函数单调性(公开课课件)
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函数单调性课件(公开课)
定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在区间内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递减。
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03 函数单调性的应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工 具。
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的 变化趋势，通过单调性可以判断函 数在某个区间内是否取得最值，以 及最值的位置。
举例
对于函数f(x)=x^2，在区间(-∞,0) 上单调递减，因此在该区间上取得 最大值0。
单调性与不等式证明
单调递减函数的图像
在单调递减函数的图像上，随着$x$的增大，$y$的值减小，图像 呈现下降趋势。
单调性转折点
在单调性转折点上，函数的导数由正变负或由负变正，对应的函数 图像上表现为拐点或极值点。
02 判断函数单调性的方法
导数法
总结词
通过求导判断函数单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，根据导数的正负判断函数的增减性。如 果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间 内单调递减。
总结词
单调性是证明不等式的重要手段。
详细描述
通过比较函数在不同区间的单调性，可以证明一些不等式。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上 单调递增，那么对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)，从而证明了相应的不等式。
举例
利用函数f(x)=ln(x)的单调递增性质，可以证明ln(x1/x2)≤(x1-x2)/(x1+x2)。
函数单调性与最值公开课一等奖课件省赛课获奖课件
x b
0a
x b
从几何上看, y = f (x) 在 [a, b] 上单增(或单减)，
其图形是一条沿 x 轴正向上升(或下降)的曲线。
上升的曲线每点处的切线斜率均为正，
即 f ( x) 0 ;
下降的曲线每点处的切线斜率均为负， 即 f ( x) 0 .
定 理：
设函数 y f x在 a,b连续, 在 a,b 可导,
y
x 0
二. 极值的求法. 由上图可知，函数取到极值处，曲
线的切线都是水平的，但有水平切线的 点不一定都是函数的极值点。
定理 1：（必要条件）
设 f (x)在 x0 处可导，且在 x0 处获得极
值，则必有 f ( x0 ) 0 .
阐明：
1.使导数 f ( x)为 0 的点，称为 f (x) 的驻点。 可导函数的极值点必是驻点， 但 驻点不一定是极值点。
定义：设 f x在a,b内有定义，x0 a,b.
对 x U ( xˆ0 , ),
若 f (x0) > f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一种 极大值， x0 称为极大值点；
若 f (x0) < f (x), 则称 f (x0)为 f (x)的一种
极小值， x0 称为极小值点。 极大值(点)与极小值(点)统称极值(点)。
2. 证明方程根的唯一性
例3：证明方程 x5 5x 1 0 在 1，0内
有唯一的实根。 证：先证明根的存在性：
设 f x x5 5x 1 且在 1，0 连续，
f 1 5 0, f 0 1 0，
由零点定理, f (x) = 0 在 (-1,0) 内最少有一根; 再证明根的唯一性：
sec3 x sin x(2 cos3 x) 0
函数的单调性(公开课课件)
04 函数单调性的应用举例
利用函数单调性求最值问题
极值问题
通过判断函数在某一点的单调性 ，可以确定该点是否为极值点， 从而求得函数的最值。
最值问题
利用函数在整个定义域上的单调 性，可以确定函数在定义域上的 最大值和最小值。
利用函数单调性解不等式问题
单调性比较法
通过比较两个函数的单调性，可以确定它们的大小关系，从而解决一些不等式问题。
02
建议学生多参与数学建模和数学竞赛等活动，提高数学应用发展
03
学生可以通过阅读数学期刊、参加学术会议等方式，了解数学
学科的最新发展动态和前沿研究领域。
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单调性分析法
利用函数的单调性，可以分析不等式的解集和边界情况。
利用函数单调性解决实际问题
优化问题
在经济学、金融学等领域中，经常需要解决一些优化问题，如最优化生产、最优化投资等。利用函数 单调性可以找到最优解或近似最优解。
