第2节 等差数列及其前n项和

第2节 等差数列及其前n 项和考纲要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能利用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.知识梳理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2. 2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0关于n 的二次函数.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数. (4)若公差d ＝0，则前n 项和不是n 的二次函数.2.设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A.31 B.32 C.33 D.34答案 B解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.3.一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面. 答案 20解析 设物体经过t 秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列. 所以4.90t ＋12t (t －1)×9.80＝1 960， 即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20.4.(2021·西安调研)已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝4，a 5＝8，则该数列的前10项之和S 10＝( ) A.80 B.90 C.100 D.110答案 B解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，且a 3＝4，a 5＝8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，a 1＋4d ＝8，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2. 故S 10＝0＋10×92×2＝90.5.(2020·呼和浩特质检)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则a 5＋a 6＝( ) A.10 B.20 C.25 D.30 答案 C解析 等差数列{a n }中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d ，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则d ＝15－5＝10，因此a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)＋d ＝15＋10＝25.6.(2020·新高考山东卷)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为__________. 答案 3n 2－2n解析 法一(观察归纳法) 数列{}2n －1的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n －2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5.故其前n 项和为S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋6n －5）2＝3n 2－2n .法二(引入参变量法) 令b n ＝2n －1，c m ＝3m －2，b n ＝c m ，则2n －1＝3m －2，即3m ＝2n ＋1，m 必为奇数.令m ＝2t －1，则n ＝3t －2(t ＝1，2，3，…). a t ＝b 3t －2＝c 2t －1＝6t －5，即a n ＝6n －5. 以下同法一.考点一 等差数列基本量的运算1.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10 C.S n ＝2n 2－8n D.S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n＝－3＋2(n－1)＝2n－5，S n＝n×(－3)＋n（n－1）2×2＝n2－4n.2.(2021·江南十校调研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8＝a8＝8，则公差d＝()A.14 B.12C.1D.2 答案 D解析∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，∴S7＝7a4＝0，则a4＝0.∴d＝a8－a48－4＝2.3.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________.答案25解析设等差数列{a n}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.解得d＝1.所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.4.(2019·全国Ⅰ卷)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围.解(1)设{a n}的公差为d.由S9＝－a5可知9a5＝－a5，所以a5＝0.因为a 3＝4，所以d ＝a 5－a 32＝0－42＝－2， 所以a n ＝a 3＋(n －3)×(－2)＝10－2n ， 因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 5＝0，因为a 1>0，所以等差数列{a n }单调递减，即d <0， a 1＝a 5－4d ＝－4d ，S n ＝n （n －9）d2，a n ＝－4d ＋d (n －1)＝dn －5d ， 因为S n ≥a n ，所以nd （n －9）2≥dn －5d ，又因为d <0，所以1≤n ≤10.感悟升华 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 考点二 等差数列的判定与证明【例1】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2. 【迁移1】 若将本例中的条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)”变为“a n ＋1＝2a n2＋a n ”其他条件保持不变，试求解下面问题：(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)若b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明 易知a n ≠0，∵a n ＋1＝2a n2＋a n ，∴1a n ＋1＝2＋a n 2a n ，∴1a n ＋1－1a n＝12，又a 1＝12，则1a 1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以2为首项，12为公差的等差数列.(2)解 由(1)知，1a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，即a n ＝2n ＋3，∴b n ＝4（n ＋3）（n ＋4）＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋3－1n ＋4， ∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－16＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋3－1n ＋4 ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1n ＋4＝n n ＋4. 【迁移2】 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－25n . 感悟升华 1.