定积分的应用之微元法共26页
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定积分应用的微元法
i 1
n
其中称 f ( x) 为被积函数, f ( x)dx 为被积式，x 为积分变量， [ a , b ] 为积分区间，a, b 分别称为积分下限和上限.
定积分定义的说明： (1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、 下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：
x dx t dt .一般地， 0 0
证 将性质 5 中不等式除以 b a ，得 1 b f ( x ) d x ≤ M. m≤ a ba 1 b a, b f ( x)dx ,即 m M .由于 f ( x) 为 设 a ba 区间上的连续函数,所以,它能取到介于其最小值与最大 值之间的任何一个数值 （这就是连续函数的介值定理） . 因此在a, b 上至少有一点 ，使得 f ( ) ，即 1 b f ( x)dx f ( ), ba a
f ( 1 ) x1 f ( 2 ) x 2 f ( n ) x n
(4)i
1i n
n
取极限 令小区间长度的最大值 maxxi
趋于零,则和式 的精确值，即
f ( )x 的极限就是曲边梯形面积 A
x2
五 、 微积分基本公式
引例 设物体以速度v v(t ) 作直线运动，要求计算 [T1 , T2 ] 时间内的路程 s. 从定积分概念出发，由前面已讨论的结果知道[T1 , T2 ]
所经过的路程为 v(t )dt .
T1 T2
若从不定积分概念出发，则知道函数为 v(t )dt s(t ) C , 其中 s(t ) v(t ) ，于是[T1 , T2 ]时间内所走 路程就是 s (T2 ) s (T1 ) . T2 综合上述两个方面，得到 v(t )dt s(T2 ) s(T1 ) .
n
其中称 f ( x) 为被积函数, f ( x)dx 为被积式，x 为积分变量， [ a , b ] 为积分区间，a, b 分别称为积分下限和上限.
定积分定义的说明： (1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、 下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：
x dx t dt .一般地， 0 0
证 将性质 5 中不等式除以 b a ，得 1 b f ( x ) d x ≤ M. m≤ a ba 1 b a, b f ( x)dx ,即 m M .由于 f ( x) 为 设 a ba 区间上的连续函数,所以,它能取到介于其最小值与最大 值之间的任何一个数值 （这就是连续函数的介值定理） . 因此在a, b 上至少有一点 ，使得 f ( ) ，即 1 b f ( x)dx f ( ), ba a
f ( 1 ) x1 f ( 2 ) x 2 f ( n ) x n
(4)i
1i n
n
取极限 令小区间长度的最大值 maxxi
趋于零,则和式 的精确值，即
f ( )x 的极限就是曲边梯形面积 A
x2
五 、 微积分基本公式
引例 设物体以速度v v(t ) 作直线运动，要求计算 [T1 , T2 ] 时间内的路程 s. 从定积分概念出发，由前面已讨论的结果知道[T1 , T2 ]
所经过的路程为 v(t )dt .
T1 T2
若从不定积分概念出发，则知道函数为 v(t )dt s(t ) C , 其中 s(t ) v(t ) ，于是[T1 , T2 ]时间内所走 路程就是 s (T2 ) s (T1 ) . T2 综合上述两个方面，得到 v(t )dt s(T2 ) s(T1 ) .
微元法及定积分的几何应用
y
y f (x)
dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 o
V b [ f (x)]2 dx a
a
x
x dx
bx
A( x) [ f ( x)]2
例1 连接坐标原点 O 及点P(h, r )的直线、直线
x h及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴
旋转构成一个底半径为 r、高为 h 的圆锥体，
3
O
ax
类似地, 如果旋转体是由连续曲线 x ( y)、
直线 y c 、y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴
旋转一周而成的立体，体积为 y
dd x ( y)
o
c
x
例3 求由抛物线 y 2 x2 ,直线 x 1及 x 轴所围 图形,绕 x 轴及 y 轴旋转而成的旋转体的体积.
o a xi1 i xi b x
Ai ：第i个小曲边梯形面积
定积分的定义表达式：
b
f (x)dx
a
n
lim 0
i 1
f (i ) xi
1、分割： [a,b] 分成n个小区间
[xi1, xi ] xi xi xi1
曲边梯形面积： A n Ai i 1
2、平行截面面积为已知的立体的体积
一个立体,夹在平面x a 和x b 之间,被垂直于 x 轴的平面所截的截面积为 A( x) ,则该立体的体积为
A(x)
a
x x+d
x
bx
例1 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中
心, 并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所
得立体的体积.
