第五章 频谱的线性搬移

(3)所有组合频率都是成对出现的，如1+2， 1-2。 (4)最高谐波次数 ≤n，组合频率系数之和 p＋q ≤ n 。
1 1 cos t cos 2t 2 2
2
3 1 cos t cos t cos 3t 4 4
3
(5)谐波幅度随次数的增高(即n越大)而减小，因此可以忽略。
n 0

n
电压与电流不 满足线性关系
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i f u f U Q u1 u2 an u1 u2
n 0
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n
中的系数an由下式确定：
1 d f u 1 n f U Q an n n! d u n! u U
信号 很大
分析方法尽管不一样，电路的输出分量却是相同的。
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泰勒级数
如果函数f(x)满足： (1)在点a的某邻域|x-a|<δ内有定义； (2)在该邻域内有一直到n-1阶的导数： f ′(x)，f′′(x)，… f(n-1)(x) ； (3)在点a处有n阶导数 f(n) (x)。 则f(x)在点a的邻域|x-a|<δ内可以展开为：
a u
n 0 n
1
n m nm m an Cn u1 u2 n 0 m 0

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若输入电压均为正弦波：u1=U1cos1t，u2=U2cos2t。 输入信号u1：为要处理的信号，为带宽信号； 参考信号u2：为载波信号，为单频信号，也称为控制信号。
2 a2 u1 u2 a2 u12 2u1u2 u2 2
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该项是关键
第 5章 14
i f u an u1 u2 a0 a1 u1 u2 a2 u1 u2
单输入信号的频谱搬移原理
若输入信号u1=U1cos1t，参考信号u2=U2cos2t=0，可得
i f u a u anU cos 1t
由三角公式
n 0 n n 1 n 0 n 1 n


1 n /2 n 21 k n Cn Cn cos n 2k x k 0 2 n cos x n 1 2 1 k C 2n 1 n cos n 2k x k 0
r t Ke t t0
式中K是常数，t0为延迟时间。
e t
r t
响应与激励只 有幅度与出现 时间不同，而 无波形变换。
e t
o
t
H j
r t
o
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t0
第 5章 6
t
晶体管输出电流与输入信号电压之间的关系 iC f uBE
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双输入信号的频谱搬移原理
输入 信号
u1
非线性 器 件 u2
滤波器
各次谐 波分量
uo
控制信号
在非线性器件上，叠加输入信号 u1 t U1 cos 1t 和控制信号 u2 t U 2 cos 2t 经非线性器件产生的信号为i f u
2 2 a u u a u 2 a u u a u 二个信号的乘积项 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 是关键。
当u1=U1cos1t，u2=U2cos2t时，可得： 此时 p 、 q=1 的组合频率：1,1 1 2
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§ 5.1 非线性电路的分析方法
•非线性函数的级数展开分析法 •线性时变电路分析法
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第 5章
4
非线性器件的特点
i 输出与输入不是线性关系，导致： ①参数(如电阻，电容，跨导等)是变量； ②不满足线性时不变特性； u
重要公式 1 cos 1t cos 2t cos 1 2 t cos 1 2 t
1 1 3 1 3 cos t cos 2t cos t cos t cos 3t 2 2 4 4 1 2 1 2 cos 1t cos 2t 2 cos t cos t 2 2
非线性器件的伏安关系 直流电阻： 当
③具有频率变换特性。 交流电阻并不等于直流
电阻，并且为时变变量 交流电阻： 当 输入信号是交 流信号时
i
输入信号是直 流信号时
i
I0

非线性器件的直流电阻
U0 u
U0 R I0
I0

非线性器件的交流电阻
高频电子线路 第 5章
U0
u
du R di u U 0
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n为偶数时，公式中只 含直流与偶次分量 。
n为奇数时，公式中 只含奇次分量 。
第 5章 11
输入电压为 输出电流为
u1 t U1 cos 1t u t 0
2
只有基波分量
i f u anu1n anU1n cos n 1t
n 0 n 0


n 0 式中，bn为an和cosn 1t的分解系数的乘积。
bnU cos n1t
n 1

包含基波和高次 谐波分量

结论： (1)输出电流包含输入信号的频率分量1，和各次谐波分量n1。 (2)谐波分量由非线性器件的非线性特性产生。 (3)在放大器中，由于工作点选择不当，工作在非线性区，或者 输入信号幅度超过放大器动态范围，则会产生非线性失真。
n
Q
所取项数由信号 幅度和实际要求 的精度决定。
系数an与静态工作点UQ有关。通常n越大，系数an越小。 由二次项展开式
u1 u2
n
C u
m0
n
m nm m n 1 2
n! m u u1n mu2 m 0 m ! n m ! u2
n
n
可得 i f u
有用分量
2a2u1u2 a2U1U 2 cos 1 2 t a2U1U 2 cos 1 2 t
第 5章
16
频谱搬移通过提取两个信号的和频与差频实现。实现理想乘法 运算，减少无用组合频率数目和强度是重要目标。 (1)从非线性器件的特性考虑：选用具有平方律特性的场效应管； 选择器件工作特性接近平方律的区域。 (2)从电路考虑，采用平衡等措施，抵消无用分量，加强有用分量。 (3)从输入信号大小考虑，限制输入信号振幅，减小高阶项强度。
u1
非线性 器 件 u2
滤波器
滤除无 用分量
n
uo
有用 信号
信号i f u
a u
n 0 n

