分母有理化方法集锦
分母有理化(根式).
练习：把下式分母有理化
2 x- 3 y
(4)
(4)
2 2
x+ 3 x- 3
y y
分母有理化因式是 2
=
x+ 3 y
2 x+ 3 y 2 x- 3 y
(2 x + 3 y )(2 x + 3 y ) (2 x - 3 y )(2 x + 3 y ) (2 x + 3 y ) 2 (2 x ) 2 - (3 y ) 2
(
2-
)
1 6 = = 6 6
配方约简法
计算：
2
7+4 3 (2) 2+ 3
2 3+ 7+4 3 2 +2创 解： (2) = 2+ 3 2+ 3 2+ 3 ) ( = 2+ 3 =2+ 3
2
( 3)
2
计算：
(3)
x- y x+ y
解： (3)
x- y = x+ y =
(
x-
x+
y
)(
xy
y
)
x+ y
3
y b
y2
x±
3
y 的有理化因式是
a- b =
3 xy + x2 a3 - b3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 )
3
(
3
a-
3
b
)(
3
a2 +
3
ab +
3
b2
)
分解约简法
计算： (1)
23 解： (1) = 2 3- 3 2 = 212 26
多项式分母有理化的方法与步骤
多项式分母有理化的方法与步骤嘿，朋友们！今天咱来唠唠多项式分母有理化这个事儿。
你说这多项式分母有理化啊，就好比是给一个乱蓬蓬的头发做个精致的梳理。
咱得想办法把那看起来乱糟糟的式子变得整整齐齐，顺顺溜溜的。
咱就拿一个例子来说吧，比如说有个式子，分母是个多项式，看着就让人头疼。
但咱不能怕呀！咱得鼓起勇气，就像勇士面对恶龙一样。
那怎么有理化呢？这就需要一些小技巧啦。
就好像你要解开一个复杂的绳结，得找到关键的那几个扣儿。
咱可以通过一些巧妙的乘法运算，把分母变成一个整式。
你想想看，原本那让人摸不着头脑的分母，经过咱这么一折腾，变得乖乖听话了，多有意思啊！这就好像是驯服了一匹野马，让它乖乖地按照你的指示走。
有时候啊，可能需要多尝试几种方法，就跟你找钥匙开门似的，得试对了钥匙才行。
别着急，慢慢来，总有一把钥匙能打开那扇门。
而且啊，这多项式分母有理化在数学里可重要啦！它就像是一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。
没有它，有些问题可就难办咯！
你说要是没有这个方法，那数学世界得多无趣啊，就像少了一种好玩的游戏。
咱掌握了这个方法，就等于有了一件厉害的武器，可以在数学的战场上冲锋陷阵啦！
咱再想想，这数学里的各种方法和技巧，不就跟我们生活中的各种技能一样吗？都得一点点学，一点点练。
学会了多项式分母有理化，就好像学会了骑自行车，一旦掌握了，那可就溜得很啦！
所以啊，朋友们，别小看这多项式分母有理化，它可是数学世界里的一颗璀璨明珠呢！好好去探索它，感受它的奇妙之处吧！让我们在数学的海洋里畅游，把那些难题都一个个攻克掉！相信自己，一定能行！。
专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧(解析版)
专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（解析版）第一部分 典例精析+变式训练类型一 分母有理化技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。
典例1（2021秋•A ．4bB ．CD 思路引领：根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．解：∵a ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0；=1故选：D ．总结提升：=a ≥0，b ≥0）a ＞0，b ≥0）．当结果的分母中含有根式时，需分母有理化．变式训练1．（2022春•东莞市期中）化简：1= ．思路引领：==总结提升：本题主要考查分母有理数，熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的化简是解决本题的关键．2．（2021春• ．思路引领：如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求出答案．解：原式总结提升：本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．解：1．上述化简的过程，就是进行分母有理化．【问题解决】（1的结果为： ；（2）猜想：若n 是正整数，则1进行分母有理化的结果为： ；（3）若有理数a ，bb=，求a ，b 的值．思路引领：（1）分子分母同乘以2（2（3）先化简右式，其结果应等于左式，解方程即可．解：（1）1===2+故答案为：2（2）1（3b=（a +b （b ﹣a ），∵a+b=1，∴a +b =2a−b =−1，得a =12b =32．