特殊三角形复习教案
初中数学_三角形证明的复习教学设计学情分析教材分析课后反思
北师大版初中数学八下第一章《三角形的证明复习课》教学设计北师大版初中数学八年级下册第一章三角形的证明复习课第一课时一、学生学情分析学生在本章学习并证明完成了全部8条基本事实，并学习了三类特殊的三角形------等腰三角形，等边三角形，直角三角形。
通过对这三类三角形性质和判定的探索与证明积累了一定的探索经验，并继续深入学习证明的方法和格式；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.再将文字语言与图形语言，符号语言转换方面也有了很大提升。
八年级学生已有合情推理，慢慢的侧重于演绎推理，在经历了对八条基本事实时的探究，证明过程中，积累了更多的活动经验。
在学习了本章后，无论是对证明的必要性的体会，对证明严谨性以及证明思路的多样性上都有了长足的进步。
具备自己整理知识，进行知识梳理，逐渐将学习内容纳入知识体系的能力。
二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.经过一个阶段的学习，有必要对有关知识进行回顾与思考，引导学生回顾总结本章学习的主要内容及其蕴含的数学思想，并思考这些内容获得的过程，帮助学生逐步构建知识体系，养成回顾与反思的学习习惯。
本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：1.构建本章知识内容框架，发现其中关联2.通过对典型例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。
浙教版初中数学八年级上册《特殊三角形》全章复习与巩固 知识讲解(提高)
《特殊三角形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．认识轴对称图形的基本特征；掌握判断轴对称图形的方法，并能正确画出简单的轴对称图形；2. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；3．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；4．了解尺规作图的常用工具；理解并掌握线段垂直平分线定理的逆定理、角平分线性质的第二个定理，并能够熟练地应用它们；5．理解直角三角形的概念及性质的广泛应用，掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用. 领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．6．掌握勾股定理及其勾股定理的逆定理的内容及应用，学会用勾股定理解决简单的几何问题，应用勾股定理的逆定理来判断直角三角形．7.理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL”）判定两个直角三角形全等；【知识网络】【要点梳理】要点一、图形的轴对称1.图形轴对称的定义及其性质如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这两个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段.图形的轴对称：一般的，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形是全等形.2.利用轴对称的性质求两点之间的最短距离已知点A,B（A,B）在直线的同侧，和直线a,在直线上求作一点C，使AC+BC的距离和最小.作法：1.作点A关于直线a的对称点A′；2.连接A′B,交直线a与点C;3.连接AC.点C就是所求作的点.下面给出证明：设P是直线a上任意一点，连结AP，A′P．由作图知，直线a垂直平分AA′，则AC=A′C，AP=A′P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．．．．AP+BP=A′P+BP≥A′B，A′B=A ′C+BC=AC+BC，即AP十BP≥AC+BC，所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短．要点诠释：1.轴对称图形与图形的轴对称是两个不同的概念，轴对称图形是指一个图形的两个部分，也就是说，一条直线把一个图形（一个等腰三角形）分成两个部分，这两个部分之间的关系；而图形的轴对称是指两个图形之间的关系，比如两个全等的等腰直角三角形.2.对称轴的实质是一条直线，向两方无限延伸的.3.两点之间的最短距离要分情况讨论，看这两点是否在某一条直线的同侧还是异侧. 要点二、等腰三角形及等边三角形的性质与判定1.等腰三角形的定义及其对称性有相等两边的三角形叫做等腰三角形.三边相等的三角形叫做等边三角形.等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，就是顶角的平分线或是底边的高、中线.等边三角形也是轴对称图形，对称轴有三条，等边三角形是特殊的等腰三角形.2.等腰三角形的性质与判定定理性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“在同一三角形中，等边对等角”）．推论：等边三角形的各个内角都等于60°；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角（简称“在同一三角形中，等角对等边”）.等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：等腰三角形的性质与判定定理是三角形中边与角之间相互转化的重要依据，性质定理是由边的相等得出角的相等，判定定理是由角的相等得出边的相等..等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点三、尺规作图，命题、定理与逆命题、逆定理1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.