决策问题
在企业管理、市场营销等领域中，经常需要做出一些决策，如选择最佳的营销策略、确定最优的产品 价格等。利用函数单调性可以分析不同决策方案的效果，从而做出更好的决策。
03 函数单调性的判定方法
导数法判定函数单调性
总结词
通过求导数判断函数的单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
举例
对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^2$，在$x > 0$时，$f'(x) > 0$，因此函数 $f(x)$在$x > 0$时单调递增。
函数单调性课件(公开课)ppt
函数单调性课件(公开课)
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
函数的单调性(公开课课件)
详细描述
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果$x_1$和$x_2$ 都在这区间内，那么函数值$f(x_1) geq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而下降。
严格单调函数的定义
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，严格满足单调增或单调减条件的函数。
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
函数单调性的反例
04
单调增函数的反例
总结词
非严格单调增函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递增，即存在某些区间内函数值先减小后 增大。例如，函数$f(x) = x^3$在区间$(-2, -1)$内是单调减函数。
单调减函数的反例
总结词
非严格单调减函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递减，即存在某些区间 内函数值先增大后减小。例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在区 间$(1, +infty)$内是单调增函数。
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果$x_1$和$x_2$ 都在这区间内，那么函数值$f(x_1) geq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而下降。
严格单调函数的定义
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，严格满足单调增或单调减条件的函数。
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
函数单调性的反例
04
单调增函数的反例
总结词
非严格单调增函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递增，即存在某些区间内函数值先减小后 增大。例如，函数$f(x) = x^3$在区间$(-2, -1)$内是单调减函数。
单调减函数的反例
总结词
非严格单调减函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递减，即存在某些区间 内函数值先增大后减小。例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在区 间$(1, +infty)$内是单调增函数。
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
函数的单调性和极值省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第4页
分析：从图形看 若函数在区间(a,b)内单调递增，我
们发觉在（a，b）上切线斜率为正，即 在（a，b）内每一点处导数值为正
若函数在区间(a,b)内单调递减，发觉 在（a，b）上切线斜率为负，即在(a,b)内 每一点处导数值为负，
第5页
结论： 设函数y=f(x)在某个区间内有导数
，假如在这个区间内y'>0，那么y=f(x)为 这个区间内增函数；假如在这个区间内 y'<0，那么y=f(x)为这个区间内减函数.
令 f (x) 0 , 得 x 1, x 2
x (, 1) 1 (1 , 2) 2 (2, )
f (x)
0
0
f (x)
2
1
y
故 f (x) 单调增区间为
2
(, 1), (2, ); 1
f (x)单调减区间为 (1, 2).
o
12 x
第8页
用导数法确定函数单调性时步骤是： （1）求出函数导函数 （2）求解不等式f `(x)>0，求得其解集，
第21页
3、已知过曲线y=x3/3上点P切线方程为12x3y=16，则点P坐标为 .
