辽宁省大连市复数经典例题doc
(人教版)大连市必修第二册第二单元《复数》测试(包含答案解析)
一、选择题1．已知12,z z C ∈，121z z ==，123z z +=，则12z z -=（ ） A ．0B ．1C ．3D ．22．设x ∈R ，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数132z i =--，则z z +=（ ） A ．1322i -- B ．1322i -+ C ．1322i + D ．1322i - 4．已知复数，是z 的共轭复数，则=A ．B ．C ．1D ．25．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．126．已知i 为虚数单位，复数32i2iz +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限7．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -9．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限10．若i 为虚数单位，复数z 满足33z i ≤，则2z i -的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．D ．11．已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ）A BC D12．若32a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．32-B ．23-C ．23D ．32二、填空题13．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数33z i --的最大值与最小值的乘积为___________．14．若复数z 满足||1z i -，则2z i +（i 为虚数单位）的最小值为______． 15．已知1i z z -=-+，则复数z =______.16．复数z 及其共轭复数z 满足（1+i ）z ﹣2z ＝2+3i ，其中i 为虚数单位，则复数z ＝_____ 17．已知复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为________18．若复数214tz t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限,则实数t 的取值范围是____. 19．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 20．给出下列四种说法：①-2i 是虚数，但不是纯虚数；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③已知 x y R ，∈，则 x i 1i y +=+ 的充要条件为x y 1==；④如果让实数a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确说法的为 __________．三、解答题21．复数2(1)32z i a i =--++（α∈R ）.（1）若z 为纯虚数求实数a 的值，及z 在复平面内对应的点的坐标； （2）若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a 的取值范围. 22．化简下列复数 （1）()()6532i i -++ （2）()()()56234i i i -+---+ 23．已知1z i =+，i 为虚数单位. （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求实数a ，b 的值.24．i 为虚数单位，(,)z a bi a b R =+∈是虚数， 1z zω=+是实数，且12ω-<<，11zu z-=+. （1）求||z 及a 的取值范围； （2）求2u ω-的最小值.25．已知关于x 的方程2(21)30x i x m i --+-=有实数根,求实数m 的值． 26．已知方程2320(,)x px q p q R -+=∈的两个根分别为,αβ. （1）若2i α=-，求,p q 的值； （2）若3p =，且||1αβ-=，求q 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得12z z -. 【详解】设12,z a bi z c di =+=+，则()()12z z a c b d i +=+++，()()12z z a c b d i -=-+-. 依题意得：22221,1a b c d +=+=，12z z +=⇒()()223a c b d +++=⇒()222223a b c d ac bd +++++=⇒()21ac bd +=.所以12z z -==1==.故选：B 【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.2．A解析：A 【解析】分析：先化简“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断.详解：因为复数()()211z x x i =-++为纯虚数，所以210, 1.10x x x ⎧-=∴=⎨+≠⎩因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了. 3．C解析：C 【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得132z z i +=+，从而求得结果. 详解：根据132z i =--，可得132z i =-+，且13144z =+=，所以有131312222z z i i +=-++=+，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.4．A解析：A 【分析】 利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5．C解析：C 【分析】用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案. 【详解】用向量,OA OB 表示12,z z ，因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==， 又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.6．D解析：D 【分析】利用复数的除法运算，化简32i2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可.【详解】()()()()32i 2i 32i 47i2i 2i 2i 55z +++===+--+， z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，5z ==，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.7．B解析：B 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算即可． 【详解】()15i z i -+＝，()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=- 故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题9．D解析：D 【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 【详解】由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-， 则221310()()22z =+=，z的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ． 【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为a bi -． 10．D解析：D 【分析】先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解. 【详解】因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部， 又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max 20321333z i MN R -=+=--+--=故选：D. 【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段； （3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆；（4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线.11．A解析：A 【分析】首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可. 【详解】 由题意可得：2211iz i i i i i+=+=-++=-，则1,z i z =+=故选A . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．C解析：C 【分析】先化简复数，再利用纯虚数的定义求解. 【详解】 由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13a i a i i a a ii i i -----+==++-， 因为32a ii-+为纯虚数， 则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =.故选：C 【点睛】结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠.二、填空题13．24【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为最小值为解析：24 【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由33z i --的几何意义求解即可． 【详解】设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=, 得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，33z i =--z 在复平面内对应点到点(3,3)P 的距离所以33z i --最大值为||116PA +==．最小值为||114PA -== 故最大值与最小值的乘积为2446=⨯ 故答案为：24 【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题.14．【分析】设由知点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部表示点与点的距离数形结合即可得到答案【详解】设由可得此式表示复平面上的点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部此式表示点与点的距离故所以的最小值为故答案1【分析】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +，知点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，数形结合即可得到答案. 【详解】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +可得22((1)1a b -++≤，此式表示复平面上的点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，故min 11PB AB =-==1.所以2z i +-1.1 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题.15．【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解 解析：i -【分析】设()i ,z x y x y =+∈R ，根据1i z z -=-+，得到(i 1i x y +=-+，再利用复数相等的条件列出方程组，求得,x y 的值，即可求解. 【详解】设()i ,z x y x y =+∈R，则z =因为1i z z -=-+，所以i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+，根据复数相等的条件得11x y ⎧⎪-=-⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以i z =，所以i z =-.故答案为：i - 【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的模的计算公式的应用，其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．【分析】设代入题目所给已知条件利用复数相等的条件列方程组解方程组求得的值【详解】设则于是有解得即【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算考查复数相等的概念考查方程的思想属于基础题解析：9522i -+ 【分析】设,(,)z a bi a b R =+∈，代入题目所给已知条件，利用复数相等的条件列方程组，解方程组求得z 的值. 【详解】设,(,)z a bi a b R =+∈，则()()()1223i a bi a bi i ++--=+，()()323a b a b i i --++=+，于是有233a b a b --=⎧⎨+=⎩ 解得9252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即9522z i =-+. 【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的概念，考查方程的思想，属于基础题.17．【分析】先由复数的几何意义确定集合所对应的平面区域再确定集合所对应的平面区域由复数可得复数对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分结合图像求出面积即可【详解】因为复数集合所以集 解析：72【分析】先由复数的几何意义确定集合A 所对应的平面区域，再确定集合B 所对应的平面区域，由复数z A B ∈⋂，可得复数z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可.【详解】 因为复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈，所以集合A 所对应的平面区域为1x =±与1y =±所围成的正方形区域； 又221133{|,}44B z z i z z A ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭，设1z a bi =+，且1a ≤, 1b ≤, ,a b R ∈， 所以()()()21333333444444z i z i a bi a b a b i ⎛⎫⎛⎫=+=++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2z 对应的点为(),x y ， 则()()3434x a b y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以3232a x y b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又1a ≤, 1b ≤，所以33223322x y y x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩， 因为复数z A B ∈⋂，z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可. 由321x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由321x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以11172242222S =⨯-⨯⨯⨯=阴影. 故答案为72【点睛】本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.18．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数再由复数在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组求解即可得结论【详解】在复平面内对应的点位于第四象限解得实数的取值范围是故答案为【点睛】复数是高考中的必 解析：()1,2-【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数214t z t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组,求解即可得结论.【详解】 ()()2222i 114441i i i t t z t t t t ⎡⎤-++=-+=-+=--+⎢⎥-⎣⎦， 在复平面内对应的点位于第四象限,24010t t ⎧->∴⎨--<⎩，解得12t -<<， ∴实数t 的取值范围是()1,2-，故答案为()1,2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.19．2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简再根据复数实部概念求结果详解：因为则则的实部为点睛：本题重点考查复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭复数为解析：2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为12i z i ⋅=+，则12i 2i iz +==-，则z 的实部为2. 点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、、对应点为(,)a b 、共轭复数为i a b -.20．③【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断详解：①因为是虚数也是纯虚数错误；②两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共解析：③.【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断.详解：①因为2i -是虚数也是纯虚数，错误；②两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数，如1i -和3i +，这两个复数的和为实数，但这两个复数不是共轭复数，错误；③已知,x y R ∈，则i 1i x y +=+的充要条件为1x y ==，正确；④如果让实数a 与i a 对应，那么实数集与纯虚数集不是一一对应的，如当0a =时，错误，故答案为③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查复数的基本概念，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题21．（1）23a =，(0,1)-；（2）2(,)3+∞. 【分析】（1）先化简出z 的代数形式，再根据题意求实数a 的值和z 在复平面内对应的点的坐标； （2）先化简出z 的代数形式，再根据题意建立不等式求实数a 的取值范围即可.【详解】解：因为2(1)32z i a i =--++，所以2(1)32(23)z i a i a i =--++=--（1）若z 为纯虚数，则230a -=，解得：23a =，此时z i =-，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)-，所以z 为纯虚数时实数23a =，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)- （2）若z 在复平面内对应的点位于三象限， 则23010a -<⎧⎨-<⎩，解得23a > 所以z 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围：2(,)3+∞.【点睛】本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围，是基础题.22．（1）93i -；（2）11i -.【分析】利用复数的加减运算法则求解.【详解】（1）()()6532i i -++， ()()6325i =++-，93i =-.（2）()()()56234i i i -+---+，()()523614i =--+---，11i =-.【点睛】本题主要考查复数的加减，相等，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）ω；（2）12a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）求出1z i =+的共轭复数，代入234z z ω=+-化简，再求ω；（2）根据2211z az b i z z ++=--+，得到()()21a b a i i +++=+，列方程组即可求解. 【详解】（1）已知1z i =+，1z i ∴=-，()()213141i i i ω=++--=--∴，ω∴=（2）()()22211a b a z az b i z z i i+++++==--+，()()21a b a i i ∴+++=+，121a b a +=⎧∴⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩. 【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解. 24．（1）||1z =；112a -<<；（2）1. 【分析】（1）化简ω得到22221()a b z a b i z a b a bω=+=++-++，利用ω是实数，得到220b b a b-=+，解得0b ≠，得到221a b +=，从而求得||1z =，进而求得12z a zω=+=， 根据12ω-<<，得到112a -<<； （2）各年级题意可知2121a u a aω--=++，进一步转化，利用基本不等式求得其最值. 【详解】（1）22221()a b z a b i z a b a b ω=+=++-++，因为ω是实数， 所以220b b a b-=+，又0b ≠，所以221a b +=，所以||1z = 因为12z a z ω=+=，且12ω-<<，所以112a -<<. （2）由题意知111a bi bi u a bi a ---==+++， 所以2222211222(1)(1)1b a a u a a a a a a ω---=+=+=++++ 12(1)311a a =++-≥+，当且仅当0a =时，等号成立， 所以2u ω-的最小值为1.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的分类，复数的乘法除法运算，基本不等式求最值，属于简单题目.25．112m =【解析】分析：先设方程的实根为0x ，再整理原方程为()()20003210x x m x i ++-+=，再根据复数相等的概念求m 的值.详解：设方程的实根为0x ，则()2002130x i x m i --+-=， 因为0x m R ∈、，所以方程变形为()()20003210x x m x i ++-+=， 由复数相等得200030210x x m x ⎧++=⎨+=⎩，解得012112x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故112m =. 点睛：（1）本题主要考查复数方程的解法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析转化的能力.(2) 关于x 的方程()22130x i x m i --+-=,由于x 是复数，不一定是实数，所以不能直接利用求根公式求解.26．（1）6,15p q ==；（2）94q =或154q =. 【分析】（1）由实系数一元二次方程两虚数根互为共轭虚数,结合根与系数关系即可求出,p q 的值; （2）对方程是否为实数根进行分类讨论,然后再利用韦达定理和模长公式即可得出结果.【详解】（1）方程2320(,)x px q p q R -+=∈的两个根分别为,αβ, 2i α=-，则2i β=+,由根与系数关系可得,24,63p p αβ+==∴=,5,153q q αβ==∴= 6,15p q ∴==； （2）3612,2,3q q αβαβ∆=-+==当0,3,,q αβ∆≥≤为实数根,1αβ-===,解得94q =; 当0,3,,q αβ∆<>1αβ-==,解得154q =. 94q ∴=或154q = 【点睛】本题考查实系数一元二次方程根的分类讨论,根的特征,以及根与系数的关系,考查计算能力，属于中档题.。
辽宁省大连市2024-2025学年高三上学期期中Ⅰ考试 数学含答案
2024-2025学年度上学期高三年级期中I 考试数学科试卷（答案在最后）命题人：第I 卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，复数1z 、2z在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为()A.15-B.15C.1i5- D.1i 52.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（）A.“q >0”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件B.“q >1”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件C.“q >0”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件D.“q >1”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件3.函数()()e 1sin e 1xxx f x -=+，则=的部分图象大致形状是（）A.B.C. D.4.某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为：0ektM M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg 20.3010=）A.3hB.4hC.5hD.6h5.若ππcos ,,tan 223sin αααα⎛⎫∈-= ⎪-⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.718+-B.718- C.18-D.18-6.已知ABC V 是边长为点P 是ABC V 所在平面内的一点，且满足3AP BP CP ++=，则AP的最小值是（）A.1B.2C.3D.837.已知4ln 3a π=，3ln 4b π=，34ln c π=，则a ，b ，c 的大小关系是A.c b a << B.b c a << C.b a c << D.a b c<<8.设函数()32||()e 1x f x x x=+-（44x -<<），若(21)(2)(12)f x f f x ++<-，则x 的取值范围是（）A.31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.31,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D.3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知220,0,1a b a b ab >>+-=，下列不等式恒成立的是（）A.112a b+≥ B.2a b +≥ C.332a b +≤ D.0323b <≤10.已知函数()()πsin 0,04f x A x B A ωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭（）A.若()f x 在区间π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则0ω<≤B.将函数()y f x =的图像向左平移π2个单位得到曲线C ，若曲线C 对应的函数为偶函数，则ω的最小值为13C.若函数()y f x =在区间()0,π上恰有三个极值点，则91344ω<≤ D.关于x 的方程()22f x A B=+在()0,π上有两个不同的解，则522ω<≤11.已知()f x 是定义在R 上连续的奇函数，其导函数为()g x ，()()424f x f x =-，当[]2,1x ∈--时，()0g x '>，则（）A.()g x 为偶函数B.()f x 的图象关于直线12x =对称C.4为()g x 的周期D.()g x 在2026x =处取得极小值第II 卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分.12.已知向量()1,2a =-，()1,b λ= ，若a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.13.设实数x 、y 、z 、t 满足不等式1100x y z t ≤≤≤≤≤，则x zy t+的最小值为______.14.若存在正实数x ，使得不等式()2ln 2ln 00axa x a ⋅⋅-≤>成立，则a 的最大值为______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，5c 5c s os o a CA cb -=.（1）求c ；（2）若7b =，π3B =，点M 在线段BC 上，5AM =，求MAC ∠的余弦值.16.已知函数()()212ln 0af x x a x=-->．（1）当4a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设函数()f x 的极大值为()M a ，求证：()11M a a+≤．17.已知函数()()2ln 2f x x a x a x =+-+，()ln 1g x x x x a =--+，a ∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()1ln f x g x a x +≥+对任意1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.18.已知数列{}n a 满足递推关系，()2*1231n n n n a a ma n N a +++=∈+，又1=1a .（1）当1m =时，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 满足不等式1n n a a +≥恒成立，求m 的取值范围；（3）当31m -≤<时，证明12111111112nn a a a +++≥-+++ .19.对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}na 是“优分解”的．（1）证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．（2）记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N，，证明：如果数列{}na 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．2024-2025学年度上学期高三年级期中I考试数学科试卷命题人：第I卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】ACD第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分.【12题答案】【答案】1(,2)(2,)2∞--⋃-【13题答案】【答案】15##0.2【14题答案】【答案】1e ln 2四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）5；（2）1314.【16题答案】【答案】（1）690x y --=（2）证明见解析【17题答案】【答案】（1）答案见解析；（2）(,0]-∞.【18题答案】【答案】（1）21nn a =-；（2）3m ≥-；（3）证明见解析.【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）122n n a -=+。
辽宁大连市第二十四中学高考数学复数习题及答案百度文库
一、复数选择题1．已知复数()2m m m iz i--=为纯虚数，则实数m =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．0或1 2．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1C ．－iD ．i 3．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知复数31iz i -=，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -5．复数312iz i=-的虚部是（ ） A ．65i -B ．35iC ．35D ．65-6．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ）A 2B ．2C ．2D ．87．若复数z 满足421iz i+=+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i - 8．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i --C ．3i +D ．3i -+9．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设复数2i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z 的实部为，则z 为（ ）A ．1 BC ．2D ．412．若1i iz ，则2z z i ⋅-=（ ）A ．B ．4C ．D ．813．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（ ） A ．22z +=B ．22z i +=C ．24z +=D ．24z i +=14．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4B ．2C ．0D ．1-15．已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A ．75B ．75-C ．15D ．15-二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限17．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 18．下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =19．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =20．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限21．若复数z 满足()1z i i +=，则（ ）A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =22．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 23．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限24．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >25．下列命题中，正确的是（ ） A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数26．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限27．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=28．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数 D ．纯虚数z 的共轭复数是z -29．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ）A ．1B ．4-C ．0D ．530．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．C 【分析】结合复数除法运算化简复数，再由纯虚数定义求解即可 【详解】解析：因为为纯虚数，所以，解得， 故选：C. 解析：C 【分析】结合复数除法运算化简复数z ，再由纯虚数定义求解即可 【详解】 解析：因为()()22m m m iz m m mi i--==--为纯虚数，所以200m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得1m =，故选：C.2．B【分析】，然后算出即可. 【详解】由题意，则复数的虚部为1 故选：B解析：B 【分析】1iz i -+=，然后算出即可. 【详解】 由题意()11111i i i i z i i i i -+-+--====+⋅-，则复数z 的虚部为1故选：B3．A 【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案． 解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i ∵复数Z 的实部2＞0，虚解析：A 【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案． 解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i ∵复数Z 的实部2＞0，虚部1＞0 ∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限 故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，是解答本题的关键．4．B 【分析】化简复数，可得，结合选项得出答案． 【详解】则，的虚部为 故选：B解析：B 【分析】化简复数z ，可得z ，结合选项得出答案． 【详解】()311==11i iz i i i i i--=-=+- 则1z i =-，z 的虚部为1- 故选：B5．