热力学与统计物理课后习题答案第一章
热力学与统计物理学课后习题及解答
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数T k 。
解：由理想气体的物态方程为 nRT PV = 可得: 体胀系数：TP nR V T V V αp 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 压强系数：TV nR P T P P βV 111==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=等温压缩系数：P P nRT V P V V κT 1)(112=−⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=1.2 证明任何一种具有两个独立参量P T ，的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T k ，根据下述积分求得：()⎰−=dP κdT αV T ln 如果PκT αT 11==，，试求物态方程。
解： 体胀系数：p T V V α⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1，等温压缩系数：TT P V V κ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂−=1 以P T ，为自变量，物质的物态方程为：()P T V V ,= 其全微分为：dP κV VdT αdP P V dT T V dV T Tp −=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=，dP κdT αV dV T −= 这是以P T ，为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得：()⎰−=dP κdT αV T ln 根据题设 ，将P κT αT 1,1==，代入：⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛−=dP P dT T V 11ln 得：C pT V +=lnln ，CT PV =，其中常数C 由实验数据可确定。
1.4 描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力£，物态方程是()0£=T L f ，，，实验通常在1n p 下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为：£1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=T L L α，等温杨氏模量定义为：TL A L Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=£，其中A 是金属丝的截面积。
一般来说，α和Y 是T 的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常量。
热力学统计物理第四版汪志诚答案
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为 11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即000p V pV C T T ==（常量）， 或.p VC T = （5）式（5）就是由所给11,T T pακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.8 满足n pV C =的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。
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第一章热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数, 压强系数和等温压缩系数。
解：已知理想气体的物态方程为pV nRT ,（1）由此易得T1 VV T1 pp T1 V V pTpVnR 1 ,pV TnR 1 ,pV T1nRT1 .Vp2p（2）（3）（4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量T , p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数，根据下述积分求得：ln V =αdTκdpT如果1, T1，试求物态方程。
T p解：以 T , p 为自变量，物质的物态方程为V V T , p ,其全微分为V Vdp.（1）dV dTT p p T全式除以 V ，有dV1VdT 1Vdp.V V T V pp T根据体胀系数和等温压缩系数T 的定义，可将上式改写为dVT dp.（2）dTV上式是以 T ,p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有ln VdT T dp .（3）若1 ,T1 ，式（ 3）可表为 TplnV1 1 （4）dTdp .Tp选择图示的积分路线，从 (T 0 , p 0 ) 积分到 T , p 0 ，再积分到（ T , p ），相应地体积由 V 0 最终变到 V ，有ln V =ln Tln p,V 0 T 0p 0即pV p 0V 0 C （常量），TT 0或p VC. T（5）式（5）就是由所给1 , T1求得的物态方程。
确定常量 C 需要进一步的Tp实验数据。
1.8 满足pV n C 的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。
试证明：理想气体在多方过程中的热容量C n为C n nC V n 1解：根据式（ 1.6.1 ），多方过程中的热容量C n lim QT nT 0U V.（1）pTT n n对于理想气体，内能U 只是温度 T 的函数，UC V ,T n所以C n C VV（2）p.T n将多方过程的过程方程式 pV n C 与理想气体的物态方程联立，消去压强p 可得TV n 1C1（常量）。
最新热力学与统计物理课后习题答案第一章备课讲稿
1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即000p V pV C T T ==（常量）， 或.pV CT = （5）式（5）就是由所给11,T T pακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
热力学统计物理 课后习题 答案