总结提升：本题考查二次根式的分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题关键．变式训练1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”= ．思路引领：2，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．解：1=2．2．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．2．（2022秋•牡丹区期末）若1的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2+（1+ab ＝ ．思路引领：先将1分母有理化并根据a 、b 的值，再代入代数式进行计算即可得解．∵23，∴5＜3+6，∴2.53，∵1的整数部分是a ，小数部分是b ，∴a ＝2，b 2所以，a 2+（1ab ＝22+（1+×2=4+（7﹣1）＝4+6＝10．故答案为：10．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，估算无理数的大小，分母有理化，难点在于将所给二次根式分母有理化并确定出取值范围从而求出a 、b 的值．技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简典例3 化简：思路引领：提取分母中的公因式，然后约分化简==总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，把分母提取公因式，用因式分解的方法，再约分，比较简便。
分母有理化技巧
分母有理化技巧分母有理化技巧是数学中常用的一种方法，用于将分数的分母转化为有理数，从而便于计算和比较。
本文将介绍几种常见的分母有理化技巧，并通过具体例子进行说明。
一、分母有理化技巧之乘法法则乘法法则是分母有理化中最常用的方法之一。
当分母是含有根号的无理数时，可以通过乘以一个适当的有理化因子，将其转化为有理数。
例如，对于分数1/√2，我们可以乘以√2/√2，得到√2/2，这样分母就变成了有理数2。
平方差公式是分母有理化中常用的技巧之一。
当分母是含有两个数的平方差时，可以利用平方差公式将其转化为有理数。
例如，对于分数1/(√3+√2)，我们可以利用平方差公式将分母有理化为(√3-√2)(√3+√2)，即3-2，得到1/(√3-√2)。
三、分母有理化技巧之有理化因式分解有理化因式分解是分母有理化中较为复杂的一种方法。
当分母是含有多个根号的无理数时，可以通过有理化因式分解将其转化为有理数。
例如，对于分数1/(√2+√3+√5)，我们可以利用有理化因式分解将分母有理化为(√2+√3-√5)(√2+√3+√5)，即(2+√6-√10+3-√15+√30-√10-√15+5)，最终得到1/(10-2√10-2√15+√30)。
四、分母有理化技巧之有理化分子分母有理化分子分母是分母有理化中较为灵活的一种方法。
当分母是含有根号的复杂表达式时，可以通过有理化分子分母将其转化为有理数。
例如，对于分数1/(√2+1/√3)，我们可以利用有理化分子分母将分母有理化为(√2-1/√3)/(√2+1/√3)(√2-1/√3)，即(√2-1/√3)/(2-1/3)，最终得到(3√2-√6)/5。
分母有理化技巧是数学中常用的一种方法，通过乘法法则、平方差公式、有理化因式分解和有理化分子分母等技巧，可以将分数的分母转化为有理数，从而便于计算和比较。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的有理化技巧，可以简化计算过程，提高解题效率。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地掌握分母有理化技巧，并在数学学习中灵活运用。
分母有理化
分母有理化
分母有理化
1、定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化
2、有理化因式：两个含有二次根式的非零代数 式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们 说这两个二次根式互为有理化因式。
分母有理化
3、有理化因式的确定方法： （1）单项二次根式：利用 a a a来确定
如： a与 a , a b与 a b, a b与 a b 等分别为互为有理化因式
（2）利用平方差公式来确定 如：a b与a b , a b与 a b ,
a x b y与a x b y等
分别互为有理化因式
分母有理化
4、分母有理化的步骤： （1）先将分子与分母化成最简二次根式 （2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式， 将分母中的根号化去
