高考数学(四海八荒易错集)专题14 直线和圆 文
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专题14 直线和圆
1.已知圆M :x 2
+y 2
-2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是22,则圆M 与圆N :(x -1)2
+(y -1)2
=1的位置关系是( ) A .内切B .相交C .外切D .相离 答案 B
解析 ∵圆M :x 2
+(y -a )2
=a 2
,
2.已知点A (2,3),B (-3,-2),若直线kx -y +1-k =0与线段AB 相交,则k 的取值范围是( ) A .[3
4
,2]
B .(-∞,3
4
]∪[2,+∞)
C .(-∞,1]∪[2,+∞)
D .[1,2]
答案 B
解析 直线kx -y +1-k =0恒过点P (1,1),
k PA =
3-12-1=2,k PB =-2-1-3-1=3
4
; 若直线kx -y +1-k =0与线段AB 相交,结合图象(图略)得k ≤3
4
或k ≥2,故选B.
3.若方程(x -2cos θ)2
+(y -2sin θ)2
=1(0≤θ<2π)的任意一组解(x ,y )都满足不等式y ≥
3
3
x ,则θ的取值范围是( )
A .[π6,7π6
]
B .[5π12,13π
12
]
C .[π
2,π]
D .[π
3
,π]
答案 D
解析 根据题意可得,方程(x -2cos θ)2
+(y -2sin θ)2
=1(0≤θ<2π)的任意一组解(x ,y )都满足不等式y ≥
33x ,表示方程(x -2cos θ)2+(y -2sin θ)2=1(0≤θ<2π)在y =3
3
x 的左上方(包括相切), ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
|2sin θ-
3
3
×2cos θ|1+13
≥1,
2sin θ>33
×2cos θ,
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ-π6≥12,∵0≤θ<2π,∴θ∈[π3,π],故选D. 4.已知点P (x ,y )在直线x +2y =3上移动,当2x +4y
取得最小值时,过点P 引圆(x -12)2+(y +14)2=12的
切线,则此切线段的长度为________. 答案
6
2
5.已知a ∈R ,方程a 2x 2
+(a +2)y 2
+4x +8y +5a =0表示圆,则圆心坐标是______________.半径是________.
答案 (-2,-4) 5
解析 由已知方程表示圆,则a 2
=a +2, 解得a =2或a =-1.
当a =2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去. 当a =-1时,原方程为x 2
+y 2
+4x +8y -5=0, 化为标准方程为(x +2)2
+(y +4)2
=25, 表示以(-2,-4)为圆心,半径为5的圆.
6.设直线y =x +2a 与圆C :x 2
+y 2
-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若|AB |=23,则圆C 的面积为________. 答案 4π
解析 圆C :x 2
+y 2
-2ay -2=0,即C :x 2
+(y -a )2
=a 2
+2,圆心为C (0,a ),C 到直线y =x +2a 的距离为d =|0-a +2a |2=|a |2.又由|AB |=23,得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322+⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22=a 2+2,
解得a 2=2,所以圆的面积为π(a 2+2)=4π.
7.已知以点C (t ,2
t
)为圆心的圆与x 轴交于点O ,A ,与y 轴交于点O ,B ,其中O 为原点.
(1)求证:△OAB 的面积为定值;
(2)设直线y =-2x +4与圆C 交于点M ,N ,若|OM |=|ON |,求圆C 的方程. (1)证明 由题意知圆C 过原点O ,且|OC |2=t 2
+4t
2.
则圆C 的方程为(x -t )2+(y -2t )2=t 2
+4t
2,
令x =0,得y 1=0,y 2=4
t
;
令y =0,得x 1=0,x 2=2t .
故S △OAB =12|OA |×|OB |=12×|2t |×|4
t |=4,
即△OAB 的面积为定值.
(2)解 ∵|OM |=|ON |,|CM |=|CN |, ∴OC 垂直平分线段MN .
线y =-2x +4不相交,∴t =-2不符合题意,应舍去. 综上,圆C 的方程为(x -2)2
+(y -1)2
=5.
易错起源1、直线的方程及应用
例1、(1)已知直线l 1:(k -3)x +(4-k )y +1=0与l 2:2(k -3)x -2y +3=0平行,则k 的值是( ) A .1或3 B .1或5 C .3或5
D .1或2
(2)已知两点A (3,2)和B (-1,4)到直线mx +y +3=0的距离相等,则m 的值为( ) A .0或-1
2
B.1
2或-6 C .-12或12
D .0或1
2
答案 (1)C (2)B
【变式探究】已知直线l 1:ax +2y +1=0与直线l 2:(3-a )x -y +a =0,若l 1⊥l 2,则a 的值为( ) A .1 B .2 C .6 D .1或2
答案 D
解析 由l 1⊥l 2,则a (3-a )-2=0, 即a =1或a =2,选D.