第一章 热力学的基本规律1．1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为nRT pV =由此得到 体胀系数TpV nR T V V p 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=α， 压强系数T pV nR T P P V 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=β 等温压缩系数p p nRT V p V V T 1)(112=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=κ 1．2证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数，根据下述积分求得()⎰-=dp dT V T καln ，如果P T T 1,1==κα，试求物态方程。
解： 体胀系数 pT V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α 等温压缩系数 TT p V V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=1κ 以T ，P 为自变量，物质的物态方程为 ()p T V V ,=其全微分为 dp V dT V dp p V dT T V dV T Tp κα-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= dp dT VdV T κα-= 这是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得()⎰-=dp dT V T καln 根据题设 ， 若 pT T 1,1==κα ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dp p dT T V 11ln 则有 C pT V +=ln ln ， PV=CT 要确定常数C ，需要进一步的实验数据。
1．4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力£，物态方程是(£,L,T)=0，实验通常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为FT L L ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α ，等温杨氏模量定义为TL F A L Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= ，其中A 是金属丝的截面。
一般来说，α和Y 是T 的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常数。
假设金属丝两端固定。
热力学与统计物理课后答案.docx
《热力学与统计物理学》课后习题及解答选用教材：汪志诚主编，高等教育出版社第一章热力学的基本规律1.1试求理想气体的体胀系数压强系数卩和等温压缩系数為。
解：由理想气体的物态方程为PV = uRT 可得:1.2证明任何一种具有两个独立参量T,尸的物质，其物态方程可由实验测得的 体胀系数Q 及等温压缩系数紡，根据下述积分求得:\nV = \(adT-K T dP)以八尸为自变量，物质的物态方程为：V = V(T,P)如耘〒 专’试求物态方程。
解: 体胀系数: 其全微分为：dV dT + p ar dP dP = aVdT-VK T dP, y- = adT-K T dP体胀系数:压强系数：0 =等温压缩系数: 丄P等温压缩系数:这是以八P 为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得:}nV = j （adT-K T dP ） 根据题设,将6（=丄,K T =丄，代入：ln/=f 丄dT -丄dPT T P }{T P 丿得:lnr = ln- + C, PV = CT,其中常数c 由实验数据可确定。
P1.5描述金属丝的儿何参量是长度厶，力学参量是张力£,物态方程是 ./、（£, L, r ） = o,实验通常在1几下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为：“丄（学］,等温杨氏模量定义为：Y = -（^},其中/是 L （打人 牡。
厶力金属丝的截面积。
一般来说，a 和Y 是厂的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如 果温度变化范围不大，可以看作常量。
假设金属丝两端固定。
试证明，当温度由 7；降至3时，其张力的增加为：\^ = -YAa （T 2-T^ 解:由/（£,厶，T ）= 0,可得：£ = £（L, T ）微分为：〃£ = （等）血+ （善］刃\由题意可知：dL = O.即：d£ = -aAYdT,积分得：A£ = -aAY(T 2 ・TJ1. 7在25 °C 下，压强在0至1000 p n 之间,测得水的体积为：K = （18.066-0.715x 10~3P + 0.046x 1 O'6P 2\m\mor ［Q 如果保持温度不变，将 1 mol 的水从1几加压至1000 求外界所作的功。
热力学统计物理 课后习题 答案
第一章 热力学的基本规律1．1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为nRT pV = 由此得到 体胀系数TpV nR T V V p 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=α， 压强系数TpV nR T P P V 11==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=β 等温压缩系数p p nRT V p V V T 1)(112=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=κ 1．2证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和等温压缩系数，根据下述积分求得()⎰-=dp dT V T καln ，如果PTT 1,1==κα，试求物态方程。
解： 体胀系数 p T V V ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=1α 等温压缩系数 TT p V V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=1κ 以T ，P 为自变量，物质的物态方程为 ()p T V V ,= 其全微分为 dp V dT V dp p V dT T V dV T Tp κα-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=dp dT VdVT κα-= 这是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得()⎰-=dp dT V T καln根据题设 ， 若 pT T 1,1==κα ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=dp p dT T V 11ln 则有 C pTV +=lnln ， PV=CT 要确定常数C ，需要进一步的实验数据。
