带最大值项的二阶非线性差分方程的振动性定理
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二阶非线性差分方程的振动性与渐近性质
（ ） ： ｒ ） 尺＋＝（ ， ； ａ ｒ Ｎ（ｔ 一 ０ ０ ∞） （ ） ： 一 尺连 续 ， ｂｇ尺 严格 上 升 ，ｇｇ ｕ ＝ｓｎ ，（ ） ｓｎ （ ） ｇ ｕ ｇ Ｒ ＝Ｒ；
＝ ＋ 一 ． 文 总假 设 。 本
（） Ｎ（ｔ） 一 尺关 于 连 续且 单 调 不 减 ， ≠Ｏ时 ， ・ ｒ ｕ ＞０ ｒ Ｎ（ｔ） ｃ厂： ｒ Ｘ尺 。 ｕ ｕ ｔ ） ， ∈ ， ｔ ｒ ． 。 方程 （） １的非 平凡 解 是 指 这样 一 个 实 序列 ｛ ｝它满 足 （ ） 任 给 ｍ∈ Ｎ（ｔ）有 ｓｐ １ ｌ ． 假定 ： １且 ｒ ， ｕ ＞０ 总 。
ｃ ｎ ｃｎｉｏ ａｅａ ｏｇ ｅ ｆ ｑａ ｏ １ ｌ ｈｉ ｏｃｌ ｌａ ｓ ｅ ． ｉ ｔ ｏｄｔｍ Ｉ ｌ ｉ ｎ０ Ｅ ｕｔ ｎ（）Ｍｉ ｓｉａｏ ｌ ｅ ｉ ｓ ｖ ｉ ｃ ｓ ｌｔｔａ ｗ １
１ ｗ ｒｓＮ ｎ ｎａ ｉｅｅｃ ｑ ａｏ ；ｓｉ ｔ ｎａｄｎｎｓｉ ｆｎ ａｙ ｔｉ ｐｏｅｔ 的 ｏｄ ： ｏｌ ｅｒ ｆ ｒｎｅｅｕｔｎ ｏｃｌ ｏ ｎ ｏｏｅｌ ｏ ；ｓ ｏｃ ｒｐｒ ｉ ｄ ｉ ｌｉ ａ ｌｉ ａｍｐ ｔ ｙ
。
） ＋ ，， ） ０ ） ｌ ＝
１
－ｎ
的渐 质与振动 近性 性质． 给出了当 ： － ÷） ∞时 ∑ ： １ ＝ 上述方 ｇ （ 程存在非 振动解的充要条件， 时 同
还 给 出 了该方 程振 动 的充要 条 件 ． 关键 词 ： 非线性 差 分 方程 ； 动和 非振 动 ； 近性 质 振 渐
大
学
学
报（ 理学版 ）
第 ３ ７卷
关 于 方 程
△（， ｒ ） 凡， ） ＋ ＝０ （） ２
的振动性与渐近性质 ， ｒ ｄｗｃ 和 Ｐｅｄ 给出了（ ） ｒ＝１ｆ 凡 ｕ ＝蹦 ｕ 时存在 Ａ Ｄｏ ｏｉ ｚ ｚ ｏｎａ ２ 当 ＾ ，（ ， ） ） 型非振动解的充 要条件 ； ｅＨ ｏｅ 和 Ｐ ｔａＰｔ ａＳ ａｄ 都研究 了（ ） …Ｈ ， ｏｋｒ ｕ ｌ，ａ ｌ ｚ ｎａ ｕ ｕ，ｍ ２ 及其 特殊情形解 的振动性与渐近性质 ， 给出 了一 些 好 的结 果 ． 圳 但对 于 方程 （） 目前 还 没 有这 方 面 的结 果 ． ［ ２ １， 本文 主要 目的是研究方程 （） 的振动性与渐近性质 ． １解 首先证明 了方程 （ ） １在一 定条件 下非振动解 的渐
＝ ＋ 一 ． 文 总假 设 。 本
（） Ｎ（ｔ） 一 尺关 于 连 续且 单 调 不 减 ， ≠Ｏ时 ， ・ ｒ ｕ ＞０ ｒ Ｎ（ｔ） ｃ厂： ｒ Ｘ尺 。 ｕ ｕ ｔ ） ， ∈ ， ｔ ｒ ． 。 方程 （） １的非 平凡 解 是 指 这样 一 个 实 序列 ｛ ｝它满 足 （ ） 任 给 ｍ∈ Ｎ（ｔ）有 ｓｐ １ ｌ ． 假定 ： １且 ｒ ， ｕ ＞０ 总 。
ｃ ｎ ｃｎｉｏ ａｅａ ｏｇ ｅ ｆ ｑａ ｏ １ ｌ ｈｉ ｏｃｌ ｌａ ｓ ｅ ． ｉ ｔ ｏｄｔｍ Ｉ ｌ ｉ ｎ０ Ｅ ｕｔ ｎ（）Ｍｉ ｓｉａｏ ｌ ｅ ｉ ｓ ｖ ｉ ｃ ｓ ｌｔｔａ ｗ １
１ ｗ ｒｓＮ ｎ ｎａ ｉｅｅｃ ｑ ａｏ ；ｓｉ ｔ ｎａｄｎｎｓｉ ｆｎ ａｙ ｔｉ ｐｏｅｔ 的 ｏｄ ： ｏｌ ｅｒ ｆ ｒｎｅｅｕｔｎ ｏｃｌ ｏ ｎ ｏｏｅｌ ｏ ；ｓ ｏｃ ｒｐｒ ｉ ｄ ｉ ｌｉ ａ ｌｉ ａｍｐ ｔ ｙ
。
） ＋ ，， ） ０ ） ｌ ＝
１
－ｎ
的渐 质与振动 近性 性质． 给出了当 ： － ÷） ∞时 ∑ ： １ ＝ 上述方 ｇ （ 程存在非 振动解的充要条件， 时 同
还 给 出 了该方 程振 动 的充要 条 件 ． 关键 词 ： 非线性 差 分 方程 ； 动和 非振 动 ； 近性 质 振 渐
大
学
学
报（ 理学版 ）
第 ３ ７卷
关 于 方 程
△（， ｒ ） 凡， ） ＋ ＝０ （） ２
的振动性与渐近性质 ， ｒ ｄｗｃ 和 Ｐｅｄ 给出了（ ） ｒ＝１ｆ 凡 ｕ ＝蹦 ｕ 时存在 Ａ Ｄｏ ｏｉ ｚ ｚ ｏｎａ ２ 当 ＾ ，（ ， ） ） 型非振动解的充 要条件 ； ｅＨ ｏｅ 和 Ｐ ｔａＰｔ ａＳ ａｄ 都研究 了（ ） …Ｈ ， ｏｋｒ ｕ ｌ，ａ ｌ ｚ ｎａ ｕ ｕ，ｍ ２ 及其 特殊情形解 的振动性与渐近性质 ， 给出 了一 些 好 的结 果 ． 圳 但对 于 方程 （） 目前 还 没 有这 方 面 的结 果 ． ［ ２ １， 本文 主要 目的是研究方程 （） 的振动性与渐近性质 ． １解 首先证明 了方程 （ ） １在一 定条件 下非振动解 的渐
二阶非线性微分方程的Sturm比较定理与振动性
这 里 ， ， ， ， ｈ ＥＣ［ ×Ｒ ］ ｒ＇＾ ×Ｒ ， ， Ｊ ， ， ｈ ， Ｒ ’＿ｒＥｃ Ｒ ］ 吼ＥＣ Ｒ ； Ｐ ， 对 各变 量分别 Ｅ ］ Ｐ ， ２ｒ， 有 一 阶连 续 偏导 数 ； 。 ０ Ｐ ＞ ０ 其 中 Ｒ Ｐ ＞ ， ， ＝（ ， 。 ． 外 ， 中 涉 及方 程 的解 都 可 以延 拓 到 Ｒ ０ 十。 ） 此 文
＾）ｕ］ ｒ“‘ ２ｙ 。～ １ ｚ． ｄ
ｒ。 “ ，一
… ＋＇ （ —ｚ ｔ ｒ ２＇ ｒ ｚ Ｐ） ｙ ｕ ｚ 卜—－ ｕ ｈ 。 ～一 ２ 卜］２ ｔ ｄａ 一 ｒ 只 一ｚ “ ｒ㈠ 一 ｔ 助 番一ｄ ” ２ Ｊ １
