天一大联考2020年高考全真模拟卷理科数学1-8
2020届全国天一大联考新高考原创仿真试卷(八)理科数学
2020届全国天一大联考新高考原创仿真试卷（八）理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一.选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|2}A x x =<,则R C A =( )A.{|22}x x -≤≤B.{|22}x x x ≤-≥或C.{|x x ≤≤D.{|x x x ≤≥或2.若()12z i i +=,则z =( )A.1i --B.1i -+C.1i -D.1i +3.设,a b 为非零向量,则“//a b ”是“a 与b 方向相同”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知4cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos2α=( )A.725 B.725- C.2425D.2425-5.运行如图所示的程序框图,则输出的a 的值为( )A.13B.14C.15D.166.已知向量,a b 满足||2a =,||1b =,且||2b a +=,则向量a 与b 的夹角的余弦值为( )A.2B.3C .8D.47.函数()ln f x x x=的图像可能是( )A.B. C. D.8.将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像向左平移4π个单位,所得函数图像的一条对称轴的方程为( )A.3x π=B.6x π=C.12x π=D.12x π=-9.设E,F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱DC 上两点,且AB=2,EF=1,给出下列四个命题: ①三棱锥11D B EF -的体积为定值; ②异面直线11D B 与EF 所成的角为45°;③11D B ⊥平面1B EF ;④直线11D B 与平面1D EF 所成的角为60°.其中正确的命题为: ( )A.①②B.②③C.②④D.①④10.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 作垂直于实轴的弦PQ , 若12PF Q π∠=,则C 的离心率e 为( )112 11.已知()f x 是定义域为R 的偶函数,且在(0,+∞)单调递增,设21log 3m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()0.17n f -=,()4log 25p f =,则,,m n p 的大小关系为( )A.m p n >>B.p n m >>C.p m n >>D.n p m >>12.已知函数()1x f x e ax =--在区间(-1,1)内存在极值点,且()0f x <恰好有唯一整数解,则a 的取值范围是(其中e 为自然对数的底数, 2.71828e = )A.221,2e e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.22211,11,22e e e e ⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C.()2211,1,e 2e e e e e⎡⎫---⎪⎢⎣⎭D.()1,e e -二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.82x ⎫-⎪⎭的展开式中,x 的系数为__________________.14.若变量x 、y 满足约束条件2020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩,则2z x y =+的最大值为_________.15.等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项和为n S ,已知374S =,6634S =,则8a =______.16.已知球的直径4DC =,,A B 是该球面上的两点,6ADC BDC π∠=∠=,则三棱锥A BCD -的体积最大值是________.三.解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分 17.(12分)在△ABC,角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,已知()2cos cos 0a c B b C ++=. ⑴求角B ;⑵若3a =,点D 在AC 边上且BD AC ⊥,BD =求c.18.(12分)某家电公司销售部门共有200名销售员,每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22](单位:百万元)内,现将其分成5组:第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6),[6,10),[10,14),[14,18),[18,22),并绘制出如下的频率分布直方图.⑴若用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本,求a 的值和样本中完成年度任务的销售员人数;⑵从⑴中样本内完成年度任务的销售员中随机选取2名,奖励海南三亚三日游,设获得此奖励的2名销售员在第4组的人数为X,求X 分布列和期望.19.(12分)在Rt △ABC 中,∠ABC=90°,1tan 2ACB ∠=.已知E,F 分别是BC,AC 的中点,将△CEF 沿EF 折起,使C 到'C 的位置且二面角'C EF B --的大小是60°.连接'C B ,'C A ,如图:⑴求证:平面'C FA ⊥平面'ABC ;⑵求平面'AFC 与平面'BEC 所成二面角的大小.20.(12分)已知点M ⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b +=(0a b >>)上,且点M 到C 的左,右焦点的距离之和为.⑴求C 的方程;⑵设O 为坐标原点,若C 的弦AB 的中点在线段OM (不含端点O ,M )上,求OA OB ⋅的取值范围.21.(12分)已知函数()222ln f x x x a x =-+,若函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ,且12x x <.⑴求实数a 的取值范围; ⑵证明:()()123ln 202f x f x +++>.(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l 的参数方程是()0,12x m m t y t ⎧⎪⎪⎨+⎩>=⎪⎪为参数,曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. ⑴求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;⑵若直线l 与x 轴交于点P,与曲线C 交于点A,B,且1PA PB ⋅=,求实数m 的值.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数()212 3.f x x x =-++⑴解不等式()6f x ≥;⑵记()f x 的最小值是m ,正实数,a b 满足2+2ab a b m +=,求2a b +的最小值.数学(理科)参考答案一.选择题解析:5.9.11.12.二.填空题解析:16.三.解答题18.⑴∵(0.020.080.092)41a +++⨯=,∴0.03a =.样本中完成年度销售人数为6人.⑵X=0,1,2,()()023*******C C P X P X C =====,()113326315C C P X C ===,分布列如图所示,()1E X =.19.20.22.解:⑴直线l的参数方程是()0,12x m m t y t ⎧⎪⎪⎨=+⎩>=⎪⎪为参数,消去参数t可得x m =+. 由2cos ρθ=,得22cos ρρθ=,可得C 的直角坐标方程：222x y x +=.⑵把()12x m t y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=+=为参数,代入222x y x +=,得2220t t m m ++-=. 由0∆>,解得13m -<<,∴2122t t m m =-,∵121PA PB t t ⋅==,∴221m m -=±,解得1m =或1.又满足0∆>,0m >,∴实数1m =或1.23解:⑴当32x ≤-时,()24f x x =--,由()6f x ≥.解得2x ≤-,综合得2x ≤-; 当3122x -<<时,()4f x =,显然()6f x ≥不成立; 当12x ≥时,()42f x x =+,由()6f x ≥解得1x ≥,综合得1x ≥. ∴()6f x ≥的解集是]([),21,-∞-+∞.⑵()()()212321234,f x x x x x =-++≥--+=即()f x 的最小值4m =. ∵222(),2a b a b +⋅≤由2+24ab a b +=可得()2242()2a b a b +-+≤(当且仅当2a b =时取等号),解得22a b +≥(负值舍去),∴2a b +的最小值为2.。
2020届天一大联考高考全真模拟卷(三)数学理科试题
B．该学院共有3000人
C．非文化类专业共有1800人
D．动漫类专业共有800人
4．已知数列 是等比数列， 是方程 的两根，则 （ ）
A． B．2C． D．
5．已知函数 是定义在 上的偶函数， 为区间 上的任意两个不相等的实数，且满足 ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在 中， 为 的中点， 为 的两个三等分点， 交 于点 ，设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲线的右支于点 ，若 ( 为坐标原点)，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：
由题意可知，文化类共有 ，
而智能类共有 ，
所以智能类专业共有 人，A正确；
非ห้องสมุดไป่ตู้化类专业共有 人，C正确；
动漫类专业共有 人，故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查数据统计知识，考查数据分析，解决问题能力，命题陷阱：饼状图中信息较多，容易分析错误，从而会导致出错.
