计算方法-方程求根
方程求根的数值方法
1）逐步搜索法
适当取一个小正数 h ，逐步计算 f(a) 、 f(a+h) 、 f(a+2h) 、 f(a+3h)、 …… 的值，直到相邻两个值 异号，则取这两点的中点为近似根。
2）图形放大法
y=f(x)图象与x轴交点（的横坐标）即为f(x)=0根。 借助计算机，逐步画图，就可得近似根。
3）数值迭代逼近法
f ( xn ) xn1 xn f ( xn ) n 0,1,......
当初值x0和方程的根 x*接近时， f(x) 近似等于 以此产生的序列 {Xn}得到 f(x)=0 的近似解，称为 f(x0)+f’(x0)(x-x0)， Newton法，又叫切线法。 则
f(x)=0
与
f(x0)+f’(x0)(x-x0)＝0
变端点弦截法又称两点割线法
弦截法的几何解释
求解方程f(x)=0的快速弦截法
(1) (2) 输入 : x0 , x1 , , N ; L 0, f 0 f ( x0 ), f1 f ( x1 ); | f1 | 时做 x1 x0 f1 ; f 2 f ( x2 ); L L 1; f1 f 0
1.5 4 1.5 3 x1 1.5 1.2543 3 4 1.5 1 4 得到方程的一个 x1 x1 3 x2 x1 1.1723 3 近似根 1.1640 ， 4 x1 1
4 x2 x2 3 x3 x2 1.1641 3 4 x2 1 4 x3 x3 3 x4 x3 1.1640 3 4 x3 1 4 x4 x4 3 x5 x4 1.1640 4 x4 1
f (1.125) 0 f (1.1875 ) 0,
力学中的计算方法(方程求根)
ˆK x
Fixed-Point Iteration ( x K 1 x K ) 2 xK x K 2 x K 1 x K 2
y=x
x0 , x1 g( x0 ), x2 g( x1 ), ˆ 0 , x3 g( x2 ), x ˆ 1 , x4 g( x3 ), x ... ...
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 ) y
x* x0
f ( xk ) x k 1 x k f ( x 线性 /* linear */ k)
f ( x0 ) f ( x0 )
x*
x
x0
只要 f C1，每一步迭代都有 xk x * ， f ’( xk ) 0， 而且 lim k 则 x*就是 f 的根。
1 | x k 1 x k | | x * xk | 1 L
L | x1 x0 | | x * xk | 1 L
k
( k = 1, 2, … )
且存在极限
lim
k
x * x k 1 g x * x * xk
Fixed-Point Iteration
1 | x k 1 x k | ? ④ | x * xk | 1 L | x k 1 x k | | x * x k | | x * x k 1 | | x * x k | L | x * x k | | x k 1 x k | 来 Lk 可用 | x1 x0 | ? ⑤ | x * xk | 1 L 控制收敛精度
Bisection Method
When to stop?
5次 方程 求根
5次方程求根在代数学中，一个方程是一组数学式子，其中包含一个未知量（通常用x表示），并且要求找到该未知量的值使得方程等式成立。
在这篇文章中，我们将探讨五种不同的方程求根方法。
1. 因式分解法对于简单的方程，可以使用因式分解法来求根。
这种方法通过将方程进行因式分解，然后解出未知量的值。
例如，考虑以下方程：2x^2 + 4x = 0。
将方程因式分解得到：2x(x + 2) = 0。
因为一个数乘以0等于0，所以方程的解为x = 0或x = -2。
2. 牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种迭代法，用于求解任意函数的根。
该方法通过使用函数的导数来逐步逼近根的值。
例如，考虑以下方程： x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0。
使用牛顿-拉夫逊法得到根的近似值为x ≈ 1.0、x ≈ 2.0和x ≈ 3.0。
3. 二分法二分法是一种简单的求根方法，适用于单调递增或递减的函数。
该方法通过在函数的定义域中二分搜索来逐步逼近根的值。
例如，考虑以下方程：x^2 - 2 = 0。
使用二分法得到根的近似值为x ≈ 1.41。
4. 配方法配方法是一种用于解决二次方程的方法，该方法通过将方程转化为一个完全平方式程来求解。
例如，考虑以下方程：x^2 + 6x + 9 = 0。