1．4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力£，物态方程是(£,L,T)=0，实验通常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为FT L L ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=1α ，等温杨氏模量定义为TL F A L Y ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=，其中A 是金属丝的截面。
一般来说，α和Y 是T 的函数，对£仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常数。
假设金属丝两端固定。
试证明，当温度由T1降至T2时，其张力的增加为)T -(T -Y A £12α=∆。
热力学与统计物理课后习题答案
T
S T
V
；即
T T 0 S V CV
于是： 0>
p 正p数
V T V S
于是：
< 0p
V S
CP
T
S T
P
T
S , T ,
p p
T
S, p S,V
S,V T , p
T
p V
S
S,V T , p
T p V S
S T
,V ,V
T ,V T , p
化简。
解：由式(3.2.7)得：U TS pV ；又由式(3.4.6)得：
dp L dT TV
；L TS
Pa
U L L p dT T dp
L1
p T
dT dp
第四章 多元系的复相平衡和化学平衡
=0。
解： 由式(2.2.7)得：
(
U V
)T
p
=T
( T
)V
-p;
(
U V
)T
=0
;
p
T
( p T
)V
( U V
)T
=
(U ,T ) (V ,T )
(U ,T )
=
( p,T )
( p,T ) (V ,T )
U =0= ( p )T
(
p V
)T
∵
( p V
)T≠0
;
(
U p
)=T 0。
习题2.10 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无
)U
>0
证: 由式(2.1.2)得： dH TdS VdP
等H过程: (TdS )H (VdP)H
热力学与统计物理课后习题答案第一章
热力学与统计物理课后习题答案第一章1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα=== ?（2） 11,V p nR p T pV Tβ=== ?（3） 2111.T T V nRT V p V p pκ=-=--= ? ? ???????? （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -?如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p=+ ? ?（1）全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p =+ ? ?根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2）上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-? （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为 11ln .V dT dp Tp ??=- （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T p V T p - 即00p V pV C T T ==（常量），或.p V C T=（5）式（5）就是由所给11,T T pακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=?=?T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
热力学统计物理(第四版汪志诚)答案及习题解答
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即00p V pV C T T ==（常量）， 或.p V C T=（5） 式（5）就是由所给11,T Tpακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
热力学与统计物理课后习题答案第一章复习课程
热力学与统计物理课后习题答案第一章1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭根据体胀系数α和等温压缩系数Tκ的定义，可将上式改写为.TdVdT dpVακ=-（2）上式是以,T p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln.TV dT dpακ=-⎰（3）若11,TT pακ==，式（3）可表为11ln.V dT dpT p⎛⎫=-⎪⎝⎭⎰（4）选择图示的积分路线，从00(,)T p积分到()0,T p，再积分到（,T p），相应地体积由V最终变到V，有000ln=ln ln,V T pV T p-即00p VpVCT T==（常量），或.pV CT=（5）式（5）就是由所给11,T T pακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
《热力学与统计物理》第四版(汪志诚)课后题答案
和
Y
是T 的函数，对J仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范
围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。试证明，当温度由
1
J YA T2 T1
降至
2
时，其张力的增加为
解：由物态方程
f J , L, T 0
（1）
知偏导数间存在以下关系：
L T J 1. T J J L L T
如果 解：以
1 1 , T T p
，试求物态方程。
T, p
为自变量，物质的物态方程为
V V T , p ,
其全微分为
V V dV dp. dT T p p T
全式除以
（1）
V
，有
dV 1 V 1 V dp. dT V V T p V p T
（3）
T
1 V 1 nRT 1 . V p T V p 2 p
（4）
1.2 证明任何一种具有两个独立参量 系数
T, p
的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数
及等温压缩
，根据下述积分求得：
lnV = αdT κT dp
L L0
0.5, 1.0, 1.5
A 1 106 m 2 , 0 5 104 K 1
，试计算当
分别为
和
2.0
时的
J, Y,
值，并画出
J, Y,
对
L L0
的曲线.