命题与逆命题判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.3.定理与逆定理如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.要点诠释：一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.4.角平分线性质的第二个定理角的内部,到角两边的距离相等的点,在这个角平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；第二个性质定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.5.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理的逆定理逆定理：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点四、直角三角形性质及判定直角三角形的性质性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.性质定理2：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.性质定理2的逆命题也同样正确，在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点五、勾股定理及其逆定理1.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系；（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.2.勾股定理逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点六、判定直角三角形全等的一般方法和全等的特殊方法——斜边，直角边定理由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。
特殊三角形复习课
课题：特殊三角形复习课一、地位和作用特殊三角形主要是指等腰三角形和直角三角形，是全等三角形知识的延续和深化.它们的性质和判定在研究线段相等、角相等的问题中起着重要作用.特殊三角形作为一种载体，使轴对称与线段、角、全等三角形等几何图形紧密结合起来，它使线段、角的问题变得丰富多彩、扑朔迷离，往往给每一颗爱好几何的心灵以惊喜和顿悟.掌握特殊三角形的性质、判定，可以进一步培养提高学生逻辑思维和推理能力，是学习后续几何知识必不可少的基础,并且在生产和生活中也有着广泛应用.特殊三角形是中考必考内容，可独立成题，亦可综合其它知识进行考察.二、教学目标：知识目标：掌握等腰三角形（含等边三角形）及直角三角形的性质和判定及其运用.能力目标：引导学生参与解题思路的分析，掌握运用分类讨论思想和方程思想的解题方法.情感目标：在领悟解题规律中感受成功，体验数学学习的快乐，以及同伴交流和互助的喜悦.三、教学重点与难点：重点：等腰三角形、直角三角形的性质与判定及其应用难点：分类讨论思想及方程思想的运用四、教学模式：先学后教，利用启发式，引导探究法，小组活动相辅助的教学方法，激发全体学生积极参与课堂，引导学生通过猜想、思考、探索、小组活动等多样化的学习方式，掌握几何证题思路的分析方法，运用数学思想，领悟解题规律，体验数学学习的快乐.五、教学过程：（一）目标展示1.等腰三角形、等边三角形的性质和判定定理.2.直角三角形的性质和判定定理.3.会利用等腰三角形及直角三角形的性质、判定进行有关计算与推理.（二）知识展示1.等腰三角形的性质和判定1)等腰三角形是______对称图形，等腰三角形的两腰______,两_______相等.2)等腰三角形的底边上的中线,_____________,__________互相重合.(三线合一)3)两个角相等的相等的三角形是_______________.2.等边三角形的性质和判定1)等边三角形的每个角都等于______，同样具有“三线合一”的性质.2)三个角相等的三角形是______________;三边相等的三角形是______________; 有一角为60°的______三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质和判定(c为斜边，a、b为直角边)1）直角三角形的两锐角______.2）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的______.3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的______.4)直角三角形的三条边满足_______________.5）勾股定理的逆定理：若一个三角形有两边的_________等于第三边的平方，则这个三角形是_____________.（三）基础展示1. 等腰三角形两边分别是6和9，则周长是___________.2. 等腰三角形两边分别是3和6，则周长是___________.3. 等腰三角形一个内角是110°，则另外两个角分别是____________________.4. 等腰三角形一个内角是50°，则另外两个角分别是____________________.5. 等腰三角形一腰上的高与另一腰上的高所夹的角为50°，则顶角为____________.6. 边长为6cm 的等边三角形中，其中一角的角平分线的长度为_____________.7. 三边分别为3，4，5的三角形面积为_______，最长边上的高为_______，最长边上的中线 为________.（四）能力展示1.(2014·襄阳)如图,在△ABC 中,点D,E 分别在边AC,AB 上,BD 与CE 交于点O,给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;③OB=OC.(1)上述三个条件中,由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形?