝0，解得k 1＝2，k 2＝－109，当k ＝2时，原方程变为8x 2＋12x ＋5＝0，Δ<0方程无解；将k ＝－109代入②，得sin A cos A ＝－1172<0，所以A 是钝角，与已知直角三角形矛盾．所以不存在满足已知条件的k .人教B 版必修4同步练习1．sin585°的值为( )A ．－22B.22 C ．－32D.32 解析：选A.sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22. 2．cos(－225°)＋sin(－225°)等于( )A.22 B ．－22 C ．0 D. 2 解析：选C.cos(－225°)＋sin(－225°)＝cos225°－sin225° ＝cos(180°＋45°)－sin(180°＋45°)＝－cos45°＋sin45°＝－22＋22＝03．cos2010°＝( )A ．－12B ．－32C.12D.32 解析：选B.cos2010°＝cos(360°×5＋210°)＝cos210°＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－32.4．tan 7π4－cos(－7π3)＋sin(－13π6)的值为________．解析：原式＝tan(2π－π4)－cos(－2π－π3)＋sin(－2π－π6)＝tan[2π＋(－π4)]－cos(2π＋π3)－sin(2π＋π6)＝－tan π4－cos π3－sin π6＝－1－12－12＝－2.答案：－2一、选择题1．sin(－236π)的值是( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：选A.sin(－236π)＝sin(－4π＋π6)＝sin π6＝12.2．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3解析：选C.∵cos(π2＋φ)＝32，∴sin φ＝－32，又|φ|<π2，∴φ＝－π3，故tan φ＝tan(－π3)＝－tan π3＝－ 3.3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1解析：选A.由tan(5π＋α)＝m 得tan α＝m ，所以原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A.4．下列三角函数中，与sin π3数值相同的是( )①sin(n π＋43π) ②cos(2n π＋π6) ③sin(2n π＋π3)④cos[(2n ＋1)π－π6] ⑤sin[(2n ＋1)π－π3]，(n ∈Z )A ．①②B ．①②③C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C.①若n 为偶数，则sin(n π＋4π3)＝sin 4π3＝－sin π3；若n 为奇数，则sin(n π＋4π3)＝sin(π＋4π3)＝sin(2π＋π3)＝sin π3.④cos[(2n ＋1)π－π6]＝cos(π－π6)＝－cos π6≠sin π3.5．(2011年南昌高三模拟)设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)(a ，b ，α，β为常数)，且f (2010)＝－1，那么f (2011)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.f (2010)＝a sin(2010π＋α)＋b cos(2010π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－1，∴f (2011)＝a sin(2011π＋α)＋b cos(2011π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－(－1)＝1.6．(2011年潍坊高一检测)已知a ＝tan(－7π6)，b ＝cos 234π，c ＝sin(－334π)，则a 、b 、c的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >b解析：选A.a ＝tan(－7π6)＝－tan 7π6＝－tan(π＋π6)＝－tan π6＝－33；b ＝cos 234π＝cos(6π－π4)＝cos π4＝22；c ＝sin(－334π)＝－sin 334π＝－sin(8π＋π4)＝－sin π4＝－22.∵22>－33>－22，∴b >a >c . 二、填空题7．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(11π6－θ)＝________.解析：cos(11π6－θ)＝cos[2π－(π6＋θ)]＝cos(π6＋θ)＝33.答案：338．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.解析：令S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°，则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°＝cos 21°＋cos 22°＋cos 23°＋…＋cos 289°，∴2S ＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 289°＋cos 289°)＝89，∴S ＝892.答案：8929．若α∈(－π2，0)，且sin(2π＋α)＝log 814，则tan(2π－α)＝________.解析：∵sin(2π＋α)＝log 814＝－23，∴sin α＝－23.∵α∈(－π2，0)，∴cos α＝53，∴tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－－2353＝255.答案：255三、解答题10．求tan(－35π6)sin(－46π3)－cos 37π6tan 55π6的值．解：原式＝tan(4π＋11π6)sin(14π＋4π3)－cos(6π＋π6)·tan(9π＋π6)＝tan(2π－π6)sin(π＋π3)－cosπ6tan π6＝tan π6sin π3－sin π6＝33×32－12＝0. 11．已知cos(75°＋α)＝13，α为第三象限角，求cos(105°－α)sin(α－105°)的值． 解：由于cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin(105°－α) ＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．由于cos(75°＋α)＝13>0，α为第三象限角，那么75°＋α为第四象限角，则sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1－(13)2＝－223，所以cos(105°－α)sin(α－105°)＝(－13)×(223)＝－229.12．已知f (α)＝cos (π2＋α)·cos (2π－α)·sin (－α＋3π2)sin (－π－α)·sin (3π2＋α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．解：(1)原式＝－sin α·cos (－α)·[－sin (π2－α)]sin (π＋α)·sin (π2＋α)＝sin α·cos α·cos α－sin α·cos α＝－cos α.(2)∵cos(α－3π2)＝－sin α，∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－(－15)2＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.人教B 版必修4同步练习1．函数y ＝2sin(x 2＋π5)的周期、振幅依次是( )A ．4π，－2B ．4π，2C ．π，2D ．π，－2解析：选B.振幅为2，周期为2π12＝4π.2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6 解析：选D.∵φ∈[0,2π)，∴把 y ＝sin x 的图象向左平移 φ个单位长度得到 y ＝sin(x ＋φ)的图象，而 sin(x ＋11π6)＝sin(x ＋11π6－2π)＝sin(x －π6)．3．已知函数y ＝2011sin ωx (ω>0)的图象与直线y ＋2011＝0的相邻的两个公共点间的距离为2π3，则ω的值为( )A ．3 B.32C.23D.13解析：选A.函数y ＝2011sin ωx 的最小值是－2011，它与直线y ＋2011＝0的相邻两个公共点之间的距离为一个周期，由2πω＝2π3，得ω＝3.4．函数y ＝sin x 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________．解析：y ＝sin x →y ＝3sin 13x →y ＝3sin 13(x －3)＝3sin(13x －1)．答案：y ＝3sin(13x －1)一、选择题1．要得到y ＝sin(2x －π3)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：选D.∵y ＝sin(2x －π3)＝sin[2(x －π6)]，∴把y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位就能得到y ＝sin(2x －π3)的图象．2．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图所示，那么ω＝( )A ．1B ．2C.12D.13解析：选B.2T ＝2π，∴T ＝π，又T ＝2πω，∴2πω＝π，∴ω＝2.3．(2011年宁德高一检测)函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]的简图为( )解析：选A.f (π)＝sin(2π－π3)＝－32，排除B 、D.f (π6)＝sin(2×π6－π3)＝0，排除C ，或用五点法作图验证．4．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3解析：选D.∵T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)∵f (0)＝2sin φ＝3，∴sin φ＝32，∵|φ|<π2，∴φ＝π3.5．(2010年高考辽宁卷)设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3 解析：选A.若平移后的图象与原图象重合，则平移量应该是周期的整数倍，即4π3是函数的1个周期或多个周期，ω取最小值时，4π3应为其1个周期，故2π|ω|＝4π3.又ω>0，所以ω＝32. 6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2011)的值等于( )A. 2B ．0 C.2＋2D.2－2 解析：选C.由图象知A ＝2，T ＝8＝2πω，∴ω＝π4，∴y ＝2sin(π4x ＋φ)，代入(2,2)，∴2＝2sin(π2＋φ)，∴sin(π2＋φ)＝1，∴φ＝0，∴y ＝2sin π4x .∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＋f (8)＝2(sin π4＋sin π2＋sin 3π4＋sinπ＋sin 5π4＋sin 32π＋sin 74π＋sin2π)＝0.而2011÷8＝251……3，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2011)＝f (2009)＋f (2010)＋f (2011)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2(2sin π4＋sin π2)＝2×(2＋1)＝22＋2.二、填空题7．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意的实数x ，都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6＋2πω)等于________．解析：由依题意知x ＝π6为y ＝f (x )的对称轴．∴f (π6)＝±3，而T ＝2πω，∴f (π6＋2πω)＝±3.答案：3或－38．(2011年沂水高一检测)把函数y ＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移π8个单位长度，再把各点的纵坐标扩大为原来的2倍，所得图象的函数解析式为________．解析：y ＝sin(2x ＋π4)→y ＝sin[2(x －π8)＋π4]→y ＝2sin2x .答案：y ＝2sin2x9．已知函数 y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π≤φ＜π)的图象如下图所示，则φ＝________.解析：由题图可知，T 2＝2π－3π4，∴T ＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，∴y ＝sin(45x ＋φ)，又∵sin(45×34π＋φ)＝－1，∴sin(35π＋φ)＝－1，∴35π＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z ，∵－π≤φ＜π，∴φ＝910π. 答案：910π三、解答题10．已知函数y ＝12sin(2x ＋π6)＋54，x ∈R .(1)求它的振幅、周期、初相；(2)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(3)该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？解：(1)振幅A ＝12，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π6；(2)当sin(2x ＋π6)＝1，即2x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取最大值12＋54＝74，此时x ＝k π＋π6，k ∈Z .(3)把y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数y ＝sin(x ＋π6)的图象，然后再把y ＝sin(x ＋π6)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得到y ＝sin(2x ＋π6)的图象，然后再把y ＝sin(2x ＋π6)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)得到y ＝12sin(2x ＋π6)的图象，最后把y ＝12sin(2x ＋π6)的图象向上平移54个单位长度，就得y ＝12sin(2x ＋π6)＋54的图象． 11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象在y 轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的13，然后再将所得到的图象向x 轴正方向平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，写出g (x )的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象．解：(1)由已知，易得A ＝2，T 2＝(x 0＋3π)－x 0＝3π，解得T ＝6π，∴ω＝13.把(0,1)代入解析式y ＝2sin(x3＋φ)，得2sin φ＝1.又|φ|<π2，解得φ＝π6.∴y ＝2sin(x 3＋π6)为所求．(2)压缩后的函数解析式为y ＝2sin(x ＋π6)，再平移得g (x )＝2sin[(x －π3)＋π6]＝2sin(x －π6)．列表图象如图。
高中数学人教B版必修四分层测评 第一章 基本初等函数(Ⅱ) 分层测评2 Word版含答案
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.－25π6的角是()A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角【解析】因为－25π6＝－π6－4π，所以－25π6与－π6的终边相同，为第四象限的角.【答案】 D2.若2 rad的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是() A.4 cm2 B.2 cm2C.4π cm2D.2π cm2【解析】r＝l|α|＝42＝2(cm)，S＝12lr＝12×4×2＝4(cm2).【答案】 A3.圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是()A.π2cm 2 B.3π2cm2C.π cm2D.3π cm2【解析】15°＝π12，则S＝12|α|r2＝12×π12×62＝3π2(cm2).【答案】 B4.下列说法不正确的是()A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π C.1 rad 的角比1°的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【解析】 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关. 【答案】 D5.集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角所表示的范围(阴影部分)是( )【解析】 k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y ＝x 左上部分(包含边界)，k 为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y ＝x 的右下部分(包含边界).故选C.【答案】 C 二、填空题6.把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π)的形式是________. 【解析】 法一：－570°＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫570×π180rad＝－196πrad ， ∴－196π＝－4π＋56π.法二：－570°＝－2×360°＋150°， ∴－570°＝－4π＋56π. 【答案】 －4π＋56π7.一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________.【解析】 由题意知r ＝2，l ＋2r ＝πr ，∴l ＝(π－2)r ， ∴圆心角α＝l r ＝(π－2)rr ＝π－2(rad)， 扇形面积S ＝12lr ＝12×(π－2)·r ·r ＝2(π－2). 【答案】 π－2 2(π－2) 三、解答题 8.已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π)的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π). 【解】 (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9. 9.已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S 的最大值.【解】 (1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则由题意得⎩⎨⎧l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝20，r ＝10，则α＝l r ＝2(rad).故扇形的圆心角为2 rad. (2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ， 故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100， 故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.[能力提升]1.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )A.12B.2倍C.13D.3倍【解析】 设圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为lr ，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r＝3·lr ，即弧度数变为原来的3倍. 【答案】 D2.已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】 (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3. (2)由(1)可知α＝π3，r ＝10， ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3， ∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.。
新教材数学人教B版必修第四册练习：10.2.1 复数的加法与减法Word版含解析
10.2复数的运算10．2.1复数的加法与减法必备知识基础练 进阶训练第一层 知识点一 复数的加、减运算.已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于()．8iB ．6．6＋8iD ．6－8i．(5－i)－(3－i)－5i ＝________.．1＝(a 22＝a －(a 21－z 2为纯虚数，则a ＝________.知识点二 复数加减运算的几何意义.设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于()．第一象限B ．第二象限．第三象限D ．第四象限．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为()．2＋8iB ．－6－6i．4－4iD ．－4＋2i．如图所示，在平行四边形OABC 中，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求： 1)AO →所表示的复数，BC →所表示的复数；2)对角线CA →所表示的复数；3)→→知识点三复数加、减法及几何意义的综合应用.若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点Z 在()．实轴上B ．虚轴上．第一象限D ．第二象限．如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是()．1B.12．2D.5．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的()．外心B ．内心．重心关键能力综合练 进阶训练第二层、选择题．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于()．1＋iB ．1＋3i．－1－iD ．－1－3i．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为()．1＋iB ．2＋i．3D ．－2－i．复数(3＋m i)－(2＋i)对应的点在第四象限内，则实数m 的取值范围是()．m <23B ．m <1 .23<m <1D ．m >1 ．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，则z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为() ．1B ．2．－2D ．－2或1．在平行四边形ABCD 中，若A ，C 对应的复数分别为－1＋i 和－4－3i ，则该平行四边形的对角线AC 的长度为().5B ．5．25D ．10．(探究题)如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最小值是()．1B.2．2D.5、填空题．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i ，(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________.．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________.．(易错题)A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面上对应的两点，O 为原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 为________．、解答题0．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →与BA →学科素养升级练 进阶训练第三层 ．(多选)已知z 1，z 2是复数，以下结论错误的是()．若z 1＋z 2＝0，则z 1＝0，且z 2＝0．若|z 1|＋|z 2|＝0，则z 1＝0，且z 2＝0．若|z 1|＝|z 2|，则向量OZ 1→和OZ 2→重合．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为()．3－22B.2－1．3＋22D.2＋1．(学科素养——运算能力)已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA→对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i.1)求点C ，D 对应的复数；2)求平行四边形ABCD 的面积．10．2复数的运算10．2.1复数的加法与减法必备知识基础练．答案：B析：根据复数的加法法则得，z 1＋z 2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.．答案：2－5i析：根据复数的减法法则可得，(5－i)－(3－i)－5i ＝2－5i.．答案：－1析：∵z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a 2＋a －6)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. ．答案：D析：∵z 1－z 2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i ，z 1－z 2在复平面内对应的点位于第四象限．．