分枝定界算法应用小结

分枝定界算法应用小结

摘要

本文首先总结了分枝定界算法的总体内容。

然后，我们列举了6个分枝定界算法应用的实例，它们分别：（1）基于分枝限界法的公交换乘算法设计；（2）分枝定界算法用于有机混合物的分析；（3）求解最大割问题的分枝定界算法；（4）弱有效集上凹函数极大问题的分枝定界算法；（5）分枝定界算法在食品分析中的应用—水果中有机酸的同时定性定量分析；（6）基于分枝定界法的环肋圆柱壳优化研究。

我们得知，分枝定界算法是一种常用算法，属于枚举算法，能够系统地搜索解空间，分枝定界算法的应用非常广泛。

一、分枝定界算法总述

分枝定界算法也可以叫做分支限定法。分枝定界法是一个用途十分广泛的算法，运用这种算法的技巧性很强，不同类型的问题解法也各不相同。总的来说，“分支限定法求解问题的过程与图的广度优先方法类似。它是把问题的各个结点的解看作是解空间树上的各个分支结点，求解过程是在解空间树中进行官广度优先搜索的过程。”[1]

分枝定界算法的具体内容如下：

“步骤一：如果问题的目标为最小化，则设定目前最优解的值Z=∞。

步骤二：根据分枝法则（Branching rule），从尚未被洞悉（Fathomed）节点（局部解）中选择一个节点，并在此节点的下一阶层中分为几个新的节点。

步骤三：计算每一个新分枝出来的节点的下限值（Lower bound，LB）。

步骤四：对每一节点进行洞悉条件测试，若节点满足以下任意一个条件，则此节点可洞悉而不再被考虑：此节点的下限值大于等于Z值。已找到在此节点中，具最小下限值的可行解；若此条件成立，则需比较此可行解与Z 值，若前者较小，则需更新Z值，以此为可行解的值。此节点不可能包含可行解。

步骤五：判断是否仍有尚未被洞悉的节点，如果有，则进行步骤二，如果已无尚未被洞悉的节点，则演算停止，并得到最优解。”[2]

二、分枝定界算法的有关应用

分枝定界算法是一种常用算法，属于枚举算法，能够系统地搜索解空间，分枝定界算法的应用非常广泛。以下列举几个具体应用实例。

1、基于分枝限界法的公交换乘算法设计[3]

（1）问题陈述

伴随着经济的高速发展，公共交通问题成为解决城市拥挤，环境污染等问题

的重要手段。由于受计算机硬件及软件资源的制约，我们在对城市，特别是大型城市庞大的公交网络进行公交换乘问题求解时，不可能对每一种可能解进行计算。那该如何更好地解决该问题呢？

（2）该问题算法设计思想

在本文所解决的公交换乘问题中，我们的设计是根据具体城市的具体情况，我们对城市地图进行逐层分块，直至求出所求解。

从起点站开始，我们总是试图转乘最少次数的车到终点站，因此，当我们坐上一辆公交车后，我们要尽可能走更远的距离。只有当这趟车不满足我们乘车方向的要求时，我们才会考虑转车。所以我们在每一个起始点站总是试图找到能够到达离目的地最近的一趟车。在每一个车站总会有好几趟车经过，我们怎样才能知道坐哪趟车才会是最佳方案呢？从这站开始，每走一站，我们便作一次条件判断，保留满足某一条件的车次，对不满足这一条件的车次修枝（删除）。按此方案，不断往前走，只要有车次能够继续往目的地方向前进，我们就决不换车。只有当目前所有的车都不满这一条件时，我们再按上面的方案，把此站作为起始站换乘车辆继续前进，直至终点站。

根据以上思想设计的算法是一种行之有效的公交换乘解决方案。

2、分枝定界算法用于有机混合物的分析[4]

在分析工作中常常会遇到一种分析体系，即定性组成不完全确知的混合体系称为“灰色”分析体系。最常见的情形为已知混合物体系中可能存在的组分（物种）范围，但种类和数目未知。对于这类灰色分析体系，一般需先用某方法进行定性分析，再进行定量测定。采用分枝定界算法，实现未知混合试样体系的同时定性定量分析。此方法克服了逐步回归法只能找出局部最优解的不足，仅用较少的计算就可以找出全局最优解。在最优回归子集的选择中，选用4个判据，解决了最优回归子集难判断的问题，使最优回归子集的选择更加准确，真实，可靠。采用分枝定界算法，实现最优回归子集的选择。

3、求解最大割问题的分枝定界算法[5]

最大割问题是图论中的一个典型的NP困难问题，它在工程问题中有着广泛的应用。该应用基于最大割问题的半定规划松弛模型，给出了最大割问题的一种二次规划松弛模型，并且理论证明了文中提出的二次规划松弛模型要优于半定规划松弛模型. 在该模型的基础上，利用分枝定界算法求解最大割问题。对小规模和中等规模的最大割问题分别作数值实验。实验表明分枝定界算法能够给出最大割问题一个好的近似解。