证明数列是等差数列的主要方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数.(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由.(1)证明由题设知，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)解存在实数λ，理由如下：由题设知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列.考点三等差数列的性质及应用角度1等差数列项的性质【例2】(1)在等差数列{a n}中，若a2＋a8＝8，则(a3＋a7)2－a5＝()A.60B.56C.12D.4(2)(2021·衡水调研)已知等差数列{a n}中，a5＋a9－a7＝10，则S13的值为()A.130B.260C.156D.168答案(1)A(2)A解析(1)∵在等差数列{a n}中，a2＋a8＝8，∴a2＋a8＝a3＋a7＝2a5＝8，解得a5＝4，所以(a 3＋a 7)2－a 5＝82－4＝60.(2)由于a 5＋a 9－a 7＝10，得2a 7－a 7＝10， ∴a 7＝10，则S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7＝130.角度2 等差数列前n 项和的性质【例3】 (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 20＝S 40，则下列结论中正确的是( ) A.S 30是S n 中的最大值 B.S 30是S n 中的最小值 C.S 30＝0D.S 60＝0(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块答案 (1)D (2)C解析 (1)∵S 40－S 20＝a 21＋a 22＋…＋a 39＋a 40 ＝10(a 30＋a 31)＝0，∵a 30＋a 31＝0，故S 60＝30(a 30＋a 31)＝0.(2)设每一层有n 环，由题可知由天心石向外的每环的扇面形石板数构成公差d ＝9，a 1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，得n ＝9，则三层共有扇面形石板数为S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9＝3 402(块). 角度3 等差数列前n 项和的最值【例4】 (2019·北京卷)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 解 (1)设{a n }的公差为d . 因为a 1＝－10，所以a 2＝－10＋d ，a 3＝－10＋2d ，a 4＝－10＋3d . 因为a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列， 所以(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6). 所以(－2＋2d )2＝d (－4＋3d ). 解得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －12. (2)由(1)知，a n ＝2n －12.则当n ≥7时，a n >0；当n ＝6时，a n ＝0，当n <6时，a n <0； 所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.感悟升华 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 (1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； (2)S 2n －1＝(2n －1)a n .(3)依次k 项和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列.3.求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，A ≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.【训练2】 (1)(2021·洛阳质检)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝272，则a 3＋a 9＋a 15＝( ) A.24 B.36 C.48D.64(2)(2020·北京卷)在等差数列{}a n 中，a 1＝－9，a 5＝－1.记T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1，2，…)，则数列{}T n ( ) A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项答案 (1)C (2)B解析 (1)因为数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ， 所以S 17＝272＝a 1＋a 172×17＝2a 92×17＝17a 9， ∴a 9＝16，所以a 3＋a 9＋a 15＝3a 9＝48.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝－9，a 5＝－1， ∴a 5＝－9＋4d ＝－1，则d ＝2. 所以a n ＝－9＋2(n －1)＝2n －11. 令a n ＝2n －11≤0，得n ≤5.5. ∴n ≤5时，a n <0； 当n ≥6时，a n ≥1>0.因为T n ＝a 1a 2…a n (n ＝1，2，…)，所以T 1＝－9，T 2＝63，T 3＝－315，T 4＝945，T 5＝－945.当n ≥6时，a n ≥1， ∴T n <0，且T n ＋1<T n <0.∴T n ＝a 1a 2a 3…a n (n ＝1，2，…)有最大项T 4，无最小项.A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·长春模拟)在等差数列{a n }中，3a 5＝2a 7，则此数列中一定为0的是( ) A.a 1 B.a 3 C.a 8 D.a 10答案 A解析 设{a n }的公差为d (d ≠0)，∵3a 5＝2a 7， ∴3(a 1＋4d )＝2(a 1＋6d )，得a 1＝0.2.(2021·昆明诊断)在数列{a n }中，已知a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，a 1 011＝1，则该数列前2 021项的和S 2 021等于( ) A.2 021 B.2 020 C.4 042 D.4 040 答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，∴2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2， ∴{a n }为等差数列， ∵a 1 011＝1，∴S 2 021＝2 021（a 1＋a 2 021）2＝2 021×2a 1 0112＝2 021.3.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A.－12 B.－10 C.10D.12答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2得∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.4.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( ) A.65 B.176 C.183 D.184答案 D解析 根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996， 解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184. 则第八个孩子分得斤数为184.5.