4．B
【分析】
根据韦达定理可得 均为正数，再通过等比数列的性质可得 .
15．已知抛物线 ，有如下性质：由抛物线焦点 发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为 ，过抛物线 的焦点 ，经反射后，反射光线与 轴的距离为 ，则抛物线 的方程为_________.
2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考数学(理)试题(解析版)
（Ⅱ）若 ， ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）取 中点为 ，根据几何关系，求证四边形 为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；
（Ⅱ）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.
2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求解一元二次不等式解得集合 ，根据集合的交运算即可求得结果.
【详解】
，
故 .
故选：A.
【点睛】
本题考查集合的运算、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属基础题.
6．已知幂函数 的图象过点 ，且 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意求得参数 ，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.
【详解】
依题意，得 ，故 ，
故 ， ， ，
则 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.
如下图所示：
不妨设 ，则 ，
所以 ， ， ， ， .
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 所以
可取 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 .
故可得直线 与平面 所成的角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.
19．已知椭圆 ： ，不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点.
【附15套精选模拟试卷】河南省天一大联考2020届高三下学期阶段性测试(一)数学(理)试卷含解析
河南省天一大联考2020届高三下学期阶段性测试（一）数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m β⊥，则//m α B ．若//m α，n m ⊥，则n α⊥C ．若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m β，m α⊂，n αβ=I ，则//m n2．已知集合{}1,2P =，{}2,3Q =，全集{1,2,3}U =，则()U C P Q ⋂等于（ ） A ．{3} B ．{2,3}C ．{2}D ．{1,3}3．若函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知等比数列满足：，，则取最小值时，数列的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．5． 设x ∈R ，则“38x >”是“2x >” 的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某学校计划周一到周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》、《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能再周一和周四演，《茶馆》不能在周一和周三演，《天籁》不能在周三和周四演，《马蹄声碎》不能在周一和周四演，那么下列说法正确的是（ ）． A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或者周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都可能在周二上演7．过双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B ，两点，OAB ∆的面积为133bc，则双曲线的离心率为（ ） A ．132 B ．133C ．222D ．2238．已知函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，已知点()0,3A ，,06B π⎛⎫⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴方程为( )A ．4x π=B ．3x π=C ．23x π=D ．12x π= 9．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（ ）．A ．12-B ．12 C ．1D ．1-10．函数11()ln(1)1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a =-+只一个零点，则a 的取值范围是 A ．{}(0]2-∞U ， B ．{}[0)2+∞-U ，C ．(0]-∞，D ．[0)+∞， 11．已知平面向量，满足，，且，则向量，的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ． 12．已知，且，，，，则，，的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟(三)数学(理)试题(解析版)
2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}222450,20A x x y x y B x x =+-++==>，则集合A B =U （ ）A ．[)1,+∞B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()0,1 【答案】A【解析】通过配方求出集合A ，解不等式求出集合B ，进而可得并集.【详解】对于集合A ：配方得()()22120,1,2x y x y -++=∴==-，从而{}1A =.对于集合):120,0B >Q20,10>>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B ∞=+U .故选：A.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题.2．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ）A ．24i +B ．22i -C ．D ．【答案】C【解析】先由已知求出z ，进而可得z i +，则复数的模可求.【详解】 由题意可知3223i z i i+==-，从而23,24,z i z i i z i =+∴+=+∴+==.【点睛】 本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：1z +易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.3．为了贯彻素质教育，培养各方面人才，使每位学生充分发挥各自的优势，实现卓越发展，某高校将其某- -学院划分为不同的特色专业，各专业人数比例相关数据统计.如图，每位学生限修一门专业.若形体专业共300人，则下列说法错误的是（ ）A ．智能类专业共有630人B ．该学院共有3000人C ．非文化类专业共有1800人D ．动漫类专业共有800人【答案】D【解析】根据形体专业所占比例和人数可求出总人数，分别求出文化类和智能类所占比例，根据比例和总人数可求出不同专业的人数，进而可得答案.【详解】该学院共有300300010%=人，B 正确； 由题意可知，文化类共有115%18%12%10%5%40%-----=，而智能类共有40%3%6%10%21%---=，所以智能类专业共有300021%630⨯=人，A 正确；非文化类专业共有300060%1800⨯=人，C 正确；动漫类专业共有15%3000450⨯=人，故D 错误.故选：D.【点睛】本题考查数据统计知识，考查数据分析，解决问题能力，命题陷阱：饼状图中信息较多，容易分析错误，从而会导致出错.4．已知数列{}n a 是等比数列，48,a a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ） A ．22± B ．2 C ．2±D ．2-【解析】根据韦达定理可得48,a a 均为正数，再通过等比数列的性质可得6a .【详解】方程2840x x -+=的两根分别为48,a a ，48480084a a a a +>⎧∴⎨>==⎩，∴4800a a >⎧⎨>⎩， 由等比数列性质可知24864a a a ==， 62a ∴=±又26460,2a a q a =>∴=.故选：B.【点睛】本题考查等比数列性质，考查运动知识解决问题的能力，是基础题.5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c << 【答案】D【解析】先根据函数(1)f x +是偶函数可得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，再由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，根据131,,42t t+的大小关系可得函数值的大小.【详解】Q 函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥， 从而1731731,4242t f t f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即b a c <<.