4、弱有效集上凹函数极大问题的分枝定界算法[6]

弱有效集上的优化问题主要思想是寻找一个使决策者最满意的弱有效解，为了达到这个目的，决策者选择一些实值目标函数，搜索一个弱有效解以便优化其目标函数。该应用考虑了一凹函数在弱有效集上的极大问题。此优化问题主要有两方面的困难。第一，弱有效解集一般说来不再是凸集，因此，存在多个局部最优解；第二，该问题不属于存在一个全局最优解在多面体集的一个极点取得的一类间题。其方法的主要思想是，首先，把所考虑的问题转化为在k+1维空间中的一个特殊全局优化问题；其次，用分枝定界型算法求解产生的非凸优化问题。当实施算法时，分枝过程是采用锥形剖分；定界过程是通过求解普通线性规划完成的。

5、分枝定界算法在食品分析中的应用—水果中有机酸的定性定量分析[7]

研究水果中有机酸的成分和含量具有一定的实际意义，目前分析混合物的方法都有一个共同的弱点，即要求预先知道待测样品中所含有机酸的数目及种类。这一点对实际待测样品来说是难于满足的。即使满足了这一要求，应用这些方法也非常麻烦。因为这些方法对数目及种类不同的有机酸体系，要求应用不同的校正矩阵，这就限制了这些方法的使用范围。由于实际样品的分析往往比人工混

合样更复杂，而上述方法仅对人工混合酸进行了分析， 没有研究水果等实际样品的测定方法， 因此这些方法能否用于测定实际样品，还需要进行进一步研究。该应用将分枝定界算法与电位滴定法相结合，设计出一种新方法。在实验中只需解析由一份试样测得的数据，即可同时得到待测样品中所含有机酸的数目、种类及含量。本法不需预先知道水果中有机酸的数目及种类，具有简单、快速、准确等优点。

不同的酸具有不同的离解常数， 因此它们的滴定曲线也不相同。当离子强度、温度等条件恒定时， 在某个PH 值下， 滴定剂氢氧化钠溶液的体积与待测酸的浓度间有线性关系，其数学模型可由下式给出

1122i i i i n n i V K C K C K C e =++++ ， (1,,)i m = （1）

式中i V 为滴定至第i 个Ph 值时所消耗的NaOH 溶液的体积 ；k c 为第k 种

可能存在的酸的浓度;ik K 为第6 种可能存在的酸在第个i 点上的比例因子，i e 为测量误差，一般为服从零均等方差的正态分布误差，n 为可能存在于待测样品中的组分数。

常规定性分析的目的是找出混合样品中存在的组分，从数学角度看就是要找出（1）式中究竟存在哪些项。这个问题可归结为回归变量的选择。该应用分枝定界算法来实现最优回归子集的选择。此法既克服了穷举法计算量大缺点，又克服了逐步回归法只能找出局部最优解的不足；仅用较少的计算就可以找出全局最优解。在回归分析中，任一不相关变量(组分) 集A ，与其某一子集B 的残差平方和(RSS)，存在不等式：()()RSS A RSS B ≤此式是分枝定界算法的基础。

6、基于分枝定界法的环肋圆柱壳优化研究[8]

加筋圆柱壳结构的优化问题属于典型的离散优化问题，工程中常用的处理方法是先求得问题的连续变量的最优解。然后按照工程要求进行规格化处理，但是圆整后的解很可能出现在约束区域外，成为不可行解，并且圆整没有规律可循，当维数较高时，校核的工作量较大。另外，圆整的方法甚至不能得到离散变量的最优解。针对这种离散优化问题，本文则采用分枝界定法[8]对环肋圆柱壳在静水压力作用下的最小重量设计进行了研究，设计变量是壳板的厚度、肋骨的型、间距和数量，讨论了强度约束和稳定性约束以及材料几何参数对重量以及其它特征量的影响。

该应用基于分枝界定法分析了环肋圆柱壳在静水压力作用下的混合优化问题， 讨论了分枝界定方法的精度以及材料和几何特性对于环肋圆柱壳重量和其它特征量的影响。可以得出如下结论：

（1）分支界定法能够有效求解环肋圆柱壳的混合优化问题， 计算量小， 精度高；

（2）环肋圆柱壳经优化后， 壳板的重量比例大约是70%， 肋骨重量占30%， 并且随壳体的长径比变化不大；

（3）圆柱壳的优化中，肋骨的应力约束是主要约束。在算例中，肋骨应力已经非常接近许用应力标准，其他应力、局部和总体失稳压力还有一定的储备。