计量经济学(第三版)
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2
ˆ Var ( 1 ) 2 xt
2
即使随机误差的方差 没有被低估，通常OLS参数估计量的方差式（16） 也是存在一阶序列相关时参数估计量方差的偏误估计量。
4．模型的预测失效
被解释变量预测值区间与模型参数和随机误差的估计量的方差有关。 在存在序列相关时OLS估计的随机误差项方差有偏，参数估计量方 差非有效，这样回归模型的被解释变量的预测值及预测区间就不准确， 预测精度降低。 所以，当模型出现序列相关时，它的预测功能失效。
e
t 1
n
2 t
n2
2 ˆ 是真实的 的无偏估计，即有 E ( 2 ) 。但若随机误差项存在一阶序列相关
2
则可以证明：
ˆ E ( 2 )
2 n [2 /(1 )] 2 r
n2
式中
r t 2
xt xt 1
t 1 n
n
为X的相继观测值之间的样本相关系数。
(13)
对于干扰项为一阶序列相关的一元回归模型采用OLS估计，如以前一 样，β 1的OLS估计量为：
ˆ 1
x y x
t 2 t
t
(14)
但给定干扰项为一阶序列相关时， 1 的方差估计量现在为：
ˆ Var ( 1 ) AR1
n 1 xx 2 2 2 t t 1 t 1n 2 xt2 xt2 xt2 t 1
例
给定一个含有50个观测值的样本和3个解释变量,如果
（a）D.W.=1.05，（b）D.W.=1.40，
（c）D.W.=2.50，（d）D.W.=3.97
你能对自相关的问题说些什么？？
解：
查D.W.分布表可知，当样本数为n=50，解释变量数k=3时，在5%的
d 显著性水平下D.W.统计量临界值的下界 d L为1.42， U 为1.67。
一般经验表明，对于采用时间序列数据做样本的计量经济学模型，
由于在不同样本点上解释变量意外的其他因素在时间上的连续性， 带来了他们对被解释变量的影响的连续性，所以往往存在序列相关性。
第二节
序列相关性的影响
如果我们在干扰中通过假定Cov( t , t j ) E ( t t j ) 0 引进序列相关，但保留经典模型的全部其他假定，对OLS 估计量及其方差来说会出现什么情况呢？
4．蛛网现象
例如：
假定某农产品的供给模型为：
St 0 1Pt -1 t
(10)
假设t时期的价格Pt低于t-1时期的价格Pt-1，农民就很可能决定在时 期t+1生产比t时期更少的东西。显然在这种情形中，农民由于在年 度t的过量生产很可能在年度t+1消减他们的产量。诸如此类的现象， 就不能期望干扰μt是随机，从而出现蛛网式的序列相关。
Cov( i, j ) E( i j) 0
（2）
如果仅存在
E ( i i 1 ) 0, i 1, 2,..., n
（3）
则称为一阶序列相关或自相关（简写为AR(1))，这是常见的一种序列相关问题。
自相关往往可以写成如下形式：
i i 1 i ,
1 1
二、序列相关的原因 1．经济数据序列惯性 2．模型设定的偏误 3．滞后效应 4．蛛网现象 5．数据的编造
1．经济数据序列惯性
比如：
GDP、价格指数、消费等时间序列数据通常表现为周期循环。当经
济衰退的谷底开始复苏时，大多数经济序列开始上升，在上升期间，序 列在每一时刻的值都高于前一时刻的值。看来有一种内在的动力驱使这 一势头继续下去，直至某些情况出现（如利率或税收提高）才把它拖慢 下来。 因此，在涉及时间序列的回归中，相继的观测值很可能是相互依赖的。
（6）
例2： （模型函数形式有偏误）
在成本—产出研究中，如果真实的边际成本的模型为：
Yt = β0 + β1 X t + β2 X t2 + μt
其中Y代表边际成本，X代表产出。
但是如果建模时设立了如下回归模型：
（7）
Yt 0 1 X t vt
（8）
3．滞后效应 考虑一个消费支出对收入进行回归的时间序列模型，人们常常发 现当期的消费支出除了依赖其他当期收入外，还依赖前期的消费支出， 即回归模型为：
二、回归检验法
， ˆ ˆ ，ˆ 以 et 为被解释变量，以各种可能的相关变量，诸如 et 1 et 2
等为解释变量，
建立各种方程：
ˆ ˆ et et 1 t