故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力，本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若直线m α⊂，直线,,n l m l βαβ⊂⋂=⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要【答案】B【解析】通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可.【详解】当//n l 时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥；反之，若αβ⊥，因为,,m l m l ααβ⊂⋂=⊥，可推出m β⊥.又n β⊂，所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件､必要条件的判断，考察空间想象能力.7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．206+B ．216+C ．20D ．392【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体正方体''''ABCD A B C D -截去一个小三棱锥'D AD E -，如图，根据面积公式求出每个面的面积相加即可.【详解】由三视图可知该几何体正方体''''ABCD A B C D -截去一个小三棱锥'D AD E -，如图()()''''111123,1223,222222ABCE CED C AA D S S S ∆=⨯+⨯==⨯+⨯==⨯⨯= 在'AED ∆中，''22125,22AE ED AD =+==可计算'AD 3'122362AED S ∆∴=⨯=， 从而可得该几何体的表面积为332634206++⨯=+.故选：A.【点睛】本题考查切割体的三视图，考察空间想象能力以及运算求解能力，本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.8．随着交通事业的快速发展，中国高铁在我国各地已普遍建成，并投入使用，加强了各地的联系.已知某次列车沿途途经河南的安阳焦作､洛阳､郑州.开封五个城市，这五个城市有各自有名的景点：红旗渠､云台山､白马寺､二七塔､清明上河园某小朋友对河南比较陌生，他将五个景点与五个城市进行连线(一个城市对一个景点)，则他至少能连正确两对的方法数共有（ ）A ．4种B ．5种C ．31种D ．36种【答案】C【解析】分别算出该小朋友连正确两对，连正确3对，连正确4对(即5对)的方法数，相加即可.该小朋友连正确两对的方法数为25220C ⨯=种；连正确3对的方法数为35110C ⨯=种；连正确4对(即5对)的方法数为1种，至少连正确两对的方法数共有2010131++=种，故选：C.【点睛】本题考查排列组合中典型的不在其位问题，考察分析､解决问题的能力，本题问“至少”，不细心易只计算“连正确两对”的情况；另外学生会出现连正确4对与5对分开来算的情况.9．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的部分图像如图所示，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-；③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增. 其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【解析】通过图像可得函数的周期，过点,12A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2列方程可得解析式为()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.由图象知函数()f x 的最小正周期为23122T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则4ω=， 即()()sin 4f x A x =+ϕ， 又由12f A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由0ϕπ<<可知6π=ϕ，从而()sin 46f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又(0)2f =，可得sin26A π=， 所以4A =， 从而()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易判断①②正确， 而()0f π≠，所以③错误， 又由242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈， 得()f x 的增区间为,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 可知当1k =-时，25,312⎛⎫-π- ⎪π⎝⎭是()f x 的一个增区间，④正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查利用三角函数部分图象求解析式和三角函数的基本性质，考查运算求解能力，是基础题.10．已知实数,a b 满足,a b R +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（ ） A ．173 B ．174 C ．163 D ．194【答案】C【解析】由31a b +=得()()283a b a b +++=，变形()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭，展开，利用基本不等式即可求最值.【详解】因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=， ()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭()()()928111610102924333a b a b a b a b ⎡⎤++=++⨯≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()283a b a b +=+即51,88a b ==时取等号. 故选：C.【点睛】 本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.11．如图，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，,E F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则FM =u u u u r （ ）A ．171515a b -r r B ．171515a b +r r C ．241515a b -r r D ．241515a b -r r 【答案】A 【解析】连接,FA FD ，由,,E M A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，将,FE FAu u u r u u u r 用,AB AC u u u r u u u r 表示，则可得21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ，同理,,D M C 由三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用平面向量基本定理列方程组求解.【详解】连接,FA FD ，由,,E M A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，由题意知()()112212,333333FE CB AB AC FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC ==-=+=-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 所以21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ， 同理,,D M C 由三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以21323621333λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3545λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 从而171515FM a b =-u u u u r r r . 故选:A.【点睛】本题考查向量的线性运算以及三点共线的向量运算结论，旨在考查学生对基本知识与技能的掌握，是中档题.12．过双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左焦点()(),00F c c ->作圆2229a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若2OP OE OF =-u u u r u u u r u u u r (O 为坐标原点)，则双曲线的离心率为（ ）A ．13B 13C 10D 17 【答案】D【解析】设双曲线的右焦点为'F ，连接'PF ，知点E 为FP 的中点，由题可得22293FP c a =-22229233c a a a -=，整理可得离心率.【详解】设双曲线的右焦点为'F ，连接'PF .由2OP OE OF =-u u u r u u u r u u u r ，知点E 为FP 的中点，则OE 为'FPF ∆的中位线， 则'223P OE a F ==，又OE FP ⊥， 所以可得22293FP c a =-. 由双曲线的定义，得22229233c a a a --=， 整理可得22917c a =，则222179c e a ==， 所以173e =. 