其次证 明（ ） 闭区 间 ，］ ３在 卢 上成 立 ．设 ｓ 一～—ｕ２ 定义 函数 Ｆ（） （） ｒ ，∈（ ， ） （） Ｐ ｙ￣ ｚ ｆ 一ｓ ｆ 一ｉ ｎ 卢 ； ２ ２
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第 ５卷第 ２期
２０ ０ ２年 ５月
扬 州 大学 学报 （ １ 科学版） ９然
Ｊ Ｕ ＲＮ Ａ Ｉ Ｆ Ｙ Ａ ＮＧ ＺＨＯ Ｕ Ｎ Ｉ ＇ Ｏ Ｏ Ｕ ＶＥＲ Ｓ Ｔ Ｙ （ ＡＴ Ｕ Ｒ Ａ ｌ Ｓ Ｉ ＣＥ ＥＤＩ Ｉ Ｉ Ｎ Ｃ ＥＮ Ｔ ＯＮ ）
Ｖ０１ ｏ ２ ５ Ｎ ．
Ｍ ａｙ ２０ ０２
二阶非线性微分方程 的 Ｓｕｍ ｔｒ
比较定 理 与 振动 性
程 崇 高 周 正 新
（．黄 冈 师范 学 院 数 学 系．湖 北 黄 州 ．４ ０ ０ ２ 扬 州 大学 理 学 院 数学 系 ，江苏 扬 州 ．２５ ０ １ 粥 ０ ２０２
引理 ．
， ｔｎ ｐ ＣＲ ， ｌ ， ］ ） 首先证 明两个
引 理 １ 设 ∈Ｊ ） 是 方 程（ ） （ ， ） （ ２ 的解 ， （） ａ ，Ｅ （ ， ． ｌ 坠 二 存 在 ， ＿ ｚ ｖ ｏ ｔ ｎ ） 若 ｉ ｙ ｍ 则在 闭 区 间 ［ ， 上 成立 恒等式 。 ］
二阶非线性阻尼差分方程的振动性
。 ｉ ， ｌ ｌ
０．
由归纳 法 知 Ａ ＜ ０ 此 与 ｛ ｘ ｝ 动相 矛 盾 ． ｘ ， Ａ 振 其次 ， Ａ 设 ｘ
。
＝
０ ，则 由方 程 （ ）知 △ ｚ １ ２
。
＝ 一
Ａ ｘ 一 ｑ 厂 ｚ １ ｇ ｚｘ ）＜ （ ＋） （ｘ ．
。 ，
０ ，
Ａ ｘ
．
＋＜ ０ １ ．由归 纳法 知 △ ＜ ０ ｚ ．此 与 ｛ ｚ ｝ 动 相 矛 盾 ， 而 ｛ ｘ ｝ 固定 符 号 ． △ 振 因 Ａ 有 现令 △ ＜０ ７≥ Ｎ ∈Ｚ， ，＂ ／ 记 ＝一△ 则 由方程 （） 一Ａ 一Ｐ ＋ｑ ｚ＋） （ ｚ， １有 ｕ （ １ｇ 一
中图分 类号 ： １ ５ Ｏ ７ 文献标识码 ： Ａ
０ 引言
考 虑 阻尼差 分 方程
Ａ， ７ ７ ＋Ｐ Ａ ＋ ｇ （ １ｇ（ ３ ）＝ ０ ｘ ３ ＋） Ａ ２ ２ ，
∈ ｚ，
（） １
其 中 ｚ为 自然数 集 ， ３ ２ ＋ —３ ，｛ 为实 数 序 列 ，ｑ ｝ Ａ ＝３ １ ２ Ｐ ｝ ２ ｛ 为正 实数 序列 ， ｇ∈Ｃ Ｒ， ． ｆ， （ Ｒ） 对 于方 程 （ ） １ 的特 殊情 况 Ａ ３ ｑ （ １ ０ 文 献 ［ ］～ ［ ］ 立 了振 动定 理 ． 文 ＋ ． ３ ＋）＝ ， ２ ｆ２ １ ３建 本 的 目的是 在 允 许 ｛ 振 动 或 为负 时建 立 方 程 （ ）的 振 动 准 则 ， 得 结 果 是 新 的 ， 时 文 献 Ｐ｝ １ 所 同 ［ ］中定理 ４的离 散 类 似可 视 为其 的一 个 特例 ． ４ 为 叙述 方便 我 们 给 出如下 条 件 ：
１～Ｐ ≥ ０ ， ≥ Ｎ， （） ２
∑ ∑ （ Ｐ ＝∞， 卜 １ ）
０．
由归纳 法 知 Ａ ＜ ０ 此 与 ｛ ｘ ｝ 动相 矛 盾 ． ｘ ， Ａ 振 其次 ， Ａ 设 ｘ
。
＝
０ ，则 由方 程 （ ）知 △ ｚ １ ２
。
＝ 一
Ａ ｘ 一 ｑ 厂 ｚ １ ｇ ｚｘ ）＜ （ ＋） （ｘ ．
。 ，
０ ，
Ａ ｘ
．
＋＜ ０ １ ．由归 纳法 知 △ ＜ ０ ｚ ．此 与 ｛ ｚ ｝ 动 相 矛 盾 ， 而 ｛ ｘ ｝ 固定 符 号 ． △ 振 因 Ａ 有 现令 △ ＜０ ７≥ Ｎ ∈Ｚ， ，＂ ／ 记 ＝一△ 则 由方程 （） 一Ａ 一Ｐ ＋ｑ ｚ＋） （ ｚ， １有 ｕ （ １ｇ 一
中图分 类号 ： １ ５ Ｏ ７ 文献标识码 ： Ａ
０ 引言
考 虑 阻尼差 分 方程
Ａ， ７ ７ ＋Ｐ Ａ ＋ ｇ （ １ｇ（ ３ ）＝ ０ ｘ ３ ＋） Ａ ２ ２ ，
∈ ｚ，
（） １
其 中 ｚ为 自然数 集 ， ３ ２ ＋ —３ ，｛ 为实 数 序 列 ，ｑ ｝ Ａ ＝３ １ ２ Ｐ ｝ ２ ｛ 为正 实数 序列 ， ｇ∈Ｃ Ｒ， ． ｆ， （ Ｒ） 对 于方 程 （ ） １ 的特 殊情 况 Ａ ３ ｑ （ １ ０ 文 献 ［ ］～ ［ ］ 立 了振 动定 理 ． 文 ＋ ． ３ ＋）＝ ， ２ ｆ２ １ ３建 本 的 目的是 在 允 许 ｛ 振 动 或 为负 时建 立 方 程 （ ）的 振 动 准 则 ， 得 结 果 是 新 的 ， 时 文 献 Ｐ｝ １ 所 同 ［ ］中定理 ４的离 散 类 似可 视 为其 的一 个 特例 ． ４ 为 叙述 方便 我 们 给 出如下 条 件 ：
１～Ｐ ≥ ０ ， ≥ Ｎ， （） ２
∑ ∑ （ Ｐ ＝∞， 卜 １ ）
二阶非线性中立型微分方程解的振动准则
“
方程 的 线 性 化极 限 振 动 理 论 来建 立 它 自 身 的 振 动 准 则
, ,
,
即 通 过一个 非 线 性 时滞微 分 方程 的
12〕
,
。
极限
”
方 程 的 振 动性
“
例如 【 0 一 1
在本 文 中 我 们建 立 了方程 ( 1 ) 的 所 有 有 界解 振 动 的 充 分 条 件 其 条 件 是 h r s a 即 在 系 数 尸 (约
t =
及正 数 M
:
,
使得 0 < 双 卜 叻 ( M
0
,
,
, 艺 少乙
.