C 【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部． 【详解】 因为，所以复数z 的虚部是． 故选：C ．解析：C 【分析】由复数除法法则计算出z 后可得其虚部． 【详解】 因为33(12)366312(12)(12)555i i i i i i i i +-===-+--+， 所以复数z 的虚部是35． 故选：C ．6．B 【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模. 【详解】由图象可知，，则， 故. 故选:B.解析：B 【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模. 【详解】由图象可知1z i =，22z i =-，则1222z z i -=-+，故12|22|z z i -=-+== 故选:B .7．C 【分析】首先根据复数的四则运算求出，然后根据共轭复数的概念求出. 【详解】 ，故. 故选：C.解析：C 【分析】首先根据复数的四则运算求出z ，然后根据共轭复数的概念求出z . 【详解】()()()()421426231112i i i iz i i i i +-+-====-++-，故3z i =+. 故选：C.8．A 【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】 因为， 所以，复数的共扼复数是， 故选：A解析：A 【分析】根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】因为313i z i ⋅=-， 所以()13133iz i i i i-==-=+-， 复数z 的共扼复数是3z i =-， 故选：A9．B 【分析】先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】 因为，所以，故对应的点位于复平面内第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计解析：B 【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-， 故z 对应的点位于复平面内第二象限. 故选：B.本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.10．D 【分析】先求出，再求出，直接得复数在复平面内对应的点 【详解】因为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限. 故选：D解析：D 【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点 【详解】 因为211i z i i==++，所以1z i -=-，z 在复平面内对应点()1,1-，位于第四象限.故选：D11．B 【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】因为的实部为，所以可设复数， 则其共轭复数为，又， 所以由，可得，即，因此. 故选：B.解析：B 【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果. 【详解】因为z ，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B.12．A 【分析】化简复数，求共轭复数，利用复数的模的定义得．因为，所以， 所以 故选：A解析：A 【分析】化简复数z ，求共轭复数z ，利用复数的模的定义得2i z z --． 【详解】 因为1111i z i i i+==+=-，所以1z i =+，所以()()211222z z i i i i i ⋅-=-+-=-= 故选：A13．B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数对应的点为，所以 ，满足则 故选：B解析：B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B14．A 【分析】先利用复数的乘法运算法则化简，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ． 【详解】 ， 故选：A解析：A先利用复数的乘法运算法则化简()()112i i +-，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()112i i +-1223i i i =-++=-3a bi i ∴+=+ 3,1a b ==，4a b +=故选：A15．D 【分析】先化简，求出的值即得解. 【详解】 ， 所以. 故选：D解析：D 【分析】 先化简345ia bi -+=，求出,ab 的值即得解. 【详解】22(2)342(2)(2)5i i ia bi i i i ---+===++-，所以341,,555a b a b ==-∴+=-. 故选：D二、多选题 16．AD 【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD 【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-，所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 18．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.19．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 20．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.21．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭 解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-， 所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题22．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-1=2w ∴===-.所以复数w 对应的点为1(,22-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23．ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误， 复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.24．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.25．ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确． 对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．26．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】 求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312442ω⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；221111222122ω---====-⎛⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.27．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 28．AB由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确； 当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题． 29．ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.30．CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
辽宁省大连市2024年数学(高考)部编版模拟(综合卷)模拟试卷
辽宁省大连市2024年数学（高考）部编版模拟(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题若集合，，则（）A．B．C．D．第(2)题若复数，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(3)题复数，为虚数单位，则A．B．C．D．第(4)题记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．15第(5)题已知集合，集合，则（）A．B．C．D．或第(6)题甲､乙去同一家药店各购一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B､C三种医用外科口罩，则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（）A．B．C．D．第(7)题已知函数的导函数，则下列结论正确的是A．在处有极大值B．在处有极小值C．在上单调递减D．至少有3个零点第(8)题已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知，，则（）A．B．C．D．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A．若，则是等差数列B．若，则是等比数列C ．若，则数列为递增数列D．若数列为等差数列，，则最小第(3)题七巧板是古代中国劳动人民的发明，顾名思义，它由七块板组成，其中包括五个等腰直角三角形，一个正方形和一个平行四边形.利用七巧板可以拼出人物､动物等图案一千余种.下列说法正确的是（）A．七块板中等腰直角三角形的直角边边长有3个不同的数值，它们的比为B．从这七块板中任取两块板，可拼成正方形的概率为C．从这七块板中任取两块板，面积相等的概率为D．使用一套七巧板中的块，可拼出不同大小的正方形3种三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
2021-2022学年辽宁省大连市高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年辽宁省大连市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数，其中是虚数单位，则的共轭复数是（ ）()i 12i z =-i z A ．B ．C ．D ．2i -2i+12i+12i-A【分析】结合复数乘法、共轭复数等知识求得正确答案.【详解】.()2i 12i i,2iz z =+==--故选：A 2．若，且为第四象限角，则的值为（ ）12cos 13α=αtan αA ．B ．C ．D ．125125-512512-D【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于，且为第四象限角，12cos 13α=α所以，5sin 13α==-.sin 5tan cos 12ααα==-故选：D3．若、是空间中两条不同的直线，则的充分条件是（ ）a b a b ∥A ．直线、都垂直于直线B ．直线、都垂直于平面a b l a b αC ．直线、都与直线成角D ．直线、都与平面成角a b l 30°a b α60︒B【分析】根据线线平行、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，都与垂直，可能，A 选项错误.,a b l a b ⊥B 选项，都垂直于平面，则，B 选项正确.,a b αa b ∥C 选项，都与成角，可能相交，C 选项错误.,a b l 30°,a bD 选项，都与平面成角，可能异面，D 选项错误.,a b α60︒,a b 故选：B4．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径，16cm AB =圆柱体的高，圆锥体的高，则这个陀螺的表面积是（ ）8cm BC =6cm CD =A ．B ．C ．D ．2192πcm 2208πcm 2272πcm 2336πcm C【分析】结合组合体表面积的计算方法计算出正确答案.【详解】圆柱、圆锥的底面半径为，8cm，10cm =所以陀螺的表面积是.22π82π88π810272πcm ⨯+⨯⨯+⨯⨯=故选：C5．如图，小明同学为测量某建筑物的高度，在它的正东方向找到一座建筑物，CD AB 高为，在地面上的点（，，三点共线）测得楼顶、建筑物顶部的仰12m M B M D A C 角分别为和，在楼顶处测得建筑物顶部的仰角为，则小明测得建筑物15︒60︒A C 30°的高度为（ ）（精确到CD 1m 1.414≈ 1.732≈A ．B ．C ．D ．42m 45m 51m 57mD【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，进而求得.AM CM CD 【详解】在直角三角形中，，ABM 1212sin15,sin15AM AM ︒==︒在三角形中，，ACM 301545,1806015105CAM CMA ∠=︒+︒=︒∠=︒-︒-︒=︒，1801054530ACM ∠=︒-︒-︒=︒由正弦定理得,sin 45sin 45sin 30sin 30CM AM AM CM ==⋅︒=︒︒︒在直角三角形中，CDM sin60,sin60CDCD CMCM︒==⋅︒======.363612 1.73257m=+=+⨯≈故选：D6．设是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是A B C D，，，A．若与共面，则与共面AC BD AD BCB．若与是异面直线，则与是异面直线AC BD AD BCC．若==，则AB AC DB，DC AD BC⊥D．若==，则=AB AC DB，DC AD BCD【分析】由空间四点共面的判断可是A,B正确，；C,D画出图形，可以判定AD与BC不一定相等，证明BC与AD一定垂直．【详解】对于选项A，若与共面，则与共AC BD A B C D AD，，，是四点共面，则BC面，正确；对于选项B，若与是异面直线，则四点不共面，则与是异面AC BD,,,A B C D AD BC直线，正确；如图，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC不一定相等，∴D错误；对于C,当四点共面时显然成立，A B C D，，，当四点不共面时，取BC的中点M，连接,,,A B C DAM、DM，AM⊥BC，DM⊥BC，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，∴C正确；本题通过命题真假的判定，考查了空间中的直线共面与异面以及垂直问题，是综合题．7．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，sin 2y x =ϕcos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则的值可以是（ ）ϕA ．B ．C ．D ．12π6π3π23πD【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于的ϕ等式，即可得出结果.【详解】因为，2cos 2sin 2sin 26623y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数sin 2y x =ϕ的图象，()()sin 2sin 22y x x ϕϕ=-=-⎡⎤⎣⎦由题意可得，可得，当时，，()2223k k ππϕ=-∈Z ()3k k πϕπ=-∈Z 1k =23ϕπ=故选：D.8．已知圆台上下底面半径分别为3、4，圆台的母线与底面所成的角为．且该圆台45︒上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．100π5003π200π7003πB【分析】根据圆台轴截面及已知求圆台的高，再根据球体半径与圆台上下底面半径的几何关系列方程求出球体半径，进而求球体的体积.【详解】由题意，轴截面如下图示，1AE DE ==若球体半径为R ，则，可得.229(1R -=5R =所以该球体积为.3450033R ππ=故选：B 二、多选题9．设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出1z 2z 1OZ 2OZ的是（ ）12OZ OZ ⊥A ．B ．C ．D ．12i z z =122z z =12=z z 1212z z z z +=-AD【分析】A 根据的几何意义判断；B 由即可判断；C 由12i z z =122OZ OZ =即可判断；D 由并结合向量数量积的运算律即可12||||OZ OZ = 1212OZ OZ OZ OZ +=- 判断.【详解】A ：等价于将绕原点逆时针旋转得到，即，符12i z z =2OZ 90︒1OZ 12OZ OZ ⊥合；B ：等价于，即共线，不符合；122z z =122OZ OZ =12,OZ OZ C ：等价于，但不一定有，不符合；12=z z 12||||OZ OZ =12OZ OZ ⊥ D ：等价于，两边平方并应用数量积的运算律1212z z z z +=-1212OZ OZ OZ OZ +=-可得，即，符合.120OZ OZ ⋅=12OZ OZ ⊥ 故选：AD10．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（ ）A．B．C．D．ABC【分析】根据正方体截面过外接球球心，讨论截面是否过顶点及所过顶点个数、是否与侧面平行，即可判断截面图形的元素.【详解】当过球心的截面不平行于侧面且不过顶点时，截面图形为A；当过球心的截面平行于一对侧面时，截面图形为C；当过球心的截面过其中4个顶点，则截面图形为圆中含一个长方形，B正确，D错误.故选：ABC11．下列各式正确的是（）A．B．()()1tan11tan442+︒+︒=12sin10-=︒C．D．23sin7022cos10-=-︒︒)tan70cos102012︒⋅︒︒-=AC【分析】结合三角恒等变换对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，()tan1tan44tan45tan144,11tan1tan44︒+︒︒=︒+︒=-︒⋅︒，tan1tan441tan1tan44︒+︒=-︒⋅︒所以()()1tan11tan441tan1tan44tan1tan44+︒+︒=+︒+︒+︒⋅︒，A选项正确.tan1tan44tan1t211an44︒⋅︒+︒⋅+-︒==B选项，1sin10=︒()()2cos60cos10sin60sin102cos601011sin20sin2022︒︒-︒︒︒+︒==︒︒，B选项错误.cos70sin20444sin20sin20︒︒=⋅=⋅=︒︒C 选项，，C 选项正确.23sin 703cos 203cos 2021cos 203cos 202cos 10222--︒-︒===+︒-︒-︒-︒D选项，)sin 70tan 70cos10201cos101cos 70⎫︒︒⋅︒⋅︒-=⋅︒⋅⎪⎪︒⎭cos 20cos10sin 20︒=⋅︒cos10︒，D 选项错误.()sin 20301sin10︒-︒===-︒故选：AC12．已知函数在区间上单调，且满足()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭有下列结论正确的有( )73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若，则函数的最小正周期为；()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x πC ．关于x 的方程在区间上最多有4个不相等的实数解()1f x =[0,2)πD ．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为()f x 213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ω8,33⎛⎤ ⎥⎝⎦ABD【分析】A ：在上单调，，，故()f x 73,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73212423πππ+=；203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭56x π=23x π=2x π=()f x 上单调，据此可求出f (x )周期的范围，从而求出ω的范围.再根据5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭知是f (x )的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭512x π=倍即可求出ω，从而求出其周期；()214k k +∈Z C ：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；D ：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在203f π⎛⎫=⎪⎝⎭23π()f x 23π⎡⎢⎣136π⎫⎪⎭()f x 区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围.213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭13252632T T ππ<- 【详解】A ，∵，∴在上单调，又7375,,124126ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 73,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴，故A 正确；73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73212423πππ+=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，区间右端点关于的对称点为，∵，f (x )在75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭56x π=23x π=2x π=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭为的最小正周期，即3，又，∴.若512(62322T T ππππω-==⋅ ()f x )ω0>ω03ω< ，则的图象关于直线对称，结合，得()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x 512x π=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即，故()252121312442k k T k ππππω++-===⋅∈Z ()42k k ω=+∈Z k ＝0，，故B 正确.2,T ωπ==C ，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而03ω< 23T π()f x [)0,2π在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多()1f x =x ()1f x =[)0,2π有3个不相等的实数解，故C 错误.D ，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在203f π⎛⎫=⎪⎝⎭23π()f x 23π⎡⎢⎣136π⎫⎪⎭()f x 区间上恰有5个零点，则，结合，得，213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭13252632T T ππ<- 2T πω=81033ω< 又，∴的取值范围为，故D 正确.03ω< ω8,33⎛⎤⎥⎝⎦故选：ABD.本题综合考察的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，()()()sin 0f x x ωϕω=+>解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍.()214k k +∈Z 三、填空题13．函数的最小正周期为___________.()tan2xf x =2π直接由正切函数的周期公式可得答案.【详解】.212T ππ==故答案为.2π14．如图，在正四棱柱中，，是棱的中点，异面直1111ABCD A B C D-1AB =E BC 线与所成角的余弦值为，则______．1AB 1CE m m=127-【分析】作辅助线，根据异面直线的定义找到与所成角，解三角形即可求得1AB 1C E 答案.【详解】在正四棱柱中，连接 ,1111ABCD A B C D-1DC 则由于四边形是平行四边形，故 ,1111,AD B C AD B C =∥11AB C D 11AB DC ∥故异面直线与所成角即为与所成角,1AB 1C E 1DC 1C E 即即为异面直线与所成角或其补角，1DC E ∠1AB 1C E 设,则所以 ,12AA=1AB ==112,4CC DC ====1DE C E ===所以,1cos DC E ∠==故异面直线与所成角的余弦值为，则1AB 1C E m m =15．已知函数不是常数函数，且函数满足：定义域为，的图象关于()f x ()f x R ()f x 直线对称，的图象也关于点对称．写出一个满足条件的函数2x =()f x ()1,0______．（写出满足条件的一个即可）()f x （答案不唯一）()ππsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭【分析】根据对称性确定正确答案.【详解】依题意，不是常数函数，定义域为，()f x R 图象关于直线对称，也关于点对称，2x =()1,0所以符合题意.()ππsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭故（答案不唯一）()ππsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭16．如图，四边形为正方形，平面，，若ABCD AG ⊥ABCD ////AG DF CE ，，，则______．3AG AB ==2DF =1CE =:B EGD G BEF V V --=22:1【分析】将几何体补全为正方体，由、G BEF ABCD GIHJ G HEBJ G HIFE B CDFE B DFGA V V V V V V ------=----求出体积，即可得结果.B EGD ABCD GIHJ G HEBJ G HIDE E BCD G ABD V V V V V V ------=----【详解】将几何体补全为正方体，如下图示，G BEF ABCD GIHJ G HEBJ G HIFE B CDFE B DFGAV V V V V V ------=----111111112735333333335332323232=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯.3=B EGD ABCD GIHJ G HEBJ G HIDE E BCD G ABDV V V V V V ------=----111111112735335313333332323232=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯.6=所以.:2:1B EGD G BEF V V --=故2:1四、解答题17．已知向量，．()1,2a =(),3b x =(1)若，求的值；()3a b b -⊥ x (2)若向量，夹角为锐角，求的取值范围．a b x(1)；x =(2)或.362x -<<32x >【分析】（1）应用向量线性运算坐标表示可得，根据向量垂直的坐标3(3,3)a b x -=- 表示即可求参数值；（2）由题设有，注意排除，同向共线时对应x 值即可.60a b x ⋅=+> a b【详解】(1)由题设，，又，3(3,3)a b x -=- ()3a b b-⊥ 所以，即，(3)90x x -+=2390x x --=可得.x =(2)由题设，，即，60a b x ⋅=+>6x >-当，同向共线时，有且，此时，可得，不满足，夹角a b a b λ= 0λ>132x λλ=⎧⎨=⎩32x =a b 为锐角，综上，或.362x -<<32x >18．如图1，菱形中，，，垂足为点，将沿翻折ABCD 60A ∠=︒DE AB ⊥E AED DE 到，使，如图2．A ED ' A E BE '⊥(1)求证：平面；A E '⊥EBD (2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求的值；若不存A D 'F EF ∥A BC 'DFFA '在，说明理由．(1)证明见解析；(2)存在，.1DFFA ='【分析】（1）推导出，由此能证明平面.,,DE AE A E DE A E BE ⊥⊥⊥''A E '⊥BCDE（2）分别取的中点，连接，推导出四边形是平行,A D A C '',F M ,,EF FM BM EBMF 四边形，，从而在线段上存在一点，使平面，且.//EF BM A D 'F //EF A BC '1DFFA ='【详解】(1)在菱形中，，ABCD ,DE AB DE AE ⊥∴⊥ ，,,A E DE A E BE DE BE E ''∴⊥⊥⋂= 平面.A E '∴⊥EBD (2)在线段上存在一点，使平面.A D 'F EF //A BC '理由如下：分别取的中点，连接，,A D A C '',F M ,,EF FM BM 为的中位线，，且，FM A DC 'FM DC ∴∥12FM DC =在菱形中，，且，ABCD EB DC ∥12EB DC=，且四边形是平行四边形，，FM EB ∴∥,FM EB =∴EBMF EF BM ∴∥平面平面，EF ⊄ ,A BC BM '⊂A BC '平面，EF ∴ A BC '为中点，F A D '.1DFFA ∴'=19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数O ()sin cos f x a x b x =+(),a M b O =的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．()f x ()f x OM (1)若向量为的相伴特征向量，求实数的值；()2,2m =()sin 4h x x πλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭λ(2)记向量的相伴函数是，求在的值域．()5,12m =()f x ()f x 20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(1)(2)⎤⎥⎦【分析】（1）根据已知相伴特征向量的定义可得，即可求解；()2sin 2cos h x x x =+（2）根据相伴函数的定义结合三角恒等变换得到函数的解析式，利用正弦型函数()f x 的性质求解值域即可.【详解】(1)解：因为向量为的相伴特征向量，()2,2m =()sin 4h x x πλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则，()sin 2sin 2cos 44h x x x x x ππλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得.λ=(2)解：因为向量的相伴函数是()5,12m =，()5125sin 12cos 13sin cos 1313f x x x x x ⎛⎫=+=⨯+ ⎪⎝⎭设，则，512cos ,sin 1313θθ==sin 1θ<<32ππθ<<所以，()13sin()f x x θ=+当时，，20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2,3x πϕϕϕ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦当时，函数有最大值为13，2x πϕ+=()f x 当时，即，函数有最小值为23x πϕϕ+=+23x π=()f x，222()5sin 12cos 333f πππ=⨯+⨯=故函数的值域为.()f x ⎤⎥⎦20．如图，在直三棱柱中，，且111ABC A B C -AC BC ⊥AC ==BC ，是棱的中点，是棱上的点，满足．12AA AB=D 1BB E 1CC 15CE EC =(1)证明：平面；AD ⊥1A DE (2)求直线与平面所成角的正弦值．AE 1ABB (1)证明见解析【分析】（1）先根据数量关系证明线线垂直，然后可得线面垂直；（2）先求解到平面的距离，然后根据线面角的定义求解正弦值.E 11ABB A【详解】(1)证明：因为，且;AC BC ⊥AC ==BC 3AB =因为，所以；12AA AB =16AA =因为是棱的中点，所以，D 1BB 1AD A D ==因为，所以；22211AD A D AA +=1AD A D ⊥因为，，所以；15CE EC =16AA =11,5C E CE ==在直角梯形中，，所以.11C B DE 11B C =13B D =DE =在直角三角形中，，所以ACE AC ==5CE AE 因为，所以.222AD DE AE +=AD DE ⊥由，，且，所以平面.1AD A D ⊥AD DE ⊥1=A D DE D ⋂AD ⊥1A DE (2)在直角三角形中，作于，如图，ACB CH AB ⊥H由等面积法可得；CH 由直棱柱的性质可得，所以平面;1AA CH ⊥CH ⊥11ABB A因为平面，所以到平面，1//CC 11ABB A E 11ABBA 设直线与平面所成角为，则AE 1ABB θsinθ==21．已知平面四边形中，，，．ABCD AB AD =AB AD ⊥AC =1BC =(1)若，求四边形的面积；56ACB π∠=ABCD (2)若记，．()0ACB θθπ∠=<<()CD f θ=①求的解析式；()f θ②求的最小值及此时角的值．CD θ(2)①②，此时．()f θ=CD 14πθ=【分析】（1）由余弦定理求得，，继而得，，根据三AB =cos CAB ∠sin DAC ∠AD 角形的面积公式可求得答案；（2）①由余弦定理求得，再由正弦定理求得，继而得，AB sin CAB ∠cos DAC ∠，根据余弦定理可求得；AD ()f θ②由角的范围和正弦函数的性质可求得的最小值及此时角的值．CD θ【详解】(1)在中，，，所 以ABCAC=1BC =56ACB π∠=，222+2cos AB AC CB AC BCACB =-⋅∠即，所以2225+11cos6AB π=-⨯AB =所以，222cos 2CA AB BCCABCA AB +-∠===⋅又，，所以AB AD =AB AD ⊥sin DAC ∠=AD AB ==所以，151sin 26ABC S π=⨯=19sin 24ADC S DAC =∠= 所以四边形ABCD (2)①在中，，，所 以ABC AC =1BC =ACB θ∠=，222+2cos AB AC CB AC BC θ=-⋅即，所以，222+11cos AB θ=-⨯24AB θ=-又，所以sin sin AB CB CAB θ=∠sinCAB ∠=又，，所以AB AD =AB AD⊥co s DAC ∠=，224A AB D θ=-=所以2222+cos AD AC CD AD AC DAC-⋅=∠4+3θ=--，7+4πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以；()CD f θ==②因为，所以，0θπ<<5444πππθ<<+所以当，即时，，42ππθ=+4πθ=min 14CD f π⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以，此时．CD 14πθ=关键点睛：本题主要考查运用正弦定理、余弦定理解三角形，关键在于运用正弦定理 、余弦定理表示其边和角得的解析式.()f θ22．如图，在四棱锥中，，底面为正方形．记直线S ABCD -SAB SAD∠=∠π2≤ABCD 与平面所成的角为．SA ABCD θ(1)求证：平面平面；SAC ⊥SBD (2)若二面角的大小为，求的值；B SA D --2π3cos θ(3)当时，、中点为，，点为线段上的动点（包括端点），π2θ=SB BC M N P CD ，二面角的大小记为，求的取值范围．2SA AB =M NP A --αtan α(1)证明详见解析(3)2⎤⎦【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.BD ⊥SAC SAC ⊥SBD （2）判断出直线与平面所成的角，解直角三角形求得.SA ABCD θcos θ（3）作出二面角的平面角，结合三角函数值域的求法，求得的取值M NP A --tan α范围.【详解】(1)连接，交点设为，连接.,AC BD O SO 依题意可知，所以，SAB SAD ≅ AB SD =所以三角形中，，SBD SO BD ⊥由于，,BD AC AC SO O ⊥⋂=所以平面，BD ⊥SAC 由于平面，BD ⊂SBD 所以平面平面.SAC ⊥SBD (2)过作，垂足为，连接，B BK SA ⊥K DK 由已知，得，SAB SAD ≅ DK SA ⊥所以是二面角的平面角，BKD ∠B SA D --所以.2π3BKD ∠=设正方形的边长为，则，ABCD a BD =所以，,BK DK AK ===由于，,,DK SA BK SA DK BD K ⊥⊥⋂=所以平面，则.SA ⊥DKB SA KO ⊥过作，垂足为，S SE AC ⊥E 由于平面，所以，BD ⊥SAC BD SE ⊥由于，所以平面，AC BD O = SE ⊥ABCD 所以，即是直线与平面所成角.SAC θ∠=SAC ∠SA ABCD 在中，，Rt AKOAO =所以cos AK AO θ==(3)取中点，过作，垂足为，连接，AB Q Q QR NP ⊥R ,MQ MR 则为二面角的平面角，即，MRQ ∠M NP A --MRQ α∠=则，tan MQ QR α=由已知，设正方形的边长为，则，=MQ AB ABCD a MQ AB a ==在正方形中，设，ABCD PNC β∠=，当时，在三角形中，QN =π,arc tan 24PNC β⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦QNR ，3π3ππarc tan 2,442QNR β⎡⎤∠=-∈-⎢⎥⎣⎦()()3π3π3πsin arc tan 2sin cos arc tan 2cos sin arc tan 2444⎛⎫-=- ⎪⎝⎭==，3πsin 4β⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦.3πsin 4QR QN β⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.tan MQ QRα==当时，在三角形中，，π0,4PNC β⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦QNR πππ,442QNR β⎡⎤∠=+∈⎢⎥⎣⎦，.πsin 4β⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦πsin 4QR QN β⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭.tan 2MQQRα⎤==⎦综上所述，的取值范围是.tanα2⎤⎦。