答案：C析：BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝3＋2i －(1＋5i －2＋i)＝4－4i.BC →表示的复数为4－4i.．解析：(1)因为0－(3＋2i)＝－3－2i ，以AO →所表示的复数为－3－2i.为BC →＝AO →，所以BC →所表示的复数为－3－2i.2)因为CA →＝OA →－OC →，以CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.3)因为对角线OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，以OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，以|OB →|＝12＋62＝37.．答案：B析：∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上，即在虚轴上．．答案：A析：设复数z ，－i ，i ，－1－i 在复平面内对应的点分别为Z ，Z 1，Z 2，Z 3，为|z ＋i|＋|z －i|＝2，Z 1Z 2|＝2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.以Z 点在线段Z 1Z 2上移动，|Z 1Z 3|min ＝1，以|z ＋i ＋1|min ＝1.．答案：A析：由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P 到△ABC 的顶点A ，B ，C 的距离相等，∴P 为△ABC 的外心．关键能力综合练．答案：B析：z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.．答案：D析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0，b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴a ＋b i ＝－2－i.．答案：B析：∵(3＋m i)－(2＋i)＝3＋m i －2－i ＝1＋(m －1)i ，m －1<0，∴m <1.．答案：C析：由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋(a 2－3a ＋2)i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，得a ＝－2. ．答案：B析：依题意，AC →对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i ，因此AC 的长度为|－3－4i|＝5.．答案：A析：设复数－2i,2i ，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，为|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，|Z 1Z 2|＝4，所以复数z 的几何意义为线段Z 1Z 2，如图所示，问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值．此作Z 3Z 0⊥Z 1Z 2于Z 0，则Z 3与Z 0的距离即为所求的最小值，|Z 0Z 3|＝1.故选A. ．答案：5－9i －8－7i析：z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y －4y ＋2x )＋(y －4x ＋5x ＋3y )i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i. ⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.z 1＝5－9i ，z 2＝－8－7i.．答案：34＋i 析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2. x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i. ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.z ＝34＋i. ．答案：直角三角形析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB 为直角三角形．0．解析：因为复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，所以OA →＝(－3，－1)，OB →＝(5,1)，以OA →＋OB →＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，以向量OA →＋OB →对应的复数是2，BA →＝OA →－OB →＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，以BA →对应的复数是－8－2i ，，B 两点之间的距离|BA →|＝|－8－2i|＝(－8)2＋(－2)2＝217.学科素养升级练．答案：AC析：A 中z 1＋z 2＝0只能说明z 1＝－z 2；B 中|z 1|＋|z 2|＝0，说明|z 1|＝|z 2|＝0，即z 1＝z 2＝0；C 中|z 1|＝|z 2|，说明|OZ 1→|＝|OZ 2→|，但OZ 1→与OZ 2→方向不一定相同；D 中|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故z 1＝z 2；故错误的为A ，C 选项．．答案：D析：|z 1－z 2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i|(1－sin θ)2＋(1＋cos θ)23＋2(cos θ－sin θ)3＋22cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4max ＝1， |z 1－z 2|max ＝3＋22＝2＋1.．解析：(1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，AC →＝BC →－BA →，向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.OC →＝OA →＋AC →，点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，AD →＝(3，－1)．D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝0.点D 对应的复数为5.2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210. sin B ＝7210. S ▱ABCD ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7， 平行四边形ABCD 的面积为7.。
高中数学人教B版必修四分层测评 第一章 基本初等函数(Ⅱ) 分层测评8 Word版含答案
学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.函数y ＝sin|x |的图象是( )【解析】 ∵函数y ＝sin|x |是偶函数，且x ≥0时，sin|x |＝sin x .故应选B.【答案】 B2.(2016·济南高一检测)函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π B.(π，2π) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.(0，π)【解析】 作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象知C 正确，故选C.【答案】 C3.在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( )A.(0，π)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π【解析】 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下：因为sin π3＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32. 即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3.可知不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3. 【答案】 C4.(2016·兰州高一检测)设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋a sin x (0＜x ＜π)，下列结论正确的是( )A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值【解析】 因为0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，1sin x ≥1，所以函数f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋a sin x 有最小值而无最大值，故选B.【答案】 B5.函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A.0B.π4C.π2D.π【解析】 当φ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，而y ＝cos 2x 是偶函数，故选C.【答案】 C二、填空题6.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的周期是23π，则ω＝________. 【解析】 根据题意有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2πω3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， ∴2π3ω＝2π，∴ω＝3.【答案】 37.函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________.【解析】 据题意知sin x ＞0，得x ∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z ).【答案】 (2k π，2k π＋π)(k ∈Z )8.(2016·杭州高一检测)若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________.【解析】 由三角形内角和为π知，若x 为三角形中的最小角，则0＜x ≤π3，由y ＝sin x 图象知y ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎤0，32 三、解答题9.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 【解】 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 10.已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值.【解】 ∵0≤x ≤π2， ∴－π3≤2x －π3≤23π， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，最大值为2a ＋b ＝1，最小值为－3a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.当a <0时，最大值为－3a ＋b ＝1，最小值为2a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ －3a ＋b ＝1，2a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.[能力提升]1.函数y ＝sin(－x )，x ∈[0,2π]的简图是( )【解析】 因为y ＝sin(－x )＝－sin x ，x ∈[0,2π]的图象可看作是由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于x 轴对称得到的.故选B.【答案】 B2.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________.【解析】 ∵sin α∈[－1,1]，∴－sin α∈[－1,1]，∴已知直线的斜率范围为[－1,1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 3.已知直线y ＝a ，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]，试探求以下问题.(1)当a 为何值时，直线y ＝a 与函数y ＝sin x 的图象只有一个交点？(2)当a 为何值时，直线与函数图象有两个交点？(3)当a 为何值时，直线与函数图象有三个交点？(4)当a 为何值时，直线与函数图象无交点？【解】 作出直线y ＝a ，与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(如图所示)，由图象可知.(1)当a ＝1或－1时，直线与函数图象只有一个交点.(2)当－1＜a＜0或0＜a＜1时，直线与函数图象有两个交点.(3)当a＝0时，直线与函数图象有三个交点.(4)当a＜－1或a＞1时，直线与函数图象无交点.。
新人教B版高中数学必修四全册同步课时分层练习(附解析)
新人教B版高中数学必修四全册课时练习角的概念的推广(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在下列说法中，正确的是( )A．第二象限角是钝角B．第二象限角必大于第一象限角C．－150°是第二象限角D．－252°16′、467°44′、1 187°44′是终边相同的角D[第二象限角中，除包含钝角以外，还包含与钝角相差k·360°，k∈Z的角，如460°是第二象限角但不是钝角，A项错；460°是第二象限角，730°是第一象限角，显然460°小于730°，B项错；C项中－150°应为第三象限角．故A、B、C项都是错误的，D项中三个角相差360°的整数倍，则它们的终边相同，故选D.]2．下列是第三象限角的是( )A．－110°B．－210°C．80°D．－13°A[－110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角．故选A.]3．与－457°角终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}C[－457°角与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C.]4．若α是第一象限的角，则下列各角中属于第四象限角的是( )A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋αC[因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．] 5．在平面直角坐标系中，若角α与角β的终边互为反向延长线，则必有( )A．α＝－βB．α＝k·180°＋β(k∈Z)C．α＝180°＋βD．α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z)D[因为角α与角β的终边互为反向延长线，所以角α与角β的终边关于原点对称，所以α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z)．]二、填空题6．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．120°，300°[根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.故填120°，300°.]7．设角α的终边与252°角终边关于y轴对称且有－360°<α<360°，那么α＝________.－72°，288°[在0°～360°间与252°角终边关于y轴对称的角为288°，∴与288°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋288°，k∈Z}，又－360°<α<360°，那么α＝－72°，288°.]8．设集合A＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}，B＝{x|k·360°－210°<x<k·360°，k∈Z}，则A∩B＝________.{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}[A∩B＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|k·360°－360°＋150°<x<k·360°－360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|(k－1)·360°＋150°<x<(k－1)·360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}．]三、解答题9．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．[解] 与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.10．若角β的终边落在直线y＝－33x上，写出角β的集合；当－360°＜β＜360°时，求角β.[解] ∵角β的终边落在直线y＝－33x上，∴在0°到360°范围内的角为150°和330°，∴角β的集合为{x|x＝k·180°＋150°，k∈Z}．当－360°＜β＜360°时，角β为－210°，－30°，150°，330°.[等级过关练]1.如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是( )A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}D[终边落在直线y＝±x在[0°，360°)内角有45°，135°，225°和315°共四个角，相邻两角之间均相差90°，故终边落在直线y＝±x上的角的集合为{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}．]2．如果角α与x＋45°具有相同的终边，角β与x－45°具有相同的终边，则α与β间的关系是( )A．α＋β＝0°B．α－β＝0°C．α＋β＝k·360°，k∈ZD．α－β＝k·360°＋90°，k∈ZD[由已知得：α＝m·360°＋x＋45°，m∈Z，β＝n·360°＋x－45°，n∈Z，则α－β＝(m－n)·360°＋90°，(m－n)∈Z，所以α－β＝k·360°＋90°，k∈Z.故选D.]3．若角α满足α＝－30°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在第________象限．二、四[当k为偶数时，α终边落在第四象限．当k为奇数时，α终边落在第二象限．综上可知α终边落在第二、四象限．]4．终边在直线y＝3x上的所有角的集合是________，在这个集合中，介于－180°到180°之间的角是________．{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z} －120°，60°[终边在直线y＝3x上的所有角的集合是{α|α＝k ·360°＋60°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z }＝{α|α＝k ·180°＋60°，k ∈Z }．上述集合中，介于－180°到180°之间的角有－120°和60°，即当k ＝－1和k ＝0时取得．]5.已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．[解] (1)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z }．终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z }．(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z }.弧度制和弧度制与角度制的换算(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．－25π6的角是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角D [因为－25π6＝－π6－4π，所以－25π6与－π6的终边相同，为第四象限的角．]2．若2 rad 的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所对的扇形面积是( ) A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．2π cm 2A [r ＝l |α|＝42＝2(cm)，S ＝12lr ＝12×4×2＝4(cm 2)．]3．与30°角终边相同的角的集合是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k ·360°＋π6，k ∈ZB ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈ZD [∵30°＝30×π180 rad ＝π6 rad ，∴与30°终边相同的所有角可表示为 α＝2k π＋π6，k ∈Z ，故选D.]4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8C [设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.]5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A ．π3B ．2π3C ． 3D ．2C [设圆的半径为r ，则圆内接正三角形边长为3r ，所以圆心角的弧度数为3rr＝ 3.]二、填空题6．把－570°写成2k π＋α(k ∈Z ，α∈(0,2π))的形式是________． －4π＋56π [－570°＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫570×π180rad ＝－196π rad ，∴－196π＝－4π＋56π.]7．已知一扇形的周长为π3＋4，半径r ＝2，则扇形的圆心角为________．π6 [设扇形的圆心角为α，则π3＋4＝2r ＋2α. 又∵r ＝2，∴α＝π6.]8．经过点P (a ，a )(a ≠0)的角α的集合是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π4，k ∈Z [当a >0，点P (a ，a )在第一象限， 此时α＝2k π＋π4，k ∈Z ；a <0，点P (a ，a )在第三象限，此时α＝2k π＋54π，k ∈Z ，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π4，k ∈Z .] 三、解答题9．已知角α的终边与－253π的终边关于x 轴对称，求角α3在(－π，π)内的值．[解] ∵253π与－253π的终边关于x 轴对称，且253π＝8π＋π3，∴α与π3的终边相同．∴α＝2k π＋π3(k ∈Z )，α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )．∵－π<α3<π，∴－π<2k π3＋π9<π.当k ＝－1时，α3＝－5π9∈(－π，π)；当k ＝0时，α3＝π9∈(－π，π)；当k ＝1时，α3＝7π9∈(－π，π)．∴在(－π，π)内α3的值有三个，它们分别是－5π9，π9和7π9.10．已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S 的最大值．[解] (1)设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝40，12lr ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝20，r ＝10，则α＝l r＝2(rad)． 故扇形的圆心角为2 rad. (2)由l ＋2r ＝40得l ＝40－2r ， 故S ＝12lr ＝12(40－2r )·r＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100， 故r ＝10时，扇形面积S 取最大值100.[等级过关练]1．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的( )A.12倍 B ．2倍 C.13倍 D ．3倍D [设圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为l r，将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r ＝3·lr，即弧度数变为原来的3倍．]2．若α是第三象限的角，则π－α2是( )A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角B [因为α为第三象限的角，所以有2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ，k π＋π2<α2<k π＋34π，k ∈Z ，－k π－34π<－α2<－k π－π2，k ∈Z ，故－k π＋π4<π－α2<－k π＋π2，k ∈Z .当k 为偶数时，π－α2在第一象限；当k 为奇数时，π－α2在第三象限，故选B.]3．(1)把67°30′化成弧度＝________. (2)把35π 化成度＝________.(1)38π (2)108° [(1)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝38π. (2)35π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π5×180π° ＝108°.]4．一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是________弧度，扇形面积是________．π－2 2(π－2) [由题意知r ＝2，l ＋2r ＝πr ， ∴l ＝(π－2)r ，∴圆心角α＝l r＝(π－2)rr＝π－2(rad)，扇形面积S ＝12lr ＝12×(π－2)·r ·r ＝2(π－2)．]