次函数压轴题最短路径问题

最短路径问题——和最小

【方法说明】

“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小．

l

B

A

l

【方法归纳】

①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求．

l

A

l

②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．

l

B

A

③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点

C ，

D 即为所求．

O

B

O

B

④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，

BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DE ＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即

为所求．

B

O

B O

⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过

点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求．

l

l

⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝14x 2

）上的一点，点A （0，1）在y 轴正半轴．点P

在什么位置时PA ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．

1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2

－2mx ＋m 2

－1．

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；

（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．

【思路点拨】

（1）由二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；

（2）把m＝2代入求出二次函数解析式，令x＝0，求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；

（3）根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC＋PD最短，求出CD的直线解析式，令y ＝0，求出x的值，即可得出P点的坐标．

【解题过程】

解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），

∴代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得出：m2－1＝0，解得：m＝±1，

∴二次函数的解析式为：y＝x2－2x或y＝x2＋2x；

（2）∵m＝2，∴二次函数y＝x2－2mx＋m2－1得：y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，

∴抛物线的顶点为：D（2，－1），

当x＝0时，y＝3，∴C点坐标为：（0，3），∴C（0，3）、D（2，－1）；

（3）当P、C、D共线时PC＋PD最短，

【方法一】

∵C（0，3）、D（2，－1），

设直线CD的解析式为y＝kx＋3，代入得：2k＋3＝－1，∴k＝－2，∴y＝－2x＋3，

当y＝0时，－2x＋3＝0，解得x＝3

2

，∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（

3

2

，0）．

【方法二】

过点D作DE⊥y轴于点E，

∵PO∥DE，∴PO

DE

＝

CO

CE

，∴

PO

2

＝

3

4

，解得：PO＝

3

2

，

∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（3

2

，0）．

2．（11菏泽）如图，抛物线y＝1

2

x2＋bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．

【思路点拨】

（1）把点A 的坐标代入求出b 的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D 的坐标； （2）观察发现△ABC 是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明．由抛物线的解析式，分别求出点B ，C 的坐标，再得出AB ，AC ，BC 的长度，易得AC 2＋BC 2＝AB 2，得出△ABC 是直角三角形；

（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，连接C 'D 交x 轴于点M ，根据“两点之间，线段最短”可知MC ＋MD 的值最小．求出直线C 'D 的解析式，即可得出点M 的坐标，进而求出m 的值． 【解题过程】

解：（1）∵点A （－1，0）在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴12×（－1 ）2

＋b ×（－1）－2＝0，解得b ＝－32，

∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2＝12（x －32）2－258，∴顶点D 的坐标为 （32，－25

8

）．

（2）当x ＝0时y ＝－2，∴C （0，－2），OC ＝2．

当y ＝0时，12x 2－3

2

x －2＝0，∴x 1＝－1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．

∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，∴AC 2＋BC 2＝AB 2

． ∴△ABC 是直角三角形．

（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′＝2，

连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值最小． 【方法一】

设直线C ′D 的解析式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎨⎧n ＝23

2k ＋n ＝－258，解得：⎩

⎨⎧n ＝2k ＝－

4112．∴y ＝－41

12x ＋2． ∴当y ＝0时，－4112x ＋2＝0，x ＝2441．∴m ＝24

41

．

【方法二】

设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．

∵ED ∥y 轴，∴∠OC ′M ＝∠EDM ，∠C ′OM ＝∠DEM ，∴△C ′OM ∽△DEM ． ∴OM EM ＝OC ′ED ，∴m 32－m ＝2258

，∴m ＝2441

．