复数经典例题(word文档良心出品)
经典例题透析类型一：复数的有关概念例1．已知复数22276(56)()1a az a a i a Ra-+=+--∈-，试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.思路点拨：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.解析：（1）当z为实数时，有2256010a aa⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩1661a aaa=-=⎧⇒⇒=⎨≠±⎩或，∴当6a=时，z为实数. （2）当z为虚数时，有2256010a aa⎧--≠⎪⎨-≠⎪⎩16161a aa aa≠-≠⎧⇒⇒≠±≠⎨≠±⎩且且，∴当a∈（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z为虚数. （3）当z为纯虚数时，有222560761a aa aa⎧--≠⎪⎨-+=⎪-⎩166a aaa≠-≠⎧⇒⇒∈∅⎨=⎩且∴不存在实数a使z为纯虚数.总结升华：由于a∈R，所以复数z的实部与虚部分为22761a aa-+-与256a a--.①求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；②求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；③求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为0），还需虚部不为0，两者缺一不可.举一反三：【变式1】设复数z=a+bi （a 、b ∈R ），则z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ）A ．a=0B ．a=0且b ≠0C ．a ≠0且b=0D ．a ≠0且b ≠0【答案】A ；由纯虚数概念可知：a=0且b ≠0是复数z=a+bi （a 、b ∈R ）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择A.【变式2】若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A.1B.2C.1或2D.-1【答案】B ；∵2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，∴2320a a -+=且10a -≠，即2a =.【变式3】如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m=（ ）A ．1B ．－1 CD．【答案】B ；【变式4】求当实数m 取何值时，复数22(2)(32)z m m m m i =--+-+分别是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.【答案】（1）当2320m m -+=即1m =或2m =时，复数z 为实数；（2）当2320m m -+≠即1m ≠且2m ≠时，复数z 为虚数；（3）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--0230222m m m m 即1m =-时，复数z 为纯虚数. 类型二：复数的代数形式的四则运算例2. 计算：（1）()n i n N +∈； (2)8(1)i +(3)(12)(12)i i +÷-; (4)ii i i 4342)1)(41(++++- 解析：(1)∵21i =-，∴32i i i i =⋅=-，4221i i i =⋅=，同理可得：当41()n k k N +=+∈时，4144()k k k i i i i i i +=⋅=⋅=当42()n k k N +=+∈时，42421k k i i i +=⋅=-，当43()n k k N +=+∈时，4343k k ii i i +=⋅=- 当44()n k k N +=+∈时，4444()1k k k i i i i =⋅==，∴4114243144n i n k k N n k k N i i n k k N n k k N =+∈⎧⎪-=+∈⎪=⎨-=+∈⎪⎪=+∈⎩（，）（，）（，）（，）()n N +∈ (2)8(1)i +24444[(1)](2)216i i i =+=== (3)(12)(12)i i +÷-1212i i+=-2222(12)(12)1(2)43434(12)(12)1(2)555i i i i i i i i i ++++-+====-+-+- (4)i i i i 4342)1)(41(++++-1432434i i i +-++=+227(7)(34)3434i i i i ++-==++ 21432825251.2525i i i i ++--===- 总结升华：熟练运用常见结论： 1）ni 的“周期性”（n N +∈）2）2(1)2i i ±=±3）22()()a bi a bi a b +-=+ 举一反三：【变式1】计算：（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)（2）(12)(34)(2)i i i +--（3）23100i i i i ⋅⋅⋅⋅L（4）3322(1)(1)(1)(1)i i i i +--+-- ； 【答案】（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)=[(5―2)+(―6―1)i]―(3+4i)=(3―7i)―(3+4i)=(3―3)+(―7―4)i=―11i.（2）(12)(34)(2)(112)(2)247i i i i i i +--=+-=-（3）231001210050504126222()1i i i i i i i i i +++⋅⋅⋅⋅===⋅==-L L（4）332222(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(1)2(1)(1)(1)2(2)4i i i i i i i i i i i i i i i +--+⋅+---++-==+----2214i i⋅== 【变式2】复数()221i i +=( )A.4-B.4C.4i -D.4i【答案】A ；()()222121212244i i i i i i i +=+-=⨯==-【变式3等于( )i +i 【答案】A1-i i ===，故选A 【变式4】复数31()i i -等于( )A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D ；333311()()(2)88i i i i i i i--=+===-. 类型三：复数相等的充要条件例3、已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x ―1)+(3―y)i=y ―i ，求x 、y.思路点拨：因x ∈R ，y 是纯虚数，所以可设y=bi （b ∈R 且b ≠0），代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.解析：∵y 是纯虚数，可设y=bi （b ∈R ，且b ≠0），则(2x ―1)+(3―y)i ＝(2x ―1)+(3―bi )i ＝（2x －1+b ）+3i ，y ―i =bi －i=（b －1）i由(2x ―1)+(3―y)i=y ―i 得（2x ―1+b ）+3i=（b ―1）i ， 由复数相等的充要条件得42103132b x b b x =⎧-+=⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎩⎪⎩， ∴32x =-，4y i =. 总结升华：1. 复数定义：“形如z a bi =+（,a b R ∈）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这一形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实，把复数问题转化为实数问题来研究.这是解决复数问题的常用方法.2．复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数a+bi 与c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）相等的充要条件是a=c 且b=d ，可得到两个实数等式.3.注意左式中的3―y 并非是(2x ―1)+(3―y)i 的虚部，同样，在右边的y ―i 中y 也并非是实部.举一反三：【变式1】设x 、y 为实数，且5______1-1-21-3x y x y i i i+=+=，则 【答案】由51-1-21-3x y i i i +=得5(1)(12)(13)2510x y i i i +++=+ 即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)，即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0，故52-50-154-1505x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩,解得 ∴4x y +=【变式2】若z ∈C 且(3+z)i=1(i 为虚数单位)，则z=____.【答案】设z=a+bi(a,b ∈R)，则(3+z)i=-b+(3+a)i=1由复数相等的充要条件得 b=-1且a=-3，即z=-3-i.【变式3】设复数z 满足12i i z+=，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i - D ．2i + 【答案】12(12)2211i i i i z i i ++-====---，故选C. 类型四：共轭复数例4：求证：复数z 为实数的充要条件是z z =思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念解析：设z a bi =+（a ，b ∈R ），则z a bi =- 充分性：--0;z z a bi a bi b b b z R =⇒+=⇒=⇒=⇒∈Q 必要性：,0-z R b a bi a bi z z ∈=⇒+=⇒=Q综上，复数z 为实数的充要条件为z z =举一反三：【变式1】,x y R ∈，复数(32)5x y xi ++与复数(2)18y i -+的共轭复数相等，求x ，y. 【答案】(2)1818(2)y i y i -+=+-3218-218-(-2)(32)52-512x y x y i x y xi y x y +==⎧⎧∴=++⇒⇒⎨⎨==⎩⎩ 【变式2】若复数z 同时满足2z z i -=，z iz =（i 为虚数单位），则z=________.【答案】―1+i【变式3】已知复数z=1+i ，求实数a 、b 使22(2)az bz a z +=+.【答案】∵z=1+i ，∴2(2)(2)az bz a b a b i +=++-，22(2)(2)44(2)a z a a i +=+-++2(4)4(2)a a a i =+++∵a 、b 都是实数，∴由22(2)az bz a z +=+得224,24(2).a b a a a b a ⎧+=+⎨-=+⎩ 两式相加，整理得a 2+6a+8=0解得a 1=―2，a 2=―4，对应得b 1=－1，b 2=2.∴所求实数为a=―2，b=―1或a=－4，b=2.类型五：复数的模的概念例5、已知数z 满足z+|z|=2+8i ，求复数z.法一：设z=a+bi （a ，b ∈R），则||z =代入方程得28a bi i +=+.∴28a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩，解得158a b =-⎧⎨=⎩∴z=－15+8i法二：原式可化为：z=2－|z|+8i ，∵|z|∈R ，∴2－|z|是z 的实部.于是||z =|z|2=68－4|z|+|z|2，∴|z|=17，代入z=2-|z|+8i得z=－15+8i.举一反三：【变式】已知z=1+i ，a ，b 为实数.（1）若234z z ω=+-，求||ω； （2）若2211z az b i z z ++=--+，求a ，b 的值. 【答案】（1）2(1)3(1)4i i ω=++--2341i i i =+--=-∴||ω=（2）∵2222(1)(1)1(1)(1)1z az b i i a b z z i i ++++++=-++-++(2)(2)()a i b a a b a i i+++==+-+ ∴(2)()1a a b i i +-+=-∴21112a a ab b +==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 类型六：复数的几何意义例6、已知复数22(23)(43)z m m m m i =--+-+（m ∈R ）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z （1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.思路点拨：根据点Z 的位置确定复数z 实部与虚部取值情况.解析：（1）点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2-43031m m m m +=⇒==或∴当31m m ==或时，点Z 在实轴上.（2）点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，故2230m m --=-13m m ⇒==或∴当-13m m ==或时，点Z 在虚轴上.3）点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0由22230430m m m m ⎧-->⎪⎨-+>⎪⎩ ，解得m ＜―1或m ＞3∴当m ＜―1或m ＞3时，点Z 在第一象限.终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.举一反三：【变式1】在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】∵22ππ<<，∴sin 20>，cos20<，故相应的点在第四象限，选D.【变式2】已知复数2(352)(1)z m m m i =-++-(m R ∈)，若z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围.【答案】∵2(352)(1)z m m m i =-+-- ∴⎩⎨⎧<-->+-0)1(02532m m m ，解得1m >.∴m 的取值范围为(1,)m ∈+∞.【变式3】已知z 是复数，2z i +和i-z z 均为实数，且复数2()z ai +对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.【答案】设z x yi =+(,x y R ∈)，∴2(2)z i z x y i +==++，由题意得2y =-， 2111(2)(2)(22)(4)22555z x i x i i x x i i i -==--=++---， 由题意得4x =，∴42z i =-∵22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-， 根据已知条件有212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，解得26a <<， ∴实数a 的取值范围是(2,6)a ∈.【变式4】已知复数z 对应的点在第一象限的角平分线上，求复数1z zω=+在复平面上对应的点的轨迹方程.【答案】设z=a+ai（a＞0）则1111()()22 z a ai a a i z a ai a a ω=+=++=++-+令1212x aay aa⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消a得x2－y2=2（x≥.。
高考数学压轴专题大连备战高考《复数》专项训练及解析答案
数学《复数》复习知识点一、选择题1．已知z 是复数，则“2z 为纯虚数”是“z 的实部和虚部相等”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】【分析】设z a bi =+，2z 为纯虚数得到0a b =±≠，得到答案.【详解】设z a bi =+，,a b ∈R ，则()2222z a b abi =-+，2z 为纯虚数220020a b a b ab ⎧-=⇔⇔=±≠⎨≠⎩，z 的实部和虚部相等a b ⇔=. 故选：D.【点睛】本题考查了既不充分也不必要条件，意在考查学生的推断能力.2．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅=A ．25-B ．25C ．7-D ．7【答案】A【解析】【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可【详解】 Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题3．已知复数z 满足()1i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1122i - D ．1122i +【答案】A【解析】因为2(1)1(1)(1)i z i i i -===-+-，所以应选答案A ．4．若43i z =+，则z z=（ ） A ．1B ．1-C ．4355i +D ．4355i - 【答案】D【解析】【详解】由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-， 据此有：4343555z i i z -==-. 本题选择D 选项.5．已知复数z 满足121i z i i +⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( )A ．1B ．2CD 【答案】D【解析】【分析】 按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z .【详解】 21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+Q ， 1222(2)121i i z i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.6．若1z i =+，则31i zz =+（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】B【解析】 因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1i zz i i i zz =+-==+，故选B.7．已知i 是虚数单位，则复数242i z i -=+的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限.【详解】 解：∵()()()()242232424242105i i i z i i i i ---===-++-， ∴32105z i =+， ∴复数z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（32105，），所在的象限为第一象限． 故选：A ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi8．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A ．12--B ．12-+C ．12+D ．12- 【答案】C【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得122z z i +=+，从而求得结果.详解：根据132z i =--，可得132z i =-+，且13144z =+=，所以有1313122z z i i +=-++=+，故选C. 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.9．复数的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 . 【详解】，的共轭复数为， 对应坐标是在第三象限，故选C.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．复数z 满足()1|1|z i i +=-，则复数z 在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简2222z i =-，再结合复数的几何表示方法，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足()1|1|z i i +=-，可得)()()1|1|11122i i z i i i --===-++-，则复数z 在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D .【点睛】 本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.11．设复数21i x i =-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．1i +B ．i -C ．iD ．0【答案】D【解析】【分析】先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．【详解】 解：复数2(1i x i i =-是虚数单位）， 而1122332020202020202020202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2121(1)111(1)(1)i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．12．设(1)1i x yi -=+，其中,x y 是实数，则x yi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】由()11i x yi -=+，其中,x y 是实数，得：11,1x x x y y ==⎧⎧∴⎨⎨-==-⎩⎩，所以x yi +在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.13．若202031i i z i+=+，则z 在复平面内对应点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】 ()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.14．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案．【详解】 若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.故选C.【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．15．（2018江西省景德镇联考）若复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上，则z =（ ）A ．2B C ．1 D ．【答案】B【解析】分析：化简复数z ，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a 的值，从而可得结果.详解：因为复数2i 22a a z i -==-， 所以复数2i 2a z -=在复平面内对应的点的坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由复数2i 2a z -=在复平面内对应的点在直线0x y +=上， 可得10212a a z i -=⇒==-，,z ==,故选B.16．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果.【详解】 因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.17．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是A ．12R z z ∈B ．12R z z ∈C ．12R z z +∈D ．12R z z ∈ 【答案】D【解析】利用排除法：当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()21212z z i i R =+=∉，选项A 错误，1211z i i R z i+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误，本题选择D 选项.18．复数z 11i i -=+，则|z |=( ) A ．1B ．2 CD ．【答案】A【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z .【详解】 由题意复数z 11i i-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.19．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.20．若复数z 满足()12z i i +=（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】C【解析】试题分析：因为(1)2z i i +=，所以22(1)1,12i i i z i i -===++因此1z i =+= 考点：复数的模。
辽宁东北育才双语学校复数高考真题复习doc
一、复数选择题1．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4B ．()4,3-C ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2．设复数1i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ．12 B ．12i C ．12- D ．12i - 3．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（ ）A ．12BCD ．24．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（ ）A B ．1C ．2D ．3 5．已知,a b ∈R ，若2()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ）A ．2a >或1a <-B ．1a >或2a <-C ．12a -<<D ．21a -<<6．若复数()()24z i i =--，则z =（ ）A ．76i --B ．76-+iC ．76i -D ．76i +7．))5511--+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 8．已知i 为虚数单位，复数12i 1i z +=-，则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知复数512z i =+，则z =（ ）A ．1BCD ．510．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z 的实部为，则z 为（ ）A ．1B C ．2 D ．4 11．复数2i i -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15 D ．3512．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅虚部等于（ ）． A ．1-B ．3C ．3iD ．i - 13．设复数z 满足41i z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限14．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3B ．5C ．6D ．8 15．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a i b i i +=+，则复数a bi -的模等于（ ）A B C D二、多选题16．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =17．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i -18．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1- 19．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =20．设复数z 满足1z i z +=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 21．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限22．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 的虚部为2i 23．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限24．已知复数122,2z i z i =-=则（ ）A ．2z 是纯虚数B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =25．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s n n n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =-D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数26．以下为真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数27．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z = 28．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i -- 29．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数30．已知复数z ，下列结论正确的是（ ）A．“0z z+=”是“z为纯虚数”的充分不必要条件B．“0z z+=”是“z为纯虚数”的必要不充分条件C．“z z=”是“z为实数”的充要条件D．“z z⋅∈R”是“z为实数”的充分不必要条件【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可. 【详解】因为，所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为.故选：D解析：D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数534ii-的表示，最后选出答案即可.【详解】因为55(34)15204334(34)(34)2555i i i iii i i⋅+-===-+--+，所以在复平面内，复数534ii-（i为虚数单位）对应的点的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭.故选：D2．A【分析】根据复数除法运算整理得到，根据虚部定义可得到结果. 【详解】，的虚部为.故选：.解析：A【分析】根据复数除法运算整理得到z，根据虚部定义可得到结果.【详解】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，z ∴的虚部为12. 故选：A .3．B【分析】先利用复数的除法运算将化简，再利用模长公式即可求解.【详解】 由于，则. 故选：B 解析：B【分析】先利用复数的除法运算将1=-i z i 化简，再利用模长公式即可求解. 【详解】由于()(1i)(1i)111(1i)222i i i i z i i ++====-+--+，则||2z ===. 故选：B4．A【分析】利用复数的模长公式结合可求得的值. 【详解】 ，由已知条件可得，解得.故选：A.解析：A【分析】利用复数的模长公式结合0a >可求得a 的值.【详解】0a >，由已知条件可得12ai +==，解得a =故选：A.5．A【分析】根据虚数不能比较大小可得，再解一元二次不等式可得结果.【详解】因为，，所以，，所以或.故选：A【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得是解题关键，属于基础题.解析：A【分析】根据虚数不能比较大小可得a b =，再解一元二次不等式可得结果.【详解】因为,a b ∈R ，2()2a b a b i -+->，所以a b =，220a a -->，所以2a >或1a <-.故选：A【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得a b =是解题关键，属于基础题.6．D【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】，.故选：.解析：D【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .7．D【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵，，∴，，∴，，∴，故选：D.解析：D先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--，)()51711+=--+=-，∴))55121-+=--， 故选：D.8．C【分析】利用复数的除法法则化简，再求的共轭复数，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以复数在复平面上的对应点位于第三象限，故选：C.解析：C【分析】利用复数的除法法则化简z ，再求z 的共轭复数，即可得出结果.【详解】 因为212(12)(1)11i i i z i i+++==-- 1322i =-+， 所以1322z i =--， 所以复数z 在复平面上的对应点13(,)22--位于第三象限，故选：C.9．C【分析】根据模的运算可得选项..故选:C.解析：C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】512z i ====+ 故选:C.10．B【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为的实部为，所以可设复数，则其共轭复数为，又，所以由，可得，即，因此.故选：B.解析：B【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为z ，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B. 11．C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为.故选：C【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .12．B【分析】化简，利用定义可得的虚部．【详解】则的虚部等于故选：B解析：B【分析】化简12z z ⋅，利用定义可得12z z ⋅的虚部．【详解】()()1212113z z i i i ⋅=+⋅+=-+则12z z ⋅的虚部等于3故选：B13．D 【分析】 先对化简，从而可求出共轭复数，再利用复数的几何意义可得答案【详解】解：因为，所以，所以共轭复数在复平面内的对应点位于第四象限，故选：D解析：D【分析】先对41i z i=+化简，从而可求出共轭复数z ，再利用复数的几何意义可得答案 【详解】 解：因为244(1)4(1)=2(1)22221(1)(1)2i i i i i z i i i i i i i i --===-=-=+++-，所以22z i =-， 所以共轭复数z 在复平面内的对应点位于第四象限， 故选：D14．D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】，故 则故选：D解析：D【分析】利用复数的乘法运算及复数相等求得a,b 值即可求解【详解】()312++=+a i i bi ，故332a i bi -+=+ 则32,38a b a b -==∴+= 故选：D15．C【分析】首先根据复数相等得到，，再求的模即可.【详解】因为，所以，.所以.故选：C解析：C【分析】首先根据复数相等得到1a =-，2b =，再求a bi -的模即可.【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =.所以12a bi i -=--==故选：C 二、多选题16．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】 因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---， 所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC17．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.18．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确； 故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.19．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误； 解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误； 对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.20．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】 由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误； 复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.21．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.22．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.24．AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确. 故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.25．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确； 对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 3322z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.26．AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--， 则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=， 但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题. 27．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．28．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.29．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D.根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 30．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.。
辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)
大连市2023~2024学年度第二学期期末考试高一数学注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效；2、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知复数满足，则（ ）A B. C.D.2. 已知，则的值为（ ）A.B. 3C. D. 3. 已知圆锥的底面半径是1，则圆锥的侧面积是（ ）A. B.C.D. 4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 5. 将函数图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（ ）A. B. C. D. 6. 设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（ ）A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，，则 D. 若，，，则7. 已知平面直角坐标系内点，为原点，线段绕原点按逆时针方向旋且长度变为原来的一半，得到线段，若点的纵坐标为，则（ ）.的z ()1i 1z -=z =i1i+1i 211i 22+tan 2α=sin cos sin cos αααα+-1313-3-π4π2πππsin 22y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭πcos 22y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()tan 2πy x =+()sin 2πy x =-()sin2f x x =π8()g x ()g x π8x =-π8x =3π16x =5π16x =αβm l //l αm α⊂//m l //m ααβ⊥m β⊥m α⊥l β⊥//m l //αβαβ⊥//m αl //βm l⊥A O OA (0π)αα<<OA 'A '513cos α=A.B.C.D.8. 已知中，，，为所在平面内一点，，则的最小值为（ ）A B. C. 0 D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 已知复数，，则下列说法正确是（ ）A. 若，则的共轭复数为B. 若为纯虚数，则C. 若，则D. 10. 已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（ ）A. B. 函数的最小正周期为，其图象的对称轴为C. （其中和的取值使各项都有意义）D. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，则11. 如图，正三棱台上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）.的的ABC V 4AB =3AC =2AB AC +=P ABC V 8AP AB ⋅=PA PC ⋅ 5-14-741z 2z 132i z =+1z 32i -()()()11i m m m -++∈R 1m =12z z =12z z =1212z z z z =ααx (),P x y αr =αy rxαsec απsec23=()sec f x x =2πππ(Z)2x k k =+∈()sec sec sec 1tan tan αβαβαβ+=-αβABC V A B C a b c sec sec b c a B C=+111ABC A B C -A.B. 若过点的平面与平面平行，则平面C. 若点在棱上，则的最小值为D.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分.）12. 已知向量，，若，则实数____.13. 已知函数在上单调递增，则的最大值为____.14. 已知矩形中，，，将沿折至，得到三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为____；该三棱锥外接球的表面积为____.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知，角，，的对边分别为，，.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.16. 如图，在直三棱柱中，，.（1）求证：平面平面；（2）求证：.17. 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地1C α11ABB A αP 1BB AP CP +()3,a x = ()1,1b =- a b ⊥x =()π2sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ωABCD 4AB =3AD =ACD V AC ACD '△D ABC '-ABC V A B C a b c cos sin B b A =B 7b =13a c +=ABC V 111ABC A B C -1AB BB =AB BC ⊥1A BC ⊥11ABB A 11AC A B ⊥M N M AB N位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元.（1）求，两点间的距离；（2）设铺设电缆总费用为.①求的表达式；②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度.18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，.①求二面角的余弦值；②求直线与平面所成角的正弦值.19. 已知函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”.（1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由；（2）设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；M NMB ∠0NMB ∠α=05tan 12α=M 7km 5P π4NPB ∠=AB Q NQB ∠α=0π2αα<≤MQ QN /km /km M N ()f α()fαMQ P ABCD -ABCD 60∠= BAD PA PD ⊥E PC //PA BDE PA PB ==2PD =P AD B --BC ABP ()y f x =x D ∈a b c ∈，，D ()f a ()f b ()f c ()y f x =D ()215cos sin 4f x x x =++R ()2sin 2cos m k x x = ，()cos 2cos n x k x = ，()21g x m n k =⋅-+ π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦k（3）已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由.()πsin 26h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π,6θ⎡⎤⎢⎥⎣⎦θ()h x ()()()111123,A x h x i =,,1322x x x +=()()()132h x h x x +=()13cos x x -大连市2023~2024学年度第二学期期末考试高一数学答案第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】BC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分.）【12题答案】【答案】3【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】①.②. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【15题答案】【答案】（1）； （2）.【16题答案】【答案】（1）证明略 （2）证明略【17题答案】【答案】（1）； （2）①；②万元，.【18题答案】【答案】（1）证明略 （2）①；②【19题答案】【答案】（1）是，理由略（2）（3）不存在，理由略.2324525ππ3B =13km 5()()032cos 36π(5sin 2fααααα-=+<≤365+12513122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭。
辽宁省大连大世界高级中学复数练习题(有答案)doc
一、复数选择题1．已知复数1z i =+，则21z +=（ ） A ．2B ．5C ．4D ．5 2．若()211z i =-，21z i =+，则12z z 等于（ ） A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i -- 3．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ）A 2B ．2C ．2D ．85．已知i 为虚数单位，复数12i 1i z +=-，则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③7．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i --D ．1i - 8．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．复数2i i -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15 D ．3511．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ）A ．17i -B ．16i -C ．16i --D ．17i --12．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ）A ．43i +B ．34i -C ．34i +D ．43i -13．设复数z 满足(1)2i z -=，则z ＝（ ）A ．1B C D ．2 14．若复数11i z i ，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．0B ．12C ．1D ．215．题目文件丢失！二、多选题16．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z 的虚部为sin θ 17．若复数351i z i-=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限18．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =19．设复数z 满足1z i z +=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数 B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z =20．若复数z 满足()1z i i +=，则（ ） A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =21．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数z w z =，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 22．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称23．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线24．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ） A ．20z B ．2z z = C ．31z = D ．1z =25．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若0m =，则共轭复数1z =-B ．若复数2z =，则mC ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++= 26．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z =B ．12i 5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限 27．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i -- 28．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数29．（多选）()()321i i +-+表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模 30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．B【分析】先求出，再计算出模.【详解】，，.故选：B.解析：B【分析】 先求出21z+，再计算出模. 【详解】 1z i =+，()()()21221112111i i z i i i -∴+=+=+=-++-，21z∴+==. 故选：B.【分析】由复数的运算法则计算即可.【详解】解：，.故选：D.解析：D【分析】由复数的运算法则计算即可.【详解】解：()2211122z i i i i =-=-+=-， ()()212222(1)2222111112z i i i i i i i z i i i i --⨯--+--∴=====--++--. 故选：D.3．A【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i∵复数Z 的实部2＞0，虚解析：A【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i∵复数Z 的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，是解答本题的关键．4．B【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模.【详解】由图象可知，，则，故.解析：B【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模.【详解】由图象可知1z i =，22z i =-，则1222z z i -=-+，故12|22|z z i -=-+==故选:B .5．C【分析】利用复数的除法法则化简，再求的共轭复数，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以复数在复平面上的对应点位于第三象限，故选：C.解析：C【分析】利用复数的除法法则化简z ，再求z 的共轭复数，即可得出结果.【详解】 因为212(12)(1)11i i i z i i+++==-- 1322i =-+， 所以1322z i =--， 所以复数z 在复平面上的对应点13(,)22--位于第三象限，故选：C.6．D【分析】设，则，利用复数的运算判断.【详解】设，则，故，，，.故选：D.解析：D【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abi z a bi a b+-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.7．A【分析】由得出，再由复数的四则运算求解即可.【详解】由题意得，则.故选：A解析：A【分析】由()1,1-得出1i z =-+，再由复数的四则运算求解即可.【详解】由题意得1i z =-+，则1i 1i i 111i 1i i i 1z z -----+==⋅==-++-. 故选：A 8．B【分析】先设复数，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】设复数，由得，所以，解得，因为时，不能满足，舍去；故，所以，其对应的解析：B【分析】先设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出,x y ，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈， 由22z z i +=得222x yi i +=，所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，不能满足20x =，舍去；故31x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以3z i =-+，其对应的点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限， 故选：B.9．C【分析】由复数的乘方与除法运算求得，得后可得其对应点的坐标，得出结论．【详解】由题意，，∴，对应点，在第三象限．故选：C ．解析：C【分析】 由复数的乘方与除法运算求得z ，得z 后可得其对应点的坐标，得出结论．【详解】 由题意2021(2)i z i i -==，(2)12122(2)(2)555i i i i z i i i i +-+====-+--+， ∴1255z i =--，对应点12(,)55--，在第三象限． 故选：C ．10．C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为.故选：C易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .11．A【分析】根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意，设，∵是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴，即，∴点对应是，共轭复数为．解析：A【分析】根据复数的几何意义得出,A C 坐标，由平行四边形得B 点坐标，即得B 点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ，∵OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩，即17x y =⎧⎨=⎩，∴B 点对应是17i +，共轭复数为17i -． 故选：A ．12．D【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数.【详解】∴，故选：D【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z .【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+ ∴43z i =-，故选：D13．B【分析】由复数除法求得，再由模的运算求得模．【详解】由题意，∴．故选：B ．解析：B【分析】由复数除法求得z ，再由模的运算求得模．【详解】由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴z == 故选：B ．14．C【分析】由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法求出z ，再由模计算．【详解】 由已知21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-， 所以1z i =-=．故选：C ．15．无二、多选题16．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 17．AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】 解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD.18．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 19．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.20．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭 解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)1(1)(1)2i i z i i i --====-+-， 所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题21．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=22w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 的虚部为2,判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-1=2w ∴===-.所以复数w 对应的点为1(,22-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误； 对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．23．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误；令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.24．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．25．BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确；对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确； 对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误； 对于D ，若0m =，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确.故选：BD.【点睛】 本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题.26．BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.27．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.28．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D.根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 29．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
大连市大连市第九中学必修第二册第二单元《复数》测试(包含答案解析)
一、选择题 1．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．当z =时，100501z z ++=（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．i -3．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32 4．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i)5．设x ∈R ，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在复平面内，O 是原点，,,OA OC AB 对应的复数分别为－2＋i ，3＋2i, 1＋5i ，那么BC 对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6i7．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ） A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限8．已知i 为虚数单位，复数32i2iz +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限9．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．311．在复平面内，复数201812z i i=++对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．若i 为虚数单位，复数z满足z i ≤，则2z i -的最大值为（ ） A ．2B ．3C．D．二、填空题13．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数33z i --的最大值与最小值的乘积为___________．14．已知i为虚数单位，计算：12cos sin 2233i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+÷-= ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭_________. 15．已知复数z 满足()14i z a i +=+（i为虚数单位），且z =，则实数a =________． 16．化简2012221i ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭________.点集{||1|1,}D z z z C =++=∈，则||z 的最小值_____和最大值________.17．661i ⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭_______________. 18．如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是________. 19．若复数(3)(12)z i i =--，则z 的共轭复数z 的虚部为_____20．若实数,m n 满足20212(4)(2)i mi n i ⋅+=+，且z m ni =+，则||z =_____．三、解答题21．已知复数1212,34z i z i =-=+，i 为虚数单位.（1）若复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若12z z z =，求z 的共轭复数z . 22．已知复数12,z z 在平面内对应的点分别为(2,1)A -，(,3)B a ，（a R ∈）. （1）若125z z +≤，求a 的值；（2）若复数12·z z 对应的点在二、四象限的角平分线上，求a 的值. 23．复数()()212510,1225,z a ai za a i =++-=-+-，其中a R ∈ .（1）若2a =-，求1z 的模； （2）若12z z +是实数，求实数a 的值.24．已知复数z =22761a a a -+-2(56)i a a +--，a R ∈． （1）若复数z 为实数，求实数a 的值；（2）若复数z 为虚数，求实数a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得复数z 为纯虚数？25．已知复数1cos sin z i αα=+，2cos sin z i ββ=-，且125121313z z i -=+，其中i 为虚数单位，求cos()αβ+的值.参考答案26．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值； （2）若212z z =，求m ，n 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2．D解析：D 【分析】根据100501z z ++的结构特点，先由z =，得到()2212-==-i z i ，再代入100501z z ++求解.【详解】因为z =所以()221,2-==-i z i所以()()()2550250100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ，所100501++=-z z i ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题.3．B解析：B 【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x ⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-，则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．A解析：A 【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解. 【详解】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确； 对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．A解析：A 【解析】分析：先化简“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断.详解：因为复数()()211z x x i =-++为纯虚数，所以210, 1.10x x x ⎧-=∴=⎨+≠⎩ 因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了. 6．C解析：C 【解析】BC BA AO OC AB OA OC =++=--+15(2)3244i i i i =----+++=-，选C.7．B解析：B 【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论. 【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++， 即()()222211x y x y -+=++， 解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上. 故选B. 【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题.8．D解析：D 【分析】利用复数的除法运算，化简32i2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可. 【详解】()()()()32i 2i 32i 47i2i 2i 2i 55z +++===+--+， z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，z ==，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.9．B解析：B 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．10．A解析：A 【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A.11．C解析：C 【解析】因为201812z i i =++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+- ，复数201812z i i =++对应的点的坐标为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故复数201812z i i =++对应的点位于第三象限,故选C. 12．D解析：D 【分析】先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解. 【详解】因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部， 又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max 20321333z i MN R -=+=--+--=故选：D. 【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段； （3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆；（4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线.二、填空题13．24【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为最小值为解析：24 【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由33z i --的几何意义求解即可． 【详解】设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=, 得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，33z i =--z 在复平面内对应点到点(3,3)P 的距离所以33z i --最大值为||116PA +==．最小值为||114PA -== 故最大值与最小值的乘积为2446=⨯ 故答案为：24 【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题.14．【分析】先把转化为再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案【详解】解：原式故答案为：【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则属于基础题解析：14-+【分析】先把12+转化为cos sin 33i ππ+，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案. 【详解】 解：原式cossin2cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos sin 2cos 3333i isin ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos sin 23333i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦144=-+.故答案为：14-+. 【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则，属于基础题.15．0【分析】先化简再利用建立方程最后解得实数的值【详解】解：∵∴∵∴解得：故答案为：0【点睛】本题考查复数的运算复数的几何意义求参数是基础题解析：0 【分析】先化简4422a a z i +-=+，再利用z ==后解得实数a 的值. 【详解】解：∵ ()14i z a i +=+， ∴ ()()4(1)4(4)(4)4411(1)222a i i a i a a i a a z i i i i +-+++-+-====+++-∵z =，∴z ==解得：0a =， 故答案为：0. 【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，是基础题.16．13【分析】根据复数的代数形式的除法乘方运算法则计算可得根据复数的几何意义得到的轨迹即可得到的最值；【详解】解：设因为即根据复数的几何意义可知表示以为圆心为半径的圆上的点集则故答案为：；；【点睛】本解析：1- 1 3 【分析】根据复数的代数形式的除法、乘方运算法则计算可得，根据复数的几何意义得到z 的轨迹，即可得到||z 的最值； 【详解】解：2012221i ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭)()()201222111i i i ⎡⎤-=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦2012022⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭20120⎫=+⎪⎪⎝⎭1006222⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()100610062514221i i i i⨯+=-====-设(),z x yi x y R=+∈，因为{||1|1,}D z z z C=++=∈即11x yi+++=根据复数的几何意义可知{||1|1,}D z z z C=+=∈表示以(1,-为圆心，1为半径的圆上的点集，则max13z==，min11z==，故答案为：1-；1；3.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，也考查了复数模的求法与几何意义，是中档题．17．