解:（a）根据题设，理想弹性物质的物态方程为
L L2 0 J bT 2 , L0 L
热力学统计物理_第四版_汪志诚_答案(完整教资)
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为 ,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV T β∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p p κ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.8 满足n pV C =的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。
试证明：理想气体在多方过程中的热容量n C 为1n V n C C n γ-=- 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量0lim .n T n n nQ U V C p T T T ∆→∆∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪∆∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1） 对于理想气体，内能U 只是温度T 的函数，,V nU C T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 所以.n V nV C C p T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （2） 将多方过程的过程方程式n pV C =与理想气体的物态方程联立，消去压强p 可得11n TV C -=（常量）。
（3）将上式微分，有12(1)0,n n V dT n V TdV --+-=所以.(1)nV V T n T ∂⎛⎫=- ⎪∂-⎝⎭ （4） 代入式（2），即得,(1)1n V V pV n C C C T n n γ-=-=-- （5） 其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量n C 如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n pn V C C n C C -=-。
假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：根据热力学第一定律，有đđ.dU Q W =+ （1）对于准静态过程有đ,W pdV =-对理想气体有,V dU C dT =气体在过程中吸收的热量为đ,n Q C dT =因此式（1）可表为().n V C C dT pdV -= （2）用理想气体的物态方程pV vRT =除上式，并注意,p V C C vR -=可得()().n V p V dT dV C C C C T V-=- （3） 将理想气体的物态方程全式求微分，有.dp dV dT p V T+= （4） 式（3）与式（4）联立，消去dT T，有。
热力学与统计物理第一章部分习题讲解
习题讲解：6． (a)327m 的空气质量1m 为1 1.292734.83m kg=⨯==34830g定容热容量可由所给定压比热容得PV C C γ=维持体积不变,将空气由0C加热至20C,所需热量V Q 为()5121 1.17610V V Q m C T T cal =-=⨯(b)维持压强不变, 将空气由0C加热至20C ,所需热量P Q 为()5121 1.65810P P Q m C T T cal =-=⨯(c)若容器有裂纹,加热过程中气体将从裂缝漏出,使容器内空气质量发生变化,根据理想气体的物态方程m P V R Tm+=,m +为空气的平均摩尔质量,在压强和体积不变的情形下,容器内空气的质量与温度成反比,以11,m T 表示气体在初态的质量和温度,m 表示温度为T 时气体的质量,有11m T m T = 故所需热量 21T P T Q C mdT =⎰211121115ln1.59610T P T P dT m T C T T m T C T cal===⨯⎰1.13(1) t=0℃的lmol 理想气体，等温地从0V 膨胀到100V ，求对外所做的功W; (2) C t oi 0=的1mol 理想气体，绝热地从0V 膨胀到100V ，求终温f t 。
解： （1）10103ln 10 5.210V V V V R T W pdV dV R T JV====⨯⎰⎰（2） 由绝热过程方程pV γ=常数，及物态方程RTpV =,得到1TVγ-=常数。
所以，1()i f i fV T T V γ-=KT f 59=，故有CT t of f 214273-=-=20.根据克劳修斯不等式，有0i iiQ T ≤∑（1）式中i Q 是热机从温度为i T 的热源吸收的热量（吸热i T 为正，放热i T 为负）。
将热量重新定义，可将（1）改写为j k jkjkQ Q T T -≤∑∑。
式中j Q 是热机从热源j T 吸取的热量。
热力学统计物理第四版答案
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即00p V pV C T T ==（常量）， 或.p V C T =（5）式（5）就是由所给11,T Tpακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
热力学与统计物理答案汪志诚