从 (1 ) 有 (8)
歹1
口( ) f 〔 (
,
t
一
,
) ]>
t> t
;
从 夕( t ) 的 定 义 知 今(约必 有 界
夕` l i m 即( t
一 今。 , 心
从 而 容 易导 出
,
( )<
t
0
t> t
,
及
lim y ’
,
p”的
,
Q(t ) 为 常数 及 f ( 幻
。 ,
=
劣
的 意 义 下 该 条件 也 是 必 要 的
。 ,
。
我 们 也 给 出 了 方程
(l ) 的 线 性 化极 限 振 动 准 则 如 一 般 文 献一 样 振 动的
,
所 得 这 些 结果都 是 新 的 的 一 个解 为振 动 的
。
称 方程 ( 1 )
、
(
1 1 )两式 应用 歹 y
"
于 方程
方程 的 线 性 化极 限 振 动 理 论 来建 立 它 自 身 的 振 动 准 则
, ,
,
即 通 过一个 非 线 性 时滞微 分 方程 的
12〕
,
。
极限
”
方 程 的 振 动性
“
例如 【 0 一 1
在本 文 中 我 们建 立 了方程 ( 1 ) 的 所 有 有 界解 振 动 的 充 分 条 件 其 条 件 是 h r s a 即 在 系 数 尸 (约
t =
及正 数 M
:
,
使得 0 < 双 卜 叻 ( M
0
,
,
, 艺 少乙
.
从 (1 ) 有 (8)
歹1
口( ) f 〔 (
,
t
一
,
) ]>
t> t
;
从 夕( t ) 的 定 义 知 今(约必 有 界
夕` l i m 即( t
一 今。 , 心
从 而 容 易导 出
,
( )<
t
0
t> t
,
及
lim y ’
,
p”的
,
Q(t ) 为 常数 及 f ( 幻
。 ,
=
劣
的 意 义 下 该 条件 也 是 必 要 的
。 ,
。
我 们 也 给 出 了 方程
(l ) 的 线 性 化极 限 振 动 准 则 如 一 般 文 献一 样 振 动的
,
所 得 这 些 结果都 是 新 的 的 一 个解 为振 动 的
。
称 方程 ( 1 )
、
(
1 1 )两式 应用 歹 y
"
于 方程
二阶非线性动力方程有界解振动的充分必要条件
２ ０ １ ３年
９ 月
Ｓ ｅ ｐ ． ２ ０ １ ３
文章编号： １ ６ ７ ４ － ８ ０ ８ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ — ０ ０ ０ ９ — ０ ４
二阶非线 性动 力方程 有界解 振动 的充分必要条件
王志伟， 邓志云，杨云苏
（ 井冈山大学数理学院，江西，吉安 ３ ４ ３ ０ ０ ９ ）
（ ｐ （ ｔ ） ｘ ） ） ＋ｇ （ ｆ ） 厂 （ （ ｇ （ ｆ ） ） ） ＝０ ，ｔ ∈ Ｔ ， ｔ ｔ ０
（ ０ ． １ ）
方程 上 去 。但 在某 些结 论上 ，他们 又有 着本 质 的不 同。这 时人们 把 目光放 在这 个 问题上 ，能 不能找 到
一
在 文 中假 设 ： （ ／ ４ １ ） 时 标 它 是 实数 尺 上 的非 空 闭子 集） 是 无 上 界 的 ， 设 ｔ ０∈Ｔ ， ｔ ０ ＞０ ， 定 义 时 标 ［ ， ０ ０ ） ＝［ ｔ ０ ， Ｏ ０ ） ｎＴ； ㈣ ） ＞０ ， ） Ｃｒ ａ （
个 新 的东 西 ， 能够将 二者 统一 起来 。 １ ９ ８ ８ 年Ｓ ｔ ｅ ｆ ａ ｎ
Ｈｉ ｌ ｇ ｅ ｒ首 先提 出 了时标 的概 念 ，它将连 续分 析和 离
散 分析 两种 理论 统一起 来 。实 际生活 中有 许 多时标 的例子 。例如 ，一 年生 植物 的繁 殖模 型 ，假设 该植 物 的数 量在 某一 季节 是连 续 的 ，而在 冬季 会全 部死 亡 ，但 是他们 的种 子 又会在 新 的季 节生根 发 芽 ，成
为不交 叉 的种群 数 量 。泛 函微分 方程 的振 动性 理论 和 差 分 方 程 的振 动 理 论 是方 程 定性 理 论 的两 个 重 要分 支 ，如 文献 【 ２ ］ ＿ ［ ７ 】 ，而 时标 上 动力 方程 作 为方
一类二阶混合非线性微分方程的振动准则
林锦滢，陈腾杰
关键词
振动性，二阶，微分方程，混合非线性，Riccati变换
Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2019, 8(4), 815-825 Published Online April 2019 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2019.84092
已有大量文献研究了方程(1)的特殊情形，如(见[1]-[6]及其中的参考文献)
(r (t ) y′)′ + q (t ) y = e(t )
(2)
(r (t ) y′)′ + q (t ) f ( y) = e(t )
(3)
大多数著名的振动准则都关系到 f 和 q 在区间 [t0 , +∞) 上的积分，这使得这些结果很难被应用到更加
Received: Apr. 6th, 2019; accepted: Apr. 21st, 2019; published: Apr. 28th, 2019
Abstract
New oscillation criteria for a class of second-order mixed nonlinear damping equations are obtained by means of the integral averaging technique and a new kernel function combined with the Elure integral. The new results have a higher generality than some of previous results. The zero distribution information of the solution is also obtained.
一类二阶非线性差分方程的振动性质
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第２卷 第５ ４ 期
２ ０ 年 １ 月 ０７ ０
工
程
数
学
学
报
Ｖ １２ ｏ ５ ｏ ４ ． ． Ｎ
Ｏｃ ． ０ ７ ｔ ２ ０
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ Ｅ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧ Ｉ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
当 ≠０时， 得当 ≠０时， ｑ； Ｐ
（ ） Ｐ： ｎ） 。 Ｒ 是连续函数，并且存在实数序列 ｛ ） Ｐ Ｎ（０ 一 Ｒ，使 ４ Ｎ（ｏ ×Ｒ 一 ， ： ｎ ）
方程（） １的解指的是在 Ｎ（ｏ 上满足方程（） ｎ） １的序列 ｘ ）
。在 Ｎ（０ 上最终不恒等于 ｎ）
文章编Ｎ： ０—０５２０）５０７—６ －０５３８ （０７０—８９０ １
一
类二 阶非线性差分方 程 的振 动性质 水
张 全 信 燕 居 让 。 ，
（．滨州学院数学与信 息科 学系 ，山东滨州 ２ ６ ０ ； ２ １ ５ ６ ３ 一山西大 学数学科学学 院，太原 ０ ０ ０ ） ３ ０ ６
一