解 建立坐标系如图,
定积分微元法及其应用
定积分微元法及其应用摘要：积分学中的定积分在几何、物理、经济管理等方面有着极其广泛的应用。
由于定积分的微元法通常往往能使一些实际问题简单化，因此，定积分的微元法在定积分的应用方面至关重要。
本文首先简介定积分的微元法适用的所求量以及定积分微元法在应用中的步骤，重点介绍积分微元法在几何、物理、经济管理及日常生活等方面的应用。
关键词：定积分：微元法：应用一、定积分的微元法适用的所求量定积分的微元法是将实际问题设法转化为定积分问题的一种方法，通常，如果所求量满足三条：1.关于某一个区间有关；2.在区间上具有可加性，即当把区间分成任意n个小区间时，相应的所求量也分成n个小部分，且所求量等于n个小部分之和，即；3.在上任取一个小区间，所求量的部分量能够近似表示成（即所求量的微分元素），那么所求量就可以用定积分的微元法来求，即。
二.定积分微元法在应用中的步骤定积分微元法就是将所研究的所求量进行无限细分，从中抽取某一微小部分进行探探讨，通过分析，研究找出所求量的整体变化规律的方法。
通常利用定积分微元法解决一些具体问题时，采用将所研究的所求量细分成很多微小的“元素”，而这些微小的“元素”具有相同的几何形态或物理规律，因此，我们仅需要分析和研究其中的一个微小部分，利用所学的数学或物理的理论知识进行处理，以期达到用一个定积分表达式来求所求量的效果。
用定积分微元法将实际问题中的所求量抽象为定积分的步骤也基本相同，分为3步，1.根据题意，建立适当坐标系，画出草图（使得后面的选积分变量、确定积分区间、寻找所求量的微分元素比较直观）；由于函数关系的建立是由所建立的坐标系来决定的，坐标系的建立是否恰当，往往直接影响到寻找微分元素的难易以及定积分计算的繁简程度。
因此，建立坐标系时，既要考虑到较易寻找所求量的微分元素，还要考虑到后面的定积分的计算要相对较简单。
2.选取积分变量，并确定其变化区间。
积分变量选择的是否恰当，往往直接决定着定积分的计算是简单还是繁琐。
定积分的应用：定积分的微元法
step3:
计 算A
b
f(x)dx
a
பைடு நூலகம்
这种方法称为定积分的微元法。
构造微元的基本思想及解题步骤
1. 构造微元的基本思想 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、
“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须 是无穷小量之间的代替。将局部 [x,xd]x [a,b]上所对 应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成
定积分 b f (x)dx ． a
2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： ①选取适当的坐标系；
②确定积分变量和变化范围；
③在[x, xdx]上求出微元解析式（积分式）。
④把所求的量表示成定积分
b a
f
( x )dx.
3。局 部 A if(量 i) A i,且误 o ( x i)差为
实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第 二步，因此求解可简化如下：
step1: 选取积分变量及积分 区间（如x属于[a, b]）
step2: 取微区间[x, x+dx]
求出 D A f(x)dx(局 部 量 )
并 记 d A f( x ) d x 称 为 面 积 元 素
通过对不均匀量如曲边梯形的面积变速直线运动的路程的分析采用分割近似代替求和取极限四个基本步骤确定了它们的值并由此抽象出定积分的概念我们发现定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具
定积分的微元法
通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线 运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、 取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象 出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不 均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量 可以通过定积分来求值呢？
微元法与定积分的应用
如果 f (x) 在 [a, b] 上有正有负，那么它的面积 A 的微元应是以 | f (x) | 为高，dx 为底的矩形面积，
即 dA= | f (x) |dx .