【分析】由于次数比较高先利用的周期性将其次数降低再进行四则运算【详解】故答案为：【点睛】本主要考查了有关的幂的运算和复数的四则运算还考查了转化问题运算求解的能力属于基础题解析：2i【分析】由于次数比较高，先利用()*ni n∈N的周期性，将其次数降低，再进行四则运算.【详解】661i⎛⎫+=⎪⎪-⎝⎭33233121⎡⎤+⎛⎫⎢⎥=+=+=⎪⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦ii i i i ii.故答案为：2i【点睛】本主要考查了有关i的幂的运算和复数的四则运算，还考查了转化问题，运算求解的能力，属于基础题.18．6【分析】利用立方差公式由得再将所求式子进行等价变形为最后利用整体代入计算求值【详解】由得又z为虚数得∴故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用复数的四则运算考查转化与化归思想考查逻辑推理能力和解析：6【分析】利用立方差公式，由38z=，得()2(2)240z z z-++=，再将所求式子进行等价变形为()323222242z z z z z z+++=+++-，最后利用整体代入计算求值.【详解】由38z =，得()2(2)240z z z -++=.又z 为虚数，得2240z z ++=.∴()3232222428026z z z z z z +++=+++-=+-=.故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用、复数的四则运算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体代入法的灵活运用. 19．7【分析】利用复数乘法运算化简为的形式由此求得共轭复数进而求得共轭复数的虚部【详解】故虚部为【点睛】本小题主要考查复数乘法运算考查共轭复数的概念考查复数虚部的知识解析：7【分析】利用复数乘法运算化简z 为a bi +的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数的虚部.【详解】()()31217z i i i =--=-，17z i =+，故虚部为7.【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识.20．【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算再利用复数相等求出最后由复数的模的计算公式求出【详解】因为所以已知等式可变形为即解得【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则复数相等的概念【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算，再利用复数相等求出,m n ，最后由复数的模的计算公式求出z ．【详解】因为2021i i =，所以已知等式可变形为2(4)44i mi n ni +=+-，即2444m i n ni -+=+-，2444m n n ⎧-=-⎨=⎩ 解得31m n =⎧⎨=⎩ ，3i z =+z ∴=．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则，复数相等的概念以及复数的模的计算公式的应用．三、解答题21．（1）11(,)32-；（2）1255z i =-+. 【分析】 （1）化简复数12(13)(42)z az a a i +=++-，再由复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；（2）由复数的除法运算法则，化简得1255z i =--，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，复数1212,34z i z i =-=+，则1212(34)(13)(42)z az i a i a a i +=-++=++-因为复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，所以130420a a +>⎧⎨-<⎩，解得1132a -<<， 即实数a 的取值范围11(,)32-. （2）由()()()()12123412510123434342555i i z i i z i z i i i -----=====--++-，所以1255z i =-+. 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数(,)a bi a b R +∈与复平面上的点(,)a b 一一对应，列出相应的关系求解.22．(1)15a -≤≤;(2)1a =-.【解析】分析：（1）由已知复数12,z z 在平面内对应的点分别为()2,1A -，(),3B a ，写出复数12z z ，的代数形式，通过复数的模125z z +≤，列出不等式即可求出a 的范围； （2）利用复数的运算法则和几何意义即可得出结果．详解：1）由题意可知12z i =-+,23z a i =+∴()1224z z a i +=-+ ∴()2212216z z a +=-+ ∴()221625a -+≤即()()510a a -+≤ ∴15a -≤≤ 由12z i =-- ∴()()()()12·23326z z i a i a a i =--+=--+由12·z z z =对应的点在二、四象限的角分线上可知()()3260a a --+=∴1a =-点睛：本题考查了复数的几何意义和模的计算公式、复数的运算法则，先由已知复数12,z z 在平面内对应的点分别为()2,1A -，(),3B a ，写出复数12z i =-+,23z a i =+求出a 的范围，再借助12·z z 的积，然后运用题设建立方程求解．23．（1）（2）5a =-或3a =.【解析】（1）2a =-，则136z i =+，则1z ===， ∴1z的模为.（2）()()2125101225z z a a i a a i +=++-+-+- ()()()261025a a a i ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ ()()26215a a a i =-++- 因为12z z +是实数，所以22150a a +-=，解得5a =-或3a =故5a =-或3a =.24．（1）6；（2）(,1)(1,1)(1,6)(6,)-∞--+∞；（3）不存在实数a 使得复数z为纯虚数．【分析】根据z a bi =+为实数、虚数和纯虚数的条件，列方程，解方程求得a 的值.【详解】由于210a -≠，所以1a ≠±.（1）当z 为实数时，2560a a --=，解得6a =.（2）当z 为虚数时2560a a --≠，结合1a ≠±可知，a 的取值范围是()()()(),11,11,66,-∞-⋃-⋃⋃+∞.（3）当z 为纯虚数时，2227601560a a a a a ⎧-+=⎪-⎨⎪--≠⎩，方程227601a a a -+=-解得6a =，2560a a --≠解得1a ≠-且6a ≠，两者没有公共元素，故不存在实数a 使得复数z 为纯虚数．【点睛】本小题主要考查复数z a bi =+是实数、虚数和纯虚数的条件，属于基础题.25．12【分析】将复数12,z z 代入等式125121313z z i -=+中，得22cos()1αβ-+=，即可得答案；【详解】因为复数1cos sin z i αα=+，2cos sin z ββ=-，12512(cos cos )(sin sin )1313z z i i αβαβ-=-++=+ 所以5cos cos 13αβ-=，12sin sin 13αβ+=， 所以2222512(cos cos )(sin sin )11313αβαβ⎛⎫⎛⎫-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22cos()1αβ-+=， 所以1cos()2αβ+=. 【点睛】本题考查复数与三角函数知识同角三角函数的基本关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.26．（1（2）0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【分析】（1）根据题意求出()()121212i z i z i +=-++=-，即可得到模长；（2）根据212z z =，化简得()2212m i n ni -=--，列方程组即可求解. 【详解】（1）当1m =，1n =-时112z i =-，21z i =+，所以()()121212i z i z i +=-++=-，所以12z z +==. （2）若212z z =，则()221m i ni -=-， 所以()2212m i n ni -=--，所以2122m n n⎧=-⎨-=-⎩解得0,1.m n =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查复数模长的计算和乘法运算，根据两个复数相等，求参数的取值范围.。
大连市大连市第六十五中学必修第二册第二单元《复数》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．在复平面内与复数21i z i =+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+ 2．复数z 满足5(3)2i z i ⋅+=－，则z 的虚部是（ ）A ．12B ．12－ C ．12i － D ．12i 3．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-iC ．1+iD ．-1+i4．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 5．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ）A ．4B ．2C ．0D ．2-6．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( )A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i -- 7．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23D ．32 8．复数z 满足(12)3z i i +=+，则z =（ ）A ．15i +B ．1i -C ．15i -D ．1i +9．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 10．若11i ai ++是纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2- 11．若32a i i -+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．3212．已知复数123,,z z z 满足：1233421, 41, 1z i z i z z i +-=-=-=-，那么3132+z z z z --的最小值为（ ）A ．2B ．C ．2D ．二、填空题13．如果复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__14．已知i 为虚数单位，计算：12cos sin 233i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫÷-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭_________. 15．已知11z i --=，则z i +的取值范围是_____________；16．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 17．复数2021111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭的辐角主值为________.18．复数1cos z i θ=+，2sin z i θ=-，则复数12z z -的模的最大值为________.19．已知复数z ＝a i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于________．20．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．三、解答题21．已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=.（1）求14z i +-的最小值与最大值；（2）若4z z+为实数，求z 的值. 22．已知复数()1z mi m R =+∈，312z i -+是实数． （1）求复数z ；（2）若复数0112z m z =+-是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值． 23．复数()()()2152615z i m i m i =++-+-．（1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线70x y ++=上．24．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.25．已知12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，它们满足方程()122195z i z i +-=+，求2212z z +. 26．已知O 为坐标原点，向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，且()213105z a i a =+-+，()()22251z a i a R a =+-∈-.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值； （2）求以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+.故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.2．A解析：A【解析】【分析】 通过5(3)2i z i ⋅+=－计算出z ，从而得到z ，根据虚部的概念即可得结果.【详解】 ∵5(3)2i z i ⋅+=－，∴()()()()5232211333322i i i i z i i i i i ----====-+++-， ∴1122z i =+，即z 的虚部是12，故选A.【点睛】本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题. 3．B解析：B【分析】利用复数的运算法则解得1z i =-+，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】∵复数z 满足21i i z =-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．B解析：B【解析】分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则： 234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．C解析：C【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，求出p ,q 即可求解.【详解】因为复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根， 所以1z i =+也是方程的一个根，故z z p z z q +=-⎧⎨⋅=⎩，即22p q =-⎧⎨=⎩， 所以0p q +=，故选：C【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的根，根与系数的关系，属于中档题.6．A解析：A【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--，即可求得其共轭复数. 【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--， 所以Z 的共轭复数为2i +.故选：A【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.7．B解析：B【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi8．D解析：D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得1i z =-，利用共轭复数的定义【详解】()12i 3i z +=+，()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-∴====-++-， 所以1z i =+，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9．B解析：B【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】()15i z i -+＝，()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=-故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题10．B解析：B【分析】设11i bi ai+=+，化简后利用复数相等列方程求解即可. 【详解】 设()1,,1i bi a b R ai+=∈+， 所以()11i bi ai ab bi +=⋅+=-+，所以11ab b -=⎧⎨=⎩， 解得11a b =-⎧⎨=⎩，【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.11．C解析：C【分析】先化简复数，再利用纯虚数的定义求解.【详解】 由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13a i a i i a a i i i i -----+==++-， 因为32a i i-+为纯虚数， 则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =. 故选：C【点睛】结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠.12．A解析：A【分析】先求出复数123,,z z z 对应的点的轨迹，再利用数形结合分析得解.【详解】1421, z i +-=表示1z 的轨迹是以A (4,2)-为圆心，以1为半径的圆；2 41, z i -=表示2z 的轨迹是以B (0,4)为圆心，以1为半径的圆；331z z i -=-，表示3z 的轨迹是直线y x =，如图所示：3132+z z z z --表示直线y x =上的点C 到圆A 和圆B 上的点的距离，先作出点B (0,4)关于直线y x =的对称点D (4,0)，连接AD , 与直线y x =交于点C .3132+z z z z --的最小值为||||||222CE CF AD +=-==. 故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能由复数方程得到复数对应的点的轨迹，通过数形结合分析得到动点处于何位置时，3132+z z z z --取到最小值.意在考查学生对复数的轨迹问题的理解掌握水平.二、填空题13．【分析】先化简再解方程即得解【详解】由题得因为复数的实部和虚部互为相反数所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算考查复数实部虚部的概念意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：23- 【分析】 先化简222(4)125bi b b i i ---+=+，再解方程224+055b b ---=即得解. 【详解】 由题得2(2)(12)22(4)12(12)(12)5bi bi i b b i i i i -----+==++-， 因为复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数， 所以2242+0,553b b b ---=∴=-. 故答案为：23- 【点睛】 本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．【分析】先把转化为再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案【详解】解：原式故答案为：【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则属于基础题解析：14-+ 【分析】先把12+转化为cos sin 33i ππ+，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案. 【详解】解：原式cos sin 2cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos sin 2cos 3333i isin ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1cos sin 23333i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦144=-+.故答案为：14-+. 【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则，属于基础题. 15．【分析】利用复数的几何意义求解表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点表示复平面内到点的距离结合两点间距离公式可求范围【详解】因为在复平面内表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点即复数对应的点解析：1]【分析】 利用复数的几何意义求解，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，z i +表示复平面内到点(0,1)-的距离，结合两点间距离公式可求范围.【详解】 因为在复平面内，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；z i +表示复平面内的点到点(0,1)-11=，11=，所以z i +的取值范围是1].故答案为：1]-.【点睛】 结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z x yi =+，则z a bi --表示复平面内点(,)x y 与点(,)a b 之间的距离，z a bi r --=表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆上的点.16．【分析】先写出的三角形式再进行化简整理即可【详解】设则∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查复数三角形式的定义属基础题解析：13+【分析】 先写出1z z-的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】 设01z z z -=，则001,arg 23z z π==，∴011cos sin 23344z i ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，∴114z z -=+，解得1z =+.故答案为：1+. 【点睛】本题考查复数三角形式的定义，属基础题.17．【分析】先化简再根据辐角主值的定义求解即可【详解】因为所以所以所以复数z 的辐角主值为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析属于基础题 解析：34π 【分析】 先化简2021111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭再根据辐角主值的定义求解即可.【详解】 因为11i i i +=-,所以2021202111i i i i +⎛⎫== ⎪-⎝⎭所以331cos sin 44z i i ππ⎫=-+=+⎪⎭,所以复数z 的辐角主值为34π. 故答案为：34π 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析,属于基础题.18．【分析】先求再求模将其转化为角度的函数从而求最大值【详解】由题意可得因为故的最大值为故答案为：【点睛】考查向量的减法模的计算以及函数的最大值属综合基础题【分析】先求12z z -，再求模，将其转化为角度的函数，从而求最大值.【详解】由题意可得12cos sin 2z z i θθ-=-+，12z z -==，因为45sin 26θ-，故12z z -..【点睛】考查向量的减法、模的计算以及函数的最大值.属综合基础题.19．【分析】由题意可得a ＜0由|z|=2可得a 的方程解出即得【详解】∵z=a+i 在复平面内对应的点位于第二象限∴a ＜0由|z|=2得=2解得a=﹣1或1（舍去）∴z=﹣1+i 故答案为﹣1+i 【点睛】该题解析：【分析】由题意可得a ＜0，由|z|=2，可得a 的方程，解出即得．【详解】∵i 在复平面内对应的点位于第二象限，∴a ＜0，由|z|=2，解得a=﹣1或1（舍去），∴z=﹣．故答案为﹣【点睛】该题考查复数的模、复数代数形式的表示及其几何意义，属基础题．20．2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简再根据复数实部概念求结果详解：因为则则的实部为点睛：本题重点考查复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭复数为解析：2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为12i z i ⋅=+，则12i 2i iz +==-，则z 的实部为2. 点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、、对应点为(,)a b 、共轭复数为i a b -.三、解答题21．（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析【分析】（1）根据题意22z -=，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，14z i +-表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据4z z +为实数，列出等量关系式，求得结果. 【详解】（1）设z x yi =+，根据22z -=，所以有22(2)4x y -+=，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以14(1)(4)z i x y i +-=++-=其表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离减半径，27=23=；（2）222222444()44()()x yi x y z x yi x yi x y i z x yi x y x y x y -+=++=++=++-++++， 因为4z z +为实数，所以2240y y x y -=+， 即224(1)0y x y-=+，所以0y =或224x y +=， 又因为22(2)4x y -+=，所以00x y =⎧⎨=⎩（舍去），40x y =⎧⎨=⎩，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以4z =或1z =+或1z =-.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.22．（1）14z i =-；（2）4,20b c ==.【分析】（1）根据复数的除法运算，化简得32241255z m m i i --+=++，结合312z i-+是实数，列出方程，即可求解；（2）根据024z i =--是方程的根，得到(164)2120b i b c --+-=，结合复数相等的条件，列出方程，即可求解.【详解】（1）因为()1z mi m R =+∈， 可得32(2)(12)2241212(12)(12)55z mi mi i m m i i i i i -----+===++++-， 又由312z i -+是实数，可得405m +=，解得4m =-，所以14z i =-． （2）因为011242z m z i =+-=--是方程20(,)x bx c b c R ++=∈的根， 所以2(42)(42)0i b i c --+--+=，即(164)2120b i b c --+-=，可得16402120b b c -=⎧⎨-+-=⎩，解得4,20b c ==. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数相等的概念求参数，其中解答中熟记复数的除法运算法则，以及复数相等的充要条件列出方程组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.23．（1）5m =或3-；（2）2m =-；（3）12m =或2- 【分析】复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得m 即可得出． （2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得m 即可得出． （3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．解出即可得出．【详解】解：复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得5m =或3-．5m ∴=或3-时，复数z 为实数．（2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得2m =-． 2m ∴=-时，复数z 为纯虚数．（3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．化为：22320m m +-=，解得12m =或2-． 12m ∴=或2-，z 对应点在直线70x y ++=上． 【点睛】本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时.【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取等号.【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=-证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++ ()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+ ()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ .【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．25．-190【分析】根据12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，可知12,z z 互为共轭复数，由此设出12,z z的表达式，代入()122195z i z i +-=+，由此求得12,z z ，进而求得2212z z +的值.【详解】由于12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，所以12,z z 互为共轭复数，设12,,(,)z a bi z a bi a b R =+=-∈，代入()122195z i z i +-=+得()()()2195a bi i a bi i ++--=+，化简得()395a b b a i i -+-=+，所以395a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得7,12a b ==.所以()()2222122249144190z z a b +=-=-=-. 【点睛】本小题主要考查实系数一元二次方程虚根成对，考查复数相等的概念，考查复数乘方运算，考查方程的思想，属于基础题.26．（1）3a =；（2）118. 【分析】（1）求出1z 和2z ，由复数12z z +是实数，可求得实数a 的值；（2）求出1OZ 和2OZ ，利用平面向量的数量积求出12cos Z OZ ∠，进一步求出12sin Z OZ ∠，结合三角形的面积公式可求得所求四边形的面积.【详解】（1）由题意可得()213105z a i a =--+， ()22251z a i a =+--，则()2123221551z z a a i a a+=+++-+-， 由于复数12z z +是实数，则221505010a a a a ⎧+-=⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得3a =；（2）由（1）可得138z i =+，21z i =-+，则点13,18Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21,1Z -， 因此，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积为121118S Z Z =⨯=. 【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了四边形面积的计算，涉及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.。
