尺规作图的历史和难题
三大尺规作图问题
引人入胜的千古难题——三大尺规作图问题尺规作图是我们熟知的内容。
尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。
直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。
公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。
在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。
于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。
数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。
尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。
所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。
传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。
起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。
人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。
这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。
任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。
于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。
但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。
于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。
正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。
古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。
尺规作图法简介
一、尺规作图在中学就知道，几何作图所使用的工具是严格限制的，只准用圆规和直尺，直尺不能有刻度，不能使用量角器及其他任何工具．其实，这种限制自古希腊就有而且沿用至今．为什么要加以这样的限制呢？比如说，要找出一个线段的中点来，就不可以先用（有刻度的）尺去量，看它的长度是多少，然后取这个长的一半，再用这一半去量就找出中点来了．何必一定要用无刻度的直尺和圆规去寻求呢？是自己跟自己过不去吗？古希腊认为，所有的几何图形是由直线段和圆弧构成的，圆是最完美的，他们确信仅靠直尺和圆规就可绘出图形来．古希腊人十分讲究理性思维，讲究精确、严谨．他们认为依据从少数假定出发的、经由逻辑把握的东西最可靠．例如前面所说的寻求一已知线段AB 的中点问题，作图的步骤是：1．以 A 为圆心，以一适当长度为半径画弧；2．又以 B 为圆心，以同样的长度为半径画弧；3．这两弧相交于两点，作两点连线，此连线与已知直线之交点即为所求之中点．然后，要根据已知几何命题来证明这个点必是中点．人们认为，这不仅是最可靠地找到了中点，而且体现了一种完美的思路和做法．正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的．人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年．17 世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如F i = 22i+ 1的数.费马的一个著名猜想是，当n》3寸，不定方程x n+ y n= z n没有正整数解•现在他又猜测F i都是素数，对于i = 0, 1, 2, 3, 4时，容易算出来相应的F i:F o= 3, F! = 5, F2 = 17,F3=257，F4=65 53725验证一下，这五个数的确是素数. F5=225+1 是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积:F5= 641X6 700 417 .当然，这一事例多少也说明: 判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6, F7也不是素数，F8, F9, F10 , F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道•至今，人们还只知F o , F1, F2, F3 , F4这样5个数是素数.由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i＋1 的素数只有有限个.但对此也未能加以证明.当然,形如F i=22i+1 的素数被称为费马素数.由于素数分解的艰难,不仅对形如F i=22i+1的数的一般结论很难做出,而且具体分解某个F i 也不是一件简单的事.更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20 岁左右之时发现,当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的,他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k或2k>p1 xp2X^xp其中，P1 , P2,…，P s是费马素数.正7 边形可否尺规作图呢？否！因为7 是素数，但不是费马素数．倒是正17 边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17 边形．根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257 边形．就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连．正17 边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17 等分，其图形更觉完美、好看．高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17 边形图案．高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为 3 和 5 都是费马素数(3=F o, 5 = F i)；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13 都不是费马素数；对于正257 边形、正65 537 边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为4= 22,因为6= 2 "3 而3=F0 •从古希腊流传下来的几何作图还有三大难题，一个是化圆为方问题，即求作一正方形，使其面积等于已知圆的面积；二是倍立方体问题，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的体积；三是将一任意角三等分．某些特殊角的三等分并不困难，例如将90°的角、 1 35 °的角三等分并不难，但是任意角就不一样了．例如，60°的角，你试试看，能否将它三等分？现在已有了结论，告诉你不要再试了，否则是白费时间了．可以取单位圆作代表，其面积即为n那么，化圆为方的问题相当能吗？古希腊人对化圆为方的问题有极大兴趣，许多人进行研究．这一研究推动了圆面积的近似计算，促进了极限思想的萌生，但是并没有解决化圆为方的问题．另外两大难题虽也没解决，但也促进了对另一些数学问题的研究．尺规作图的实质在于限制只使用两种工具的条件下通过有限步骤完成作图．长度为任一有理数平方根的线段来．当然还可通过有限步骤作出长度为一有理数平方根的平方根的线段来．我们把凡能用尺规经有限次步骤作出的线段或量叫做“可作几何量”．可以证明，“可作几何量”就是那些有理数经有限次+、-、X羽和开方这类运算得到的量•否则叫不可作几何卓”量•化圆为方的问题直至19世纪才得到答案：它是不可能的•因为可作几何量".这一悬而未决、延宕两千多年的古老问题，最终得以解决.属“不可作几何量”，所以，倍立方体问题的答案也明确了：不可能！再以60。
尺规作图
B D D`
B`
O
C
A
O`
C`
A`
证明：连接DC,D’C’ ,由作法可知 在△COD和△C`O`D` 中 OB =O`B` CD =C`D` OC=O`C` △C`O`D`≌△COD(SSS), ∴∠C`O`D`=∠COD(全等三角形的对应角相等) 即∠A`O`B`=∠AOB。
3．作已知角的平分线.