t 2,..., n t 3,..., n
（20） （21）
ˆ ˆ ˆ et 1et 1 2 et 2 t
E ( ) 2 I
（11）
即同方差和相互独立性条件。而且在大样本情况下，参数估计量虽然 具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。
为了具体说明这一点，我们回到简单的一元回归模型
Yi 0 1 X i i
（12）
为方便我们不妨假定干扰项为(4)所示的一阶序列相关：
t t 1 t
对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方 程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。
优点：
一旦确定了模型存在序列相关性，也就同时知道了相关的形式，而且它 适用于任何类型的序列相关性问题的检验。
三、杜宾—沃森检验
D-W检验是杜宾（J.Durbin）和沃森（G.S.Watson）于1951年提出 的一种检验序列自相关的方法。虽然该方法很常用，但它有一些基本假定： （1）回归含有截距项。 （2）解释变量X是非随机的，或者在重复抽样中被固定的。 （3）随机干扰项 t 为一阶自回归形式：t t 1 t
序列相关性
◆ 学习目的
通过本节的学习，你可以知道什么是序列相关性，序列 相关性产生的原因是什么，序列相关性导致什么样的后果， 怎样检验和处理具有序列相关性的模型。 ◆ 基本要求 1）掌握序列相关性的概念、序列相关性的后果和检验方法； 2）了解广义最小二乘法和广义差分法原理； 3）能运用广义差分法和广义最小二乘法估计线性回归模型。
2
（16）
相比，可以看出前者等于后者加上另一与自相关系数 和各期X 的样本协方差有关的项。
2．随机误差项方差估计量是有偏的Leabharlann Baidu
在存在干扰项序列相关的情况下，随机误差方差的OLS估计量偏离
了真实的随机误差项的方差 2。 以一元回归模型为例，在经 典假设情况下，干扰项的 OLS方差估计量
ˆ 2
2
接受原假设。但他们成功导出了临界值的上限 dU 和下限 d L，且这些上下限只与 样本容量n和解释变量的个数有关，而与解释变量的取值无关。
因此，在运用D-W检验时，只须计算该统计量的值，再根据样本容量n 和解释变量数目k查D.W.分布表，得到临界值 d L 和 dU ，然后按下列准则考察
计算得到的D.W.值，以判断模型的自相关状态：
根据D-W检验判断准则可知
（a）D.W.=1.05< d L =1.42，因此随机误差项存在正一阶自相关；
Ct 0 1Yt 2Ct 1 t
其中，C是消费，Y是收入。
类似（9）式的回归模型被称为自回归模型
（9）
注意：
由于心理上、技术上以及制度上的原因，消费者不会轻易改变其消费 习惯，如果我们忽视（9）式中的滞后消费对当前消费的影响，那所带来 的误差项就会体现出一种系统性的模式。
5．数据的编造 新生成的数据与原数据间就有了内在的联系，表现出序列相关性。
例如：
CPI季度数据可能来自月度数据的简单平均，这种平均的 计算减弱了每月数据的波动而引进了数据中的匀滑性，这种 匀滑性本身就能使随机干扰项中出现系统性的因素，从而出 现序列相关性。 利用数据的内插或外推技术构造的数据也会呈现某种系统性的模式。
. 若 0 DW . d L ，则存在正自相关； . 若 d L DW . dU ，则不确定；
. 若 dU DW . 4 dU ，则无自相关； . 若 4 dU DW . 4 d L ，则不确定；
若 4 d L DW . 4 ，则存在负自相关。 . 也就是说，当D.W.值在2附近时，模型不存在一阶自相关。
1．参数估计量非有效 2．随机扰动项方差估计量是有偏的 3．变量的显著性检验t检验统计量和相应的参数置信区间估计失去意义 4．模型的预测失效
1．参数估计量非有效
根据OLS估计中关于参数估计量的无偏性和有效性的证明过程可 以看出，当计量经济学模型出现序列相关性时，其OLS参数估计量 仍然具有线性无偏性，但不具有有效性。因为在有效性证明中我们 利用了
ˆ ˆ (e e
t 2 t n t 1
)2
D.W .