(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程.2. 如图，矩形纸片ABCD ，将该纸片沿对角线BD 翻折，点A 落在点E 处，EB 交DC 于点F.(1)图中哪个三角形是等腰三角形？(2)若AD=4，AB=9，求CF 的长. （五）达标检测1.等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为 .2.在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 的角平分线交BC 边于点D ，AB=5，BC=6，则AD=_____.3. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵高为8米的树在点C 折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB=4米，则AC 为_____米.4.在△ABC 中，∠ACB 、∠CAB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥AB ，分别交BC ，BA 于D 、E ，若CD+AE=10,则DE=________.5.如图，E ，F 分别是等边三角形ABC 的边AB ，AC 上的点，且BE=AF ，CE 、BF 交于点P 。
人教版下册四年级数学《复习三角形知识》教案
人教版下册四年级数学《复习三角形知识》
教案
教学目标
- 复习三角形的定义和性质
- 认识不同类型的三角形
- 掌握判断和画出不同类型三角形的方法
教学准备
- 教材：人教版下册四年级数学教材
- 教具：直尺、量角器、彩色铅笔
教学过程
导入
1. 利用多媒体展示图片，让学生回顾三角形的定义和性质。
复习三角形的定义和性质
1. 提问学生对三角形的定义和性质进行回答，鼓励学生积极参
与讨论。
2. 引导学生总结三角形的性质，例如三条边的长度关系、角的
和等于180度等。
认识不同类型的三角形
1. 利用多媒体展示不同类型的三角形图片，如等边三角形、等
腰三角形、直角三角形等。
2. 引导学生观察并讨论不同类型的三角形的特点，例如等边三
角形三条边相等、直角三角形有一个角为直角等。
判断和画出不同类型三角形的方法
1. 引导学生通过观察三角形的边长和角度来判断三角形的类型。
2. 提示学生使用直尺和量角器来画出不同类型的三角形，帮助
他们理解三角形的构成。
拓展练习
1. 分发练习册，让学生自主完成相关练习题，巩固所学的知识。
2. 教师巡视并及时解答学生的疑惑。
总结
1. 总结本节课所学的内容，强调三角形的定义、性质以及不同类型的三角形。
2. 鼓励学生通过课后练习巩固所学知识。
课后作业
1. 完成练习册上的相关练习题。
2. 复习并总结本节课所学的知识。
八上特殊三角形复习课浙教版
练习3、如图，以等腰三角形 AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形 ABA1，再以等腰直 角三角形 ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形 A1BB1，…，如此作下去，若 OA=OB=1，
-4-
则第 n 个等腰直角三角形的面积 Sn= ____________.
中小学课外辅导专家
例题讲解四：图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…， 则第 n 个等腰直角三角形的斜边长为
例题讲解五：如图，在△ABC 中，E,D 分别是 AB,AC 上的点，AB=AC， BD=BC,AD=BE=DE，则∠A 为多少度。
1、
2、
.
-1-
等边三角形的性质： 1、
3、 等边三角形的判定： 1、
2、
3、
2、 4、
。 。 。直角三角形的性质：1、在直角三角形中，两个锐角
。
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的
。
3、勾股定理：
直角三角形
平方和等于
的平方。关系式：
图形如右
中小学课外辅导专家
. .
。证明的基本
4、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的
E
A
B
D
M
N
D
附加例题：如图，△ABC 中，∠BAC=900，AB=AC，AE 是过点 一条直线，且点 B，C 在 AE 的同侧，BD⊥AE 于 D，CE⊥AE B
新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》教案
新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》教案一. 教材分析新人教版数学四下第五章《特殊的三角形》主要包括等腰三角形和直角三角形两个部分。
本章内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念和性质的基础上进行学习的，旨在让学生进一步理解三角形的特征，学会识别和判断特殊的三角形，并掌握其性质。
二. 学情分析四年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，他们对三角形的基本概念和性质有了初步的了解。
但是，对于等腰三角形和直角三角形的性质，他们可能还不是很清楚，需要通过具体的活动和例题来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：学生会判断等腰三角形和直角三角形，并能运用其性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、交流等过程，培养自己的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣，感受数学的乐趣，培养团队协作和积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：学生会判断等腰三角形和直角三角形，并能运用其性质解决一些实际问题。
