用多种正多边形铺设地面
“用多种正多边形拼地板”课件
多种正多边形的组合拼接
多种正多边形的组合拼接是指使用两种或两种以上的正多边形来铺满整个地面。 这种方法的优点是能够创造出更加丰富多样的图案和纹理。
多种正多边形的组合拼接适用于需要更加复杂和个性化的地板设计，如马赛克、 拼花等。
商业场所如购物中心、餐厅等，可以 通过正多边形拼地板来打造吸引顾客 的地面设计。
室外装饰
在室外空间，如广场、庭院等，使用 正多边形拼地板可以营造出富有艺术 感的地面景观。
游戏设计
益智游戏
正多边形拼地板可以作为益智游 戏的素材，如拼图游戏、解谜游
戏等，提供有趣的挑战。
儿童游戏
儿童可以通过正多边形拼地板来学 习形状和几何知识，提高空间认知 能力。
美观与实用性的平衡
优化材料选择
选择具有良好美观度和耐用性的材料，以确保地 板既美观又实用。
色彩搭配
通过合理的色彩搭配，提高地板的美观度，同时 避免过多的颜色和图案对视觉造成干扰。
功能性设计
在保持美观的同时，考虑地板的实用功能，如防 滑、耐污等性能。
新材料和新技术的应用
新型材料的应用
研究新型材料，如碳纤维、玻璃纤维等，以提高地板的强度、韧性 和美观度。
3
拼接方式
多个等边六边形可以拼接成更大的六边形或八边 形等。
等边七边形
特点
01
七条等长的边，七个内角相等。
适用场景
02
在地板拼图中，等边七边形可以用于构成更复杂的设计，如十
四边形。
拼接方式
03
多个等边七边形可以拼接成十四边形。
03
正多边形拼地板的方法
单一正多边形的拼接
用多种正多边形铺设地面
详细描述
正方形有四条边，每条边的长度相同，四 个内角都是90度。这种形状的稳定性和对 称性使得正方形在铺设地面时非常实用。 它经常被用于各种室内和室外地板设计， 例如家居瓷砖、商业大厦的地板以及公共 广场。此外，正方形还经常用于制作具有 艺术效果的拼图或马赛克。
正六边形的铺设
总结词
正六边形是一种优雅且实用的单一正多边形。
这个问题在现实生活中有很多实际应用，比如在建筑设计、室内设计、道路铺设 等领域。通过对多种正多边形的研究，我们可以更好地了解如何使用不同的形状 和大小的多边形来创造出美观、实用、符合设计要求的地面。
研究目的和意义研究目的源自通过对多种正多边形的研究，找出能够铺设地面的正多边形的组合方式，并探讨这些组合方式的规律和特点。
02
基础知识
正多边形的定义与性质
正多边形
一个平面图形，若其所有内角都相等，且每个内角都小于 180°，则称其为正多边形。
性质
正多边形的周长和面积都是整数，且具有轴对称性和中心对 称性。
欧拉公式与镶嵌定理
欧拉公式
对于任意一个凸多面体，其顶点数V、面数F和棱数E之间存在关系V + F - E = 2。
缺点
相对于相同边长的组合，设计难度较大，需要精确计算 和布局。同时，不同边长的多边形在铺设时也需要更多 的材料和时间成本。
混合多边形的组合
组合方式
同时使用不同边长和不同种类的多边形组合铺设地面，可以实现更为复杂和丰富的视觉效 果。例如，将正方形、正三角形、正六边形等不同边长和形状的多边形混合搭配使用。
、大型广场等。
07
结论与展望
研究结论
多种正多边形可以有效地铺设地面，提高空间利用率和美观度。
在不同的情况下，不同的正多边形会有不同的适用性。例如，在空间利 用率方面，正六边形最佳，正四边形次之，正三角形最差；在美观度方
七年级数学下册《用多种正多边形铺设地面》优秀教学案例
b.在铺设过程中，如何解决图形之间的无缝拼接问题？
c.如何计算所需多边形的数量？
3.小组讨论：学生进行热烈的讨论，相互交流观点，共同解决问题。
4.汇报：各小组选派代表汇报讨论成果，分享解决问题的方法和经验。
（四）总结归纳
1.对正多边形的定义、性质进行回顾和总结。
2.归纳正多边形组合铺设地面的方法和步骤。
七年级数学下册《用多种正多边形铺设地面》优秀教学案例
一、案例背景
在七年级数学下册的教学过程中，学生对平面几何的知识已有一定的基础，掌握了基本的图形概念和性质。《用多种正多边形铺设地面》这一章节的教学，旨在引导学生运用已学的几何知识，探索几何图形在实际生活中的应用，提高学生的空间想象能力和问题解决能力。通过本节课的学习，学生将了解到正多边形的性质，学会运用不同的正多边形组合铺设地面，培养他们的观察、思考、创新和合作能力。
3.强调本节课的重点：掌握正多边形的性质，学会运用正多边形组合铺设地面。
（五）作业小结