5．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . [解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.三角函数的定义(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列三角函数判断错误的是( ) A ．sin 165°>0 B ．cos 280°>0 C ．tan 170°>0D ．tan 310°<0C [∵90°<165°<180°，∴sin 165°>0； 又270°<280°<360°，∴cos 280°>0； 又90°<170°<180°，∴tan 170°<0；又270°<310°<360°，∴tan 310°<0，故选C.]2．已知角α的终边过点P (－3,4)，则sin α＋cos α＝( ) A ．35 B ．－45C ．15D ．－15C [r ＝(－3)2＋42＝5，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴sin α＋cos α＝45－35＝15.]3．已知角α终边上异于原点的一点P 且|PO |＝r ，则点P 坐标为( ) A ．P (sin α，cos α) B ．P (cos α，sin α) C ．P (r sin α，r cos α)D ．P (r cos α，r sin α)D [设P (x ，y )，则sin α＝yr ，∴y ＝r sin α，又cos α＝x r，x ＝r cos α，∴P (r cos α，r sin α)，故选D.]4．已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114B ．114C ．－4D ．4C [由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45，易知m <0，解得m ＝－4，故选C.]5．若θ是第二象限角，则( ) A ．sin θ2>0B ．cos θ2<0C ．tan θ2>0D ．以上均不对C [∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π，∴k π＋π4<θ2<k π＋π2，∴θ2是第一或第三象限角，∴tan θ2>0.]二、填空题6．设α为第二象限角，则点P (cos α，sin α)在第________象限． 二 [∵α为第二象限角，∴cos α<0，sin α>0.] 7．函数y ＝tan x ＋lg sin x 的定义域为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，2k π<x <2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π<x <2k π＋π2或2k π＋π2<x <2k π＋π，k ∈Z .]8．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．－2＜a ≤3 [由⎩⎪⎨⎪⎧cos α≤0，sin α＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.] 三、解答题9．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2＋log 12x ＋tan x ；(2)f (x )＝cos x .[解] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤4，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，解得0＜x ＜π2或π2＜x ≤4，所以原函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，4.(2)若使函数有意义，则需满足cos x ≥0， 即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z .10．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，cos α＝24x ，求sin α. [解] ∵α是第二象限角，∴x <0. ∵|OP |＝x 2＋(5)2＝x 2＋5， ∴cos α＝x x 2＋5＝24x ， ∴x 2＝3. 又∵x <0， ∴x ＝－3， ∴sin α＝5|OP |＝58＝104. [等级过关练]1．若sin α>0，tan α<0，则α为( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由sin α>0可知α的终边在第一、二象限或在y 轴正半轴上，由tan α<0可知α的终边在第二、四象限．综上可知α为第二象限角．]2．如果α的终点过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2sin π6，－2cos π6，则sin α的值等于( )A ．12B ．－12C ．－32D ．－33C [∵2sin π6＝1，－2cos π6＝－3，∴r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32.] 3．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．2 [由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10，∴m ＝1，n ＝3或m ＝－1，n ＝－3. 又sin α<0，∴α的终边落在第三象限， ∴n <0，∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.]4．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是________．{－1,3} [由题意知x 不是终边在坐标轴上的角，则有：x 为第一象限角时：y ＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan xtan x＝3； x 为第二象限角时：y ＝sin x sin x ＋cos x －cos x ＋－tan xtan x＝－1； x 为第三象限角时：y ＝－sin x sin x ＋cos x －cos x ＋tan xtan x ＝－1； x 为第四象限角时：y ＝－sin x sin x ＋cos x cos x ＋－tan xtan x＝－1； 综上知此函数值域为{－1,3}．] 5．判断下列各式的符号： (1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－234π； (3)sin (cos θ)cos (sin θ)(θ为第二象限角)． [解] (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角， ∴sin 340°<0，cos 265°<0， ∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角．∴sin 4<0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4>0，∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4<0. (3)∵θ为第二象限角，∴0<sin θ<1<π2，－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0， ∴sin (cos θ)cos (sin θ)<0.单位圆与三角函数线(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上D ．在直线y ＝x 或y ＝－x 上 B [∵sin α＝1或sin α＝－1， ∴角α终边在y 轴上．故选B.]2．如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ＜tan θ＜sin θB ．sin θ＜cos θ＜tan θC ．tan θ＜sin θ＜cos θD ．cos θ＜sin θ＜tan θA [由于3π4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP →，余弦线OM →，正切线AT →，由此容易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选A.]3．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2[答案] C4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、第四象限的角平分线上 D ．第二、第三象限的角平分线上C [角α的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，所以sin α＝－cos α，即sin α＋cos α＝0，所以角α的终边在直线x ＋y ＝0上，所以选C.]5．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5.其中判断正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B [根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.]二、填空题6．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________．AT >MP >OM [作图如下：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .] 7．函数y ＝1－2sin x 的定义域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z ) [要使函数有意义，有1－2sin x ≥0，得sin x ≤12，如图，确定正弦值为12的角的终边OP 与OP ′，其对应的一个角分别为136π，56π，所求函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋56π，2k π＋136π(k ∈Z )．] 8. 若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，利用三角函数线得到α的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π [利用单位圆作出正弦线、余弦线，所以α的范围是0<α<π3或5π3<α<2π.]三、解答题9．画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值．[解] 如图，MP →，OM →，AT →分别为正弦线，余弦线和正切线．sin 7π6＝－12，cos 7π6＝－32，tan 7π6＝33. 10．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域． [解] 由题意，自变量x 应满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22，则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z. [等级过关练]1．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形D [当0＜α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cosα＝23，∴α必为钝角．]2．满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥12的x 的集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π12≤x ≤2k π＋7π12，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x ≤2k π＋π6，k ∈ZA [由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥12，得π6＋2k π≤x －π4≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得2k π＋5π12≤x ≤2k π＋13π12，k ∈Z .] 3．sin 2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________．cos6π5<sin 2π5<tan 2π5 [在单位圆中分别作角2π5与角6π5，可知6π5为第三象限角，所以cos 6π5<0.又0<π4<2π5<π2，所以2π5的正切线大于正弦线，即0<sin 2π5<tan 2π5，所以cos 6π5<sin 2π5<tan 2π5.]4．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ＜0；②sin θ－cos θ＞0； ③|sin θ|＜|cos θ|；④sin θ＋cos θ＞0. ④ [若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.]5．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.[证明] 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox ，PN ⊥Oy ，M ，N 分别为垂足．∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α， 在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α，S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14π×12＝π4，又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α＜π2， ∴1＜sin α＋cos α＜π2.同角三角函数的基本关系式(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若sin α＋sin 2α＝1，那么cos 2α＋cos 4α的值等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [由sin α＋sin 2α＝1，得sin α＝cos 2α，所以cos 2α＋cos 4α＝sin α＋sin 2α＝1.]2．已知α是第三象限的角，cos α＝－1213，则sin α＝( )A.513 B ．－513C.512D ．－512B [∵α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513.] 3．若α∈[0,2π)，且有1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32πB [因为1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α≥0，cos α≤0，又α∈[0,2π)，所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，故选B.]4．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12B [tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θ cos θ＝112＝2，选B.]5．若tan α＝3，则2sin αcos α＝( ) A ．±35B ．－35C ．35D ．45C [2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝610＝35.] 二、填空题6．已知sin αcos α＝15，则sin α－cos α＝________.±155 [(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝1－2sin αcos α＝35，则sin α－cos α＝±155.] 7．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________. 13 7 [∵tan α＋1tan α＝1cos αsin α＝3， ∴sin αcos α＝13.又tan 2α＋1tan 2 α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1tan α2－2＝9－2＝7，∴tan 2α＋1tan 2 α＝7.]8．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.－55 [由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π及tan α＝2， 得sin α＝2cos α<0，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝－55.] 三、解答题9．已知tan α＝23，求下列各式的值：(1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)1sin αcos α； (3)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α. [解]cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－231＋23＋1＋231－23＝265. (2)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α ＝tan 2α＋1tan α＝136.(3)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α ＝sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1 ＝49－43＋449＋1＝2813.10．求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.[证明] 右边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α)＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝左边，∴2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.[等级过关练]1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝( )A.1213B.513C ．－513D ．－1213D [∵tan A ＝－512，又A 是三角形的内角，∴A 是钝角． ∵sin A cos A ＝－512， ∴－5cos A ＝12sin A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1， ∴cos A ＝－1213.]2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<θ<π，则tan θ＝( )A.4－2mm －3B ．±m －34－2mC ．－512D ．－34或－512C [由sin 2θ＋cos 2θ＝1，有⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，化简得m 2－8m ＝0，解得m ＝0或m＝8，由于θ在第二象限，所以sin θ>0，m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，得tan θ＝－512.]3．已知sin θ－cos θ＝12，则sin 3θ－cos 3θ＝________.1116 [由已知得，1－2sin θcos θ＝14，∴sin θcos θ＝38. ∴sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116.]4．若f (sin α)＝cos 2α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________.89[∵f (sin α)＝cos 2α＝1－sin 2α， ∴f (t )＝1－t 2，－1≤t ≤1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89.]5．求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[证明] 法一：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)·tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)·tan αsin α ＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)·tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)·tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴等式成立．法二：左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α， ∴左边＝右边，等式成立．诱导公式(一)、(二)(建议用时：40分钟)[合格基础练]一、选择题1．sin 25π6的值为( )A ．12 B ．22 C ．－12D ．－32A [sin 25π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π6＝sin π6＝12，故选A.] 2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [①sin(－1 000°)＝sin(－360°×3＋80°)＝sin 80°>0； ②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4＝22>0；③∵π2<2<π， ∴tan 2<0.]3．记cos(－80°)＝k ，那么tan 440°＝( ) A ．1－k2k B ．－1－k2k C ．k1－k2D ．－k1－k2A [∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，tan 440°＝tan(360°＋80°)＝tan 80°＝sin 80°cos 80°＝1－k2k，故选A.]4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－α＝a ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝( )A ．aB ．－aC ．±aD ．不确定B [∵⎝⎛⎭⎪⎫5π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝2π， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝－a ，故选B.] 5.1－2sin (2π＋2)cos (2π－2)＝( ) A ．sin 2－cos 2 B ．sin 2＋cos 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．cos 2－sin 2A [原式＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|.而sin 2＞cos 2，故应选A.] 二、填空题6．cos 1 110°的值为________．32 [cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝32.] 7．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________． －43 [由三角函数定义知，tan 420°＝－a4，又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝3，∴－a4＝3，∴a ＝－4 3.]8．化简：cos (2π＋α)sin (4π－α)tan (－α－2π)cos 2(－α)＝________. 1 [原式＝cos αsin (－α)tan (－α)cos 2α＝cos αsin (－α)－tan αcos 2α ＝cos α(－sin α)－sin αcos α·cos 2α＝1.]三、解答题9．求下列各式的值：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π. [解] (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 125π·tan 0 ＝sin π6＋0＝12.10．化简：sin 2(α－2π)cos (2π＋α)cot (－α－2π)tan (2π－α)cos 3(－α－4π). [解] 原式＝sin 2α·cos α·cot (－α)tan (－α)cos 3(－α) ＝sin 2αcos α·cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin αcos α·cos 3α·sin (－α)＝sin 2α·cos 2αsin 2α·cos 2α ＝1.[等级过关练]1．设f (α)＝2sin (2π－α)cos (2π＋α)－cos (－α)1＋sin 2α＋sin (2π＋α)－cos 2(4π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π的值为( )A ．33B ．－33C ． 3D ．－ 3D [f (α)＝2sin (－α)cos α－cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α ＝－cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝－1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π＝－1tan π6＝－ 3.] 2．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－15，则tan α等于( )A ．