于是，总有
b
A a | f ( x) | dx.
y
f (x)
Oa
x x+dx
bx
dA
例 1 求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积．
dA
( x2
-
x1 )dy
( y
4) -
y2 2
dy,
y
4
于是
A
4 -2
(
y
4)
-
y2 2
dy
y + dy y
18.
如果选择 x 为积分变量， -2
那么它的表达式就比上式复杂.
y2 = 2x
(2,-2) A
B (8,4) y = x-4
x
例 4 求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，其
n i 1
f ( xi )x
1
b
f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)dx,
b-a a
即
y 1
b
f ( x)dx.
b-a a
例 5 求从 0 至 t 秒到这段时间内自由落体的 平均速度．
解 因为自由落体的速度为 v = gt， 所以，
v 1 t gudu 1 gt.
t-0 0
2
例 6 求 y = lnx 在 [1, 2] 上的平均值.
中 a > 0，b > 0. 解 因为图形关于 x 轴、y
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
定积分微元法讲解
其中 ( ) 在[ , ]上具有连续导数.
x
y
( (
) cos ) s in
( )
ds (dx)2 (dy)2 2( ) '2 ( )d ,
弧长 s 2( ) '2 ( )d .
x
例 求 y costdt 的全弧长. 2
解
y=y(x)的定义域为
[
2
,
2
即 du f (x)dx
3）以所求量U 的微元 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx ，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做微元法．
应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
微元法求面积
一、直角坐标系情形
的面积(a 0).
解 dA 1 a2(1 cos )2 d
d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2 d 20 3 a2. 2
例 6 求双纽线 r 2 a2 cos 2 所围平面图形的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
A 4A1
A 4 4 0
1 a2 cos 2d
0
a [2 1 4 2 ln(2 1 4 2 )]
2
微元法求体积
一、平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直 于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积 也可用定积分来计算.
oa
bx
设立体介于x=a,x=b之间,
A( x) 表示过点 x且垂直于 x轴
个端点，在弧上插入分点
微元法及定积分的几何应用
定积分的定义
定义
定积分是积分区间[a,b]上，由函数f(x)与x轴围成的曲边梯形的面积，记作 ∫baf(x)dx。
几何意义
定积分的值等于积分区间[a,b]上曲线y=f(x)与直线x=a、x=b以及x轴所围成的 平面图形的面积。
定积分的性质
线性性质
∫baf(x)dx+∫baf(x)dx=∫baf( x)+f(x)dx
微元法可以用于分析流体动力学 问题，例如计算流体流动的速度 场和压力场。
感谢您的观看
THANKS
微元法的计算方法
01
微元法的计算步骤包括：选取微元、确定微元的几何意义、建 立微元的数学模型、进行微元分析、求和得到整体解。
02
在选取微元时，需要保证微元的几何意义明确，数学模型简单，
便于分析和计算。
在进行微元分析时，可以采用积分的方法，将无穷多个微元的
03
值相加得到整体解。
02
定积分பைடு நூலகம்基本概念
定积分在微元法中的应用
解决实际问题
数学建模
定积分的应用范围非常广泛，可以用于解决 各种实际问题，如计算变速直线运动的位移、 求解变力做功等问题。
定积分在数学建模中也有广泛应用，如通过 定积分建立描述自然现象和社会现象的数学 模型。
05
微元法及定积分的实际应用
在物理学中的应用
计算曲线长度
在物理学中，微元法常用于计算曲线或曲面的长 度，例如行星轨道、磁场线等。