ˆ e
t 1
n
（22）
2
t
杜宾—沃森证明该统计量的分布与出现在给定样本中的X值有复杂的关系，
其准确的抽样或概率分布很难得到；
ˆ ˆ 因为D.W.值要从 et 中算出，而 et 又依赖于给定的X的值。
因此D-W检验不同于t、F或 χ 检验，它没有唯一的临界值可以导出拒绝或
xt2
3．变量的显著性检验t 检验统计量和相应的参数置 信区间估计失去意义
用OLS法估计序列相关的模型得到的随机误差项的方差不仅是 有偏的，而且这一偏误也将传递到用OLS方法得到的参数估计量 的方差中来，从而使得建立在OLS参数估计量方差基础上的变量 显著性检验失去意义。
以一元回归模型为例，
Yi 0 1 X i i
第七章 序列相关性
◆序列相关性及其产生原因
◆
序列相关性的影响
◆序列相关性的检验 ◆序列相关的补救
第一节
序列相关性及其产生原因
—、序列相关性的含义
对于多元线性回归模型
Yi 0 1 X1i 2 X 2i k X ki i i 1, 2,, n
(1)
在其他假设仍然成立的条件下，随机干扰项序列相关意味着
序列相关性的检验方法
一、图示法 二、回归检验法 三、杜宾—沃森检验
四、拉格朗日乘子检验
一、图示法
ˆ 由于残差 et可以作为随机误差 t 的估计，因此，如果 t 存在序列相关性， ˆ ˆ 必然会由残差项 et 反映出来，因此可以利用 et 的变化来判断随机干扰项的序列
相关性，如图7－1所示。
2．模型设定的偏误
定义：
指所设定的模型“不正确”，主要表现在模型中丢掉了重要的解释
变量或模型函数形式有偏误。 （丢掉了重要的解释变量） 例1： 本来应该估计的模型为
Yt 0 1 X1t 1 X 2t 3 X 3t t
但在进行回归时，却把模型设定为如下形式：
（5）
Yt = β0 + β1 X 1t + β2 X 2t +νt
xt xt 2
t 1
n2
xt2
t 1
n
xt xn n 1 t 1 … n xt2 t 1
n 1
（15）
ˆ ˆ 式中Var ( 1 ) AR 为一阶序列相关时 1的方差。
1
把该式与没有干扰项自相关情形的通常公式
ˆ Var ( 1 ) 2 xt
第三节
序列相关性的检验
序列相关性的检验方法有多种，如冯诺曼比检验法、回归检验法、D.W.检验法等。
不同的检验方法的共同思路:
首先采用普通最小二乘法估计模型，以得到随机干扰项的近似估
ˆ 计量，我们用 ei 表示近似估计量：
ˆ ˆ et Yt Ytols
（19）
然后通过分析这些近似估计量之间的相关性以达到判断随机干扰 项是否具有序列相关性的目的。
（4）
其中 称为自协方差系数或一阶自回归系数，
i 是满足以下标准OLS假定的随机干扰项：
E ( i ) 0, Var ( i ) 2 , Cov( i , i s ) 0( s 0)
由于序列相关性经常出现在以时间序列数据为样本的模型中，因此， 本节下面将代表不同样本点的下表i用t 表示。
。
（4）回归模型中不应把滞后应变量作为解释变量之一，即不应出现如下形式模型：
Yt 0 1 X1t 2 X 2t k X kt Yt 1 t
（5）没有缺失数据。
杜宾—沃森针对原假设
H 0 : 0，即 t 不存在一阶自相关，构造如下统计量：
ˆ Var ( 1 ) 2 xt
2
即使随机误差的方差 没有被低估，通常OLS参数估计量的方差式（16） 也是存在一阶序列相关时参数估计量方差的偏误估计量。
4．模型的预测失效
被解释变量预测值区间与模型参数和随机误差的估计量的方差有关。 在存在序列相关时OLS估计的随机误差项方差有偏，参数估计量方 差非有效，这样回归模型的被解释变量的预测值及预测区间就不准确， 预测精度降低。 所以，当模型出现序列相关时，它的预测功能失效。
e
t 1
n
2 t
n2