34B ．－34C ．－43或－34D ．－43B [∵cos(－α)－sin(－α)＝－15，∴cos α＋sin α＝－15，∴1＋2sin αcos α＝125.∴2sin αcos α＝－2425<0.又α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴cos α－sin α＝－1－2sin αcos α＝－75.由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋sin α＝－15，cos α－sin α＝－75，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－45，sin α＝35.∴tan α＝sin αcos α＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝－34.]3．若α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为________．－105 [由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α， 将其代入sin 2α＋cos 2α＝1， 得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α<0， ∴cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105.] 4．已知tan(4π＋α)＝m (m ≠±1)，则sin (α－2π)＋2cos (2π－α)2sin (－α)－cos (2π＋α)的值为________． －m ＋22m ＋1[∵tan(4π＋α)＝tan α＝m ， 又sin (α－2π)＋2cos (2π－α)2sin (－α)－cos (2π＋α)＝sin α＋2cos α－2sin α－cos α＝－sin α＋2cos α2sin α＋cos α＝－tan α＋22tan α＋1＝－m ＋22m ＋1.]5．设函数f (x )＝a sin(πx ＋a )－b cos(πx －b )＋c tan(πx ＋c )，其中a ，b ，c ∈R 且abc ≠0，且有f (2 016)＝－1，求f (2 018)的值．[解] f (2 016)＝a sin(2 016π＋a )－b cos(2 016π－b )＋c tan(2 016π＋c )＝a sin a －b cos b ＋c tan c ，而f (2 018)＝a sin(2 018π＋a )－b cos(2 018π－b )＋c tan(2 018π＋c )＝a sin a －b cosb ＋c tan c ，所以f (2 018)＝f (2 016)＝－1.诱导公式(三)、(四)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝35，则sin x 的值为( )A.35 B ．－35C.45D ．－45B [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ＝35，∴sin x ＝－35.] 2．在△ABC 中，cos(A ＋B )的值等于( ) A ．cos C B ．－cos C C ．sin CD ．－sin CB [cos(A ＋B )＝cos(180°－C )＝－cos C ．]3．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0B [∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0. ∵cos(θ－π)＝－cos θ>0，∴cos θ<0.] 4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A ．－13B.13C.223D ．－223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.] 5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C ．－1D ．1A [由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ，所以sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1.]二、填空题6．若sin(π－α)＝log 8 14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝________.23 [由已知得sin(π－α)＝sin α＝log 32 2－2＝－23. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝23.] 7．若a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π，b ＝tan 113π，则a ，b 的大小关系是________.a >b [a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋34π＝tan 34π＝－tan π4，b ＝tan 113π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋23π＝tan 23π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－tan π3， ∵0<π4<π3<π2，∴tan π4<tan π3，∴a >b .]8．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.2 [由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2， 则原式＝sin (α－π)－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.]三、解答题9．求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值．[解] 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 10．已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α. [解] (1)f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35， 又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝45，则tan α＝sin αcos α＝－43.[等级过关练]1．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( )A ．－23mB ．－32mC.23mD.32m B [∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ， 从而sin α＝m2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α ＝－32m .]2．计算：sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C.892D ．45C [原式＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋sin 2(90°－44°)＋…＋sin 2(90°－3°)＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋(sin 23°＋cos 23°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＝44＋12＝892.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝________. 14 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14.] 4．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是________．31010 [由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又α为锐角，tan α＝sin αcos α＝sin α1－sin 2α＝3， 解得sin α＝31010.]5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，求下列各式的值： (1)sin α－cos α；(2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α.[解] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23，①将①两边平方，得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79.又π2＜α＜π， ∴sin α＞0，cos α＜0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169，∴sin α－cos α＝43.(2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α) ＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－718＝－2227.正弦函数的图象与性质(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．函数y ＝sin|x |的图象是( )B [∵函数y ＝sin|x |是偶函数，且x ≥0时，sin|x |＝sin x ．故应选B.] 2．函数y ＝9－sin x 的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z ) C.[]2k π，2k π＋π(k ∈Z ) D.[]2k π－π，2k π(k ∈Z )B [y ＝9－sin x 的单调递增区间与y ＝sin x 的单调递减区间相同．]3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0B ．1C ．－1D ．2B [把x ＝π2代入y ＝sin x 得y ＝sin π2＝1，∴m ＝1.]4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°C [∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin 80°，而y ＝sin x 在[0°，90°]上递增， ∴sin 11°<sin 168°<cos 10°，故选C.] 5．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫4π3，5π3D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π C [画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下：。
高中数学人教B版必修四学业分层测评 第二章 平面向量 学业分层测评21 Word版含答案
学业分层测评(二十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知|b|＝3，a 在b 方向上的投影是23，则a·b 为( ) A.13B.43C.3D.2【解析】 由数量积的几何意义知a·b ＝23×3＝2，故选D.【答案】 D2.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则a 与b 的夹角θ为( )【导学号：72010065】A.π6B.2π3C.π3D.5π6【解析】 ∵|2a ＋b |2＝4＋9＋4a ·b ＝7，∴a ·b ＝－32，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.【答案】 B3.设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2，b ＝－3e 1＋4e 2，则a·b 等于( )A.－2B.－1C.1D.2【解析】 因为|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，所以a·b ＝(3e 1＋2e 2)·(－3e 1＋4e 2)＝－9|e 1|2＋8|e 2|2＋6e 1·e 2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.【答案】 B4.若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，且(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则a 的模为( )A.2B.4C.6D.12【解析】 ∵(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2＝|a |2－2|a |－96＝－72，∴|a |2－2|a |－24＝0，∴|a |＝6.【答案】 C5.已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，则|a －c |的最小值为( )A.1B.12C.34D.32 【解析】 ∵|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，∴a 与c 的夹角为60°.又|a －c |＝a 2－2a ·c ＋c 2 ＝1－|c |＋|c |2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|c |－122＋34，故|a －c |的最小值取32.【答案】 D二、填空题6.已知a ⊥b ，|a|＝2，|b|＝1，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于________.【解析】 ∵(3a ＋2b )⊥(λa －b )，∴(λa －b )·(3a ＋2b )＝0，∴3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝0.又∵|a|＝2，|b|＝1，a ⊥b ，∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos 90°－2＝0，∴12λ－2＝0，∴λ＝16.【答案】 167.已知|a |＝|b |＝|c |＝1，且满足3a ＋m b ＋7c ＝0，其中a 与b 的夹角为60°，则实数m ＝________.【解析】 ∵3a ＋m b ＋7c ＝0，∴3a ＋m b ＝－7c ，∴(3a ＋m b )2＝(－7c )2，化简得9＋m 2＋6m a ·b ＝49.又a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，∴m 2＋3m －40＝0，解得m ＝5或m ＝－8.【答案】 5或－8三、解答题8.已知|a |＝4，|b |＝2.(1)若a 、b 的夹角为120°，求|3a －4b |；(2)若|a ＋b |＝23，求a 与b 的夹角θ.【解】 (1)a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.又|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，∴|3a －4b |＝419.(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝42＋2a ·b ＋22＝(23)2，∴a ·b ＝－4，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－44×2＝－12. 又 θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.9.在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，试判断△ABC 的形状.【解】 如图，a ＋b ＋c ＝0.则a ＋b ＝－c ，即(a ＋b )2＝(－c )2，故a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2.①同理，a 2＋2a ·c ＋c 2＝b 2, ②b 2＋2b ·c ＋c 2＝a 2. ③由①－②，得b 2－c 2＝c 2－b 2，即2b 2＝2c 2，故|b |＝|c |.同理，由①－③，得|a |＝|c |.故|a |＝|b |＝|c |，故△ABC 为等边三角形.[能力提升]1.(2016·玉溪高一检测)已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 【解析】 因为Δ＝a 2－4|a |·|b |cos θ(θ为向量a 与b 夹角).若方程有实根，则有Δ≥0即a 2－4|a |·|b |cos θ≥0，又|a |＝2|b |，∴4|b |2－8|b |2cos θ≥0，∴cos θ≤12，又0≤θ≤π，∴π3≤θ≤π.【答案】 B2.已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角.【解】 ∵e 1，e 2为单位向量且夹角为60°，∴e 1·e 2＝1×1×cos 60°＝12.∵a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－12＋1＝－32，|a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2 ＝1＋2×12＋1＝3，|b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2 ＝1＋4－4×12＝3，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－32×13×3＝－12.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，∴a与b的夹角为120°.。
2017-2018学年人教B版高中数学必修四全册课时跟踪检测含解析
2017-2018学年人教B版高中数学必修四全册课时跟踪检测目录课时跟踪检测（一）角的概念的推广 (1)课时跟踪检测（二）弧度制和弧度制与角度制的换算 (4)课时跟踪检测（三）三角函数的定义 (8)课时跟踪检测（五）同角三角函数的基本关系式 (13)课时跟踪检测（六）诱导公式（一、二、三） (17)课时跟踪检测（七）诱导公式（四） (22)课时跟踪检测（八）正弦函数的图象与性质 (27)课时跟踪检测（九）正弦型函数y= Asin (ωx+φ） (32)课时跟踪检测（十）余弦函数的图象与性质 (37)课时跟踪检测（十一）正切函数的图象与性质 (42)课时跟踪检测（十二）已知三角函数值求角 (47)课时跟踪检测（十三）向量的概念 (51)课时跟踪检测（十四）向量的加法 (56)课时跟踪检测（十五）向量的减法数乘向量 (60)课时跟踪检测（十六）向量共线的条件与轴上向量坐标运算 (65)课时跟踪检测（十七）平面向量基本定理 (70)课时跟踪检测（十八）向量的正交分解与向量的直角坐标运算 (75)课时跟踪检测（十九）用平面向量坐标表示向量共线条件 (80)课时跟踪检测（二十）向量数量积的物理背景与定义向量数量积的运算律84 课时跟踪检测（二十一）向量数量积的坐标运算与度量公式 (89)课时跟踪检测（二十二）向量在几何中的应用向量在物理上的应用 (94)课时跟踪检测（二十三）两角和与差的余弦 (99)课时跟踪检测（二十四）两角和与差的正弦 (104)课时跟踪检测（二十五）两角和与差的正切 (109)课时跟踪检测（二十六）倍角公式 (115)课时跟踪检测（二十七）半角的正弦、余弦和正切 (121)课时跟踪检测（二十八）三角函数的积化和差与和差化积 (126)阶段质量检测（一）基本初等函数（Ⅱ） (131)阶段质量检测（二）平面向量 (139)课时跟踪检测（一）角的概念的推广层级一学业水平达标1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D 是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°； ②钝角一定大于锐角；③射线OA 绕端点O 按逆时针旋转一周所成的角是0°； ④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确． ②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA 按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确． 答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________. 解析：5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z. 又∵180°<α<360°，∴α＝270°. 答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________． 解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k ·360°，k ∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216° －144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角： (1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z}，回答下列问题： (1)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (2)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k ·90°<360°，则－133<k <113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)∵集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.层级二应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选D①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝()A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z解析：选B角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是() A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k ∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．课时跟踪检测（二）弧度制和弧度制与角度制的换算层级一学业水平达标1．把50°化为弧度为()A．50 B. 5π18C. 185π D.9 000π解析：选B50°＝50×π180＝5π18.2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是() A．16πB．32πC．16 D．32解析：选C弧长l＝2r,4r＝16，r＝4，得l＝8，即S ＝12lr ＝16.3．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A. 143π B ．－143π C. 718π D ．－718π解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π. 5．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋2k π，k ∈Z解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋k π，k ∈Z .6．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________． 解析：－135°＝－135×π180＝－34π，113π＝113×180°＝660°. 答案：－34π 660°7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________． 解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.答案：π8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k (k ∈Z)．解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－10π＋5π12，是第一象限角．(2)－60°＋360°·k ＝－π180×60＋2π·k ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，是第四象限角． 层级二 应试能力达标1．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故C 错误． 2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z. ∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A. π3 B.2π3C. 3D ．2解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR＝ 3. 5．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π106．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________． 解析：设原来圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则l ＝αr .设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝l 3r ＝αr 3r ＝α3，故α1α＝13.答案：137．