热力学与统计物理答案(汪志诚) 第一章热力学的基本规律1.1 热力学系统的平衡态及其描述1.什么是热力学系统？热力学系统有哪些分类？答：热力学系统是指由大量相互作用的粒子组成的集合体，可以用一些宏观物理量来描述其状态。
热力学系统可以分为孤立系统、封闭系统和开放系统。
2.什么是热力学平衡态？热力学平衡态有哪些性质？答：热力学平衡态是指在没有外界影响的情况下，系统的宏观性质不随时间变化的状态。
热力学平衡态具有均匀性、各向同性和稳定性等性质。
3.如何描述热力学系统的状态？常用的状态参量有哪些？答：热力学系统的状态可以用一组状态参量来描述，常用的状态参量有体积、温度、压力和熵等。
1.2 热力学第零定律温度1.热力学第零定律的内容是什么？如何理解？答：热力学第零定律的内容是：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡(温度相同)，则它们彼此也必定处于热平衡。
这个定律说明了温度是描述热力学系统状态的一个重要参量，也是进行热交换的驱动力。
2.什么是温度？温度有哪些性质？答：温度是描述热力学系统状态的一个宏观参量，表示系统的冷热程度。
温度具有可加性和可比较性等性质，可以用温度计来测量。
3.温度与微观粒子运动的关系是什么？答：温度与微观粒子运动的关系可以通过麦克斯韦-玻尔兹曼分布来描述。
在一定温度下，系统中微观粒子的速度分布服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布，粒子的平均动能与温度成正比。
1.3 热力学第一定律能量守恒定律1.热力学第一定律的内容是什么？如何理解？答：热力学第一定律的内容是：物体内能的增加等于物体吸收的热量和对物体所作的功的总和。
这个定律说明了能量守恒和转换的规律，即能量既不会凭空产生也不会凭空消失，只会从一种形式转换成另一种形式。
2.什么是内能？内能有哪些性质？答：内能是指热力学系统中所有微观粒子的动能和势能之和。
内能是一个状态函数，具有可加性和单调性等性质。
热力学·统计物理答案 第一章(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第一章 热力学的基本规律习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。
解：由得：nRT PV =VnRTP P nRT V ==; 所以, TP nR V T V V P 11)(1==∂∂=αT PVRn T P P V /1)(1==∂∂=βP P nRT V P V V T T /111)(12=--=∂∂-=κ习题1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质p T ,,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T κ,根据下述积分求得:⎰-=)(ln dp dT V T κα如果1Tα= 1Tpκ=,试求物态方程。
解： 因为0),,(=p V T f ,所以,我们可写成),(p T V V =,由此,dp pVdT T V dV T p )()(∂∂+∂∂=, 因为T T p pVV T V V )(1,)(1∂∂-=∂∂=κα 所以,dp dT VdVdp V dT V dV T T κακα-=-=,所以,⎰-=dp dT V T καln ,当p T T /1,/1==κα.CT pV pdpT dT V =-=⎰:,ln 得到习题 1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为1510*85.4--=K α和1710*8.7--=n T p κ，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至10°C 。
问（1压强要增加多少np 才能使铜块体积不变？（2若压强增加100np ，铜块的体积改多少 解：分别设为V xp n ∆;，由定义得：74410*8.7*10010*85.4;10*858.4----=∆=V x T κ所以，410*07.4,622-=∆=V p x n 错习题1.4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力η，物态方程是0),,(=T L f η实验通常在n p 1下进行，其体积变化可忽略。
线胀系数定义为ηα)(1T L L ∂∂=等杨氏摸量定义为T LA L Y )(∂∂=η其中A 是金属丝的截面积，一般说来，α和Y 是T 的函数，对η仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范不大，可看作常数。
热力学统计物理课后习题答案
1. 1试求理想气体的体胀系数 :，压强系数：和等温压缩系数：T解：已知理想气体的物态方程为 pV 二nRT 由此得到体胀系数-貯。
诵冷，1. 2证明任何一种具有两个独立参量 T ，P 的物质，其物态方程可由实验测量的体胀系数和 等温压缩系数，根据下述积分求得 InV =:・dT -：T dp ，如果：•二丄「.T -，试求物态方TP程。
解：体胀系数:=-—V 5丿p等温压缩系数K T =--—]V 2P 人这是以T ，P 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，得根据题设，若〉=丄，冷=丄T p则有InV =ln T C ， PV=CTp要确定常数C,需要进一步的实验数据。
1. 4描述金属丝的几何参量是长度 L ,力学参量是张力£，物态方程是（£丄,T ）=0，实验通 1 r 鬥）常在大气压下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为a =丄丄| ，等温杨氏模量L 5丿F定义为Y -L 「匚 ，其中A 是金属丝的截面。
