定积分的应用之微元法
定积分应用的微元法
n
其中称 f ( x) 为被积函数, f ( x)dx 为被积式，x 为积分变量， [ a , b ] 为积分区间，a, b 分别称为积分下限和上限.
定积分定义的说明： (1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、 下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：
x dx t dt .一般地， 0 0
证 将性质 5 中不等式除以 b a ，得 1 b f ( x ) d x ≤ M. m≤ a ba 1 b a, b f ( x)dx ,即 m M .由于 f ( x) 为 设 a ba 区间上的连续函数,所以,它能取到介于其最小值与最大 值之间的任何一个数值 （这就是连续函数的介值定理） . 因此在a, b 上至少有一点 ，使得 f ( ) ，即 1 b f ( x)dx f ( ), ba a
f ( 1 ) x1 f ( 2 ) x 2 f ( n ) x n
(4)i
1i n
n
取极限 令小区间长度的最大值 maxxi
趋于零,则和式 的精确值，即
f ( )x 的极限就是曲边梯形面积 A
x2
五 、 微积分基本公式
引例 设物体以速度v v(t ) 作直线运动，要求计算 [T1 , T2 ] 时间内的路程 s. 从定积分概念出发，由前面已讨论的结果知道[T1 , T2 ]
所经过的路程为 v(t )dt .
T1 T2
若从不定积分概念出发，则知道函数为 v(t )dt s(t ) C , 其中 s(t ) v(t ) ，于是[T1 , T2 ]时间内所走 路程就是 s (T2 ) s (T1 ) . T2 综合上述两个方面，得到 v(t )dt s(T2 ) s(T1 ) .
微元法在利用定积分解决实际问题中所起的作用
微元法在利用定积分解决实际问题中所起的作用张志军一、能利用定积分来解决的实际问题有什么特点？能利用定积分来解决的实际问题，总可归结为求一个确定在某一区间上且一般来说在上非均匀分布的量。
这个量有以下两个特点：1、对区间具有可加性设是与变量的变化区间有关的待求量，在内任意插入分点，把分成个小区间，相应地量也被分成个部分量，那么等于这些部分量的和，即2、能找出部分量的近似表达式如果对每个部分量可以找到如下形式的近似值，其中为上的连续函数，那么待求量的近似值为我们要求的是的精确值，而用的近似值累加，其误差也将累加，所以就要求累加的误差能随所有而趋于零。
因此，希望相应于任一长为的小区间的部分量都满足表达式：且当时，（并与无关）。
这样我们可以证明量即可用定积分来计算二、如何理解和运用微元法来解决可化为定积分的实际问题？微元法也成为元素法，它是用来化实际问题为定积分问题的一种简便方法，也是物理学、力学和工程技术上普遍采用的方法。
如问题一所述，可化为定积分来计算的待求量有两个特点，对区间的可加性这一特点，是容易看出来的，因此，关键在于另一特点，即找任仪部分量的表达式：（1）然而，人们往往根据问题的几何或物理的特征，自然地将注意力集中于去找这一项上。
但不能忘记，这一项与之差，当时，应是比高阶的无穷小量，借用微分的记号，将这项记为（2）这个量称为待求量的微元或元素。
用定积分来解决实际问题的关键就在于求出微元。
若连续，我们由（1）式即知，（2）式表示的微元实际上是的微分，因为在区间上的待求量为，故。
因此，要求出在区间上的待求量，先要求出的微分。
然后把在上积分，即可求出，这就是所谓微元法或元素法。
按数学的定义，量的微分是它的线性主部，但从工程实际应用的角度看，量的微分就是在一定的条件下，将一些变动的量视为常量而得到的与成正比的的近似值。
按此理解，把数学与工程实际应用结合起来考虑，那么量的微分一般说来就比较易求，同时，化实际问题为定积分问题的步骤也得到了简化。
定积分的应用之微元法
定积分应用的微元法： 定积分应用的微元法
) (一 在 区间 [a,b] 上任取一 个微小 区间 [x, x + dx] ，然后写 出 值， 为 在 个 这 小区 上的 分 ∆F 的 似 ，记 dF = f (x)dx (称 F 间 部 量 近 值 为 的微元) 的微元);
[ 上积分（无限累加） d ，即得 （二） 将微元 F 在a,b] 上积分（无限累加） 即得 ，
各部分量之和， 各部分量之和，即F = ∑F . i
上的分布是不均匀的， (2) 所求量 F 在区间 [a,b] 上的分布是不均匀的， 比. 也 是说 F 的 与 就 ， 值 区间 [a,b] 的 不 正 .（ 则 长 成 比 否 的 得， 了） 话 F使 初 方 ， 用 等 法即 求 ， 勿 可 得 而 需用 分 法 ） 积 方 了 .