∴ ABD ACD ( AAS )
BD CD
C
角平分线上的点至角两边的距离相等
角平分线的性质-2
已知
B D A B ，C D A C ， B D C D
试证明： D 在角平分线上
证明 联结AD
在 △ABD 和 △ACD 中 ∵ AD AD
BD CD
B
D B A D C A 90
A
D
∴ ABD ACD (RHS )
BAD CAD
CLeabharlann 得证 D点在角平分线上谁来闯荡江湖,牛刀小试?
（不写已知，求作，作法）
(1)．作线段PQ=BC；
(2)．作∠EDF=∠ABC ； (3)．作射线AG平分∠ABC；
B
A
C
二、利用基本作图作出其它图形
已知两边及其夹角，求作三角形．（不写
尺规作图是起源于古希腊的数学课题
古希腊人说的直尺，指的是没有刻度的直尺。他 们在大量的画图经历中感觉到，似乎只用直尺、 圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几 何图形，因而，古希腊人就规定，作图时只能有 限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行，并称 之为尺规作图法。 漫长的作图实践，按尺规作图的要求，人们作出 了大量符合给定条件的图形，即便一些较为复杂 的作图问题，独具匠心地经过有限步骤也能作出 来。到了大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊 人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。
八年级数学上册 尺规作图(习题及答案)(人教版)
八年级数学上册尺规作图(习题及答
案)(人教版)
尺规作图是一种古老的几何学方法，可以使用尺子和圆规来进行几何图形的构造。
在练中，我们需要注意作图语言的描述是否正确，例如延长线段、作平分线、作弧等。
同时，我们还需要掌握一些基本的作图方法，如已知边长作等边三角形、作角平分线等。
在完成题目时，要保留作图痕迹，并根据题目要求进行精确的构造。
尺规作图起源于古希腊的数学课题，其目的是使用圆规和直尺有限次来解决平面几何作图问题。
XXX是最早提出作图要有次数限制的人，但由于政治原因被囚禁并判处死刑。
在狱中，他用一根绳子画圆、用破木棍作直尺来思考改圆成方等问题，因此尺规作图也被称为“安那萨哥拉斯问题”。
尺规作图的三大难题包括：化圆为方问题、三等分角问题和倍立方问题。
其中，化圆为方问题要求求出一个正方形的边长，使其面积与一已知圆的面积相等；三等分角问题要求求出一角，使其角度是一已知角度的三分之一；倍立方问题要求求出一立方体的棱长，使其体积是一已知立方体的二倍。
以化圆为方问题为例，其解法为：（1）作线段AB使AB=a；（2）分别以点A、点B为圆心，a长为半径作弧，两弧交于点C；（3）连接AC、BC。
则△XXX即为所求。
尺规作图数学史
尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.平面几何作图，限制只能用直尺、圆规.在历史上最先明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯.他发现以下作图法：在已知直线的已知点上作一角与已知角相等.这件事的重要性并不在于这个角的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这个问题.在这以前，许多作图题是不限工具的.伊诺皮迪斯以后，尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在《几何原本》之中.初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条：⑴ 经过两已知点可以画一条直线；⑵ 已知圆心和半径可以作一圆；⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点；以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题.历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角；⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1r 时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴ 正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规，作正六边形.·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题.⑵ 四等分圆周只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸：用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.五种基本作图：初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法：⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等，发射塔P 应修建在什么位置？m【分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P 应满足两个条件，一是在线段AB 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ；⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ；则射线OD ，OE 与直线FG 的交点1C ，2C 就是发射塔的位置.⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例2】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.