(人教版)大连市必修第二册第二单元《复数》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ）A ．2a ≠，或1a ≠B ．2a ≠，且1a ≠C ．2a =，或0a =D ．0a = 2．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ）A ．22i -B ．22i +C ．22i -+D ．22i -- 4．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 5．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,8 7．设复数()()2cos sin z a a i θθ=+++（i 为虚数单位）.若对任意实数θ，2z ≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．⎡⎢⎣⎦D ．11,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．下列命题中,正确的命题是（ ）A ．若1212,0z z C z z ∈->、，则12z z >B ．若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立C ．1212,,0z z C z z ∈⋅=，则10z =或20z =D ．221212,0z z C z z ∈+=、，则10z =且20z =9．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝A ．B ．2C ．4 D10．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -11．已知复数123,,z z z 满足：1233421, 41, 1z i z i z z i +-=-=-=-，那么3132+z z z z --的最小值为（ ）A ．2172-B ．25C ．252-D ．217 12．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ） A ．3- B ．3C ．3i -D ．3i 二、填空题13．已知复数1510z i =+ ，234z i =-，复数z 满足12111z z z =+，则z =_____________．14．已知23i i z z +-=，i z C ∈，1,2i =，122z z -=，则12z z +的最大值为______. 15．复数2018|(3)|z i i i =-+（i 为虚数单位），则||z =________.16．若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．17．计算：662321123i i i ⎛⎫-++= ⎪ ⎪-+⎝⎭_______________. 18．在复平面内，三点A 、B 、C 分别对应复数A z 、B z 、C z ，若413B A C A z z i z z -=+-，则ABC ∆的三边长之比为________19．已知i 是虚数单位，则复数21i z i -=+的共轭复数是_______. 20．已知，则 =____．三、解答题21．（1）在复数范围内解方程()232i z z z i i -++=+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （i ）求z 的值及z 的实部的取值范围；（ii ）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．22．设复数12i z a =+（其中a R ∈），234z i =-．（Ⅰ）若12z z +是实数，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z 是纯虚数，求1z ． 23．（1）已知z C ∈，解关于z 的方程(3)13z i z i -⋅=+；（2）已知32i +是关于x 的方程220x ax b ++=在复数集内的一个根，求实数a ，b 的值.24．i 是虚数单位，且2(1)2(5)3i i a bi i-+++=+（,a b ∈R ）. （1）求,a b 的值；（2）设复数1()z yi y R =-+∈，且满足复数()a bi z +⋅在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求||z .25．已知复数z满足||z =2z 的虚部为2-，且z 在复平面内对应的点在第二象限. （1）求复数z ；（2）若复数ω满足1z z iω-≤+，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积. 26．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出.【详解】解：由于复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上,因此, 220a a -=，解得2a =，或0a =故选C【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键. 2．C解析：C【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案．【详解】若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.故选C.【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题． 3．A解析：A【解析】【详解】由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=, 整理可得：()()2440b a i b b ++++=， 所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A . 4．C解析：C【解析】 因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C. 5．A解析：A【详解】 因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ． 6．A 解析：A 【分析】利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围.【详解】()()4334z i z i -=-+-，由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤，因此，4z i -的取值范围是[]28,.故选：A.本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.7．C解析：C【分析】 由1212z z z z +≤+可知()()cos sin 2cos sin 2i a ai i a ai θθθθ+++≤+++，令max 2z ≤，即可求出a 的范围.【详解】 因为对任意θ，2z ≤，则max2z ≤, ()()cos sin 2cos sin 21z i a ai i a ai θθθθ=+++≤+++=，12∴≤，解得a ≤≤ 故选：C.【点睛】本题考查向量模的大小关系，以及不等式的恒成立问题，属于中档题. 8．C解析：C【分析】A ．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B ．根据实数的共轭复数还是其本身判断2||z z z ⋅=是否成立；C ．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D ．考虑特殊情况：12,1z i z ==，由此判断是否正确.【详解】A ．当122,1i z z i =+=+时，1210z z -=>，此时12,z z 无法比较大小，故错误；B ．当0z =时，0z z ==，所以20z z z ⋅==，所以此时2||z zz ⋅=成立，故错误；C ．根据复数乘法的运算法则可知：10z =或20z =，故正确；D ．当12,1z i z ==时，2212110z z +=-+=，此时10z ≠且20z ≠，故错误. 故选：C.【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若z C ∈，则有2z z z ⋅=. 9．A解析：A【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可.【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y=⎧⎨=⎩，则2x y ==，22x yi i +=+==本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．B解析：B【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】()15i z i -+＝，()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=-故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题11．A解析：A【分析】先求出复数123,,z z z 对应的点的轨迹，再利用数形结合分析得解.【详解】1421, z i +-=表示1z 的轨迹是以A (4,2)-为圆心，以1为半径的圆；2 41, z i -=表示2z 的轨迹是以B (0,4)为圆心，以1为半径的圆；331z z i -=-，表示3z 的轨迹是直线y x =，如图所示：3132+z z z z --表示直线y x =上的点C 到圆A 和圆B 上的点的距离，先作出点B (0,4)关于直线y x =的对称点D (4,0)，连接AD , 与直线y x =交于点C . 3132+z z z z --的最小值为2||||||2(44)222172CE CF AD +=-=++=. 故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能由复数方程得到复数对应的点的轨迹，通过数形结合分析得到动点处于何位置时，3132+z z z z --取到最小值.意在考查学生对复数的轨迹问题的理解掌握水平.12．B解析：B【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+，又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3.故选：B.二、填空题13．【分析】根据复数的四则运算公式求得再结合复数的模的计算公式即可求解【详解】由题意复数则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的四则运算公式以及复数模 解析：552【分析】 根据复数的四则运算公式，求得552z i =-，再结合复数的模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，复数1510z i =+ ，234z i =-， 则()()()()1211111510344251034510510343425i i i z z z i i i i i i -++=+=+=+=+-+--+， 所以()()()254225554242422i z i i i i ⨯-===-++-，所以z ==.. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的四则运算公式，以及复数模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 14．4【分析】本题先将分别代入然后相加再运用复数模的三角不等式可计算出的最大值【详解】由题意可知则当与对应的向量反向共线时等号成立故的最大值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查复数的模的计算以及复数模的 解析：4【分析】本题先将1z ，2z 分别代入23i i z z +-=，然后相加，再运用复数模的三角不等式可计算出12z z +的最大值．【详解】由题意，可知1123z z +-=，2223z z +-=， 则12121212126222z z z z z z z z z z =++-+-≥++-=++，当12z -与22z -对应的向量反向共线时，等号成立.124z z ∴+≤． 故12z z +的最大值为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查复数的模的计算，以及复数模的三角不等式的运用，不等式的计算能力．本题属基础题．15．1【分析】由复数模的求法及虚数单位的性质化简求值【详解】解：由题得故答案为：1【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位的性质是基础题 解析：1【分析】由复数模的求法及虚数单位i 的性质化简求值.【详解】解：由题得2|1|1211z i=+==-=，||1z∴=.故答案为：1.【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位i的性质，是基础题.16．0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解【详解】是关于的实系数方程的一个根是关于的实系数方程的另一个根则即故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算解析：0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i -是关于x的实系数方程20x px q++=的一个根，1i∴+是关于x的实系数方程20x px q++=的另一个根，则(1)(1)2p i i-=-++=，即2p=-，2(1)(1)12q i i i=-+=-=，p q∴+=.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题. 17．【分析】由于次数比较高先利用的周期性将其次数降低再进行四则运算【详解】故答案为：【点睛】本主要考查了有关的幂的运算和复数的四则运算还考查了转化问题运算求解的能力属于基础题解析：2i【分析】由于次数比较高，先利用()*ni n∈N的周期性，将其次数降低，再进行四则运算.【详解】66+=⎝⎭3323312⎡⎤+⎢⎥=+=+=⎢⎥⎝⎭⎣⎦ii i i i i.故答案为：2i【点睛】本主要考查了有关i的幂的运算和复数的四则运算，还考查了转化问题，运算求解的能力，属于基础题.18．3：4：5【分析】设对应的复数计算对应的复数从而得出再根据与的比值得出答案【详解】设表示的复数为表示的复数为则所以所以表示的复数为所以所以又所以又则所以的三边长之比为：故答案为：【点睛】本题考查了复 解析：3：4：5【分析】设AB 、AC 对应的复数，计算BC 对应的复数，从而得出AC BC ⊥，再根据AB 与AC 的比值得出答案.【详解】设AB 表示的复数为a bi +，AC 表示的复数为i c d +， 则444()(1)()()333a bi c di i c d d c i +=++=-++， 所以43a c d =-，43b dc =+， 所以BC 表示的复数为44()()33AC AB c a bd i d ci -=-+-=-， 所以44(,)(,)033AC BC c d d c ⋅=⋅-=， 所以AC BC ⊥, 又B A C A z z AB AC z z -=-，所以45133AB i AC =+==， 又AC BC ⊥,则433BC AC ==， 所以ABC ∆的三边长之比为：3:4:5,故答案为：3:4:5.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，考查了推理能力，属中档题. 19．【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算法则化简求出复数z 进而求得其共轭复数从而求得结果详解：因为所以故答案是点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及共轭复数的概念与求解问题在解题的过程中需要对复数 解析：1322i + 【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算法则化简，求出复数z ，进而求得其共轭复数，从而求得结果. 详解：因为2(2)(1)13131(1)(1)222i i i i z i i i i ----====-++-， 所以1322z i =+，故答案是1322i +. 点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及共轭复数的概念与求解问题，在解题的过程中，需要对复数的除法运算法则灵活掌握，以及共轭复数满足的条件是实部相等，虚部互为相反数.20．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）解析：-2-3i【解析】分析：化简已知的等式，即得 a 的值. 详解：由题得，故答案为-2-3i点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了. 三、解答题21．（1）1322z i =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩ 132z ∴=- （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z =()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211111211111a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a b μ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++ 令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭ 12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强． 22．（Ⅰ）22＋4i （Ⅱ）152z =【分析】（Ⅰ）利用复数z 1＋z 2是实数，求得a ＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果； （Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得12z z ，利用复数是纯虚数的条件求得a 的值，之后应用复数模的公式求得结果【详解】（Ⅰ）∵z 1＋z 2＝5＋（a －4）i 是实数，∴a ＝4，z 1＝2＋4i ，∴z 1z 2＝（2＋4i ）（3－4i ）＝22＋4i ；（Ⅱ）∵()()12643823425a a i z ai z i -+++==-是纯虚数， ∴133,222a z i ==+，故152z ==． 【点睛】 该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.23．（1）1z =-或13i -+；（2）12,26a b =-=.【分析】（1）设,z a bi z a bi =+=-，代入(3)13z i z i -⋅=+，化简后利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得,a b 的值，由此求得z .（2）根据虚根成对以及根与系数关系列方程组，解方程组求得,a b 的值.【详解】（1）设z a bi =+，则(3)()13a bi i a bi i +--=+，即223313a b b ai i +--=+ ∴223133a b b a ⎧+-=⎨-=⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩，或13a b =-⎧⎨=⎩∴1z =-或13i -+； （2）由题知方程在复数集内另一根为32i -，故323262(32)(32)132a i ib i i ⎧-=++-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩， 即12,26a b =-=.【点睛】本小题主要考查复数运算，考查复数相等的概念，属于中档题.24．（1）3,1a b ==-（2【解析】分析：（1）由复数的四则运算可化简复数，再由复数相等可知实部与虚部都要相等，可求得,a b ．（2）由复数的乘法运算可化简复数式为标准式，再由复数在第一、三象限的角平分线上可知复数实部等于虚部，求得参数y,再由复数模公式求得复数模．详解：（1）∵()()21253i i a bi i -+++=+ 1033i i==-+ ， 又∵,a b R ∈ ∴3,1a b ==-（2）()()()31a bi z i yi +⋅=--+()()331y y i =-+++由题意可知：331y y -+=+，解得2y =- ∴z ==点睛：本题主要考查复数四则运算与乘方综合运算和复数相等，及复数与坐标对应关系，及复数的模．25．（1）1z i =-+；（2）25π 【分析】 （1）设出复数z ，利用已知列出方程组，求解可得复数z ； （2）把复数1i z =-+代入iz z +，利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计算i z z +，由复数ω满足1015ω-≤，由复数的几何意义得出ω在复平面内对应的点的集合构成图形是什么，从而计算出对应面积.【详解】(1)设z=x+yi(x,y ∈R),则z 2=x 2-y 2+2xyi,由|z|=,z 2的虚部为-2,且z 在复平面内对应的点在第二象限, 得解得 ∴z=-1+i.(2)由(1)知,z=-1+i,∴i z z +====-+i, ∴i z z +==, ∴复数ω满足|ω-1|≤. 由复数的几何意义,得ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心,为半径的圆面,∴其面积为π·=. 【点睛】 本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.26．1,22【解析】【分析】根据复数相等的概念得到实部虚部均为0，即21020x y y -+=⎧⎨-=⎩求得参数值. 【详解】∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴21020x yy-+=⎧⎨-=⎩解得12x= ,y=2所以实数x，y的值分别为12，2.【点睛】这个题目考查了复数相等的概念，两个复数相等则需要实部等于实部，虚部等于虚部即可.。
大连市必修第二册第二单元《复数》测试题(答案解析)
一、选择题1．满足条件34z i i -=+的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ） A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆2．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） A ．2a ≠，或1a ≠ B ．2a ≠，且1a ≠ C ．2a =，或0a =D ．0a =3．已知复数1z ，2z 满足()1117i z i +=-+，21z =，则21z z -的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．若复数z 满足12z i i •=+，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．15．已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2B ．2C ．12D ．-16．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -7．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 8．已知复数 1cos isin z αα=+ 和复数2cos isin z ββ=+，则复数12z z ⋅的实部是( )A ．()sin αβ-B ．()sin αβ+C ．()cos αβ-D ．()cos αβ+9．在复平面内，复数201812z i i=++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ＋1-2i |的最小值为（ ）A 1B C ．3D ．212．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．已知复数z 满足||1z =，则|i ||i |z z ++-的最大值是__________.14．已知i为虚数单位，计算：12cos sin 233i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫÷-= ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭_________. 15．设i 为虚数单位，复数z满足()()21z i+=，则z =______．16．已知复数[(1)]z a ai i =++（i 是虚数单位）是虚数，且||1z =，则实数a 的值是______17．复数(1sin )(cos sin )z θθθ=++-i 是实数，[]0,2θπ∈则θ=______. 18．若实数,m n 满足20212(4)(2)i mi n i ⋅+=+，且z m ni =+，则||z =_____． 19．设b R ∈，i 是虚数单位，已知集合{}|2A z z i =-≤，{}11|1,B z z z bi z A ==++∈，若A B ⋂≠∅，则b 的取值范围是________．20．设z 是复数，()a z 表示满足1n z =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则1i()1ia +=-________. 三、解答题21．复数1z 、2z 满足120z z ⋅≠，1212||||z z z z +=-，证明：21220z z <.22．（1）计算：()()432-2i （i 为虚数单位）；（2）已知z 是一个复数，求解关于z 的方程，313z z i z i ⋅-⋅=+（i 为虚数单位）. 23．已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的两根为1x 、2x .（1）若134x i =+，求p 的值； （2）若121x x -=，求实数p 的值.24．（1）求复数2320191i i i i z i++++=+的值.（2）复数()213105z a i a =+-+，()22251z a i a=+--，若12z z +是在复平面内对应的点在第三象限，求实数a 的取值范围. 25．计算下列各题：(1)55(1)(1)11i i i i +-+-+；(2)201920191111i i i i +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭；；(4) 23201920202320192020i i i i i +++++.26．已知关于x 的方程2(21)30x i x m i --+-=有实数根,求实数m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为34z i i -=+，所以5z i -=，22(1)25,x y +-= 因此复数z 在复平面上对应点的轨迹是圆，选C.2．C解析：C 【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出. 【详解】解：由于复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上, 因此, 220a a -=，解得2a =，或0a = 故选C 【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键.3．D解析：D 【分析】先求得1z ，设出2z ，然后根据几何意义求得21z z -的最大值. 【详解】 由()()()()11711768341112i i i iz i i i i -+--++====+++-，令2z x yi =+，x ，y R ∈，由222||11z x y =⇒+=，()()2134z z x y i -=-+-=2z 对应点在单位圆上，所以21z z -表示的是单位圆上的点和点()3,4的距离，()3,4到圆心()0,05=，单位圆的半径为1，所以21max 516z z -=+=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的最值的计算.4．D【解析】 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出． 【详解】12iz i =+，()12i iz i i ∴-⋅=-+，2z i =-+则z 的共轭复数2z i =+的虚部为1． 故选D ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．C解析：C 【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 6．A解析：A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-. 7．B解析：B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算即可． 【详解】()15i z i -+＝，()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=- 故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题8．D【解析】分析：利用复数乘法运算法则化简复数，结合两角和的正弦公式、两角和的余弦公式求解即可. 详解：()()12cos cos cos cos z z isin isin ααββαβ⋅=++=()()2cos cos cos i sin isin i sin sin isin αβαβαβαβαβ+++=+++，∴实部为()cos αβ+,故选D.点睛：本题主要考查的是复数的乘法，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误.9．C解析：C 【解析】因为201812z i i =++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+- ，复数201812z i i =++对应的点的坐标为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故复数201812z i i =++对应的点位于第三象限,故选C. 10．C解析：C 【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解. 【详解】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限. 故选：C11．A解析：A 【分析】根据1z =分析出z 在复平面内的轨迹方程，再根据12z i +-的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果. 【详解】因为|||i |1z x y =+==，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又|12i ||(1)(2)i |z x y +-=++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -,的距离，所以min |12i |z +-为||1OA r -=， 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解1z =对应的轨迹方程以及掌握12z i +-的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题.12．A解析：A 【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限.故选:A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】设则化简可得；然后分类讨论去绝对值在根据三角函数的性质即可求出结果【详解】设则当时所以的最大值是；当时所以的最大值是；当时所以综上的最大值是故答案为：【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何解析：【分析】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤<，则化简可得coscos2222z i z i θθθθ++-=++-；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果． 【详解】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤< ．则z i z i ++-===coscos2222θθθθ=++-．02θπ≤<，02θπ∴≤<．当0,24θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0sin cos 1222θθ≤≤≤≤，所以2z i z i θ+-=+，z i z i ++-的最大值是当3,244θππ∈⎛⎤⎥⎝⎦时，cos sin 122θθ≤<<≤，所以2z i z i θ++-=，z i z i ++-的最大值是；当3,24θππ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭时，1cos sin 2222θθ-<<-<<，所以sin cos 22θθ<，2z i z i θ++-=-，z i z i ++-<．综上，z i z i ++-的最大值是故答案为： 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,训练了利用三角函数求最值,是中档题．14．【分析】先把转化为再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案【详解】解：原式故答案为：【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则属于基础题解析：14-+【分析】先把122i +转化为cos sin 33i ππ+，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案.【详解】 解：原式cossin2cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos sin 2cos 3333i isin ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos sin 23333i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦144=-+.故答案为：14-+. 【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则，属于基础题.15．【分析】根据复数的除法运算化简求得再结合复数的模的运算公式即可求解【详解】由则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及复数的模的运算其中解答中熟记复数的运算法则以及复数模的计算公式是解 解析：2【分析】根据复数的除法运算，化简求得1z =-，再结合复数的模的运算公式，即可求解. 【详解】由()222(2ii =-+=-，则1z ====-，所以12z =-=. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的模的运算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．【解析】【分析】计算复数根据结合模长公式即可解出实数的值【详解】由题：复数是虚数则即解得或（舍）所以故答案为：【点睛】此题考查复数的运算和模长的计算并求参数取值注意概念辨析一个复数是虚数则虚部不为零 解析：0【解析】 【分析】计算复数2[(1)](1)(1)z a ai i a i ai a a i =++=++=-++，根据||1z =，结合模长公式即可解出实数a 的值． 【详解】由题：复数2[(1)](1)(1)z a ai i a i ai a a i =++=++=-++，是虚数，则10a +≠，||1z ==，即2220a a +=，解得0a =或1a =-（舍） 所以0a =．故答案为：0 【点睛】此题考查复数的运算和模长的计算并求参数取值，注意概念辨析，一个复数是虚数，则虚部不为零，此题的易错点在于漏掉考虑为虚数的限制条件．17．或【解析】【分析】由复数的虚部为0求得再由的范围得答案【详解】是实数即又或故答案为：或【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法实部虚部的概念利用三角函数求角属于中档题解析：4π或54π. 【解析】 【分析】由复数z 的虚部为0求得tan θ，再由θ的范围得答案. 【详解】(1sin )(cos sin )z i θθθ=++-是实数，cos sin 0θθ∴-=，即tan 1θ=， 又[0,2],θπ∈4πθ∴=或54π， 故答案为：4π或54π 【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法，实部、虚部的概念，利用三角函数求角，属于中档题.18．【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算再利用复数相等求出最后由复数的模的计算公式求出【详解】因为所以已知等式可变形为即解得【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则复数相等的概念【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算，再利用复数相等求出,m n ，最后由复数的模的计算公式求出z ． 【详解】因为2021i i =，所以已知等式可变形为2(4)44i mi n ni +=+-，即2444m i n ni -+=+-，2444m n n ⎧-=-⎨=⎩解得31m n =⎧⎨=⎩ ，3i z =+z ∴=．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则，复数相等的概念以及复数的模的计算公式的应用．19．【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（01）为圆心半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（11+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围【详解】由题意集解析：b ≤≤【解析】 【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（1，1+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围． 【详解】由题意，集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部； 集合B 表示点的轨迹为以（1，1+b ）为圆心，半径为2的圆及内部 ∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴4≤．可得：b ≤≤，故答案：b ≤≤， 【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B 集合的意义是关键，是中档题20．4【解析】∵∴∵表示满足的最小正整数∴当时满足第一次成立∴故答案为解析：4 【解析】∵21(1)1211(1)(1)11i i i i i i i +++-===--++ ∴1()()1ia a i i+=- ∵()a z 表示满足1n z =的最小正整数n∴当4n =时满足1n i =第一次成立 ∴()4a i = 故答案为4.三、解答题21．见解析． 【分析】通过复数的模相等，判断两个复数对应的向量垂直，然后设出复数比证明即可．【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由1212||||z z z z +=-知，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，∴12OZ OZ ⊥，故可设12z ki z =(k ∈R 且0k ≠)，∴22221220z k i k z ==-<. 【点睛】本题关键之处在于模长相等的处理，可以得到1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形． 22．（1）8；（2）13z i =-+或1z =-【分析】（1）()()()()()()4222232-22-22-28i i i i -=即可化简得值；（2）设,,z a bi a b R =+∈，建立等式()()()313a bi a bi i a bi i +---=+，列方程组求解.【详解】（1）()()()()()()4222232-22-22-286488i i i i --===-； （2）设,,z a bi a b R =+∈，313z z i z i ⋅-⋅=+，即()()()313a bi a bi i a bi i +---=+，223313a b b ai i +--=+，所以2231,33a b b a +-=-=，解得13a b =-⎧⎨=⎩或10a b =-⎧⎨=⎩， 所以13z i =-+或1z =-.故答案为：13z i =-+或1z =-【点睛】此题考查复数的运算，关键在于根据题意利用复数的运算法则，准确计算求解. 23．（1）6；（2）p =或p =±【分析】（1）将134x i =+代入方程，将复数化为一般形式，利用复数相等可求得实数p 的值； （2）列出韦达定理，由121x x -=可得出关于p 的等式，由此可解得实数p 的值.【详解】（1）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以，()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=， 所以，1832440p p -=-=，解得6p ；（2）2100p ∆=-，由题意得121225x x p x x +=⎧⎨=⎩.若0∆≥，即2100p ≥，则121x x -===，解得p =；若∆<0，即100p <，由2250x px -+=，可得22210024p p x ⎫-⎛⎫⎪-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得12p x =+，22p x =，则121x x i -===，解得p =±.综上所述，p =或p =±【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）在解第一问时，可利用实系数的二次方程的两个虚根互为共轭复数来求解； （2）在解第二问时，应对二次方程是否有实根进行分类讨论，并结合韦达定理求解. 24．（1）1122z i =-+；（2）()1,3 【分析】（1）根据4142434,1,,1n n n n i i i i i i +++==-=-=得414243442340,n n n n i i i i i i i i n N +++++++=+++=∈，进而得2311122i i i z i i ++==-++； （2）由题得()()()2121321551a z z a a i a a -+=++-+-，再结合题意，根据复数的几何意义得()()2130512150a a a a a -⎧<⎪+-⎨⎪+-<⎩，解不等式组即可得答案. 【详解】解：（1）由于4142434,1,,1n n n n ii i i i i +++==-=-=， 所以414243442340,n n n n i i i i i i i i n N +++++++=+++=∈，而201945043=⨯+， 所以()232019231111111222i i i i i i i i z i i i i --++++++-=====-++++； （2）()()()()22123232102510255151z z a i a i a a i a a a a ⎛⎫⎡⎤+=+-++-=++-+- ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭()()()21321551a a a i a a -=++-+-， 因为12z z +在复平面内对应的点在第三象限，所以()()2130512150a a a a a -⎧<⎪+-⎨⎪+-<⎩，解不等式组得：13a <<. 故实数a 的取值范围是()1,3【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，考查运算能力，是中档题.25．(1)0；(2)2i -；(3)516；(4)10101010i - 【分析】根据复数的乘除运算法则及乘方运算，即可计算出(1)(2)的值；利用复数模的运算性质可求出(3)的值；利用分组求和及i 的运算性质可求出(4)的值.【详解】 (1) 5566232322(1)(1)(1)(1)[(1)][(1)]11(1)(1)(1)(1)11i i i i i i i i i i i i i i +-+-+-+=+=+-+-++--- 3333(2)(2)44022i i i i -=+=-=. (2)因为21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+，21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ---===-++-， 所以20192019201945043201920319111(22221)i i i i i i i i i i ⨯+-=--==+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+=⎝⎭=-⎝⎭.545488(43)(1)|(43)(1)|(42)|(42||)|||||i i i i ⋅--==++5454845252516⨯====⨯. (4) 23201920202320192020i i i i i +++++(234)(5678)(2017201820192020)i i i i i i =--++--+++--+(22)(22)(22)+i i i =-+-+-505(22)i =⨯- 10101010i =-.【点睛】本题主要考查复数的乘除运算，乘方运算，复数的模的运算性质及i 的运算性质，属于中档题.26．112m =【解析】 分析：先设方程的实根为0x ，再整理原方程为()()20003210x x m x i ++-+=，再根据复数相等的概念求m 的值.详解：设方程的实根为0x ，则()2002130x i x m i --+-=， 因为0x m R ∈、，所以方程变形为()()20003210x x m x i ++-+=， 由复数相等得200030210x x m x ⎧++=⎨+=⎩，解得012112x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故112m =. 点睛：（1）本题主要考查复数方程的解法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析转化的能力.(2) 关于x 的方程()22130x i x m i --+-=,由于x 是复数，不一定是实数，所以不能直接利用求根公式求解.。