将方程转化为(x + 3)^2 = 0，得到方程的解为x = -3。
5. 因子法因子法是一种基于因式分解的方法，用于解决多项式方程。
该方法通过将多项式进行因式分解来求解方程。
例如，考虑以下方程：x^3 + 3x^2 + 2x = 0。
将方程进行因式分解得到：x(x + 1)(x + 2) = 0。
因为一个数乘以0等于0，所以方程的解为x = 0、x = -1或x = -2。
总之，以上是五种不同的方程求根方法。
选择哪种方法取决于方程的类型和难度。
牛顿迭代法求方程的根,公式
牛顿迭代法求方程的根,公式牛顿迭代法是一种常用于求方程根的数值计算方法。
它可以用来解决各种类型的方程，包括线性方程、非线性方程以及高阶方程等。
牛顿迭代法的基本思想是通过迭代逼近的方式，找到方程的一个近似解。
首先，我们来看牛顿迭代法的基本原理。
假设我们要求解方程f(x)=0，其中f(x)是一个连续可导的函数。
牛顿迭代法的公式为：x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n])其中，x[n]表示第n次迭代的近似解，f'(x[n])表示函数f(x)在x[n]处的导数。
通过不断迭代，我们可以逐渐逼近方程的根。
接下来，让我们通过一个例子来说明牛顿迭代法的具体步骤。
假设我们要求解方程x^2-5=0的根。
首先，我们需要选择一个初始近似解x[0]，可以选择任意一个数值。
为了简化计算，我们选择x[0]=2作为初始值。
第一步，我们计算出函数f(x)=x^2-5在x[0]=2处的导数f'(x)=2x。
代入公式，得到迭代公式为：x[1] = 2 - (2^2-5)/(2*2) = 2 - (4-5)/4 = 2 - (-1/4) = 2 + 1/4 = 2.25这样，我们得到了第一次迭代后的近似解x[1]=2.25。
第二步，我们继续使用迭代公式进行计算：x[2] = 2.25 - (2.25^2-5)/(2*2.25) = 2.25 - (5.0625-5)/(4.5) = 2.25 - (0.0625)/(4.5) ≈ 2.2361通过不断迭代，我们可以逐渐逼近方程的根。
当迭代得到的解足够接近方程的根时，我们可以停止迭代，并将该解作为方程的近似根。
牛顿迭代法的优势在于它收敛速度较快，尤其对于具有较好初值的问题，往往只需几次迭代就可以得到非常精确的根。
然而，牛顿迭代法也存在一些问题。
当初始值选择不当或者函数在某些位置处导数为零时，迭代过程可能会发散或者得到错误的根。
为了避免这些问题，我们需要在使用牛顿迭代法之前进行一些预处理工作。
计算方法实验：方程求根
实验一 方程求根一、实验目的用不同方法求任意实函数方程f （x ）=0在自变量区间[a ，b]内或某一点附近的实根，并比较方法的优劣性。
二、实验方法 （1）二分法对方程f （x ）=0在[a ，b]内求根。
将所给区间二等分，在二分点x=(b-a)/2处判断是否f （x ）=0。
若是，则有根x=(b-a)/2；否则继续判断是否f(a)·f(b)<0,若是，则令b=x ，否则令a=x 。
重复此过程，直至求出方程f(x)=0在[a ，b]内的近似根为止。
（2）迭代法将方程f （x ）=0等价变换为x=φ（x ）的形式并建立相应的近似根为止。
（3）牛顿法设已知方程f （x ）=0的一个近似根x 0,则函数f （x ）在点x 0附近可用一阶泰勒多项式p 1（x ）=f （x 0）+f ’（x 0）（x-x 0）来近似，因此方程f （x ）=0可近似表示为f （x 0）+f ’（x 0）（x-x 0）=0。
设f ’（x 0）≠0，则 x=x 0-f （x 0）/’f （x 0）取x 作为原方程新的近似根x 1，然后再将x 1作为x 0代入上式。
迭代公式为 x k+1=x k -f （x k ）/f ’（x k ）三、实验内容1）在区间[0,1]内用二分法求方程e x +10x-2=0的近似根，要求误差不超过0.5×10-3。
2）取初值x0=0，用迭代公式x k+1=（2-e x k ）/10,(k=0,1,2,…)求方程e x + 10x-2=0的近似根，要求误差不超过0.5×10-3。
3）取初值x 0=0用牛顿迭代法求方程e x + 10x-2=0的近似根，要求误差不超过0.5×10-3。
四、实验程序 （1）二分法（2）迭代法（3）牛顿法五、实验结果（仅供参考）（1）x11=0.09033 （2）x5=0.09052 （3）x2=0.09052六、结果分析由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果，我们可以得出这样的结论：二分法要循环k=10次，迭代法要迭代k=4次，牛顿法要迭代k=2次才能达到精度为0.5×10-3的要求，而且方程e x+10x-2=0的精确解经计算，为0.0905250,由此可知，牛顿法和迭代法的精确度要优越于二分法。