2.难点：学生能够灵活运用三角形的性质，解决一些复杂的实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境，引导学生理解和掌握三角形的性质。
2.动手操作法：通过学生的动手操作，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.讨论交流法：学生在小组内进行讨论和交流，培养团队协作和积极思考的精神。
六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、圆规等。
2.教学素材：PPT、教学案例、练习题等。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过PPT展示一些生活中的三角形图片，引导学生观察和思考：这些三角形有什么特点？你是如何判断的？2. 呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现等腰三角形和直角三角形的定义和性质，引导学生理解和掌握。
3. 操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，检测他们对于等腰三角形和直角三角形的理解和掌握。
4. 巩固（10分钟）教师通过一些实际问题，让学生运用等腰三角形和直角三角形的性质进行解决，巩固他们对于这些性质的理解和掌握。
特殊三角形复习指导
特殊三角形复习指导二、重点难点重点：熟悉等腰三角形，直角三角形的性质；掌握判定一个三角形是等腰三角形或直角三角形的方法.难点：学会理解勾股定理，并学会运用.三、易错点1.在一些解等腰三角形的题中容易忘记分情况，导致漏解.2.在直角三角形中容易将直角边和斜边混淆.3.容易忽略题目中的隐藏条件.四、思想方法数形结合思想：勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证与应用都体现了数形结合的思想.在解题的过程中，也有很多道题目会用到数形结合思想来解决.分类讨论思想：在解一些有关等腰三角形的题目时，会出现两种情况，一种是当三角形为钝角三角形的情况，另一种则是三角形为锐角三角形的情况.这时则需要分类讨论，将可能出现的情况考虑到.转化思想：遇到一些方位角等实际问题，需要将其中的条件转化为勾股定理来解决，而对实际问题进行转化也是数学解题中常用的思路.五、考点击破【考点1】等腰三角形的性质例1 如图1，已知．求证：.分析：由于△ABC 和△ADC 是等腰三角形，且它们底边上的高重合，添加辅助线根据“三线合一”容易得出．证明：过点A 作BC AM ⊥，垂足为M ．∵，BC AM ⊥，∴EM DM CM BM ==,（三线合一）．∴．点拨：等腰三角形的“三线合一”性质是证明线段（或角）相等的一种容易被忽视的方法．本题也可以根据全等三角形来证，但用“三线合一”要简便．【考点2】等腰三角形的判定例2 如图2，在△ABC 中，AC AB =，BC AD ⊥于点D ，DE ∥AB ．求证：△EAD 是等腰三角形．AB AC AD AE ==，BD CE =BD CE =AB AC AD AE ==，BD CE =M B D C EA 图1分析：由等腰三角形的性质可知21∠=∠，又由DE ∥AB 得32∠=∠，所以31∠=∠，由“等角对等边”得△EAD 是等腰三角形．证明：∵AC AB =，BC AD ⊥，∴21∠=∠（三线合一）．∵DE ∥AB ，∴32∠=∠．∴31∠=∠．∴ED EA =，即△EAD 是等腰三角形．点评：判定一个三角形是等腰三角形的方法有（1）等腰三角形的定义；（2）等腰三角形的判定定理；（3）在一个三角形中，如果①一边上的高、②一边上的中线、③一边所对的角平分线，这三个条件中的任意两条线段重合，就可以推出此三角形是等腰三角形．【考点3】勾股定理的证明例3 如图3，一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一 个侧面ABCD 倒下到AB ′C ′D ′的位置，连接CC ′，设AB=a,BC=b,AC=c ，请利用四边形BCC ′D ′的面积验证勾股定理：a 2+b 2=c 2.图3分析：通过观察题目我们可以发现四边形BCC ′D ′为一个直角梯形，它的面积正好等于△ABC 的面积加上△CAC ′的面积加上△D ′AC ′的面积，而这三个三角形的面积恰好可以用a ，b ，c 来表示.由此可以推出a 2+b 2=c 2.解：∵ 四边形BCC ′D ′为直角梯形， =(BC+C ′D ′)·BD ′=.∵Rt △ABC 与Rt △AB ′C ′全等，∴∠BAC=∠BAC ′.∴∠CAC ′=∠CAB ′+∠B ′AC ′=∠CAB ′+∠BAC=90°.==.，图2 B C A D E2 3 1.点评：本题考察了勾股定理的验证，数形结合，利用图形的面积关系表达式说明等式成立，即可验证勾股定理.【考点4】勾股定理及其应用例4 如图4，折叠矩形的一边，使点D落在BC边的点F处，其中AB=8cm,BC=10cm ，则EC长度为＿＿＿＿.图4分析：根据翻折，利用勾股定理得到BF的长，然后就知道了FC的长，在Rt△EFC中设EC为x，则EF为6-x，利用勾股定理构造方程求出X.解：依题意可得：BC=AD=AF=10,DE=EF．在△ABF中,∠ABF=90°．∴BF=6 ,∴FC=10-6=4,设EC=x,则EF=DE=8-x．∵∠C=90°,∴EC²+FC²=EF²,∴x²+4²=（8-x）²,解之得：x=3,∴EC=3（cm）．点评：勾股定理反应的是直角三角形三边的数量关系，解题的过程中可以把“形”的特征转化成数量关系.【考点5】利用勾股定理解决实际问题例5甲，乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？分析：将两个人所走的路线当作直角边，两个人的距离当作斜边，可构造一个直角三角形.利用勾股定理即可求出两人的距离.解：如图5，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，即OA=12；乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，走了5千米，即OB=5；在Rt△OAB中，AB2=122十52=169，∴AB=13，因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米；∵15＞13，∴甲、乙两人还能保持联系.答：上午10：00甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系.图5分析：本题考查了勾股定理的实际应用，解决本题的关键是从题中找出存在的直角三角形.。
