中职数学第7章《向量》单元检测试题及答案【基础模块下册】
中职数学基础模块下册第七章平面向量单元测试(一)含参考答案
中职数学基础模块下册第七章平面向量单元测试（一）含参考答案一、单项选择题1．下列关于零向量的说法正确的是（ ）A ．零向量的方向是确定的B ．零向量的模等于0C ．零向量与任意向量不平行，D ．零向量表示为02．已知向量→a =(4，1)，则其负向量是（ ）A ．(－4，1)B ．(4，－1)C ．（－4，－1）D ．(－1，－4)3.已知点A(0，4)和点B(3，5)，则→AB ＝（ ）A. (0,4)B. (3,5)C. (4,0)D. (3,1)4．若向量→a =（2，－4），则→a 21=（ ） A ．(1，－2) B ．（－2，1） C ．(4，－8) D.（－8，4）5．化简=+-+-→→→→)2(2b a b a ）（（ ） A ．→a 3 B. →0 C ．0 D ．2→b6．向量→a =(3，4），则→a =（ ）A.. 3 B ．4 C. 5 D ．67.已知→a ＝2，→b =3，<→a ,→b >＝o 60。
，则→a →•b =( ) ．A. 2 B ． －2 C ． 3 D ．－38. 已知→a =（2，3），→b =（－1，5），且2→a －3→b =（ ）A.( 7，9)B.（4，－6）C. (2，5)D.(7，－9)9. 设→a =（－1，3），→b =（n ，2），且→a →⊥b ，则n =（ ）A. 6B. －6 C .32 D . －3210. 设→a =（2，1），→b =（x ，3），且→→b a //，则x =（ ）A.32 B. －23 C .－6 D . 611.已知→a =（－2，5），→b =（m ，13），且2→a －→b =（6，－3），则m =（ ）A. －10 B ． 10 C ．9 D ．－912．下列各对向量中，共线的是（ ）A. →a ＝(1，2)，→b ＝(2，1)B. →a ＝(1，2)，→b ＝(2，4)C ． →a =(2，3)，→b =(3,－2) D. →a =(2，3)，→b =(－3,－2)二、填空题13. →→→+-BD AC AB = 。
职高数学第七章平面向量习题及复习资料
第7章平面向量习题7.1.1练习、填空题1；既有大小，又有）只有大小，没有方向的量叫做1（方向的量叫做；（2）向量的大小叫做向量的，模为零的向量叫做，模为1的向量叫做；（3）方向相同或相反的两个非零向量互相，平行向量又叫，规定：与任何一个向量平行；aba与与向量的模相等，且方向相同时，称向量）当向量（4b；向量aa的模相等，且方向相反的向量叫做向量（5）与非零向量的；2、选择题（1）下列说法正确的是（）A．若0，则0 B．若，则abab，则．若 DC．若，则与∥是平行向量（2）下列命题：ab平②向量与向量①有向线段就是向量，向量就是有向线段；ab的方向相同或相反；③向量与向量共线，则A行，则与、abbcac 四点共线；④如果、、BCD∥，∥.那么∥1 / 8）正确的命题个数为（A.1B.2C.3D.0 参考答案：）平行的向）模；零向量；单位向量（31、（1）数量；向量（2 量；共线向量；零向量）负向量（4）相等（5 B）A（2）（2、17.1.2 练习1、选择题 1）如右图所示，在平行四边行中，下列结论错误的是（）（． BA．D C．C D．A B（2（）化简：= ）C．．．A B． D ba与2、作图题：如图所示，已知向量，求a参考答案：2 / 8B 1、（1）C（2）、2方法方法一：三角形法则二：平行四边行法则a a7.1.3练习、填空题1，（1）在平行四边形中，若，，则；；）化简（2:ba与，求、作图题：如图所示，已知向量2a3 / 8参考答案：；（21、（1））、2a7.1.4练习1、选择题1（）如图所示，D等于（是△的边的中点，则向量）BA．．A．．C D是结果所2（）化简得）（． BA．． C． D 、化简题：2bba a a b a ba．2422231（）（?2）－（；＋）（）?（?3）＋（?）参考答案：4 / 81、（1）B（2）Ca b a b +5）?75（2、（1）2y7.2.1练32ab1、填空题1e，都存在（1）对任一个平面向O12x3 yx），使得。
中专校平面向量测试题
第七章 平面向量 试卷班级 姓名 得分一.选择题（4分×10=40分）:1．以下说法错误的是 （ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C. 平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为AD 的是 （ ）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC M B ADC ．；－＋BM AD M B D ．；＋－CD OA OC3．已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为 （ ）A ．6563 B ．65 C ．513 D ．13 4．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b += （ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．45．下面给出的关系式中正确的个数是（ ） ① 00 =⋅a ② a b b a ⋅=⋅ ③22a a = ④)()(c b a c b a ⋅=⋅ ⑤b a b a ⋅≤⋅A ．0B ． 1C ． 2D ． 36．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）A ．−→−AD ＝−→−BCB ．−→−AD ＝2−→−BC C ．−→−AD ＝－−→−BC D ．−→−AD ＝－2−→−BC7．已知向量a ，b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为 （ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 8．若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=b ( )A ．)2,4(B ．)2,4(--C ．)3,6(-D ．)2,4(或)2,4(--9．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是 （ ）（A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形10．若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（ ）A. 2-或0；B.C. 2或D. 2或10.二. 填空题(5分×4=20分):11．已知)2,3(-M ，)0,1(-N ，则线段MN 的中点P 的坐标是________．12．若),4,3(=AB A 点的坐标为（-2，-1），则B 点的坐标为 ．13．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ． 14．已知向量)2,1(,3==b a ，且b a ⊥，则a 的坐标是_________________．15．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________．三、解答题（共90分）16．（12分）若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，试判断则△ABC 的形状．17．(12分)已知3a =，4b =，a 与b 的夹角为43π， (3)(2)a b a b -⋅+．18．（12分) 已知(1,2)a =,)2,3(-=b ,当k 为何值时，ka b +与3a b -垂直？19．（13分) 若(2,2)a =-，求与a 垂直的单位向量的坐标。