根的求法公式范文
根的求法公式范文求根公式是一种用来计算方程的根的方法。
根据方程的类型，我们有不同的公式来求解根。
下面将介绍一些常见方程的求根公式。
一元一次方程求根公式：一元一次方程的一般形式为 ax + b = 0，其中a和b为已知数。
解这个方程可以使用一元一次方程的求根公式：x=-b/a一元二次方程求根公式：一元二次方程的一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数。
求解这个方程可以使用一元二次方程的求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)如果 b^2 - 4ac < 0，方程没有实数根。
这种情况下，方程的解为复数，可以表示为：x = (-b ± √(4ac - b^2)i) / (2a)其中i为虚数单位。
一元三次方程求根公式：一元三次方程的一般形式为 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d为已知数。
求解这个方程的根比一元二次方程复杂得多，没有通用的公式。
但是，可以使用数值方法（如牛顿法或二分法）来逼近方程的根。
一元四次方程求根公式：一元四次方程的一般形式为 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a、b、c、d和e为已知数。
与一元三次方程一样，一元四次方程也没有通用的公式来求解。
在一些特殊情况下，可以使用其他数值方法来逼近方程的根。
高阶多项式方程求根公式：对于高于四次阶的多项式方程，一般没有通用的公式来求解。
在这种情况下，可以使用数值方法或者图形方法（如牛顿迭代法、二分法或者图形分析等）来逼近或计算方程的根。
总结：求解方程的根是数学中的重要问题。
根据方程的类型，我们有不同的公式来求解根。
对于一元一次方程，可以使用一元一次方程的公式求解。
对于一元二次方程，可以使用一元二次方程的公式求解。
对于高于二次阶的方程，一般没有通用的公式，可以使用数值或者图形方法来逼近或计算根。
求根的相关公式
求根的相关公式摘要：一、引言二、求根公式简介1.二次方程求根公式2.分式方程求根公式3.三次方程求根公式4.反比例方程求根公式三、求根公式的应用1.二次方程的应用2.分式方程的应用3.三次方程的应用4.反比例方程的应用四、求根公式的局限性五、结论正文：一、引言在数学中，求根是一个常见的问题。
本文将介绍几种常见的求根公式，以及它们的适用范围和局限性。
二、求根公式简介1.二次方程求根公式二次方程的标准形式为ax+bx+c=0，它的求根公式为x,x=(-b±√(b-4ac))/(2a)。
2.分式方程求根公式分式方程的一般形式为ax+b=cx+d，它的求根公式为x=(c-b)/(a-c)。
3.三次方程求根公式三次方程的一般形式为ax+bx+cx+d=0，它的求根公式为x=((-b+√(b-3ac))/(3a)，x=((-b-√(b-3ac))/(3a)，x=c/a。
4.反比例方程求根公式反比例方程的一般形式为ax=b，它的求根公式为x=b/a。
三、求根公式的应用1.二次方程的应用二次方程在几何中常常用来求解抛物线的顶点，也可以用来求解一些实际问题，如物体在重力作用下的运动轨迹等。
2.分式方程的应用分式方程在解决一些实际问题中非常有用，如流水线的工作效率问题，交通流量问题等。
3.三次方程的应用三次方程在数学理论研究中较为常见，如解决一些复杂的几何问题，曲线拟合等。
4.反比例方程的应用反比例方程在物理中常常用来描述一些反比例关系，如电阻和电流的关系，力矩和转速的关系等。
四、求根公式的局限性尽管求根公式可以解决很多问题，但它们也有一些局限性。
首先，对于非线性方程，求根公式可能无法求解；其次，对于一些复杂的问题，可能需要借助其他数学工具，如数值计算方法等。
五、结论总的来说，求根公式是数学中一个基本且重要的工具，它可以解决很多实际问题。
计算方法-方程求根实验
实验四 方程求根实验一. 实验目的（1）深入理解方程求根的迭代法的设计思想，学会利用校正技术和松弛技术解决某些实际的非线性方程问题，比较这些方法解题的不同之处。
（2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 解决具体的方程求根问题。
二. 实验要求用Matlab 软件实现根的二分搜索、迭代法、Newton 法、快速弦截法和弦截法，并用实例在计算机上计算。