初中数学特殊三角形复习讲义
等边”）．
数学语言：在△ABC 中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
要点诠释：
等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化
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为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相
类型六：直角三角形的性质运用 1、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，AD⊥BE 于 D， 下列结论：①AC﹣BE=AE；②点 E 在线段 BC 的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD， 其中正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
性质 2 用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
４.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情
况只有一条对称轴．
要点三、等腰三角形的判定
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对
授课标题 特殊三角形复习
1、熟记并理解运用特殊三角形的判定和性质 学习目标 2、准确运用性质进行分类讨论
3、掌握直角三角形的补充性质并灵活运用 三线合一的运用 重点难点 分类讨论问题
教学负责人签字处
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本次课课堂教学内容
一、知识点梳理
要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，
1特殊三角形复习课件
2.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴 2.等腰三角形是轴对称图形, 等腰三角形是轴对称图形 是 顶角平分线所在的直线 .
3.等腰三角形的两个底角相等。 3.等腰三角形的两个底角相等。 等腰三角形的两个底角相等 A ∵ ∴ B C AB=AC （已知） 已知）
等边对等角） ∠B=∠C （等边对等角）
B a C b c 已知边的关系 判断出 边的关系, 判断出是Rt ∆ 边的关系 A
∵ a2+b2=c2 ABC是RtΔ ∴ ΔABC是RtΔ ∠C是Rt∠ Rt∠
请写出并记忆常见的勾股数 练14：如果一个直角三角形的两条边长分别 ： 厘米和4厘米 是3厘米和 厘米，那么这个三角形的周长是 厘米和 厘米， 多少厘米？ 多少厘米？ 12厘米或 （7+√7）厘米 12厘米或 7+√7 √7） 中已知AB=3, BC=4, 练15：四边形 ：四边形ABCD中已知 中已知 CD=12, DA=13, 且∠ABC=900,
15.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和 勾股定理： 勾股定理 等于斜边的平方. 等于斜边的平方
16.勾股定理的逆定理： 勾股定理的逆定理： 勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方, 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形. 那么这个三角形是直角三角形
13.直角三角形斜边上的中线等于 13.直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 . 是斜边AB上的中线 练12:在Rt△ABC中,CD是斜边 上的中线， 在 △ 中 是斜边 上的中线， 7 厘米， ＿＿厘米 若CD=3.5厘米，则AB=＿＿厘米 厘米 ＿＿ 14.若三角形中一边上的中线等于这条边的一半， 14.若三角形中一边上的中线等于这条边的一半， 若三角形中一边上的中线等于这条边的一半 直角三角形 . 那么这个三角形是 BC中CD是AB边上的中线 边上的中线． 练13: 在△BC中CD是AB边上的中线． 1 直角 三角形． AB． ABC是 三角形． 且CD= — AB．则△ABC是 2
第四章三角形小结与复习(教案)
-特殊三角形的性质：等腰三角形、直角三角形、等边三角形的性质及其应用是学生理解的难点，需要通过直观图形和实际操作，让学生深入理解其性质。
举例：在讲解三角形判定方法时，针对学生容易混淆的情况，设计不同类型的题目，如给出两边和一角、两边和夹角等，让学生通过练习，掌握判定方法的灵活运用。
-三角形面积计算：灵活运用底乘高除以2的公式计算三角形面积，以及海伦公式的应用。
-特殊三角形：深入理解等腰三角形、直角三角形、等边三角形的性质和判定方法。
举例：在讲解三角形分类时，通过图形展示和实际操作，让学生直观感受不同类型三角形的特点，强调等腰三角形底角相等的重要性。
2.教学难点
-三角形判定方法的灵活运用：学生往往在判定方法的选择和应用上存在困难，需要通过大量实例和练习，帮助学生掌握不同情况下的判定方法。
-直角三角形的性质和判定。