1.课后作业：布置与正多边形铺设地面相关的作业，巩固所学知识。
a.画出一个正三角形和一个正六边形，计算它们的内角和。
b.选择一个实际场景，设计一个正多边形铺设地面的方案，并计算出所需多边形的数量。
2.课堂小结：对本节课的学习内容进行简要回顾，鼓励学生在课后继续思考、探究正多边形的知识活中的铺设地面问题为情境，激发学生的好奇心和探究欲望。通过将教材知识与生活实际相结合，让学生在轻松愉快的氛围中感受数学的魅力，提高学习兴趣。
2.问题导向，培养思维能力
本案例采用问题导向的教学方法，引导学生主动探究正多边形的性质和铺设方法。设计具有启发性和挑战性的问题，促使学生在解决问题的过程中，锻炼逻辑思维和创新能力。
用多种正多边形铺设地面教学设计
多边形的情况：
验、合作、创
从准备的材料中任
造力]
取三种正多边形进
这是在前面
行组合，探讨有哪
的实践---认
些组合能铺满地面，
识的基础上，
铺满地面的关键是
再实践---再
什么，并用数学知
认识的过程，
识给予论证
是一个不断
探究的学习
过程，在这样
的活动中鼓
3.能否用数学知识验证你的结论？
励学生大胆
4.总结：
创新，同时亦
种地砖铺满地面，在每个顶点的周围，正方形，正三角形地砖的块数可以分
别是( )
A．2，2 B．2，3 C．1，2
D．2，16、如图①，②，③，
用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”，我们称之为环形密铺．但图
④，⑤不是我们所说的环形密铺．请你再写出一种可以进行环形密铺的正多
边形：_____________
（五）布置作业,检验真知 《同步练习册》P58-59
4
C.正三角形和正十二边形 D.正方形和正六边形
4．某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形状的地砖，现打算购买另 通 过 练 习 加
一种不同形状的正多边形地砖，则该学校不应该购买的地砖形状是（ ） 深理解记忆，
A．正方形 B.正六边形 C.正八边形 D.正十二边形
巩固新知。
5.某中学阅览室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两
形的情况：
边形，它们的内角和：
60º+90º+108º+120º=378º>360º
故四种以上正多边形不能拼地板。
（三）总结概括、巩固新知
教学过程
学生活动
设计意图
华东师大七年级下册9.3.2用多种正多边形铺设地面
课题：§9.3.2用多种正多边形铺设地面执教教师：泉州现代中学李须治指导教师：泉州现代中学张建南泉州七中陈景文【教学目标】1、知识与技能：通过用多种正多边形铺设地面的活动，使学生进一步理解正多边形能够铺满地面的道理，体会平面图形的性质及其位置关系。
2、过程与方法通过猜想、动手操作、小组交流等形式判断多种正多边形能否铺面地面，再通过计算说明能铺满的理由，提高学生研究和解决实际问题的能力。
3、情感态度培养学生主动参与、合作、交流的意识，进一步提高学生动手操作、自主探究、合作学习的能力。
【教学重点】多种正多边形能铺满地面的理由.【教学难点】对多种正多边形能够铺满地面的道理的理解。
【教学过程】一、情境导入小明家刚买了新房，准备装修，小明想给新房的地面铺上地板砖，上一节课，我们在帮他用同一种正多边形的地砖铺设客厅的过程中，得到了一些结论，我们一起来回顾一下。
1、用同种正多边形铺满地面的条件是什么？2、哪些正多边形可以单独密铺？3、它们能密铺的理由是什么？小明这段时间又留意到了一些漂亮的地砖图案，我们一起来欣赏一下。
今天我们继续来当一名小小的设计师，用多种正多边形为小明的新房设计地板。
为了探索哪些正多边形组合能铺满地面，先复习正多边形的每个内角的大小。
完成下表。
【设计意图】创设情境，激发学生的学习兴趣。
在情境中回忆旧知：密铺的条件是什么？复习每个正多边形的内角度数，为后续多种正多边形的密铺方案探索作铺垫。
二、动手操作，获取新知探究一：他打算用从边长相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中选择其中两种．．铺设卧室地板，1、猜想：但是他不知道如何组合，你们觉得哪些组合可能可以密铺？2、小组活动，动手操作：从边长相同的五种正多边形中任意选择其中两种铺设卧室地板哪些组合能铺满，摆出你的方案，并写出你的理由。