中职数学基础模块下册第七章简单几何体习题答案
第七章 简 单 几 何 体7.1多面体八、习题答案 练习7.1.1 1.略.2.(1)√;（2）√;(3)√; (4)√.3.）（侧2cm 60=S , S 表=73.86（cm 2）, ()3320cm V =.4. 2a 22=表S ; 36a V =. 练习7.1.21.2.3.练习7.1.3 1.略.2.()2cm 34=侧S , ()3234cm V =. 3.(1)()()2cm 41939+=表S , ()3233cm V =;(2)习题7.1 A 组1.（1）Q M N P ⊆⊆⊆;（2） 2 ;（3） 4.2. S 侧=296()cm .3. 33)4V cm =.4. S 表=212()cm , 3)V =.5. S 侧2a =.6. 31)2V cm = . B 组1.S 表=(24a + , 33V a =. 2. ()372V cm =.3.4.C 组20+，S 表=122524202⨯⨯+⨯⨯⨯=+7.2旋转体习题答案 练习7.2.11. (1)√;（2）×;(3) ×.2. S 表=228()cm π, 320()V cm π=.3. S 侧=2100()cm π,3250()V cm π=.4. 2种；表面积不相等；体积不相等. 练习7.2.2 1.略.2.(1)×;（2）×;(3)√.3.38()V cm π=.4.310()3V cm π=. 5.S 表=236()cm π，316()V cm π=.6.6()L cm =, )h cm =. 练习7.2.31.(1)√;（2）√;(3)√.2.S 表=236()cm π, 336()V cm π=.3.16倍; 64倍.提示：设原球的半径为r ，S原=24r π ， V 原343r π=,则现半径为R=4r ，S 现=222441664R r r πππ=⨯=,V 现=333444(4)64333R r r πππ=⨯=⨯,S 现=16S 原，V 现=64V 原. 4.4 cm. 习题7.2 A 组1. （1）26()cm π;（2）()343cm π;（3）236()cm π , 336()cm π ;（4） 8∶27.2. 2316()V cm π=.3. S 表=264()cm π,3128()3V cm =. 4. S 表=264()cm π,3256()3V cm π=. 5. 24 cm. B 组 1. 390 g. 2. （1）75()8h cm =;（2）不会溢出. 3.约4.49 cm. C 组粮囤的容积为49π+343√372π，最多能装稻谷约103 420 kg.提示：由题知圆锥的底面半径7()2r m =，高)h m =,故粮囤的容积V=V 圆柱+V 圆锥=2271774232649ππππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+所以所装谷物质量为4957510342072ππ⎛⎫+⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭kg.7.3简单几何体的三视图习题答案练习7.31.2.略.3.4.5.略.习题 7.3A 组1.俯视图,主视图,左视图.2.C.3.4.（1）（2）B 组1.2.C 组俯视图复习题7 A 组一、 1.B. 2.D. 3.C. 4.A. 5.C. 6.C.二、7. 312a .8. S 表= (236()cm +,3)V cm =. 9. 4 cm.三、10. S侧= (()2384cm +,31152()V cm =.提示：由S 底=72 cm 2得AB=BC=12cm ，AC=.S 侧= ((()22416384cm +⨯=+,372161152()V cm =⨯=.11. S 侧= S π,4SV π=.提示：设圆柱的底面半径为r ，则高为2r ，由题知S =4r 2，得2r =,S侧=222444Sr r r S ππππ⋅===,2322284S S V r r r ππππ=⋅==⋅=.12. 3288()V cm π= 或3192()V cm π=.13.14.B 组 1. C.2. 1 004.8（cm 3）. 提示：223851004.8()V r h cm ππ==⨯≈.3.34 .提示：设球的半径为2r =，所以截面圆的面积)2213s r ππ==，大圆的面积：()2224s r r ππ==.所以截面圆的面积与大圆的面积之比为34.4.（1）方案一，体积31400()V m π= .提示：仓库的半径r=10m ，h=4m ，则2311400()V r h m ππ==.方案二，体积 32288()V m π= .提示：仓库的半径r=6m ，h=8m ，则2322288()V r h m ππ==.（2）方案一，墙面建造成本80πa 元.提示：墙面建造成本112210480y r ha a πππ==⨯⨯=（元）.方案二，墙面建造成本96πa 元.提示：墙面建造成本22226896y r ha a πππ==⨯⨯=（元）.（3）方案一更经济.提示：由（1）（2）知1212,V V y y ><，即方案一体积大，可以储藏的粮食多、墙面建造面积小，用材少、成本低，所以选择方案一更经济.。
(完整版)中职向量测试题
第七章数列测试题一、填空题（每题 2 分，共 60 分）1、已知数列3, 7 , 11, ,79 ,且 179是这个数列的第N 项，则 N=_________。
、数列{ a n }的通项公式anlogn1(n2) ，则它的前30 项之积是 _________。
23、4 和 6 的等差中项是 _________。
等比中项是 _________。
4、数列 0、 1、 0、1、、、、、的一个通项公式是 ____。
5、数列{ a n} 中，an 1a n1,(n N ),a12,则a101 =_______。
26、等差数列的公差d 1, s100145,则a1a3 a5a99 =_______。
27、在等比数列{ a n}中，若a4a7a5 a620，则此数列的前 10 项之积 =______。
a8、三个不一样样样的实数 a、b、 c 成等差数列， a、 c、 b 成等比数列，则b =_____。
9、已知 a、 b、c 成等比数列，a+b+c=7,abc=-27 , 则公比 q =_____ 。
10、数列 1， 1+2，1222 ,,12222n 1 ,的前 n 项和为 _____。
11、等比数列 4、 16、64、、、的第 5 项是 _____。
12、设等差数列{a n}中，a36, a816, 则公差d=_____。
13、已知1, a1, a2 , 4 成等差数列，1, b1, b2 , 4 成等比数列，则a 2 a 1=_____。
b 214、在等差数列{ a n}中，a5a73,则s11 =_____。
15、数列{ a n} 中，a n11, 则a1a2a100=_____。
n 1n16、数列{ a n}的通项公式 a n1，则该数列的前100 项和s100 =____。
n n117、数列 0，3，8， 15， 24，、、、的通项公式为 ____。
18、已知数列{ a n}的前 n 项和s n n 22n5, 则 a6 a7a8=____。
中职数学(基础模块)下册7
向量加法满足交换律和结合律：
a b b a (a+b)+c a (b c)
以上两个运算律可以推广到任意多个向量.
