专升本资料5-1(多元函数微分学).docx

四川省普通高等学校“专升本”选拔《高等数学》考试大纲(理工类)总体要求考牛应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。

应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。

考试用时:120分钟考试范围及要求--- *函数、极限和连续二一元函数微分学三一元函数积分学四向量代数与空间解析几何五多元函数微分学1.了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极限与连续性概念(对计算不作要求)，会求二元函数的定义域。

(1)多元函数①二元函数：z = /(x, y)②三元函数：u = /(兀，y, z)③(2)二元或二元以上的函数：u = /(X), x2, x3, .......... , x n) (z = f(P)) (n>2)二元函数的几何意义二元函数2 = /(扯刃的图形是一个曲面，曲面在貯面上的投影就是定义域。

(3)二元函数的定义域一元函数y = /(x)的定义域：通常可用区间(开区间、闭区间、半开半闭区间，这些区间可为有界也可是无界)或用关于x的不等式表示.二元函数z = /(x,y)的定义域D :由使函数式z = /(x,y)有意义的点P(x,y)的全体构成。

通常由一条或儿条曲线(称为D 的边界)围成的xoy 面上的一部分，可用区域(开区域、 闭区域、有界开区域或有界闭区域，无界开区域或无界闭区域)。

可用关于兀、y 所确定的不等 式组表示。

(3)二元函数的极限① 定义 设函数Z=/(■刃在点佗(兀0，儿)的附近有定义(在点人处函数可无定义)，如 果动点P(x,y)沿任意路径趋近于定点£(兀0，儿)时，/(■刃总是趋于一个常数A ,则称A 为函 数f(x, y)当P (兀,y) t P Q (x 0 , y 0)时的极限,记为lim /(x , y) = A 或lim /(x , y) = A 或 lim /(P) = A ・xTx 。

(x ，刃T^o ,0)P T %y->yo② 注：i 定义中P(x 』)—佗(兀0，九)是沿任意路径的；ii 若动点P 以某一种特殊方式(沿某特殊直线或曲线)趋于点乙时，/(P)无限接近A , 不能得出lim f(P) = A 的结论；iii 当动点P 以不同方式或不同路径趋于几时，/(P)趋于不同值，则lim/(P) —定不PTf存在；(4)二元函数的连续性定义 设函数z = /(x, y)在点P {}(x 0 , y 0)的某个邻域内有定义，如果当点P(x.y)趋近于点P {} (x 0, y ())时,函数z = f(x, y)的极限存在,lim /(x, y) = /(x 0，儿)或.y->v 0则称函数z = f(x , y)在点心(兀0 ,儿)处连续。

定义 设函数z = f(x,y)在点p 0(x 0,y 0)的一个邻域内有定义，若当自变量x 、y 的增量 Ax 、趋近于零时，对应的函数的全增量Az 也趋向于零，即lim Az = 0 △ XT () △尸0贝！J 称函数z = f(x, y)在点P ()(x 0 , y°)处连续。

2. 理解偏导数的概念，了解全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。

(1) 偏导数y=yo且等于它在点花处的函数值，即lim /(P) = /(P 0)①z = /(.y)在点(兀。

，A 。

)处对兀的偏导数:dzlim /(兀0+山』0)一/(尤0?0)心T°心③ z = f （x, y ）在任意点处对X 的偏导数：肇、dx oxlim /（兀+心，刃一/（兀，刃 A TT O 心④ ZW ）在任意点处对y 的偏导数：詈、敷（S ）、<、./>»（2）全微分定义①定义如果二元函数z 二f （x , y ）在点（心，儿）处的全增量山可以表示为:Az = AAx + 5Ay + 6y这时，称函数z = /（兀，y ）在点（兀0 ,儿）处可微。

如果函数z = /（x,y ）在区域D 内每一点都可微，则称函数z = /（x,y ）在区域D 内可微。

②全微分与偏见导数的关系如果函数z = /（x, y ）在点（x, y ）处可微，则函数z = /（x, y ）在点（兀，y ）处的偏导数dz dz 卄 4 工[] 4 d z 小 dz—，「存在，而且A = — , B = —o ox dy ox dy贝 lj 称 AAx+BAydz 为函数z = f （x, y ）在点（兀0 ,儿）处的全微分，记为dz ・=A Ax + B Ay其中A 、B 与心、Ay 无关, co 是p = J （心尸+（Ay ）2的高阶无穷小，即②z = f （x, y ）在点（x 0 , y Q ）处对y 的偏导数:dz dfdydy A =V 0y=yoZy Xfy=r 0/v(^oOo )'/；(x 0,y 0)=lim^ △yTO △ y =lim 山・T O /（兀0，%+△!）—/（兀0，儿）limA AT ()lim- QT0 p=0.dzP.dJz.dy dx d y(3)函数的可微性、可偏见导性、连续性的关系z = .fO,y)可微=> z = /(x, y)连续=> z = /(x, y)的极限存在。