区间可加性
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫baf( x)dx，c∈(a,b)
积分中值定理
若f(x)在[a,b]上连续，则存在 一点ξ∈[a,b]，使得 ∫baf(x)dx=f(ξ)(b-a)
《定积分的微元法》课件
THANK YOU
感谢各位观看
稳定性
对于某些函数，微元法的计算可能不稳定，而数值积分方法通常具 有较好的稳定性。
与解析积分的比较
适用范围
解析积分方法适用于可以找到原函数的积分 ，而微元法适用于无法找到原函数的积分。
计算复杂度
解析积分方法通常需要找到原函数，这可能涉及到 复杂的数学运算，而微元法的计算相对简单。
精度
对于可以找到原函数的积分，解析积分方法 通常给出精确解，而微元法可能只给出近似 解。
计算体积
总结词
利用微元法，可以将定积分转化为求 和的形式，从而计算出旋转体体积。
详细描述
在计算旋转体体积时，首先将旋转体 进行分割，每个小区域近似为一个圆 柱体。然后，根据微元法的思想，将 每个小圆柱体的体积乘以相应的函数 值，并求和得到总体积。
计算长度
总结词
通过微元法，可以将定积分转化为求和的形式，从而计算出曲线长度。
解决物理、工程等领域中的复杂问题，如电磁场 、流体动力学等。
微元法的计算步骤
确定积分区间和被积函数。
将所有小区间的贡献相加，得到整体的 解。
将每个小区间的代表点上的函数值乘以 小区间的长度$Delta x$，得到该小区间 的贡献。
将积分区间划分为若干个小区间，每个 小区间的长度为$Delta x$。
定积分的几何意义
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积 。
02
当函数图像在x轴上方时，定积分 为正；在x轴下方时，定积分为负 ；与x轴相交时，定积分为零。
02
微元法的基本思想
微元法的概念
微元法是一种将复杂问题简化的数学方法，通过将整体划分 为若干个微小的单元，对每个单元进行单独处理，再求和得 到整体解。
定积分的微元法
和直线
例2. 计算抛物线 y 2 x 与直线 y x 4 所围图形
2
的面积 . 解: 由 得交点
(2 , 2) , (8 , 4)
则有
1 y 2 ) dy d A ( y 4 A 2
2 4
y yd y y
y 2 2x
(8 , 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
c
d
d
y+dy y o c
x ( y)
x ( y)
x
学生练习: 计算抛物线 所围图形的面积 . 和直线
三、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直 线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直 线 x a 、 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋 转一周而成的立体，体积为多少？
o
y x4
(2 , 2)
x
18
类似地可得，由区间[c,d]上的两条连续曲线 x ( y )
与 x ( y ) ，（ 当 y [c, d ], ( y) ( y) ） 以及两直线
yc
与 y d 所围成的平面图形的面积为
y
A [ ( y) ( y)]dy
a
b
例3. 求由曲线 y
x ,直线x = 1及x轴所围成的平面图形
y
y
绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积. 解 如图, 选x为积分变量 由旋转体的体积公式,得
Vx ( x )2 dx xdx
0 1
x
1
o
x
高等数学PPT课件：定积分的微元法(元素法)
2.极坐标下平面图形的面积
平面曲线 r r( ) (极坐标方程)
+ d
射线 , ( )
所围曲边扇形面积A.
曲 边
面积元素 dA 1[r( )]2d
2
扇 形
r r( )
d
A
1[r 2
(
)]2
d
.
O
x
16
定积分在几何学上的应用
例 8 求心形线r a(1 + cos )
A
1[r 2
A( x)
Oa
x•
b
x
x x + dx
采用元素法 体积元素 dV A( x)dx
立体体积 V b A( x)dx. a
25
定积分在几何学上的应用
V abA( x)dx
例5 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,
并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所得
立体的体积.