（ ） ａ Ｎ（ｏ （， ∞ ） １ ｎ： ｎ ） ０＋ ； （２ Ａ） ： — Ｒ 是连续可微函数 ，并且 当 ≠０时 ， （） ， （） ０ Ｒ ＞０ ； （３ Ｑ ： ｎ ） Ａ） Ｎ（ｏ ×Ｒ — Ｒ 是连 续函数 ，并且存 在实数序列 ｛ ）和连续可微 函数 ｆｘ ： ‰ （） 其 中 ｑ ： ｎ ）一 Ｒ；ｆ ： — Ｒ，当 ≠ ０时 ，ｕ （）＞ ０ Ｎ（ｏ Ｒ ｆｕ ，并 且 ｆ（）＞ ０ 。使 得
零的解 ，这样的解叫做非平凡解 。方程 （） １ 的一个非平凡解 ｆ ，若对于任意 的 ｍ ∈ｇ（０ ， ｎ） 存 在 正整数 ｋ ｍ，使 得 Ｘ ｘ ＋ ０ ｋ １ ，则称 ｆ ）为振动 的 ；否则就 称 为非振 动 的 。对 于 方程（） １的一个非振动 解 ｛ ） ，若 ｛ Ａｘ ）为振动 的，则称 ｛ ）是 方程 （） １的弱振动解 。若方
第２卷 第５ ４ 期
２ ０ 年 １ 月 ０７ ０
工
程
数
学
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Ｖ １２ ｏ ５ ｏ ４ ． ． Ｎ
Ｏｃ ． ０ ７ ｔ ２ ０
ＣＨＩ ＮＥＳ Ｊ Ｅ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧ Ｉ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
当 ≠０时， 得当 ≠０时， ｑ； Ｐ
（ ） Ｐ： ｎ） 。 Ｒ 是连续函数，并且存在实数序列 ｛ ） Ｐ Ｎ（０ 一 Ｒ，使 ４ Ｎ（ｏ ×Ｒ 一 ， ： ｎ ）
方程（） １的解指的是在 Ｎ（ｏ 上满足方程（） ｎ） １的序列 ｘ ）
。在 Ｎ（０ 上最终不恒等于 ｎ）
文章编Ｎ： ０—０５２０）５０７—６ －０５３８ （０７０—８９０ １
一
类二 阶非线性差分方 程 的振 动性质 水
张 全 信 燕 居 让 。 ，
（．滨州学院数学与信 息科 学系 ，山东滨州 ２ ６ ０ ； ２ １ ５ ６ ３ 一山西大 学数学科学学 院，太原 ０ ０ ０ ） ３ ０ ６
一
（ ） ａ Ｎ（ｏ （， ∞ ） １ ｎ： ｎ ） ０＋ ； （２ Ａ） ： — Ｒ 是连续可微函数 ，并且 当 ≠０时 ， （） ， （） ０ Ｒ ＞０ ； （３ Ｑ ： ｎ ） Ａ） Ｎ（ｏ ×Ｒ — Ｒ 是连 续函数 ，并且存 在实数序列 ｛ ）和连续可微 函数 ｆｘ ： ‰ （） 其 中 ｑ ： ｎ ）一 Ｒ；ｆ ： — Ｒ，当 ≠ ０时 ，ｕ （）＞ ０ Ｎ（ｏ Ｒ ｆｕ ，并 且 ｆ（）＞ ０ 。使 得
零的解 ，这样的解叫做非平凡解 。方程 （） １ 的一个非平凡解 ｆ ，若对于任意 的 ｍ ∈ｇ（０ ， ｎ） 存 在 正整数 ｋ ｍ，使 得 Ｘ ｘ ＋ ０ ｋ １ ，则称 ｆ ）为振动 的 ；否则就 称 为非振 动 的 。对 于 方程（） １的一个非振动 解 ｛ ） ，若 ｛ Ａｘ ）为振动 的，则称 ｛ ）是 方程 （） １的弱振动解 。若方
非线性二阶中立型差分方程解的振动性
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第 ２期
张晓建等 ： 非线性二阶中立型差分方程解的振动性
１７ ７
０ ＞０ 又令 ， ．
Ｙ ＝ ＋ＣＸ ， ｎ… （） ３
△， ＋∑ Ｐｑ ． ‘ ｉ ≤０ ￣Ｂ
（ｉ 当 Ｂ ｉ ） ＞０＞Ａ ， － ）知 （ 由（ ３ Ｈ Ｂ ）＞０ 即有 ，
研究还 比较少 １． ． 本文研究 了一类非线性二阶中 Ｊ ＿
立 型差 分方程
Ｉ
振动的， 即 既不最 终 为正 ， 也不最 终 为负 ； 称方程 （ ） 振动 的 ， 果方 程 （ ） １是 如 １ 的所 有解 都是 振动 的．
△（ ＋ｎ ）＝∑Ｐ （ ） （） Ｃ ｘ ， １ Ｚ
其 中｛ ｝ ｛ ｝ ｃ ，ｃ （ ：１２ … ， ） ｛ ｝ ｉ ， ， ，， ，Ｐ （ ＝１２ …，
ｆ 为实 数序 列 ， ， ）均 ｍ， 是 非 负整数 ， ，是 给 （ｆ ￡ ，
＝△（ ） △ ．
（４ ： ∑ｑ １ ￣ｋ 一 则方程 Ｈ） ∑ （ 一 ｎｎ Ｐ －）＝ ∞， ｉ
６ ）时 ， （ ）≥ ｕ 当 ｕ∈ （ ，）时 ， 有 ｕ ｑ， 一６０ 有 ｕ ）≤ ｕ ｉ＝ １ ２ ｑ， ， 一， ｆ ．
≥ ０
而关 于二阶 中立 型 差 分 方 程 的 振 动性 同样 引 起 了 大批学者的关 注， 并得到了一些好 的结果¨ 如文 剖．
［］ ２ 研究了方程
ｉ＝ １
的懈的振动性 ， 出了其 解振 动的充分条件． 得 所得结果改进 和推广 了已有文献的结果． 关键词 ： 非线性 ；中立型差分方程 ； 振动性
中 图分 类 号 ： １５ １ Ｏ ７ ．７ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ １ ３ ５ ２ ０ ） ２ １６０ １０ — ９ （ ０８ ０ － ７ －３ ８ ０
二阶差分方程解的振动性与渐近性及一类n阶非线性差分方程解的渐近状态
曲阜师范大学硕士学位论文二阶差分方程解的振动性与渐近性及一类n阶非线性差分方程解的渐近状态姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***2001.3.25二阶差分方程解的振动性与渐近性及一类ｎ阶非线性差分方程解的渐近状态厶（鲰妒ｆ△粕）】＋，（ｎ，。
）：ｏ，ｎ∈Ⅳ（，１０】，ｒ△（陬ＩＰ（△‰））十，（竹，￥（ｈａ（ｎ】），－一，。
ｆ＾ｍｍ）】）＝０，ｍ≥ｌ，竹ＥＮ［ｎｏ）（１，２）；解的塞麴性与塑垫些每中Ⅳ（瑚）＝｛伽，ｎ。
＋１，…），ｎ。
∈，ＴＯ，ｌ，２，…）．当知≠ｏ时·。
量。
Ｉ妒一１（砉）Ｉ＝∞螺研究了—类ｎ阶非线性差分方程矗“９＋，Ｏ，虮…，△“一１０＝０’ｔ∈Ⅳ（伽）解的渐近状态．其中Ⅳ（伽）＝｛伽，瑚＋ｌ，…），竹ｏ∈｛竹，ｎ＋１，…）√．关■调。
拟线性差分方ｇ振动，非振动。
渐近性。
拟线性时精蓥分方程：／差分算子，阶乘幂．专锯镑１引言差分方程理论。
随着科学技术的迅猛发晨，不仅在工程技术，自动控制以及航天卫星等尖端领域中有重要的应用，而且在计算机科学，人口动态学和经济金融辱领域也已成为不可缺少的数学工具．同时由于差分方程表达的离傲系统常常与相应的连续系统具有完全不同的特性，因而使许多研究者对它产生丁更多的关注．作为徽分方程离散化的差分方程的擐动性和渐近性问题也成为近年来的研兜课题．特别是对于二阶差分方程的撅动性及淅近性问题。
得瓢了一系列瀑亮的结果，可参看文献【Ｈ】，［ｔ２－２６］．但是关于二阶拟线性差分方程△‰轳（血ｎ））十，（住，卫ｎ）昌ｏ，ｎ∈Ⅳ‰），ｆＩ．Ｉ）以及二阶拟线性时滞差分方程△‰妒（△‰）】＋，ｋｚ（ｈ１（ｎ）），…，ｚ（ｋ（ｎ））】＝ｏ，ｍ≥ｌ，ｎ∈Ⅳｆｆｌ０），（１．２）△～＋，（ｔ，ｔ『，…，△４—１０＝０’ｔＥⅣ（，ｔ０）（１．３）解的振动性与渐近性的文章，目前还不多见．本文主要研究方程（１．１），（Ｌ２】和（１．３）解的振动性与渐近性，（Ｉ．ｉ）与（１．２】中的Ⅳｎ１０）＝｛ｎｏ，ｎｏ＋１，…），（１．３）中的Ⅳ（伽）＝｛，１０，ｎＤ＋ｌ，…】．△为前向差分算子，即△‰＝函ｌ＋ｌ一翱，△”靠＝△《△“。
一类含最大值的二阶差分方程有界解的振动性
）－ｑ ）
一
ｍ ａｘ
—
ｒＹ 一 ０ ｎＥ Ｎ ，
ｌ
ｌ
— Ｉ・