故选：D.【点睛】 本题考查双曲线的定义，离心率的求解，是中档题.二、双空题13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x =_________；乙组的中位数为________.【答案】2 22.5【解析】根据公式计算平均数，将乙组数据从小到大排序，可得中位数. 【详解】由题意，先计算甲组平均数10+12+11+23+21+20+35+30+41+47==2510x 甲，因为=x x 甲乙， 所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=. 故答案为：2；22.5. 【点睛】本题考查统计中的数字特征：平均数､中位数，考查学生的运算能力，是基础题.三、填空题14．某事业单位欲指派甲､乙､丙､丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到,A B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己的分配地的是_________. 【答案】乙､丁【解析】从甲还不知道自己该去哪里开始分析，可得乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地，再根据乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地可分析出结果. 【详解】四人知道的情况是：组织分配的名额､自已看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地；所以甲、丁一个在A 地，一个在B 地. 又给乙看了丙的分配地， 所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地， 故填乙､丁. 故答案为：乙､丁. 【点睛】本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力.15．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120︒，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与xC 的方程为_________.【答案】22y x =或 26y x = 【解析】过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，与抛物线联立，求得y ，进而根据条件列方程可得p 的值，则抛物线方程可求. 【详解】过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y ==y == 从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =. 故答案为：22y x =或26y x =. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力，是基础题. 16．已知函数[)21()sin ,0,2f x x x ax x =++∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】[)1,-+∞【解析】由题意可知'()cos f x x x a =++，设()cos h x x x a =++，可得'()1sin 0h x x =-≥，求出()h x 的单调性，分1a ≥-，1a <-讨论，求出()f x 的单调性和最值，进而可得答案. 【详解】由题意可知'()cos f x x x a =++， 设()cos h x x x a =++，则'()1sin 0h x x =-≥，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，(0)1h a =+，（1）当10a +≥，即1a ≥-时，()(0)0h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()(0)0f x f ≥=恒成立；（2）当10a +<，即1a <-，令2x a =-，则()(2)2cos 20h a a -=+->. 又(0)10h a =+<，所以()00,x ∃∈+∞，使得0()0h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()(0)0f x f <=，不合题意. 综上a 得取值范围为{}1a a ≥-. 故答案为：[)1,-+∞. 【点睛】本题考查三角函数与导函数的综合问题，考查灵活运用导数处理恒成立问题的能力，是中档题.四、解答题17．如图，ABC ∆为等边三角形，边长为3，D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（1）求sin ADB ∠的值； （2）求DE 的长. 【答案】（1）32114.（2）75【解析】（1）在ABD ∆中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值； （2）在CDE ∆中，应用正弦定理，求出DE . 【详解】（1）由题意可知60,3,2A AB AD =︒==，由余弦定理， 得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=从而7BD =，设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BD Aθ=，即37sin 3θ=， 得321sin θ=； （2）由题意知θ为锐角，所以27cos 1sin 14θθ=-=， 而()3157sin sin 30sin cos 2214E θθθ=+︒=+=， 在CDE ∆中，由正弦定理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin 3072sin 57CD DE E ⨯⋅︒===. 【点睛】本题考查解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正､余弦定理；（3）三角形有关公式，是基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，160,1,2,4ABC PA AB BC PE PC ∠=︒====（1）求证：AE ⊥平面PCD ； （2）求二面角B AE D --的余弦值. 【答案】（1）答案见解析.（2）213【解析】（1）由已知条件得90BAC ACD ∠=∠=︒，又PA CD ⊥，易证CD ⊥平面PAC ，从而证得AE ⊥平面PCD ；（2）由（1）可建立空间直角坐标系，应用平面的法向量形成的角求解二面角. 【详解】（1）在ABC ∆中，由余弦定理，可知2221=2cos 1421132AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，AC ∴从而可得222,90AB AC BC BAC +=∴∠=︒， 又ABCD 为平行四边形，90ACD ∴∠=︒，即CD AC ⊥，PA Q ⊥平面,ABCD CD ⊂平面,ABCD PA CD ∴⊥，PA AC A =Q I ，从而CD ⊥平面PAC ，又AE ⊂平面,PAC AE CD ∴⊥，在,1,Rt PAC PA AC ∆==2PC =，又1142PE PC ==， 从而可得2,PA PE PC AE PC =⋅∴⊥， 又PC CD C =I ，AE ∴⊥平面PCD ；（2）由（1）可知,,AB AC PA AB PA AC ⊥⊥⊥，所以分别以,,AB AC AP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,0,0,1,,A B P C D -设(),,E x y z ，由14PE PC =u u u r u u u r ，得()()1,,114x y z -=-30,44E ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭()()31,0,0,0,,,44AB AE AD ⎛⎫∴===- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，设平面ABE 的法向量为()111,,n x y z =r，则由n ABn AE⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u vv，得1110,334xy z=⎧⎪⎨+=⎪，令11z=则()13,0,3,1y n=-∴=-r，设平面AED的法向量为()222,,m x y z=u r，则由m AEm AD⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u vv，得222233430y zx y⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，令21z=，得2233yx⎧=-⎪⎨=-⎪⎩()3,3,1m∴=--u r，213cos,13213m nm nm n⋅∴===⨯u r ru r ru r r，由图可知，二面角B AE D--为钝二面角，所以所求余弦值为213-.【点睛】本题考查线面垂直及二面角的余弦值，考查空间想象能力，高考对立体几何的考查一般分两问，第一问证明，第二问求值，求二面角问题时，采用空间向量方法来解决，是中档题.19．已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左､右焦点分别是1,F2F，直线l过1F交C于,A B两点，2ABF∆的周长为42过2F且垂直于x2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线1l (斜率存在)交椭圆C 于,P Q 两点(,P Q 异于上顶点)，椭圆上顶点为,M PM QM ⊥，线段PQ 的垂直平分线2l 在x 轴上的截距为0x ，求0x 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=.