模糊推理方法

几种典型的模糊推理方法

根据模糊推理的定义可知，模糊推理的结论主要取决于模糊蕴含关系),(~

Y X R 及模糊关系与模糊集合之间的合成运算法则。对于确定的模糊推理系统，模糊蕴含关系),(~

Y X R 一般是确定的，而合成运算法则并不唯一。根据合成运算法则的不同，模糊推理方法又可分为Mamdani 推理法、Larsen 推理法、Zadeh 推理法等等。 一、Mamdani 模糊推理法

Mamdani 模糊推理法是最常用的一种推理方法，其模糊蕴涵关系),(~

Y X R M 定义简单，可以通过模糊集合A ~和B ~

的笛卡尔积(取小)求得，即

)()(),(~~~y x y x B A R

M

μμμΛ= (3.2.1) 例 3.2.1 已知模糊集合3211.04.01~

x x x A ++=，3

3211.03.05.08.0~y y y y B +

++=。求模糊集合A ~和B ~

之间的模糊蕴含关系),(~

Y X R M 。

解：根据Mamdani 模糊蕴含关系的定义可知：

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⨯=1.01.01.01.01.03.04.04.01.03.05.08.0]

1.03.05.08.0[1.04.01~~),(~

B A Y X R M

Mamdani 将经典的极大—极小合成运算方法作为模糊关系与模糊集合的合成运算法则。在此定义下，Mamdani 模糊推理过程易于进行图形解释。下面通过几种具体情况来分析Mamdani 模糊推理过程。

(i) 具有单个前件的单一规则

设*~A 和A ~论域X 上的模糊集合，B ~是论域Y 上的模糊集合，A ~和B ~间的模糊关系是),(~

Y X R M ，有

大前提(规则)： if x is A ~ then y is B ~

小前提(事实)： x is *~

A

结论： y is ),(~

~~**Y X R A B M =

当)()(),(~~~y x y x B A R

M

μμμΛ=时，有 )()}()]()({[V )]}()([)({V )(~~~~X

x ~~~X

x ~***y y x x y x x y B

B A A

B A A

B μωμμμμμμμΛ=ΛΛ=ΛΛ=∈∈ (3.2.2)

其中)]()([V ~~X

x *x x A

A μμωΛ=∈，称为A ~和*

~

A 的适配度。 在给定模糊集合*~A 、A ~及

B ~的情况下，Mamdani 模糊推理的结果*~

B 如图3.2.1所示。

图3.2.1 单前提单规则的推理过程

根据Mamdani 推理方法可知，欲求*~

B ，应先求出适配度ω（即)()(~~*x x A

A μμΛ的最大值）；然后用适配度ω去切割

B ~的MF ，即可获得推论结果*~

B ，如图3.2.1中后件部分的阴影区域。所以这种方法经常又形象地称为削顶法。

对于单前件单规则（即若x 是A ~则y 是B ~

）的模糊推理，当给定事实x 是精确量0x 时，基于Mamdani 推理方法的模糊推理过程见图3.2.2。

图3.2.2 事实为精确量时的单前提单规则推理过程

例3.2.2 设A ~

和B ~

分别是论域X 和Y 上的模糊集合，其中论域X (水的温度) = { 0, 20, 40, 60, 80, 100 }，Y (蒸汽压力) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }，A ~

＝温度高，B ~

＝压力大。模糊规则“若A ~

则B ~

”，在此模糊规则下，试求在*~

A ＝温度较高时对应的压力情况*~

B 。

求*~A 对A ~

的适配度ω

85.0)100

8.08085.0606.0403.0201.000(V )

100

8

.0180185.06075.06.0404.03.02015.01.001.00(

V X x X x =+++++=Λ+Λ+Λ+Λ+Λ+Λ=∈∈ω

7

1

685.057.045.033.021.010)(~++++++=y B

μ 100

1

8085.0606.0403.0201.000)(~+++++=x A μ

1008

.08016075.0404.02015.001.0)(*~+++++=x A

μ

用适配度ω去切割B ~的隶属函数，即可获得*~

B

7

85.0685.057.045.033.021.01071685.057.045.033.021.01085.0)()(~~*

++++++=⎪⎭⎫

⎝⎛++++++Λ=Λ=y y B

B μωμ

推理结果是“*~

B ＝压力较大”，这与我们平常的推理结果是一致的。

(ii) 具有多个前件的单一规则

设*~A 、A ~、*~B 、B ~和*~C 、C ~分别是论域X 、Y 和Z 上的模糊集合，已知A ~、B ~和C ~

间的模糊关系为),,(~Z Y X R M 。根据此模糊关系和论域X 、Y 上的模糊集合*~A 、*~

B ，推出论域Z 上新的模糊集合。即

大前提(规则)： if x is A ~ and y is B ~，then z is C ~

小前提(事实)： x is *~A and y is *~

B

后件(结论)： z is *~

C 根据Mamdani 模糊关系的定义，有

)()()(),,(~~~~y y x z y x C B A R

M

μμμμΛΛ= 笛卡尔积 取小 (3.2.3) 此时

)()()()]}()([V )]()([V {)()]}()([)]()({[V )]()()([)]()([V )(~~~~y ~~X

x ~~~~~Y

y X

x ~~~~~Y

y X

x ~*******z z y x y x z y x y x z y x y x z C

B A

C B B

Y

A A

C B A B A

C B A B

A C

μωωμμμμμμμμμμμμμμμμΛΛ=ΛΛΛΛ=ΛΛΛΛ=ΛΛΛΛ=∈∈∈∈∈∈ (3.2.4)

其中)]()([V ~~X

x *x x A

A A μμωΛ=∈是A ~ *~A 隶属函数的最大值，表示*

~A 对A ~

的适配度； )]()([V ~~y *y x B

B Y

B μμωΛ=∈是*~~B B 隶属函数的最大值，表示*

~B 对B ~

的匹配度； 由于模糊规则的前件部分由连词“与”连接而成，因此称B A ωωΛ为模糊规则的激励强度或满足度，它表示规则的前件部分被满足的程度。图3.2.3给出了多个前件的单一规则的Mamdani 模糊推理过程，其中推理结果*~C 的MF 是模糊集合C ~

的MF 被激励强度ω(B A ωωωΛ=) 截切后的结果。这个结论可以直接推广到具有多于两个前件的情况。