函数的单调性与导数PPT优秀课件6

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函数的单调性课件(共17张PPT)

如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量．这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0；这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章函数
3.1.3 函数的单调性

高二数学函数的单调性与导数PPT教学课件

第三章导数及其应用 y
3.3.1 函数的单调性与导数
o
x
观察下列图象的单调区间, 并求单调区间相应的导数.
图象是单调上升的.
y10
在x∈(-∞,0)内图象是单调下降的.
y2x0
在x∈( 0,+∞)内图象是单调上升的.
y2x0
图象是单调上升的.
y3x20 (当 x0 时 )
在x∈(-∞,0)内图象是单调下降的.
当 f(x) >0，
即 x117或 x117 时，
2
2
函数单调递增；
当 f(x) <0，
即 117x1Biblioteka 7时， y22函数单调递减；
图象见右图。
o
x
练习1:确定下列函数的单调区间:
(1) f(x)=x2-2x+4 x<1时，函数单调递减， x>1时，函数单调递增。
(2) f(x)=3x-x3 x<-1或x>1时，函数单调递减， -1<x<1时，函数单调递增。
从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增，见右图。
o
x
f (x) x3 3x
(2) f(x)=x2-2x-3 ;
解： f(x)=2x-2=2(x-1)>0
当 f(x)>0，即x>1时，函数单调递增；
当 f(x)<0，即x<1时，函数单调递减；
y
f (x) x2 2x 3
图象见右图。
当 1<x< 4时，
y
o1
解：由题意可知
yf(x)
当1<x<4时， f(x)为增函数当x>4,或x<1时，

高二数学-函数的单调性与导数公开课优秀课件(经典、值得收藏)

二、题型探究
3.利用导数求参数的取值范围
例.若函数f(x)＝2x2＋ln x－ax在定义域上单调递增，求实数a的取值范围.
解 ∵f(x)＝2x2＋ln x－ax的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)＝4x＋1x－a≥0 在(0，＋∞)上恒成立. ∴a≤4x＋1x在(0，＋∞)上恒成立.
单调性割线斜率的符号切线斜率的符号导数
一、知识讲解：
函数单调性与导函数正负的关系
单调性割线斜率的符号切线斜率的符号导数
观察下面函数的图象，探讨单调性与其导函数正负的关系：
yx
y y x3
y y 1
y
y
x
ya
x o
x o
x o
x o
导数值 >0 <0
切线的斜率 >0 <0
倾斜角锐角钝角
曲线的变化趋势函数的单调性
上升
递增
下降
递减
一般地，设函数y f (x),在区间（a,b）上，思考：若f x(x) (a0,，b)则, ff（( xx）) 在0该区函间数上f递( x增)在；区间(fa(,xb))为 0增是函f（数x）为增函数若函f (数x)f(0x，)在则区 f（间x）(a在, b该)为区增间函上递数减。f ( x)的什0恒么成条立件(不？恒等于0)
二、题型探究
2.函数图象与导数图象的关系 (2)如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是
解析: 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A.
二、题型探究
2.函数图象与导数图象的关系
(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x) 在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性. (2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大.

函数的单调性与导数优秀ppt课件

①当1<x<4时，f’(x)>0; ②当x>4,或x<1时，f’(x)<0; ③当x=4,或x=1时，f’(x) =0. 试画出函数f(x)图象的大致形状。
y y=f(x)
O1
4
x
7/20/2024
例2 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 1 的单调区间
解： f '(x) 6x2 6x 12
7/20/2024
例1
设 f '( x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '( x)的图象如
c 右图所示,则 y f ( x) 的图象最有可能的是( )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '( x)
o 1 2x o 1 2x
(A)
y y f (x)
(B)
o
2x
y y f (x)
G=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上有单调性。
G 称为单调增（减少）区间
新授画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y x2
y x3
y1 x
y
y
y
ox
ox
o
x
（-∞，0）（0，+∞）
（- ∞ ，+∞）（-∞，0）（0，,+∞）
为增区间；（4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分
为减区间．
7/20/2024
课堂练习求下列函数的单调区间。
(1) f (x) x2 2x 3 (2) f (x) x3 3x

函数的单调性与导数课件

探究 2 判断函数在某个区间(a，b)内的单调性可从以下几个方面入手：
(1)利用函数单调性的定义：在定义域内任取 x1，x2(x1<x2)，通过判断 f(x1)－f(x2)的符号来确定函数 f(x)的单调性．
(2)图像法：利用函数图像的变化趋势直观判断，图像在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图像在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数．
探究 1 (1)利用导数求函数的单调区间和判断函数单调性的基本步骤：
①确定函数 f(x)的定义域； ②求出函数 f(x)的导数 f′(x)； ③令 f′(x)＞0，在定义域内解不等式，求得 x 的相应区间为 f(x)的单调递增区间； ④令 f′(x)＜0，在函数定义域内解不等式，求得 x 的相应区间为 f(x)的单调递减区间．
解法三：∵f′(x)＝2a－3x2，f(x)在(0，1)上是增函数，∴f
′(x)≥0 在(0，1)上恒成立．
又∵f′(x)为二次函数，且开口向下，
f′（0）≥0， ∴f′（1）≥0，解得a≥32.
a>0，
∴a 的取值范围是[23，＋∞)．
(2)f′(x)＝a－1x＝ax－ x 1，
①当 a≤0 时，f′(x)<0，即 f(x)在(0，2)上单调递减，不合
题型一求函数的单调区间
例 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋1； (2)f(x)＝2x－lnx； (3)f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0<x<2π；
(4)f(x)＝ ax (a≠0)(－1＜x＜1)． 1－x2
【解析】 (1)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令 f′(x)＞0，得 x＜－1 或 x＞1. 令 f′(x)＜0，得－1＜x＜1. ∴f(x)的增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)； f(x)的减区间是(－1，1)． (2)由 x>0，得函数定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2－1x.令 2－1x>0 解得 x>12；令 2－1x<0，得 0<x<12.所以 f(x)的增区间是(12，＋∞)；减区间为(0，12)．