(2021·全国大联考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( ) A.15 B.16 C.17 D.14答案 C解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和有最大值， ∴等差数列{a n }为递减数列，又a 10a 9<－1，∴a 9>0，a 10<0，∴a 9＋a 10<0，又S 18＝18（a 1＋a 18）2＝9(a 9＋a 10)<0，且S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17a 9>0.故使得S n >0成立的正整数n 的最大值为17.6.(2020·浙江卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且a 1d ≤1.记b 1＝S 2，b n ＋1＝S 2n ＋2－S 2n ，n ∈N *，下列等式不可能成立的是( ) A.2a 4＝a 2＋a 6 B.2b 4＝b 2＋b 6C.a 24＝a 2a 8D.b 24＝b 2b 8答案 D解析 由b n ＋1＝S 2n ＋2－S 2n 得b 2＝a 3＋a 4＝2a 1＋5d ，b 4＝S 8－S 6＝a 7＋a 8＝2a 1＋13d . b 6＝S 12－S 10＝a 11＋a 12＝2a 1＋21d ， b 8＝S 16－S 14＝a 15＋a 16＝2a 1＋29d ，根据等差数列性质，A 项2a 4＝a 2＋a 6成立，易验证2b 4＝b 2＋b 6成立，当a 1＝d 时，a 24＝a 2a 8成立，若b 24＝b 2b 8，则(2a 1＋13d )2＝(2a 1＋5d )(2a 1＋29d )，有a 1d ＝32这与a 1d ≤1矛盾，故D 不可能成立. 二、填空题7.(2019·全国Ⅲ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________. 答案 4解析 由a 1≠0，a 2＝3a 1，可得d ＝2a 1， 所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝100a 1， S 5＝5a 1＋5×42d ＝25a 1，所以S 10S 5＝4.8.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于________.答案 3727解析 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.9.(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________. 答案 0 －10解析 由题意得a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10， 解得a 1＝－4，d ＝1， 所以a 5＝a 1＋4d ＝0， 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.令a n ≤0，则n ≤5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后项为正. ∴S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10. 三、解答题10.已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S nn ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .(1)解 设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k ，由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)证明 由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.11.(2021·西安调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； (2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 5＝a 1＋4d ＝9，S 5＝5a 1＋5×42d ＝25，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝9，a 1＋2d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，n ∈N *， S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2.(2)由(1)知，b n ＝(－1)n S n ＝(－1)n ·n 2. T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2n －1＋b 2n )＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋[－(2n －1)2＋(2n )2]＝[(2－1)×(2＋1)]＋[(4－3)×(4＋3)]＋…＋[2n －(2n －1)]×[2n ＋(2n －1)] ＝1＋2＋3＋4＋…＋(2n －1)＋2n ＝2n ·（1＋2n ）2＝2n 2＋n .B 级 能力提升12.(2021·合肥模拟)记等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n .若S 10＝40，a 6＝5，则( ) A.d ＝3 B.a 10＝12 C.S 20＝280 D.a 1＝－4答案 C解析 依题意，得S 10＝（a 1＋a 10）·102＝5(a 5＋a 6)＝40，解得a 5＝3，则d ＝a 6－a 5＝2，则a 10＝a 6＋4d ＝5＋8＝13，a 1＝a 5－4d ＝－5. S 20＝20a 1＋190d ＝－100＋380＝280.13.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 7＝5，S 5＝－55，则nS n 的最小值为________. 答案 －343解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝a 1＋6d ＝5，S 5＝5（a 1＋2d ）＝－55，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－19，d ＝4.∴S n ＝－19n ＋n （n －1）2×4＝2n 2－21n ，则nS n ＝2n 3－21n 2， 设f (x )＝2x 3－21x 2(x >0)，则f ′(x )＝6x (x －7)， 当0<x <7时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >7时，f ′(x )>0，f (x )单调递增. 故f (x )的最小值为f (7)＝－343.14.设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项.(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值. (1)证明 由已知可得2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0，当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋a n －1， 所以2a n ＝2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1， 所以a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1， 因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2). 故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解 由(1)可知a n ＝n ，设c n ＝a n ·b n ， 则c n ＝n (－n ＋5)＝－n 2＋5n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋254，因为n ∈N *，所以n ＝2或3，c 2＝c 3＝6，因此当n ＝2或n ＝3时，{a n ·b n }取最大项，且最大项的值为6.。