已知α＝1 690°，(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π. 解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积． 解：(1)因为120°＝120180π＝23π，所以l ＝α·r ＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.(2)因为S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12AB ·OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.所以弓形的面积为S 扇形AOB －S △OAB ＝12π－9 3.课时跟踪检测（三） 三角函数的定义层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点P 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，32 B. ⎝⎛⎭⎫－12，32 C. ⎝⎛⎭⎫－32，12 D.⎝⎛⎭⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x ＝－12，y ＝1－⎝⎛⎭⎫－122＝32，∴P ⎝⎛⎭⎫－12，32. 2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α等于( )A．1 B．－1C.22D．－22解析：选C∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝12＋(－1)2＝2，∴cos α＝xr＝12＝22.3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都可能解析：选B∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)，∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．4．代数式sin 120°cos 210°的值为()A．－34 B.34C．－32 D.14解析：选A利用三角函数定义易得sin 120°＝32，cos 210°＝－32，∴sin 120°cos 210°＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34，故选A.5．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于()A．±15B．±55C．±255D．±12解析：选C在α的终边上任取一点(－1,2)，则r＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝25＝255.或者取P(1，－2)，则r＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝－25＝－255.6．计算：tan π6＝________，cscπ6＝________.解析：∵α＝π6，在α的终边上取一点P(3a，a)，∴r＝2a.∴tan π6＝33，cscπ6＝2.答案：33 27．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________.解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝25＋a 2＝13.∴sin α＝－1213，cos α＝513.∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 答案：09．已知角θ终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m (m ≠0)，试求cos θ与tan θ的值． 解：点P (－3，m )到坐标原点O 的距离r ＝3＋m 2，由三角函数的定义，得sin θ＝yr ＝m 3＋m 2＝24m ，解得m ＝±5.∴r ＝2 2.当m ＝5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1， 即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1，解得x 1＝22或x 2＝－22.∴cos α＝22或cos α＝－22，∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0， 即－2<a ≤3.2．设a <0，角α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( ) A. 25 B ．－25C. 15D ．－15解析：选A ∵点P 在圆x 2＋y 2＝1上，则|OP |＝1. 即(－3a )2＋(4a )2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15.∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45. ∴sin α＝－45，cos α＝35.∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋(－6)2＝m 2＋36，故cos α＝m m 2＋36＝－45，解得m ＝－8.5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.答案：－86．设0≤θ＜2π，若sin θ＜0且cos 2θ＜0，则θ的取值范围是________． 解析：因为0≤θ＜2π且sin θ＜0，所以π＜θ＜2π.又cos 2θ＜0，所以2k π＋π2＜2θ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，所以k π＋π4＜θ＜k π＋3π4，k ∈Z.因为π＜θ＜2π，所以k ＝1，即θ的取值范围是5π4＜θ＜7π4. 答案：⎝⎛⎭⎫5π4，7π47．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2＋log 12x ＋tan x ；(2)f (x )＝cos x .解：(1)由题意得⎩⎨⎧2＋log 12x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，x ≠k π＋π2(k ∈Z ). 解得0<x <π2或π2<x ≤4，所以原函数的定义域为⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，4. (2)若使函数有意义，则需满足cos x ≥0， 即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z.∴函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限．(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1， 得m ＝±45.又α为第四象限角，故m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.课时跟踪检测（五） 同角三角函数的基本关系式层级一 学业水平达标1．(福建高考)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A. 125 B ．－125C.512D ．－512解析：选D 因为sin α＝－513，且α为第四象限角， 所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角， ∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．下列四个结论中可能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．A ．－35B ．－15C. 15D. 35解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝35，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：选B 将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcos α＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由已知得θ是第三象限角， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－222＝－22.答案：－227．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40° ＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°. 答案：cos 40°－sin 40°8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________.解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13.答案：－139．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)sin θ－cos θtan θ－1.解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ.10．已知sin α＋cos α＝33，求tan α＋1tan α及sin α－cos α的值． 解：将sin α＋cos α＝33两边平方，得sin αcos α＝－13. ∴tan α＋1tan α＝1sin αcos α＝－3， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53，∴sin α－cos α＝±153. 层级二 应试能力达标1．已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55B.55C.255 D ．－255解析：选A ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α<0. 由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 2．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α·(1－cos α)＝(1＋cos α)sin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )C. 13 D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 4．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A. 34 B ．±310C. 310D ．－310解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ， 即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3， ∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 5．已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝________.解析：因为π<α<5π4，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线，知cos α<sin α，所以cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2×18＝－32.答案：－326．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z)的值为________． 解析：∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1； 当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1， ∴sin n α＋cos n α＝1. 答案：17．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求tan α的值；(2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值．解：(1)由tan 2α1＋2tan α＝13，得3tan 2α－2tan α－1＝0， 即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0， 解得tan α＝－13或tan α＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13.(2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎫－13＝516.8．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.证明：左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边．所以原等式成立．课时跟踪检测（六） 诱导公式（一、二、三）层级一 学业水平达标1．sin 600°的值是( ) A. 12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A. 12 B ．－12C ．－32D.32解析：选B 由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C.55D.255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝( ) A. 13 B ．－13C. 233D ．－233解析：选B tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫－π3＋α ＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＋α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－13. 5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α＋3π)＋cos (π＋α)sin (－α)－cos (π＋α)的值等于( )A. m ＋1m －1B.m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan [4π＋(π＋α)] ＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m ，∴原式＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A. 6．求值：(1)cos 29π6＝______；(2)tan(－855°)＝______. 解析：(1)cos29π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. 答案：(1)－32(2)1 7．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________． 解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2558．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213， 所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 答案：12139．求下列各三角函数值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3；(2)cos 23π6；(3)tan 37π6. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋4π3＝sin 4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32. (2)cos 23π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32.10．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．解：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53， 故sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝52. 层级二 应试能力达标1．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A. 45 B ．－45C ．±45D. 35解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝35.∵α是第一象限角，∴sin α>0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.2．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 015)＝5，则f (2 016)等于( ) A ．4 B ．3 C ．－5D ．5解析：选C ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.3．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．sin α＝－sin β解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y 轴对称， ∴α＋β＝π＋2k π或α＋β＝－π＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π－β或α＝2k π－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则sin α＝sin β＝yr .4．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6； ⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3. 其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C ①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 5．化简：cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－26．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ， x <0，f (x －1)－1， x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52. 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案：－2 7．计算与化简(1)tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ)；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°) ＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.8．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值．解：由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22， 所以tan θ＝2＋224＋22＝22，故原式＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222 ＝2＋22.课时跟踪检测（七） 诱导公式（四）层级一 学业水平达标1．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A. 15 B ．－15C ．－265D.265解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33B.33C ．－ 3 D. 3解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3. 4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D. 23解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A2解析：选D ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错． ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2， ∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 错． ∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 正确． 6．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：07．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725. 答案：－7258．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＝－sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·(－sin α) ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．已知sin(π＋α)＝－13.求：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13， 求值：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin (π＋α).解：原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α. 又cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13.所以原式＝－2sin α＝23.层级二 应试能力达标1．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( ) A ．－23mB ．－32mC. 23m D. 32m 解析：选B ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ， 即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m2，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 2．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin x B ．f (2π－x )＝sin x C ．f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x D ．f (π－x )＝－f (x )解析：选C f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ； f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ； f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ； f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )，故选C.3．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A. 355 B. 377C. 31010D. 13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.∴tan α＝3，又tan α＝sin αcos α，∴9＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α，∴sin 2α＝910，∵α为锐角，∴sin α＝31010，选C. 4．已知cos(60°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( )A ．－223B. 223 C ．－23D. 23解析：选A 由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝13>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos 2(60°＋α)＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223. 5．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝________. 解析：原式＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin (45°－θ)cos (45°－θ)＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin[90°－(45°＋θ)]cos[90°－(45°＋θ)]＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)cos (45°＋θ)sin (45°＋θ)＝1.答案：16．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________． 解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44， x ∈N)，∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 答案：9127．已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， 求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三象限的角， 所以cos α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265. 所以f (α)＝265.。
