方程求根的数值计算方法

第六章 方程求根的数值计算方法
信息科学技术学院电子工程系 易清明 tyqm@jnu.edu.cn
本章教学内容提要
一、方程求根的二分法 二、方程求根的牛顿法 三、方程求根的弦截法 四、方程求根的图解法
一 方程求根的二分法
•二分法求根的基本思想： 取一个区间[a, b]; 若f (a ) × f (b) < 0, 且f ( x)在 [a, b]连续，则f ( x)在[a, b]之间至少有一个实根
• 设 x 是 c 的某个近似值，则 c / xk 自然 也是一个近似值，上式表明，它们两者 的算术平均值将是更好的近似值。 • 定理 开方公式对于任意给定的初值 定理： x0 > 0 均为平方收敛。
k
二、方程求根的牛顿法
牛顿法求根的基本步骤： 牛顿法求根的基本步骤： (1) 设定初值 x0 ; (2) 利用牛顿公式求近似根x; 利用牛顿公式求近似根
迭代过程的局部收敛性
• 在实际应用迭代法时，通常首先在根 x 的邻近考察。如果存在邻域 ∆ : x − x ≤ δ ，使 迭代过程对于任意初值 x ∈ ∆ 均收敛，这种 在根的邻近所具有的收敛性被称为局部收 局部收 敛性。 敛性 ϕ ( x ) 在 x = ϕ ( x ) 的根 x * 邻近有 • 定理：设 定理： 连续导数，且成立 ϕ ' ( x ) < 1 则迭代过程 x = ϕ ( x ) 在 x 邻近具有局部收 敛性。
弦截法求根的几何意义:
四、方程求根的图解法
• 图解法编程 • 例程 • 编程要求及注意事项
f ( xk ) xk+1 = xk − f '( xk )
f ( x) ϕ ( x) = x − f ′( x)
牛顿法的应用——开方公式 开方公式 牛顿法的应用
• 对于给定正数 c ，应用牛顿迭代法解二 次方程 x2 − c = 0 ，可导出求开方值 c 的计 算公式 1 c
xk +1 = xk + 2 xk
迭代法的设计思想
– 迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个 迭代法是一种逐次逼近法， 固定公式－即迭代公式反复校正根的近似值， 固定公式－即迭代公式反复校正根的近似值， 使之逐步精确化，直至满足精度要求的结果。 使之逐步精确化，直至满足精度要求的结果。 – 迭代法的求根过程分成两步，第一步先提供根 迭代法的求根过程分成两步， 的某个猜测值，即所谓迭代初值， 的某个猜测值，即所谓迭代初值，然后将迭代 初值逐步加工成满足精度要求的根。 初值逐步加工成满足精度要求的根。
牛顿法求根的几何意义
x2
x1
牛顿法求根流程图
பைடு நூலகம்
三、方程求根的弦截法
用差商
f ( xk ) − f ( x0 ) xk − x0
替代牛顿公式中的导数
( xk − x0 )
可得到以下离散化形式：
xk +1 = xk − f ( xk ) − f ( x0 ) f ( xk )
从几何图形上看，上面的公式求得的实际上是 弦线与 x 轴的交点，因此称这种方法为弦截法 弦截法。 弦截法 改用差商
x = x0 − f ( x0 ) / f ' ( x0 )
(3) 将新的近似根 作为新的初值 再回到 将新的近似根x作为新的初值 再回到(2),… 作为新的初值x0,再回到 如此循环往复直到满足如下条件为止： 如此循环往复直到满足如下条件为止：
x − x0 < ε & & f ( x) < ε
(4) 输出近似根 。 输出近似根x。
*
*
0
*
k +1
k
*
二、方程求根的牛顿法 对于方程 f ( x) = 0 ，设已知它的近似根 为 xk ，则函数 f ( x) 在点 xk 附近可用一阶 泰勒多项式 p( x) = f ( xk ) + f ′( xk )( x − xk ) 来近似， 若取 p( x) =0 的根作为 f ( x ) = 0 新的近似根， 记为 ，则有如下著名的牛顿公式 牛顿公式： x k +1 牛顿公式 相应的迭代函数是：
f ( xk ) − f ( xk −1 ) xk − xk −1
代替牛顿法中的导数有
以下快速弦截法迭代公式：
xk +1 = xk − f ( xk ) − f ( xk −1 ) f ( xk )
( xk − xk −1 )
三、方程求根的弦截法
•弦 截 法 求 根 的 基 本 步 骤 ： 1 设 定 初 值 x 0 , x1 ; 2 求 出 f ( x 0 ), f ( x1 ); 3 利 用 弦 截 法 求 根 公 式 求 近 似 根 x; x = x1 − f ( x1 ) × ( x1 − x 0 ) /( f ( x1 ) − f ( x 0 )) 4 将 x1作 为 新 的 初 值 x 0, 新 的 近 似 根 x 作 为 新 的 初 值 x1 , 再 回 到 2;...如 此 循 环 往 复 直 到 x − x1 < ε & & f ( x ) < ε 为 止 。 •注 意 ： 对 于 弦 截 法 也 有 可 能 陷 入 死 循 环 。 解 决 的办法与牛顿法一样。
f（c）＝０ a c
f(a)<0 c=(a+b)/2 c=(a+b)/2
b
f(b)>0
a
f(a)<0 b
f(b)>0
二分法求根的几何意义
f(b)>0
a
f(a)<0
a
b b b
二分法求根的几何意义
迭代法的设计思想
迭代法的设计思想是，将隐式方程 x = ϕ (x) 归结为计算一组显式公式 xk +1 = ϕ ( xk ) ， 也就是说，迭代过程实质上是一个逐步 显式化的过程。
一、方程求根的二分法
二分法求根的基本思想: 二分法求根的基本思想 • 取一个区间[a, b]，若f(a)*f(b)<0，且f(x)在[a,b] 取一个区间 ， ， 在 连续， 之间至少有一个实根。 连续，则f(x)在[a,b]之间至少有一个实根。 在 之间至少有一个实根 二分法求根的基本步骤： 二分法求根的基本步骤： 1. 取[a,b]区间，使满足 区间， 区间 使满足f(a)*f(b)<0; 2. 取x=(a+b)/2; 3. 若f(a)*f(x)<0，则[a,x]之间至少有一个实根，令 之间至少有一个实根， ， 之间至少有一个实根 b=x，回到第2步；若f(x)*f(b)<0则[x,b]之间至 ，回到第 步 则 之间至 少有一个实根， 少有一个实根，令a=x，回到第2步 ；…如此循环 ，回到第 步 往复直至 | a - b |<ε为止； ε为止； 4. 输出近似根 x=(a+b)/2。 。
二、方程求根的牛顿法
• 注意：对于牛顿法有可能陷入死循环。解决的 注意：对于牛顿法有可能陷入死循环。 办法是限定循环执行的次数N， 办法是限定循环执行的次数 ，当超过限定次 次循环后结束循环和计算， 数N次循环后结束循环和计算，重新设定初值 次循环后结束循环和计算 x0后再重新计算。 后再重新计算。