z = /(x, y)可微=> z = /(x,y)可偏导。

z = f(x , y)的偏导存在且连续=> z = f(x, y)可微 z = f(x, y) nJ 偏导与z = f(x, y)连续 没有关联。

在(0,0)处可偏导，求g ：(0,0), g ；(0,0)・例2(成都理工大学2013：理科一一选择题3分)设/(兀,刃=(* + 0血^^宀尸工0,则在(0,0)处有【】0 x 2 + y 2 =0(A) f(x,y)在(0,0)不连续； (B) f(x,y)在(0,0)偏导数不存在(C) /(x, y)在(0,0)连续且偏导数存在但不可微；(D) /(x, y)在(0,0)可微£(兀，刃，fy(^ y)连续是Z = /(x, y)可微的()条件.3. 掌握二元函数的一、二阶偏导数的计算方法。

:把y 看成为常数，把z = /(x,y)视为兀的一元函数，对兀求导.例1考察函数y) = < x 2 + y 2x 2 +)，工 o x 2 + y 2 =0在(X,刃T (0,0)时的极限是否存在。

(x,y) H (0,0)(兀,y) = (0,0)例3 (攀枝花学院：理科解答题5分) (A)必要 (B)充分(C)充要 (D)无关dx把x 看成为常数，把z = f （x ,刃视为y 的一元函数，对.y 求导.dz dz du dz dv--------- ------ ----------------------- —|— --------------------dx du dx dv dxZ = f(u ,v) , u = (pg y), v = dz _ dz du dz 3v dx du dx dv dx dz _ dz du dz dv dy du dy Sv dy（3）多元复合函数的中间变量一个为二元函数，一个一元函数2= /(w , v), u =(p(x. y), v = p(兀) dz dz du dz dv—= -------- + ------- dx du dx dv dxdz dy器、£：（匕刃、d 2za?d 2zdxdyd 2zdydx4. 掌握复合函数的一阶偏导数的求法（包括抽象函数）。

(1) 多元复合函数的中间变量为一元函数z = /(w,v), U =(p(x), V =U ——X V ----- X E6-13（2） 多元复合函数的中间变量为二元函数 、fryy) > 、（兀,刃、 图6—14E6-15dz _ dz du dy dudy(4) 多元复合函数为抽象函数形式若函数没有由自变量具体地表示出來，这样的函数称为抽象函数，如z = /(sin 号，0")等。

例1 (攀枝花学院：文科一一解答题5分)z = w 2In v,w = —, v = 3x-2y, 求丰，半.y dx dy例 2 设 z = f(xy,x 2+y 3),求学, ox dy例3 设 z = / [ln(x + 2>j )9 sin(x 2 + y 3), e xy ],求肇，饕.ux dy5. 会求二元函数的全微分(不包括抽象函数)。

dz=^dx ^dydx d y例(成都理工大学：文科一一选择题4分)设z = Jx 2+ y ,则rfz|(1J)=【6・掌握由方程F(“,z) = O 所确定的隐函数z = z(x,y)的一阶偏导数的计算方 法。

(1)二元方程F(. y) = 0确定的隐函数y = f\x)的导数:例(攀枝花学院2013：文科一一解答题5分)设由方程"+ x + 2二sin (工+ y)确定的一个隐函数y = y(x),求— dx(2) 三元方程F(x.y.z) = 0所确定的隐函数z = z(x,y)的偏导数dz = ^dx(必』0),dzUX H --Bydy(勺』o ) (A) —(dx^dy) (B) dx^dy(D)逅(dx + dy)dy = F^x,y) dx~F ；(x,y)解答题5分）求由方程e-xy ^2x-ke z =ln3 + e 2所确定的隐函数z = z （x,y ）的全微分血・例2（成都理工大学2014：理科一一填空题4分）13.设函数z = z （x 9y ）由方程（p （x 2-z 2, e z +2y ）=0确定,其中（P 具有连续偏导数，则 dz _ dz _ H ------------------- ，訂 ------------------ ；7.会求空间曲线的切线和法平面方程，会求空间曲面的切平面和法线方程。

（1）曲面F （X 9y,z ） = 0在其上的点（x （） , y 0 , z 0）处的切平面方程切平面的法向量：n ={耳（兀。

，y 0 , z 0）, F y （x 0 , , z 0）, F z （x 0 , y 。