几何图形中的基本图形
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1、教学目标达成的需要：课标关于空间观念 培养明确指出：能从复杂的图形中分解基 本的图形，并能分析其中的基本元素及其 关系。 2、学生学习和能力发展的需要：空间观念的 建立、分析解决问题的能力培养 3、良好数学思维习惯培养的需要
二、《相似图形》一章 中常见的基本图形梳理
一、平行线型
二、相交线型
②求三角形ABC的边长。
A
D B P C
这一类问题有何共同特点？
AБайду номын сангаас
D B P C
4、培养学生从复杂的图形中识别基本图形的 意识，培养学生研究图形的习惯。
寻找图形中的基本图形
寻找图形中的基本图形
寻找图形中的基本图形
寻找图形中的基本图形
寻找图形中的基本图形
寻找图形中的基本图形
只要寻找到了图形中的基本图形， 实际上就找到了解决问题的突破口，长 期进行这样的训练，带来的是学生解决 问题能力的飞跃。但是这样的能力培养 并不能一蹴而就，教学中要坚持螺旋上 升的原则。
题组一
变式1：已知：如图，△ABC中，点D在 AB边上，点E在AC边上，∠ADE＝ ∠C．且AC=5, AD＝2,BC=10，求DE的 长．
题组一
变式2,如图，△ABC中，点D在边 AB上，满 足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1， BC=8求DC和BD的长
题组一 思考：这三个图之间有什么联系？
案例5：中考剖析
案例6：中考剖析
案例7：中考剖析
20(2010 成都中考)． 已知： 在菱形 ABCD 中，O 是对角线 BD 上的一动点． （1）如图甲，P 为线段 BC 上一点，连接 PO 并延长交 AD 于点 Q ，当 O 是
BD 的中点时，求证： OP OQ ；
（2）如图乙，连结 AO 并延长，与 DC 交于点 R ，与 BC 的延长线交于点
思考：这三道题的图有什么联系？
案例4：题组训练
题组三
例已知如图，B是AC上一点， AD⊥AB,EC⊥BC,∠DBE=90°. 求证：△ABD∽△CEB.
变式．已知：如图，在等边三角形ABC中， P为BC 上一点，D为AC 上一点， 且∠APD=60O,
2 BP=1,CD= 求证： 3 ①△PCD∽△ABP
（1）边的平方关系（勾股定理）： AB2=AC2+BC2，BC2=BD2+CD2， AC2=AD2+CD2
AB2=AD2+BD2+2CD2
A C
D
B
（2）利用面积关系导出的边的关系： S△ABC=S△ABC，S△ABC=S△ADC+S△BCD
AC·BC=AB·CD， AC·BC=AD·CD+BD·CD
A D
B
●边角基本关系
AD=AC·cos∠A=AC·sin∠ACD BD=BC·cos∠B=BC·sin∠BCD AC=BC·tan∠B 等等
C
A
D
B
3、题组变式训练——基于学生认知 规律的教学方式
注意：题组训练后的对比思考。
案例2：题组训练
题组一
例如图：DE∥BC交AB于D,交AC于E，若 AD=2，BD=3, BC=15,求DE的长
C
◆角的关系； ◆边的关系； ◆三角形的相似关系； ◆边角关系；
A
D
B
●角的基本关系
（1）相等关系： ∠A= ∠BCD， ∠B= ∠ACD， ∠ACB= ∠ADC= ∠BDC=900
A
C
D
B
（2）互余关系：
∠A=900- ∠B=900- ∠ACD； ∠B=900- ∠A=900- ∠BDC。
●边的基本关系
关于几何图形中的基本图形 教学思考与探索
平面几何中，存在很多最基本的图形， 这些基本图形 (例如：直角三角形、正方形、 长方形、菱形…等)中包含许多边角相等的 关系、线段比例关系、面积关系……。几 何教学，如何开展好基本几何图形教学， 直接影响着学生对几何的学习能力的提升。
一、基本图形教学的价值思考
S△ABC：S△ADC：S△BDC=AB2：AC2：BC2 ___ 1
AC2
+
1 ___
BC2
=
1 ___
CD2
●线段比的基本关系 相似关系：△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,
△ADC∽△CDB
AB：BC：CA=AC：CD：DA AB：BC：CA=CB：BD：DC AC：CD：DA=CB：BD：DC AC2=AD·AB，BC2=BD·AB， CD2=AD·DB C (射影定理)
三、旋转型
四、“三等角形”
三、基本图形教学的教学策略探索
1、紧扣基本图形的教学贯穿在本章教学乃至 几何教学的始终
2、加强基本图形的基本元素及其关 系分析。
案例1：从直角三角形认识出发 基本图形—直角三角形中的基本关系 在直角三角形ABC中，∠C=900，CD是斜边AB上 的高。 ●基本关系包括：
案例3：题组训练
题组二
例如图，在△ABC中， ∠C=90 °， 在边 上取一点D，使BD=BC， 过D作 DE⊥AB交AC于E，AC=8,BC=6,求DE 的长
题组二
变式1,如图，在Rt △ABC中, ∠ACB=90 °CD⊥AB于点D,已知 DB=2,AD=8求AC的长
题组二
变式2：如图，在Rt⊿BED中, ∠BED=90°， BE=3,ED=4,BD的垂直平分线交BE的的延长 线于点A，求AE的长.