y = x2 , 得交点（ 解方程组 2 得交点（0，0）及（1，1）. y = x,
选择积分变量，写出面积微元， (2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 dA均可 习惯上 x 均可， 取竖条， 取 为积分变量， 围为[0 [0， ， 取竖条 即 x 为积分变量， 变化范 ， 围为 ， [0 1]， 1]，于是 2
n i=1
第三步：写出整体量 F 的近似值，F = ∑∆F ≈∑ f (ξi )∆xi ； 的近似值， 第三步： i
i=1
n
第四步： 极限， 第四步：取λ = max{∆xi } →0时的∑ f (ξi )∆xi 极限，则得
i=1
n
F = lim∑ f (ξi )∆xi = ∫ f (x)dx .
b
a b
y
y = f ( x)
y y = f ( x)
定积分微元法及其应用
定积分微元法及其应用摘要：积分学中的定积分在几何、物理、经济管理等方面有着极其广泛的应用。
由于定积分的微元法通常往往能使一些实际问题简单化，因此，定积分的微元法在定积分的应用方面至关重要。
本文首先简介定积分的微元法适用的所求量以及定积分微元法在应用中的步骤，重点介绍积分微元法在几何、物理、经济管理及日常生活等方面的应用。
关键词：定积分：微元法：应用一、定积分的微元法适用的所求量定积分的微元法是将实际问题设法转化为定积分问题的一种方法，通常，如果所求量满足三条：1.关于某一个区间有关；2.在区间上具有可加性，即当把区间分成任意n个小区间时，相应的所求量也分成n个小部分，且所求量等于n个小部分之和，即；3.在上任取一个小区间，所求量的部分量能够近似表示成（即所求量的微分元素），那么所求量就可以用定积分的微元法来求，即。
二.定积分微元法在应用中的步骤定积分微元法就是将所研究的所求量进行无限细分，从中抽取某一微小部分进行探探讨，通过分析，研究找出所求量的整体变化规律的方法。
通常利用定积分微元法解决一些具体问题时，采用将所研究的所求量细分成很多微小的“元素”，而这些微小的“元素”具有相同的几何形态或物理规律，因此，我们仅需要分析和研究其中的一个微小部分，利用所学的数学或物理的理论知识进行处理，以期达到用一个定积分表达式来求所求量的效果。
用定积分微元法将实际问题中的所求量抽象为定积分的步骤也基本相同，分为3步，1.根据题意，建立适当坐标系，画出草图（使得后面的选积分变量、确定积分区间、寻找所求量的微分元素比较直观）；由于函数关系的建立是由所建立的坐标系来决定的，坐标系的建立是否恰当，往往直接影响到寻找微分元素的难易以及定积分计算的繁简程度。
因此，建立坐标系时，既要考虑到较易寻找所求量的微分元素，还要考虑到后面的定积分的计算要相对较简单。
2.选取积分变量，并确定其变化区间。
积分变量选择的是否恰当，往往直接决定着定积分的计算是简单还是繁琐。
定积分的应用：定积分的微元法
step3:
计 算A
b
f(x)dx
a
பைடு நூலகம்
这种方法称为定积分的微元法。
构造微元的基本思想及解题步骤
1. 构造微元的基本思想 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、
“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须 是无穷小量之间的代替。将局部 [x,xd]x [a,b]上所对 应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成
定积分 b f (x)dx ． a
2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： ①选取适当的坐标系；
②确定积分变量和变化范围；
③在[x, xdx]上求出微元解析式（积分式）。
④把所求的量表示成定积分
b a
f
( x )dx.
