第二章：正则语言

计算理论
1
1.1 有穷自动机
实际示例—自动门控制
前缓冲区
后缓冲区
REAR BOTH NEITHER
FRONT
FRONT REAR BOTH
CLOSED
OPEN
NEITHER
控制器处于CLOSED状态，假设如下输入信号：
FRONT, REAR, NEITHER, FRONT, BOTH, NEITHER, REAR, NEITHER, 考察状态的变化。
证明定理遇到困难，暂时放下 ——引入不确定性
21
主要内容
1.1 有穷自动机 1.2 非确定性 1.3 正则表达式 1.4 非正则语言
本章小结 作业
22
非确定性
非确定性体现在 转换规则——一入多出, 是空字——无入转态
q1
q2
1
q1
1
q2 q3
23
非确定性
0,1 1
q1
0,
q2
q3
0,1 1
体会形式化描述的优点
12
计算的形式化定义
设 M = (Q, , , q0, F) 是一台有穷自动机， w = w1w2…wn 是
一个字符串，并且 wi 是字母表 的成员。如果存在 Q 中的
状态序列 r0, r1, … , rn，满足下列条件： 1) r0 = q0
2) (ri , wi+1) = ri+1 , i = 0, 1, …, n–1
0,1 1
q1
0,1
0,1
q2
q3
q4
25
非确定性
例1.15 考虑图示的 NFA N ，它的输入字母表 {0}由一个符号 组成。只含一个符号的字母表称为一元字母表。考虑 它接受的语言。
0
0
0
0
0
26
非确定性
例1.16 考虑图示的 NFA N 。运行这台机器，判断其是否识别ε、 a、baba、baa、b、bb、babba。
010100100100100: accept 010000010010: reject
: reject
5
有穷自动机的形式定义
定义 1.1
有穷自动机是一个 5 元组 ( Q, , , q0, F )，其中
(1) Q 是一个有穷集合，称为状态集。
(2) 是一个有穷集合，称为字母表。 (3) : QQ是转移函数。
2
q0 1,<RESET>
q2
M5 以模3的方式记录 它在输入串中读到 的数字之和。
0
11
有穷自动机举例
例1.6 例1.5推广。对于每一个 i >=1，设 Ai 是所有这种字符串 的语言，其中数字之和是 i 的倍数。
M=( Q, , , q0, F )
Q={q0, q1, …, qi-1 }
(qj , 0) = qj (qj , 1) = qk , k = j+1 mod i (qj , 2) = qk , k = j+2 mod i (qj , <RESET>) = q0 , k = j+1 mod i
28
NFA 的形式化描述举例
例1.18 给出图示的 NFA 的形式化描述。
0,1 1
q1
0,
q2
q3
0,1 1
q4
29
NFA 计算的形式化定义
设 N = (Q, , , q0, F) 是一台 NFA， w = w1w2…wn 是一个字
符串，并且 wi 是字母表 的成员。如果存在 Q 中的状态序
考虑 N 有 箭头。 对于 M 的任意一个状态 R，定义 E(R) 为从 R 出发只沿着 箭头可以达到的状态集合，包括 R 本身的所有成员在内。 E(R) = { q | 从 R 出发沿着 0 或多个 箭头可以到达 q } 修改 M 的转移函数 (R,a)={ qQ | 存在 rR, 使得 qE((r,a)) } q0=E({q0})
定理 正则语言类在并运算下封闭。 1.22
N
N1
N2
设 构造
N1 = (Q1, , 1, q1, F1) N2 = (Q2, , 2, q2, F2) N = (Q, , , q0, F)
1(q,a) q Q1
(q, a)
{q21(,qq,2a})
q Q2 q q0且a
q q0且a
36
NFA与DFA的等价性
33
NFA与DFA的等价性
推论 一个语言是正则的，当且仅当有一台非确定型有穷自 1.20 动机识别它。
34
NFA 转换成等价的 DFA 举例
例1.21 将图示的 NFA N 转换成等价的 DFA。
1
b
a
2 a, b
a,b