（2）0x ≤≤且00x ≠【解析】（1）利用椭圆定义，以及椭圆的所过点可确定椭圆的标准方程；（2）设直线1l 方程，联立直线与椭圆方程，应用PM QM ⊥，可变两参数为一个参数，进而用关于k 的式子表示0x ，从而可得0x 的范围. 【详解】（1）由题意可知2ABF ∆的周长为224AB AF BF a a ++==∴= 又过2F 且垂直于x，∴椭圆过点c ⎛ ⎝⎭，代入椭圆方程得221122c b +=① 又222b c +=② 由①②得221b c ==，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）由题可知直线1l 的斜率0k ≠，设()1:1l y kx m m =+≠， 则由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222124220k x kmx m +++-=， 且()()()2224412220km km∆=-+->，化简得2212k m +>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12221224122212km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ()()()11220,1,,1,,1M MP x y MQ x y =-=-u u u r u u u u rQ ，()()1212110MP MQ x x y y ∴⋅=+--=u u u r u u u u r，即()()()()2212121110kx x k m x x m ++-++-=，也即()()()2222222411101212m km k k m m k k-+--+-=++，整理得()()1310m m -+=，解得13m =-或1m =(舍去)， PQ ∴所在的直线方程为13y kx =-，设线段PQ 的中点坐标为()'',x y ，则()()2'122'21,2312312x x k x y k k +-===++， ∴线段PQ 的中垂线2l 的方程为()()22112312312ky x k k k ⎛⎫ ⎪+=-- ⎪++⎝⎭， ∴直线2l 在x 轴上的截距()021131232k x k k k ==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，0k ≠，当0k >时，132kk⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭1011232k k <≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 当k 0<时，132k k⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭10132k k ≤<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0x ≤≤且00x ≠. 综上所述，0x的取值范围是01212x -≤≤且00x ≠. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及直线的垂直问题，考查运算求解能力；直线与椭圆的位置关系是高考的重点，主要解决方法联立方程处理根与系数关系，经常结合基本不等式研究变量的取值范围.20．已知函数()()1sin cos xf x axe x x x =+++（1）若1,2a x π=≥-，求()f x 的单调区间； （2）()sin cos ()f x x x g x x --=，若7,0,,()44x g x ππ⎡⎫⎛⎤∈-⋃-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦的导函数有零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为[)1,-+∞，减区间为,12π⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.（2）344,11,22e e ππ-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【解析】（1）1a =代入原式，求导，判断导数符号，确定单调区间；（2）利用参变量分离，通过构造新函数，研究新函数的取值，确定参数a 的范围. 【详解】（1）当1a =时，()()1sin cos xf x xe x x x =+++，()()()()'()1sin 1cos sin 1cos x x f x x e x x x x x e x =++++-=++，令()cos xh x e x =+，则当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，0,cos 0,cos 0x x e x e x >≥∴+>， 当2x π>时，1,cos 0,cos 0x xe x e x >≥∴+>， 2x π∴≥-时，cos 0x e x +>，若'()0f x ≥，则1x ≥-；若'()0f x <，则12x π-≥<-，∴当2x π≥-时，()f x 的增区间为[)1,-+∞，减区间为,12π⎡⎫--⎪⎢⎣⎭； （2）由题意，可知()sin ,,00,44xg x ae x x π7π⎡⎫⎛⎤=+∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦则'()cos 0xg x ae x =+=在,00,44π7π⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上有解， cos xxa e -∴=设cos ()x x m x e -=，则'sin cos ()xx x m x e +=若'()0m x ≥，则sin cos 0x x +≥04x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭解得344x ππ-≤≤且0x ≠若'()0m x <，则sin cos 0x x +<04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭解得3744x ππ<< ()m x ∴在,0,0,44π3π⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上为增函数，在37,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数而4,(0)142m e m ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭374437(),4242m m ππ--ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又7412π-->-41a π<<-或341a π--<<∴a 的取值范围为344,11,22e e ππ-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，以及恒成立条件下的求范围问题；考查运算能力和分析问题､解决问题的能力，是一道难度较大的题目.21．甲､乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率；（2）设第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p .【答案】（1）11831728.（2）1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭【解析】（1）搞清两种状况，①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，分别计算概率；（2）由第n 次与1n +次的关系，建立递推公式115612n n p p +=+，构造等比数列数列，求出通项公式即可. 【详解】由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有()()()()()()()()1,6,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,3,4,4()()()()()()()()4,5,4,6,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1()()()()()6,2,6,3,6,4,6,5,6,6共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （1）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6， 其概率为7711212⨯=， ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6， 其概率为55717511212121728⨯⨯⨯=， 甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=； （2）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类：①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ， ②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭， 1111262n n p p +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭ 1111111210,122262n n p p p +--=-=≠∴=-Q ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列 1111226n n p -⎛⎫∴-=⨯ ⎪⎝⎭， 1111262n n p -⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查递推数列在概率统计中的应用，一般考查递推公式求通项公式，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些，是一道难度较大的题目.