3。局 部 A if(量 i) A i,且误 o ( x i)差为
实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第 二步，因此求解可简化如下：
step1: 选取积分变量及积分 区间（如x属于[a, b]）
step2: 取微区间[x, x+dx]
求出 D A f(x)dx(局 部 量 )
并 记 d A f( x ) d x 称 为 面 积 元 素
通过对不均匀量如曲边梯形的面积变速直线运动的路程的分析采用分割近似代替求和取极限四个基本步骤确定了它们的值并由此抽象出定积分的概念我们发现定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具
定积分的微元法
通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线 运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、 取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象 出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不 均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量 可以通过定积分来求值呢？
微元法与定积分的应用
如果 f (x) 在 [a, b] 上有正有负，那么它的面积 A 的微元应是以 | f (x) | 为高，dx 为底的矩形面积，
即 dA= | f (x) |dx .
于是，总有
b
A a | f ( x) | dx.
y
f (x)
Oa
x x+dx
bx
dA
例 1 求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积．
dA
( x2
-
x1 )dy
( y
4) -
y2 2
dy,
y
4
于是
A
4 -2
(
y
4)
-
y2 2
dy
y + dy y
18.
如果选择 x 为积分变量， -2
那么它的表达式就比上式复杂.
y2 = 2x
(2,-2) A
B (8,4) y = x-4
x
例 4 求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，其
n i 1
f ( xi )x
1
b
f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)dx,
b-a a
即
y 1
b
f ( x)dx.
b-a a
例 5 求从 0 至 t 秒到这段时间内自由落体的 平均速度．
解 因为自由落体的速度为 v = gt， 所以，
v 1 t gudu 1 gt.
t-0 0
2
例 6 求 y = lnx 在 [1, 2] 上的平均值.
中 a > 0，b > 0. 解 因为图形关于 x 轴、y
定积分的微元分析法
f(i)xi
用定积分表示量U的基本步骤:
• 根据问题的具体情况,选取一个变量 例如x为积分变量,并确定其变化区间[a,b];
(2) 在区间[a,b]内任取一个小区间 ,[x, xdx]
求出相应于这个小区间的部分量 的近似U值.
如果 能U近似地表示为[a,b]上的一个连续函数
在 x处的值 与f ( x的) 乘积d, x
rr2()
相应于从 0到2的一段弧与极轴所围图形的面积.
解 如图,可视为=0, = 2及r=a
围成的曲边扇形.则其面积为
o
A0 2(a2)2da 2 2(33)|0 24 3a23
例5 求r=1与r=1+cos所围公共面积.