一般来说，：和Y 是T 的函数，对£仅有微A I^L 人第一章热力 学 的 基 本压强系数1 仔、_ n R _ 1 B JT 厂而=T等温压缩系数'-T =以T ，P 为自变量, 物质的物态方程为V =V T,p其全微分为 dV =eVdp 二 V ： dT -V T dp i印」n RT ) T~) p所以C n = C Vn -1弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常数。
假设金属丝两端固定。
试证明，当 温度由T1降至T2时，其张力的增加为厶£ = -YA/T 2-TJ 。
解：f ( £ 丄,T)=0, £ =F £ (L,T)d £=空；dT +( dL — i dT (dL=0)©丿Li 此丿T &T .丿L所以：£= -YA MT ? -TJ1. 6 1mol 理想气体，在27o C 的恒温下发生膨胀,其压强由20P n 准静态地降到1P n ,求气体 所做的功和所吸收的热量。
热力学与统计物理学思考题及习题
《热力学与统计物理学》思考题及习题第一章 热力学的基本定律§1.1 基本概念1． 试求理想气体的定压膨胀系数α、定容压强系数β和等温压缩系数κ。
2． 假设压强不太高，1摩尔实际气体的状态方程可表为)1(Bp RT pv += , 式中B 只是 温度的函数。
求βα、和κ，并给出在0→p 时的极限值。
3． 设一理想弹性棒，其状态方程是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2200L L LL kT F 式中k 是常数，0L 是张力F 为零时棒的长度，它只是温度T 的函数。
试证明：(1) 杨氏弹性模量223AL kTL A F L F A L Y T +=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=；(2) 线膨胀系数AYT F T L L F -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=01αα，其中F T L L ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=0001α，A 为弹性棒的横截面积。
4． 某固体的V Bp CT -=2α，V BT=κ，其中B 、C 为常数，试用三种方法求其状态方程。
5． 某种气体的α及κ分别为：pV Rνα=,V ap +=1κ,其中ν、R 、a 都是常数。
求此气体的状态方程。
6． 某种气体的α及k 分别为：()p f V aVT 134+=α，2Vp RT =κ。
其中a 是常数。
试证明：(1) ()2/p R p f =；(2) 该气体的状态方程为：T ap RT pV /-=。
7． 简单固体和液体的体胀系数α和压缩系数κ的值都很小，在一定的温度范围内可以近似视为常数。
试证明其状态方程可表为：)0,(),(00T V p T V =[p T T κα--+)(10]。
8． 磁体的磁化强度m 是外磁场强度H 和温度T 的函数。
对于理想磁体，从实验上测得： T C H m T =⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ ，2T CH T m H-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ ， T CH m =。
其中C 是居里常数。
试证明其状态方程为：m =。
9． 求下列气态方程的第二、第三维里系数：(1) 范德瓦耳斯方程RT b v v ap =-+))((2；(2) 克劳修斯方程b v RT p -=2)(c v T a +-。
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试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数。
解：已知理想气体的物态方程为（1）由此易得（2）（3）（4）证明任何一种具有两个独立参量的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数，根据下述积分求得：如果，试求物态方程。
解：以为自变量，物质的物态方程为其全微分为（1）全式除以，有根据体胀系数和等温压缩系数的定义，可将上式改写为（2）上式是以为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有（3）若，式（3）可表为（4）选择图示的积分路线，从积分到，再积分到（），相应地体积由最终变到，有即（常量），或（5）式（5）就是由所给求得的物态方程。
确定常量C需要进一步的实验数据。
在和1下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为可近似看作常量，今使铜块加热至。
问：（a）压强要增加多少才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100，铜块的体积改变多少？解：（a）根据题式（2），有（1）上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差，温度差和压强差之间的关系。
如果系统的体积不变，与的关系为（2）在和可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得（3）将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。