解 底圆方程 x2 + y2 R2
圆柱
圆锥
圆台
18
定积分在几何学上的应用
(1) 连续曲线 y f ( x),
直线 x a, x b 及 x 轴所围曲边梯形
绕x 轴旋转一周，旋转体体积？
采用元素法
y
y f (x)
积分变量 x, x [a,b],
[x, x + dx][a,b],
O
a x x + dx b
x
以dx 为底，小曲边梯形绕 x 轴旋转成薄片
t
y
b
O
ax
作变量代换, x a cos t, dx a sintdt
当x 0时,t ;当x a时, t 0.
A
212-第四节 定积分的应用
下半圆的 纵坐标;r为 圆的半径
布置作业 ：
P206: 1(1)(3). 2(1)(6)(7). 4(1)(2)
称f(x)dx=dQ为Q的微分元素(微元、元素)
b
b
(2) 求和、取极限得 Q a f (x)dx a dQ
上述方法称为微元法（元素法）。
注意： （1）Q 与dQ=f(x)dx之差应是dx的高阶无 穷小量。实际中此性质往往满足（一般不必验 证）。
（2）可加性：所求量Q必须确可分解为部 分量 Q 之和（此时称Q具有对区间的可加性， 简称Q具有可加性）
a(1 cos )
解：在[a ,b]上任取一 y 个小区间[x ,x+dx]，得体
y=f(x)
积元素为 dV [ f (x)]2 dx
故
O a x x+dx b x
V b[ f (x)]2dx b y2dx
a
a
类似地，由曲
线 x ( y) 0, 直
线y=c , y=d及y轴 所围成的曲边梯形 绕y轴旋转所成旋 转体的体积为
旋转所成旋转体的体积（如下图）。
绕x轴：
y b
绕y轴：
y b
O
ax
O
ax
注意：空心旋转体的体积可化为两个实心
旋转体体积之差。
例如，大家可考察如下图所示的环面体
（如：汽车轮胎等）
y
它可看
成是由xOy
圆
平面上的一
个圆（圆心
在y轴上）
O
绕x轴旋转
所成的旋转
体。
x
V
r r
y12dx
r r
y22dx
其中y1 ,y2 分别为上、
第四节 定积分的应用
定积分的应用之微元法PPT27页
解 方 程 组 y y 2 x x 2 , ,得 交 点 （ 0 ， 0 ） 及 （ 1 ， 1 ） .
( 2 ) 选 择 积 分 变 量 ， 写 出 面 积 微 元 ， 本 题 取 竖 条 或 横 条 作 d A 均 可 ， 习 惯 上 取 竖 条 ， 即 取 x为 积 分 变 量 ， x变 化 范 围 为 [ 0 ，
1 ] ， 于 是 dA( xx2)dx,
( 3 ) 将 A 表 示 成 定 积 分 ， 并 计 算
1
A ( 0
xx2)dx3 2x2 31 3x3
1
1 3.
0
例 2 求 y22x及 yx4所 围 成 图 形 面 积 .
解 作 图 （ 如 下 图 ） y
y
+
d
4
y
B
y
O
x
-2 A
求 出 交 点 坐 标 为 A(2,2)B ,(8,4).观 察 图 得 知 ， 宜 取
形 dA， 即 取 y为 积 分 变 量 ） dA[(y)(y)d ]y， 面 积
Acd[(y)(y)d ]y.
y d
y dy
y
x ψ(y)
O
c
y
1
(1 ,1 )
x (y)xO源自x x dx x例 1 求 两 条 抛 物 线 y2x,yx2所 围 成 的 图 形 的 面 积 .