4、函数f(x)=x3-3x+1减区间为( )
(A) (-1,1)
(B) (1,2)
(C) (-∞,-1)
(D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
5、若函数y=a(x3-x)递减区间为( 3 , )3，则
a取值范围为( )
y'>0
增函数
y'<0
减函数
证实函数单调性惯用方法： （1）定义法 （2）导数法
第6页
例1 求函数 f(x)=x3-3x 的单调区间 解 （1）该函数的定义区间为（-, ）； （2）f/(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令 f/(x)=0,得 x=-1,x=1
函数的单调性(公开课课件)
VS
单调性与极值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的极值大 小。
单调性与最值的关系
单调性与最值点的关系
单调性可以用来判断函数在某点是否为最值 点。
单调性与最值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的最值大小 。
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函数单调性的应用
利用单调性求参数范围
通过函数的单调性，我们可以确定参数的取值范围，进而解决一些数学问题。
在函数中，如果函数在某区间内单调递增或递减，那么我们可以根据函数值的变化趋势，确定参数的取值范围。例如，如果 函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增，且$f(x_0) = 0$，那么对于任意$x in (a, b)$，都有$f(x) > 0$，从而可以得出参数的 取值范围。
单调性可以通过函数的导数来判断，如果函数的导数大于等于0，则函数在该区 间内单调递增；如果函数的导数小于等于0，则函数在该区间内单调递减。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而增加。
02
单调减函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而减少。
函数单调性的几何意义
导数与函数单调性
总结词
导数可以判断函数的单调性，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时 ，函数单调递减。
详细描述
导数表示函数在某一点的切线斜率。如果导数大于0，说明切线斜率为正，函数 在该区间内单调递增；如果导数小于0，说明切线斜率为负，函数在该区间内单 调递减。
复合函数的单调性
总结词
复合函数的单调性取决于内外层 函数的单调性以及复合方式。
函数的单调性公开课课件
在函数值比较中的应用
1 2
利用单调性比较函数值大小
对于同一区间内的两个函数值，如果函数在该区 间内单调，则可以直接比较它们的大小。
确定函数值的范围
通过判断函数的单调性，可以确定函数在某个区 间内的取值范围。
3
举例
比较sin(π/4)和sin(π/6)的大小。由于正弦函数 在[0, π/2]区间内单调递增，因此sin(π/4) > sin(π/6)。
06
复合函数的单调性
复合函数的定义和性质
复合函数的定义
设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$， 函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$， 且$g(D_g) subseteq D_f$，则称函 数$y=f[g(x)]$为$x$的复合函数。
复合函数的性质
复合函数保持原函数的定义域、值域 、周期性、奇偶性等基本性质。
以直观地判断函数在各个 区间内的单调性。
判断单调区间
根据图像的形状和走势， 确定函数在各个区间内的 单调性。
图像的绘制
通过描点法、图像变换法 等方法，绘制出函数的图 像。
04
常见函数的单调性
一次函数
一次函数单调性
一次函数$f(x) = ax + b$（$a neq 0$）在其定 义域内单调增加或减少，取决于系数$a$的正负。
总结与展望
课程总结
函数的单调性定义
详细解释了函数单调性的定义，包括增函数、减函数以及常数函 数的特性。
判断函数单调性的方法
介绍了如何通过导数、二阶导数以及函数的图像来判断函数的单调 性。
函数单调性的应用
举例说明了函数单调性在解决实际问题中的应用，如优化问题、经 济学中的边际分析等。
函数的单调性公开课课件
函数的单调性公开课 课件
目录
• 引言 • 函数单调性的判断方法 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的应用 • 典型例题分析 • 课堂小结与思考题
CHAPTER 01
引言
函数的单调性定义
增函数