解 如图,曲线交点为
M
M(1,) ,N(1, 3)
2
2
A1 A2
o
则
A1
定积分应用
定积分的微元分析法 一 . 能用定积分表示的量所必须具备的特征
用定积分表示的量U必须具备三个特征 :
(1) U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量; (2) U 对于区间[a,b]具有可加性. 即如果把区[a,b] 分成许多部分区间,
则U相应地分成许多部分量;
(3) 部分量U的i 近似值可表示为
取为积分变量,其变化区间为[ ,],
相应于[, +d]的面积微元为
Hale Waihona Puke r=r()d A 1[r()]2d
2
则图形面积为 A
1o[r()]2d
2
2. 一般图形
由曲线 rr1()r,r2()
及射线=, =所围图形的面积微元
为 dA 1 2[r22()r12()d]
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
定积分的微元法
定积分的应用
在物理与工程技术中，经常会遇到这样一些问题， （1）计算不规则几何体的体积或重量．
（2）物体承受的压力或变力作功．
为了解决上述问题，本章介绍 将所求量表达成
定积分的分析方法，即微元法．
5.1 定积分的微元法
一.问题的引入
二.微元法的步骤
三.课后小结
一、问题的引入
回顾：求曲边梯形面积A的方法和步骤：
（1） 分割，得到 n 个窄曲边梯形 Ai (i 1, 2, （2）计算 A 的近似值
i
n)
i xi
Ai f i xi
x
i 1
（3）求和，得A的近似值 （4）取极限，得A的精确值
A f ( i )xi
i 1
n
y
f i
A lim
分成许多 部分量，而 F 等于所有部分量之和。 2、部分量 F 与微元 dF f ( x)dx 只相差一个比 dx高阶的无穷小。
应用方向： 平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长； 功、水压力和平均值等． 三、课后小结
微元法的思想、步骤.
思考题
微元法的实质是什么？
思考题解答
微元法的实质仍是Βιβλιοθήκη 和式”的极限.b a b（2）取微元——利用“化整为微，以常代变”的思想，
（3）求积分——利用“积微为整，无限累加”的方法,
这种将所求量表达成 定积分的分析方法—— 微元法。
需要指出的是， 1、用定积分计算所求量F，应具有下列条件：
（1）F 与变量 x 的变化区间 a , b有关；
（2） F对于区间 a , b 具有可加性， 即 如果把区间 a , b 分成许多部分区间，则F 相应地
第五讲定积分的微元法定积分在几何中的应用(一).
第五讲 定积分的微元法 定积分在几何中的应用(一)一、定积分的微元法由引入定积分概念的两个实例不难看出， 可用定积分所求的量 A 具有以下 三个特点：1、量A 是分布在区间［a,b ］上的整体量，即A 与区间［a,b ］有关，在［a,b ］上连续分布。
3、量A 在区间［a,b ］上的分布是非均匀的。
现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。
复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。
设f(x)在区间［a,b ］上连续，且f(x) 0，求以曲线取近 似 计算每 个小 区 间 上 面 积 A i 的 近 似 值 A if( i ) x i2、量A 具有可加性，即整体量等与部分量的和:nA i ；i1f (X )为曲边的［a,b ］上的曲边梯形的面积A .把这个面积A 表示为定积分A a bf (x)dx，求面积A 的思路是“分割、 取近似、求和、取极限”即: 1、分割 将［a,b ］分成n 个小区间，相应地把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记作 A(i 1,2,,n),则 A A ；i12、(x i 1ix n ) ；3、求和求和得A 的近似值A nf( i )i1x i ；4、 n取极限 取极限得 A limi1f( i ) x ibf(x)dx ．为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步， 设所求量为A ，区间yA 「为[a,b],1、无限细分，化整为零A f x dx ;2、连续求和，积零为整xbbbdA dA x d f x dx f x dx ， A dA dA x faaaa由此不难看出，f x dx 实际上就是量A 在点x 出的微分，将dA f x dx 称为量A 的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。