（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式
分母有理化
5、一般常见有理化因式： （1）a 的有理化因式为 a （2）a b的有理化因式为a b
(3)a n b的有理化因式为a n b
(4) a b的有理化因式为 a b
(5)m a n b的有理化因式为m a n b
分母有理化
1、 3 3 1
你 来
2、 1
练
4 33 2
3、 m (m n) m n
4、 2 5 2 3
分母有理化的方法
分母有理化的方法首先，我们来看一下什么是分母有理化。
在分式中，如果分母是一个多项式，我们通常希望将其化为一个较为简单的形式，这样可以更方便地进行运算。
分母有理化的方法就是将分母化为一个多项式的形式，这样可以使得分式更易于处理。
接下来，我们将介绍两种常见的分母有理化方法，一是用因式分解法，二是用通分法。
首先是因式分解法。
当分母是一个多项式时，我们可以尝试对其进行因式分解，然后再进行化简。
例如，对于分式$\frac{1}{x^2-1}$，我们可以将分母$x^2-1$进行因式分解为$(x+1)(x-1)$，然后再进行化简得到$\frac{1}{(x+1)(x-1)}$。
这样，我们就成功地将分母有理化了。
其次是通分法。
当分母是两个不同的多项式时，我们可以通过通分的方法将分母有理化。
例如，对于分式$\frac{1}{x^2-1}+\frac{1}{x^2-4}$，我们可以通过通分的方法将其化为$\frac{1}{(x+1)(x-1)}+\frac{1}{(x+2)(x-2)}$，这样就完成了分母有理化的过程。
通过以上两种方法，我们可以将分母有理化的技巧灵活运用到各种数学问题中。
在解决方程、简化分式、进行数学运算时，分母有理化的方法都可以帮助我们更加方便地进行操作，提高解题效率。
在实际应用中，分母有理化的方法也经常出现在各种数学题目中。
例如，在求极限、求导、积分等过程中，分母有理化往往是必不可少的一步。
因此，掌握好分母有理化的方法对于提高数学解题能力是非常重要的。
总之，分母有理化是数学中常见的一种技巧，通过因式分解和通分的方法，我们可以将分母化为一个较为简单的形式，从而更方便地进行数学运算。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和掌握分母有理化的方法，提高数学解题的能力。
分母有理化的解法集锦
分母有理化的解法集锦两种常规方法基本思路是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。
1、分母是一个单项式
例如二次根式
下面将之分母有理化：
分子分母同时乘以√2,分母变为2，分子变为2√2，约分后，分数值为√2。
在这里我们想办法把√2化为有理数，只要变为它的平方即可。
2、分母是一个多项式
再举一个分母是多项式的例子，如
下面将之分母有理化：
扩展资料
有理化因式
例如：
将分子、分母同时乘以分母的有理化因式。
有理化因式举例
如√a的有理化因式是正负√a，√a+√b的有理化因式是
√a-√b或√b-√a。
有理化后通常方便运算，有理化的过程可能会影响分子，但分子及分母的比例不变。
单项式
应用一般根号运算：。
分母有理化
龙文教育个性化辅导授课案教师： 学生 时间：2014年 月 日 段课 题考点分析重点难点授课内容： 分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a ⋅=来确定，如：a a 与，a b a b ++与，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a b +与a b -，a b a b +-与，a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：（1）先将分子、分母化成最简二次根式；（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
4.方法集锦：一. 常规基本法例1. 化简解：原式评注：这是最基本最常用的方法，解法的关键是准确判断分母的有理化因式。
二. 分解约简法例2. 化简解：原式评注：分母提取“公因式”后可直接约分，避免分母有理化，从而简化运算。
例3. 化简解：原式评注：由于的有理化因式可能为零，所以不能将分子分母同乘以；若分两种情况讨论又比较繁琐。
注意到本题的结构特征，故改用“分解因式”约简的方法，达到分母有理化而又避免讨论。
例4. 化简解：评注：注意到7可分拆为4+3，与可配成，从而与分母约分而获得巧解，避繁就简。
例5. 化简.解：原式评注：把1转化为，再用平方差公式“因式分解”即能约分。
三. 巧用通分法例6. 化简解：原式评注：注意到本题两“项”互为倒数，且分母互为有理化因式的结构特征，故采用直接通分，同时又达到了分母有理化的效果，使化简更为简捷。