练习：1、化简 (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________
(3)AB BD CA DC _____
自我反思 目标检测
概念及表示：
向 向量间的关系： 量
向量的线性运算：
则向量OC a b
位移的合成可以看作向量 加法三角形法则的物理模型
力的合成可以看作向量加法的 平行四边形法则的物理模型
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾
• 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线
2、下列命题中,正确的个数有 _________ . (1)若非零向量a与b的方向相同或相反，那么a b的方向
必和a，b之一的方向相同； √
(2)△ABC中，必有AB BC CA 0; × (3)若AB BC CA 0，则A, B,C为一个三角形的三顶点×； (4)若a，b均为非零向量，则 a b 与 a b 相等； ×
D
a
A
b
C
AC a b BD AD AB a b
B
.化简：(1) AB AD DC;
(2) AB CD AC BD (3) AB MB BO OM
平面向量的概念及线性运算
——平面向量的数乘运算
已知非零向量a, 作出a a a和(a) (a) (a), 你能说明它们的几何意 义吗？
(完整word版)职高数学第七章平面向量习题及答案(2).docx
第 7 章平面向量习题练习 7.1.11、填空题（1）只有大小，没有方向的量叫做；既有大小，又有方向的量叫做；（2）向量的大小叫做向量的，模为零的向量叫做，模为 1 的向量叫做；（3）方向相同或相反的两个非零向量互相，平行向量又叫，规定：与任何一个向量平行；（4）当向量 a 与向量 b 的模相等，且方向相同时，称向量 a 与向量 b；（5）与非零向量 a 的模相等，且方向相反的向量叫做向量 a 的；2、选择题（1）下列说法正确的是（）A ．若 |a|=0，则 a=0B．若 |a|=|b|，则 a=bC．若 |a|=|b|，则 a 与 b是平行向量D．若 a∥b，则 a=b（2）下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或uuur uuura∥ b， b∥c. 那么 a 相反；③向量 AB 与向量 CD 共线，则 A、 B、 C、D 四点共线；④如果∥c正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.0参考答案：1、（ 1）数量；向量（ 2）模；零向量；单位向量（3）平行的向量；共线向量；零向量（4）相等（ 5）负向量2、（ 1） A （ 2） B练习 7.1.21、选择题（1）如右图所示，在平行四边行ABCD 中，下列结论错误的是（）uuur uuur uuur uuur uuurA ． AB=DCB ． AD+AB=ACuuur uuur uuur uuur uuur r C． AB +AD=BD D． AD+CB=0uuur uuur uuur（2）化简： AB+BC CD =（）D C A Buuur uuur uuur rA ． AC B． AD C． BD D ． 02、作图题：如图所示，已知向量 a 与 b，求 a+bba参考答案：1、（ 1） C（ 2） B2、方法一：三角形法则方法二：平行四边行法则ba+b a+bba a练习 7.1.31、填空题uuur r uuur r uuur uuur（1）在平行四边形 ABCD 中，若 AB=a ， BD=b ，则 AB+CBuuur uuur uuur uur（2）化简 : OP QP PS SP；2、作图题：如图所示，已知向量 a 与 b，求 a- bba参考答案：r r uuur1、（ 1）b ； a （ 2） OQ2、a- buuur uuur， AD -CD；ba练习 7.1.41、选择题（1）如图所示， D 是△ ABC 的边 AB 的中点，则向量ADB Cuuur CD 等于（）uuur 1 uuuruuur 1 uuurA ． BC+ BAB ． BC+BA22uuur 1 uuuruuur 1 uuurC ． BCBAD ． BCBA2 2 uuur uuur uuuur（2）化简 PM PN MN 所得结果是（ ）uuuruuurruuuurA ． MPB ． NPC ． 0D ． MN2、化简题：（ 1） 3（ a - 2 b ）－（ 2 a ＋ b ）；（ 2） a - 2（ a - 4 b ）＋ 3（ 2a - b ）．参考答案：1、（ 1） B （ 2） C2、（ 1） a - 7 b （ 2）5a +5 by练习 7.2.131、填空题：2（1）对任一个平面向量a ，都存在着一对有序实数b（x ，y ），使得 a=xi +yj 。
人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》
人教版中职数学(基础模块)下册7.4《向量的内积及其运算》
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7.4.1 向量的内积
【教学目标】
1。
理解并掌握平面向量内积的基本概念,会用已知条件来求向量的内积．
2。
掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．
3. 通过教学,渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．
【教学重点】
平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．
【教学难点】
平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．。
中职数学基础模块下册《平面向量的内积》word练习题
平面向量内积测试题班级： ____ 姓名 成绩：______________做题时间：一、选择题1、已知平面向量(3,1)a = ，(,3)b x =- ，且a b ⊥ ，则x =（ ） A 3- B 1- C 1 D 32、已知向量a 和b 满足|a |=1，|b |=2，a ⊥（a －b ）．则a 与b 的夹角为 （ ）A ．30ºB ．45ºC ．75ºD ．135º3、设a 、b 为两个非零向量，且a ·b =0，那么下列四个等式①|a |=|b |；②|a ＋b |=|a －b |；③a ·（b ＋a ）=0；④（a ＋b ）2=a 2＋b 2．其中正确等式个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．34、若12,e e 是夹角为3π的单位向量，且122a e e =+ ,1232b e e =-+ ，则a b ⋅= （ ） A .1 B . 4- C . 72- D . 725、 设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （ ）A.(15,12)-B.0C.3-D.11-6、 在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则CA BC ⋅的值为 （ ）A ．10B ．20C ．－10D ．20 7、 已知下列命题中： （1）若k R ∈，且0kb = ，则0k =或0b = ， （2）若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则=∙ 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．382)(,61=-∙==，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 9、已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（ ） A ．0,24 B ．24,4 C ．16,0 D ．4,0 10、若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥ ，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（ ）A 6πB 3πC 32πD 65π 二、填空题1、已知向量a =（ 2 ，－ 2 ），b =（ 3 ，1）那么（a ＋b ）·（a －b ）的值是 ．2、平面向量,a b 中，若(4,3)a =- =1，且5a b ⋅= ，则向量=____3、若||1,||2,a b c a b ===+ ，且c a ⊥ ，则向量a 与b4若1a = ,2b = ，a 与b 的夹角为060，若(35)a b +⊥ ()ma b - ，则m 的值为 三、解答题1、已知向量 a 与b 的夹角为60 ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,求向量a 的模2、已知：,cos ),(cos ,cos )a x x b x x == ，122)(-+⋅=m b a x f （R m x ∈,）. (Ⅰ) 求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 若]2,0[π∈x 时，()f x 的最小值为5，求m 的值.。
中职基础模块下平面向量测试题