二、定积分在几何中的应用(一)平面图形的面积1、直角坐标系下面积的计算在dx 0时，将A 从a 到b 连续求和，则有：A f(x)dx. y n由于A 与区间［a,b ］有关，且在［a,b ］上连续分布,上限函数的定义则有：A x f x dx ，从而， x有积分axb X1、当平面图形是由曲线f(x)及直线xb 、y 0所围成时;bb细分区间［a,b ］，从中任取一小区间［x,x dx ］(dx x )，并求出相应于这个小区间的部分量a oA 的近似值///Jx X dx b Xx dx ；xxxf x dxd f x dx f x dxacbf x dx .d2、当平面图形是由曲线 伞yy iX 、y 2 f 2 x 及直线x a 、x b 所围成时;yy i f i xy 2 To xb x若y i y 2时，则有：A f 2 xf i xdxb bf 2 x dxf i aax dx般地,f 2 xf l x dxacf i x af 2 xd dxcf 2 bxf i x dxdf i x f 2 x dx3、当平面图形是由曲线 X i f i y 、 X 2 f 2 y 及直线yd 所围成时;d则：A 2 y 1 y dy .cx 例1、计算由两条抛物线y 2x例2、计算抛物线y22x与圆x2寸8所围平面图形的面积。
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究1. 引言1.1 什么是定积分中微元法及其应用研究定积分中微元法是微积分学中的重要概念，它通过将被积函数分割成无穷小的微元，然后对这些微元进行求和，从而得到整个函数的定积分值。
微元法在定积分中的应用非常广泛，可以解决各种形式的积分计算问题，同时也可以帮助我们更好地理解积分的几何意义。
微元法在实际问题中的应用也非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域都有重要的应用价值。
通过微元法，我们可以更准确地描述和分析各种现实问题，为科学研究和工程实践提供有力的支持。
虽然微元法在定积分中有着重要的作用，但它也存在一定的局限性，例如在处理复杂函数或高维度的积分问题时会比较困难。
我们在使用微元法时需要结合具体情况，选择合适的方法和技巧来求解问题。
定积分中微元法是微积分学中的重要工具，它不仅可以简化积分计算的过程，还可以帮助我们更深入地理解函数的性质和应用。
在未来的研究中，我们可以进一步探讨微元法在更复杂问题中的应用，以及不同类型积分的求解方法，从而拓展微元法在定积分中的应用范围。
2. 正文2.1 定积分的基本概念定积分是微积分中的一个重要概念，是对曲线下面积的一种计算方法。
在定积分中，我们将给定的区间分成许多小区间，并在每个小区间内取一个点，然后求出这些小区间上的面积之和，最后取极限得到整个区间的面积。
在进行定积分运算时，我们通常利用微元法来计算。
微元法是一种运用微小部分求和的方法，将函数进行分割，然后在每个微小的部分上进行计算，最后将所有微小部分相加得到整体的结果。
在定积分中，微元法能够帮助我们将曲线下的面积分解成无穷个微小的长方形或梯形，进而求得整个区间的面积。
需要注意的是，定积分的基本概念中还包括对积分上下限的理解和确定，以及对被积函数的理解和计算。
通过对定积分的基本概念的理解和掌握，我们可以更好地应用微元法进行定积分的计算，并进一步应用到实际问题的求解中。
2.2 微元法在定积分中的应用微元法在定积分中的应用是定积分中非常重要和常见的方法之一。
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究1. 引言1.1 研究背景定积分中微元法及其应用研究引言定积分是微积分的重要组成部分，是对曲线下方面积的概念。
在实际问题中，我们经常需要求解曲线下的面积，例如计算图形的面积、求解物体的质量和体积等。
定积分中的微元法是一种重要的计算方法，通过将曲线分成无穷小的微元，然后对每个微元进行求和从而得到整个曲线下的面积。
微元法的应用可以帮助我们更准确、快速地计算定积分，提高计算效率。
在过去的研究中，人们对微元法在定积分中的应用逐渐深入探讨，积累了大量的经验和知识。
随着科学技术的不断发展和社会需求的不断增加，对定积分中微元法的研究也面临着新的挑战和机遇。
有必要对定积分中微元法及其应用进行深入研究，以满足不断增长的科学研究和工程实践的需要。
【内容到此结束】1.2 研究目的研究目的是深入探究定积分中微元法及其应用，通过对定积分的基本概念和微元法的具体应用进行分析和研究，探讨微元法在定积分中的实际应用价值和解决问题的能力。