b
{3}
Q ={ , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} }
9
有穷自动机举例
例1.4 给定有穷自动机 M4 的状态图。请给出形式化的描述， 并确定其能识别的语言。
s
a
a
b b
q1
r1
a
b
b
a
b q2
r2
a
10
有穷自动机举例
例1.5 给定有穷自动机 M5 的状态图。请给出形式化的描述， 并确定其能识别的语言。
0
2,<RESET>
q1
1
0,<RESET>
1
2
定理 正则语言类在连接运算下封闭。 1.23
N1
N2
N
37
NFA与DFA的等价性
定理 正则语言类在星运算下封闭。 1.24
N1
N
38
DFA和NFA能力等价
DFA机器易算，NFA 人易制造， 通常，人造NFA，让机器 把它变成DFA。
当用并行技术去实现时实际上是用NFA。 当对有指数个节点的树搜索和回溯（可能这里广度优先比深
度优先好），是用DFA。 直观解释：对应于NFA这样的简单并行，程序中可以串行化。
39
主要内容
q3 q2 q2
若 A 是机器 M 接受的全部字符串集，则称 A 是机器 M 的语 言，记作 L(M)=A，又称 M 识别 A 或 M 接受 A。
L(M1) = { w | w 至少一个 1并且在最后的1后面有偶数个0 } 7
有穷自动机举例
例1.2 给定有穷自动机 M2 的状态图。请给出形式化的描述， 并确定其能识别的语言。
(4) q0Q 是起始状态。 (5) FQ 是接受状态集。
6
有穷自动机举例
例 给定有穷自动机 M1 的状态图。请给出形式化的描述，并 确定其能识别的语言。
0
1
1
0
01
q1
q2
q3
q1 q1 q2
q2 q3 q2
0,1
M1 = ( {q1, q2 , q3} , {0,1} , , q1, q2 )
3) rn F 则 M 接受 w。
识别 定义
1.7 如果一个语言被一台有穷自动机
，则称它是
正则语言。
13
计算的形式化定义举例
例1.8 给定有穷自动机 M5 的状态图。令w是字符串 10<RESET>22<RESET>012
给出M5对w计算时进入的状态序列。
0
2,<RESET>
q1
1
0,<RESET>
列 r0, r1, … , rn，满足下列条件： 1) r0 = q0
2) ri+1 (ri , wi+1) , i = 0, 1, …, n–1
3) rn F 则 N 接受 w。
30
NFA与DFA的等价性
定理 每一台非确定型有穷自动机都等价于某一台确定型有 1.19 穷自动机。
1 q2
1
q1
1
0 q
1
0 q0
0
0,1
1
q00
q001
16
正则运算
定义 1.10
设 A 和 B 是两个语言，定义正则运算并、连接和星号 如下：
(1) 并： A∪B = { x | x∈A 或 x∈B } (2) 连接：AB = { xy | x∈A 且 y∈B } (3) 星号：A* = { x1x2…xk | k ≤ 0 且每一个xi ∈A }
q3
1
q5
1 q2 3 q1 1 1
q0
3 q4
1 1 q3 2
q5
{q1} → {q2, q3, q5}
3 q0
q2 ,q3 ,q5 1
q1 ,q4 2
q5 31
NFA与DFA的等价性
定理 每一台非确定型有穷自动机都等价于某一台确定型有 1.19 穷自动机。
设 N = (Q, , , q0, F) 是识别语言 A 的NFA。 假设 N 没有 箭头。
构造识别 A 的 DFA M = (Q, , , q0, F ) (1) Q=P(Q)
(2) 对于 RQ 和 a，令
(R,a)={ qQ | 存在 rR, 使得 q(r,a) }
(3) q0={ q0 }
(4) F = { RQ | R 包含 N 的一个接受状态 }
32
NFA与DFA的等价性
定理 每一台非确定型有穷自动机都等价于某一台确定型有 1.19 穷自动机。
19
正则运算
定理 正则语言类在连接运算下封闭。 1.13
证明思路 按照定理1.12证明思路试一下。 输入：M1接受第一段且 M2 接受第二段时，M才接受；