【分析】 设半径为1.也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这个长度..1的直角三角.【解析】 具体做法：⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2，.）⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图形发生联系，从而发现作图途径.【例3】 已知：直线a 、b 、c ，且a b c ∥∥.求作：正ABC ∆，使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c ba D'DCB Acba【分析】 假设ABC ∆是正三角形，且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ，将ABD∆绕A 点逆时针旋转60︒后，置于'ACD ∆的位置，此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒，B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法：⑴ 在直线a 上取一点A ，过A 作AD b ⊥于点D ； ⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ； ⑶ 过'D 作''D C AD ⊥，交直线c 于C ；⑷ 以A 为圆心，AC 为半径作弧，交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧). ⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆. ABC ∆即为所求.⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出满足全部的条件.【例4】 已知：一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ，使得D 、E 在BC 边上，F 在AC 边上，G 在AB 边上.C BAG'F'E'D'G FED CBA【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件，作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ，然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法：⑴ 在AB 边上任取一点'G ，过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ，且使'E 在'BD 的延长线上. ⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ；作''FE F E ∥交BC 于E . ⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D . 则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形.【例5】 如图，过ABC ∆的底边BC 上一定点，P ，求作一直线l ，使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积，所以首先作中线AM ，假设PQ 平分ABC ∆的面积，在AMC∆中先割去AM P ∆，再补上ANP ∆.只要NM AP ∥，则AM P ∆和AM P ∆就同底等高，此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法：⑴ 取BC 中点M ，连接,AM AP ;NM P CB AlC⑵ 过M作MN AP∥交AB于N；⑶ 过P、N作直线l.直线l即为所求.。
尺规作图小史话
尺规作图小史话
山东石少玉
尺规作图有着悠久的历史.这里的“尺”指的是没有刻度的直尺，主要用来在两点间连接一条线段，或将线段向两方延长；这里的“规”指的是“圆规”，是用来画圆的工具.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.
在数学史上，首先提出尺规作图限制的是古希腊的安那萨哥拉斯，他因政治上的问题，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其它有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.由于监狱条件简陋，他不可能用规范的圆规作图，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这样尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规来解决问题.但最早以理论形式具体明确这个规定的则是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人们所崇尚的尺规作图规则也一直被遵守并流传下来.
由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的就是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其它工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的制约，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡儿创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明了立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了 是无理数，因此化圆为方问题也不可能用尺规作图解决.这才结束了历时两千年的数学难题公案.
1。