但是应当强调，只要初态和终态是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。
这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。
本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。
在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。
将所给数据代入，可得因此，将铜块由加热到，要使铜块体积保持不变，压强要增强（b）题式（4）可改写为（4）将所给数据代入，有因此，将铜块由加热至，压强由增加，铜块体积将增加原体积的倍。
简单固体和液体的体胀系数和等温压缩系数数值都很小，在一定温度范围内可以把和看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为解: 以为状态参量，物质的物态方程为根据习题式（2），有（1）将上式沿习题图所示的路线求线积分，在和可以看作常量的情形下，有（2）或（3）考虑到和的数值很小，将指数函数展开，准确到和的线性项，有（4）如果取，即有（5）描述金属丝的几何参量是长度，力学参量是张力J，物态方程是实验通常在1下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为等温杨氏模量定义为其中是金属丝的截面积，一般来说，和是T的函数，对J仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。
试证明，当温度由降至时，其张力的增加为解：由物态方程（1）知偏导数间存在以下关系：（2）所以，有（3）积分得（4）与题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差就满足式（4），与经历的过程无关。
一理想弹性线的物态方程为其中是长度，是张力J为零时的L值，它只是温度T的函数，b是常量. 试证明：（a）等温扬氏模量为在张力为零时，其中A是弹性线的截面面积。
（b）线胀系数为其中（c）上述物态方程适用于橡皮带，设，试计算当分别为和时的值，并画出对的曲线.解:（a）根据题设，理想弹性物质的物态方程为（1）由此可得等温杨氏模量为（2）张力为零时，（b）线胀系数的定义为由链式关系知（3）而所以（4）（c）根据题给的数据，对的曲线分别如图1-2（a），（b），（c）所示。
抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能与原来在大气中的内能之差为，其中是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。
解：将冲入小匣的气体看作系统。
系统冲入小匣后的内能与其原来在大气中的内能由式（1.5.3）（1）确定。
由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，过程中外界对系统所做的功可以分为和两部分来考虑。
一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由变为零。
由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的）。
过程中大气对系统所做的功为另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则因此式（1）可表为（2）如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（），有（3）（4）式中是系统所含物质的量。
代入式（2）即有（5）活门是在系统的压强达到时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作，其物态方程为（6）与式（3）比较，知（7）满足的过程称为多方过程，其中常数名为多方指数。
试证明：理想气体在多方过程中的热容量为解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量（1）对于理想气体，内能U只是温度T的函数，所以（2）将多方过程的过程方程式与理想气体的物态方程联立，消去压强可得（常量）。
（3）将上式微分，有所以（4）代入式（2），即得（5）其中用了式（1.7.8）和（）。
试证明：理想气体在某一过程中的热容量如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数。
假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：根据热力学第一定律，有（1）对于准静态过程有对理想气体有气体在过程中吸收的热量为因此式（1）可表为（2）用理想气体的物态方程除上式，并注意可得（3）将理想气体的物态方程全式求微分，有（4）式（3）与式（4）联立，消去，有（5）令，可将式（5）表为（6）如果和都是常量，将上式积分即得（常量）。
（7）式（7）表明，过程是多方过程。
声波在气体中的传播速度为假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能和焓可由声速及给出：其中为常量。
解：根据式（1.8.9），声速的平方为（1）其中v是单位质量的气体体积。
理想气体的物态方程可表为式中是气体的质量，是气体的摩尔质量。
对于单位质量的气体，有（2）代入式（1）得（3）以表示理想气体的比内能和比焓（单位质量的内能和焓）。