ｗａ ｔ ｄ ｅ ． ｕ ｆ ｉｎ ｏ ｄ ｔｏ ｓｆ ｒ ｔ ｅ ｏ ｃｌａ ｉ ｎ ｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｒ ｓ ａ ｌ ｈ ｄ ｓ ｓ ｕ ｉｄ Ｓ ｆ ｉ ｅ ｔｃ ｎ ｉ ｎ ｏ ｈ ｓ ｉ ｔ ｆｓ ｌ ｔｏ ｓｗｅ ｅ ｅ ｔ ｂ ｉ ｅ ． ｃ ｉ ｌ ｏ ｓ
（ 山大 学 理 学 院， 燕 河北 秦 皇 岛 ０ ６ ０ ） ６ ０ ４
摘 要 ： 讨论 了带有极 大值项 的二阶差分 方程 ａ（ ｙ ＋户Ｙ 一 ） 一ｑ ＿ ＿ｊ 一０ ∈Ｎ 解 的 ａＡ（ ） ｍ Ｘｒ ，
ｌ — Ｉ， ｌ
振 动性 ， 得到 了该方 程解振 动 的几个新 的充 分条件 ．
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第 ２ 卷 第 ４期 ２ ２０ ０ ８年 ７月
山 东 理 工 大 学 学 报（ 然 科 学 版） 自
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＳ ａ ｄ ｎ ｉｅｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｏ ） ｏ ｒ ａ ｈ ｎ ｏ ｇ Ｕｎｖ ｒｉｙｏ ｃ ｎ ｌｇ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ｏ ｉ
了方程
△（ Ｐ Ｘｎｋ 一 ｑ ｍ ｚ ＋ －）
一
其 中 ｛ ，ｑ ｝ ｛ 为实 数列 ， ， 为整 数且 ｋ≥ ｚ Ｐ ｝ ｛ ，ａ ｝ ｋｚ ，
ｚ ０ 的非 振 动 解 的渐 进 性． 到 了一 些 很好 的结 ≥ ， 得
果． ’
在 这些 研 究 工作 的基 础上 ， 文考 虑 带有 极 大 本 值 项 的差分 方程
Ａｂｓｒ ｃ ： Ｔｈｅ ｏ ｃ ｌａ ｉ ｎ ｏ ｈｅ ｓ ｃ ｄ ｏ ｄ ｒｄｉｆ ｒ ｎｃ ｑ ｔｏｎ ｔ ａ ｉ ｔａ ｔ ｓ ｉｌｔｏ ｆｔ ｅ ｏｎ ｒ ｅ ｆ ｅ ｅ ｅ ｅ ｕａ ｉ ｓ ｗｉｈ ｍ ｘ ｍｕｍ
线性模型中二阶微分方程的超稳定振动性定理
收稿日期： 2015-03-16
等求解的方法， 在给定的初始值下， 描述线性模型中二 阶微分方程的超稳定振动性特征。然而， 对于这种运 动特征， 采用微分方程特征解对方程的时频特征进行 动力学分析， 为解决系统的稳定性控制问题提供数学 理论基础。因此， 研究线性模型中二阶微分方程的超 稳定振动性问题具有重要意义[1,2]。 文献[3]采用一种献[4]提出基于时滞系统的二 析方法， 根据系统的动态性能修正另一个滤波参数， 具
8
科
技
通 报
法， 根 据 旋 转 DFT 矩 阵 模 型 ， 令
2δ 2 (1 - δ) μ 2 - 2ρ 2 2 δ - 2η p1 (1 - δ)η
自由度 IMC-PID 控制的二阶微分方程的超稳定泛函分 有较好的控制效果， 但该模型在给定的初始值下， 可能 导致系统发散[5]。针对上述问题， 本文对线性模型中二 阶微分方程的超稳定性进行幅相裕度优化控制研究， 构建二阶微分方程， 采用向量 Lyapunov 函数方法进行 了时滞相关特征分解， 在异变平衡点分解中采用幅相 裕度优化控制方法对微分系统的时滞参数进行稳定性 分析， 得到了线性模型中二阶微分方程超稳定解， 给出 了超稳定振动性定理， 并进行数学证明研究， 揭示了本 文构建的系统的稳定性和收敛性。
阶微分方程的超稳定振动性， 提高了系统的信噪比和
控制均衡性， 但是该数学模型在受到噪声干扰是具有
基金项目： 广东省教育厅、 财政厅立项资助课题 （编号： 2013WYXM0136） 阶段性研究成果。 作者简介： 刘志扬 （1964-） ， 男， 硕士， 副教授， 主要研究方向： 高等数学、 高教管理。
第 31 卷 第 12 期 2015 年 12 月
科 技 通 报
等求解的方法， 在给定的初始值下， 描述线性模型中二 阶微分方程的超稳定振动性特征。然而， 对于这种运 动特征， 采用微分方程特征解对方程的时频特征进行 动力学分析， 为解决系统的稳定性控制问题提供数学 理论基础。因此， 研究线性模型中二阶微分方程的超 稳定振动性问题具有重要意义[1,2]。 文献[3]采用一种献[4]提出基于时滞系统的二 析方法， 根据系统的动态性能修正另一个滤波参数， 具
8
科
技
通 报
法， 根 据 旋 转 DFT 矩 阵 模 型 ， 令
2δ 2 (1 - δ) μ 2 - 2ρ 2 2 δ - 2η p1 (1 - δ)η
自由度 IMC-PID 控制的二阶微分方程的超稳定泛函分 有较好的控制效果， 但该模型在给定的初始值下， 可能 导致系统发散[5]。针对上述问题， 本文对线性模型中二 阶微分方程的超稳定性进行幅相裕度优化控制研究， 构建二阶微分方程， 采用向量 Lyapunov 函数方法进行 了时滞相关特征分解， 在异变平衡点分解中采用幅相 裕度优化控制方法对微分系统的时滞参数进行稳定性 分析， 得到了线性模型中二阶微分方程超稳定解， 给出 了超稳定振动性定理， 并进行数学证明研究， 揭示了本 文构建的系统的稳定性和收敛性。
阶微分方程的超稳定振动性， 提高了系统的信噪比和
控制均衡性， 但是该数学模型在受到噪声干扰是具有
基金项目： 广东省教育厅、 财政厅立项资助课题 （编号： 2013WYXM0136） 阶段性研究成果。 作者简介： 刘志扬 （1964-） ， 男， 硕士， 副教授， 主要研究方向： 高等数学、 高教管理。
第 31 卷 第 12 期 2015 年 12 月
科 技 通 报
具连续变量的偶数阶非线性差分方程的振动性
』（ｙ （ ＞ ）ｆ ｕ ０ ，） ’）
分大 时 ，
＝ ，…， ｆ ｏ， 矗 ≥ ｌ ，
＝ｋ ， ｎ ￡ ２ ＋１…， ， ≥ｆ．
ｆ ， １
【一１ 州㈦ｙ ｔｙ ｔ ＞０ （ ） ‘ （）‘ ）
引理 ２ 设 凡是一个 正整 数 ，（ ） Ｙ ｔ 是 上 的 几次可微 函数 ， Ｙ ｔ 且 （）＞０ Ｙ ’ ｔ ０ ｔ ｔ， ｔ ， （）≤ ， ≥ １则 充
， ｔ ｋ－ ｆ 而 － ｙ１） － （ （． ｌｎ － ）
（） ６
ｙ） ｙ ） （ ＞（ ≥ ｔ 号
（ —ｃ） ｓ≥ ２ ，
令ｓ ， （） 豇 １ 了 （号， ｆ ２，然存 ≥ｔ 得 ＝ｔ 号 ≥１ 一２ ｙ（） ≥， ｔ ，在 ２， 得ｙ ｔ ｆ ≥２ ） 显 ３ 使 ｙ ） （≥ 号
下 面分 ２ 种情 形讨论 ．
（） ≥ 号
（ ４ ）
情形 １ ｋ ＝ ｎ 一 １ 注意 到 ｙｆ ． （）单 调 递 增 以 及 ｙ ’ｆ ‘ （）不 增 ，得 ｙ ￡ ＞ ｙ ） ≥ （） （ｔ
（ ， 扩
ｙ （ ） （１一 （ — ≥ 一）１ ； 一 一 ；
由 Ｙ （ ） ‘ ￡ 不增 及（ ） ， ５ 式 得
（ ）１ ＝ — — 一 ＝ ：； 一 ： ： 一 —
ｔ－（） ．ｋ－ ） －ｙ １ ｌ ．（
（） ５
ｙ（） ㈨号 ≥
根据 （ ） （ ） ， ４ ，６ 式 得
具 连 续 变 量 的 偶 数 阶 非 线 性 差 分 方 程 的振 动 性
天 死 吴云 龙
（ 长江师范学 院数学系 ， 重庆 摘 ４８０ ） ００３
要 ： 究 了具有连 续变量的偶数阶非线性 差分 方程 的振 动性 ． 研 通过利 用 累次积分 变换 和一些新 的技 巧 。 出了这 给
二阶非线性差分方程的振动性定理
若 ｛ Ｙ ｝是方程 （ ）和 （ ）的非振 动解 ，则存 在 Ｎ１ １ ２ ≥Ｎ＞ Ｏ使 得 当 ≥ ， Ｏ Ｎ Ｙ△Ｙ ＞ ．