四. 裂项约简法例7. 化简解：原式评注：裂项是本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到解题最佳途径。
例8. 化简解：将原式分子、分母颠倒后就转化为例6。
分母有理化
分母有理化
分母有理化是数学中的一个概念，指的是将一个分数的分母化成有理数的过程。
这个过程通常用于简化分式，方便运算。
一般来说，分母有理化有两种方法：通分法和借助特殊公式法。
通分法是指将两个分式的分母通分，然后通过合并同类项，将分母化为有理数。
比如，将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 和
$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 的分母有理化，可以将两个分式的分母都乘以相应的有理数，如下所示：
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{ \sqrt{2}}{2}$$
$$\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{ \sqrt{3}}{3}$$
此时，两个分式的分母都变成了有理数，不再含有无理数。
借助特殊公式法是指利用已知的数学公式，将分式化为等价的形式，从而得到有理分母。
比如，将 $\frac{1}{a\sqrt{b}}$ 分母有理化，可以将分母乘以分式的共轭形式，即
$\frac{1}{a\sqrt{b}}\cdot\frac{a\sqrt{b}}{a\sqrt{b}}=\frac{\s qrt{b}}{ab}$。
此时，原分式的分母已经化为了有理数。
总之，分母有理化是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们简化分式，方便数学计算。
分母有理化的方法
分母有理化的方法
在数学中，我们经常会遇到分母有理化的问题，即将分母中的根号、分数等无理数部分化为有理数的过程。
这种方法在解决一些数学问题时非常有用，因此我们有必要对分母有理化的方法进行深入的学习和掌握。
首先，我们来看一下分母有理化的基本原理。
当分母中含有根号时，我们可以用有理数乘以分子分母的共轭形式来实现有理化。
例如，对于分母为√2的分数，我们可以将其有理化为2的形式，即分子分母同时乘以√2，得到2/2=1。
这样，我们就成功地将分母有理化了。
其次，对于分母含有分数的情况，我们可以通过通分的方法来实现有理化。
例如，对于分母为1/√3的分数，我们可以将其分子分母同时乘以√3，得到√3/3，这样就将分母有理化了。
除此之外，我们还可以通过换元法来实现分母有理化。
当分母中含有根号时，我们可以通过换元的方法将根号部分化为一个新的变量，然后进行代入和化简，最终得到有理化的结果。
这种方法在一些复杂的分母有理化问题中非常有效。
在实际应用中，分母有理化的方法常常用于解决一些代数式、方程式和不等式的求解问题。
通过有理化，我们可以将原来复杂的问题转化为简单的形式，从而更容易进行进一步的计算和推导。
因此，掌握好分母有理化的方法对于数学学习和应用是非常重要的。
总之，分母有理化是数学中常用的一种方法，通过对分母进行有理化，我们可以将原来复杂的问题简化，从而更容易进行后续的计算和分析。
掌握好分母有理化的原理和方法，对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。
希望大家能够认真学习和掌握这一方法，更好地应用于实际中。
初中数学分母有理化知识点集锦
初中数学分母有理化知识点集锦
导语：学习是一个边学新知识边巩固的过程，对学过的知识一定要多加练习，这样才能进步。
以下是小编为大家精心整理的初中数学分母有理化知识点集锦，欢迎大家参考！
I.分母是单项式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多项式
可以利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/(√a+√b)(√a-√b)=√a-√b/a-b
根式中分母不能含有根号，且要变为最简的才行。
整式的运算
1、幂的运算法则(m,n是整数)：
(1)a×a=a;
(2)a÷a=a;(a≠0)
(3)(a)=a
(4)(ab)=ab
2、整式的运算(略)
3、乘法公式：
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3
(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3
多项式的因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解
1、提公因式法;
2、公式法：
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