每个内角的大小 60° 90° 108° 120° 135°3、记录结果：疑问：在刚才的探索过程中，有没有哪些组合无法铺满地面的？说说你的理由。
用多种正多边形铺设地面ppt课件
B.正五边形和正十边形
21
1.平面图形的密铺指没有空隙和不重叠的拼接; 2.用一种或多种正多边形铺满地面的关键是：围绕一点拼在一起的几个内角
加在一起恰好组成一个周角，这是多边形铺满地面的必须条件。
3.有那些图形能组成平面密铺
22
12
小结：
两种正多边形 正三角形
的类型
Hale Waihona Puke 四边形围绕一点每种
正多边形的个 ３
２
数
正三角形 正六边形
４
１
或
或
２
２
正八边形 正方形
２１
正十二边形 正三角形
２１
围绕一点拼在 一起的各角的 度数和
３６０°
３６０°
３６０°
３６０°
规律：
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角 (360°)时，就能拼成一个平面图形。
6
（1）正三角形与正方形
60 ° 90 °
60 °
60 ° 60 ° 60 °
90 ° 90 °
7
(2)正三角形与正六边形
60° 60°
8
（3）正三角形和正十二边形
9
10
(4)正方形与正八边形
思考：还有其它的组合吗？
90 °
11
围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时， 就拼成一个平面图形。就说它们能铺满地面。
16
17
正十二边形、正六边形和正方形的组合。
18
19
用两种或两种以上的正多边形铺满地面，关键是满足围绕一点拼在一起 的几种正多边形的内角之和等于360°
20
选择题（可能有多个答案）
用多种正多边形铺设地面分析
）
C. 3种 D. 4种 ）
2. 下列边长都相等的正多边形的组合能够铺满地面的是（ A.正三角形和正方形 C.正方形和正六边形 B.正三角形和正十二边形 D. 正三角形、正方形和正六边形
3.下列图形组合中，能够铺满地面的是（
A.任意一种三角形和任意一种四边形
）
B.正五边形和正十边形
用正三角形和正六边形可以铺满地面吗？ 可以的话，请说出分别需要几个？不可以的 话，请说明理由
解：设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正六 。 。 边形的角，则有 。
m· 60 +n· 120 =360
m+2n=6 m=4
∵ m,n 为正整数
m=2
∴解为
n=2
n=1
正六边形、正方Leabharlann 和正三角形的组合。上一页下一页
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小结：
两种正多边 形的类型
正三角形 四边形 正三角形 正六边形 正八边形 正方形 正十二边形 正三角形
围绕一点每 种正多边形 的个数
围绕一点拼 在一起的各 角的度数和
３
２
４ 或 ２
１ 或 ２
２ １
２ １
３６０° ３６０° ３６０° ３６０°
规律：
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和 加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就能拼 成一个平面图形。
60 ° 90 ° 60 °
60 ° 60 ° 60 ° 90 ° 90 °
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60°
60°
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（3）正三角形和正十二边形
90 °
思考：还有其它的组合吗？
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用多种正多边形铺设地面
三、用三种正多边形密铺
三种正多边形的密铺条件：
给定的三种正多边形，当围绕一点拼在一起的几 个内角加在一起恰好组成一个周角( 360°)时， 就能密铺地面。
即：已知第一种正多边形的内角度数为α，第二 种正多边形的内角度数为β，第三种正多边形 的内角度数为γ. 则密铺条件为：m·α+ n·β + k·γ=360° （m，n,k为正整数）