下 面字母 ， ， ｓ是非 负整 数． 方便 我们记 为
（ 一 ｓ ‘）一 （ 一 ） 一 ＋ １ … （ 一 ｓ ） （ ） ＋ 一 １ ． ）
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第３ ３卷 第 １期 ２０ ０ ７年 １月
阜 师 范
ｏ Ｑｕ ｕ ｆ ｆ
学
报
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ １ １３ ．
Ｕｎｖ ｒ ｉｙ ｉｅ ｓｔ
Ｊｎ ０ ７ ａ ．２ ０
二阶非线性 差分方程 的振动性定理
张 慧①， 杨 德 馨②
的非减函数 ，一ｃ Βιβλιοθήκη ］ （ ｘ ｏ 的递减 函数． ）
个 条件 之一 成立
． ｃ ∑
上
一
定 理 １ 假 设条 件 （－ ，ｃ） （ ，（） 和 （） ｃ）（ ， ｃ） ３式 ４ 式满 足．如 果 存在 一个 正 的非 减序 列 ｛ 使得 下 面两 ｈ｝ （ｆ ｇ ） Ｌ ，对 ｙ ） （ ≥ ＞Ｏ ＥＲ， 中 Ｌ是 一 常数 ， 其
△ 口△Ｙ ） ． ， ｆ ｙ （ ＋ｐＡ Ｙ ＋ｑ （ ） ０ ＝ ， ０ １２ … 的振动性 的新的判定准则 ， ，， ， 补充 了某些已有振动准则．
关键 词 ： 时滞差 分方程 ； 振动
中圈分类 号 ： １５７ Ｏ ７．
文献标 识码 ： Ａ
文章编 号 ：０１ ３７２０ ）１ ０ ６ ５ １０— ３（０７０— ４— ５ ０ ０
（ ｛（ ） 是一 给定 的单调 递增 整数 序列 ， 口 ） ． ｃ） 口 ” ｝ 且 （ ≥ 最 近关 于 差分方 程 （ ）和 （ ）的解 的定 性研究 已有很 多结 果［ ］ 方程 （ ）可 以看作 方程 １ ２ １． １
下 面字母 ， ， ｓ是非 负整 数． 方便 我们记 为
（ 一 ｓ ‘）一 （ 一 ） 一 ＋ １ … （ 一 ｓ ） （ ） ＋ 一 １ ． ）
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第３ ３卷 第 １期 ２０ ０ ７年 １月
阜 师 范
ｏ Ｑｕ ｕ ｆ ｆ
学
报
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ １ １３ ．
Ｕｎｖ ｒ ｉｙ ｉｅ ｓｔ
Ｊｎ ０ ７ ａ ．２ ０
二阶非线性 差分方程 的振动性定理
张 慧①， 杨 德 馨②
的非减函数 ，一ｃ Βιβλιοθήκη ］ （ ｘ ｏ 的递减 函数． ）
个 条件 之一 成立
． ｃ ∑
上
一
定 理 １ 假 设条 件 （－ ，ｃ） （ ，（） 和 （） ｃ）（ ， ｃ） ３式 ４ 式满 足．如 果 存在 一个 正 的非 减序 列 ｛ 使得 下 面两 ｈ｝ （ｆ ｇ ） Ｌ ，对 ｙ ） （ ≥ ＞Ｏ ＥＲ， 中 Ｌ是 一 常数 ， 其
△ 口△Ｙ ） ． ， ｆ ｙ （ ＋ｐＡ Ｙ ＋ｑ （ ） ０ ＝ ， ０ １２ … 的振动性 的新的判定准则 ， ，， ， 补充 了某些已有振动准则．
关键 词 ： 时滞差 分方程 ； 振动
中圈分类 号 ： １５７ Ｏ ７．
文献标 识码 ： Ａ
文章编 号 ：０１ ３７２０ ）１ ０ ６ ５ １０— ３（０７０— ４— ５ ０ ０
（ ｛（ ） 是一 给定 的单调 递增 整数 序列 ， 口 ） ． ｃ） 口 ” ｝ 且 （ ≥ 最 近关 于 差分方 程 （ ）和 （ ）的解 的定 性研究 已有很 多结 果［ ］ 方程 （ ）可 以看作 方程 １ ２ １． １
带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动性
带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动性振动性可以定义为在一定的振幅和频率的情况下，在一定的时间或
空间上线性或非线性微分方程的响应。
考虑带有阻尼项的二阶非线性
微分方程的振动性，首先我们可以阳：
1. 非线性振动：即当微分方程中含有非线性项时，解会由定常状态到
非定常状态，最终回到定常状态，或者具有周期振荡性质，例如弹性
振动，气动振动和发电机振动。
2. 二阶微分方程的振动：考虑带有阻尼项的二阶非线性微分方程，其
解会受到限制，使得振动的振幅在时间的推移中总是变小，最终静止。
这种现象叫做振动的衰减。
同时，当振幅的变化振幅的变化频率与所
考虑的二阶微分方程的特征频率相符时，振幅就会得到增大，这种现
象被称为谐振扩大。
3. 阻尼对振动性方面的作用：当出现外力耧能驱动振动时，阻尼项能
够使振动的衰减加快，使得振动效果变得比较低，从而有节约能量的
功能；反之，当出现被动振动时，阻尼项则使振动的衰减减小，从而
提高了振动的持续时间和振幅，从而克服了振动的衰减而保持良好的
振动特性。
4. 动态效应：考虑带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动性，在某
些极端情况下，振动可能会非常剧烈，甚至出现振子不稳定的现象，
这是由于振子受外力驱动和阻尼影响而产生的动力学效应。
引起振动
的频率越高，该现象就越明显，从而使得振动性的改变变得更为显著。
总之，考虑带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动性，可以得到振
动的非线性行为、二阶微分方程的振动衰减以及阻尼对振动特性的影响，以及动态效应等多种现象，由此可以明确振动性的改变规律，可
以为后续优化及控制振动提供帮助。
二阶非线性中立型时滞微分方程的振动性定理
ｌ ｑ （ ） ｄ ｔ 一＋ 。 。 ，
Ｊ ｆ ０
则方程（ １ ） 是振动的。 证 明 设 ｚ （ ￡ ） 是 方程 （ １ ）的非振 动解 ， 不妨设 为最终 正解 ， 又 由于
ｌ ｉ ａ ｒ ｒ （ ）一＋ ∞ ， ｌ ｉ ｍ （ １ ＞ｔ ｏ ， 当ｔ ＞ｔ １ 时， 有 （ ） ＞０ ， ｚ（ ｒ （ ） ）＞ ０ ， ｘ （ ａ （ ） ） ＞０ ， 令
二 阶 非 线 性 中 立 型 时 滞 微 分 方 程 的 振 动 性 定 理
查 智 高 ， 王光 明 ， 韩 振 来
（ １ ． 厦 门大 学 数学科 学学 院 ， 福建 厦 门 ３ ６ １ ０ ０ ５ ； ２ ． 济南 大学 数 学科学 学 院 ， 山东 济南 ２ ５ ０ ０ ２ ２ ）
如 果存 在 函数 （ ｔ ， ｓ ）Ｅ Ｃ （ Ｄ， Ｒ） ， 满足 型
口 ５
一一 （ ￡ ， ｓ ）￣ ／ 可
， （ ， ）∈ Ｄ， 称 函数 Ｈ（ ￡ ， ） 属 于
Ｐ类 ； 如 果存 在 函数 ｈ （ ｔ ， ｓ ）Ｅ Ｃ （ Ｄ， Ｒ） ， 函数 ｆ Ｄ （ ￡ ）Ｅ Ｃ （ Ｅ ｔ 。 ， ＋ ∞） ， （ ０ ， ＋Ｏ ０ ） ）满足
中图分类号 ： ０ １ ７ ５ ． ７
文献 标识码 ： Ａ
Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． １ ３ ４ ８ ６ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． １ ６ ７ ３ —２ ６ １ ８ ． ２ ０ １ ４ ． ０ ６ ． ０ ０ ４
１ 问题 提 出
中立 型 时滞微 分方 程振动 性 的研究 成果 有很 多 ， 如 文献 ［ １— ６ ］ 。 文献Ｅ ５ ３研究 了非 线性 中立 型时 滞微