华师大版数学八年级上册《阅读材料 由尺规作图产生的三大难题》说课稿3
华师大版数学八年级上册《阅读材料由尺规作图产生的三大难题》说课稿3一. 教材分析华师大版数学八年级上册《阅读材料由尺规作图产生的三大难题》是一节阅读材料课，通过介绍尺规作图产生的三大难题，让学生了解数学史上的重要事件，提高学生学习数学的兴趣，培养学生数学思维能力。
本节课的内容包括：了解尺规作图的定义，掌握尺规作图的基本方法，了解三大难题及其历史背景，了解三大难题的解决过程及对数学发展的影响。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了初中数学的基本知识，对几何图形的认识有一定的基础。
但是，对于尺规作图的定义和方法，以及尺规作图产生的三大难题的历史背景和解决过程，学生可能比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生逐步理解尺规作图的概念，了解三大难题的产生背景，以及感受数学发展的历程。
三. 说教学目标1.了解尺规作图的定义和基本方法。
2.了解尺规作图产生的三大难题及其历史背景。
3.了解三大难题的解决过程及对数学发展的影响。
4.培养学生的数学思维能力，提高学生学习数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.尺规作图的定义和基本方法。
2.尺规作图产生的三大难题及其历史背景。
3.三大难题的解决过程及对数学发展的影响。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、阅读法、讨论法等多种教学方法。
在讲解尺规作图的定义和方法时，采用讲授法，引导学生掌握基本概念；在介绍三大难题及其历史背景时，采用阅读法，让学生自主阅读教材，了解数学发展历程；在讲解三大难题的解决过程时，采用讨论法，引导学生分组讨论，共同探讨问题的解决方法。
六. 说教学过程1.导入：引导学生回顾已学的几何知识，提问：“你们知道什么是尺规作图吗？”让学生复习旧知识，为新课的学习做好铺垫。
2.讲解尺规作图的定义和方法：详细讲解尺规作图的定义，通过示例让学生掌握尺规作图的基本方法。
3.阅读教材：让学生自主阅读教材，了解尺规作图产生的三大难题及其历史背景。
4.讲解三大难题的解决过程：针对三大难题，分别讲解其解决过程，让学生了解数学发展的历程。
尺规作图专题
尺规作图专题作者: 日期:尺规作图专题1、尺规作图的定义所谓尺规作图，就是只准有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图。
最早提出几何作图要有尺规限制的是古希腊的哲学家安那萨哥拉斯。
他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被处死刑。
传说，在监狱里，他思考化圆为方以及其它有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活。
他不可能用规范的作图工具，只能用一根绳子画图，用随便找来的破木棍、竹片之类作直尺，当然这些“尺”上就不可能有刻度。
另外，对他来说，时间是不多了。
因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题。
后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里得，他在《几何原本》中对作图作了三条规定（公设）。
由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来。
2、尺规作图的要求①直尺必须没有刻度，可以无限长，且只能使用直尺的固定一侧。
只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。
②圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。
它只可以拉开成你之前构造过的长度或一个任意的长度•3、尺规作图的三大不能为问题古希腊人说的直尺，指的是没有刻度的直尺。
他们在大量的画图经历中感觉到，似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形，因而，古希腊人就规定，作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行，并称之为尺规作图法。
漫长的作图实践，按尺规作图的要求，人们作出了大量符合给定条件的图形，即便一些较为复杂的作图问题，独具匠心地经过有限步骤也能作出来。
到了大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。
①三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
②立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
③化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
这就是著名的古代几何作图三大难题，它们在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。
五种基本尺规作图及三大史诗级难题
五种基本尺规作图及三大史诗级难题数学让生活更有趣尺规作图是古希腊几何学中的一项重要内容。
早在公元前5世纪，古希腊数学家们就已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规来作图了。
在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是画两种图形的工具，只有用尺规做出的图形才是可信的。
在历史上，明确提出作图只能使用直尺和圆规的人，首推伊诺皮迪斯，他在公元前465年前后发现，只用没有刻度的直尺和圆规，就可以过已知直线的一个点上作一个角与已知角相等，这件事的重要性在于，它启示人们在尺规的限制下，从理论上去解决这个问题。