(人教版)大连市必修第二册第二单元《复数》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．322．复数z 满足5(3)2i z i ⋅+=－，则z 的虚部是（ ） A ．12B ．12－C ．12i －D ．12i 3．已知复数()()31z m m i m Z =-+-∈在复平面内对应的点在第二象限，则1z=（ ）A B ．2C D ．124．在复平面内，O 是原点，,,OA OC AB 对应的复数分别为－2＋i ，3＋2i, 1＋5i ，那么BC 对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6i5．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6．设313iz i+=-，则232020z z z z ++++=（ ）A ．1B ．0C ．1i --D ．1i +7．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则z 的共轭复数在复平面内表示的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = ) A ．2i -+ B ．2i - C ．2i -- D ．2i + 10．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝A ．B ．2C ．4D11．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i二、填空题13．设为虚数单位，(12)|34|i z i -=+，则复数z 的虚部为________. 14．已知1i z z -=-+，则复数z =______.15．设复数z ，满足11z =，22z =，123z z i +=-，则12z z -=____________． 16．在复变函数中，自变量z 可以写成(cos sin )i z r i r e θθθ=⨯+=⨯，其中||r z =，θ是z 的辐角．点(),x y 绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点()2,3A 绕原点逆时针旋转3arcsin5得A '_______；复变函数ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，z =_______．17．复数1cos z i θ=+，2sin z i θ=-，则复数12z z -的模的最大值为________. 18．在复平面内，复数(3)2a a z i =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 19．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____20．定义运算a c ad bc b d=-，复数z 满足i 1i 1iz =+，z 为z 的共轭复数，则z ＝___________.三、解答题21．已知复数1z 、2z 满足1||71z =、2||71z =，且12||4z z -=，求12z z 与12||z z +的值.22．（1）在复数范围内解方程()232iz z z i i-++=+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （i ）求z 的值及z 的实部的取值范围； （ii ）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．23．已知：复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且12(1)(1)z i z i -=+（i 为虚数单位），|1z 2． （I ）求1z 的值；（II ）若1z 的虚部大于零，且11mz n i z +=+（m ，n ∈R ），求m ，n 的值． 24．设复数(,0)za bi ab R b =+∈≠且，且1z zω=+，12ω-<<.（1）求复数z 的模；（2）求复数z 实部的取值范围； （3）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数. 25．已知12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，它们满足方程()122195z i z i +-=+，求2212z z +. 26．已知m ∈R ，复数z ＝()()22211m m m m i m +++--，当m 为何值时：（1）z ∈R ； （2）z 是虚数； （3）z 是纯虚数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x ⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-，则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．A解析：A 【解析】 【分析】通过5(3)2i z i ⋅+=－计算出z ，从而得到z ，根据虚部的概念即可得结果. 【详解】∵5(3)2i z i ⋅+=－，∴()()()()5232211333322i i i i z i i i i i ----====-+++-， ∴1122z i =+，即z 的虚部是12，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题.3．C解析：C 【解析】分析：由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定m 的范围，然后结合题意即可求得最终结果.详解：由题意可得：3010x m m Z -<⎧⎪->⎨⎪∈⎩，即13m <<且m Z ∈，故2m =，则：1z i =-+，由复数的性质112z z ===. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．C解析：C 【解析】BC BA AO OC AB OA OC =++=--+15(2)3244i i i i =----+++=-，选C.5．C解析：C 【解析】因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C.6．B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解．3(3)(13)1013(13)(13)10i i i iz i i i i +++====--+， 20202020232020(1)(1)(11)0111z z i i i z z z zz i i---∴+++⋯+====---．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．7．A解析：A 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【详解】复数z 满足()341z i i +=+，∴()()()()3434134z i i i i +-=+-， ∴257z i =-，∴712525z i =-． ∴712525z i =+． 则复平面内表示z 的共轭复数的点71,2525⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限． 故选：A ． 【点睛】此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，根据几何意义确定点的位置.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．C【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．A解析：A 【解析】 【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可. 【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y =⎧⎨=⎩，则2x y ==，22x yi i +=+== 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C解析：C 【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解. 【详解】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限. 故选：C12．B解析：B 【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.二、填空题13．2【分析】首先将题中所给的式子进行化简求得从而得到其虚部的值【详解】根据可得所以所以复数的虚部为故答案为：2【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的除法运算复数的模复数的虚部属于简单解析：2 【分析】首先将题中所给的式子进行化简，求得12z i =+，从而得到其虚部的值. 【详解】根据(12)|34|i z i -=+，可得(12)5i z -==， 所以2255(12)12121(2)i z i i +===+-+-， 所以复数z 的虚部为2， 故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，复数的虚部，属于简单题目.14．【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解 解析：i -【分析】设()i ,z x y x y =+∈R ，根据1i z z -=-+，得到(i 1i x y +=-+，再利用复数相等的条件列出方程组，求得,x y 的值，即可求解. 【详解】设()i ,z x y x y =+∈R ，则z =因为1i z z -=-+，所以i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+，根据复数相等的条件得221 1xx yy⎧⎪-+=-⎨=⎪⎩，解得1xy=⎧⎨=⎩，所以iz=，所以iz=-.故答案为：i-【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的模的计算公式的应用，其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.15．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】解析：6【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z-的值.【详解】设12,z z在复平面中对应的向量为12,OZ OZ，12z z+对应的向量为3OZ，如下图所示：因为123z z i+，所以12312z z=+=+，所以222131221cos1224OZ Z+-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ∠+∠=︒，所以12131cos cos4Z OZ OZ Z∠=-∠=-，所以222211212122cos1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ=+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z=，又12216z z Z Z-==，6.【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R=+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R∈；（2）复数(),z a bi a b R=+∈←−−−→一一对应平面向量OZ.16．【分析】点对应的复数其中则对应的复数其中利用两角和差公式求得的坐标；由则化简可得【详解】点对应的复数其中则对应的复数其中则则故的坐标为；由则得故答案为：；【点睛】本题考查了复数的运算结合考查了两角和解析：118(,)55-1-【分析】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos ,sin 1313αα==，则A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，利用两角和差公式求得A '的坐标；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+，化简可得z . 【详解】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos αα==则A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，则cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=sin()sin cos cos sin 65αβαβαβ+=+=，则118)55z i '=+=-+，故A '的坐标为118(,)55-；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+， 得1z =-. 故答案为：118(,)55-；1- 【点睛】本题考查了复数的运算，结合考查了两角和的正弦、余弦公式，还考查了学生阅读理解能力，分析能力，运算能力，属于中档题.17．【分析】先求再求模将其转化为角度的函数从而求最大值【详解】由题意可得因为故的最大值为故答案为：【点睛】考查向量的减法模的计算以及函数的最大值属综合基础题【分析】先求12z z -，再求模，将其转化为角度的函数，从而求最大值. 【详解】由题意可得12cos sin 2z z i θθ-=-+，212(cos sin )45sin 2z z θθθ-=-+=-，因为45sin 26θ-， 故12z z -的最大值为6. 故答案为：6. 【点睛】考查向量的减法、模的计算以及函数的最大值.属综合基础题.18．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题 解析：66i -【分析】根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果. 【详解】解：由题意可得23a a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-． 故答案为：66i - 【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.19．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0 解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积． 【详解】由题得，z 在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．20．2＋i 【解析】根据题意得到=故得到z=2-i ＝2＋i 故答案为2＋i解析：2＋i 【解析】 根据题意得到1z i zi i i=-=1i +,故得到z=2-i ，z ＝2＋i.故答案为2＋i.三、解答题21．1247z i z +=±，12||4z z +=. 【分析】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，从模长入手，可以得到2221212||||z z z z +=-，进而得到以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形.【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ， 由于222(71)(71)4++-=， 故2221212||||z z z z +=-，故以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥， 则1212||||4z z z z +=-=，2121z z ==±=±. 【点睛】 本题的易错点在12z z =，原因是12,zz 可以交换位置，所以这个取正负值均可. 22．（1）12z =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i iz z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121xy x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩122z ∴=-±（2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ω为实数 220bb a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z =()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211111211111a bi a bi z a bi a b biz a bi a bi a bi a b μ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1bi a μ=-+1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =-()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强． 23．（I ）11z i =-或11z i =-+（II ）4,1m n =-= 【分析】（I ）设1z x yi =+，得出2z 的表达式，根据12(1)(1)zi z i -=+和1z =方程组求得,x y 的值，进而求得1z 的值.（II ）根据（I ）的结论确定1z 的值.代入11mz n i z +=+运算化简，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得,m n 的值. 【详解】解：（I ）设1z x yi =+（x ，y ∈R ），则2z =－x+yi ，∵z 1（1－i ）=2z （1+i ），|1z ，∴22()(1)()(1)2x yi i x yi i x y +-=-++⎧⎨+=⎩， ∴11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即11z i =-或11z i =-+ （II ）∵1z 的虚部大于零，∴11z i =-+，∴11z i =--，则有(1)1mi n i i +--=+-+，∴12112mn m ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，∴41m n =-⎧⎨=⎩． 【点睛】本小题主要考查复数的概念，考查复数的模、复数相等、复数的虚部等知识，属于基础题.24．（1）1；（2）1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）见解析 【解析】分析：（1）由222211a b z a bi a b i z a bi a b a b ω⎛⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由12ω-<<得R ω∈，从而虚部为0，得221a b +=，进而可得解；（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，从而求a 范围即可；（3）化简()()2222121a b biu a b ---=++，由（1）知221a b +=，则()22211bbu i i aa b=-=-+++，从而得证. 详解：（1）22222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 由12ω-<<得R ω∈， 则220bb a b -=+，由0b ≠，解得221a b +=，所以1z ==，（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭. （3）()()()()()()()()222212111111111a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡⎤⎡⎤--+----⎣⎦⎣⎦====+++⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦， 由（1）知221a b +=，则()22211bbu i i aa b=-=-+++， 应为0b ≠，所以u 为纯虚数.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 25．-190 【分析】根据12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，可知12,z z 互为共轭复数，由此设出12,z z的表达式，代入()122195z i z i +-=+，由此求得12,z z ，进而求得2212z z +的值.【详解】由于12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，所以12,z z 互为共轭复数，设12,,(,)z a bi z a bi a b R =+=-∈，代入()122195z i z i +-=+得()()()2195a bi i a bi i ++--=+，化简得()395a b b a i i -+-=+，所以395a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得7,12a b ==.所以()()2222122249144190z z a b +=-=-=-. 【点睛】本小题主要考查实系数一元二次方程虚根成对，考查复数相等的概念，考查复数乘方运算，考查方程的思想，属于基础题.26．（1）1m =-+1m =-2）1m ≠-+1m ≠-1m ≠；（3）0m =或2m =-. 【分析】（1）解221m m +-=0，1m ≠，即可得解；（2）虚部不为0，则该复数为虚数，则2210m m +-≠，1m ≠即可得解；（3）复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，根据()20m m +=，2210m m +-≠，1m ≠即可得解. 【详解】（1）z ∈R ，所以221m m +-=0，1m ≠，212m -±==-所以，当1m =-+1m =--z ∈R ； （2）z 是虚数，则2210m m +-≠，1m ≠，当1m ≠-+1m ≠--1m ≠时，z 是虚数； （3）z 是纯虚数，()20m m +=，2210m m +-≠，1m ≠， 所以0m =或2m =-时，z 是纯虚数. 【点睛】此题考查复数的概念，根据复数的分类求解参数的取值，需要熟练掌握复数的概念，准确求解.。
大连理工大学附属中学必修第二册第二单元《复数》检测(答案解析)
一、选择题1．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．32．设i 为虚数单位，复数23i z i +=，则z 的共轭复数为（ ） A ．32i - B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 3．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．已知复数122z =--，则z z +=（ ）A ．12--B ．12-+C ．12+D ．12- 5．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 6．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ）A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 7．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为 （ ）A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6 8．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．129．已知i 为虚数单位，复数32i 2i z +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75- C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限10．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限11．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A．z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 12．已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题13．已知集合{}11M z z =+=，{}i N z z i z =+=-，则MN =______. 14．若122ω=+（i 为虚数单位），则3ω=_______. 15．已知复数342i z i-=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于第_____象限. 16．若z C ∈且1z =，那么2z i +-的最小值为_______________．17．复数1z 、2z 分别对应复平面内的点1M 、2M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 是虚数单位），则2212z z +=________.18．在复平面内，三点A 、B 、C 分别对应复数A z 、B z 、C z ，若413B A C A z z i z z -=+-，则ABC ∆的三边长之比为________19．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．20．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．参考答案三、解答题21．已知复数z 满足(1)z i m i +=-(其中i 是虚数单位).（1）在复平面内，若复数z 的共轭复数对应的点在直线70x y +-=上，求实数m 的值；（2）若||1z ，求实数m 的取值范围.22．已知i 为虚数单位，关于x 的方程()()2690x i x ai a R -+++=∈有实数根b . （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足20z a bi z ---=，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的最小值.23．设复数(,0)z a bi a b R b =+∈≠且，且1z zω=+，12ω-<<.（1）求复数z 的模；（2）求复数z 实部的取值范围；（3）设11z u z-=+，求证：u 为纯虚数. 24．已知复数1z 满足：111z i z =++.（1）求1z ；（2）若复数()()22111z a a z a R =-+-∈，且2z 是纯虚数，求a 的值. 25．已知关于x 的方程()()2690x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ． （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数满足20z a bi z ---=，求z 的最小值．26．已知虚数z 满足4z z+是实数，且42z z ≤+≤ （1）试求z 的模；（2）若22z i --取最小值m 时对应的复数z 记为0z ，试求①m 的值；②求200z 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==， 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题． 2．B【分析】由题意首先由复数的运算法则求得z 的值，然后求解其共轭复数的值即可.【详解】22232323321i i i i z i i i ++-====--，则32z i =+， 故选B .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.4．C解析：C【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得122z z i +=+，从而求得结果.详解：根据12z =-，可得12z =-+，且1z ==，所以有11122z z +=-++=+，故选C. 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.5．C【解析】 因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C. 6．B解析：B【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论.【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++，即()()222211x y x y -+=++，解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上.故选B.【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题. 7．B解析：B【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可.【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=， 所以()()2231563m m m m i --+--=， 可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.8．C解析：C【分析】用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.【详解】用向量,OA OB 表示12,z z ， 因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==，又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C 【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.9．D解析：D【分析】利用复数的除法运算，化简32i 2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可.【详解】 ()()()()32i 2i 32i 47i 2i 2i 2i 55z +++===+--+， z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75， 22476555z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限.故选：D.【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.10．C解析：C【解析】【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．D解析：D【分析】 利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则2z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．12．D解析：D【解析】()12i z i -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，13213i,i,22z z =+=+13i,22z z =-的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D. 二、填空题13．【分析】根据复数的几何意义可知代表的是圆上代表的是线利用线与圆的位置关系可知结果【详解】的几何意义是以点为圆心1为半径的圆表示到点和点的距离相等的点的集合是线段的垂直平分线也就是轴的几何意义是轴与圆 解析：{}0,2-【分析】 根据复数的几何意义，可知11z +=代表的是圆上,i z i z +=-代表的是线，利用线与圆的位置关系，可知结果.【详解】11z +=的几何意义是以点()1,0-为圆心，1为半径的圆.i i z z +=-表示到点()0,1A 和点()0,1B -的距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴.M N ⋂的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数，故0z =或2z =-，{}0,2M N ∴⋂=-.【点睛】本题考查复数的几何意义，属中档题.14．-1【分析】先把转化为复数的三角形式再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可【详解】解：复数对应的点在第一象限则所以所以所以故答案为：-1【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及 解析：-1【分析】先把12ω=+转化为复数的三角形式，再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可.【详解】解：复数12ω=对应的点在第一象限，则1r ==，1cos 2θ=， 所以arg 3z π=，所以1cos isin 2233i ππω=+=+， 所以33cos sin cos isin 133333333i ππππππππω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：-1.【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的乘法运算法则，属于基础题.15．一【分析】化简得到得到复数对应象限【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为（21）故复数在复平面内对应的点位于第一象限故答案为：一【点睛】本题考查了复数的模复数除法复数对应象限意在考查学生对于复数知识 解析：一【分析】化简得到2z i =+，得到复数对应象限.【详解】()()()3452522222i i z i i i i i -+====+---+，复数z 在复平面内对应的点的坐标为（2,1）， 故复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故答案为：一.【点睛】本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用. 16．【分析】复数满足表示以为圆心1为半径的圆表示圆上的点与点的距离求出即可得出结果【详解】复数满足表示以为圆心1为半径的圆表示圆上的点与点的距离∵∴的最小值是故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数1【分析】复数z 满足1z =，表示以()0,0O 为圆心，1为半径的圆，2z i +-表示圆上的点与点()2,1M -的距离，求出1OM -即可得出结果．【详解】复数z 满足1z =，表示以()0,0O 为圆心，1为半径的圆，2z i +-表示圆上的点与点()2,1M -的距离．∵OM ==∴2z i +-11．