工程力学扭转教程

三、扭矩图
表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 ①扭矩变化规律； ②|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
平行于轴线的坐标表示横截面的位置 垂直于轴线的坐标表示相应截面扭矩的大小
T

x
传动轴如图所示，主动轮A 输入功率 P A = 36 000W，从动轮B、
C、D 输出功率分别为PB = PC = 11000W，P D = 14000W，轴的 转速为n = 300r/min。试画出轴的扭矩图。
（3）静力平衡关系 横截面内有 dA d d 截面上的扭矩：T M e A dA τp
dA

O
dθ
d A G dA dx d G A 2 dA dx
2
令
I p A 2dA
—横截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，只与横截面的尺寸有 关，无物理意义，单位m4或mm4。
表明：距圆心为 任一点处的与该点到圆心的距离成正比。
（2）物理关系
胡克定律
G
和

d
dx
d G G dx
表明：横截面上任意点的切应力τρ与该点到圆心的距离ρ成正比。 ρ =0，τρ=0 ρ =R，τρ最大
切应力互等定理，纵向截 面和横向截面上的切应力 沿半径分布
解：按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩
在BC段内，以T I表示截面I—I 上的扭矩，由平衡方程
在CA 段内
在AD 段内
§9.3
一、纯剪切概述
薄壁圆筒的扭转—纯剪切
1 薄壁圆筒：壁厚 r （r：为平均半径） 10
δ
r
（1）实验前
① 画纵向直线，横向圆周线； ② 施加一对外力偶 Me。
工程力学
第九章 扭 转
§9.1 扭转的概念和实例
扭
转
受力特点 变形特点
杆件两端垂直于杆轴线平面内作用一对大小相等、 方向相反的外力偶 杆件的形状大小未变，任意两个横截面绕轴线发
生相对转动，称为扭转变形。
任意两横截面间有相对角位移，称为转角。以扭转变形 为主要变形的杆件称为轴。
§9.2
一、外力偶矩（Me）的计算
扭矩及扭矩图
设某轮所传递的功率为P kW，轴的转速为 n r/min
P kW的功率相当于每分钟做功：
W = P×1000×60 (1)
外力偶矩1min所做的功：
W = 2 n Me
二者做功相等，即：
(2)
P× 1000× 60=2 n Me
所以：
P Me 9549 n
P单位为kW
二、扭矩及扭矩图 n
（1） 采用截面法求横截面上的内力
M
x
0
Me
n n
Me
T Me 0 T Me
Me
x
T
n
（2） 扭矩（T）：构件受扭时，横截面上分布合力系的内 力偶矩。
（3） 扭矩的符号规定： mI T I mI T I I T m
T
I I T
m
T

I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示 扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正， 反之为负。 （T矢量指向离开截面时为正，反之为负）



G
G：材料剪切弹性模量（切变模量），量纲与 相同，通过实 验确定，钢材的G值约为80GPa。 表明材料弹性性质的三个常数：弹性模量E、剪切弹性模量G 和泊松比μ。对各向同性材料，可证明三者存在下列关系：
E G 2(1 )
§9.4 圆轴扭转时的应力和强度计算
①变形几何方面 等直圆杆横截面应力 平面假设： （1） 横截面变形后仍为平面，形状和大小不变； （2） 半径仍保持直线； （3） 相邻梁截面间距离不变。 Me
b

c
´
dx
d
z
t
四、剪切胡克定律
Байду номын сангаас
Me
l
Me
：互相垂直的两个棱边夹角的改变量，称为切应变或角应变。
：圆筒两端的相对扭转角。
二者的关系：
l r r
l
纯剪切实验结果表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限 时（弹性范围内)，切应力τ与切应变γ成正比关系——剪切胡 克定律。
a dy

´
b

c

´
dx
d
δ

大小不变； 同一圆周各点情况完全相同， τ
也相同，即均匀分布。
r

纯剪切：横截面上只有沿圆周均匀分布的切应力而没有正应力。
二、薄壁圆筒剪应力 大小：
M
A
x
0
e
dA r M 0 r dA r 2 r M
两侧面上切应力形成力偶，力偶矩为：
z
dy dx dx dy


结论
在单元体一对相互垂直的平面上，切应力必然成对存在；其 数值大小相等，两者都垂直于两平面的交线，方向为共同指 向或共同背离两平面的交线，称为切应力互等定理。 a dy

´
A
e
MM e e 22 22r r t
δ

r

三、切应力互等定理
取厚度为δ的微小单元体： 薄壁圆筒受扭时，单元体左、右侧 面上有切应力为：
a dy
´
dx
´
b

c
z

d
dy
t
dy dx 上、下面必有力偶与之平衡，力偶矩为： ' dx dy m 0
则 所以
d T GI p dx d T dx GI p
d G dx
T Ip
——横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。 当=R时，得最大切应力为： 令
②物理关系方面
③静力学方面
p q
p q
Me
（1）变形几何关系 取一楔形体，根据平面假设，q-q横截面相对于p-p横截 面绕轴线旋转了dψ。 距圆心为 任一点处的为：
G2
p
q
G1G d tg dx dx
p
q
d dx
——扭转角沿长度方向变化率，同一截面为一常量。
（2）实验后： ①圆筒沿轴线及周线长度
不变；
Me
Me
②纵向线变成斜直线；
（3）结论：
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是
绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
微小矩形单元体如图所示： ① 横截面和包含轴线的纵向 截面上无正应力 ② 横截面上各点处，只产生 垂直于半径的切应力 。 由于δ很小，可认为沿筒壁厚度τ