-等边三角形的性质和判定。
7.三角形的应用
-在实际生活中的应用，如测量、设计等。
本节课将围绕以上内容展开，通过复习和巩固，提高学生对三角形知识的掌握程度。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力，通过三角形的学习，使学生能够运用几何图形理解和解决实际问题，提升空间观念。
2.培养学生的逻辑推理能力，通过三角形性质的推理和应用，让学生掌握逻辑思维方法，提高分析问题和解决问题的能力。
第四章三角形小结与复习（教案）
一、教学内容
第四章三角形小结与复习（教案）：
1.三角形的定义及分类
-定义：由三条线段首尾相连围成的图形。
-分类：按边长分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
第二章-特殊三角形教案
2、已知等腰三角形的一边长为4cm ，另一边长为9cm ，则它的周长为 。
3、等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为4、在等腰三角形中，设底角为，顶角为，用含x 的代数式表示y ，得y= ；用含y 的代数式表示x ，则x= 。
3、直角三角形中线的性质：即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
例3、在△ABC 中, ∠ACB ＝90°，AB ＝10cm,点D 为AB 的中点，则CD ＝_____cm 。
分析：因为三角形ABC 是直角三角形，AB 是斜边；又因为D 是AB 的中点，则CD 是直角三角形ABC 的中线，根据直角三角形中线的性质，所以有CD=5.4、直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半。
5、勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于第三边的平方。
例4、若直角三角形两边分别为3与4,则第三边为____________.分析：题目中，告诉我们直角三角形的两边分别为3和4，但是没有说是两个直角边还是一个直角边、一个斜边，这里我们也得分两种情况进行分析。
第一：当3和4分别是两个直角边时，第三边的长度是5；第二：当3和4一个为直角边、一个为斜边时，那么第三边的长度为√7。
知识概括、方法总结与易错点分析1、直角三角形，斜边的中线与斜边的关系、以及30度角所对的边与斜边的关系是考试的重点，在题目中经常会运用这层关系，要学会发现题目中的条件，利用性质解决问题；2、直角三角形中，勾股定理是个难点。
要知道勾股定理的运用，并能计算正确。
针对性练习1、三角形的三边长c b a ,,满足式子0)()(22=-+-+-a c c b b a ，那么这个三 角形是（ ） A 、钝角三角形 B 、等边三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、以上都不对2、如图，AD ∥BC ，∠A=90°，E 是AB 上一点，∠1=∠2，AE=BC 。
特殊三角形复习学案
特殊三角形复习课标要求（1）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。
探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
（2）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
课标分析从知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度等四个方面阐述（1）、知识与技能掌握基本的证明方法和基本的作图等技能；掌握基本的推理技能。
(2)、数学思考在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。
能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式（3）、问题解决尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题；在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。
经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。
（4）、情感与态度感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。
在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。
教学目标：1、知道等腰三角形的轴对称性及对称轴；2、掌握等腰三角形和等边三角形的有关性质和判定，能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。
3、掌握直角三角形的性质和判定，能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。
4、掌握勾股定理及其逆定理，进一步理解数形之间的联系。
中考总复习特殊三角形导学案
中考总复习《特殊三角形》导学案黄堡中学魏辉兰学习目标1、掌握等腰三角形和直角三角形的性质和判定;2、会用等腰三角形和直角三角形的性质和判定进行有关的计算和证明；3能用分类讨论的思想解决等腰三角形中的有关计算.重点会用等腰三角形和直角三角形的性质和判定进行有关证明和计算。
难点等腰三角形、直角三角形的判定及性质的综合应用。
过程学法指导问题导学知识扫描在自己回忆的基础上，通过查找资料或他人交流的方式快速完成知识点梳理1、等腰三角形的性质：（1）（）相等； (2)( )相等；（3）底边上的高、（）和（）三线合一；（4）等腰三角形是（）图形，对称轴是（）。
2、等腰三角形的判定：（1）（）相等的三角形；（2）（）相等的三角形。