2 ˆ 是真实的 的无偏估计，即有 E ( 2 ) 。但若随机误差项存在一阶序列相关
2
则可以证明：
ˆ E ( 2 )
2 n [2 /(1 )] 2 r
n2
式中
r t 2
xt xt 1
t 1 n
n
为X的相继观测值之间的样本相关系数。
(13)
对于干扰项为一阶序列相关的一元回归模型采用OLS估计，如以前一 样，β 1的OLS估计量为：
ˆ 1
x y x
t 2 t
t
(14)
但给定干扰项为一阶序列相关时， 1 的方差估计量现在为：
ˆ Var ( 1 ) AR1
n 1 xx 2 2 2 t t 1 t 1n 2 xt2 xt2 xt2 t 1
例
给定一个含有50个观测值的样本和3个解释变量,如果
（a）D.W.=1.05，（b）D.W.=1.40，
（c）D.W.=2.50，（d）D.W.=3.97
你能对自相关的问题说些什么？？
解：
查D.W.分布表可知，当样本数为n=50，解释变量数k=3时，在5%的
d 显著性水平下D.W.统计量临界值的下界 d L为1.42， U 为1.67。
一般经验表明，对于采用时间序列数据做样本的计量经济学模型，
由于在不同样本点上解释变量意外的其他因素在时间上的连续性， 带来了他们对被解释变量的影响的连续性，所以往往存在序列相关性。
第二节
序列相关性的影响
如果我们在干扰中通过假定Cov( t , t j ) E ( t t j ) 0 引进序列相关，但保留经典模型的全部其他假定，对OLS 估计量及其方差来说会出现什么情况呢？
4．蛛网现象
例如：
假定某农产品的供给模型为：
St 0 1Pt -1 t
(10)
假设t时期的价格Pt低于t-1时期的价格Pt-1，农民就很可能决定在时 期t+1生产比t时期更少的东西。显然在这种情形中，农民由于在年 度t的过量生产很可能在年度t+1消减他们的产量。诸如此类的现象， 就不能期望干扰μt是随机，从而出现蛛网式的序列相关。
Cov( i, j ) E( i j) 0
（2）
如果仅存在
E ( i i 1 ) 0, i 1, 2,..., n
（3）
则称为一阶序列相关或自相关（简写为AR(1))，这是常见的一种序列相关问题。
自相关往往可以写成如下形式：
i i 1 i ,
1 1
二、序列相关的原因 1．经济数据序列惯性 2．模型设定的偏误 3．滞后效应 4．蛛网现象 5．数据的编造
1．经济数据序列惯性
比如：
GDP、价格指数、消费等时间序列数据通常表现为周期循环。当经
济衰退的谷底开始复苏时，大多数经济序列开始上升，在上升期间，序 列在每一时刻的值都高于前一时刻的值。看来有一种内在的动力驱使这 一势头继续下去，直至某些情况出现（如利率或税收提高）才把它拖慢 下来。 因此，在涉及时间序列的回归中，相继的观测值很可能是相互依赖的。
（6）
例2： （模型函数形式有偏误）
在成本—产出研究中，如果真实的边际成本的模型为：
Yt = β0 + β1 X t + β2 X t2 + μt
其中Y代表边际成本，X代表产出。
但是如果建模时设立了如下回归模型：
（7）
Yt 0 1 X t vt
（8）
3．滞后效应 考虑一个消费支出对收入进行回归的时间序列模型，人们常常发 现当期的消费支出除了依赖其他当期收入外，还依赖前期的消费支出， 即回归模型为：
二、回归检验法
， ˆ ˆ ，ˆ 以 et 为被解释变量，以各种可能的相关变量，诸如 et 1 et 2
等为解释变量，
建立各种方程：
ˆ ˆ et et 1 t
t 2,..., n t 3,..., n
（20） （21）
ˆ ˆ ˆ et 1et 1 2 et 2 t
E ( ) 2 I
（11）
即同方差和相互独立性条件。而且在大样本情况下，参数估计量虽然 具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。