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0απ≤≤)，曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设l 与C 交于,D E 两点(异于原点)，求OD OE +的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=.（2）【解析】（1）展开曲线C 的方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==，从而得曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值.【详解】（1）曲线C 可化为2240x x y -+=， 即224x y x +=，也即24cos ρρθ=，所以4cos ρθ=所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（2）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心， 从而2DOE π∠= 设()12,,,2D E ρθρθπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则124cos 4cos 2OD OE ρρθθπ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭4θπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为【点睛】 本题考查三种方程间的相互转化，是该类问题的考察对象，应用极坐标求最值问题也是常见方法，要求学生必须掌握，考查了转化与化归思想，是基础题.23．已知实数,a b 满足0,0a b >>且1a b +=.（1）证明：()()2222119a b a b --≥；（2≤【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析【解析】（1）应用,a b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行作差比较；另外可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明；（2）设t =1a b +=可得23t =+，利用基本不等式求得最大值，即可证明.【详解】（1）解法1： ()()2222911a b a b --- 222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++--()3224851a a a a =-+-()()22121a a a =--10,1,01b a a a =->∴<∴<<Q ()()221210a a a ∴--≤从而可得()()2222119a b a b --≥；解法2：220,0,0a b a b >>∴>Q ∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1a b +=Q 且0,0a b >>221111a b ⎛⎫⎛⎫∴-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b a b +-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 225a b b a=++59≥=当且仅当12a b ==时取等号，得证；（2）设t =，则()()211t a b =++++1a b +=Q22130,0,24a b t a b ab +⎛⎫∴=+>>∴≤= ⎪⎝⎭2336t ∴=+≤+=t ∴≤12a b ==时等号成立，得证. 【点睛】本题考查不等式的证明，考察转化与化归思想，不等式证明问题多与基本不等式有关，用基本不等式证明应思考等号成立的条件，是中档题.。
2020年海南省天一大联考高考数学一模试卷(有解析)
2020年海南省天一大联考高考数学一模试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 集合M ={1,2,3,4,5}的子集个数是 ( )A. 32B. 31C. 16D. 15 2. 1−2i 1+i =( )A. −12+32iB. −32+12iC. −32−12iD. −12−32i 3. 设α：x =1且y =2，β：x +y =3，α是β成立的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 4. 将函数y =sin (x + π 3)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移 π 3个单位，得到的图像对应的解析式是( )A. y =sin 12xB. y =sin (12x + π 6)C. y =sin2xD. y =sin (2x − π 3) 5. 已知函数f(x)=x −12，则下列说法正确的是( )A. f(x)的图象恒在x 轴上方B. f(x)的图象经过原点C. f(x)是R 上的减函数D. f(x)是偶函数6. 已知α，β为平面，a ，b ，c 为直线，则下列说法正确的是( )A. 若a ⊂α，b//a ，则b//αB. 若α⊥β，α∩β=c ，b ⊥c ，则b ⊥βC. 若a ⊥b ，b ⊥c ，则a//cD. 若a ∩b =A ，a ⊂α，b ⊂α，a//β，b//β，则α//β7. 函数f(x)=e x−1x 的大致图象为( )A. B. C. D.8. 已知a,b >0，a +b =1，则12a+1+2b+1的最小值是( ) A. 95 B. 116 C. 75 D. 1+2√259. 三个数a =0.67，b =70.6，c =log 0.76的大小关系为( )A. b <c <aB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a10. 已知边长为2的正三角形ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2 B. −2 C. 4 D. −411. 若不等式x 2−2x +a ≤0对x ∈[0,3]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. −3<a <0B. a ≤−3C. a <3D. a ≤012. 函数y =f(x)的周期为2，当x ∈[0,2]时，f(x)=(x −1)2，g(x)=f(x)−log 5|x −1|，则函数y =g(x)的所有零点之和为 ( )A. 2B. 8C. 6D. 4二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）13. 曲线f (x )=2x −e x 在点(0,f (0))处的切线方程为_________．14. 已知向量m⃗⃗⃗ =(x,1)，n ⃗ =(1,2)，且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则x =______． 15. 已知四棱锥A −BCDE 的底面是边长为4的正方形，面ABC ⊥底面BCDE ，且AB =AC =4，则四棱锥A −BCDE 外接球的表面积为__________三、多空题（本大题共1小题，共3.0分）16. 在ΔABC 中，D 是BC 边的中点，若AB =2√7,AC =2, ∠CAD =π3,则sin∠BAD = ，AD = ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.设数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1(1)求{a n}的通项公式；(2)记b n=log2(a n+1)，求数列{b n⋅a n}的前n项和为S n．18.如图：在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=90°.已知AD=√3，BD=√6．(1)求sin∠ABD的值；(2)若CD=2，且CD>BC，求BC的长．19.如图，已知四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，△SAD是边长为2的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，P为AD的中点，Q为BS的中点．(1)求证：PQ//平面SCD；(2)求PA与平面PQC所成角的正弦值．20.已知一批玉米种子中每粒种子发芽的概率都是0.8．(1)问每穴至少种几粒才能保证每穴至少有1粒发芽的概率大于98%?(2)若每穴种3粒，求恰好有2粒发芽的概率.(lg2≈0.3010)21.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(2,y0)为抛物线上一点，且|AF|=4．(1)求抛物线的方程；(2)不过原点的直线l:y=x+m与抛物线交于不同两点P,Q，若OP⊥OQ，求m的值．22.已知函数f(x)=x2e−2x，求函数在[1,2]上的最大值．【答案与解析】1.答案：A解析：本题需要考查子集的概念，若M中有n个元素，则其所有子集的数目为2n．根据题意，M中共有5个元素，根据集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．解：根据题意，M中共有5个元素，则其子集的数目为25=32．故选A ．2.答案：D解析：解：1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：A解析：解：∵α：x=1且y=2，β：x+y=3，∴α⇒β，反之不成立，例如：x=2，y=1．