1
u2 包含频率组合分量为：
p ,q p1 q2
经滤波器滤除无用分量后，有用频率分量(和频与差频分量)为
1,1 1 2 ，此时p=q=1
该频率分量由二个信号的二次乘积项/交叉项产生：
n
2


p q
C


n 0
p ,q
cos p1 q2 t , p, q , 3, 2, 1, 0,1, 2,3,
公式中u1=U1cos1t，u2=U2cos2t。p、q称为组合阶数。 (1)p+q为偶数的组合频率，由n为偶数且n≥ p+q的各次项产生。 (2)p+q为奇数的组合频率，由n为奇数且n≥ p+q的各次项产生。
2
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2
例题：已知输入信号u1=U1cos1t，参考信号u2=U2cos2t，试将
输出信号：
i f u an u1 u2
n 0
N
n
展开，分别取N=1和N=3。
解：①取N=1，可得： i a0 a1 U1 cos 1t U 2 cos 2t
n 0 nm
a u
n

1
u2
n
an C

n 0
p q
n
C
m0
m n
U1 cos 1t
U 2 cos 2t
m
p ,q
cos p1 q2 t
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频谱形状不发 生变化(第六章)
非线性搬移电路：信号频谱不仅在频域上搬移，而且频谱 结构发生变化。例如：频率调制与解调，相位调制与解调。
频谱形状发生 变化(第七章)
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以幅度调制为例说明频谱线性搬移：
(1)通过非线性器件对输入信号的频谱实行变换，产生新的频 率成分，通过滤波器取出有用信号，滤除无用的频率成分。 (2)频谱的线性搬移，从时域角度看相当于输入信号与参考正 弦信号相乘，搬移距离由参考信号频率决定。
第五章 频谱的线性搬移电路
5.1 非线性电路的分析方法 5.2 二极管电路 5.3 差分对电路 5.4 其它频谱线性搬移电路
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第 5章
1
概述
频谱搬移电路：将输入信号进行频谱变换，获得具有所需 频谱的输出信号，分为线性搬移电路和非线性搬移电路。 线性搬移电路：频谱搬移前后的频率分量的比例关系不变。 例如：幅度调制与解调，混频电路等。
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u 1+ u 2 (u1+u2)2 (u1+u2)3 (u1+u2)4 …
ω1 2ω1 3ω1 4ω1 …
ω2 2ω2 3ω2 4ω2 … |±ω1±ω2| |±2ω1±ω2| |±3ω1±ω2| …
2
|±ω1±2ω2| |±2ω1±2ω2| … |±ω1±3ω2| …
U I
i I0
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5
非线性系统引起非线性失真：产生新的频率成分。如桥式整流 (二极管是非线性器件)电路：
e(t)
非线性失真
r(t) t
T 2T
t
T 2T
o
o
只包含基波分量
包含直流、基波、偶次谐波
设激励信号为e(t)，响应信号为r(t)，无失真条件时域条件满足：
Q点
信号 较小 信号 较大
(1) 输入信号比较小时 ( 但已经超出线性工作 范围)，用幂级数展开式描述输出电流与输入 电压之间的关系，即幂级数分析法。 (2)输入信号比较大时，表示特性曲线上每一 点的导数都在变化，用时变跨导分析法。 (3)当输入信号足够大时，输出电流处于导通/ 截止状态，用折线或开关函数分析法。
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第 5章
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(一)非线性函数的级数展开分析法
线性器件的伏安特性为：
1 i f u u Gu R
Q u1 u2
R为线性电阻， G为线性导纳
非线性器件的伏安特性为：
i f u f u u U
u1和u2为二个输入电压。
f U Q u1 u2
式中， u 为加在非线性器件上的电压，其中 UQ 为 静态工作点， 用泰勒级数将上式在静态工作点UQ展开：
i a0 a1 u1 u2 a2 u1 u2 an u1 u2
2 n
an u1 u2
f x f x 2 f x f a x a x a 1! x a 2! x a
n f x d 1 n ! d x n xa
用前n项泰勒级 数(在a =0点)拟 合一个指数函数 展开项数越多，级 数在邻域|x-a|<δ内 越逼近f(x)。
只有直流分量和基波分量，未产生新频率分量-此时为线性系统。 ②当N=3时，电流信号为