为了具体说明这一点，我们回到简单的一元回归模型
Yi 0 1 X i i
（12）
为方便我们不妨假定干扰项为(4)所示的一阶序列相关：
t t 1 t
对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方 程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。
优点：
一旦确定了模型存在序列相关性，也就同时知道了相关的形式，而且它 适用于任何类型的序列相关性问题的检验。
三、杜宾—沃森检验
D-W检验是杜宾（J.Durbin）和沃森（G.S.Watson）于1951年提出 的一种检验序列自相关的方法。虽然该方法很常用，但它有一些基本假定： （1）回归含有截距项。 （2）解释变量X是非随机的，或者在重复抽样中被固定的。 （3）随机干扰项 t 为一阶自回归形式：t t 1 t
序列相关性
◆ 学习目的
通过本节的学习，你可以知道什么是序列相关性，序列 相关性产生的原因是什么，序列相关性导致什么样的后果， 怎样检验和处理具有序列相关性的模型。 ◆ 基本要求 1）掌握序列相关性的概念、序列相关性的后果和检验方法； 2）了解广义最小二乘法和广义差分法原理； 3）能运用广义差分法和广义最小二乘法估计线性回归模型。
2
（16）
相比，可以看出前者等于后者加上另一与自相关系数 和各期X 的样本协方差有关的项。
2．随机误差项方差估计量是有偏的Leabharlann Baidu
在存在干扰项序列相关的情况下，随机误差方差的OLS估计量偏离
了真实的随机误差项的方差 2。 以一元回归模型为例，在经 典假设情况下，干扰项的 OLS方差估计量
ˆ 2
2
接受原假设。但他们成功导出了临界值的上限 dU 和下限 d L，且这些上下限只与 样本容量n和解释变量的个数有关，而与解释变量的取值无关。
因此，在运用D-W检验时，只须计算该统计量的值，再根据样本容量n 和解释变量数目k查D.W.分布表，得到临界值 d L 和 dU ，然后按下列准则考察
计算得到的D.W.值，以判断模型的自相关状态：
根据D-W检验判断准则可知
（a）D.W.=1.05< d L =1.42，因此随机误差项存在正一阶自相关；
Ct 0 1Yt 2Ct 1 t
其中，C是消费，Y是收入。
类似（9）式的回归模型被称为自回归模型
（9）
注意：
由于心理上、技术上以及制度上的原因，消费者不会轻易改变其消费 习惯，如果我们忽视（9）式中的滞后消费对当前消费的影响，那所带来 的误差项就会体现出一种系统性的模式。
5．数据的编造 新生成的数据与原数据间就有了内在的联系，表现出序列相关性。
例如：
CPI季度数据可能来自月度数据的简单平均，这种平均的 计算减弱了每月数据的波动而引进了数据中的匀滑性，这种 匀滑性本身就能使随机干扰项中出现系统性的因素，从而出 现序列相关性。 利用数据的内插或外推技术构造的数据也会呈现某种系统性的模式。
. 若 0 DW . d L ，则存在正自相关； . 若 d L DW . dU ，则不确定；
. 若 dU DW . 4 dU ，则无自相关； . 若 4 dU DW . 4 d L ，则不确定；
若 4 d L DW . 4 ，则存在负自相关。 . 也就是说，当D.W.值在2附近时，模型不存在一阶自相关。
1．参数估计量非有效 2．随机扰动项方差估计量是有偏的 3．变量的显著性检验t检验统计量和相应的参数置信区间估计失去意义 4．模型的预测失效
1．参数估计量非有效
根据OLS估计中关于参数估计量的无偏性和有效性的证明过程可 以看出，当计量经济学模型出现序列相关性时，其OLS参数估计量 仍然具有线性无偏性，但不具有有效性。因为在有效性证明中我们 利用了
ˆ ˆ (e e
t 2 t n t 1
)2
D.W .