通过研究微元法在定积分中的求解过程和步骤，揭示微元法在不定积分、定积分和定积分应用中的差异和联系，从而为定积分中微元法的理论基础提供更加全面的理解和认识。
结合定积分中微元法在实际问题中的应用，探讨微元法在解决实际问题和应用方面的优势和局限性，为定积分中微元法的未来研究和应用提供启示和指导。
通过对定积分中微元法的研究目的和意义的探讨，旨在加深对定积分中微元法的理论认识和应用实践，提高定积分问题求解的准确性和效率，为相关学科领域的学术研究和技术应用提供理论支持和指导。
1.3 研究意义定积分中微元法及其应用研究的研究意义在于深化对定积分概念的理解，拓展数学方法在实际问题中的应用。
微元法作为定积分中的重要方法，通过将函数分割成无限小的小块，将复杂问题简化为简单的求和问题，极大地提高了计算效率和准确性。
定积分中微元法的研究意义在于通过微元法的应用，可以更好地解决现实生活中复杂的变化问题，如曲线的长度、曲线围成的面积等。
01 第一节 定积分的微元法
第六章定积分的应用
定积分是求某种总量的数学模型，它在几何学、物理学、经济学、社会学等方面都有着广泛的应用，显示了它的巨大魅力. 也正是这些广泛的应用，推动着积分学的不断发展和完善. 因此，在学习的过程中，我们不仅要掌握计算某些实际问题的公式，更重要的还在于深刻领会用定积分解决实际问题的基本思想和方法——微元法，不断积累和提高数学的应用能力.
第一节定积分的微元法
分布图示
★面积表为定积分的步骤
★定积分的微元法
★内容小结
★返回
内容要点
在应用学科中广泛采用的将所求量（总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：
一、由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如为积分变量，并确定它的变化区间，任取的一个区间微元，求出相应于这个区间微元上部分量的近似值，即求出所求总量的微元
；
二、由微元写出积分根据写出表示总量的定积分
应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：
（1）所求总量关于区间应具有可加性，即如果把区间分成许多部分区间, 则相应地分成许多部分量, 而等于所有部分量之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;
（2）使用微元法的关键是正确给出部分量的近似表达式，即使得. 在通常情况下，要检验是否为的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意的合理性.。
定积分应用-微元法
——微元法
1
主要内容
理
名 称 释 译
论
依
据
的所 特求 点量
微 元 法 解 题 步 骤
定积分应用中的常用公式
2
定积分的应用举例
1. 几何方面 :
1) 平面图形的面积(直角坐标、极坐标、参数方程) 2) 体积
3) 平面曲线的弧长
4) 表面积
2. 物理方面 :
作功、转动惯量、重心、侧压力、引力、电学有效值
a a
7
II. 总量U在区间上具有可加性，即把区间分成几个
小区间时总量等于各个小区间上的局部量ΔU之和
III. 局部量ΔU可用 f ( i )xi 近似表示，它们之间只 相差一个xi 的高阶无穷小
xi 0
lim f (i )xi U f (i )xi U xi
微元形状: 条、带、段、片 、扇、环、壳 等
3
一、回顾定积分的引出----求曲边梯形面积 设量Ｕ非均匀地分布 [ a ,b ]上，求Ｕ的步骤
1. 分割 2. 近似 3. 求和
n个小区间 [ xi 1 , xi ], xi xi xi 1
U i f ( i )xi , i [ xi 1, xi ]
U U i f ( i )xi
i 1 i 1
n b
a x0 x1 xn1 xn b
n
n
4. 取极限 U lim f ( i )xi f ( x )dx 0
max
xi
i 1
a
4
ห้องสมุดไป่ตู้ 定积分问题举例——求曲边梯形面积
不均匀量Ｕ就可以用定积分来求得
定积分的应用之微元法
(3)将 A 表示成定积分，并计算
A
1
(
0
x
x2
)dx
2 3
3
x2
1 3
x3
1
1 3.
0
例 2 求 y2 2x及y x 4 所围成图形面积.
解 作图（如下图） y
y+dy4
B
y
O
x
-2 A
求出交点坐标为A(2,2), B(8,4) . 观察图得知，宜取
在区间 [a,b] 上点 x 处垂直 x 轴的截面面积为
A(x) πf 2 (x).