2020-2021数学第四册课时11.2平面的基本事实与推论含解析
2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册课时分层作业：11.2平面的基本事实与推论含解析课时分层作业（十五）平面的基本事实与推论(建议用时：40分钟)一、选择题1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定3个平面．其中正确的序号是()A．①B．①④C．②③D．③④A[因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上,所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3,所以④不正确．］2.下图中正确表示两个相交平面的是()A B C DD[A中没有画出相交平面的交线，且不可见的线没有画成虚线；B中不可见的线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画;D 中交线及实、虚线均正确．故选D．］3．若一直线a在平面α内，则正确的作图是()A［a⊂α用图示表示应为A，B选项画法错误，C选项a∥α，D选项a与α相交．］4．如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面（) A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点D[由基本事实3可知,两个不重合平面有一个公共点，它们有且只有一条过该公共点的公共直线，则有无数个公共点．］5.如图，平面α∩平面β＝l，A,B∈α，C∈β，C∉l,直线AB∩l ＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(）A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点DD[根据基本事实3判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D．]二、填空题6．设平面α与平面β相交于l,直线a⊂α,直线b⊂β，a∩b＝M,则M________l。
∈［因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l。
高中数学人教B版必修四分层测评 第一章 基本初等函数(Ⅱ) 分层测评6 Word版含答案
学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·包头高一月考)sin 25π6的值为( ) A.12 B.22 C.－12D.－32【解析】 sin 25π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6＝sin π6＝12，故选A.【答案】 A2.给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】 ①sin(－1 000°)＝sin(－360°×3＋80°)＝sin 80°>0； ②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4＝22>0；③∵π2<2<π，∴tan 2<0.【答案】 B3.记cos(－80°)＝k ，那么tan 440°＝( ) A.1－k 2k B.－1－k 2k C.k1－k2 D.－k 1－k2 【解析】 ∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，tan440°＝tan(360°＋80°)＝tan 80°＝sin 80°cos 80°＝1－k 2k ，故选A.【答案】 A4.(2016·潍坊高一检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－α＝a ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝( )A.aB.－aC.±aD.不确定【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝2π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝－a .故选B.【答案】 B5.1－2sin (2π＋2)cos (2π－2)＝( ) A.sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2 C.±(sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2【解析】 原式＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|.而sin 2＞cos 2，故应选A.【答案】 A 二、填空题6.cos 1 110°的值为________.【解析】 cos 1 110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. 【答案】 327.若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________. 【解析】 由三角函数定义知，tan 420°＝－a 4，又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝3，∴－a4＝3，∴a ＝－4 3. 【答案】 －4 38.(2015·北京高一检测)化简：cos (2π＋α)sin (4π－α)tan (－α－2π)cos 2(－α)＝________.【解析】 原式＝cos αsin (－α)tan (－α)cos 2α＝cos αsin (－α)－tan αcos 2α＝cos α(－sin α)－sin αcos α·cos 2α＝1.【答案】 1 二、解答题 9.求下列各式的值：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π. 【解】 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 125π·tan 0＝sin π6＋0＝12.10.化简：sin 2(α－2π)cos (2π＋α)cot (－α－2π)tan (2π－α)cos 3(－α－4π).【解】 原式＝sin 2α·cos α·cot (－α)tan (－α)cos 3(－α)＝sin 2αcos α·cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin αcos α·cos 3α·sin (－α) ＝sin 2α·cos 2αsin 2α·cos 2α＝1.[能力提升]1.设f (α)＝2sin (2π－α)cos (2π＋α)－cos (－α)1＋sin 2α＋sin (2π＋α)－cos 2(4π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π的值为( ) A.33 B.－33 C.3 D.－ 3【解析】 f (α)＝2sin (－α)cos α－cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝－cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝－1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π＝－1tan π6＝－ 3. 【答案】 D2.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＋α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值为( )A.59 B.119 C.－59D.－119【解析】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝1－19＝89，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π＋α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13＋89＝119.【答案】 B3.设f (x )＝⎩⎨⎧sin πx ，x ＜0，f (x －1)＋1，x ≥0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ＜12，g (x －1)＋1，x ≥12，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝________.【解析】 原式＝cos π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋1＝22＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋3＝22－32＋32－22＋3＝3. 【答案】 34.设函数f (x )＝a sin(πx ＋a )－b cos(πx －b )＋c tan(πx ＋c )，其中a ，b ，c ∈R 且abc ≠0，且有f (2 012)＝－1，求f (2 016)的值.【解】 f (2 012)＝a sin(2 012π＋a )－b cos(2 012π－b )＋c tan(2 012π＋c ) ＝a sin a －b cos b ＋c tan c ，而f (2 016)＝a sin(2 016π＋a )－b cos(2 016π－b )＋c tan(2 016π＋c ) ＝a sin a －b cos b ＋c tan c ， ∴f (2 016)＝f (2 012)＝－1.。
2021年新教材高中数学11.3.3平面与平面平行课时分层作业含解析人教B版必修四
课时分层作业(十八) 平面与平面平行(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下说法：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3B[把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B．]2．α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )A．α，β都平行于直线l，mB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥βD[A、B、C中都有可能使两个平面相交；D中l∥α，m∥α，可在α内取一点，过该点作l，m的平行线l′，m′，则l′，m′在平面α内且相交，又易知l′∥β，m′∥β，∴α∥β.]3．下列说法中，错误的是( )A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行C[分别在两个平行平面内的直线，可能平行，也可能异面．]4．设a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列命题中不正确的是( )A．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥bB．a∥b，b∥α，a⊄α⇒a∥αC．α∥β，β∥γ⇒α∥γD．α∥β，a∥α⇒a∥βD[当α∥β且a∥α时，可能有a⊂β，也可能有a∥β，因此选项D中的命题不正确．]5．能够判断两个平面α，β平行的条件是( )A ．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行B ．夹在两个平面间的线段相等C ．平面α内的无数条直线与平面β无公共点D ．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等D [平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α、β无公共点．] 二、填空题6．如图所示，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于点A ′，B ′，C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′S △ABC＝________.425[∵平面α∥平面ABC ，平面PAB ∩平面α＝A ′B ′，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，∴A ′B ′∥AB ；同理，B ′C ′∥BC ，A ′C ′∥AC ．从而△ABC ∽△A ′B ′C ′.∵PA ′∶AA ′＝2∶3，即PA ′∶PA ＝2∶5，∴A ′B ′∶AB ＝2∶5，∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝4∶25.]7．a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题： ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c α∥c ⇒a ∥α；⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α，其中正确的命题是________．(填序号)①④ [①是平行公理，正确；②中a ，b 还可能异面或相交；③中α，β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能a ⊂α；⑥也是忽略了a ⊂α的情形．]8．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F ，G ，H 分别为P 3A ，P 2D ，P 4C ，P 4B 的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH ∥平面ABCD ；②PA ∥平面BDG ；③EF ∥平面PBC ；④FH ∥平面BDG ；⑤EF ∥平面BDG .其中正确结论的序号是________．①②③④ [先把平面展开图还原为一个四棱锥，再根据直线与平面、平面与平面平行的判定定理判断即可．]三、解答题9．如图，E ，F 分别是三棱柱ABC A 1B 1C 1的棱AC ，A 1C 1的中点，证明：平面AB 1F ∥平面BC 1E .[证明] 由于四边形ACC 1A 1是平行四边形，所以FC 1∥AE ，且AC ＝A 1C 1，由于E ，F 分别是AC ，A 1C 1的中点，所以AE ＝AC 2＝12A 1C 1＝FC 1，所以四边形AEC 1F 是平行四边形，所以AF ∥EC 1，而EC 1在平面BC 1E 上，所以AF ∥平面BC 1E ，连接EF ，则由A 1F ＝12A 1C 1＝AC2＝AE ，且A 1F ∥AE得四边形AEFA 1是平行四边形，有EF AA 1，又在平行四边形ABB 1A 1中有AA 1BB 1，所以EFBB 1，则四边形EFB 1B 是平行四边形，有FB 1∥BE ，而BE 在平面BC 1E 上，所以FB 1∥平面BC 1E ， 因为AF ，FB 1是平面AB 1F 上的两条相交直线，所以由AF ∥平面BC 1E ，FB 1∥平面BC 1E ，可得平面AB 1F ∥平面BC 1E .10．如图，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，平面A 1DCE 与B 1B 交于点E .求证：EC ∥A 1D ．[证明] 因为BE ∥AA 1，AA 1⊂平面AA 1D ，BE ⊄平面AA 1D ，所以BE ∥平面AA 1D ． 因为BC ∥AD ，AD ⊂平面AA 1D ，BC ⊄平面AA 1D ，所以BC∥平面AA1D．又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D．又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D．11．如图，各棱长均为1的正三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为线段A1B，B1C上的动点，且MN∥平面ACC1A1，则这样的MN有( )A．1条B．2条C．3条D．无数条D[如图，过M作MQ∥AA1，交AB于点Q，过Q作QH∥AC，交BC于点H，过点H作NH∥BB1，交B1C于点N.因为BB1∥AA1，所以NH∥MQ，则平面MQHN∥平面ACC1A1，则MN∥平面ACC1A1.因为M为线段A1B上的动点，所以这样的MN有无数条，故选D．]12．(多选题)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αCD[对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．故选项A不是α∥β的充分条件；对于选项B，若存在一条直线a，a⊂α，a∥β，则α∥β或α与β相交，故选项B不是α∥β的充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面内，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 是α∥β的一个充分条件．故选CD ．]13．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：①BM ∥平面ADE ； ②CN ∥平面ABF ； ③平面BDM ∥平面AFN ； ④平面BDE ∥平面NCF .其中正确结论的序号是________．①②③④ [将展开图还原成如图1所示的正方体．图1 图2如图2，在正方体中，∵BM ∥AN ，∴BM ∥平面ADE ，同理可证CN ∥平面ABF ，∴①②正确．易知BM ∥平面AFN ，BD ∥平面AFN ，∴平面BDM ∥平面AFN ，同理可证平面BDE ∥平面NCF ，所以③④正确．]14．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝22，点E 为A 1D 1的中点，点F 在C 1D 1上，若EF ∥平面AB 1C ，则EF ＝________.2 [连接A 1C 1(图略)．设平面AB 1C ∩平面A 1C 1＝m . ∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面A 1C 1，∴EF ∥m .又平面A 1C 1∥平面AC ，平面AB 1C ∩平面A 1C 1＝m ，平面AB 1C ∩平面AC ＝AC ，∴m ∥AC ，∴EF ∥AC ．又A 1C 1∥AC ，∴EF ∥A 1C 1.∵E 为A 1D 1的中点，∴EF ＝12A 1C 1＝2.]15．如图所示，斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值．[解] (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1.连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点，所以OD 1∥BC 1. 又因为OD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1. 所以当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. (2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O 得BC 1∥D 1O ，所以A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB， 又由题(1)可知A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，A 1O OB ＝1，所以DCAD＝1， 即ADDC＝1.。
2019_2020学年高中数学课时分层作业18平面向量基本定理(含解析)新人教B版必修4
课时分层作业(十八) 平面向量基本定理(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2B [B 项中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)与(3e 1－4e 2)共线， ∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底．] 2．如图，向量a －b 等于( )A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2C [不妨令a ＝CA →，b ＝CB →， 则a －b ＝CA →－CB →＝BA →，由平行四边形法则可知BA →＝e 1－3e 2.]3．如图所示，矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2＋5e 1) D.12(5e 2－3e 1) A [OC →＝12AC →＝12(BC →＋AB →)＝12(BC →＋DC →)＝12(5e 1＋3e 2)．] 4．若D 点在△ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )A.165B.125C.85D.45C [∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝125－45＝85.]5．已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，边AB 的中点为D ，若2PD →＝(1－λ)PA →＋CB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．AB 边所在的直线上 B ．BC 边所在的直线上 C ．AC 边所在的直线上D ．△ABC 的内部C [由2PD →＝(1－λ)PA →＋CB →得 2(PA →＋AD →)＝PA →－λPA →＋CB →， 2PA →＋2AD →＝PA →－λPA →＋CB →， PA →＋2AD →－CB →＝－λPA →.∵边AB 的中点为D ， ∴PC →＝－λPA →， ∴P 在直线AC 上．] 二、填空题6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________(用b ，c 表示) 23b ＋13c [AD →＝AB →＋BD →，又BD →＝2DC →， ∴BD →＝23BC →.∵BC →＝AC →－AB →＝b －c ，∴AD →＝AB →＋23BC →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .]7．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________.23a －13b [因为a ＝e 1＋2e 2①， b ＝－e 1＋e 2②，显然a 与b 不共线， ①＋②得a ＋b ＝3e 2， 所以e 2＝a ＋b3代入②得e 1＝e 2－b ＝a ＋b 3－b ＝13a －23b ，故有e 1＋e 2＝13a －23b ＋13a ＋13b ＝23a －13b .]8.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →用AB →与AD →可表示为EF →＝________.12AB →－23AD → [EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD →.]三、解答题9．如图，在平行四边形OPQR 中，S 是对角线的交点，若OP →＝2e 1，OR →＝3e 2，以e 1，e 2为基底，表示PS →与QS →.[解] 平行四边形OPQR 中，OQ →＝OP →＋OR →＝2e 1＋3e 2， PR →＝OR →－OP →＝3e 2－2e 1.S 是OQ 、PR 的中点，∴PS →＝12PR ＝32e 2－e 1，QS →＝－12OQ →＝－e 1－32e 2.10．如图所示，在ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，BF 与DE 交于点G ，设AB →＝a ，AD →＝b .(1)用a ，b 表示DE →；(2)试用向量方法证明：A ，G ，C 三点共线． [解] (1)DE →＝AE →－AD →＝AB →＋BE →－AD →＝a ＋12b －b ＝a －12b.(2)证明：连接AC ，BD 交于O (图略)，则CO →＝12CA →，∵E ，F 分别是BC ，DC 的中点，∴G 是△CBD 的重心， ∴GO →＝13CO →＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AC →＝－16AC →，又C 为公共点，∴A ，G ，C 三点共线．[等级过关练]1.如图，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a 、b 表示AG →＝( )A.14a ＋14b B.13a ＋13b C.34a －14b D.34a ＋34b D [易知CF →＝12CD →，CE →＝12CB →.设CG →＝λCA →，则由平行四边形法则可得CG →＝λ(CB →＋CD →)＝2λCE →＋2λCF →，由于E ，G ，F 三点共线，则2λ＋2λ＝1，即λ＝14，从而CG →＝14CA →，从而AG →＝34AC →＝34(a ＋b )．]2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA→＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为△ABC 的( )A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点B [如图，设AB 的中点为M ，则OM →＝12OA →＋12OB →，又OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)，∴13MP →＝23PC →， 即MP →＝2PC →，∴P 、M 、C 、O 四点共线，且点P 为CM 的三等分点． 又CM 为△ABC 中AB 边上的中线，点O 为△ABC 的重心． ∴点P 为AB 边中线的三等分点(非重心)．]3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →等于________(用a 、b 表示)．13a ＋b [由题知DF AB ＝DE EB ＝13，则DF ＝13AB ，所以AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →＝13a ＋b .] 4．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．2 [AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1， ∴m ＋n ＝2.]5．已知单位圆O 上的两点A ，B 及单位圆所在平面上的一点P ，OA →与OB →不共线． (1)在△OAB 中，点P 在AB 上，且AP →＝2PB →，若AP →＝rOB →＋sOA →，求r ＋s 的值．(2)如图，点P 满足OP →＝mOA →＋OB →(m 为常数)，若四边形OABP 为平行四边形，求m 的值．[解] (1)因为AP →＝2PB →，所以AP →＝23AB →，所以AP →＝23(OB →－OA →)＝23OB →－23OA →，又因为AP →＝rOB →＋sOA →，所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s 的值为0.(2)因为四边形OABP 为平行四边形， 所以OB →＝OP →＋OA →， 又因为OP →＝mOA →＋OB →， 所以OB →＝OB →＋(m ＋1)OA →，依题意OA →，OB →是非零向量且不共线， 所以m ＋1＝0，解得m ＝－1.。