S ．若 AD 4，∠DCB 60 , BS 10 ，求 AS 和 OR 的长．
A卷的最后1题，（2）问用到两次相似及作辅助线， 对学生要求较高，考查了学生的数学基本功．
5、根据基本图形，让学生编制数学问题
学生也可以编制题目：
A
D
P Q
B C
R
站在注重基本图形教学的视野下开展几 何教学，是关注了几何学习的特点，是做到 了学习方法的指导，必将带来的是学生学习 能力的提高！
二、《相似图形》一章 中常见的基本图形梳理
一、平行线型
二、相交线型
②求三角形ABC的边长。
A
D B P C
这一类问题有何共同特点？
AБайду номын сангаас
D B P C
4、培养学生从复杂的图形中识别基本图形的 意识，培养学生研究图形的习惯。
寻找图形中的基本图形
寻找图形中的基本图形
寻找图形中的基本图形
寻找图形中的基本图形
寻找图形中的基本图形
寻找图形中的基本图形
只要寻找到了图形中的基本图形， 实际上就找到了解决问题的突破口，长 期进行这样的训练，带来的是学生解决 问题能力的飞跃。但是这样的能力培养 并不能一蹴而就，教学中要坚持螺旋上 升的原则。
题组一
变式1：已知：如图，△ABC中，点D在 AB边上，点E在AC边上，∠ADE＝ ∠C．且AC=5, AD＝2,BC=10，求DE的 长．
题组一
变式2,如图，△ABC中，点D在边 AB上，满 足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1， BC=8求DC和BD的长
题组一 思考：这三个图之间有什么联系？
案例5：中考剖析
案例6：中考剖析
案例7：中考剖析
20(2010 成都中考)． 已知： 在菱形 ABCD 中，O 是对角线 BD 上的一动点． （1）如图甲，P 为线段 BC 上一点，连接 PO 并延长交 AD 于点 Q ，当 O 是
BD 的中点时，求证： OP OQ ；
（2）如图乙，连结 AO 并延长，与 DC 交于点 R ，与 BC 的延长线交于点
思考：这三道题的图有什么联系？
案例4：题组训练
题组三
例已知如图，B是AC上一点， AD⊥AB,EC⊥BC,∠DBE=90°. 求证：△ABD∽△CEB.
变式．已知：如图，在等边三角形ABC中， P为BC 上一点，D为AC 上一点， 且∠APD=60O,
2 BP=1,CD= 求证： 3 ①△PCD∽△ABP
（1）边的平方关系（勾股定理）： AB2=AC2+BC2，BC2=BD2+CD2， AC2=AD2+CD2
AB2=AD2+BD2+2CD2
A C
D
B
（2）利用面积关系导出的边的关系： S△ABC=S△ABC，S△ABC=S△ADC+S△BCD
AC·BC=AB·CD， AC·BC=AD·CD+BD·CD
A D
B
●边角基本关系
AD=AC·cos∠A=AC·sin∠ACD BD=BC·cos∠B=BC·sin∠BCD AC=BC·tan∠B 等等
C
A
D
B
3、题组变式训练——基于学生认知 规律的教学方式
注意：题组训练后的对比思考。
案例2：题组训练
题组一
例如图：DE∥BC交AB于D,交AC于E，若 AD=2，BD=3, BC=15,求DE的长
C
◆角的关系； ◆边的关系； ◆三角形的相似关系； ◆边角关系；
A
D
B
●角的基本关系
（1）相等关系： ∠A= ∠BCD， ∠B= ∠ACD， ∠ACB= ∠ADC= ∠BDC=900
A
C
D
B
（2）互余关系：
∠A=900- ∠B=900- ∠ACD； ∠B=900- ∠A=900- ∠BDC。
●边的基本关系
关于几何图形中的基本图形 教学思考与探索
平面几何中，存在很多最基本的图形， 这些基本图形 (例如：直角三角形、正方形、 长方形、菱形…等)中包含许多边角相等的 关系、线段比例关系、面积关系……。几 何教学，如何开展好基本几何图形教学， 直接影响着学生对几何的学习能力的提升。
一、基本图形教学的价值思考
S△ABC：S△ADC：S△BDC=AB2：AC2：BC2 ___ 1
AC2
+
1 ___
BC2
=
1 ___
CD2
●线段比的基本关系 相似关系：△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,
△ADC∽△CDB
AB：BC：CA=AC：CD：DA AB：BC：CA=CB：BD：DC AC：CD：DA=CB：BD：DC AC2=AD·AB，BC2=BD·AB， CD2=AD·DB C (射影定理)
三、旋转型
四、“三等角形”
三、基本图形教学的教学策略探索
1、紧扣基本图形的教学贯穿在本章教学乃至 几何教学的始终
2、加强基本图形的基本元素及其关 系分析。
案例1：从直角三角形认识出发 基本图形—直角三角形中的基本关系 在直角三角形ABC中，∠C=900，CD是斜边AB上 的高。 ●基本关系包括：
案例3：题组训练
题组二
例如图，在△ABC中， ∠C=90 °， 在边 上取一点D，使BD=BC， 过D作 DE⊥AB交AC于E，AC=8,BC=6,求DE 的长
题组二
变式1,如图，在Rt △ABC中, ∠ACB=90 °CD⊥AB于点D,已知 DB=2,AD=8求AC的长
题组二
变式2：如图，在Rt⊿BED中, ∠BED=90°， BE=3,ED=4,BD的垂直平分线交BE的的延长 线于点A，求AE的长.
S ．若 AD 4，∠DCB 60 , BS 10 ，求 AS 和 OR 的长．
A卷的最后1题，（2）问用到两次相似及作辅助线， 对学生要求较高，考查了学生的数学基本功．
5、根据基本图形，让学生编制数学问题
学生也可以编制题目：
A
D
P Q
B C
R
站在注重基本图形教学的视野下开展几 何教学，是关注了几何学习的特点，是做到 了学习方法的指导，必将带来的是学生学习 能力的提高！