五种基本尺规作图1、作一条线段等于已知线段；2、作已知线段的垂直平分线；3、作已知角的角平分线；4、作一个角等于已知角；5、过一点作已知直线的垂线；1、作一条线段等于已知线段已知：如图，线段a .求作：线段AB，使AB = a .作法：（1）作射线AP；（2）在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。
2、作已知线段的垂直平分线已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO作法：（１）分别以M、N为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．则直线PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线3、作已知角的角平分线已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于线段MN一半为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（3）作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
4、作一个角等于已知角作法：（1）作射线O’A’；（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；（4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；（5）连接O’N’并延长到B’。
则∠A’O’B’就是所求作的角。
尺规三等分角是什么
尺规作图三等分角是在公元前五世纪由古希腊人提出来的难题，该命题已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的。
该问题的完整叙述为：在只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分。
在尺规作图（尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图）的前提下，此题无解。
三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”、“化圆为方问题”一起被称为“古代三大几何难题”。
两千多年来，从初学几何的青少年到经验丰富的学者，数以万计的人都曾经研究过“三等分角问题”，希腊数学家阿基米德(Archimedes，前287-前212年)曾用线条作图法宣称解决了“三等分角问题”；帕普斯(Pappus，约公元300年)在它有独创性的名著中曾证明用一固定双曲线也能解“三等分角问题”：希腊数学家尼科梅达斯(Nicomedes．公元前二世纪)称他的“蚌线法”也可三等分一个角，直至1837年，法国数学家旺策尔(Wantzel，pierrela urene，1814-1848)才用代数的方法证明了尺规作图不可能(任意角三等分)。
尺规作图
古希腊的三大几何难题
• 1.三等分角问题：将任一个给定的角三等分。 • 2.立方倍积问题：求作一个正方体的棱长， 使这个正方体的体积是已知正方体体积的 二倍。 • 3.化圆为方问题：求作一个正方形，使它 的面积和已知圆的面积相等
高斯的发现
• 最先突破的是德国数学家高斯（17771855）1796年年仅19岁的高斯宣布他发 现了正十七边形的作图方法时，在数学界 引起巨大的震憾。
B D D`
B`
O
C
A
O`
C`
A`
• 证明： ,由作法可知 • △C`O`D`≌△COD(SSS), • ∴∠C`O`D`=∠COD(全等三角形的对应角 相等)， • 即∠A`O`B`=∠AOB。
B
E
C
O
D
A
• 1、在OA和OB上，分别截取OD、OE，使 OD=OE。 • 2、分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径 作弧，在∠AOB内，两弧交于点C。 • 3、作射线OC。 • 4、OC就是所求的射线。
不幸的挪威数学家阿贝尔
• 此后，挪威数学家阿贝尔利用置换群的理 论，给出了高于四次的一般代数方程不存 在代数解的证明。 • 阿贝尔简介：
• （阿贝尔：Abel,1802.8~1829.5）任何一部数学 家词典中的第一人，是十九世纪最伟大的数学家 之一，是挪威空前绝后的最伟大的学者。……后 人整理他的遗著花了150年。
· 作一条线段等于已知线段 · 作一个角等于已知角 · 作已知线段的垂直平分线 · 作已知角的角平分线 · 过一点作已知直线的垂线
1、作一个角等于已知角
• 已知： AOB(图1) • 求作： A`O`B`,使 A`O`B`= AOB
B
D D`
尺规作图的三大难题
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尺规作图的三大难题
作者：顾志勇
来源：《初中生世界·八年级》2015年第10期
古希腊人用尺规作图，主要目的在于训练智力，培养逻辑思维能力，所以对作图的工具有严格的限制.他们规定作图只能用直尺和圆规，而他们所谓的直尺是没有刻度的.正是在这种严格的限制下，产生了种种难题.
相传德利安人为了摆脱某种瘟疫，遵照神谕，必须把阿波罗的立方体祭坛的体积扩大一倍.后来，这个问题提到柏拉图那里，柏拉图又把它交给了几何学家.这就是著名的倍立方问题.除倍立方问题外，还有三等分任意角、化圆为方（作一正方形，使其面积等于给定的圆面积）等问题.
在数学史中，很难找到像这样长期被人关注的问题.两千多年以来，无数人的聪明才智倾注于这三个问题而毫无结果.但对这三个问题的深入探索，促进了希腊几何学的发展，引出了大量的发现.如圆锥曲线、许多二次和三次曲线以及几种超越曲线的发现等；后来又有关于有理数域、代数数、超越数、群论和方程论若干部分的发展.直到19世纪，即距第一次提出这三个问题两千年之后，这三个问题才被证实在所给的条件下是不可能解决的.
现在还有不少人创造了各种各样的辅助工具，用来解决这些尺规作图无法解决的问题.下面的工具就可以用来解决三等分任意角的问题（这样的作图就相当于用量角器三等分任意角，已不属于尺规作图范畴）.你能说出其中的道理吗？