三. 实验内容1. 实验题目（1）早在1225年，古代人曾求解方程020102)(23=-++=x x x x f 并给出了高精度的实根368808107.1*=x ，试用Newton 法和弦截法进行验证，要求精度610-=ε，并绘制方程的图形。
答：A.Newton 法：a ．编写文件Newton.m 、func4.m 内容如下所示：b.运行，如下所示A为矩阵，由上面可知，对于初值为5，运行7次即可得到所需的精度，验证结果为古人给出的解释正确的；c.作图，编写下面的文件photo1.m.然后运行即可：注意下面中的x矩阵即为刚才计算出来的x系列，k为迭代的次数：a．编写文件Chord.m内容如下所示：b．运行结果如下所示：由上表可知，在精度为10^-6时有7位有效数字，古人的结果还是正确的c．作图，在上面运行后，即运行newton法时写的photo1.m文件即可出现图像：可以看到图中两条曲线基本重合； （2）取5.00=x ，用迭代法求方程x e x -=的根，然后用Aitken 方法加速，要求精度为结果有4为有效数字。
答：a. 编写文件func7.m 和Aiken.m ，内容如下所示：b ．运行：具有四位有效数字 （3）用快速弦截法求解方程01)(=-=x xe x f ，要求精度为610-=ε，取6.05.010==x x ，作为开始值，并绘制1)(-=x xe x f 的图形。
答：对照可知，书本后面的程序已经正确，运行即可：下面为快速弦截法的主程序文件：函数文件如下：运行如下：作图，编写下面的文件：运行该文件就可以y=x*exp(x)-1函数和插值函数的图：可以看到两条直线基本重合在一起了，扩大图片可以看到两条直线是不重合的：2. 设计思想要求针对上述题目，详细分析每种算法的设计思想。
计算方程根的公式
计算方程根的公式一、一元二次方程根的公式。
对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
1. 推导过程。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，我们首先将方程进行配方。
- 方程两边同时除以a，得到x^2+(b)/(a)x+(c)/(a)=0。
- 配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即((b)/(2a))^2。
- 得到x^2+(b)/(a)x + ((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。
- 左边可以写成完全平方式(x + (b)/(2a))^2=frac{b^2}{4a^2}-(c)/(a)。
- 通分右边得到(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}。
- 然后开平方，得到x+(b)/(2a)=±frac{√(b^2)-4ac}{2a}。
- 移项就得到求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
2. 判别式Δ=b^2-4ac的意义。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，此时x =-(b)/(2a)（两个根相同）。
- 当Δ<0时，方程没有实数根，在复数范围内有两个共轭复数根。
二、一元三次方程根的公式（卡尔丹公式）对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx + d=0(a≠0)，我们可以通过变换将其化为不含二次项的形式。
令x = y-(b)/(3a)，代入原方程得到y^3+py+q = 0，其中p=frac{3ac - b^2}{3a^2}，q=frac{2b^3-9abc + 27a^2d}{27a^3}。
其求根公式为：y=sqrt[3]{-(q)/(2)+√((frac{q){2})^2+((p)/(3))^3}}+sqrt[3]{-(q)/(2)-√((frac{q){2})^2+((p)/(3))^3}}1. 判别式Δ = ((q)/(2))^2+((p)/(3))^3的意义。
解方程求根公式法
解方程求根公式法解方程求根公式法是数学中一种重要的方法，它可以用来求解各种类型的方程，比如一元二次方程、三次方程、四次方程等等。
本文将详细介绍解方程求根公式法的原理、步骤和应用。
一、原理解方程求根公式法的原理是基于代数运算的基本定理和根的概念。
对于一个一元n次方程 a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0，其中a_n ≠ 0，我们可以通过求解它的根来解方程。