2、常见两种正多边形铺满地面的有： 正三角形与正方形；正三角形与正六边形 正三角形与正十二边形；正方形与正八边形
3、常见三种正多边形铺满地面的有： 正三角形、正方形、正六边形； 正方形、正六边形、正十二边形
小结二：
1、已知第一种正多边形的内角度数为α， 第二种正 多边形的内角度数为β，第三种正多边形的内角度数 为γ
（A ）
A 正三角形、正方形、正六边形 B 正三角形、正方形、正五边形 C 正方形、正五边形 D 正三角形、正方形、正五边形、正六边形
练习1：若铺满地面的瓷砖的每个顶点处由6块相同的正
多边形组成，此时的正多边形只能是（ A ）
A 正三角形 B 正方形 C 正六边形 D 正八边形
观察：
思考： 一种正多边形的密铺条件对于两种正多边形密铺 的情况同样适用吗？
①只用一种正多边形密铺条件： m·α=360°（m为正整数） ②两种正多边形组合密铺条件： m·α+ n·β =360°（m，n为正整数） ③三种正多边形组合密铺条件： m·α+ n·β + k·γ=360°（m，n,k为正整数） 转化思想： 密铺条件转化为方程的正整数解
作业：
1、复习本堂课的内容，掌握正多边形密铺的条件， 理解记忆常见的可以密铺的一种或两种组合的 正多边形
用多种正多边形铺设地面
人要独立生活，学习有用的技艺。 —— 凯德
谢谢大家！
多边形：③正三角形与正十二边形、④
、
三种正多 ①正三角形、正方形与正六边形、 边形： ②正方形、正六边形与正十二边形、
③
探索与欣赏
1.用相同的正多边形或者多种正多边形都
能铺设地板，那么我们用不规则的基本图形 能否铺设平面呢？
探索与欣赏
2.荷兰艺术家埃舍尔，除了用常规的基本图形作镶嵌外
，还利用几何学的反射、变换、旋转等原理，设计用动物、
植物等作图形镶嵌，使镶嵌艺术达到惊人的地步。下面欣赏
几幅精美的拼图。
①
②
3.阅读材料
教材P91-92
多姿多彩的图案
③
④
课外延伸
足球一般用黑和白 32块皮子拼接而 成.黑的是正五边 形，12块，白的 是正六边形，20 块.
课后作业
1.教材P91习题9.3 第1、2、3题； 2.完成练习册本课时的习题.
正五边形、正十边形呢？
围绕一点能拼 成360º，但能 扩展到整个平 面，即铺满地
面吗？
144 108 108 360
尽管能围绕一点 拼成360º，但不 能扩展到整个平
面。
挑战：用三种正多边形组合铺设地面
例如：
120 90 90 60 360
正三角形、正方形、正六边形
正三角形、正方形、正十二边形
正三角形、正六边形
正方形与正八边形
正四边形和正八边形的每个内角分别为90°、135°
围绕每一点的所有角和为 2×135°+90 ° = 360°
正十二边形、正三角形
150 150 60 360
用两种正多边形组合能否密铺地面的关键：
用多种正多边形铺设地面
“用正多边形铺设地面”说课稿长春市第103中学杜娟本节课选自华东师大版数学教材七年级下册第九章第七节课的教学内容“用正多边形铺设地面”。
本节课设计思路：从学生已有的认知水平出发，通过对生活中多边形铺设地面的现象进行观察，通过用正多边形模拟铺设进行亲身体验，从中探索正多边形铺设地面的规律，进而用这种规律来解释哪些正多边形（组合）可以铺设地面，哪些不可以铺设地面的道理。
一、教学目标：知识与技能:理解和掌握使用正多边形铺设地面的规律。
过程与方法:通过小组合作动手实验、观察总结、探索交流等数学活动探索正多边形铺设地面的规律。
情感态度与价值观:经历小组合作与探索交流的过程，培养学生的合作意识，提高运用数学知识解释实际问题的能力。
二、学习目标：1．熟练计算正多边形内角度数，巩固多边形的内角和公式与外角和。
2．通过实验观察，从中发现用正多边形铺设地面的关键是围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角的度数和等于 360°。
三、教学环节设计：本节课设计了以下几个教学环节：1、课前预习与准备。
1、n边形的内角和公式：2、正多边形定义：如果多边形的都相等，都相等，那么就称它为正多边形。
3、按要求完成下表。
4、每人用彩纸准备好:边长都为10厘米的正三角形、正方形、正五边形、正六边形。
（每种各5张。
）5、观察生活中常见的地砖，墙砖铺设图案，它们都用到了哪些多边形？（生活实践）设计意图：帮助学生重温正多边形的概念与内角和公式，便于新知识的学习。