（作者单位：江苏省海安县城南实验中学）。
阅读材料由尺规作图产生的三大难题
华东师大2011版八年级上册第十三章全等三角形阅读材料由尺规作图产生的三大难题湖北省宜昌市英杰学校袁璐大家好！我今天说课的内容是华东师大2011版八年级上册，第十三章全等三角形，阅读材料——由尺规作图产生的三大难题。
下面，我从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学模式、教具准备、教学过程和板书设计八个方面来说这节课。
一、教材分析尺规作图以严密的逻辑推理，成为数学教学中独具一格的教学内容。
它能够培养学生更加强烈的图形意识,能够更加深入的培养初中生的画图能力,能够给于学生更加强大的空间感。
所以，尺规作图知识虽然篇幅简短，但不可忽略其作用。
在学习尺规作图后，对尺规作图不能问题进行一个简单的探究，对数学历史进行一个简要的介绍，让学生体会到尺规作图的简单美和精确美，从而感受数学独有的文化魅力。
二、学情分析经过本章前一课时的学习，学生已经了解了尺规作图的基本要求，掌握了尺规作图的5种基本作图，能有选择地使用作图工具，完成需要的图形。
学生对尺规作图的接受度较高，对尺规作图的便利性有了较深的体会。
但对尺规作图的研究历史缺乏，对尺规作图还存在片面的认识。
因此，要通过本节课的学习，力争达到以下教学目标。
三、教学目标1、通过阅读材料，了解尺规作图三大难题的具体内容，了解数学发展的历史，渗透数学文化教育，激发学生对数学的热爱；2、在已有的尺规作图经验下，引导学生独立思考、合作交流，通过三等分任意角问题，引导学生发现并初步探究尺规作图不能问题；3、传播数学文化，提高学生的数学史素养，激起学生对数学知识探索的欲望，学习数学家们的永不放弃、不停探索的科学精神。
根据以上教学目标和学生已有的认知基础，我确定了本节课的教学重点，教学难点，及如何突出重点，突破难点。
四、教学重难点：教学重点：尺规作图的基本要求，认识由尺规作图产生的三大难题。
教学难点：提高学生的数学史素养，激起学生对数学知识探索的欲望，学习数学家们的探索精神。
小学数学教学中尺规作图的价值及教学策略
数学领域的研究过程离不开工具的辅助和应用。
尺规作图源于古希腊，是研究数学几何的一种尤为重要的方法，也是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下文简称《课标（2022年版）》）中针对小学数学“图形与几何”课程教学的新增内容。
小学阶段的学生没有太強的逻辑思维能力，在学习数学知识时难以在没有外部工具辅助的情况下通过想象构建具体的图形与模型。
在此阶段采用尺规作图法，既可以帮助小学生更加直观地感受和理解课本知识，也可以在锻炼小学生的实际动手操作能力时促进小学生逻辑思维的形成，为他们日后的数学学习奠定基础。
一、尺规作图的诞生与发展从字面意义理解，尺规作图指借助直尺和圆规进行几何图形绘制的一种辅助学习数学的方式，它在“几何与图形”课程教学与学习中具有重要意义。
《课标（2022年版）》将尺规作图的学习从中学阶段提前到了小学阶段，文件要求教师通过尺规作图培养学生的动手能力和几何直观能力，逐步提高学生的核心素养，此举引起了教育行业的广泛关注。
在数学研究领域中，每一种辅助研究的方式都是在历史的不断发展中诞生和完善。
尺规作图的诞生和发展经历了三个主要的历史阶段。
第一个阶段是雅典时期，也是尺规作图兴起的时期，它最初在希腊数学史中出现。
尺规作图主要的两个工具是没有刻度的直尺和圆规，前者可以画出无限延长的直线，后者可以在确定定点后画出不同大小的圆，二者结合则可以画出多种不受限制的结合图形。
在这一阶段，尺规作图凭借要求低和能进行智力训练的特点广受欢迎。
第二个阶段主要以欧几里得在《几何原本》中提出的有关尺规作图的内容为主，他提出了五条尺规作图公设，即过两个不相交的点可以确定一条线段；延长线段可以确定一条直线；一个圆心和一条半径可以确定一个圆；直角相等以及有关三条直线相交的平行公设。
第三个阶段是尺规作图的三大难题。
一是在有一已知圆的基础上做出与之面积相等的正方形；二是只通过没有刻度的直尺和圆规将任意一个确定的角进行三等分；三是在有一已知立方体的基础上作出体积为其两倍的另一立方体。
阅读材料由尺规作图产生的三大难题-华东师大版八年级数学上册教案
阅读材料：由尺规作图产生的三大难题本文内容来自《华东师大版八年级数学上册教案》，主要介绍尺规作图时可能遇到的三大难题。
一、立方不可能倍
立方不可能倍，这是由公元五世纪时柏拉图学派数学家希帕索斯发现的。
他试图用尺规作图将边长为1的正方体的体积倍增，但失败了。
后来，正如哥德尔证明数学的不完备性一样，费马、笛卡尔等数学家证明了希帕索斯定理的正确性。
二、圆面积无理可求
圆却是无理数和欧拉数e的悖论。
早在公元前四世纪时，希腊数学家麦涅尼斯发现了圆周率，但直到二千年后人们才发现，用尺规作图无法得到一个正方形面积与一个圆面积相等的长和宽比。
这是因为圆的面积是不可理解的数学悖论，一如虚数，永远无法表示为一个有限的小数，因此也不能使用尺规作图。
三、三等分角度难题
尺规作图可以将一个角度分成2、4、8等份，但无法分成3、5、6等份。
这
是因为尺规作图中基本构件只有直线和圆，而三等分角度需要平分圆周角，这实际上是一种立方根问题，即要求解三次方程的根，而尺规作图仅适用于一、二次方程。
结语
尺规作图虽然有其限制性和局限性，但古希腊数学家依然用它成功地解决了许多几何问题。
今天，尺规作图也是数学勾股定理，勾股题等几何问题的重要工具之一。
同时，三大难题的发现也让人们更加深入地理解了数学及其应用的局限性。
数学世界三大难题
数学世界三大难题位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。
大约公元前6世纪到4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。
这延续了两千多年才得到解决的世界性难题:要求只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规进行几何作图：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵立方倍积问题：求作一个立方体，使它的体积是一个已知立方体的体积的两倍；⑶化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积是一个已知圆的面积。