（ Ｈｄ ） ｒ （ ￡ ） ， （ ￡ ）∈ Ｃ Ｅ ｔ ０ ， ＋ ∞） ， ｒ （ ）≤ ｔ ， 口 （ ｆ ） ≤ ｔ 且 ｌ ｉ ａ ｒ ｒ （ ｔ ）一＋ Ｏ Ｏ ， ｌ ｉ ａ ｒ （ ￡ ）一＋ ∞ 。
二阶非线性阻尼差分方程的振动性
二阶非线性阻尼差分方程的振动性作者：田亚州孟凡伟来源：《科技视界》 2011年第23期田亚州1，孟凡伟2（1．青岛理工大学（临沂）山东费县273400：2．曲阜师范大学数学科学学院山东曲阜273165)【摘要】研究了一类含有中立项和阻尼项二阶非线性差分方程，运用Riccati变换，获得了该方程一切解均为振动的若干新的振动准则，推广和改进了文[3]和[8]的主要结果。
【关键词】振动性；二阶；差分方程Oscillation Criteria for Second-order Nonlinear Difference Equations with Damping TermsTIAN Ya-zhoul MENG Fan-weiz (1. Linyi District, Qingdao Technological University, Feixian Shandong, 273400;2.Department of Mathatics Qufu NomalUniversity, Qufu Shandong, 273165)【[Abstract】This paper studies oscillation for second-or-der nonlinear neutral delay difference equation with damping terms. Byusing Riccati transformation, Some new suffcient conditions for the osc/llation of each solution of the equation are obtained.MeanvThile, we generalize the main results of [3] and [8].【Key words】Oscillation; Second-or-der; Difference equations;0引言。
二阶非线性中立型差分方程的振动性
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第２ ８卷 第 １ 期 ２０ ０ ２年 ３ 月
延边 大学学 报 （ 自然科学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＹａ ｂａ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ ｎ ｉｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｏ ｙ（ ｔｒ ｌ ｉｎ ｅ Ｓ
ＶＯ ． ８ ＮＯ １ Ｉ２ Ｍ ａ ．２０ ２ ｒ Ｏ
方 程 （ ） 文 献 ［ ］中方 程 （ ） １为 １ １ 的离 散 型 方 程 ． Ｎ ＝ ｛ ， ， ； １２ … ，Ｎ（ ）＝ ｔ ’ ０ １ ， ０ ０ ７ ＋ ， １
…
ｊ Ｎ（ ｂ ＝ ｔ 口 ＋ １ … ． ｝ａ ＜ ｂ ．△ 为 向 前 差 分 算 子 ， ｘ（ ）＝ ｚ（ ＋ １ ， ｄ， ） ａ， ， ｂ（ ） ， ４ ）一
（ ， ” ， △ ｚ（ ）＝ △（ （ ） ． ） △ ）
近年 来 ， 于 二 阶 中立 型微 分 方 程 的振 动 性 已有 了许 多成 果 ， 关 于二 阶差 分 方 程 的成 关 但 果还 不 很 多 ， 文 在 此 基础 上 ， 究 了二 阶 非 线 性 中 立 型 差 分 方 程 （ ）的 振 动 性 ， 得 到 了 本 研 １ 并 方 程 （ ） 有 有界 解 振 动 的充 分条 件 ． １所
摘 要 ： 一类 二 阶非线性 中立 型差分 方程进行 了研 究 ， 到 了其 有 界解 的振 动性 结 果 对 得
关键词 ：中立型 ；振 动 ；最终正解 ；差分算子 中 图分 类号 ：Ｏ ７ ． １５７ 文献标识码 ： Ａ
０ 前 言
考 虑 差 分 方 程
ｆ
ｆ
△（（） ， 一∑ ｐ ， （ ） ＝∑ ｑ（） ｚ岛 ）， ，∈Ｎ ） ｚ ｚ 一 ） （） ” （（ （）） ｚ （０，
第２ ８卷 第 １ 期 ２０ ０ ２年 ３ 月
延边 大学学 报 （ 自然科学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＹａ ｂａ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ ｎ ｉｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｏ ｙ（ ｔｒ ｌ ｉｎ ｅ Ｓ
ＶＯ ． ８ ＮＯ １ Ｉ２ Ｍ ａ ．２０ ２ ｒ Ｏ
方 程 （ ） 文 献 ［ ］中方 程 （ ） １为 １ １ 的离 散 型 方 程 ． Ｎ ＝ ｛ ， ， ； １２ … ，Ｎ（ ）＝ ｔ ’ ０ １ ， ０ ０ ７ ＋ ， １
…
ｊ Ｎ（ ｂ ＝ ｔ 口 ＋ １ … ． ｝ａ ＜ ｂ ．△ 为 向 前 差 分 算 子 ， ｘ（ ）＝ ｚ（ ＋ １ ， ｄ， ） ａ， ， ｂ（ ） ， ４ ）一
（ ， ” ， △ ｚ（ ）＝ △（ （ ） ． ） △ ）
近年 来 ， 于 二 阶 中立 型微 分 方 程 的振 动 性 已有 了许 多成 果 ， 关 于二 阶差 分 方 程 的成 关 但 果还 不 很 多 ， 文 在 此 基础 上 ， 究 了二 阶 非 线 性 中 立 型 差 分 方 程 （ ）的 振 动 性 ， 得 到 了 本 研 １ 并 方 程 （ ） 有 有界 解 振 动 的充 分条 件 ． １所
摘 要 ： 一类 二 阶非线性 中立 型差分 方程进行 了研 究 ， 到 了其 有 界解 的振 动性 结 果 对 得
关键词 ：中立型 ；振 动 ；最终正解 ；差分算子 中 图分 类号 ：Ｏ ７ ． １５７ 文献标识码 ： Ａ
０ 前 言
考 虑 差 分 方 程
ｆ
ｆ
△（（） ， 一∑ ｐ ， （ ） ＝∑ ｑ（） ｚ岛 ）， ，∈Ｎ ） ｚ ｚ 一 ） （） ” （（ （）） ｚ （０，
非线性二阶微分方程的振动定理
非线性二阶微分方程的振动定理
林诗仲;俞元洪
【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2000(013)002
【摘要】建立了非线性二阶微分方程的新的振动定理,推广了最近文献中的结果【总页数】7页(P5-11)
【作者】林诗仲;俞元洪
【作者单位】海南师范学院数学系,海南海口 571158;中国科学院应用数学研究所,北京 100O80
【正文语种】中文
【中图分类】O176
【相关文献】
1.一类非线性二阶微分方程解的振动与非振动性 [J], 金楚华
2.非线性二阶微分方程的振动定理 [J], 仉志余;王晓霞;俞元洪
3.非线性二阶微分方程的振动定理 [J], 俞元洪;靳明忠;
4.带有阻尼项的二阶微分方程的振动性定理 [J], 孙元功
5.线性模型中二阶微分方程的超稳定振动性定理 [J], 刘志扬
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项 的二 阶非线 性 中立 型时滞 差分 方程