如果该方程的根为 x_1，x_2，...，x_n，则有：a_n (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n) = a_n x^n - (a_n x^{n-1})(x_1 + x_2 + ... + x_n) + ... + (-1)^n a_0由代数运算基本定理可知，左边的乘积展开式中，x^n 的系数为1，且各项系数为整数。
因此，我们可以将该方程转化为a_n x^n - (a_n x^{n-1})(x_1 + x_2 + ... + x_n) + ... + (-1)^n a_0 = 0 的形式，然后通过求解根的和、积、差等运算，得到解方程的根。
二、步骤解方程求根公式法的步骤通常如下：1.将一元n次方程化为标准形式，即a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ ... + a_1 x + a_0 = 0。
2.根据方程的次数和系数，选择适当的求根公式。
例如，对于一元二次方程a x^2 + b x + c = 0，我们可以使用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a 来求解。
3.代入系数，按照公式计算根的值。
4.检查解的合法性，即检查解是否满足原方程。
5.如果有多个根，重复步骤3-4即可。
三、应用解方程求根公式法在实际应用中非常广泛，比如在物理、工程、金融等领域都有重要的应用。
以下是一些常见的例子：1.一元二次方程的求解。
例如，求解方程 x^2 + 2x - 3 = 0 的根。
方程的两个根的公式
方程的两个根的公式一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数常数，且a≠0。
要求解这个方程的根，我们可以使用“求根公式”来计算。
求根公式是通过对一元二次方程进行变形和推导而得到的，它可以把方程的解用已知的实数常数表示出来。
求根公式是一个关于方程根的通用公式，可以适用于任意一元二次方程。
方程的两个根可以通过求根公式分别求得。
那么，接下来我们就分别来介绍一下方程根的求解方法。
我们来求解一元二次方程的第一个根。
根据求根公式，方程的第一个根可以表示为：x₁ = (-b + √(b²-4ac)) / (2a)其中，√表示开方，b²-4ac称为方程的判别式。
方程的判别式可以用来判断方程的根的性质。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。
接下来，我们来求解一元二次方程的第二个根。
根据求根公式，方程的第二个根可以表示为：x₂ = (-b - √(b²-4ac)) / (2a)通过求根公式，我们可以得到方程的两个根。
这个公式的推导过程较为复杂，我们不在这里展开讨论，但可以通过代入方程的一般形式进行计算。
需要注意的是，当方程的判别式小于0时，即没有实根的情况下，我们在求根公式中使用的是复数的开方。
复数是由实数和虚数构成的数，对于复数的开方有一定的规则和计算方法。
在实际应用中，方程的根有很多不同的含义和应用场景。
例如在物理学中，方程的根可以表示物体的位置、速度、加速度等参数。
在经济学中，方程的根可以表示市场的供求关系、价格变动等。
方程根的求解方法也不仅仅局限于一元二次方程，对于更高次的方程，也可以通过相应的公式来求解。
总结起来，方程的两个根的公式是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们求解一元二次方程的根。
通过求根公式，我们可以得到方程的两个根，并进一步应用于实际问题中。
方程求根的数值方法
定理（压缩映像原理）
设迭代函数 x＝φ (x) 在闭区间[a,b]上满足：
（1） 对任意x∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b]；
（2） 满足Lipschitz条件 x1, x2 [a,b]
(x1) (x2 ) L x1 x2 0 L 1
则 x＝φ (x) 在闭区间[a,b]上 存在唯一解x*，使 得对任意x∈[a,b]，由xk+1= φ(xk) 产生的序列 {xk}收敛于x*。
再用逐步搜索法或二分法找到误差较小的 近似根；
最后用牛顿法或弦截法给出高精度的近似 根。
作业：求下面方程的数值解。
x3 x 9 0
xsin(x) 0.5
x tan(x), x (0, 18)
精品课件！
精品课件！
谢 谢！
f (x1)
再由x0 , x2计算x3......
xn1 xn
xn x0 f (xn ) f (x0 )
f (xn )
称之为定端点弦截法.