中职基础模块下平面向量测试题（时间：60分钟 总分：100分）班级：__________ 姓名：__________ 得分：_________一、单选题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1、已知A （2，-3），B （0，5），则AB ＝（ ） A 、（2，-8） B 、（-2，8） C 、（2，2） D 、（0，0）2、设2,e e 1 是两不共线向量，且2,a e e 1 = 2 - 2b e e λ 1 = + 共线,则λ＝（ ） A 、0 B 、-0.5 C 、-1 D 、-23、若A （1，2），B （-6，x ）,C （-1，4）三点共线，则x ＝（ ） A 、-2 B 、 9 C 、 2 D 、 -94、若(10,5)a = ，(6,)b x =垂直，则x=( ) A. 2.5 B. 2 C. 5 D. 35、下列各不等式中成立的是（ ）A 、a b b +>B 、a b b +>C 、a b a b +>-D 、a b a b +≤+6、若A （-1，2），B （3，4）,P （x ，y ），且2AP PB =, 则P 点坐标为 ( )A. 48(,)33 B. 14(,)33 C. 4(,4)3 D. 18(,)337、设向量a ，b 的长度分别为4和3，夹角为60度，则a b ＝( ) A. 12 B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 8、若(1,3)a =- ，(1,1)b =-，则a b -为______________9、已知ABC ∆中，AB a =, BC b = 当a b >0时,ABC ∆为 _____三角形. 10、AB AC BC -+ =11、已知(2,1)a = ， (1,3)b = ， (8,9)c = ，且c ma nb =+，则m ＝_____, n=_____三、解答题（本大题共3小题，共45分，解答时应写出简要步骤。
中职数学基础模块下册第七章《平面向量》单元检测试题及参考答案
中职数学第七章《平面向量》单元检测试题（满分100分，时间：90分钟）.选择题（3分*10=30分）A. -12B.12C. -3D. 35、下列各不等式中成立的是( )A 、a+b〉b B、a+b”b C、a+b>a — b D、a+b 兰冋+|b6、若A(-1 ,2),B(3, 4),P(x ,y)，且2AP=PB,则P点坐标为()A. (4,8)B. (〔,4)C. (4,4)D.(-,-)3 3 3 3 3 3 37、设向量a, b的长度分别为4和3,夹角为120度，则a& =()A. -6B. 6C. -12 .3D. 12 .38、已知向量AB =13,4，点A的坐标为-2,3 ,则点B的坐标是()A、-7,-1 B 、7,1 C 、1,7 D 、-1,-79、已知向量a h[2,4,b=]1, x ,若 a —b,则x 二()1 1A B 、一C 、2 D 、- 22 210、已知向量 a = (1,m) , b = (m,2),若 a // b，贝卩m=()A. 一、、2B. 、2C. - ,2 或，2D. 0二.填空题(4分*8=32分)11. 若< = ( — 1,3) ______________________________________ , 6 = (1,—1)，贝y F—b 为12. 已知也ABC中，A B爲，B C=6当a^>0时，AABC为_____ 三角形.13. AB —AC BC = _____14. 已知< = (2,1), b = (1,3) , c = (8,9) 且 c = ma + nb 贝卩m= __,n= ____5 515. 设a= (1, 2), b= (-2 , 1),则2a+3b 等于_________________16. 设向量a=(1, m),向量 b = (2, m-3)，若 a 丄b，贝S m= __________ .17. 已知向量；=(1,2), b = (-1,1)，则3<—2b= _______ .218. 已知向量a=( 1,2), b=(2, -1)，贝,2a+b丨的值为______________ .三.解答题(共计38分)19. (6 分)若 a • b=5,丨 a 丨=,10 ,| b 丨=.5，求<a , b >20. ( 6 分)已知 a b = 3, a = 3 .. 2, b = 2，求V a , b >21. ( 8分)已知a,b是平面上两个不共线的非零向量，且a=(4,-3) , 1且a b =0，求向量b的坐标。
中职期末数学试卷(向量)
中等职业技术学校数学科期末考试试卷（基础模块-向量）班级： 姓名： 座号： 评分：一． 选择题：（答案填在表格内，每题3分，共30分） （1）下列说法正确的是（ ）．（A ）0= （B5-= （C ）-=（D ）因为0a 是单位向量，所以0a =12．在三角形ABC 中， ,,==则=AB （ ）． （A ）+ （B ）-（+） （C ）- （D ）- 3．如果 ),5,2(),1,3(-==那么=-23（ ）；（A ）（2,7） （B ）（13,7） （C ）（2，-7） （D ）（13,13）4．如果M(-2，2),N （-1,4），那么向量MN 的坐标是（ ） （A ）（1,2） （B ）（-1，-2） （C ）（0，-7） （D ）（1,6）5,6568π===则=⋅（ ）．（A ）− 24 （B ）243 （C ） −243 （D ）16 6．x ⊥==),12,7(),,3(，则x=（ ）．（A ）−47（B ） 47 （C ）−37 （D ）37 7．m ),,15(),5,3(=-=∥b ,则m=（ ）． （A ）9 （B ）-9 （C ） -25 （D ）25 8．如果四边形ABCD 是平行四边形，那么 ( )（A ）= （B ）= （C ）= （D ）=9.若M(3，-2),N(-5，-1),MN MP 21=,则P 点的坐标是（ ）（A ）（-8，-2） （B ）（-1， -23） （C ）（1，23） （D ）（8，-1）10.下列命题中不正确的是（ ）（A= 则 b a = （B ）若b a =，c b = ，则c a =（C ）若 a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c （D ）若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反二．填空题：（每空2分，共20分）1.两个向量如果模 ，方向 ，那么这两个向量互为相反向量．2. AB +BC +CA = ； +++= ；AB -+= .3. 写出下列向量的坐标表示：3-2= ； + =4.已知i ，分别是平面直角坐标系中x 轴和y 轴上的单位向量， 则i ·i = ， i ·j = .5.若=（5,12），则= . 三、解答题（每题10分，共40分）1．计算：（1）)21(12)33(4b a c b a ---+-2．如果n m 52)4()23(-=++- ，求m 、n 的值.3．已知(=1,2），(=2，-21），4(-=，5），求-+23．4.=2=3，=⋅b a 23四、作图题（10分）：已知a 和b ，根据向量的三角形法则，作出a +b ，a -b ．ab。
中职数学基础模块下册《平面向量的运算》 练习题
平面向量一、知识要点（平面向量的线性运算）： 1、平面向量的加法运算：三角形法则与平行四边形法则， 2、平面向量的减法运算：三角形法则， 3、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=，4、几何与向量综合时常出现的向量内容归纳如下：（1）给出与相交,等于已知过的中点;（2）给出,等于已知是的中点;（3）给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线;（4） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（5）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。
（6）给出,等于已知是的平分线。
（7）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（8）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;例题精选：例1.如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（A ）0（B ）BE （C ）AD （D ）CFCBA 答案：D例2.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= _________。