对于函数$f(x)$，如果在其定义域内的任意两个数$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) leq f(x_2)$，则称$f(x)$ 在该定义域内是增函数。
导数非正 如果一个函数在其定义域内的导数存在且非正，则该函数 在该定义域内单调减少。
单调函数的周期性
周期函数与非周期函数
单调函数可以是周期函数，也可以是非周期函数。周期函数具有重复出现的特性，而非 周期函数则不具有这种特性。
周期函数的单调性
如果一个周期函数在一个周期内单调增加（或减少），则在每个周期内都具有相同的单 调性。这意味着周期函数的图像在每个周期内都会重复相同的上升或下降趋势。
利用单调函数的性质，如增减性、连续性等，对函数值进行比较和估算。
在函数图像分析中的应用
利用函数的单调性判断函数图像的趋势
通过函数的单调性可以判断函数图像在某个区间内的上升或下降趋势，从而了解函数的整体性质。
单调函数的性质在函数图像分析中的应用
利用单调函数的性质，如拐点、极值点等，对函数图像进行进一步的分析和研究，如确定函数的最大值、 最小值等。
3
导数非负 如果一个函数在其定义域内的导数存在且非负， 则该函数在该定义域内单调增加。
单调减函数的性质
函数值随自变量增大而减小 对于任意两个自变量的值x1和x2（x1 < x2），如果函数 f(x)在区间[x1, x2]内单调减少，则有f(x1) ≥ f(x2)。
目录
• 引言 • 函数单调性的判断方法 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的应用 • 典型例题分析 • 课堂小结与思考题
CHAPTER 01
引言
函数的单调性定义
增函数
对于函数$f(x)$，如果在其定义域内的任意两个数$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) leq f(x_2)$，则称$f(x)$ 在该定义域内是增函数。
导数非正 如果一个函数在其定义域内的导数存在且非正，则该函数 在该定义域内单调减少。
单调函数的周期性
周期函数与非周期函数
单调函数可以是周期函数，也可以是非周期函数。周期函数具有重复出现的特性，而非 周期函数则不具有这种特性。
周期函数的单调性
如果一个周期函数在一个周期内单调增加（或减少），则在每个周期内都具有相同的单 调性。这意味着周期函数的图像在每个周期内都会重复相同的上升或下降趋势。
利用单调函数的性质，如增减性、连续性等，对函数值进行比较和估算。
在函数图像分析中的应用
利用函数的单调性判断函数图像的趋势
通过函数的单调性可以判断函数图像在某个区间内的上升或下降趋势，从而了解函数的整体性质。
单调函数的性质在函数图像分析中的应用
利用单调函数的性质，如拐点、极值点等，对函数图像进行进一步的分析和研究，如确定函数的最大值、 最小值等。
3
导数非负 如果一个函数在其定义域内的导数存在且非负， 则该函数在该定义域内单调增加。
单调减函数的性质
函数值随自变量增大而减小 对于任意两个自变量的值x1和x2（x1 < x2），如果函数 f(x)在区间[x1, x2]内单调减少，则有f(x1) ≥ f(x2)。
23版-函数的单调性公开课优质课件
在函数最值问题中的应用
求函数的最值
对于闭区间上的连续函数，通过确定其单调性，可以找到函数的最大值和最小值 。例如，如果函数$f(x)$在$[a, b]$上单调增加，那么其最小值出现在$a$处，最 大值出现在$b$处。
判断函数的凸凹性
函数的单调性与凸凹性密切相关。通过确定函数的二阶导数符号，可以判断函数 的凸凹性，从而进一步分析函数的最值问题。
02 单调减函数
对于任意x1,
x2∈D，当x1<x2时，都有
f(x1)≥f(x2)，则称f(x)在区间D上是单调减函数。
03 单调函数的性质
单调函数在其定义域内具有“升降一致”的特性 ，即函数值随自变量的增大而增大（或减小）。
研究函数单调性的意义
揭示函数变化规律
通过研究函数的单调性，可以了解函数值随自变量变化而 变化的趋势和规律。
判断函数极值与最值
函数的单调性与极值、最值密切相关，通过研究函数的单 调性可以判断函数在某一区间内是否存在极值或最值。
解决实际问题
在实际问题中，很多现象或过程可以用函数来描述，通过 研究函数的单调性可以了解这些现象或过程的变化趋势， 为解决实际问题提供思路和方法。
课件内容与结构概览
• 课件内容：本课件将详细介绍函数的单调性定义、性质、判断方法以及 应用举例等内容。
在经济学等实际问题中的应用
边际分析
在经济学中，边际分析是一种重要的分析方法，它涉及到函 数的单调性和导数。通过确定函数的单调性，可以判断边际 量（如边际成本、边际收益等）的变化趋势，为经济决策提 供依据。
弹性分析
弹性是经济学中另一个重要概念，它表示一个变量对另一个 变量变化的敏感程度。函数的单调性与弹性密切相关，通过 分析函数的单调性可以判断弹性的大小和方向，进而分析市 场供求关系、价格变动等问题。
2024年函数的单调性(公开课课件)很赞