(n 1,2,...)
定端点弦截法又称单点割线法。
若由x1, x2计算x3 ,以此类推
xn1
xn
xn xn1 f (xn ) f (xn1 )
则过P0 (x0 , f (x0 ))及P1(x1, f (x1))得弦的方程
y
f (x1)
f
(
x1 ) x1
f (x0 x0
)
(
x
x1
)
令y=0，解得弦与x轴的交点是坐标x2。
f (x1)
f
(
x1 ) x1
f( x0
x0
)
求根公式是什么求根公式有什么意义
求根公式是什么求根公式有什么意义在我们初二的时候，就要开始学习更加复杂的数学公式了，你们知道是什么吗?没错，它就是求根公式了，店铺现在就带你们去了解一下求根公式是什么，还不知道的朋友们快点看过来哦。
求根公式是什么数学求根公式是：x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a)。
所谓方程的根是方程左右两边相等的未知数的取值。
一元二次方程根和解不同，根可以相同，而解一定是不同的。
公式就是用数学符号表示各个量之间的一定关系(如定律或定理)的式子。
具有普遍性，适合于同类关系的所有问题。
在数理逻辑中，公式是表达命题的形式语法对象，除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。
求根公式有什么意义首先，这个求根公式向我们展示了这样的一个事实：二次方程的实根是由其三个系数(二次项系数a、一次项系数b、常数项c)完全确定的，也就是说，一个二次方程的三个系数知道的话，那么这个方程的实根情况也就确定了，这是一个(二次方程的)“万能”求根公式。
它向我们展示了数学的抽象性、一般性和简洁美。
其次，这个公式包括了初中阶段所学过的全部运算：加、减、乘、除、乘方、开方。
其中，除法要求分母不为零，这个是满足的;但是开平方要求被开方数非负，这个要求并不一定总能满足，基于这个原因，就导致了有的方程有实数根，有的方程没有实数根。
这一个公式里面包含六种运算，在整个初中阶段，仅此一个。
第三，这个公式的本身就回答了解二次方程的三个问题：1)方程有没有实根?这个只需看开平方能够进行，也是上面所说的被开方数是否是非负，那么就只需计算Δ=b2-4ac的符号是否非负。
2)有实根时共有几个?当Δ≥0时有两个实根。
当Δ>0时，原二次方程有两个不相等的实根;当Δ=0时，原二次方程有两个相等的实根。
3)如何求出实根?这个问题的答案就是它本身啊!你看啊，一个公式就如此完整、完全、完善的回答了三个问题，难道这个公式不应该用perfect来概括嘛?实至名归啊!第四，这个公式给我们提示了二次方程求根的解题程序，这个就是计算机的算法的模型啊!1)将所给的方程化为标准形式ax2+bx+c=0 (a≠0)确定系数a、b、c。
求根计算公式的原理和方法
求根计算公式的原理和方法求根计算公式是数学中常见的一种计算方法，用于求解方程的根。
在数学中，方程是一种数学陈述，它表达了一个或多个未知数与已知数之间的关系。
求根计算公式的原理和方法是通过一系列数学推导和运算，找到方程的根或解。
本文将从求根计算公式的原理和方法两个方面进行介绍。
求根计算公式的原理。
求根计算公式的原理是基于代数学和数学分析的理论。
在代数学中，方程的根是指方程成立的解，即满足方程等式的数值。
对于一元一次方程ax+b=0，其根为x=-b/a。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，其根可以通过求解二次方程的根公式得到。
在数学分析中，求根计算公式的原理是基于函数的零点理论。
对于一个函数f(x)，其零点即为方程f(x)=0的解。
因此，通过函数的性质和图像，可以求得方程的根。
求根计算公式的方法。
求根计算公式的方法包括了多种求解方程的技巧和算法。
在代数学中，常见的求根方法有因式分解、配方法、代数运算等。