4/3练习题：1.在△ABC 中， =a ， =b，则等于A.a +bB.-a +(-ba -bD.b -a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ， =b ， =c ， =d ，则 A.a +b +c +d =0 B.a -b +c -da +b -c -d =0 D.a -b -c +d =03.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++=4..如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ） A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+= C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=5.ABC ∆中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若a CB =，b CA =，1a =，2b =，则=（ ） （A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 答案：Ｂ， B ， Ｂ， Ａ， B.二、知识要点（平面向量的坐标运算）：设),(),,(2211y x b y x a ==，(1)=±b a __________, =a λ___________________.(2)b a 与共线的充要条件：___________,__________, b a与垂直的充要条件：_______________._______________. (3)a 向量的摸：a =____________.(4) 2121y y x x b a +=∙ ，a ⋅b = |a ||b |c os θ ，cos θ =||||b a b a ⋅ ，22a a =. 例题精选：例3.在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= ． 解：()AB AD AB AC CD AB AC AB CD ⋅=⋅+=⋅+⋅915cos60cos60322AB AC AB CD =+=+=． 练习题：1.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为.2.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°3．已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |=, |a －b |=4.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-365.|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 6.已知向量a ,b 夹角为45°，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |=7.已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量k a-b 垂直，则k=_____________．8.a ，b 为平面向量，已知a =（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于 （A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665-9.在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则________AD BE ⋅=。
【人教版】中职数学基础模块下册：7.2《数乘向量》(3)
3.数乘向量运算满足如下运算律：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 对于任意的向量 以及任意实数
恒有
例1 计算下列各式：
解：
练习二
化简：
例2 设 是未知向量,解方程 解 原式可变形为
练习三
解关于 的方程：
例3 如图：已知 与 的关系．
解：因为
，
，试说明
B′
B
OA
A′
所以 与 共线且同方向,长度是 的3倍．
D
A
C
1. 数乘向量的定义及其几何意义 2. 数乘向量运算律 3. 平行向量基本定理 4. 单位向量
学练同步：7.2 数乘向量 A组、B组
M
Q
P
以后，和向量的长度与方向有什么变化？
试作出：
和
OA
B
CN
M
Q
P
1.数乘向量的定义
实数 和向量 的乘积是一个向量，记作 ．
1.数乘向量的定义
实数 和向量 的乘积是一个向量，记作 ． 向量 的长度与方向规定为：
2.数乘向量的几何意义
把向量 沿着 的方向（或反方向） 长度放大（或缩小）．
练习一
4.平行向量基本定理：
非零向量 的单位向量 与 同方向且长度为 1 的向量，通常记做 ．
例4 MN是△ABC的中位线，求证：MN＝ 且MN ∥BC． 证明：因为M，N是AB，AC边上的中点，
M
， A
N
B
C
所以 MN＝
，且MN BC 的中点，
求证：
B
证明：因为D是BC边上的中点，
向量
向量 向
量
7.2 数乘向量
1.向量加法的三角形法则
中职数学高三向量单元测试题
优秀的向量单元测试题一、选择题1、下列命题正确的是 （ ）A ）对向量a ，b ，如果b ＝-2a ，则a 与b 是相反向量。
B ）+＋=。
C ）若a ，b 是两个单位向量，则｜a ｜＝｜b ｜且a ∙a ＝b ∙b 。
D ）若a //b ，则a ∙b ≥0。
2、下列命题错误的是 （ ）A ）向量a ＝（－1,2）与＝（2，-4）互相平行。
B ）若向量＝（1，2）与＝（2，y ）互相垂直，则y=-1。
C ）向量＝（0，1）与＝（1，3）的夹角为300。
D ）若（-）2＝5，则｜-｜＝5。
3、在平行四边形ABCD 中，与BC 平行的是 （ ）A ）+B ）-C ）-D ）5、已知（-）2＝8，a ∙b =4，那么︱a |2+|b |2= （ ）A ）4B ）8C ）16D ）206、在∆ABC 中，a=5,b=2，∠C=600,则∙CA = （ ）A ）5B ）-5C ）10D ）-107、已知向量m =(1，b )，向量n ⊥m ，且n 2=m 2，则n的坐标可以表示为（ ）A) (1，b ) B) (b ，1) C) (-b ，1) D) (－b ，－1) 8、已知向量＝（1,2），＝（－3，2），且(k +)与(－)垂直，则实数k ＝（ ）A)0 B)-1 C)1 D)39、直线L 上的两点A （-1，2），B （3，-6），与向量垂直的向量是（ ）A ）（4，2）B ）（-4，2）C ）（2，8）D ）（8，-4）10、已知|a |=5，b =（-1，3），且a //b ，且a 、b 的方向相反，则a =（ ）A ）（-22，223）B ）（22，-223）C ）（22，223）D ）（-22，-223） 11、已知|a |=2，|b |=6，且3a ∙（21b ）=-9，则a 与b 的夹角=（ ）A ）6πB ）3πC ）32π D ）65π 12、若平面向量与=（1，2）的夹角是1800，且||=35，则=（ ）A ）（-3，6）B ）（-3，-6）C ）（6，-3）D ）（-6，3）二、填空题13、已知||=1，||=2，且|-|=2，则|+|= 。
【人教版】中职数学基础模块下册：7.2《数乘向量》(1)
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
小结 1.向量加法的三角形法则
(要点：两向量首尾连接) 2.向量加法的平行四边形法则
(要点：两向量起点重合组成 平行四边形两邻边) 3.向量加法满足交换律及结合律
作业 课本
平面向量的减法
向量的减法
7.2.3平面向量的数乘
作法（1）在平面内任取一点O
o
A
这种作法叫做向量加法的平行四边形法则
B
C
力的合成可以看作向量加法的平
行四边形法则的物理模型
还有没有其他的做法？
已知向量a,b,分别用向量加法的三角形
法则与向量加法的平行四边形法则作
出a+b
向量加法法则
A·
B
C
o·
B
A C
首尾相接，首尾连
起点相同，连对角
课堂小结：
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用 产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
向量的加法运算
• 力的合成
F1 + F2 = F
F1
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为
是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
向量加法的平行四边形法则
两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
CA
B
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B 改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向
量表示？由此可得什么结论？
C
A
B
上述分析表明，位移的合成可看作 是向量的加法。
向量加法运算及其几何意义 A
中职数学基础模块下册第七章平面向量