在 x的变化区间[a,b] 内积分，得旋转体体积为
V π b f 2 (x)dx. a
y
类似地，由曲线 x (y) ，直线
y c, y d 及 y 轴所围成的曲边梯形 绕 y 轴旋转，所得旋转体体积（如下
dA 1 r 2 ( )d ,
2
将dA在[ , ]上积分,便得曲边
扇形面积为
A 1 r2 ( )d . 2
O
r r(θ)
d
x
例 4 计算双纽线r 2 a2 cos 2 (a 0) 所围成的图形 的面积（如下图所示）.
y
θ π4
ax O
解 由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，
3
π 3
(1
2 cos
1
cos 2
)d
9
0
2
2
π
π2(1 cos 2 )d
3
π
π
3
2
微元法及定积分的几何应用
定积分的定义
定义
定积分是积分区间[a,b]上，由函数f(x)与x轴围成的曲边梯形的面积，记作 ∫baf(x)dx。
几何意义
定积分的值等于积分区间[a,b]上曲线y=f(x)与直线x=a、x=b以及x轴所围成的 平面图形的面积。
定积分的性质
线性性质
∫baf(x)dx+∫baf(x)dx=∫baf( x)+f(x)dx
微元法可以用于分析流体动力学 问题，例如计算流体流动的速度 场和压力场。
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THANKS
微元法的计算方法
01
微元法的计算步骤包括：选取微元、确定微元的几何意义、建 立微元的数学模型、进行微元分析、求和得到整体解。
02
在选取微元时，需要保证微元的几何意义明确，数学模型简单，
便于分析和计算。
在进行微元分析时，可以采用积分的方法，将无穷多个微元的
03
值相加得到整体解。
02
定积分பைடு நூலகம்基本概念
定积分在微元法中的应用
解决实际问题
数学建模
定积分的应用范围非常广泛，可以用于解决 各种实际问题，如计算变速直线运动的位移、 求解变力做功等问题。
定积分在数学建模中也有广泛应用，如通过 定积分建立描述自然现象和社会现象的数学 模型。
05
微元法及定积分的实际应用
在物理学中的应用
计算曲线长度
在物理学中，微元法常用于计算曲线或曲面的长 度，例如行星轨道、磁场线等。
区间可加性
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫baf( x)dx，c∈(a,b)
积分中值定理
若f(x)在[a,b]上连续，则存在 一点ξ∈[a,b]，使得 ∫baf(x)dx=f(ξ)(b-a)
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dA 1 r 2 ( )d ,
2
将dA在[ , ]上积分,便得曲边
扇形面积为
A 1 r2 ( )d . 2
O
r r(θ)
d
x
例 4 计算双纽线r 2 a2 cos 2 (a 0) 所围成的图形 的面积（如下图所示）.
y
θ π4
ax O
解 由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，
再 4 倍即可，在第一象限 的变化范围为 [0, π]，于是
4
A 4 1
π
π
4 a2 cos 2 d a2 sin 2 4 a2.
20
0
例 5 求心形线 r 1 cos 及圆r 3cos 所围成的阴影 部分面积（如右下图）.
这是 F 能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用
的微元法.
定积分应用的微元法：
(一) 在区间 a,b 上任取一个微小区间 x, x dx ，然后写出
在这个小区间上的部分量ΔF 的近似值，记为dF f (x)dx (称为 F 的微元);
（二） 将微元dF 在a,b 上积分（无限累加），即得
x a, x b所围成的图形，如下页右图，面积微元
dA [ f (x) g(x)]dx,，面积 A
b
[
f
(
x)
g
(
x)]dx
.
a
y y f (x)
y y f (x)
O x x dx
O a x x dx b x a
bx
y g(x)
（3）由左右两条曲线 x ( y), x ( y)及 y c, y d 所
n
F ΔFi ; i1
ΔFi ≈ f (i )Δxi (i 1,2,, n);
n
n
第三步：写出整体量 F 的近似值，F ΔFi ≈ f (i )Δxi ；
i1
i1
n
第四步：取 max{Δxi} 0 时的 f (i )Δxi 极限，则得
i1
n
F
lim 0 i1
f (i )Δxi
b f (x)dx .