培养学生动手制作的能力，进一步加深对正多边形概念的理解与应用。
培养学生善于观察生活,善于发现生活中的实际问题与数学知识的联系的习惯,逐步培养用数学知识解释生活现象的意识和能力.2、课前3分钟展示环节。
课前3分钟，由一名同学用PPT展示生活中常见的地砖，墙砖铺设地面的图片，并进行解读。
通过对生活中铺设地砖的实例观察，得出铺设条件：不留缝隙，也不重叠。
引出多边形平面镶嵌的定义。
设计意图：提升了学生PPT制作能力，运用数学眼光发现数学与生活联系的能力，善于收集整理素材的能力，锻炼了学生的表达能力。
华师版七年级数学下册9.3.2 用多种正多边形铺设地面教案与反思
9.3 用正多边形铺设地面原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！随风潜入夜，润物细无声。
出自杜甫的《春夜喜雨》原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！玉壶存冰心,朱笔写师魂。
——冰心《冰心》9.3.2 用多种正多边形铺设地面1.通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力.（重点）2.寻找用哪几种正多边形能铺满地板.（难点）一、情境导入上一节我们知道用一种（正三角形，正方形，正六边形）正多边形能铺满地面，那么我们能用正三角形和正六边形两种图形铺满地面吗？为什么？二、合作探究探究点：用两种或两种以上的正多边形作平面镶嵌下列四组多边形中，能密铺地面的是（）①正六边形与正三角形；②正八边形与正方形；③正三角形与正方形．A．①②③B．②③C．①②D．③解析：正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．解：①两个正六边形与两个正三角形即可密铺；②正八边形一个内角135°，两个正八边形与一个正方形可密铺；③三个正三角形与两个正方形可密铺．故选：A．方法总结：计算出多边形内角，根据平铺定义即可．设在一个顶点周围有a个正三角形，b个正十二边形，能铺满地面，则a＝________，b＝________．解析：正三角形每个内角是60°，正十二边形的每个内角是150°.根据在一个拼接点处内角和恰好是360°可知，正三角形和正十二边形的个数满足60a ＋150b＝360，即2a＋5b＝12.若在一个顶点周围有1个正三角形，则2＋5b＝12，解得b＝2；若在一个顶点周围有2个正三角形，则2×2＋5b＝12，解得b＝8 5，正多边形的个数应该是正整数，所以这种情况不符合题意；若在一个顶点周围有3个正三角形，则2×3＋5b＝12，解得b＝65，不符合题意；若在一个顶点周围有4个正三角形，则2×4＋5b＝12，解得b＝错误!未定义书签。
用多种正多边形铺设地面
复习：
1、在正三角形、正方形、正五边形、 正六边形、正八边形中取一种，可以 铺满地板的有哪些？
正三角形、正方形、正六边形
2、用同种正多边形瓷砖能不留空隙， 不重叠地铺满地板的关键是什么？
围绕一点拼在一起的正多边形的内角之和为360º
模型： 正多边形个数×正多边形内角度数=360º
2.如果几个多边形的内角加在一起恰好能组成 一个周角的话，它们就能够拼成一个平面图 形。
注：有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成 周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺 满平面。如：正五边形与正十边形的组合。
设正十二边形有x个，正三角形有y个，则 150x+60y=360 5x+2y=12
正十二边形和正三角形密铺图
正八边形、正方形
135 135 90 360
设正方边形有x个，正八边形有y个，则 90x+135y=360 2x+3y=8
正八边形和正方形密铺图
正五边形、正十边形
108° 144°
多种正多边形拼地板：
关键：围绕 一点拼在一起的多种正多边形的 内角之和为360º。
模型： 正多边形1的个数×正多边形1的内角度数 + 正多边形2的个数×正多边形2的内角度数=360 º
观察下面这些瓷砖的图案，分别说出它们是由哪些 图形构成，以及它们能铺满地面的理由？。
小结
1. 能用来拼地板的可以是多种正多边形的组合. 其中两个多边形的组合有4种，三个多边形的组合 有3种.