【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作λa，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“0λ≠”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题过程行为行为意图间7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aAB过 程行为 行为 意图 间模为1的向量叫做单位向量． *巩固知识 典型例题例1 一架飞机从A 处向正南方向飞行200km ，另一架飞机从A 处朝北偏东45°方向飞行200km ， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别为图7-3中的有向线段a 与b ．图7-3 说明 强调 引领 讲解 说明 强调 含义观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会13 *运用知识 强化练习说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格为1)．提问 巡视 指导思考 口答及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况18ab AKT图7−4ABCDEF HGMNQPL Z过程行为行为意图间*创设情境兴趣导入观察图7−4中的向量AB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个向量的方向相反．播放课件质疑引导分析观看课件自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点20*动脑思考探索新知【新知识】方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量a与向量b平行记作a//b．规定：零向量与任何一个向量平行．由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量．【想一想】图7−4中，哪些向量是共线向量？总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结23*动脑思考探索新知【新知识】图7−4中的平行向量AB与MN，方向相同，模相等；平行向量HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a= b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．与非零向量a的模相等，且方向相反的向量叫做向量a的负向量，记作 a．规定：零向量的负向量仍为零向量．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆思考归纳理解记忆28过 程行为 行为 意图 间显然，在图7－4中，AB = MN ，GH = －TK ． *巩固知识 典型例题例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量DA 相等的向量； （2）找出向量DC 的负向量；（3）找出与向量AB 平行的向量．分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解 由平行四边形的性质，得 （1）CB =DA ；（2）BA =DC -,CD DC =-； （3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．说明 强调引领 讲解 说明 引领 强调 含义 说明观察 思考 主动 求解 观察 思考 求解 领会 思考 求解通过例题进一步领 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调+ 33 *运用知识 强化练习1． 如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出（1）与EF 相等的向量；（2）与AD 共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出 （1）与OC 相等的向量； （2）OC 的负向量； （3）与OC启发 引导 提问 巡视 指导思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 ADCB图7－5O过 程行为 行为 意图 间共线的向量．38 *创设情境 兴趣导入王涛同学从家中（A 处）出发，向正南方向行走500 m 到达超市（B 处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200 m 到达学校（C 处）（如图7－6）．王涛同学这两次位移的总效果是从家（A 处）到达了学校（C 处）．播放 课件 质疑 引导 分析观看 课件 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点42 *动脑思考 探索新知位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC =AB +BC ．一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A (如图7－6)，依次作AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b =AB ＋BC =AC （7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．观察图7－7可以看到：依照三角形法则进行向量a 与向总结 归纳 仔细 分析 讲解思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结ABC图7－6500m200m图7－7ACBaba +bab过 程行为 行为 意图 间量b 的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a 与b 的和向量．其和向量的起点是向量a 的起点，终点是向量b 的终点．【做一做】给出两个不共线的向量a 和b ，画出它们的和向量． 【想一想】（1）a ＋b 与b ＋a 相等吗？请画出图来说明．（2）如果向量a 和向量b 共线，如何画出它们的和向量？关键 词语50*动脑思考 探索新知如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD =BC ，根据三角形法则得AB ＋AD =AB ＋BC =AC这说明，在平行四边形ABCD 中， AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：（1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）．总结 归纳仔细 分析 讲解 关键 词语思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结55 *巩固知识 典型例题例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．图7－9ADCB过 程行为 行为 意图 间解 如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=22125+=13．又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723CAD '∠≈︒1．即船的实际航行速度大小是13km/h ，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723'︒．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是θ，所以12F F =．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以12F F k +=-.解 利用平行四边形法则，可以得到1212cos F F F k +==θ，所以12cos k F =θ．【想一想】说明 强调 引领 讲解 说明 引领 分析观察 思考 主动 求解 观察 思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复A BDC图7－10F 1F 2kθ 图7－11过程行为行为意图间根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时(如图7－12)，两臂成什么角度时，双臂受力最小？图7-12 讲解说明思考求解强调62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图过 程行为 行为 意图 间*动脑思考 探索新知与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )． 设a =OA ，b =OB ，则 ()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA -=+-+=+=．即 OA OB -=BA （7．2） 观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．总结 归纳仔细 分析 讲解关键 词语思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结68 *巩固知识 典型例题例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ．【想一想】强调 含义说明思考 求解 领会 思考 求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点70aAa -bBbO图7－13BbOaAba（1）（2）图7－14过 程行为 行为 意图 间当a 与 b 共线时，如何画出a －b ． *运用知识 强化练习1．