∴α是β的充分非必要条件，故选：A．α⇒β，反之不成立，例如：x=2，y=1.即可判断出．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．解：将函数y=sin(x+π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y=sin(x2+π3)的图象；再将所得的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为y=sin[12(x−π3)+π3]=y=sin(x2+π6)，故选B．5.答案：A解析：【试题解析】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．根据幂函数的图象与性质，对选项中的命题分析、判断正误即可．解：对于A，幂函数f(x)=x−12=√x的图象恒在x轴上方，A正确；对于B，幂函数f(x)=x−12定义域 (0,+∞)，B，D错误，α<0时，幂函数f(x)=xα在(0,+∞)上单调递减，C错误；故选：A．6.答案：D解析：本题主要考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系.属于基础题．解：对于A，没有说明b与α的关系，当b在α内时，b不平行α，故错误；对于B，没有说明b与β的关系，当b在β内时，b不垂直β，故错误；对于C，在平面中，正确，在空间中，可能错误；对于D，满足面面平行的判定，故正确．故选D．7.答案：B解析：本题考查的知识点是函数的图象，利用导数研究函数的单调性，难度中档．求导分析函数的单调性，比照后，可得答案．解：∵函数f(x)=e x−1x，∴f′(x)=(x−1)e x−1x，故当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，当0<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数，故选：B．8.答案：A解析：本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题目．根据12a+1+2b+1=12a+1+42b+2=15(12a+1+42b+2)(2a+1+2b+2)，展开后利用基本不等式求解．解：∵a，b>0，a+b=1，∴2a+1+2b+2=5，∴12a+1+2b+1=12a+1+42b+2=15(12a+1+42b+2)(2a+1+2b+2)=1[5+2b+2+4(2a+1)]⩾15(5+2√4)=95当且仅当2b+22a+1=4(2a+1)2b+2，即b=2a=23时等号成立，故选：A．9.答案：C解析：解：∵0<a =0.67<1，b =70.6>1，c =log 0.76<0，∴c <a <b ，故选：C ．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10.答案：A解析：∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π3，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos 60°=2×2×12=2． 11.答案：B解析：解：不等式x 2−2x +a ≤0对任意实数x ∈[0,3]恒成立，即a ≤−x 2+2x 对任意实数x ∈[0,3]恒成立，设f(x)=−x 2+2x ，则f(x)在x ∈[0,3]上的最小值为f(3)=−9+6=−3，∴实数a 的取值范围是a ≤−3．故选：B ．根据题意得出a ≤−x 2+2x 对任意实数x ∈[0,3]恒成立，求出f(x)=−x 2+2x 在x ∈[0,3]上的最小值即可得出结论．本题考查了一元二次不等式在闭区间上恒成立问题，是基础题．12.答案：B解析：本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f(x)性质，作出其图象，将函数g(x)=f(x)−|log 5x|的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易，属于中档题．先根据函数的周期性画出函数y =f(x)的图象，以及y =log 5|x −1|的图象，结合图象可得当x >6时，y =log 5|x −1|>1，此时与函数y =f(x)无交点，再根据y =log 5|x −1|的图象关于直线x =1对称，结合图象即可判定函数g(x)=f(x)−log 5|x −1|的零点个数．解：由题意可得g(x)=f(x)−log5|x−1|，根据周期性画出函数f(x)=(x−1)2的图象以及y=log5|x−1|的图象，根据y=log5|x−1|在(1,+∞)上单调递增函数，当x=6时，log5|x−1|=1，∴当x>6时，y=log5|x−1|>1，此时与函数y=f(x)无交点．再根据y=log5|x−1|的图象和f(x)的图象都关于直线x=1对称，结合图象可知有8个交点，则函数g(x)=f(x)−log5|x−1|的零点之和为 8，故选B．13.答案：x−y−1=0解析：本题考查利用导数研究曲线的切线方程，求出导数，得斜率，然后利用点斜式方程求解即可．解：因为f(x)=2x−e x，所以f′(x)=2−e x，则f′(0)=1，f(0)=−1，所以切线的斜率为1，则切线方程为y+1=x−0，即x−y−1=0．故答案为x−y−1=0．14.答案：12解析：由两向量平行可得2x−1×1=0，解之可得答案．本题考查向量平行的充要条件，涉及平面向量的坐标运算，属基础题．解：因为m⃗⃗⃗ =(x,1)，n⃗=(1,2)，且m⃗⃗⃗ //n⃗，所以2x−1×1=0，解得x=12．故答案为：12．15.答案：112π3解析：如图所示，连接CE,BD相交于点O1，过点O1作OO1⊥平面BCDE，设等边三角形ABC的中心为O2点，过O2点作OO2⊥平面ABC，点O为OO2与OO1的交点，则点O为四棱锥A−BCDE外接球的球心，∵底面是边长为4的正方形，∴O1E=2√2.由ΔABC是边长为4的等边三角形，可得OO1=2√33.∵四棱锥A−BCDE外接球的半径R=√(2√33)2+(2√2)2=√283.∴四棱锥A−BCDE外接球的表面积=4πR2=112π3．16.答案：√21143解析：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、同角三角函数基本关系式、和角的余弦公式，属于中档题．根据正弦定理及诱导公式求得sin∠BAD，由同角三角函数基本关系式求cos∠BAD，再用和角余弦公式求得cos∠BAC，用余弦定理求得BC，最后用余弦定理求得AD．解：由正弦定理得到ABsin∠ADB =BDsin∠BAD,ACsin∠ADC=CDsin60°，∵CD=BD，sin∠ADB=sin∠ADC，∴AB·sin∠BAD=AC×√32，∴sin∠BAD=2×√3 22√7=√2114．由同角三角函数基本关系式得到cos∠BAD=5√714，∴cos∠BAC=cos∠BADcos60°−sin∠BADsin60°=5√714×12−√2114×√32=√714，由余弦定理得到BC=√714=2√7，∴CD=√7，由余弦定理得到CD2=AD2+AC2−2AD×AC·cos60°，∴7=AD2+4−2AD，∴AD=3．故答案为：√2114,3．17.答案：解：(1)∵a n+1=2a n+1，∴(a n+1+1)=2(a n+1)∵a1+1=2≠0，∴a n+1≠0，∴a n+1+1a n+1=2，∴{a n+1}是以2为公比、2为首项的等比数列，∴a n+1=2n，∴a n=2n−1；(2)∵a n=2n−1，∴b n=log2(a n+1)=log22n=n，∴b n⋅a n=n⋅(2n−1)=n⋅2n−n，记A=1×21+2×22+⋯+n⋅2n，∴2A=1×22+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，∴−A=A−2A=2+22+⋯+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，∴A=(n−1)⋅2n+1+2，故S n=A−(1+2+⋯+n)=(n−1)⋅2n+1+2−n(n+1)2．解析：(1)通过对a n+1=2a n+1变形可得(a n+1+1)=2(a n+1)，进而可得{a n+1}是以2为公比、2为首项的等比数列，计算即得结论；(2)通过a n=2n−1，可得b n⋅a n=n⋅2n−n，记A=1×21+2×22+⋯+n⋅2n，利用错位相减法计算A−2A的值，进而计算可得结论．本题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 18.答案：解：(Ⅰ)在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin∠ABD =BD sin∠A ．因为∠A =60°，AD =√3，BD =√6，所以sin∠ABD =AD⋅sin∠A BD =√3×√32√6=√64． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，sin∠ABD =√64， 因为∠ABC =90°，所以cos∠CBD =cos(90°−∠ABD)=sin∠ABD =√64． 在△BCD 中，由余弦定理，得CD 2=BC 2+BD 2−2BC ⋅BDcos∠CBD ．因为CD =2，BD =√6，所以4=BC 2+6−2BC ×√6×√64，即BC 2−3BC +2=0， 解得BC =1或BC =2．又CD >BC ，则BC =1．解析：(Ⅰ)在△ABD 中，由正弦定理即可解得sin∠ABD 的值．(Ⅱ)由已知利用诱导公式可求cos∠CBD 的值，在△BCD 中，由余弦定理即可解得BC 的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.答案：证明：(1)取SC 的中点R ，连接QR 、DR ，由题意知：PD//BC 且PD =12BC ， QR//BC 且QR =12BC ，∴QR//PD 且QR =PD ，所以四边形PQRD 是平行四边形，∴PQ//DR ，又PQ ⊄平面SCD ，DR ⊂平面SCD ，∴PQ//平面SCD ．