正六边形、正方形、正三角形密铺图
2.正十二边形、正方形、正三角形
150°
60° 60° 90°
150பைடு நூலகம் 90 60 60 360
9.3.2用多种正多边形铺设地面
呆鹰岭中学 七年级数学导学案 主备人：唐雪林9.3用正多边形铺设地面用多种正多边形课型 ：预+展 班级 小组 小主人姓名 编号9-09【抽 测】【目标要求】1．通过用多种正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式。
2．通过“拼地板”和有关计算，使学生从中发现能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是几个多边形的内角相加要等于 360°。
3．使学生进一步认识图形在日常生活中的应用。
重点：铺满平面的条件难点：一些不规则的多边形覆盖平面的探究【自主探究】自学教材第90—91页知识点：用多种正多边形铺满地面的条件活动1用刚才边长相等的正三角形,正方形,正五边形,正六边形中的两种正多边形铺满地面,哪两种正多边形能铺满地面成一个平面图案?(1)正三角形和正方形能覆盖平面.360____________=+∴用_____个正三角形和______个正方形能覆盖平面.(2)正三角形和正六边形能覆盖平面.360______________=+∴用_____个正三角形和______个正六边形能覆盖平面.(3) 还有其他情况吗？说说理由。
讨论：若用上述的正多边形中的三种正多边形铺满地面,哪三种正多边形能铺满地面成一个平面图案?（小组讨论后展示自己的成果。
）活动2（小组讨论后展示自己的成果。
）(1) 任意剪出一些形状,大小相同的三角形纸板,拼一拼看,它们能否铺满地面成平面图案.(2) 任意剪出一些形状,大小相同的四边形纸板,拼拼看,它们能否铺满地面成平面图案.归纳：.平面铺满地面的条件是:(1) 用两种边长相等的正多边形铺满地面平面的条件是设两钟正多边形的内角分别为.,360.,正多边形可以覆盖平面有正整数满足时这两种的当其中则有正多边形的个数分别为，n m n m n m =⋅+⋅βαβα(2) 在一般的多边形中,只有________和_________可以覆盖平面.由此可知:在多边形中,当多边形的内角和的整数倍为_______时,可以铺满地面.【小试牛刀】1.用两种正多边形进行铺满地面，不能与正三角形匹配的多边形是（ ）。
2019年春七年级数学下册用多种正多边形铺设地面课件华东师大版
6．如图，用正多边形 A、 B、 C 密铺地面，其中 A 为正六边形， C 为 正方形，请通过计算求出正多边形 B 的边数．
解：设正多边形 B 的一个内角为 x， 则 120° ＋90° ＋x＝360° ，解得 x＝150° ， ∴n＝360° ÷ (180° －150° )＝12， ∴正多边形 B 的边数为 12.