3、等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形的所有性质外，还具有特殊的性质，即三边（）；三个角（），并且都是（）4、等边三角形的判定：（1）（）相等的三角形；（2）（）相等的三角形；（3）有一个角是（）的等腰三角形。
5、直角三角形的性质：（1）若a、b是两直角边，c是斜边，则（）即勾股定理；（2）两锐角（）；（3）（）的角所对的直角边是斜边的一半；（4）斜边中线等于斜边的（）6、直角三角形的判定：（1）有一个角是（）的三角形；（（2）一边中线等于（）的三角形；（3）三边a、b、c满足（）的三角形。
基础训练先自学，然后两人对学，再组内交流，并选好中心发言人在班级进行展示1．如图(1)，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )A.顶角的2倍B.顶角的一半C.顶角D.底角的一半变式①顶角是钝角，结论是否成立？变式②等腰三角形一腰上的高与腰长的比是1:2，则顶角是多少度？2.方程x－9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ( )A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定3.如果等腰三角形的一个内角是80°，那么顶角是________度．4、如图（2）.将一张矩形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C落在C´点,已知AB=2，∠DEC´=30º则折痕DE 的长为( )A. 2B.C. 4D. 1ADB C图1 图2 图2能力提升1.先独立试做。
特殊三角形复习课
课题特殊三角形复习教学目标理解并掌握等腰三角形、直角三角形的性质与判定以及勾股定理的应用。
重点、难点1、等腰三角形“三线合一”性质的应用；2、勾股定理在翻折问题中的应用。
教学过程一、等腰三角形等腰三角形的性质及判定1.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠C= .在同一个三角形中，等边对等角。
反之，在同一个三角形中，等角对等边。
2.已知：△ABC中，AB=AC，∠B=50°，D为BC的中点，则∠DAC=等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（三线合一）3.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则△ABC是三角形.有三边相等的三角形是等边三角形。
三个内角都相等的三角形是等边三角形。
习题精讲1.等腰三角形腰长为3，底边长为4，则周长为________；等腰三角形两边长为3和4，则周长为________；等腰三角形两边长为2和4，则周长为________.分类思想边不明确，对边进行分类：腰，底。
2、等腰三角形一个底角的度数为80°，则这个三角形的顶角度数为________；等腰三角形一个内角的度数为80°，则这个三角形的顶角度数为________；等腰三角形一个内角的度数为100°，则这个三角形的顶角度数为________.分类思想角不明确，对边进行分类：顶角，底角。
3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则其顶角为________度分类思想三角形的高线位置进行分类：高线在三角形内、外、上。
4、已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成 9cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长。
对两部分进行分类：AB+AM=9 CM+BC=6AB+AM=6 CM+BC=95、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A. 20°B. 120°C. 20°或120°D. 36°分类思想方程思想：x+x+4x=180°x+4x+4x=180°6、如图AC=BC=BD，AD=DC，则∠ACB= °7、如图, ∠ AOB是一钢架, 为使钢架更加坚固,需在内部添加一些钢管EF.FG.GH……添加的钢管的长度都与OE相等，且RQ⊥OB，求∠AOB的度数。
特殊的三角形教案
特殊的三角形教案主题：特殊的三角形一、教学目标：了解并识别特殊的三角形，包括等腰三角形和等边三角形。
理解特殊三角形的性质和特点。
进行相关计算和推理，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学准备：教材：相关数学教材、习题册。
教学工具：黑板、彩色粉笔、幻灯片、三角板、图形工具等。
实物：三角形模型或卡片。
三、教学步骤：第一步：导入通过展示一些实际生活中的三角形，引发学生对三角形的兴趣。
例如，房顶的形状、路牌上的标志、山的轮廓等。
第二步：引入概念介绍等腰三角形和等边三角形的概念。
强调等腰三角形的两边相等，等边三角形的三边都相等。
通过图形和实物示范，让学生直观感受这些三角形的特点。
第三步：讲解性质详细讲解等腰三角形和等边三角形的性质，包括角度、边长等方面的特点。
使用图形工具或模型进行演示，帮助学生更好地理解。
第四步：实例分析通过一些实际的例子，让学生应用所学知识，分辨并判断给定图形是否为等腰三角形或等边三角形。
通过让学生观察、比较和推理，培养其解决问题的能力。
第五步：课堂练习布置一些相关的课堂练习，巩固学生对等腰三角形和等边三角形的认识和运用能力。
鼓励学生在小组内相互讨论，促进合作学习。
第六步：总结总结本节课的重点内容，强调等腰三角形和等边三角形的重要性和应用领域。
激发学生对数学的兴趣，引导他们主动思考相关问题。
四、课后拓展：鼓励学生主动寻找生活中的实例，验证等腰三角形和等边三角形的存在。
引导他们发现更多有趣的数学现象，培养数学思维和观察力。
通过这个教案，学生将能够更深入地理解特殊的三角形，并掌握它们的性质和应用。
特殊三角形复习课件
顶角和底角相等
如果一个三角形的顶角和底角相等， 则它是等边三角形。
直角三角形的判定方法
总结词
一个角为90度
直角三角形是一个角为90度的三角形，可 以通过以下方法进行判定