它们在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。
许多学者都致力于这三个问题的研究，企图用尺规作图来解决这些问题，但一直未获成功。
直到1887年23岁的万芝尔，首先证明“三等分角”和“立方倍积”都是尺规不能问题。
他的证明基础：解析几何诞生之后，人们知道直线和圆，分别是一次方程和二次方程的轨迹。
而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题，从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题，最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。
具体方法是这样的：假设已知立方体的棱长为1，所求立方体的棱长为x，应有x3=2。
但此方程无有理根，32超出了有理数加、减、乘、除、开平方的运算范围，超出了尺规作图准则中所说的数量范围，所以它是不可能解的问题。
1882年，林德曼借助于e iπ=—1证明了 是超越数，从而也证明了“化圆为方”是尺规不能问题。
虽然这三大问题已被解决，但是现在世界各地还有许许多多的数学爱好者还在研究它们，四川省乐山市叮咚街有一个租书的老汉就研究这三个问题三十年，痴心不改。
你打入“世界三大数学难题”去google搜索，572,000条有关信息马上就跳出来。
足见这三大问题在推动数学发展的同时，自身所具有的跨越时空的迷人魅力。
近代数学史有四色猜想、费马大定理，歌德巴赫猜想。
1637年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de Fremat）在“算术”的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：a n+b n=c n是不可能的（这里n大于2；a，b，c，n都是非零整数)。
尺规与作图
尺规与作图作者：刘玮来源：《中学科技》2012年第01期悲剧啊——发现“百牛定理”的毕达哥拉斯认为，世界是由自然数构成的，一切数都可以表示成整数之比。
可是，希帕索斯用他的定理证明了不能表示成两个整数的比。
又一场悲剧啊——第一个发现无理数的希帕索斯竟被处死了。
鹏飞：“数学每前进一小步，人类都要付出巨大的甚至是血的代价。
”皓天：“可喜的是，人们终于认识到除了可用整数之比表示的有理数之外，自然界还存在无理数。
不过无理数毕竟很少。
”鹏飞笑道：“少？可以证明，对于自然数N，若不是整数便都是无理数！像、、、、……除了正方形数，其余自然数的平方根都是无理数。
”“怎么证明？比如你证明是无理数给我看看呢。
”“好的。
”鹏飞随手在一张小纸头上边写边说，很快就证明了出来（证明方法略）。
皓天：“这么说来，对于任何整数N，只要不能开出整数解便都是无理数了！”鹏飞：“是呀！其实对于任意有理数的n次方根，是即约分数，可以化成 = ，若开不出整数解，便也都是无理数。
”皓天：“还应该是有理数多吧？”“还有不带根式的无理数，如圆周率π、自然对数的底e等都是无理数。
”“那到底是有理数多还是无理数多？”“任意一个有理数加、减、乘或除一个无理数都是无理数！”皓天：“这么说来，无理数是数中一个非常庞大的家族了，如果在实数轴上把无理数的点都去掉，那只会留下支离破碎的一些点了。
幸亏有了希帕索斯的发现，才将数轴填满！”鹏飞：“数是非常神奇的，正如毕达哥拉斯所认为的那样，‘万物皆数’，许多看来和数毫不相关的问题实际上都和数有关。
”皓天知道又有戏了：“愿闻其详！”鹏飞在办公室里绕着皓天踱着步，搜索着准确表达他想法的词句：“古希腊人的思想和观念是极其纯粹的，柏拉图和毕达哥拉斯就是那个时代的代表。
在他们的头脑中有两个世界，一个是现实世界，一个是理念世界。
现实世界是可见的世界，它是粗糙模糊、变化不定的，而理念世界只能用心灵之眼去观察，它是恒常永驻、精准无误的。
尺规作图的历史和难题
尺规作图的历史和难题中国篇俗话说：“不以规矩，不成方圆”，究竟什么是“规”，什么是“矩”？ “规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股. 矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前. 《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代. 春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性国际篇古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图. 古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被处以死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来. 由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
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尺规作图的历史和难题
中国篇
俗话说：“不以规矩，不成方圆”，究竟
什么是“规”，什么是“矩”？
“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在
我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”
就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成
直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其
中短尺叫勾，长尺叫股.
矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.
《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.
春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性
国际篇
古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.
古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被处以死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.
由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：
三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
这就是著名的古代几何作图三大难题，它们在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。
从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。
也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。
可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。
其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。
可是谁也想不出解决问题的办法。
三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。
后来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出？
数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪里？可这依然是十分困难的问题。
高斯的发现
历史的车轮转到了17世纪。
法国数学
家笛卡尔创立解析几何，为判断尺规作
图可能性提供了从代数上进行研究的手
段，解决三大难题有了新的转机。
最先突破的是德国数学家高斯。
他于
1777年4月30日出生于不伦瑞克一个
贫苦的家庭。
他的祖父是农民，父亲是
打短工的，母亲是泥瓦匠的女儿，都没
受过学校教育。
由于家境贫寒，冬天傍
晚，为节约燃料和灯油，父亲总是吃过
晚饭就要孩子睡觉。
高斯爬上小阁楼偷
偷点亮自制的芜菁小油灯，在微弱的灯
光下读书。
他幼年的聪慧博得一位公爵
的喜爱，15岁时被公爵送进卡罗琳学院，
1795年又来到哥庭根大学学习。
由于高
斯的勤奋，入学后第二年，他就按尺规
作图法作出了正17边形。
紧接着高斯又
证明了一个尺规作图的重大定理：如果
一个奇素数P是费尔马数，那么正P边
形就可以用尺规作图法作出，否则不能作出。
由此可以断定，正3边、5边、17边形都能作出，而正7边、11边、13边形等都不能作出。
高斯一生不仅在数学方面做出了许多杰出的成绩，而且在物理学、天文学等方面也有重要贡献。
他被人们赞誉为“数学王子”。
高斯死后，按照他的遗愿，人们在他的墓碑上刻上一个正17边形，以纪念他少年时代杰出的数学发现。
最后的胜利
解析几何诞生之后，人们知道直线和圆，分别是一次方程和二次方程的轨迹。
而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题，从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题，最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。
因此，一个几何量能否用直尺圆规作出的问题，等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。
这样一来，在解析几何和高斯等人已有经验的基础上，人们对尺规作图可能性问题，有了更深入的认识，从而得出结论：尺规作图法所能作出的线段或者点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方（指正数开平方，并且取正值）所能作出的线段或者点。
1837年，23岁的万芝尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想，证明了立方倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决
实际上万芝尔还证明了一个被称为高斯——万芝尔定理：如果边数N可以写成如下形式N＝2t·P1·P2……Pn，其中P1、P2、…Pn都是各不相同的形如22k ＋1的素数，则可用尺规等分圆周N份，且只有当N可以表成这种形式时，才可用尺规等分圆周N份。
根据这一定理，任意角的三等分就不可能了。
1882年，林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案. ，宣布了多年来，人类征服几何三大难题取得了重大胜利。
正十七边形
步骤一给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，
在OB上作C点使OC=1/4OB，
在OA上作D点使∠OCD=1/4∠OCA 作AO延长线上E点使得∠DCE=45度步骤二
作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，
此圆交OB于F点，再以D为圆心，作一圆
过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
步骤三
过G4作OA垂直线交圆O于P4，
过G6作OA垂直线交圆O于P6，
则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。
以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。