【解析】 A．正方形的每个内角是 90° ，90° ×2＋60° ×3＝360° ，∴能 密铺； B．正六边形每个内角是 120° ，120° ＋60° ×4＝360° ，∴能密铺； C．正八边形每个内角是 180° －360° ÷ 8＝135° ，135° 与 60° 无论怎样也 不能组成 360° 的角，∴不能密铺； D．正十二边形每个内角是 150° ，150° ×2＋60° ＝360° ，∴能密铺．
即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 2 个正三角形和 2 个正六边形 (或 4 个正三角形和 1 个正六边形)的内角可以拼成一个周角，所以用正三角 形和正六边形可以进行平面镶嵌． 第六类：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 x 个正方形和 y 个正六边形， 则 90x＋120y＝360， 即 3x＋4y＝12， 此方程没有正整数解． 即镶嵌平面时，不能在一个顶点周围围绕着正方形和正六边形的内角 拼成一个周角，所以不能用正方形和正六边形进行平面镶嵌． 第七类：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 x 个正三角形、y 个正方形和 z 个正六边形，
则 60x＋90y＋120z＝360， 2x＋3y＋4z＝12， x＝1， 正整数解是y＝2， z＝1. 即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 1 个正三角形、2 个正方形、1 个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形、正方形、正六边 形可以进行平面镶嵌．
用多种正多边形铺设地面
04
铺设方法与技巧
确定铺设区域与边界条件
铺设区域
明确需要铺设的地面区域，包括形状、 大小和边界。
VS
边界条件
考虑地面的边缘形状和周围环境，确保铺 设的正多边形能够与边界完美契合。
选择合适的正多边形类型与尺寸
正多边形类型
根据设计需求和美学考虑，选择合适的正多 边形类型，如正方形、正三角形、正六边形 等。
正多边形的对称性与旋转性
对称性
正多边形具有轴对称性，即存在多条对称轴使得多边形关于 这些轴对称。
旋转性
正多边形也具有旋转对称性，即可以绕中心旋转一定的角度后 与原图重合。这种旋转的最小角度称为旋转角，等于360°/n， 其中n为边数。
03
多种正多边形的组合与拼 接
正三角形与正方形的组合
拼接方式
人行道铺装
在城市规划中，多种正多 边形地面铺设可用于人行 道铺装，提供舒适且美观 的步行环境。
广场设计
通过不同的正多边形铺设， 可以打造出独特且富有活 力的城市广场。
与城市家具的搭配
正多边形地面可以与城市 家具如座椅、灯具等相互 协调，提升城市的整体形 象。
06
总结与展望
回顾本次项目的主要成果与收获
其他多种正多边形的组合方式
拼接方式
除了上述三种组合方式外，还可以使用其他多种正多边形进行组合和拼接，例如正五边形、正七边形、正九边形 等等。这些多边形可以按照不同的角度和边长关系进行组合，形成各种不同的图案和结构。
特性
使用多种正多边形进行组合和拼接可以创造出更加多样化和复杂的地面铺设效果。不同的多边形具有不同的形状、 大小和角度，可以产生丰富的几何形状和视觉效果。同时，这种组合方式也需要更高的设计技巧和计算能力，以 实现精确的角度和边长匹配。
多种正多边形铺地板
9.3.2.用多种正多边形拼地板
一、定向诱导
（一）学习目标：
1.能说出用多种正多边形拼地板的原理
2.展示几种不同的拼地板组合图；
（二）温故知新
1、用相同的正多边形拼地板，能铺面地面的正多边形有哪些？为什么他们可以铺满地面，其他的正多边形不能铺满地面？
2、如果我们用多种正多边形拼地板，又该怎么来选择呢？这些不同的正多边形要符合什么条件才能铺满地面呢？
二、自学探究
（一）按要求完成下面题目
实验1请您动手探索以下问题，允许用两种正多边形组合起来镶嵌，由哪两种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？将探索的结果填在下表中。
由上表我们可以得出的结论是：
实验2请您动手探索以下问题，允许用三种正多边形组合起来镶嵌，由哪三种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？将探索的结果填在下表中。
由上表我们可以得出的结论是：
思考：为什么这些多边形组在一起可以铺满地面？
三、总结概括
用多种正多边形铺地板，需要符合什么条件才可以铺满地面？
四、巩固提升
1、选择题
（1）下列正多边形总，能铺满地面的是（）
A正方形 B 正五边形 C 正八边形 D 正六边形
（2）下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（）
A正八边形和正方形 B正五边形和正八边形 C 正六边形和正三角形
2、试画出用正三角形和正六边形铺满地面，但与图9.3.3不同的图形。