3、十字相乘法或求根法分解二次三项式：ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。
初中数学常考的知识点：分母有理化
初中数学常考的知识点：分母有理化初中数学常考的知识点：分母有理化导语：一个人的贡献和他的自负严格地成反比，这似乎是品行上的一个公理。
下面是小编为大家整理的关于初中数学的学习方法，希望对大家有所帮助，欢迎阅读，仅供参考的，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网的栏目!分母有理化I.分母是单项式如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/bII.分母是多项式可以利用平方差公式如1/√a+√b=√a-√b/(√a+√b)(√a-√b)=√a-√b/a-b根式中分母不能含有根号，且要变为最简的才行。
整式的运算1、幂的运算法则(m,n是整数)：(1)a×a=a²;(2)a²÷a=a;(a≠0)(3)(a)²=a²(4)(ab)²=a²b²2、整式的运算(略)3、乘法公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2(a+b)( a^2-ab+b^2) =a^3+b^3(a-b)( a^2+ab+b^2) =a^3-b^3(三)多项式的因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解1、提公因式法;2、公式法：a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)3、十字相乘法或求根法分解二次三项式：ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。
分母有理化
a x b y与a x b y，
分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：
（1）先将分子、分母化成最简二次根式； （2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分
母中不含根式；
（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
例、已知
分母有理化
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它 有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用
a a a
们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式
来确定，
如：
等分别互为有 a与 a， a b与 a b， a b与 a b 理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
，
1 1 求 x 1 y 1
的值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 x 2 3
1 y ， 2 3
，求
10x2 xy 10 y 2
的值。
1 例、化简 3 2
3 2 2 5 5 3
〖挑战不可能〗
5 1 6 7 5 1、 2 4 11 3 7 7 2
1 （2）、已知 x 3 2 2
1 ，y 3 2 2
分母有理化
2a
2 5 5 20 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 3 • 2 10 3 40 60 30 6 10 • 10 60
2
2
2 • 10
注意：要进行分母有理化，一般是把分子分 母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根 号
思考： 如何将下列各式进行分母有理化？
2 a- b
a-
b 乘以什么式子才能不含有根号呢？
（ a-
b ）的有理化因式是（ a + b ） b ）
（ a+ b ）的有理化因式是（ a -
分母有理化的过程即是分子分母同时乘 以分母的有理化因式
m
的有理化因式是
1 a- c a- c = = a- c ? a c a- c a- c
a + 3)(2 -
3xy 2y
系数４已是完 全平方数，所 以只需乘以y
化去分母中的根号
2 (1) 5
2 2× 5 2 5 解： (1) = = 5 5 5× 5
(2)
5 3 3
5× 3 5 3 (2) = = 9 3 3 3 3× 3 5
2 2× 5 2 5 (1) = = 5 5 5× 5 5 5× 3 5 3 (2) = = 9 3 3 3 3× 3
( a b)
a b
a b
2
2
a b
平方差公式
2 2( a + b ) 2( a + b ) = = a- b a - b ( a - b )( a + b )
( a b)
a b