(2)以P 为坐标原点，PA 、PB 、PS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则S(0,0，√3)，B(0,√3,0)，C(−2,√3,0)，Q(0,√32,√32)，P(0,0，0)，A(1,0，0)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,√32)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,√3,0)，设平面PQC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32y +√32z =0n⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +√3y =0，取x =√3，得n ⃗ =(√3,2，−2)， 设PA 与平面PQC 所成角为θ，则sinθ=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√31×√3+4+4=√3311． ∴PA 与平面PQC 所成角的正弦值为√3311．解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)取SC 的中点R ，连接QR 、DR ，由三角形中位线定理可得QR//BC 且QR =12BC ，再由已知可得PD//BC 且PD =12BC ，得到QR//PD 且QR =PD ，然后由线面平行的判定可得PQ//平面SCD ．(2)以P 为坐标原点，PA 、PB 、PS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA 与平面PQC 所成角的正弦值． 20.答案：解：设事件A 为“种1粒种子且能够发芽”，则P(A)=0.8，P(A)=1−0.8=0.2．(1)设每穴种n 粒能保证每穴至少有1粒发芽的概率大于98%，发芽的粒数为X ．∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B 为“每穴至少有1粒发芽”，则P(B)=P(X =0)=C n 00.80(1−0.8)n =0．2n ，∴P(B)=1−P(B)=1−0．2n ．由题意，得P(B)>98%，∴0.2n <0.02，两边取对数，得nlg0.2<lg0.02，即n(lg2−1)<lg2−2，∴n >lg2−2lg2−1≈−1.6990−0.6990≈2.43，且n ∈N ∗，∴n ≥3.∴每穴至少种3粒才能保证每穴至少有1粒发芽的概率大于98%．(2)∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好有2粒发芽的概率P =C 32×0.82×0.2=0.384．∴每穴种3粒，恰好有2粒发芽的概率为0.384．解析：本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率，属于基础题．(1)假设每穴种n 粒，则根据每穴至少有一粒发芽的概率为1−0.2n ≥98%，求得n 的最小正整数值．(2)利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，求得结果．21.答案：解：(1)已知抛物线y 2=2px(p >0)过点A(2,y 0)，且|AF|=4，则2+p 2=4，∴p =4，故抛物线的方程为：y 2=8x;(2)由{y =x +m y 2=8x得x 2+(2m −8)x +m 2=0， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8−2m ，x 1x 2=m 2，y 1y 2=(x 1+m)(x 2+m)=x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=m 2+m(8−2m)+m 2=8m ，∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴m 2+8m =0，∴m =0或m =−8．经检验，当m =0时，直线经过原点，不满足题意，当m =−8时，△=242−4×64>0，符合题意，综上，实数m=−8．解析：本题考查抛物线标准方程，直线与抛物线的位置关系．(1)由点A到准线的距离为4得出p的值，得到抛物线方程；(2)联立直线与抛物线方程，利用根与系数关系结合OP⊥OQ求出m的值即可，然后检验．22.答案：解：∵f(x)=x2e−2x，∴f′(x)=2xe−2x+x2(−2)e−2x=e−2x(2x−2x2)=−2x(x−1)e−2x．当x∈(1,2)时，f′(x)<0，∴f(x)在[1,2]上单调递减．∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)=e−2．解析：对函数进行求导，判断函数的单调区间，即可求函数在[1,2]上的最大值．本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查综合分析和解决问题的能力，此题是一道中档题．。
河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）Word版含答案
河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）Word版含答案河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，则。
故答案为D。
2. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】角的终边经过点,根据三角函数的定义得到，故答案选B。
3. 已知是公差为2的等差数列，为的前项和，若，则（）A. 24B. 22C. 20D. 18【答案】C【解析】已知是公差为2的等差数列，，即故答案为：C。
4. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】点在幂函数的图象上，将点代入得到故函数为，，，故大小关系是。
故答案为A。
5. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据积分的应用得到故答案为：B。
6. 函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】B...............∴f（x）为奇函数，排除A，f（0）=0，排除D，f（）=0，排除C，故选B．7. 已知实数满足，且的最大值为6，则实数的值为（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为6，即x+y=6．即A（3，3），同时A也在直线y=k上，∴k=3，故答案为D。
8. 《张丘建算经》中载有如下叙述:“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何.”其大意为:“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少?”根据以上叙述，则问题的答案大约为( )里(四舍五入，只取整数).A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】C【解析】由题意，设该匹马首日路程（即首项）为a1，公比S7=700，解得：，故结果为C。
2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考理科数学试题-(带答案解析)
【解析】
【分析】
根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.
【详解】
解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，
则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确，
该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确，
该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确，
15．已知双曲线 ： （ ， ），直线 ： 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点.若 （点 为坐标原点）的面积为32，且双曲线 的焦距为 ，则双曲线 的离心率为________.
16．记数列 的前 项和为 ，已知 ，且 .若 ，则实数 的取值范围为________.
三、解答题
17． 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 .
D．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户
5．运行如图所示的程序框图，若输出的 的值为99，则判断框中可以填（）
A． B． C． D．
6．已知幂函数 的图象过点 ，且 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
7．已知非零向量 满足 ，若 夹角的余弦值为 ，且 ，则实数 的值为（）
A． B．
C． D．
4．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）
A．该市总有15000户低收入家庭
B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户
C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户
A． B． C． 或 D．
8．记单调递增的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则（）