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1 4 14 0 18 0 3 8 60
尽管能围绕一 点拼成360º， 但不能扩展到 整个平面，所 以不能密铺。
围 绕 某 一 顶 点 铺 满 地 既不留下一丝空白，又不相互重叠 面
这叫做“平面镶嵌” “密铺”或 者“满铺”
哪些正多边 形能用来铺 设地面呢？
9.3 用正多边形铺设地面
用三种正多边形密铺地面常见的有：
正三角形、正四边形和正六边形 正三角形、正四边形和正十二边形 正四边形、正六边形和正十二边形
拼地砖小游戏
正三角形
正六边形
正四边形
正八边形
正十二边形
选择题
1、下列正多边形中，能够铺满地面的是（）
A、正方形
B、正五边形
C、正八边形
D、正六边形
2、下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（）
正三角形和正十二边形
1 5 10 5 6 0 0 3 60
正四边形和正八边形
1 3 15 3 9 5 0 3 60
用两种正多边形密铺地面常见的有：
正三角形和正四边形 正三角形和正六边形 正三角形和正十二边形 正四边形和正八边形
用三种正多边形密铺地面
5、某中学新科技馆铺设地面，已经有正三角形形
状的地砖，现在打算购买另一种边长相同，形状不
同的正多边形地砖，与正三角形地砖作平面镶嵌，
则该学校不应该购买的地砖是（）
A、正方形
B、正六边形
C、正八边形
D、正十二边形
小组总结发言
正五边形、正十边形
围绕一点能拼 成360º，但能 扩展到整个平 面，即铺满地 面吗？
正五边形、正十边形
围绕一点能拼 成360º，但能 扩展到整个平 面，即铺满地
面吗？
1 4 14 0 18 0 3 8 60
尽管能围绕一 点拼成360º， 但不能扩展到 整个平面，所 以不能密铺。
今天你学到了什么？☞
1.通过实验与探究，掌握了能用同一种、两种、三种正 多边形拼地板的几种情况。
小明家里装修，要用某种正多 边形瓷砖装修地板，在以下的多边 形中选择，你帮他选择一下。
小明的妈妈觉得一种瓷砖太单 调，想用两种不同形状的瓷砖铺地 面，你作为售货员有什么建议？
9.3用多种正多边形 铺设地面
正三角形瓷砖
60°
60°
60°
围绕一点拼在一起60的°正多边形6的0°内角之和为360º 60°
能用同一种正多边形拼地板的正多边形 有正三角形、正方形、正六边形．
形状、大小相同的任意三角形和四边形 也可以拼地板。
正三角形、正方形
正三角形、正四边形
正三角形、正六边形
正三角形、正六边形
正三角形、正十二边形
正四边形、正八边形
用两种正多边形密铺地面常见的有：
正三角形和正四边形 正三角形和正六边形 正三角形和正十二边形 正方形和正八边形
２.正多边形能镶嵌的条件： 如果几个多边形的内角加在一起恰好能组成一个周
角的话，它们就能够拼成一个平面图形。 注：有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成
周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺 满平面。如：正五边形与正十边形的组合。
现在，你知道镶嵌 的规律了吗？
规律：
使用给定的某种正多边形，当围 绕一点拼在一起的几个内角和加在 一起恰好组成一个周角( 360°)时， 就能拼成一个平面图形。
正三角形瓷砖
60°
60°
60°
60°
60°
60°
正方形瓷砖
90° 90° 90° 90°
正六边形瓷砖
120° 120° 120°
形状、大小相同的任意三角形
正多边形能镶嵌的条件：
如果几个多边形的内角加在一起恰好能组成一个 周角的话，它们就能够拼成一个平面图形。
60°
4个
90°
2个
120°
2个
135°
2个
150°
1个
正三角形和正四边形
9 9 0 6 0 6 0 6 0 0 36
正三角形和正六边形
1 2 1 0 2 6 0 0 6 0 3 60 1 2 6 0 6 0 6 0 6 0 3 06
正三角形瓷砖
60°
60°
60°
60°
60°
60°
60°×6=360°
正方形瓷砖
90° 90° 90° 90°
９０°×４＝３６０°
正五边形瓷砖
108° 108° 108°
108°×3=324°
正六边形瓷砖
120° 120° 120°
120°×3=360°
正八边形瓷砖
。
135 。 135。 135 135°×3=405°
A、正八边形和正方形
B、正五边形和正八边形
C、正六边形和正三角形
3、用两种正多边形组合铺满地面，其中的一种是
正八边形，则另一种是（）
A、正三角形
B、正方形
C、正五边形
D、正六边形
4、用三种正多边形镶嵌成一个平面时，若前两种
是正方形和正六边形，则第三种是（）
A、正十二边形
B、正十边形
C、正八边形
D、正三边形
正三角形、正四边形、正六边形
正十二边形、正方形、正三角形
1 5 9 0 0 6 0 6 0 3 60
正四边形、正六边形、正十二边形
用三种正多边形密铺地面常见的有：
正三角形、正四边形和正六边形 正三角形、正四边形和正十二边形 正四边形、正六边形和正十二边形