对于一元二次方程，可以通过求解一元二次方程的根公式得到方程的解。
在数学分析中，求根计算公式的方法是基于函数的性质和图像的分析。
通过函数的增减性、奇偶性、极值点等性质，可以求得函数的零点，进而求得方程的根。
除了代数学和数学分析的方法，还有一些特殊的方程求根方法。
比如，对于高次方程或者无理方程，可以通过换元、代换、递推等方法进行求解。
对于复杂的方程，还可以通过数值计算方法进行求解。
数值计算方法是一种逼近求解的方法，通过数值计算和近似计算，可以得到方程的根。
在实际应用中，求根计算公式的方法还可以通过计算机程序进行求解。
通过编程语言和算法，可以实现对各种类型方程的求解。
比如，利用牛顿迭代法、二分法、试位法等算法，可以实现对方程的高效求解。
总结。
求根计算公式是数学中常见的一种计算方法，用于求解方程的根。
其原理和方法是基于代数学和数学分析的理论，通过一系列数学推导和运算，找到方程的根或解。
求根计算公式的方法包括了多种求解方程的技巧和算法，可以通过代数方法、数学分析方法、数值计算方法等途径进行求解。
二元一次方程的根的求根公式
二元一次方程的根的求根公式二元一次方程的根的求根公式是一种用于求解二元一次方程根的数学公式。
该公式可以根据二元一次方程的系数直接计算出方程的两个根。
具体来说，二元一次方程的根的求根公式为：x=(-b±
sqrt(b^2-4ac))/2a。
其中，a、b、c分别为二元一次方程ax^2+ bx+c中的系数，sqrt表示平方根，±表示两个解分别对应加号和减号。
使用该公式需要先将方程转化成标准形式，然后根据系数带入公式中计算即可。
如果公式中的参数b^2-4ac为负数，说明方程无实数根，即解在复数域中。
此时，可使用复数的定义和运算规则求解方程的根。
总之，二元一次方程的根的求根公式是解决方程问题时常用的数学工具之一，对数学学习和应用都具有重要的意义。
计算方法 4方程求根的迭代法
x 1
代入式(5―5)的右端可得
x 3
x0 1 1.35721
x1 与 x0 相差较大 , 如果改用 x1 作为近似根代入式
(5―5)的右端得
x2 3
x1 1
k 0,1, 2,
表 5―2
对于一般形式的方程 (5―1), 首先我们设法将其化
而这相当于过p0引平行于x轴的直线交y=x于
Q1(x1,x2)
再过Q1引平行于y轴的直线交曲线y=g(x)于
p1(x1,x2) 仿此可得到点列 p0(x0,x1),p1(x1,x2),p2(x2,x3),… 若
lim pk p
k k
lim xk x
则迭代法收敛,见图5.4(a);否则迭代法发散,见图5.4(b)。
是所求方程(5―1)的根x。
我们把每次二分后的有根区间(ak,bk)的中点
1 xk (ak bk ) 2
作为所求根x的近似值,这样获得一个近似根的序列
x0,x1,x2,…,xk,… 该序列必以根x为极限,即
lim xk x
k
1 x xk (bk ak ) bk 1 ak 1 2
k q q x xk xk xk 1 x1 x0 1 q 1 q
(5―11)
因为，对任意正整数p有
xk p xk xk p xk p 1 xk 1 xk 2 xk 1 xk ( q p q p 1 q) xk xk 1 q q p 1 xk xk 1 1 q
2. 计算框图
例1 求方程 f(x)=x3-x-1=0 在区间 (1,1.5) 内的根。要求用四位小数计算 , 精确 到10-2。
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二、算法描述
1.二分法
对方程 f (x) 0 在[a，b]内求根。
•
将所给区间二分，在分点x b a 处判断是 否 有 f (x) 0；若是，则有根 x b 2a 。
2
• 否则，继续判断是否f(a)f(x)<0,若是，则
令b=x.