导数与函数的单调性 (共36张PPT)

[小题热身] 1．函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是( A．先增后减 B．先减后增 C．增函数 D．减函数解析：∵f′(x)＝－sinx－1<0. ∴f(x)在(0，π)上是减函数，故选 D.
)
答案：D
2．如图所示是函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则下列判断中正确的是( ) A．函数 f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数 f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数 f(x)在区间(－3,2)上是单调函数
[解析] (1)因为 f(x)＝xea x＋bx，所以 f′(x)＝(1－x)ea－x＋b. a－2 f 2 ＝ 2e ＋ 2 ， 2e ＋2b＝2e＋2，依题设，即 a－2 ＋b＝e－1. f′2＝e－1，－e 解得 a＝2，b＝e.
－
(2)由(1)知 f(x)＝xe2 x＋ex. 由 f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及 e2－x＞0 知，f′(x)与 1－x＋ex－ 1 同号．令 g(x)＝1－x＋ex－1，则 g′(x)＝－1＋ex－1. 所以，当 x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(－∞，1) 上单调递减；当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故 g(1)＝1 是 g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而 g(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)．故 f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
(2)a＝2 时，单调递增． (3)a>2 时，0< 当在 x∈(0，＋∞)内，f′(x)≥0，f(x) 2 a<1，
2 a)或 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 2 a，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

函数单调性课件(公开课)ppt

函数单调性课件(公开课)
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的交集上也是单调递增的。

《函数单调性与导数》课件

导数在物理问题中的应用
速度与加速度
在运动学中，导数可以用来描述物体的速度和加速度。例如，自由落体运动中，物体的速度和加
速度可以通过求导得到。
热传导
在热力学中，导数可以用来描述热量传递的过程。例如，通过求导得到温度场的变化率，可以帮
助我们理解热传导的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描述物体的应力应变关系。例如，通过求导得到物体的应力分布和应变状态，可以帮助我们理解物
调性
利用导数的符号变化，确定函数在某区间内的增减性
通过求解一阶导数的不等式，判断函数的单调性
利用导数判断函数单调性的方法
直接求导
对于已知函数，直接求导并分析导数的符号变化
利用导数的几何意义
通过导数的几何意义，绘制函数图像，直观判断函数的单调性
构造新函数
通过构造函数并求导，利用导数判断新函数的单调性来研究原函数的单调性
成本效益分析
导数可以用来分析企业的成本效益，从而制定最优的经营策略。例如，通过求导找到最小化成本或最大化的利润点，可以帮助企业制定合理的价格和产量策略。
投资组合优化
在金融领域，导数可以用来优化投资组合，以实现最大的收益或最小的风险。例如，通过求导找到最优的投资组合比例，可以帮助投资者实现资产配置的目标。
详细描述：导数的计算方法包括定义法、求导公式和法则、复合函数求导、隐函数求导、参数方程确定的函数求导等。
03
利用导数判断函数单调性
导数与函数单调性的关系
导数大于零，函数单调递增
导数等于零，函数可能为极值点或拐点
导数小于零，函数单调递减
单调性判定定理的推导
基于极限的导数定义，通过分析函数在某区间的变化率来判断单

函数的单调性与导数-图课件

函数的单调性与导数-图课件
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在定义域内逐渐增大或逐渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增；当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的极值点，从而解决实际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求出函数的最大值和最小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系

《函数的单调性》函数 PPT教学课件

的单调性时,由于x1,x2的取值具有任意性,它代表区间内的每一个数,
所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);
2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号
的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完
全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正
则 f(x2)-f(x1)= 2+1 − 1+1 =
2
1
3(2 -1 )
.
(2 +1)(1 +1)
(22 -1)(1 +1)-(21 -1)(2+1)
(2 +1)(1 +1)
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.
又因为 x1,x2∈[1,+∞),所以 x2+1>0,x1+1>0,
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的
单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,
从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形
式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
-Δ·(1 +2 )
=
=
,
21 ·22
21 ·22
∵12 ·22 >0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函数
1
f(x)=2 在(-∞,0)内是增函数.
课堂篇
探究学习

函数的单调性与导数(课堂PPT)

（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
5
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? 3.3.1 (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法呢？
f′(x)＝exxx－－22)－)2 ex＝exx－x－23)2).
因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
3.3.1
26
3.3.1
4．求下列函数的单调区间． (1)y＝xex；(2)y＝x3－x. 解：(1)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，令y′>0得x>－1. 令y′<0得x<－1，因此y＝xex的单调递增区间为(－1，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)．
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在D上是增函数或减函数， D 称为单调区间
3
3.3.1
定义法判断函数单调性有哪些方法？
图象法
比如：判断函数 y x 2 的单调性。
y
如图：
函数在 ( , 0)上为__减__函数，
在(0, )上为__增__函数。 o
y x2
x
4
3.3.1
2.怎样用定义判断函数的单调性？
32
3.3.1
练 3 已知 f′(x)是 f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，
则 f(x)的图象只可能是
()
33
3.3.1
解析从 f′(x)的图象可以看出，在区间a，a＋2 b内，导数递增；在区间a＋2 b，b内，导数递减.即函数 f(x)的图象在 a，a＋2 b内越来越陡峭，在a＋2 b，b内越来越平缓. 答案 D