最新人教版高中数学必修四课时跟踪测试题(全册 共24课时 附解析 共122页)
最新人教版高中数学必修四课时跟踪测试（全册共24课时附解析共122页）课时跟踪检测（一）任意角层级一学业水平达标1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216°－144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k ·90°<360°，则－133<k <113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k ·360°，k ∈Z.层级二 应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ①－15°是第四象限角； ②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角； ④－350°＝－360°＋10°是第一象限角， 所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( ) A ．120°＋k ·360°，k ∈Z B ．120°＋k ·180°，k ∈Z C ．240°＋k ·360°，k ∈Z D ．240°＋k ·180°，k ∈Z解析：选B 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，则α＝120°＋k ·180°，k ∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( ) A ．x 轴的非负半轴上 B ．x 轴的非正半轴上 C ．y 轴的非负半轴上 D ．y 轴的非正半轴上解析：选A ∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ， ∴α－β＝k ·360°，k ∈Z ， ∴其终边在x 轴的非负半轴上．4．设集合M ＝{α|α＝45°＋k ·90°，k ∈Z}，N ＝{α|α＝90°＋k ·45°，k ∈Z}，则集合M 与N 的关系是( )A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．课时跟踪检测（二） 弧 度 制层级一 学业水平达标1．把50°化为弧度为( ) A ．50 B ．5π18 C ．185πD ．9 000π解析：选B 50°＝50×π180＝5π18. 2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( ) A ．16π B ．32π C ．16D ．32解析：选C 弧长l ＝2r,4r ＝16，r ＝4，得l ＝8， 即S ＝12lr ＝16.3．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A ．143πB ．－143π C ．718πD ．－718π解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π4＋2k π，k ∈Z解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π4＋k π，k ∈Z .6．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________． 解析：－135°＝－135×π180＝－34π， 113π＝113×180°＝660°. 答案：－34π 660°7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________． 解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.答案：π8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k (k ∈Z)． 解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－10π＋5π12，是第一象限角． (2)－60°＋360°·k ＝－π180×60＋2π·k ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，是第四象限角．层级二 应试能力达标1．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD ．π12化成度是15°解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故C 错误． 2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C. 3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z. ∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A ．π3B ．2π3C ． 3D ．2解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR ＝ 3.5．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π106．已知一扇形的圆心角为π3rad ，半径为R ，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．解析：设扇形内切圆的半径为r ， ∵扇形的圆心角为π3，半径为R ，∴S 扇形＝12×π3R 2＝π6R 2.∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上， ∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴r ＝R3.∵S 内切圆＝πr 2＝π9R 2，∴S 内切圆∶S 扇形＝π9R 2∶π6R 2＝2∶3.答案：2∶37．已知α＝1 690°，(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)． 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π. 解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积． 解：(1)因为120°＝120180π＝23π，所以l ＝α·r ＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.(2)因为S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点， 于是有S △OAB ＝12AB ·OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.所以弓形的面积为S 扇形AOB －S △OAB ＝12π－9 3.课时跟踪检测（三） 三角函数的定义与公式一层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫12，32 B ．⎝⎛⎭⎫－12，32 C ．⎝⎛⎭⎫－32，12 D ．⎝⎛⎭⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x ＝－12，y ＝1－⎝⎛⎭⎫－122＝32， ∴P ⎝⎛⎭⎫－12，32.2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋(－1)2＝2，∴cos α＝x r ＝12＝22.3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角． 4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B ．34C ．－32D ．14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴sin 120°cos 210°＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34，故选A.5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝25＝255.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－25 5.6．tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝________.解析：tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 37．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________. 解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝25＋a 2＝13. ∴sin α＝－1213，cos α＝513. ∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0. 综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：09．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4. 解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3， ∴tan 19π3＝tan ⎝⎛⎭⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3. (3)∵－31π4＝－4×2π＋π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. 10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1， 即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. ∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝⎛⎭⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝⎛⎭⎫－π4>0； ∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋(－6)2＝m 2＋36，故cos α＝m m 2＋36＝－45，解得m ＝－8.5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y 42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.答案：－86．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________. 解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋ cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30° ＝1－1＋32＝32. 答案：327．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4.解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角， ∴sin 340°<0，cos 265°<0， ∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角．∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限．(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1， 得m ＝±45.又α为第四象限角，故m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.课时跟踪检测（四） 三角函数线层级一 学业水平达标1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上．3．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM解析：选D ∵7π8是第二象限角，∴sin7π8>0，cos 7π8<0， ∴MP >0，OM <0， ∴MP >0>OM .4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、第四象限的角平分线上 D ．第一、第三象限的角平分线上解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度 为1.答案：17．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_________________________． 解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM .显然MP >OM ，即sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 18．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________． 解析：由图可知sin 3π4＝22，sin3π2＝－1，22>sin θ>－1， 即sin θ∈⎝⎛⎭⎫－1，22. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，22 9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)5π6；(2)－2π3. 解：(1)因为5π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以作出5π6角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，则有向线段MP ＝sin5π6，有向线段OM＝cos5π6，设过A (1,0)垂直于x 轴的直线交OP 的反向延长线于T ，则有向线段AT ＝tan 5π6.综上所述，图(1)中的有向线段MP ，OM ，AT 分别为5π6角的正弦线、余弦线、正切线． (2)因为－2π3∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，所以在第三象限内作出－2π3角的终边如图(2)所示． 交单位圆于点P ′用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M ′P ′，OM ′，A ′T ′分别为－2π3角的正弦线、余弦线、正切线．10．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg⎝⎛⎭⎫22－sin x . (2)y ＝3tan x － 3.解：(1)为使y ＝lg ⎝⎛⎭⎫22－sin x 有意义，则22－sin x >0，所以sinx <22，所以角x 终边所在区域如图所示， 所以2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z. 所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)为使y ＝3tan x －3有意义，则3tan x －3≥0，所以tan x ≥33， 所以角x 终边所在区域如图所示， 所以k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z ，所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .层级二 应试能力达标1．下列三个命题：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等； ③π4与5π4的余弦线相等． 其中正确命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选Bπ6和5π6的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；π3和4π3两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；π4和5π4的余弦线方向不同．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选D 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cosα＝23，∴α必为钝角．3．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.4．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) A ．⎣⎡⎤－3π4，π4 B ．⎣⎡⎤－π2，π2 C ．⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D ．[0，π]解析：选A 如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－3π4，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立， 则由图可得－3π4≤x ≤π4.5．sin2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________．解析：由图可知： cos6π5<0，tan 2π5>0，sin 2π5>0. ∵|MP |<|AT |， ∴sin2π5<tan 2π5. 故cos6π5<sin 2π5<tan 2π5. 答案：cos6π5<sin 2π5<tan 2π56．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB 区域内，所以α的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π. 答案：⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ<－12；(2)－12≤cos θ<32.解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－5π6 ＋2k π<θ<－π6＋2k π，k ∈Z .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－2π3 ≤θ<2k π－π6 或2k π＋π6<θ≤2k π＋2π3 ，k ∈Z .8．若0<α<π2，证明：sin α<α<tan α.证明：如图所示，连接AP ，设弧AP 的长为l ， ∵S △OAP <S 扇形OAP <S △OAT ， ∴12|OA |·|MP |<12l ·|OA |<12|OA |·|AT |， ∴|MP |<l <|AT |，∴sin α<α<tan α.课时跟踪检测（五） 同角三角函数的基本关系层级一 学业水平达标1．(福建高考)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D 因为sin α＝－513，且α为第四象限角， 所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角， ∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．下列四个结论中可能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝35，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：选B 将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcos α＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由已知得θ是第三象限角， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－222＝－22.答案：－227．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40° ＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°. 答案：cos 40°－sin 40°8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________.解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13.答案：－139．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)sin θ－cos θtan θ－1.解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ.10．已知sin α＋cos α＝33，求tan α＋1tan α及sin α－cos α的值． 解：将sin α＋cos α＝33两边平方，得sin αcos α＝－13. ∴tan α＋1tan α＝1sin αcos α＝－3， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53，∴sin α－cos α＝±153. 层级二 应试能力达标1．已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55B ．55C ．255D ．－255解析：选A ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α<0. 由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 2．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α·(1－cos α)＝(1＋cos α)sin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α.3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 4．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A ．34B ．±310C ．310D ．－310解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ， 即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3， ∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 5．已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝________.解析：因为π<α<5π4，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线，知cos α<sin α，所以cosα－sin α<0，所以cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2×18＝－32.答案：－326．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z)的值为________． 解析：∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1； 当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1， ∴sin n α＋cos n α＝1. 答案：17．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.(1)求tan α的值； (2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值．解：(1)由tan 2α1＋2tan α＝13，得3tan 2α－2tan α－1＝0，即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0， 解得tan α＝－13或tan α＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13. (2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎫－13＝516.8．