围成图形（图见下页）面积微元（注意，这时就应取横条矩
形 dA，即取 y 为积分变量）dA [( y) ( y)]dy，面积
A d [( y) ( y)]dy. c
y d
y dy
x 1,1)
x ( y)
x
O
x x dx x
例 1 求两条抛物线 y2 x, y x2 所围成的图形的面积 .
定积分的应用
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
一、 定积分应用的微元法
用定积分计算的量的特点：
(1) 所求量（设为 F ）与一个给定区间 a,b 有关， 且在该区间上具有可加性. 就是说，F 是确定于 a,b 上 的整体量，当把 a,b 分成许多小区间时，整体量等于
于是得 dA [( y 4) 1 y2 ]dy,
2
A 4 [( y 4) 1 y2 ]dy 1 y2 4 y 1 y3
4
18.
2
2
2
6 2
2. 极坐标下的面积计算
曲边扇形：是指由曲线r r( )及两条射线 , 所围
成的图形（如右下图）.
取 为积分变量，其变化范围为[ , ]，在微小区间 [ , d ]
解 先求两线交点，以确定 的变化范围，解方程组
r 1 cos ,
r 3cos.
由3cos 1 cos 得 cos 1 ，故
1. 直角坐标系下的面积计算
用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.
（1） 曲线 y f (x)( f (x) 0), x a, x b 及 Ox 轴所围
图形，如下页左图，面积微元dA f (x)dx ，面积
A b f (x)dx . a
（2） 由上、下两条曲线 y f (x), y g(x)( f (x) g(x)) 及
n
各部分量之和，即F Fi . i1 (2) 所求量 F 在区间 a,b 上的分布是不均匀的，
也就是说， F 的值与区间 a,b 的长不成正比.（否则的
话， F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）.
用定积分概念解决实际问题的四个步骤：
第一步：将所求量 F 分为部分量之和，即: 第二步：求出每个部分量的近似值，
解（1）画出图形简图（如右上图）并求出曲线交 点以确定积分区间：
解方程组
y y
x2, 2 x,
得交点（0，0）及（1，1）.
(2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作
dA均可，习惯上取竖条，即取 x 为积分变量，x 变化范围为[0，
1]，于是
dA ( x x2 )dx,
(3)将 A 表示成定积分，并计算
1
A ( 0
x
x2 )dx
2 3
3
x2
1 3
x3
1
1 3.
0
例 2 求 y2 2x及y x 4 所围成图形面积.
解 作图（如下图） y
y+dy4
B
y
O
x
-2 A
求出交点坐标为A(2,2), B(8,4) . 观察图得知，宜取
y 为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若
取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），
(2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问
题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 x, x dx 上，
以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线 性 化 ）， 写 出 局 部 上 所 求 量 的 近 似 值 ， 即 为 微 元 dF f (x)dx .
二、用定积分求平面图形的面积
b
F a f (x)dx.
微元法中微元的两点说明：
(1) f (x)dx作为ΔF 的近似值表达式，应该足够准确，确切 的 说 ， 就 是 要 求 其 差 是 关 于Δx 的 高 阶 无 穷 小 . 即 ΔF f (x)dx o(Δx) . 这 样 我 们 就 知 道 了 ， 称 作 微 元 的 量 f (x)dx，实际上是所求量的微分 dF ;
a
观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表 达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式 f (i )Δxi 中的 变量记号改变一下即可（ i 换为 x ；xi 换为 dx ）.
而第三、第四两步可以合并成一步：在区间 a,b 上无限累加， 即在 a,b上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，