高考数学总复习教案：抛物线

第九章 平面解析几何第9课时 抛 物 线⎝ ⎛⎭

⎪⎫

对应学生用书（文）134～136页 （理）140～142页

考情分析

考点新知

建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题．

① 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，了解它们的简单几何性质. ② 掌握抛物线的简单应用.

1. 已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________． 答案：x2＝－12y

解析：∵ p

2＝3，∴ p ＝6，∴ x2＝－12y.

2. 抛物线y2＝－8x 的准线方程是________． 答案：x ＝2

解析：∵ 2p ＝8，

∴ p ＝4，故所求准线方程为x ＝2.

3. 抛物线y ＝ax2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________． 答案：－1

8

解析：抛物线的标准方程为x2＝1a y.则a ＜0且2＝－14a ，得a ＝－1

8.

4. (选修11P44习题2改编)抛物线y2＝4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标x ＝________． 答案：2

解析：∵ 2p ＝4，∴ p ＝2，准线方程x ＝－1.由抛物线定义可知，点M 到准线的距离为3，则x ＋1＝3，即x ＝2.

5. 已知斜率为2的直线l 过抛物线y2＝ax(a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________． 答案：y2＝8x

解析：依题意得，OF ＝a 4，又直线l 的斜率为2，可知AO ＝2OF ＝a 2，△AOF 的面积等于1

2·AO ·OF ＝a2

16＝4，则a2＝64.又a ＞0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y2＝8x.

1. 抛物线的定义

平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)距离相等_的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2. 抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)

标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0)

图形

性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R

准线

方程

x＝－

p

2x＝

p

2

焦点

⎝

⎛

⎭

⎫

p

2，0⎝

⎛

⎭

⎫

－

p

2，0

对称轴关于x轴对称

顶点(0，0)

离心率e＝1

标准方程x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形

性

质

范围y≥0，x∈R y≤0，x∈R

准线

方程

y＝－

p

2y＝

p

2

焦点

⎝

⎛

⎭

⎫

0，

p

2⎝

⎛

⎭

⎫

0，－

p

2对称

轴

关于y轴对称

顶点(0，0)

离心率

e ＝1

题型1 求抛物线的基本量

例1 抛物线y2＝8x 的焦点到准线的距离是________． 答案：4

解析：由y2＝2px ＝8x 知p ＝4，又焦点到准线的距离就是p ，所以焦点到准线的距离为4. 备选变式（教师专享）

抛物线y2＝－8x 的准线方程是________． 答案：x ＝2

解析：∵2p ＝8，∴p ＝4，准线方程为x ＝2. 题型2 求抛物线的方程

例2 (选修11P44习题5改编)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2x －y －4＝0上，求抛物线的标准方程．

解：直线2x －y －4＝0与x 轴的交点是(2，0)，与y 轴的交点是(0，－4)．由于抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，则①若抛物线焦点在x 轴上，则抛物线的标准方程是y2＝8x ；②若抛物线焦点在y 轴上，则抛物线的标准方程是x2＝－16y ；故所求抛物线方程为y2＝8x 或x2＝－16y. 变式训练

已知Rt △AOB 的三个顶点都在抛物线y2＝2px 上，其中直角顶点O 为原点，OA 所在直线的方程为y ＝3x ，△AOB 的面积为63，求该抛物线的方程．

解：∵ OA ⊥OB ，且OA 所在直线的方程为y ＝3x ，OB 所在直线的方程为y ＝－3

3x ，

由⎩⎨⎧y2＝2px ，y ＝3x ，

得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 3，23p 3，

由⎩

⎪⎨⎪

⎧y2＝2px ，y ＝－33x ，得B 点坐标为(6p ，－23p)，

∴ OA ＝4

3|p|，OB ＝43|p|， 又S △OAB ＝833p2＝63，∴ p ＝±3

2.

∴ 该抛物线的方程为y2＝3x 或y2＝－3x. 题型3 抛物线的几何性质探究

例3 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F 在x 轴上．

(1) 求抛物线C 的标准方程；

(2) 求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；

(3) 设过点M(m ，0)(m>0)的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m 的表达式．

解：(1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y2＝2px.因为点A(2，2)在抛物线C 上，所以p ＝1.因此抛物线C 的标准方程为y2＝2x.

(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜

率为－1，因此所求直线的方程是x ＋y －1

2＝0.

(3)(解法1)设点D 和E 的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，直线DE 的方程是y ＝k(x －m)，k ≠0. 将x ＝y

k ＋m 代入y2＝2x ，有ky2－2y －2km ＝0，解得y1，2＝1±1＋2mk2k . 由ME ＝2DM 知1＋1＋2mk2＝2(1＋2mk2－1)，化简得k2＝4m .

因此DE2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k2(y1－y2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k24（1＋2mk2）k2＝94(m2＋4m)，所以f(m)＝3

2m2＋4m(m>0)． (解法2)设D ⎝⎛⎭⎫s22，s ，E ⎝⎛⎭

⎫t22，t . 由点M(m ，0)及ME →＝2DM →，得12t2－m ＝2⎝⎛⎭

⎫m －s22，t －0＝2(0－s)．因此t ＝－2s ，m ＝s2.

所以f(m)＝DE ＝

⎝

⎛⎭⎫2s2－s222

＋（－2s －s ）2＝32m2＋4m(m>0)．

备选变式（教师专享）

抛物线y2＝2px 的准线方程为x ＝－2，该抛物线上的每个点到准线x ＝－2的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线l1：y ＝x 和l2：y ＝－x 相切的圆， (1) 求定点N 的坐标；

(2) 是否存在一条直线l 同时满足下列条件：

① l 分别与直线l1和l2交于A 、B 两点，且AB 中点为E(4，1)；