？ M不知道在什么地方将它的输入分开 （什么地方第一段结束，第二段开始)
20
举例
Consider the concatenation: 考虑下列连接 {1,01,11,001,011,…} • {0,000,00000,…} (That is: the bit strings that end with a “1”, followed by an odd number of 0’s.) Problem is: given a string w, how does the automaton know where the L1 part stops and the L2 substring starts? 如何知道L1 何处停止？ L2 何处开始？切分问题。
1
2
2
q0 1,<RESET>
q2
q0, q1, q1, q0, q2, q1, q0, q0, q1,q0
0
14
设计有穷自动机
例：设计有穷自动机 E1，假设字母表是{0,1}，识别的语言由 所有含有奇数个 1 的字符串组成。
0 qeven
0
1
1
qodd
15
设计有穷自动机
例1.9 设计有穷自动机 E2，使其能识别含有 001 作为子串组成 的正则语言。
q4
不确定性表现：
• q11 Y ? Y有两个可能状态: • 导致 q2 自动漂移到 q3
q1,q2
是否接受 “0110” 和 ”1”
0110——q1 q1 q2 q3 q4 q4
1——{q1, q2 ,q3}
24
非确定性
例1.14 设 A 是 {0, 1} 上倒数第三个符号为 1 的所有字符串组成 的语言，构造非确定性自动机。
q1
b
a
a
q2 a, b q3
27
非确定型有穷自动机的形式定义
定义 1.17
非确定型有穷自动机 (NFA) 是一个 5 元组 ( Q, , , q0,
F )，其中
(1) Q 是有穷的状态集。
(2) 是有穷的字母表。
(3) : QεP(Q)是转移函数。
(4) q0Q 是起始状态。 (5) FQ 是接受状态集。
E({1}) = { 1, 3 }
a
F = {{1}, {1,2}, {1,3}, {1,2,3} } 3 考察 {{2},{1},{3},{1,2},{2,3}, {1,2,3}, , {1,3}}
a
{1}
b
{2}
{1,2}
b
b
a
a {1, 3}
a {2,3}
a,b
a
a
{1,2,3}
b
b
35
在正则运算下的封闭性
17
正则运算
例1.11 设字母表 是标准的 26 个字母 {a, b, … , z}。又设
A={good, bad}, B={boy, girl}, 求A∪B , AB 和A*。
18
正则运算
定理 正则语言类在并运算下封闭。 1.12
如果A1和A2是正则语言，则A1∪A2也是正则语言。 设 M1 识别 A1， M2 识别 A2。并设 M1=(Q1, , 1,q1, F1) 和 M2=(Q2, , 2, q2, F2) 构造识别A1∪A2 的 M=(Q, , , q0, F) Q = Q1Q2 = {(r1, r2) | r1Q1 且 r2Q2} ((r1, r2), a ) = (1(r1,a), 2(r2,a) ) q0 = (q1, q2) F = {(r1, r2) | r1F1 或 r2F2}
0
1
1
q1
q2
0
M2 = ( {q1, q2} , {0,1} , , q1, q2 )
L(M2) = { w | w 以 1 结束}
8
有穷自动机举例
例1.3 给定有穷自动机 M3 的状态图。请给出形式化的描述， 并确定其能识别的语言。
0
1
1
q1
q2
0 L(M3) = { w | w 是空串或以 0 结束}
可以给出状态和信号之间的计算。
2
3
状态图
变换规则
状态Leabharlann Baidu
0 1
1 0
q1
q2
q3
起始状态
0,1
接受状态
4
状态图
0 1
1 0
q1
q2
q3
0,1
010: reject on input “1101”, the machine goes: 11: accept
q1 q2 q2 q3 q2
= “accept”