填空：（1）AB AD -=_______________，（2）BC BA -=______________， （3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，总结 归纳思考 归纳带领 学生 分析a a aaOAB C过 程行为 行为 意图 间有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆 理解 记忆引导 启发 学生 得出 结论78 *巩固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .强调 含义思考 求解注意 观察过 程行为 行为 意图 间解 AC＋b ,BD ＝b −a ，＝a因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ， OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ． 例6中，12a ＋12b 和−12a +12b 都叫做向量a ，b 的线性组合，或者说，AO 、OD 可以用向量a ，b 线性表示．一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算． 说明领会 思考 求解学生 是否 理解 知识 点81*运用知识 强化练习1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12（a ＋b ）．启发 引导提问巡视指导思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳83 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：向量、向量的模、向量相等是如何定义的？ 结论：当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量（矢量）向量的大小叫做向量的模．向量a , AB 的模依次记作a ，AB ．质疑归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况图7－16过程行为行为意图间a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a= b．85 *归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题7．1 A组（必做）；7．1 B组（选做）(3)实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】7.2 平面向量的坐标表示【教学目标】知识目标：（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.能力目标：培养学生应用向量知识解决问题的能力.【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则.【教学难点】向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.【教学设计】向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐标原点（一般称为位置向量）．设x轴的单位向量为i，轴的单位向量为j．如果点A的坐标为（x，y）,则OA x y=+i j，将有序实数对（x，y）叫做向量OA的坐标．记作OA=（x，y）．例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要强调此时起点的位置．让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例2是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识巩固性例题．要强调与公式的对应．在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标，由此得到公式（7.8）.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例3是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题．要强调“终点的坐标减去起点的坐标”．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间过 程行为 行为 意图 间*揭示课题7.2 平面向量的坐标表示*创设情境 兴趣导入【观察】 设平面直角坐标系中，x 轴的单位向量为i , y 轴的单位向量为j ，OA 为从原点出发的向量，点A 的坐标为（2，3）(图7－17)．则图7－172OM =i ，3ON =j ．由平行四边形法则知23OA OM ON =+=+i j ．【说明】可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的坐标是相同的．介绍质疑 引导 分析了解 思考 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点0 5*动脑思考 探索新知 【新知识】设i , j 分别为x 轴、y 轴的单位向量，（1）设点(,)M x y ，则i +j =OM x y （如图7－18(1)）； （2）设点1122(,)(,)A x y B x y ，（如图7－18(2)），则仔细 分析 讲解 关键 词语思考 理解 记忆引导 式启 发学 生得 出结 果10过 程行为 行为 意图 间(1)(2)图7－1822112121()()()()i +j i +j i j =-=-=-+-AB OB OA x y x y x x y y ．由此看到，对任一个平面向量a ，都存在着一对有序实数(,)x y ， 使得x y =+a i j ．有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作 (,)x y =a ． 如图7－17所示，向量的坐标为(2,3)=OA ．如图7－18（1）所示，起点为原点，终点为(,)M x y 的向量的坐标为(,)=OM x y ．如图7－18（2）所示，起点为11(,)A x y ，终点为22(,)B x y 的向Ox ij M (x ,y )yj iBA Oyx过 程行为 行为 意图 间量坐标为2121()=--AB x x y y ，． （7．5）*巩固知识 典型例题例1 如图7－19所示，用x 轴与y 轴上的单位向量i 、j 表示向量a 、b , 并写出它们的坐标．解 因为a ＝OM ＋MA ＝5i ＋3j ，所以 (5,3)=a ． 同理可得 (4,3)=-b ．【想一想】观察图7－19，OA 与OM 的坐标之间存在什么关系？ 例2 已知点(2,1)(3,2)-P Q ，，求PQQP ，的坐标． 解 (3,2)(2,1)(1,3),=--=PQ (2,1)(3,2)(1,3)=--=--QP ．说明 强调 引领 讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会15*运用知识 强化练习1． 点A 的坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i 与j 的线性组合表示向量OA ．2． 设向量34a i j =-,写出向量a 的坐标．提问 巡视 指导思考 口答及时 了解 学生 知识 掌握 得情图7－19过 程行为 行为 意图 间3． 已知A ，B 两点的坐标，求AB BA ，的坐标． (1) (5,3),(3,1);-A B (2) (1,2),(2,1);A B (3) (4,0),(0,3)-A B ． 况20*创设情境 兴趣导入 【观察】观察图7－20，向量(5,3)OA =,(3,0)OP =,(8,3)OM OA OP =+=．可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考27 *动脑思考 探索新知 【新知识】设平面直角坐标系中，11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则 1122()()x y x y +=+++a b i j i j1212()()x x y y =+++i j ．所以1212(,)x x y y +=++a b ． （7．6）类似可以得到总结 归纳 仔细 分析 讲解思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结图7－20过 程行为 行为 意图 间1212(,)x x y y -=--a b ． （7．7）11(,)x y λλλ=a ． （7．8）关键 词语35*巩固知识 典型例题例3 设a ＝(1,−2), b ＝(−2,3)，求下列向量的坐标： (1) a ＋b ， (2) −3 a ， (3) 3 a −2 b ． 解 (1) a ＋b ＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1) (2) −3 a ＝−3×(1, −2)＝(−3,6)(3) 3 a −2 b ＝3×(1, −2) − 2×(−2,3)＝(3, −6) − (−4,6)＝(7, −12)．说明 强调 引领 讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会45 *运用知识 强化练习已知向量a , b 的坐标，求a ＋b 、 a −b 、−2 a ＋3 b 的坐标． （1） a ＝(−2,3)， b ＝(1,1)； （2） a ＝(1,0)， b ＝(−4, −3)； （3） a ＝(−1,2)， b ＝(3,0)．