【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、圆的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛 解析：100【解析】【分析】设O 为坐标原点，根据1212z z z z +=-可知以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，且线段12M M 的中点为()4,3M ，由此可计算出2212z z +的值. 【详解】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，且245OM ==，所以12210M M OM ==， 所以22222121212100z z OM OM M M =+=+=.故答案为：100.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 18．3：4：5【分析】设对应的复数计算对应的复数从而得出再根据与的比值得出答案【详解】设表示的复数为表示的复数为则所以所以表示的复数为所以所以又所以又则所以的三边长之比为：故答案为：【点睛】本题考查了复 解析：3：4：5【分析】设AB 、AC 对应的复数，计算BC 对应的复数，从而得出AC BC ⊥，再根据AB 与AC 的比值得出答案.【详解】设AB 表示的复数为a bi +，AC 表示的复数为i c d +，则444()(1)()()333a bi c di i c d d c i +=++=-++， 所以43a c d =-，43b dc =+， 所以BC 表示的复数为44()()33AC AB c a bd i d ci -=-+-=-， 所以44(,)(,)033AC BC c d d c ⋅=⋅-=，所以AC BC ⊥, 又B A C A z z AB AC z z -=-，所以45133AB i AC =+==， 又AC BC ⊥,则433BC AC ==， 所以ABC ∆的三边长之比为：3:4:5,故答案为：3:4:5.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，考查了推理能力，属中档题. 19．2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简再根据复数实部概念求结果详解：因为则则的实部为点睛：本题重点考查复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭复数为解析：2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为12i z i ⋅=+，则12i 2i iz +==-，则z 的实部为2. 点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、、对应点为(,)a b 、共轭复数为i a b -.20．1【解析】由|z －2|＝|z ＋2|知z 对应点的轨迹是到(20)与到(－20)距离相等的点即虚轴|z －1|表示z 对应的点与(10)的距离∴|z －1|min ＝1点睛：要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为解析：1【解析】由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴． |z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1.点睛：要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b、模为(,)a b 、共轭为.-a bi三、解答题21．（1）7m =；（2）[1-，1].【分析】（1）把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由共轭复数的概念求得z ，由题意列关于m 的方程求解；（2）利用复数模的计算公式列式，求解关于m 的不等式得答案.【详解】解：（1）由(1)z i m i +=-，得()(1)111(1)(1)22m i m i i m m z i i i i ----+===-++-， ∴1122m m z i -+=+， 由题意，117022m m -++-=，解得7m =； （2）由||1z ，得2211()()122m m -++， 解得：11m -. ∴实数m 的取值范围[1-，1].【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.22．（1）3a b ==；（2）min 2z =【分析】（1）方程()()2690x i x ai a R -+++=∈有实数根b ，可得()()2690b b b i a -++-=，根据复数相等列出式子解出a ，b 的值即可；（2）设i z x y =+（x ，y R ∈），由332z i z --=，得()()()2222334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示一个圆，再结合图形，可得z ，再求出z ，进而求出最小值即可.【详解】（1）b 是方程()()26i 90x x ai a R -+++=∈的实数根， ()()2690b b a b i ∴-++-=，2690b b a b ⎧-+=∴⎨=⎩，解得3a b ==. （2）设i z x y =+（x ，y R ∈），由332z i z --=，得()()()2222334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦， 即()()221122x y ++-=，它表示复数z 对应的点Z 到点()1,1-的距离为22，构成的图形是以()11,1O -为圆心，22为半径的圆，如图所示.当点Z 在1OO 所在的直线上时，z有最大值或最小值，1OO =r = ∴当1z i =-时，z有最小值，且min z =【点睛】本题考查复数相等的概念，考查复数及其共轭复数，考查复数的模，考查复数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.23．（1）1；（2）1,12⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）见解析 【解析】 分析：（1）由222211a b z a bi a b i z a bi a b a b ω⎛⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由12ω-<<得R ω∈，从而虚部为0，得221a b +=，进而可得解；（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，从而求a 范围即可；（3）化简()()2222121a b bi u a b ---=++，由（1）知221a b +=，则()22211b b u i i aa b =-=-+++，从而得证. 详解：（1）22222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 由12ω-<<得R ω∈，则220b b a b-=+， 由0b ≠，解得221a b +=，所以1z ==，（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， 即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. （3）()()()()()()()()222212*********a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡⎤⎡⎤--+----⎣⎦⎣⎦====+++⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦ ， 由（1）知221a b +=，则()22211b b u i i aa b =-=-+++， 应为0b ≠，所以u 为纯虚数.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.24．（1）1z i =-；（2）1a =-.【分析】（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，将已知条件化简后可得1z ；（2）将2z 化简整理，令实部为0，可得a 的值.【详解】（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，1(1)(1)i a bi a b i =+++=+++，100,,11b a b a +=⎧=⎧⎪∴∴⎨=-=+⎩∴1z i =-.（2）由（1）得221(1)(),z a a i a =---∈R由2z 是纯虚数得：21010a a ⎧-=⎨-≠⎩， 1a ∴=-.【点睛】本题主要考查复数的有关概念及四则运算等基本知识.考查概念识记､运算化简能力，属于基础题.25．（1）3a b ==；（2．【分析】（1）复数方程有实根，方程化简为0(a bi a +=、)b R ∈，利用复数相等，即00a b =⎧⎨=⎩解方程组即可．（2）先把a 、b 代入方程，同时设复数z x yi =+，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示圆，再数形结合，求出z ，得到||z ．【详解】解：（1）b 是方程2(6)90()x i x ai a R -+++=∈的实根，2(69)()0b b a b i ∴-++-=，∴2690b b a b⎧-+=⎨=⎩解得3a b ==． （2）设(,)z x yi x y R =+∈，由|33|2||z i z --=，得2222(3)(3)4()x y x y -++=+，即22(1)(1)8x y ++-=，z ∴点的轨迹是以1(1,1)O -为圆心，22为半径的圆，如图所示，当z 点在1OO 的连线上时，||z 有最大值或最小值，1||2OO = 半径22r =∴当1z i =-时．||z 有最小值且||2min z =【点睛】本题（1）考查复数相等；（2）考查复数和它的共轭复数，复数的模，复数的几何意义，数形结合的思想方法．属于中档题．26．（1）2；（2）①222，②202-.【分析】（1）设,,,0z a bi a b R b =+∈≠，将4z z +化简后结合题设条件可得224a b +=. （2）()()222222z i a b --=-+-再利用2(1)2i i +=，即可求得200z .【详解】（1）设,,,0z a bi a b R b =+∈≠，则224444a bi z a bi a bi z a bi a b -+=++=++++， 整理得到2222444a b z a b i z a b a b ⎛⎫+=++- ⎪++⎝⎭，因为4z z+是实数，故2240b b a b -=+， 但0b ≠，故224a b +=，即z 的模为2. （2）由（1）可得42z a z+=，故22a ≤≤1a ≤≤ 又22z i --=它表示圆224a b +=上的点到点()2,2Q 的距离，其最小值为2，当且仅当(),,,O P a b Q共线时取最小值.由2241a b a b a ⎧=⎪+=⎨⎪≤≤⎩可得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故22z i --取最小值时0)z i=+，所以202020102102010200(1)2[(1)]22z i i i =⋅+=⋅+=⋅=-.故202002,2m z ==-.【点睛】本题考查复数的概念、复数的除法运算、复数的几何意义以及特殊复数的指数幂运算，一般地，对于较为复杂的复数问题，我们可以设出复数的实部和虚部，从而将复数问题转化为实数问题来处理，本题属于中档题.。
2023-2024学年辽宁省大连市高中数学人教A版 必修二第七章 复数强化训练-17-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年辽宁省大连市高中数学人教A 版必修二第七章 复数强化训练(17)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）01231. 如果复数的实部和虚部互为相反数，则 的值等于（ ） A. B. C. D. ①②④①②③①②②③④2. 若复数的实部和虚部均为整数，则称复数为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题：①整数都是高斯整数；②两个高斯整数的乘积也是高斯整数；③模为3的非纯虚数可能是高斯整数；④只存在有限个非零高斯整数 ，使也是高斯整数其中正确的命题有（ ）A. B. C.D.3. 在复平面内，复数z 所对应的点A 的坐标为（3，4），则 （ ） A. B. C. D. 2-21+i 1﹣i4. 设复数z 1 ， z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1=1+i ，则z 1z 2=（ ）A. B. C. D. -1-2-305. 设 为的虚部， 为 的实部，则 （ ）A. B. C. D. ab ＜0a 2+b 2≠16. 若复数z=cos +isin （i 是虚数单位），复数z 2的实部虚部分别为a ，b ，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D.7. 为虚数单位，若 ，则 的值为（ ）A. B. C. D.32108. （1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi （a ，b ∈R ）是某一元二次方程的根，则a ﹣bi 是也一定是这个方程的根；（4）若z 为虚数，则z 的平方根为虚数，其中正确的个数为（ ）A. B. C. D. 129. 已知（其中为虚数单位，），是纯虚数，则（ ）A. B. C. D. 2110. i 是虚数单位，若 z=(i+1)i ，则|z|等于（ ）A. B. C. D.11. 已知 为虚数单位，则 的值为（ ）A. B. C. D.1-1-12. 已知a 是实数，是纯虚数，则a 等于（ ）A. B. C. D. 13. 为虚数单位，设复数 ， 在复平面内对应的点关于原点对称，若 ，则 ．14. 设 是虚数单位，若复数 ( )是纯虚数，则 .15. 德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图像表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年，用实数组代表复数 ， 并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样的“代数化”.若复数满足 ， 则复数的模是 .16. 设复数满足 ， 则 .17. 当实数m 取什么值时，复数 是：(1) 实数；(2) 纯虚数．18. 已知虚数满足 .(1) 求的取值范围；(2) 求证：是纯虚数.19. 已知复数（其中）.(1) 若复数为实数，求的值；(2) 若复数为纯虚数，求的值.20. 复数．(1) 实数m取什么数时，z是实数；(2) 实数m取什么数时，z是纯虚数；(3) 实数m取什么数时，z对应的点在直线上．21. 已知复数的虚部大于0，且．(1) 求；(2) 求复数的实部．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)(3)21.(1)(2)。
辽宁省大连市(新版)2024高考数学部编版真题(综合卷)完整试卷
辽宁省大连市（新版）2024高考数学部编版真题(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，，则（）A．B．C．D．第(2)题已知复数的共轭复数是，若，则（）A．B．C．D．第(3)题设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（）A ．函数在上单调递增B．函数在上单调递增C．函数在处取得极小值D．函数在处取得极大值第(4)题设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．第(5)题已知复数满足，则复数的虚部为（）A．B．C．1D．第(6)题已知定义域为的函数满足，且在区间上还满足：①当时，都有；②；③.则等于（）A．B．C．1D．第(7)题已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（）A．1B．C．D．第(8)题如图，已知矩形ABCD中，E为线段CD上一动点（不含端点），记，现将沿直线AE翻折到的位置，记直线CP与直线AE所成的角为，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题全班学生到工厂劳动实践，各自用，的长方体切割出四棱锥模型.产品标准要求：分别为的中点，可以是线段(不含端点)上的任意一点，有四位同学完成制作后，对自己所做的产品分别作了以下描述，你认为有可能符合标准的是( )A．使直线与平面所成角取到了最大值B．使直线与平面所成角取到了最大值C．使平面与平面的夹角取到了最大值D．使平面与平面的夹角取到了最大值第(2)题在中，角、、的对边分别为、、，面积为，有以下四个命题中正确的是（）A．的最大值为B．当，时，不可能是直角三角形C．当，，时，的周长为D．当，，时，若为的内心，则的面积为第(3)题已知正方体的棱长为分别为的中点.下列说法正确的是（）A．点到平面的距离为B．正方体外接球的体积为C．面截正方体外接球所得圆的面积为D．以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，是方程的两个根，则______．第(2)题若三角形的面积为S（），底边长为，底上的高为h（），则h关于S的函数关系式是______．第(3)题设，若，，则集合______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知等比数列的首项为，公比为整数，且.(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，比较与的大小关系，并说明理由.第(2)题现有甲，乙两种不透明充气包装的袋装零食，每袋零食甲随机附赠玩具，，中的一个，每袋零食乙从玩具，中随机附赠一个.记事件：一次性购买袋零食甲后集齐玩具，，；事件：一次性购买袋零食乙后集齐玩具，.（1）求概率，及；（2）已知，其中，为常数，求.第(3)题已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；(1)求双曲线的方程；(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．第(4)题已知数列满足：，．(1)求数列的通项公式；(2)对任意．将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前m项和．第(5)题如图，在直三棱柱中，△为边长为2的正三角形，为中点，点在棱上，且.(1)当时，求证平面；(2)设为底面的中心，求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值.。
辽宁省大连市(新版)2024高考数学统编版(五四制)质量检测(综合卷)完整试卷
辽宁省大连市（新版）2024高考数学统编版（五四制）质量检测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．第(2)题若实数满足，则的最小值是（）A．B．C．D．第(3)题点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心第(4)题已知，下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．第(5)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(6)题已知为复数，，则（）A．B．C．3D．5第(7)题设函数，若，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．第(8)题已知正项等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则（）A．29B．31C．33D．36二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设函数，则（）A．的最小值为，其周期为B．的最小值为，其周期为C．在单调递增，其图象关于直线对称D．在单调递减，其图象关于直线对称第(2)题已知直三棱柱中，且，直线与底面所成角的正弦值为，则（）A．线段上存在点，使得B．线段上存在点，使得平面平面C．直三棱柱的体积为D．点到平面的距离为第(3)题国家统计局统计了2024年1月全国多个大中城市二手住宅销售价格的分类指数，其中北方和南方各4个城市的90m²及以下二手住宅销售价格的环比数据如下：北方城市环比（单位：%，上月=100）南方城市环比（单位：%，上月=100）北京99.5上海99.5天津99.6南京99.5石家庄99.6南昌99.6沈阳99.7福州99.8则（）A．4个北方城市的环比数据的极差小于4个南方城市的环比数据的极差B．4个北方城市的环比数据的均值小于4个南方城市的环比数据的均值C．4个北方城市的环比数据的方差大于4个南方城市的环比数据的方差D．4个北方城市的环比数据的中位数大于4个南方城市的环比数据的中位数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题方程的解是_______.第(2)题设，直线和圆（为参数）相切，则的值为____.第(3)题已知球在正方体内，且与该正方体的六个面都相切，为底面正方形的中心，与球表面相交于点，若，则的长为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知是复数,与均为实数(为虚数单位),且复数在复平面上对应点在第一象限.(1)求的值;(2)求实数的取值范围.第(2)题函数，.（1）若，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，，为曲线上两点，且，设直线斜率为，，证明：第(3)题在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．第(4)题2020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我国处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗.一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：调查人数300400500600700感染人数33667（Ⅰ）求与的回归方程；（Ⅱ）同期，在人数均为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为；注射疫苗后仍被感染的人数记为，估计该疫苗的有效率.（疫苗的有效率为，结果保留3位有效数字）（参考公式：，，参考数据：）第(5)题在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，），曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于A，B两点（异于原点），求的最大值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、复数选择题1．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1iz+=（ ） A ．3155i + B ．1355i + C ．113i +D ．13i + 2．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1C ．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限3．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（ ）A B ．1C ．2D ．35．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+iC ．76i -D ．76i +6．))5511--+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 7．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A B C ．3D ．58．已知复数5i5i 2iz =+-，则z =（ ）A B ．C ．D ．9．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）A．1B ．iC iD i10．若复数()41i 34iz +=+，则z =（ ）A ．45B ．35C ．25D ．511．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）A B ．2C ．10D12．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（ ） A ．22z +=B ．22z i +=C ．24z +=D ．24z i +=14．已知i 是虚数单位，设复数22ia bi i-+=+，其中,a b ∈R ，则+a b 的值为（ ） A ．75B ．75-C ．15D ．15-15．若复数11iz i，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题16．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 17．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-18．下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =19．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =20．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A ．若复数z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =21．下面是关于复数21iz =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．||2z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1-22．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限23．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >24．已知复数122,2z i z i =-=则（ ） A ．2z 是纯虚数 B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =25．以下为真命题的是（ ） A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数 26．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i + C ．z 的实部与虚部之和为2 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 27．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ） A ．1B ．4-C ．0D ．528．（多选）()()321i i +-+表示( ) A ．点()3,2与点()1,1之间的距离 B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离 C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模29．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅ D ．12z z =的充要条件是12=z z30．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．B 【分析】利用复数的除法法则可化简，即可得解. 【详解】 ，. 故选：B. 解析：B 【分析】利用复数的除法法则可化简1iz+，即可得解. 【详解】2z i =-，()()()()12111313222555i i i i i i z i i i +++++∴====+--+. 故选：B.2．C 【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项. 【详解】 ， ，则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误； ，故C 正；对应的点为在第一象限，故D 错误. 故选：C.解析：C 【分析】利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项. 【详解】()13i z i +=+，()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-， 则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；z ==，故C 正；2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误.故选：C.3．D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】 由已知得，所以复数z 在复平面上所对应的点为，在第四象限， 故选：D.解析：D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】由已知得()()()()312317171+21+212555i i i i z i i i i ----====--， 所以复数z 在复平面上所对应的点为17,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限， 故选：D.4．A 【分析】利用复数的模长公式结合可求得的值. 【详解】，由已知条件可得，解得. 故选：A.解析：A 【分析】利用复数的模长公式结合0a >可求得a 的值. 【详解】0a >，由已知条件可得12ai +==，解得a =故选：A.5．D 【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】 ，. 故选：.【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .6．D 【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】 ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：D.解析：D 【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--， )()51711+=--+=-，∴))55121-+=--，故选：D.7．D 【分析】求出复数，然后由乘法法则计算． 【详解】 由题意， ． 故选：D ．【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅． 【详解】 由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．8．B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】 由题，得，所以. 故选：B.解析：B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】由题，得()()()5i 2+i 5i5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z == 故选：B.9．D 【分析】先对化简，求出，从而可求出 【详解】 解：因为， 所以， 故选：D解析：D 【分析】先对1z i i =+-化简，求出z ，从而可求出z 【详解】解：因为1z i i i i =+-==，所以z i =，故选：D10．A首先化简复数，再计算求模. 【详解】 ， . 故选：A解析：A 【分析】首先化简复数z ，再计算求模. 【详解】()()()2242112434343434i i i z i i i i⎡⎤++⎣⎦====-++++ ()()()()43443412163434252525i i i i i --=-=-=-++-，45z ∴==.故选：A11．D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为， 所以，， 所以， 故选:D.解析：D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为1z i =+，所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-== 故选:D.12．B 【分析】先设复数，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】 设复数， 由得， 所以，解得，因为时，不能满足，舍去； 故，所以，其对应的解析：B 【分析】先设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出,x y ，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，由22z z i +=得222x yi i +=，所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得31x y ⎧=±⎪⎨⎪=⎩，因为1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，不能满足20x =，舍去；故1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩3z i =-+，其对应的点3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限， 故选：B.13．B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数对应的点为，所以 ，满足则 故选：B解析：B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B14．D 【分析】先化简，求出的值即得解. 【详解】 ， 所以. 故选：D解析：D 【分析】 先化简345ia bi -+=，求出,ab 的值即得解. 【详解】22(2)342(2)(2)5i i ia bi i i i ---+===++-，所以341,,555a b a b ==-∴+=-. 故选：D15．C 【分析】由复数除法求出，再由模计算． 【详解】 由已知， 所以． 故选：C ．解析：C 【分析】由复数除法求出z ，再由模计算． 【详解】由已知21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以1z i =-=． 故选：C ．二、多选题16．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 17．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确； 故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.18．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB 【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.19．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 20．AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++，因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.21．BD【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，，A 错误；，B 正确；z 的共轭复数为，C 错误；z 的虚部为，D 正确.故选：BD.【点解析：BD【分析】 把21iz =-+分子分母同时乘以1i --，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】 解：22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，||z ∴=A 错误；22i z =，B 正确；z 的共轭复数为1i -+，C 错误；z 的虚部为1-，D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.22．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.23．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.24．AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确. 故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.25．AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--， 则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=， 但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题. 26．CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得.【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得.【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD.故选：CD【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面.27．ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.28．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模29．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误. 故选：AC【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.30．CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。