第二章：正则语言

计算理论

1.1 有穷自动机 实际示例—自动门控制

前缓冲区后缓冲区

CLOSED FRONT

OPEN NEITHER

FRONT

REAR

BOTH

REAR

BOTH

NEITHER

控制器处于CLOSED状态，假设如下输入信号：FRONT, REAR, NEITHER, FRONT, BOTH, NEITHER, REAR, NEITHER, 考察状态的变化。

q 1

q 2

q 3

1

0,1

1

状态

变换规则

起始状态

接受状态

q 1

q 2

q 3

1

0,1

1

q 1→q 2 →q 2→q 3→q 2 = “accept ”

on input “1101”, the machine goes:010: reject

11: accept

010100100100100: accept

010*********: reject ε: reject

有穷自动机的形式定义

定义1.1有穷自动机是一个5元组( Q, ∑, δ, q

, F )，其中

(1) Q 是一个有穷集合，称为状态集。

(2) ∑是一个有穷集合，称为字母表。

(3) δ: Q?∑→Q是转移函数。

(4) q0∈Q 是起始状态。

(5) F?Q 是接受状态集。

例给定有穷自动机M 1的状态图。请给出形式化的描述，并确定其能识别的语言。

M 1= ( {q 1, q 2 , q 3} , {0,1} , , q 1, q 2)

q 1

q 2

q 3

1

0,1

012

23

23221110q q q q q q q q q 若A 是机器M 接受的全部字符串集，则称A 是机器M 的语言，记作L(M)=A ，又称M 识别A 或M 接受A 。

例1.2给定有穷自动机M

的状态图。请给出形式化的描述，

2

并确定其能识别的语言。

01

1

q1q

2

M2= ( {q1, q2} , {0,1} , , q1, q2)

L(M2) = { w| w 以1 结束}

例1.3给定有穷自动机M

的状态图。请给出形式化的描述，

3

并确定其能识别的语言。

01

1

q1q

2

L(M3) = { w| w 是空串或以0 结束}

例1.4给定有穷自动机M 4的状态图。请给出形式化的描述，

并确定其能识别的语言。

q 1a b

a

q 2

r 1

r 2

s

b

b

a b

a

b

a

例1.5给定有穷自动机M 5的状态图。请给出形式化的描述，

并确定其能识别的语言。

q 0

2

0,

q 2

q 1

01,

2

1

1

2,M 5以模3的方式记录它在输入串中读到的数字之和。

例1.6例1.5推广。对于每一个i >=1，设A

是所有这种字符串

i

的语言，其中数字之和是i的倍数。

M=( Q, ∑, δ, q0, F )

Q={q0, q1, …, q i-1}

δ(q

, 0) = q j

j

δ(q

, 1) = q k , k = j+1 mod i

j

δ(q

, 2) = q k , k = j+2 mod i

j

δ(q

, ) = q0, k = j+1 mod i

j

体会形式化描述的优点

计算的形式化定义

定义1.7

如果一个语言被一台有穷自动机识别，则称它是

正则语言。

设M = (Q, ∑, δ, q 0, F) 是一台有穷自动机，w = w 1w 2…w n 是一个字符串，并且w i 是字母表∑的成员。如果存在Q 中的状态序列r 0, r 1, … , r n ，满足下列条件：1) r 0 = q 0

2) δ(r i , w i +1) = r i +1, i = 0, 1, …, n –1 3)r n ∈F 则M 接受w 。

计算的形式化定义举例

例1.8给定有穷自动机M 5的状态图。令w 是字符串

1022012

给出M 5对w 计算时进入的状态序列。

q 0

2

0,

q 2

q 1

1,

2

1

1

2,q0, q1, q1, q0, q2, q1, q0,

q0, q1,q0

例：设计有穷自动机E 1，假设字母表是{0,1}，识别的语言由

所有含有奇数个1 的字符串组成。

q odd

q even

1

1

例1.9设计有穷自动机E 2，使其能识别含有001 作为子串组成

的正则语言。

q 001

q

q 0

q 00

01

01

0,11

定义1.10设A 和B 是两个语言，定义正则运算并、连接和星号如下：

(1)并：A∪B = { x| x∈A 或x∈B}

(2)连接：A B = { xy| x∈A 且y∈B}

(3)星号：A* = { x1x2…x k| k≤0 且每一个x i∈A }

例1.11设字母表∑是标准的26 个字母{a, b, … , z}。又设A={good, bad}, B={boy, girl}, 求A∪B , A?B 和A*。

定理 1.12

正则语言类在并运算下封闭。

如果A 1和A 2是正则语言，则A 1∪A 2也是正则语言。

设M 1 识别A 1，M 2 识别A 2。并设

M 1=(Q 1, ∑, δ1,q 1, F 1) 和M 2=(Q 2, ∑, δ2, q 2, F 2)构造识别A 1∪A 2 的M=(Q, ∑, δ, q 0, F)

Q = Q 1?Q 2= {(r 1, r 2) | r 1∈Q 1且r 2∈Q 2}δ((r 1, r 2), a ) = (δ1(r 1,a), δ2(r 2,a ) )q 0= (q 1, q 2)

F = {(r 1, r 2) | r 1∈F 1或r 2∈F 2}

定理

1.13

正则语言类在连接运算下封闭。

证明思路按照定理1.12证明思路试一下。

输入：M

1接受第一段且M

2

接受第二段时，M才接受；

？M不知道在什么地方将它的输入分开（什么地方第一段结束，第二段开始)