启发 引导 提问 巡视 指导思考 了解 动手 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 55 *创设情境 兴趣导入 【问题】前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a 、b ，当0≠λ时，有λ⇔=a b a b ∥如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？引导 分析 观察 思考思考 参与 分析 引导启发学生思考60 *动脑思考 探索新知 【新知识】总结 归纳思考 归纳过 程行为 行为 意图 间设1122(,),(,),a b ==x y x y 由a b =λ，有 1212,,==x x y y λλ于是1221=x y x y λλ，即12210-=x y x y ．由此得到，对非零向量a 、 b ，设1122(,),(,),a b ==x y x y 当0≠λ时，有12210a b ⇔-=x y x y ∥． （7．9） 仔细 分析 讲解理解 记忆带领 学生 总结67 *巩固知识 典型例题例4 设(1,3),(2,6)a b ==，判断向量a 、 b 是否共线． 解 由于 3×2−1×6＝0，故由公式（7．9）知，a b ∥，即向量a 、 b 共线．说明 强调 引领 分析 讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会70 *运用知识 强化练习判断下列各组向量是否共线： （1） a ＝(2,3)， b ＝(1,32)； （2） a ＝(1, −1) ， b ＝(−2,2)； （3） a ＝(2, 1) ， b ＝(−1,2)．启发 引导 提问 巡视 指导思考 了解 动手 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况75*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：向量坐标的概念？任意起点的向量的坐标表示？ 共线向量的坐标表示？质疑回答及时了解过 程行为 行为 意图 间结论：一般地，设平面直角坐标系中，x 轴的单位向量为i , y 轴的单位向量为j ，则对于从原点出发的任意向量a 都有唯一一对实数x 、y ，使得x y =+a i j ．有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)x y =a ．向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标.对非零向量a 、 b ，设1122(,),(,),a b ==x y x y 当0≠λ时，有12210a b ⇔-=x y x y ∥．归纳强调学生知识掌握情况80 *归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导回忆*自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知向量a , b 的坐标，求a ＋b 、 a − b 、−2 a ＋3 b 的坐标． a ＝(−2,3)， b =(1,1)； 提问 巡视 指导反思 动手 求解检验 学生 学习 效果85 *继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题7.2 A 组（必做）；7.2 B 组（选做）(3)实践调查：寻找生活中的向量坐标实例 说明记录分层次要求90【教师教学后记】【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |⋅a a 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间过 程行为 行为 意图 间*揭示课题7.3 平面向量的内积*创设情境 兴趣导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？介绍 质疑引导分析了解 思考 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点0 5 *动脑思考 探索新知 【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j sin 30cos30F i F j =⋅+⋅，即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ）总结 归纳思考 理解带领 学生 分析Fs图7—21 ︒30O过 程行为 行为 意图 间图7－22这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b>．两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即a ·b ＝｜a ||b |c os<a ,b > (7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s. 由内积的定义可知a ·0＝0, 0·a ＝0．仔细 分析讲解 关键 词语记忆引导 式启 发学 生得 出结 果15由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b＝−|a ||b |.思考Ox ij F (x ,y )yBAO图7－23ab。
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2020届中职数学第七章《平面向量》单元检测试题
（满分100分，时间：90分钟）
一.选择题(3分*10=30分)
1、已知向量()()x b a ,1,4,2==→→，若→→⊥b a ，则=x （ ）
A 、21-
B 、21
C 、2
D 、2-
2、已知|||2,30|a b a b a b →→==︒+=与的夹角为，则｜（ ）
A 、2
B 、5 D 、3
3、若A （1，2），B （-6，x ）,C （-1，4）三点共线，则x ＝（ ）
A 、-2
B 、 9
C 、 2
D 、 -9
4、已知A （2，-3），B （0，5），则AB ＝（ ）
A 、（2，-8）
B 、（-2，8）
C 、（2，2）
D 、（0，0）
5、下列各不等式中成立的是（ ）
A 、a b b +>
B 、a b b +>
C 、a b a b +>-
D 、a b a b +≤+
6、若A （-1，2），B （3，4）,P （x ，y ），且2AP PB =, 则P 点坐标为 ( )
A. 48(,)33
B. 14(,)33
C. 4(,4)3
D. 18(,)33
7、设向量a ,b 的长度分别为4和3，夹角为120度，则a b ＝( )
A. -6
B.
8、下列各组向量中共线的是（ ）
A 、(2,3),(4,6)a b =-=
B 、(1,2),(7,14)a b =-=
C 、(2,3),(3,2)a b ==
D 、(3,2),(6,4)a b =-=-
9、已知向量()4,3=→
AB ，点A 的坐标为()3,2-，则点B 的坐标是( )
A 、()1,7--
B 、()1,7
C 、()7,1
D 、()7,1-- 10. 已知向量a →、b →夹角是120︒,||13,||3,b |a b a +===则｜（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1
二.填空题(4分*8=32分)
11.若(1,3)a =- ，(1,1)b =-，则a b -为______________
12.已知ABC ∆中，AB a =, BC b = 当a b >0时,ABC ∆为 _____三角形. 13.AB AC BC -+ = 14.已知(2,1)a =,(1,3)b =，(8,9)c =,且c ma nb =+,则m ＝__,n=_____ 15.设a =（1，2），b =（-2，1），则b a 32+等于_____________
16.设向量(1,),a m = 向量(2,3)b m =-，若a b ⊥，则m=_____________.
17.已知向量1(1,2),(1,)2
a b ==-，则32a b -=______． 18.已知向量a =（1，2），b =（2，-1），则︱2a +b ︱的值为 ． 三、解答题(共计38分)
19.（6分）若a ·b =5，丨a 丨b 丨，求<a ，b > 20.（6分）已知2,23,3===⋅←→→→b a b a ，求<→a ,→b >
0=⋅→→b a ，求向量→
b 的坐标。
22.（6分） 已知向量a =（5，1），b =（-3，4），求,,32a b a b a b +⋅-的坐标。
23.(6分）已知OA a =，OB b =，(3,4)a =，b ＝4，∠AOB=60︒,求：a b + 24.(8分)已知向量→→b a ,是平面上不共线的两个非零向量，且→a =（4，-3），1=→
b ,且5=⋅→→b a ，求向量→b 的坐标。
第七章《平面向量》参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
二、填空题（共8小题，每题4分，共32分）
11. 52； 12.钝角三角形； 13.→0； 14. 3；2 ； 15. (-4，7）； 16.1或2； 17.25； 18. 5
； 三、填空题（共6小题，38分）
22.(2,5),11,32(21,5)a b a b a b +=⋅=--=- 23. 61 ；
24.(54，53
-)。