函数的单调性(公开课课件)很赞函数的单调性（公开课课件）一、引言函数是数学中非常重要的概念，它描述了一种输入与输出之间的特殊关系。
在实际应用中，我们经常需要研究函数的性质，其中函数的单调性是一个重要的研究方向。
函数的单调性可以理解为函数值随着自变量的增加或减少而单调递增或递减的性质。
本文将详细介绍函数的单调性，包括单调性的定义、判定方法以及单调性在数学和其他学科中的应用。
二、函数的单调性定义1.单调递增函数：如果对于任意的x1<x2，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递增的。
2.单调递减函数：如果对于任意的x1<x2，都有f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。
3.单调函数：如果函数f(x)在区间I上既是单调递增又是单调递减的，则称函数f(x)在区间I上是单调的。
三、函数单调性的判定方法1.导数法：利用导数的性质来判断函数的单调性。
如果函数f(x)在区间I上可导，且导数f'(x)在区间I上恒大于0（小于0），则函数f(x)在区间I上是单调递增（递减）的。
2.增减性判定法：通过比较函数在区间I上任意两点处的函数值，来判断函数的单调性。
如果对于区间I上的任意两点x1和x2，满足x1<x2时有f(x1)≤f(x2)（f(x1)≥f(x2）），则函数f(x)在区间I上是单调递增（递减）的。
3.图像法：通过观察函数的图像来判断函数的单调性。
如果函数图像从左到右上升（下降），则函数在该区间上是单调递增（递减）的。
四、函数单调性的应用1.数学中的应用：函数的单调性在数学中有着广泛的应用，如求解不等式、极值问题、最优化问题等。
利用函数的单调性，可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
2.经济学中的应用：在经济学中，函数的单调性可以用来分析价格、产量、需求等经济变量之间的关系。
通过研究这些变量的单调性，可以预测市场变化，为政府和企业提供决策依据。
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例1：判断下面几个常见函数是增函数 还 是减函数？
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
y=
0.2 0.4 0.6
0.1
（x≥0） 1+x
0.8 1 1.2
x
0.6
0.4
0.2
0.1
0.2
x 函数 y 1 x 为
0,上的增函数，
区间 0,也叫做该函数的增区间。
0.6
0.5
0.4
问题情境：在一杯白开水中加入适量的糖
根据生活经验我们知道： 糖加的越多，糖水就越甜， 换句话说这杯水中糖的浓度就越高。
—————糖水原理
假设白开水的质量为1， 加入的糖的质量为 x , 得到的糖水中糖的浓度为 y , 那么y与x具有怎样的关系呢？
x y ( x 0) 1 x
0.6
0.5
问6：要将所有的值都拿出来比较， 能做到吗？一一列举行吗？
一般地，设函数 y f ( x)的定义域为 A，区间I A
如果对于区间 I内的任意两个值 x1，x2，
当x1 x2时，都有 f ( x1 ) f ( x2 )
那么我们就说 y f ( x)在区间I上是单调增函数 区间I称为y f ( x)的单调增区间
0.4
0.3
0.2
y=
0.2 0.4 0.6
0.1
（x≥0） 1+x
0.8 1 1.2
x
0.6
0.4
0.2
0.1
0.2
问1：你能用语言描述该函数图像具有的特征吗?
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
y=
0.2 0.4 0.6
0.1
（x≥0） 1+x
0.8 1 1.2
x
0.6
0.4
0.2
0.1
0.2
定义：这种随x的增大，y也越来越大的函数 我们称为单调递增函数。简称增函数 那减函数呢？
问4：“y随x的增大而增大”又怎么用数学语 言 来表达？
问5：你认为下面的判断对吗？
x 考察函数 f ( x) 1 x 因为当 1 2时，f (1) f (2) x 所以函数f ( x) 为单调增函数 1 x
问5：你认为下面的判断对吗？
因为当 1 2时，f (1) f (2) 当2 3时，f (2) f (3) 当3 4时，f (3) f ( 4) x 所以函数f ( x) 为单调增函数 1 x
0.3
0.2
y=
0.2 0.4 0.6
0.1
（x≥0） 1+x
0.8 1 1.2
x
0.6
0.4
0.2
0.1
0.2
问2：你能根据上述定义（自然语言的描述） 证明该函数为 0,上的增函数吗？
增函数定义：y随x的增大而增大
问3：定义中“增大”一词是什么意思？
“x的增大”如何用数学语言来表达？
增函数定义：y随x的增大而增大
x 例2：用定义证明函数 f ( x) 在区间0， 1 x 是单调增函数。
1 变式：求证函数 f ( x) x 在区间(1,) x 上是单调递增函数