由式（1.7.10）—（）知（4）将式（3）代入，即有（5）式（5）表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和即可确定气体的比内能和比焓。
大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间空气不断发生对流，由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀，下降时收缩，空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程，试计算大气温度随高度的变化率，并给出数值结果。
解：取轴沿竖直方向（向上）。
以和分别表示在竖直高度为和处的大气压强。
二者之关等于两个高度之间由大气重量产生的压强，即（1）式中是高度为处的大气密度，是重力加速度。
将展开，有代入式（1），得（2）式（2）给出由于重力的存在导致的大气压强随高度的变化率。
以表大气的平均摩尔质量。
在高度为处，大气的摩尔体积为，则物态方程为（3）是竖直高度为处的温度。
代入式（2），消去得（4）由式（1.8.6）易得气体在绝热过程中温度随压强的变化率为（5）综合式（4）和式（5），有（6）大气的（大气的主要成分是氮和氧，都是双原子分子），平均摩尔质量为，代入式（6）得（7）式（7）表明，每升高1km，温度降低10K。
这结果是粗略的。
由于各种没有考虑的因素，实际每升高1km，大气温度降低6K左右。
假设理想气体的是温度的函数，试求在准静态绝热过程中的关系，该关系式中要用到一个函数，其表达式为解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足（1）用物态方程除上式，第一项用除，第二项用除，可得（2）利用式（1.7.8）和（），可将式（2）改定为（3）将上式积分，如果是温度的函数，定义（4）可得（常量），（5）或（常量）。
（6）式（6）给出当是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。
利用上题的结果证明：当为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为解：在是温度的函数的情形下，§就理想气体卡诺循环得到的式（1.9.4）—（）仍然成立，即仍有（1）（2）（3）根据题式（6），对于§中的准静态绝热过程（二）和（四），有（4）（5）从这两个方程消去和，得（6）故（7）所以在是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为（8）试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解：假设在图中两条绝热线交于点，如图所示。
设想一等温线与两条绝热线分别交于点和点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程中，系统在等温过程中从外界吸取热量，而在循环过程中对外做功，其数值等于三条线所围面积（正值）。
循环过程完成后，系统回到原来的状态。
根据热力学第一定律，有。
这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了，这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。
因此两条绝热线不可能相交。
热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸收热量的热源中，热源的最高温度为，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为，试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过解：根据克劳修斯不等式（式（1.13.4）），有（1）式中是热机从温度为的热源吸取的热量（吸热为正，放热为负）。
将热量重新定义，可将式（1）改写为（2）式中是热机从热源吸取的热量，是热机在热源放出的热量，，恒正。
将式（2）改写为（3）假设热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为，必有故由式（3）得（4）定义为热机在过程中吸取的总热量，为热机放出的总热量，则式（4）可表为（5）或（6）根据热力学第一定律，热机在循环过程中所做的功为热机的效率为（7）理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由升至。
假设是常数，试证明前者的熵增加值为后者的倍。
解：根据式（1.15.8），理想气体的熵函数可表达为（1）在等压过程中温度由升到时，熵增加值为（2）根据式（1.15.8），理想气体的熵函数也可表达为（3）在等容过程中温度由升到时，熵增加值为（4）所以（5）温度为的1kg水与温度为的恒温热源接触后，水温达到。
试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。
欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使水温从升至？已知水的比热容为解：的水与温度为的恒温热源接触后水温升为，这一过程是不可逆过程。
为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。
为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在与之间。
令水依次从这些热源吸热,使水温由升至。
在这可逆过程中,水的熵变为（1）水从升温至所吸收的总热量为为求热源的熵变，可令热源向温度为的另一热源放出热量。