a b
2
2
a b
设P是一个含有根式的代数式，Q是一个 不等于0的代数式，如果PQ的乘积不再含 有根式，则称Q是P的 有理化因式，P 也 是Q 的有理化因式
分母有理化——分母不能无理
分母不能无理——知识要点1.有理化因式⑴定义：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.⑴确定方法：a=来确定．.②两项二次根式：利用平方差公式()()22bababa-=-+来确定．如a+a分别互为有理化因式。
2.分母有理化的方法与步骤①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
典型例题例1单项二次根式的分母有理化（1）15362；（2）32；（3）421；（4）32121；（5）50381-；两项二次根式的分母有理化（1）1485--；（2）23322-；（3）2331-；（4）584+；（5（6（7）233223-- （8）3535-+（9）1555-- （10）1222-+例2 已知x=3,y=21,求xy xy x x +--431的值。
例3 若111122312231-+--=+=y x ,y ,x 求的值。
例4先把下列各式分母有理化，后计算求值：（1）3641)32(312-++÷-；（2）352521231++-+-（3）199819991341231121++++++++例5已知x =y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+课堂练习1． 把下列各式分母有理化并求出结果：（1）133- （2）532+ （3）3252+（4）53353553-- （5）634 （6）4052（7）561- （8）523+ （9）1435615--（10）633- （11）2263329-- （12）704091.÷+-（13）1830..÷ （14）8132-（15）2713814502--.（16）5125⨯（17）27231241÷- （18）2)251(-（19）612313214-- （20）257276731-+-++（21）++++++341231121 (9)101++课后作业1． 写出下列各根式的有理化因式。
分母有理化方法集锦
分母有理化方法集锦分母有理化方法集锦二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，也是同学们的难点。
本文介绍几种有理化方法，供同学们研究时参考。
一、常规基本法例1：化简解：原式评注：这是最基本最常用的方法，解法的关键是准确判断分母的有理化因式。
二、分解约简法例2：化简解：原式评注：分母提取“公因式”后可直接约分，避免分母有理化，从而简化运算。
例3：化简解：原式评注：由于 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 与 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 的乘积可能为零，所以不能将分子分母同乘 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$。
两种情况讨论又比较繁琐。
注意到本题的结构特征，故改用“分解因式”约简的方法，达到分母有理化而又避免讨论。
例4：化简解：评注：注意到 $7$ 可分拆为 $4+3$，与 $\sqrt{2}-1$ 巧解，避繁就简。
可配成 $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}$，从而与分母约分而获得 $\sqrt{2}-1$。
例5：化简解：原式评注：把 $1$ 转化为 $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}$。
三、巧用通分法例6：化简解：原式评注：注意到本题两“项”互为倒数，且分母互为有理化因式的结构特征，故采用直接通分，同时又达到了分母有理化的效果，使化简更为简捷。
四、裂项约简法例7：化简解：原式评注：裂项是本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到解题最佳途径。
例8：化简解：将原式分子、分母颠倒后就转化为例6.故原式评注：本题解法中，先计算原式的倒数，明显方便多了。
五、等比性质法例9：化简解：评注：若用常规方法，分子、分母同乘以分母的有理化因式较繁杂且易出错，注意到本题的结构特征，可用等比性质巧解。
分母有理化
平方差公式
2 2( a + b ) 2( a + b ) = = a- b a - b ( a - b )( a + b )
(a+b)(a-b)=a2-b2 设P是一个含有根式的代数式，Q是一个 不等于0的代数式，如果PQ的乘积不再含 有根式，则称Q是P的 有理化因式，P 也 是Q 的有理化因式