ˆ e
t 1
n
（22）
2
t
杜宾—沃森证明该统计量的分布与出现在给定样本中的X值有复杂的关系，
其准确的抽样或概率分布很难得到；
ˆ ˆ 因为D.W.值要从 et 中算出，而 et 又依赖于给定的X的值。
因此D-W检验不同于t、F或 χ 检验，它没有唯一的临界值可以导出拒绝或
xt2
3．变量的显著性检验t 检验统计量和相应的参数置 信区间估计失去意义
用OLS法估计序列相关的模型得到的随机误差项的方差不仅是 有偏的，而且这一偏误也将传递到用OLS方法得到的参数估计量 的方差中来，从而使得建立在OLS参数估计量方差基础上的变量 显著性检验失去意义。
以一元回归模型为例，
Yi 0 1 X i i
第七章 序列相关性
◆序列相关性及其产生原因
◆
序列相关性的影响
◆序列相关性的检验 ◆序列相关的补救
第一节
序列相关性及其产生原因
—、序列相关性的含义
对于多元线性回归模型
Yi 0 1 X1i 2 X 2i k X ki i i 1, 2,, n
(1)
在其他假设仍然成立的条件下，随机干扰项序列相关意味着
序列相关性的检验方法
一、图示法 二、回归检验法 三、杜宾—沃森检验
四、拉格朗日乘子检验
一、图示法
ˆ 由于残差 et可以作为随机误差 t 的估计，因此，如果 t 存在序列相关性， ˆ ˆ 必然会由残差项 et 反映出来，因此可以利用 et 的变化来判断随机干扰项的序列
相关性，如图7－1所示。
2．模型设定的偏误
定义：
指所设定的模型“不正确”，主要表现在模型中丢掉了重要的解释
变量或模型函数形式有偏误。 （丢掉了重要的解释变量） 例1： 本来应该估计的模型为
Yt 0 1 X1t 1 X 2t 3 X 3t t
但在进行回归时，却把模型设定为如下形式：
（5）
Yt = β0 + β1 X 1t + β2 X 2t +νt
xt xt 2
t 1
n2
xt2
t 1
n
xt xn n 1 t 1 … n xt2 t 1
n 1
（15）
ˆ ˆ 式中Var ( 1 ) AR 为一阶序列相关时 1的方差。
1
把该式与没有干扰项自相关情形的通常公式
ˆ Var ( 1 ) 2 xt
第三节
序列相关性的检验
序列相关性的检验方法有多种，如冯诺曼比检验法、回归检验法、D.W.检验法等。
不同的检验方法的共同思路:
首先采用普通最小二乘法估计模型，以得到随机干扰项的近似估
ˆ 计量，我们用 ei 表示近似估计量：
ˆ ˆ et Yt Ytols
（19）
然后通过分析这些近似估计量之间的相关性以达到判断随机干扰 项是否具有序列相关性的目的。
（4）
其中 称为自协方差系数或一阶自回归系数，
i 是满足以下标准OLS假定的随机干扰项：
E ( i ) 0, Var ( i ) 2 , Cov( i , i s ) 0( s 0)
由于序列相关性经常出现在以时间序列数据为样本的模型中，因此， 本节下面将代表不同样本点的下表i用t 表示。
。
（4）回归模型中不应把滞后应变量作为解释变量之一，即不应出现如下形式模型：
Yt 0 1 X1t 2 X 2t k X kt Yt 1 t
（5）没有缺失数据。
杜宾—沃森针对原假设
H 0 : 0，即 t 不存在一阶自相关，构造如下统计量：