ｍ
△（（） ｂｎｘ ｒ）一∑ （） ｓ ） ｝ ０ｎ≥ｎ， ｎ ＋ （）（ ） — 。 ａ ｛（（ 一 ） ＝ ， ０ ｍｘ
（） １
其 中 ： ≥ １ ｆ １ ７≥ １ ≥ ０ ， ０（ ｍ ，≥ ， ， ， ≥ ＝１ ２ … ， 下 同 ， ） 为给定 的 自然数 ； 向前差 分 ， ， ， ｍ， 略 均 △为
在 实 际问题 的研 究 中 ， 滞差分 方 程 已被广 泛应 用 于 经济 金 融 、 空航 天 、 物 医药 、 算 机科 学 、 时 航 生 计 自动控 制技 术等 领域 ． 如 ， 例 中立 型时滞 差分 方 程在 高速 计算 机连 接开关 电路 的无 损耗 传输 网络 以及弹 性体 上质 点振 动 问题 中都有 着 其实 际应 用背 景 ；ｏｉｉ方 程在 生物 工程 和技 术革 新 等方 面 的应 用有 着 Ｌｇ ｔ ｓｃ 悠久 的历 史 ．因而对 时滞 差分 方程 定性 理 论 的 研究 引起 了大批 学 者 的 广泛 兴 趣 和高 度 关 注 ¨ ． 近几
ａ （ ） （ ＋１ （ ）△ ） （ ｘ ） ；ｂ ） ，ｇ ， ｝ ｘ ＝ ）一 ｎ ， （ ＝ａ ｚ （ ） ｛（ ｝ ｛ Ｒ， ） （ 且
（ ） ＞０ （ ｕ Ｍ≠ ０ ． ）
收稿 日期 ：０ １ ０ — ９ ２ １ — ７ ０
带最大值项 的二阶非 线性差分方程的振动性定理
杨 甲 山 ， 继猛 李
（ 阳学 院 理 学与信息科学系 ， 邵 湖南 邵 阳 摘 ４ ２０ ） ２ ０ ４
要： 研究 一类 带有最大值项 的二 阶非线性 中立 型时滞差 分方程 的振动性 ， 利用 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空间 的
不动点原理和一些分析技巧 ， 得到这类方程存在最终正解及方程振动 的充分条件 ． 关键词 ： 最大值项 ； 振动性 ； 动点原 理 ； 不 最终正解
２１ ０ ２年 ５月 第３ ６卷 第 ３期
安 徽 大学 学报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊｕｎ ｌ ｆ ｎ ｕ Ｕ ｉ ｒｉ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒａ ｏ ｈ ｉ ｎｖ ｓｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔｎ Ａ ｅ ｔ ｕ ｅ ｉ
Ｍ ａ ０１ ｖ２ ２ Ｖ０ ＿ ６ ． ｌ３ Ｎｏ ３
基金 项 目： 国家 自然科学基金 资助项 目（ １７． ２ ； １０ １２ ） 湖南省教育 厅 自然科 学基金重点资助项 目（ ９ ０ ２ ２ ０Ａ ８ ） 作者 简介 ： 甲山（ ９３ ） 男 ， 杨 １６ 一 ， 湖南城步人 ， 阳学院副教授． 邵 引文格式 ： 甲山， 杨 李继猛． 最大值项 的二阶非线性差分方程 的振 动性 定理 ［］ 安徽 大学学报 ： 带 Ｊ． 自然科 学版 ，０ ２ ２１ ，
年来 ， 由于实 际应 用 的需要 ， 于带 有最 大值 项 的差分 方 程 的有 关理 论 的研究 也 出现 了很 多 成果 ， 文 关 如
献 ［—Ｏ ． ４ １ ］但这些文献所研究的方程多为低 阶的或线性 的， 而关于带有最大值项 的高阶非线性差分方 程 的定性 理论 的研 究成 果 ， 已知 的文献 中 尚不 多见 ． 文 将研究 如 下一类 形式 非 常广泛 的带 有最 大值 在 论
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中 图 分 类 号 ： ７ ． ０１５ ７ 文 献标 志 码 ： Ａ 文章 编 号 ：００ ２６ （０２ ０ — ０ ９ ０ １０ — １２ ２ １ ） ３ ０ １ — ４
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在 实 际问题 的研 究 中 ， 滞差分 方 程 已被广 泛应 用 于 经济 金 融 、 空航 天 、 物 医药 、 算 机科 学 、 时 航 生 计 自动控 制技 术等 领域 ． 如 ， 例 中立 型时滞 差分 方 程在 高速 计算 机连 接开关 电路 的无 损耗 传输 网络 以及弹 性体 上质 点振 动 问题 中都有 着 其实 际应 用背 景 ；ｏｉｉ方 程在 生物 工程 和技 术革 新 等方 面 的应 用有 着 Ｌｇ ｔ ｓｃ 悠久 的历 史 ．因而对 时滞 差分 方程 定性 理 论 的 研究 引起 了大批 学 者 的 广泛 兴 趣 和高 度 关 注 ¨ ． 近几
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收稿 日期 ：０ １ ０ — ９ ２ １ — ７ ０
带最大值项 的二阶非 线性差分方程的振动性定理
杨 甲 山 ， 继猛 李
（ 阳学 院 理 学与信息科学系 ， 邵 湖南 邵 阳 摘 ４ ２０ ） ２ ０ ４
要： 研究 一类 带有最大值项 的二 阶非线性 中立 型时滞差 分方程 的振动性 ， 利用 Ｂ ｎｃ ａ ａｈ空间 的
不动点原理和一些分析技巧 ， 得到这类方程存在最终正解及方程振动 的充分条件 ． 关键词 ： 最大值项 ； 振动性 ； 动点原 理 ； 不 最终正解
２１ ０ ２年 ５月 第３ ６卷 第 ３期
安 徽 大学 学报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊｕｎ ｌ ｆ ｎ ｕ Ｕ ｉ ｒｉ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒａ ｏ ｈ ｉ ｎｖ ｓｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ ｄｔｎ Ａ ｅ ｔ ｕ ｅ ｉ
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基金 项 目： 国家 自然科学基金 资助项 目（ １７． ２ ； １０ １２ ） 湖南省教育 厅 自然科 学基金重点资助项 目（ ９ ０ ２ ２ ０Ａ ８ ） 作者 简介 ： 甲山（ ９３ ） 男 ， 杨 １６ 一 ， 湖南城步人 ， 阳学院副教授． 邵 引文格式 ： 甲山， 杨 李继猛． 最大值项 的二阶非线性差分方程 的振 动性 定理 ［］ 安徽 大学学报 ： 带 Ｊ． 自然科 学版 ，０ ２ ２１ ，
年来 ， 由于实 际应 用 的需要 ， 于带 有最 大值 项 的差分 方 程 的有 关理 论 的研究 也 出现 了很 多 成果 ， 文 关 如
献 ［—Ｏ ． ４ １ ］但这些文献所研究的方程多为低 阶的或线性 的， 而关于带有最大值项 的高阶非线性差分方 程 的定性 理论 的研 究成 果 ， 已知 的文献 中 尚不 多见 ． 文 将研究 如 下一类 形式 非 常广泛 的带 有最 大值 在 论
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中 图 分 类 号 ： ７ ． ０１５ ７ 文 献标 志 码 ： Ａ 文章 编 号 ：００ ２６ （０２ ０ — ０ ９ ０ １０ — １２ ２ １ ） ３ ０ １ — ４
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