• 否则令a=x。重复此过程直至求出方程 f(x)=0在[a,b]中的近似根为止。
四、自己的特色
1.方程求根的三种方法对比分析（牛顿迭代法 是迭代法中的一种） 运用前提：
二分法：函数f(x)在有根区间上连续，且区间 端点的函数值异号即可。
迭代法：递推迭代式xk+1=ψ（xk），有当k 趋于无穷大时，xk的极限存在，且ψ（xk）连续。
• 2. 方程求跟方法的搭配使用单独运用二分 法时，运行结果：
其来历：若已知方程 的一个近似 根，则函数在点附近可用一阶泰勒多 项式 p1(x) f (x0) f '(x0)(x 来x0) 近似，因此方 程可近似表示为设,则。取作为原方 程新的近似根，然后将 作为代入上 式。迭代公式为：
三、试验及分析
运行环境：codeblocks 初始界面:
程序运行：
计算方法第一单元报告
汇报组：
组员
组长 发言人
汇报引言 算法描述 试验分析 算法特色 源代码
一、引言
经过几周的学习，我们学习了第一单元的几个 算法，届时我们组几位成员分别实现几个算法，然 后在周一的课堂上经行激烈的讨论。大家相互补充 相互的。大家各抒己见，让大家体会到对三个算法 不同的理解，最终我们组决定以x的程序为基础，吸 收了y计算误差的方法，和陈宇同学提出的计算收敛 度的思想。在向、方等同学提出要将三个算法放在 一起更好的比较几个算法的效率。最后由杨、张三 位同学负责修改程序，王和肖制作展示PPT，韩写 word文档。在我们全组的共同努力之下将我们组的 讨论结果展示给大家。
f(x1)/f'(x1); （4)通过x2求出f(x2)； （5)再过(x2,f(x2))作f(x)的切线交x轴于x2； （6)再通过x3求出f(x3)，…一直求下去，直到接
近真正的根。当两次求出的根之差|xn+1-xn|≤ε就认为 xn+1足够接近于真实根。
牛顿迭代公式是：xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)
• 单独运用牛顿法时，运行结果：
• 对比分析：二分法计算次数较多，所求得的根在 误差允许范围正确，而牛顿法虽然计算次数较少， 却求不出正确结果（收敛性与初值x0有关）。
• 运用二分法为牛顿法初值： • 再运用牛顿法求近 值0.5518948，不仅减少了二分法计算次数，还 求出更精确的结果。
2、迭代法
将方程f(x)=0等价变换为x=ψ（x）形式，并建立相应
的迭代公式xk+1=ψ（x）。
3、牛顿法
用牛顿迭代法求f(x)=0在x0附近的一个实根的方 法是：
（1)选一个接近于x的真实根的近似根x1； （2)通过x1求出f(x1)。在几何上就是作x=x1,交 f(x)于f(x1); （3)过(x1,f(x1))作 f(x)的切线，交x轴于x2。可以 用公式求出x2。由于f'(x1)=f(x1)/(x2-x1),故x2=x1-
会进行运算，即表达式2“被短路 • (表达式1）||(表达式2) 如果表达式1为真，则表达式2不会
进行运算，即表达式2“hank You!
#提示：迭代法
思考题：\编一程序，计算1到n的和 要求 不能用循环 不能用if else 不能 用case 不能用乘除 不能用三目运 算。
程序中与非奇特的短路特性
• int sum(int n) •{ • int Sum=0; • n&&(Sum=sum(n-1)+n); • return Sum; •} • (表达式1）&&(表达式2) 如果表达式1为假，则表达式2不
测试数据：（0.4 ，7）,（0.5 , 7）
结论：二分法要循环k =20次，迭代法要迭代k=18次，
牛顿法要迭代k=4次才能达到精度为0.00001的要求. 计算量从大到小依次是:二分法,迭代法,牛顿法。 由此可知，牛顿法的精确度要优越于二分法。而这
三种方法中，牛顿法不仅计算量少，而且精确度高。从 而可知牛顿迭代法收敛速度明显加快。