解 （ 1 ） 画 出 图 形 简 图 （ 如 右 上 图 ） 并 求 出 曲 线 交 点 以 确 定 积 分 区 间 ：
变 ， 即 把 [x,xdx]上 的 立 体 薄 片 近 似 看 作 A (x)为 底 ，
dx为 高 的 柱 片 ， 于 是 得 y
再 4 倍 即 可 ， 在 第 一 象 限 的 变 化 范 围 为 [ 0 ,π ]， 于 是
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xa,xb所 围 成 的 图 形 ， 如 下 页 右 图 ， 面 积 微 元
dA[f(x)g(x)d ]x,， 面 积 Ab[f(x)g(x)d ]x. a
y y f (x)
y y f (x)
Ox
x dx
O
a x x dx b x a
bx
y g (x)
（ 3） 由 左 右 两 条 曲 线 x(y)x ,(y)及 yc,yd所
围 成 图 形 （ 图 见 下 页 ） 面 积 微 元 （ 注 意 ， 这 时 就 应 取 横 条 矩
形 dA， 即 取 y为 积 分 变 量 ） dA[(y)(y)d ]y， 面 积
Acd[(y)(y)d ]y.
y d
y dy
x ψ(y) y
O
c
y
1
(1 ,1 )
x (y)
1
A ( 0
xx2)dx3 2x2 31 3x3
1
1 3.
0
例 2 求 y22x及 yx4所 围 成 图 形 面 积 .
解 作 图 （ 如 下 图 ） y
y
+
d
4
y
B
y
O
x
-2 A
求 出 交 点 坐 标 为 A(2,2)B ,(8,4).观 察 图 得 知 ， 宜 取
达 式 的 形 式 就 是 在 这 一 步 被 确 定 的 ， 这 只 要 把 近 似 式 f(i)Δ xi中 的 变 量 记 号 改 变 一 下 即 可 （ i 换 为 x； xi换 为 d x） .
而 第 三 、 第 四 两 步 可 以 合 并 成 一 步 ： 在 区 间 a,b上 无 限 累 加 ， 即 在 a,b上 积 分 .至 于 第 一 步 ， 它 只 是 指 明 所 求 量 具 有 可 加 性 ，
(2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问
题的实际意义及数量关系，一般按着在局部x,xdx 上，
以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线 性化） ，写出局部上所求量的近似值，即为微元 dFf(x)dx .
二、用定积分求平面图形的面积
1. 直角坐标系下的面积计算
用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.
n
n
第三步：写出整体量F的近似值，FΔFi ≈f(i)Δxi；
i1
i1
n
第 四 步 ： 取maΔ xxi{}0时 的 f(i)Δxi极 限 ， 则 得
i1
n
Flim
0i1
f(i)Δxi
bf(x)dx.
a
观 察 上 述 四 步 我 们 发 现 ， 第 二 步 最 关 键 ， 因 为 最 后 的 被 积 表
y为 积 分 变 量 ，y变 化 范 围 为 [– 2， 4]（ 考 虑 一 下 ， 若
定积分的应用
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
一、 定积分应用的微元法
用定积分计算的量的特点：
(1)所求量 （设为F ） 与一个给定区间a,b有关， 且在该区间上具有可加性.就是说， F 是确定于a,b上 的整体量，当把a,b分成许多小区间时，整体量等于
（ 二 ） 将 微 元 d F 在 a , b 上 积 分 （ 无 限 累 加 ） ， 即 得
b
Fa f (x)dx.
微元法中微元的两点说明：
(1) f(x)dx作 为 Δ F的 近 似 值 表 达 式 ， 应 该 足 够 准 确 ， 确 切 的 说 ， 就 是 要 求 其 差 是 关 于 Δ x的 高 阶 无 穷 小 .即 Δ Ff(x)dxo(Δ x).这 样 我 们 就 知 道 了 ， 称 作 微 元 的 量 f(x)dx， 实 际 上 是 所 求 量 的 微 分 dF;
x
O
x x dx x
例 1 求 两 条 抛 物 线 y2x,yx2所 围 成 的 图 形 的 面 积 .
解 （ 1 ） 画 出 图 形 简 图 （ 如 右 上 图 ） 并 求 出 曲 线 交 点 以 确 定 积 分 区 间 ：
解 方 程 组 y y 2 x x 2 , ,得 交 点 （ 0 ， 0 ） 及 （ 1 ， 1 ） .
n
各部分量之和，即FFi . i1 (2)所 求 量 F在 区 间 a,b上 的 分 布 是 不 均 匀 的 ，
也 就 是 说 ， F的 值 与 区 间 a,b的 长 不 成 正 比 .（ 否 则 的
话 ， F使 用 初 等 方 法 即 可 求 得 ， 而 勿 需 用 积 分 方 法 了 ） .