2 2× 5 2 5 (1) = = 5 5 5× 5 5 5× 3 5 3 (2) = = 9 3 3 3 3× 3
把分母中的根号化去, 使分母变成有理数, 这个过程叫做分母有 理化。
思考： 如何将下列各式进行分母有理化？
2 a- b
a-
b 乘以什么式子才能不含有根号呢？
a b
a b ( a )2 ( b )2 a b
a
= 2-
b
3
3)
巧妙地利用公式（平方差、立方 和差）找分母的有理化因式
例：把下列各式分母有理化 5 1 2 5 5 ( 3 ) (1) (2) (4) (5)ห้องสมุดไป่ตู้1 3 2 3 2 1 5 3 5
分母有理化的方法 １、分子分母同时乘以一个数（式） 将分母中根号下的被开方数写成完全平方数（式） 2、利用公式（平方差公式、立方和差公式） 找分母的有理化因式
分母有理化
我们已经学过二次根式的乘除法法则？
1、二次根式的乘法
a
b = ab
（a≥0，b≥0）
2、二次根式的除法
a a b b
（a≥0，b＞0）
化去分母中的根号
2 (1) 5
2 2× 5 2 5 解： (1) = = 5 5 5× 5
(2)
分母有理化试题
分母有理化试题1．将它分母有理化：1————————-√￣2+√￣3+√￣6分两步做，第1步分子分母同乘√2+√3-√6，得原式=（√2+√3-√6）/（2√6-1），第1步分子分母同乘2√6+1，得原式=（√2+√3-√6）（2√6-1）/23=（7√2+5√3-√6-12）/23.2.化简:2/(√5-√3)解：原式=2（√5+√3)/(√5+√3)(√5-√3)=2(√5+√3)/[(√5)²-(√3)²]=2(√5+√3)/(5-3)=2(√5+√3)/2=√5+√3这里用了(a+b)(a-b)=a²-b²的公式，明白了吗？因为在2/根号5减根号3分母有理化的过程中，需分子、分母同乘根号5加根号3，原来分母为根号5减根号3根号5减根号3*根号5加根号3＝根号5平方-根号3平方＝5-3＝2。
这里应用的是平方差公式a^2-b^2=（a+b)*(a-b)分母有理化的一种巧解把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
分母有理化有如下两种基本类型：A ：aab aa ab ab =•=或ba b a c ba b a b a c ba c ±±=±•±±•=±B ：ba b a c b a b a b a c ba c ±=±•=±2)())(()( 或ba b a c b a b a b a c ba c -=±•=±)())(()( 举例：1.552555252=••=2.ba b a ba b a b a ba b a b a b a ba b a -+=--•-=-•--•-=--)()()(2222223.b a b a b a b a b a ba b a -=-•+-•-=+-)()()()(法二：b a ba b a b a ba b a ba b a -=++-=+-=+-))(()()(224.5233631829318)223()223()223(6322363-=--=-•+-•=+上述1、2两道例题属于A 种基本类型，解题比较容易。
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分母有理化方法集锦
吕广军
二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，也是同学们的难点，本文介绍几种有理化方法。
供同学们学习时参考。
一. 常规基本法
例1. 化简
解：原式
评注：这是最基本最常用的方法，解法的关键是准确判断分母的有理化因式。
二. 分解约简法
例2. 化简
解：原式
评注：分母提取“公因式”后可直接约分，避免分母有理化，从而简化运算。
例3. 化简
解：原式
评注：由于的有理化因式可能为零，所以不能将分子分母同乘
以；若分两种情况讨论又比较繁琐。
注意到本题的结构特征，故改用“分解因式”约简的方法，达到分母有理化而又避免讨论。
例4. 化简
解：
评注：注意到7可分拆为4+3，与可配成，从而与分母约分而获得巧解，避繁就简。
例5. 化简.
解：原式
评注：把1转化为，再用平方差公式“因式分解”即能约分。
三. 巧用通分法
例6. 化简
解：原式
评注：注意到本题两“项”互为倒数，且分母互为有理化因式的结构特征，故采用直接通分，同时又达到了分母有理化的效果，使化简更为简捷。
四. 裂项约简法
例7. 化简
解：原式
评注：裂项是本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到解题最佳途径。
例8. 化简
解：将原式分子、分母颠倒后就转化为例6。
故原式
评注：本题解法中，先计算原式的倒数，明显方便多了。
五. 等比性质法
例9. 化简
解：
评注：若用常规方法，分子、分母同乘以分母的有理化因式则计算比较繁杂且易出错，注意到本题的结构特征，可用等比性质巧解。