高二数学 函数的单调性与导数 公开课

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有单调性。区间D叫做函数的单调区间。
2.怎样用定义判断函数的单调性？
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
二、讲授新课------导入新课
下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函 数h(t)= -4.9 t 2+6.5t+10 的图象, 图(2)表示高台跳水运动 员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t)= -9.8t+6.5 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间的运动状态有什么区别?
六、布置作业
作业： 课本P26 页：练习 第1题 练习册： 课时作业（7）
谢谢指导
1.3.1函数的单调性与导数（第1课时）
高二数学
一、新课导入------复旧知新
1.函数的单调性是怎样定义的？
一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)<f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数; 当x1<x2时，都有f(x1)>f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数;
h
(1)
t Oa b
v Oa
(2)
t b
通过观察图像，我们可以发现：
(1) h
v
(2)
Oa
t b

Oa
b
①运动员从起跳到最高点,离 水面的高度h随时间t 的增加 而增加,即h(t)是增函数.相应 地,v(t)=h'(t)>0.
②从最高点到入水,运动员离 水面的高度h随时间t的增加 而减少,即h(t)是减函数.相应 地,v(t)=h'(t)<0.
y
(这两点比较特殊，我们称他们为
“临界点”) 综上, 函数 f (x) 图象的大
致形状如右图所示.
O1
4
x
二、讲授新课-----牛刀小试
练习. 设导函数y=f '(x)的图象如图，则其原函数可能为
( C)
(A) y y=f(x) (B) y y=f(x) o 1 2x o 1 2x
y y f '(x)
解：（1）f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x的单调增区间为R。
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3,
(2) f(x)=x2－2lnx
解 (2) 函数f(x)=x2－2lnx定义域为0,
二、讲授新课-----问题探究
观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负
的关系.
y
（1）
y y=x （2）
y=x2
o （3）y
x
o
y=x3
y
（4）
x
y1 x
ox
o
x
二、讲授新课-----问题探究
y
一般地，函数的单调性与其导
函数的正负有如下关系：
(x1，f(x1))
y=f(x)
在某个区间(a,b)内,
：
f ' (x) 2x 2 2x2 2 2(x2 1) 2(x 1)(x 1)
x
x
x
x
当f '(x)>0,即x>1时，函数f(x)=x2－2lnx单调递增；
当f '(x)<0,即0<x<1时，函数f(x)=x2－2lnx单调递减；
所以函数f(x)=x2－2lnx的单调增区间为 (1, )，单调
(C) y
(D) y
o 2x
y=f(x)
y=f(x)
o12
x o 12
x
二、讲授新课-----典例精讲
例 2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x3+3x (2) f(x)=x2-2lnx
二、讲授新课-----典例精讲
例 2. 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x3+3x (2) f(x)=x2-2lnx
(x0，f(x0))
o
x
如果 f '(x) >0 , 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；
如果 f '(x)<0 , 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减；
特别地，如果 在某个区间内恒有f '(x)=0 , 那么函数 y=f(x)在这个区间内是常数函数.
二、讲授新课-----牛刀小试
例 1. 已知导函数 f '(x) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f '(x)>0；当 x > 4 , 或 x < 1时, f '(x) <0；
减区间为, 1 和 (1, )
五、课堂小结
1.函数的单调性与导函数的正负的关系：
在某个区间(a,b)内, 如果 f '(x) >0 ,那么函数在这个区间内单调递增； 如果 f '(x)<0 , 那么函数在这个区间内单调递减；
2.利用导函数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
(1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f '(x); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f '(x)>0和f '(x)<0; (4)根据(3)的结果确认f(x)的单调区间。
当 x = 4 , 或 x = 1时, f '(x) =0。
试画出函数 f (x) 的图象的大致形状.
解:
当1 < x < 4 时, f '(x) >0,可知 f (x) 在此区间内单调递增;
当 x > 4 , 或 x < 1时, f '(x) <0 ,可知 f (x) 在此区间内单调递减;
当 x = 4 , 或 x = 1时, f '(x) =0 .
减区间为（0，1）
三、问题总结
利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
(1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f '(x); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f '(x)>0和 f '(x)<0; (4)根据(3)的结果确认f(x)的单调区间。
四、巩固练习
判断函数f(x)=3x-x3的单调性, 并求出单调区间:
解：
f '(x)=3x-x3=3-3x2=-3(x2-1)=-3(x-1)(x+1) 当f '(x)>0,即-1<x<1时，函数f(x)=3x-x3 单调递增； 当f '(x)<0,即x>1或x<-1时，函数f(x)=3x-x3 单调递减； 所以函数f(x)=3x-x3的单调增区间为 （-1，1），单调