（ 1 ） 曲 线 yf(x)f((x)0 )x ,a,xb及 O轴 x所 围 图 形 ， 如 下 页 左 图 ， 面 积 微 元 d A f(x)d x， 面 积
A bf(x)d x. a （ 2） 由 上 、 下 两 条 曲 线 yf(x),yg(x)(f(x)g(x)及 )
这 是 F能 用 定 积 分 计 算 的 前 提 ， 于 是 ， 上 述 四 步 简 化 后 形 成 实 用
的 微 元 法 .
定积分应用的微元法：
( 一 )在 区 间 a ,b 上 任 取 一 个 微 小 区 间 x ,x d x ， 然 后 写 出
在 这 个 小 区 间 上 的 部 分 量 Δ F 的 近 似 值 ， 记 为 d F f(x )d x ( 称 为 F 的 微 元 ) ;
( 2 ) 选 择 积 分 变 量 ， 写 出 面 积 微 元 ， 本 题 取 竖 条 或 横 条 作 d A 均 可 ， 习 惯 上 取 竖 条 ， 即 取 x为 积 分 变 量 x ， 变 化 范 围 为 [ 0 ，
1 ] ， 于 是 dA( xx2)dx,
( 3 ) 将 A 表 示 成 定 积 分 ， 并 计 算
用定积分概念解决实际问题的四个步骤：
n
第 一 步 ： 将 所 求 量 F 分 为 部 分 量 之 和 ， 即 :F Δ F i; i 1
第 二 步 ： 求 出 每 个 部 分 量 的 近 似 值 ， Δ F i ≈ f ( i ) Δ x i ( i 1 , 2 , , n );
dA[f(x)g(x)d ]x,， 面 积 Ab[f(x)g(x)d ]x. a
y y f (x)
y y f (x)
Ox
x dx
O
a x x dx b x a
bx
y g (x)
（ 3） 由 左 右 两 条 曲 线 x(y)x ,(y)及 yc,yd所
围 成 图 形 （ 图 见 下 页 ） 面 积 微 元 （ 注 意 ， 这 时 就 应 取 横 条 矩
形 dA， 即 取 y为 积 分 变 量 ） dA[(y)(y)d ]y， 面 积
Acd[(y)(y)d ]y.
y d
y dy
x ψ(y) y
O
c
y
1
(1 ,1 )
x (y)
1
A ( 0
xx2)dx3 2x2 31 3x3
1
1 3.
0
例 2 求 y22x及 yx4所 围 成 图 形 面 积 .
解 作 图 （ 如 下 图 ） y
y
+
d
4
y
B
y
O
x
-2 A
求 出 交 点 坐 标 为 A(2,2)B ,(8,4).观 察 图 得 知 ， 宜 取
达 式 的 形 式 就 是 在 这 一 步 被 确 定 的 ， 这 只 要 把 近 似 式 f(i)Δ xi中 的 变 量 记 号 改 变 一 下 即 可 （ i 换 为 x； xi换 为 d x） .
而 第 三 、 第 四 两 步 可 以 合 并 成 一 步 ： 在 区 间 a,b上 无 限 累 加 ， 即 在 a,b上 积 分 .至 于 第 一 步 ， 它 只 是 指 明 所 求 量 具 有 可 加 性 ，
(2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问
题的实际意义及数量关系，一般按着在局部x,xdx 上，
以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线 性化） ，写出局部上所求量的近似值，即为微元 dFf(x)dx .