如果一个三角形有一个角为90度，则它是 直角三角形。
两边的平方和等于第三边的平方
斜边的中线等于斜边的一半
如果一个三角形的两边的平方和等于第三 边的平方，则它是直角三角形。
适用范围
适用于所有等腰三角形，无论其是否为直角三角形或等边 三角形。
等边三角形的面积计算
等边三角形的面积计算公式是边长的平方乘以高然后 除以4。
输入 标题
详细描述
等边三角形是三边相等的三角形，其面积可以通过边 长和相应的高来计算。边长是等边三角形的一条边， 高是从顶点垂直到底边的线段。
总结词
公式
适用于所有等边三角形，无论其是否为直角三角形或 等腰三角形。
两个底角也相等。
性质
等腰三角形是轴对称图 形，有一条对称轴，即
高所在的直线。
判定
可以通过两边相等来判 定一个三角形为等腰三
角形。
等边三角形
01
02
03
04
总结词
三边相等，三角相等
详细描述
等边三角形是三边长度都相等 的三角形，对应的三个角也都
相等。
性质
等边三角形是轴对称图形，有 三条对称轴，即三条边的垂直
适用于所有直角三角形，无 论其是否为等腰三角形或等
边三角形。
05
特殊三角形在实际生活中的应 用
等腰三角形在建筑中的应用
等腰三角形因其两边长度相等的特性 ，在建筑设计中常被用于构造对称和 稳定的结构。例如，桥梁的斜拉索、 建筑的屋顶和装饰线条等。
初中数学九年级下学期《特殊三角形》总复习教案
初三数学复习教案课 题：特殊三角形（2）教学目标：熟练运用等腰三角形概念、性质和判定及勾股定理、及其逆定理解决证明题、阅读题、条件和结论探索题等大量新颖题。
教学说明：本单元的热点是等腰三角形的有关概念、性质和判定；等边三角形的有关概念、性质和判定；勾股定理及其逆定理及相关的新颖题。
教学过程：一．典型例题：例1．已知：如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE=BD ，连EC=ED 例2．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为边在△ABC 外作三个正方形，S 1、S 2、S 3分别表示这三个正方形的面积，S 1=81，S 3=225，则S 2=例3．如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ，图（2）是以c 为直角边的等腰直角三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
（1） 画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（2） 用这个图形证明色股定理；（3） 假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中的所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图，并能简单说明理由。
例4．在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm 、宽为16cm 的长方形纸板上，剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上）。
请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积。
D例5．四年一度的国际数学家大会于2002年8月在北京召开，我校的孙海洋、陈晓莹两同学有幸参加了此次盛会。
大会的会徽如图（1），它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形。
（1） 若大正方形的面积是13，每个直角三角形两直角边的和为5，求中间小正方形的面积。
（2） 现有一张长为6.5cm ，宽为2cm 的纸片，如图（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形。
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个性化辅导授课案
杭州龙文教育科技有限公司
学生： 吴玥 科目： 数学 教师： 王世云 时间:2012年 12月 29 日
一、授课目的与考点分析： 特殊三角形 二、授课内容：
二、重点回顾
1．等腰三角形的性质：
等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即等边对_____)；等腰三角形_______合一；等腰三角形是________图形，它的对称轴是_________。
2．等腰三角形的判定：
有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即等角对_____）。
3．等边三角形的性质：
等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。
4．等边三角形的判定：
有____边相等的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形。
5．直角三角形的性质：
直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。
6．直角三角形的判定：
有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。
7．直角三角形全等的判定：斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等。
8．角平分线的性质：在角内部到角两边___________在这个角的平分线上。
三、本次课后作业：
四、学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：
五、教师评定：
1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
教师签字：
教研组签字： 教务处签字： 教务处盖章：
20 年 月 日。