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.证明：左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边．所以原等式成立．课时跟踪检测（六） 诱导公式（一）层级一 学业水平达标1．sin 600°的值是( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A ．12B ．－12C ．－32D ．32解析：选B 由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C ．55 D ．255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝( ) A ．13B ．－13C ．233D ．－233解析：选B ∵tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝－13. 5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α＋3π)＋cos (π＋α)sin (－α)－cos (π＋α)的值等于( )A ．m ＋1m －1B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan [4π＋(π＋α)]＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m ，∴原式＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A. 6．求值：(1)cos 29π6＝______；(2)tan(－855°)＝______. 解析：(1)cos29π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.答案：(1)－32(2)1 7．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________． 解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2558．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 答案：12139．求下列各三角函数值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3；(2)cos 23π6；(3)tan 37π6. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋4π3＝sin 4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32.(2)cos 23π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. (3)tan 37π6＝tan ⎝⎛⎭⎫6π＋π6＝tan π6＝33. 10．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．解：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53，故sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝52. 层级二 应试能力达标1．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A ．45B ．－45C ．±45D ．35解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝35.∵α是第一象限角，∴sin α>0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.2．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 015)＝5，则f (2 016)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：选C ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.3．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．sin α＝－sin β 解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y 轴对称，∴α＋β＝π＋2k π或α＋β＝－π＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π－β或α＝2k π－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则sin α＝sin β＝yr .4．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3. 其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C ①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 5．化简：cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－26．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ， x <0，f (x －1)－1， x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52.所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案：－2 7．计算与化简(1)tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ)；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.8．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值． 解：由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22， 所以tan θ＝2＋224＋22＝22，故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222＝2＋22.课时跟踪检测（七） 诱导公式（二）层级一 学业水平达标1．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A ．15B ．－15C ．－265D ．265解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．23解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2解析：选D ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错．∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2， ∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 错． ∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 正确． 6．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：07．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725. 答案：－7258．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·(－sin α) ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．已知sin(π＋α)＝－13.求：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α.解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223.。
2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册课时分层作业：11.1.5旋转体 Word版含解析
课时分层作业(十三) 旋转体(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是 ( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A ．①和⑤B ．①C ．③和④D ．①和④D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]2．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．球D ．圆台C [圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，只有球的轴截面是圆面．]3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2πA [设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有h ＝2πr ，所以表面积与侧面积的比为2π(r 2＋rh )∶2πrh ＝(r ＋h )∶h ＝(2π＋1)∶2π.]4．圆台OO ′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO ′的侧面积是( )A ．54πB ．8πC ．4πD ．16πA [S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝π(7＋2)×6＝54π.]5．长方体的体对角线长为52，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．202πB ．252πC ．50πD ．200πC [∵对角线长为52，∴2R ＝52，S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫5222＝50π.] 二、填空题6．若一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的表面积是________．2π＋4π2 [由题意可知，2πr ＝h ＝2π，则r ＝1，所以圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh ＝2π＋4π2.]7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．2∶1 [S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.] 8．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．100π [设圆台的上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r .由母线长为10可知10＝(3r )2＋(4r )2＝5r ，∴r ＝2.故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8.所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.]三、解答题9.如图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD <BC ．当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征．[解] 如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的几何体．10．已知一个表面积为120 cm 2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积．[解] 如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a ，半球的半径为R ，由6a 2＝120，得a 2＝20，在Rt △AOB 中，AB ＝a ，OB ＝22a ， 由勾股定理，得R 2＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝3a 22＝30. 所以半球的表面积为S ＝2πR 2＋πR 2＝3πR 2＝3×30π＝90π(cm 2)．11．(多选题)下列命题中正确的是( )A ．过球面上任意两点只能作球的一个大圆B ．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径C ．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面D ．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面叫做球面BCD [过球的直径的两端点可作无数个大圆，故A 错误；由球及球面的概念可知B 、C 、D 均正确．]12．我国古代数学名著中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺”(注：1丈等于10尺)( )A ．29尺B ．24尺C ．26尺D ．30尺C [由题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，其一条边(圆木的高)长24尺，与其相邻的边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长＝242＋102＝26(尺)．]13．若棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为________．3π [因为棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，所以球的直径是正方体的体对角线，所以球的半径是r ＝32，所以球的表面积是4×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π.] 14．(一题两空)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392，母线所在的直线与轴的夹角是45°，则这个圆台的高为________，母线长为________．14 142 [圆台的轴截面如图所示，由题意可设圆台上、下底面半径分别为x,3x ，延长AA 1交OO 1的延长线于点S .在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，∠SOA ＝90°，∴SO ＝AO ＝3x ，SO 1＝A 1O 1＝x ，∴OO 1＝2x ，∴S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392，∴x ＝7.故圆台的高OO 1＝14，母线长A 1A ＝2OO 1＝14 2.]15．如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的底面半径为3 cm ，圆锥SO 的高为24 cm.(1)试求圆台的母线长l ；(2)若该圆锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长．[解] (1)设圆台的母线长为l ，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r .过轴SO 作截面，如图所示．则△SO′A′∽△SOA，O′A′＝3，∴O′A′OA＝14，∴OA＝12 cm.又SO＝24 cm，∴SA＝122＋242＝125cm.AA′＝34SA＝9 5 cm，即圆台的母线长为95cm.(2)如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，则OC＝22x，∴22x12＝24－x24，解得x＝24(2－1)，∴正方体的棱长为24(2－1)cm.。
2021年新教材高中数学11.3.2直线与平面平行课时分层作业含解析人教B版必修四
课时分层作业(十七) 直线与平面平行(建议用时：40分钟)一、选择题1．在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个B[如图所示，结合图形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D．]2．直线a在平面γ外，则( )A．a∥γB．a与γ至少有一个公共点C．a∩γ＝AD．a与γ至多有一个公共点D[直线a在平面γ外，其包括直线a与平面γ相交或平行两层含义，故a与γ至多有一个公共点．]3．下列说法正确的是( )A．如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面B．如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线C．如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥bD．如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥αD[如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面AB′内，故选项A不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故选项B不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA ′与A ′D ′相交， 所以选项C 不正确；选项D 中，假设b 与α相交，因为a ∥b ， 所以a 与α相交，这与a ∥α矛盾， 故b ∥α，即选项D 正确．故选D ．]4．如图，在四面体ABCD 中，若M 、N 、P 分别为线段AB 、BC 、CD 的中点，则直线BD 与平面MNP 的位置关系为( )A ．平行B ．可能相交C ．相交或BD ⊂平面MNP D ．以上都不对A [因为N 、P 分别为线段BC 、CD 的中点，所以NP ∥BD ，又BD ⊄平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，所以BD ∥平面MNP .]5．如图，在四棱锥P ABCD 中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且MN ∥平面PAD ，则( )A ．MN ∥PDB ．MN ∥PAC ．MN ∥AD D ．以上均有可能B [在四棱锥P ABCD 中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且MN ∥平面PAD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面PAD ＝PA ，由直线与平面平行的性质定理可得：MN ∥PA ．]二、填空题6．如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.223a [连接AC (图略)．由线面平行的性质知MN ∥PQ ∥AC ， 因为AP ＝a 3，所以PQ AC ＝23.又AC ＝2a ，所以PQ ＝223a .]7．如图，ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是其四边上的点且共面，AC ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当EFGH 是菱形时，AEEB＝________.mn[因为AC ∥平面EFGH ，AC ⊂平面ABC ， 平面EFGH ∩平面ABC ＝EF ， 所以AC ∥EF ，同理AC ∥GH .AE EB ＝CF BF ＝FG n －FG ＝m －EF EF，而EF ＝FG . 所以EF ＝mn m ＋n ，所以AE EB ＝m －EF EF ＝mn.] 8.如图，P 为▱ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当PA ∥平面EBF 时，PFFC＝__________.12[连接AC 交BE 于G ，连接FG ，因为PA ∥平面EBF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面BEF ＝FG ，所以PA ∥FG ， 所以PF FC ＝AGGC.又因为AD ∥BC ，E 为AD 的中点， 所以AG GC ＝AE BC ＝12，所以PF FC ＝12.]三、解答题9．简述下列问题的结论，并画图说明：(1)直线a ⊂平面α，直线b ∩a ＝A ，则b 和α的位置关系如何？ (2)直线a ⊂α，直线b ∥a ，则直线b 和α的位置关系如何？ [解] (1)由图①可知：b ⊂α或b ∩α＝A ． (2)由图②可知：b ⊂α或b ∥α.① ②10．如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是AD 1，BD 的中点．(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1； (2)求PQ 的长．[解] (1)如图所示，连接AC ，CD 1，因为ABCD 为正方形，所以AC 与BD 互相平分，又Q 为BD 的中点， 所以Q 为AC 的中点，因为P 为AD 1的中点，所以PQ ∥CD 1， 因为CD 1⊂平面DCC 1D 1，PQ ⊄平面DCC 1D 1，所以PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)由(1)得，PQ 是△ACD 1的中位线， 所以PQ ＝12D 1C ＝22a .11．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，2 D ．[2，3]B [如图所示，分别取棱BB 1，B 1C 1的中点M ，N ，连接MN ，BC 1， ∵M ，N ，E ，F 为所在棱的中点，∴MN ∥BC 1，EF ∥BC 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，∴MN ∥平面AEF . 连接NE .∵AA 1∥NE ，AA 1＝NE ，∴四边形AENA 1为平行四边形，∴A 1N ∥AE ，又A 1N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，∴A 1N ∥平面AEF ， 又A 1N ∩MN ＝N ，∴平面A 1MN ∥平面AEF ， ∵P 是侧面BCC 1B 1内一点，且A 1P ∥平面AEF ， 则P 必在线段MN 上，在Rt△A 1B 1M 中，A 1M ＝A 1B 21＋B 1M 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，同理，在Rt△A 1B 1N 中，求得A 1N ＝52，∴△A 1MN 为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时A 1P ⊥MN ，此时A 1P 最短，P 位于M ，N 处时A 1P 最长，A 1O ＝A 1M 2－OM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝324，A 1M ＝A 1N ＝52，所以线段A 1P 长度的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52 .故选B ．] 12．(多选题)已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形ABCD 的对角线的交点为O ，M 为PB 的中点，下列说法正确的是( )A ．OM ∥平面PCD B ．OM ∥平面PBC C ．OM ∥平面PDAD ．OM ∥平面PBAAC [如图，易得OM ∥PD ，所以OM ∥平面PCD ，OM ∥平面PDA ，故A ，C 正确．由图可知OM 与平面PBC ，OM 与平面PBA 均相交，故B ，D 错误．]13.已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线有________条． 1 [如图所示，∵l ∥平面α，P ∈α，∴直线l 与点P 确定一个平面β，α∩β＝m ， ∴P ∈m ，∴l ∥m 且m 是唯一的．]14．如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，DD 1＝8，E ，F 分别是侧棱AA 1，CC 1上的动点，AE ＋CF ＝8.点P 在棱AA 1上，且AP ＝2，若EF ∥平面PBD ，则CF ＝________.2 [连接AC 交BD 于点O ，连接PO (图略)．因为EF ∥平面PBD ，EF ⊂平面EACF ，平面EACF ∩平面PBD ＝PO ，所以EF ∥PO .在PA 1上截取PQ ＝AP ＝2，连接QC ，则QC ∥PO ，所以EF ∥QC ，所以四边形EFCQ 为平行四边形，则CF ＝EQ .又AE ＋CF ＝8，所以A 1E ＝CF ＝EQ ＝2，故CF ＝2.]15．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝2AB ＝4，E ，F 分别在BC ，AD 上，且EF ∥AB ，现将四边形ABEF 沿EF 折起，使BE ⊥EC ．若BE ＝1，在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出APPD的值；若不存在，请说明理由．[解] 在折叠后的线段AD 上存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF ，此时AP PD ＝32.以下为证明过程：当AP PD ＝32时，AP AD ＝35，过点P 作MP ∥FD 交AF 于点M ，连接EM (图略)， 则有MP FD ＝AP AD ＝35.∵BE ＝1，∴FD ＝5，∴MP ＝3.又EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，∴四边形MPCE 为平行四边形，∴CP ∥ME .又CP ⊄平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，∴CP ∥平面ABEF 成立.。