二、用定积分求平面图形的面积
1. 直角坐标系下的面积计算
用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.
n
n
第三步：写出整体量F的近似值，FΔFi ≈f(i)Δxi；
i1
i1
n
第 四 步 ： 取maΔ xxi{}0时 的 f(i)Δxi极 限 ， 则 得
i1
n
Flim
0i1
f(i)Δxi
bf(x)dx.
a
观 察 上 述 四 步 我 们 发 现 ， 第 二 步 最 关 键 ， 因 为 最 后 的 被 积 表
y为 积 分 变 量 ，y变 化 范 围 为 [– 2， 4]（ 考 虑 一 下 ， 若
定积分的应用
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
一、 定积分应用的微元法
用定积分计算的量的特点：
(1)所求量 （设为F ） 与一个给定区间a,b有关， 且在该区间上具有可加性.就是说， F 是确定于a,b上 的整体量，当把a,b分成许多小区间时，整体量等于
（ 二 ） 将 微 元 d F 在 a , b 上 积 分 （ 无 限 累 加 ） ， 即 得
b
Fa f (x)dx.
微元法中微元的两点说明：
(1) f(x)dx作 为 Δ F的 近 似 值 表 达 式 ， 应 该 足 够 准 确 ， 确 切 的 说 ， 就 是 要 求 其 差 是 关 于 Δ x的 高 阶 无 穷 小 .即 Δ Ff(x)dxo(Δ x).这 样 我 们 就 知 道 了 ， 称 作 微 元 的 量 f(x)dx， 实 际 上 是 所 求 量 的 微 分 dF;
x
O
x x dx x
例 1 求 两 条 抛 物 线 y2x,yx2所 围 成 的 图 形 的 面 积 .
解 （ 1 ） 画 出 图 形 简 图 （ 如 右 上 图 ） 并 求 出 曲 线 交 点 以 确 定 积 分 区 间 ：
解 方 程 组 y y 2 x x 2 , ,得 交 点 （ 0 ， 0 ） 及 （ 1 ， 1 ） .
n
各部分量之和，即FFi . i1 (2)所 求 量 F在 区 间 a,b上 的 分 布 是 不 均 匀 的 ，
也 就 是 说 ， F的 值 与 区 间 a,b的 长 不 成 正 比 .（ 否 则 的
话 ， F使 用 初 等 方 法 即 可 求 得 ， 而 勿 需 用 积 分 方 法 了 ） .
（ 1 ） 曲 线 yf(x)f((x)0 )x ,a,xb及 O轴 x所 围 图 形 ， 如 下 页 左 图 ， 面 积 微 元 d A f(x)d x， 面 积
A bf(x)d x. a （ 2） 由 上 、 下 两 条 曲 线 yf(x),yg(x)(f(x)g(x)及 )
这 是 F能 用 定 积 分 计 算 的 前 提 ， 于 是 ， 上 述 四 步 简 化 后 形 成 实 用
的 微 元 法 .
定积分应用的微元法：
( 一 )在 区 间 a ,b 上 任 取 一 个 微 小 区 间 x ,x d x ， 然 后 写 出
在 这 个 小 区 间 上 的 部 分 量 Δ F 的 近 似 值 ， 记 为 d F f(x )d x ( 称 为 F 的 微 元 ) ;
( 2 ) 选 择 积 分 变 量 ， 写 出 面 积 微 元 ， 本 题 取 竖 条 或 横 条 作 d A 均 可 ， 习 惯 上 取 竖 条 ， 即 取 x为 积 分 变 量 x ， 变 化 范 围 为 [ 0 ，
1 ] ， 于 是 dA( xx2)dx,
( 3 ) 将 A 表 示 成 定 积 分 ， 并 计 算
用定积分概念解决实际问题的四个步骤：
n
第 一 步 ： 将 所 求 量 F 分 为 部 分 量 之 和 ， 即 :F Δ F i; i 1
第 二 步 ： 求 出 每 个 部 分 量 的 近 似 值 ， Δ F i ≈ f ( i ) Δ x i ( i 1 , 2 , , n );