地质统计学基本原理
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（２）对于所有区域化变量的增量 Z(x) Z(x h) 的方差函数 存在且平稳： Var[Z (x) Z (x h)] E[Z (x) Z (x h)]2
2 (x, h) 2 (h) x,h
即要求Z(x) 的变差函数 (h) 存在且平稳
实验变差函数计算
• 变差函数计算公式：
(h)
球状模型
• 球状模型公式：
0
(h)
c0
c(
3 2
h a
1 2
h3 a3
)
c0 c
h0 0ha ha
• 接近原点处，变差函数呈线性形状，在变程处达到基台值 。原点处变差函数的切线在变程的2/3处与基台值相交。
• 实验变差函数在大多数情况下可以拟合成球状模型。因此 ，球状模型是应用最广的一种变差函数模型。
1 2N (h)
N (h)
[Z
i 1
( xi
)
Z
(xi
h)]2
其中: h = 两个样本点间的距离
Z (xi ) = 样本点属性值(位置 ) xi
Z (xi =h)样本点属性值(位置 ) xi h N (h) = 样本点数
变差函数计算实例
• 某地区规则采样数据，数据为属性值，样本间距为100米。
实验变差函数计算实例
内容介绍
• 三、变差函数建模
变差函数建模
• 为表征一个矿床金属品位等特征量的变化，经 典统计学通常采用均值、方差等一类参数，这些 统计量只能概括该矿床中金属品位等特征量的全 貌，却无法反映局部范围和特定方向上地质特征 的变化。地质统计学引入变差函数这一工具，它 能够反映区域化变量的空间变化特征——相关性 和随机性，特别是透过随机性反映区域化变量的 结构性，故变差函数又称结构函数。
( h)
基台值
..
块金值 0
. . . Samples
Spatially Correlated 样本空间相关
.(基台值=先. 验方差)
Samples not spatially correlated
样本空间不相关
h
变程
理论变差函数模型
Samples Spatially Correlated
• 球状模型 • 线性模型 Samp•les指no数t 模型 spatially•cor高rel斯ate模d 型
异值的数据可用指示克立格法等。最基本，应 用最为广泛的是普通克立格法。
总结
• 根据实际品位数据，计算不同间距间的变差值， 形成实验变差图。
• 拟合变差值变化的曲线，求曲线的近似公式，形 成理论变差函数
• 确定插值点的搜索范围，找出有实际品位的邻近 点。
• 解克里格方程组，求每个邻近点的权系数 • 加权计算估算点的品位值
• 区域化变量 • 变差函数 • 克里格估值
与传统储量估算方法相比
• 从传统方法把部分钻孔品位当作一个块段的品位， 从而使高品位估计偏高，低品位估计偏低，而且 没有考虑矿石品位的空间变异性，在计算块段平 均品位时，每个样品的贡献仅仅是若干个几何因 素。
• 地质统计学方法避免了传统方法的两个缺陷。其 加权因子是以矿床的各个方向变差函数的参数为 基础计算出来的, 这种加权方法充分考虑了矿体形 态的空间变化及其品位空间变化特征, 并且采用了 无偏的、误差最小的数理统计方法计算样品的加 权因子和块段的品位。
1.46
5.35
3.3
9.87
4.31
18.88
6.7
实验变差函数计算实例
• 变差函数图：东西方向和南北方向
变差函数
20 18 16 14 12 10
8 6 4 2 0
0
100
200
300
400
滞后距
南北方向 东西方向
500
实验变Sa差v函e t数hi计s s算lid--e距to离E和M角F,度容差
几何各向异性
• 基台值相同 • 变程不同
在不同的方向具有相同的变异程 度（基台值相同）但具有不同的 连续程度（变程不同）为几何各 向异性。
带状各向异性
• 基台值不同 • 变程可同可不同
在一些不同的方向上具有不同的变异 程度（基台值不同）连续程度（变程） 可以相同也可不同为带状各向异性。
变差函数结构套合
变差函数
20 18 16 14 12 10
8 6 4 2 0
0
100
200
300
400
500
滞后距
变差函数计算实例
• 计算南北方向滞后距为100米、200米和300米的变差函 数。
实验变差函数计算实例
• 南北方向400m点数过少，不参与计算。
滞后距 100 200 300 400
变差函数值
东西方向 南北方向
几点注意内容
• 变差函数参数
• 块金值：块金值越小，距离越近的点越重要，这样会导 致权值的变化范围变大（从负值到大于1的值变化），使 数据出现异常。块金值越大，估值结果越平滑。
• 带状各向异性
• 对于带状各向异性，采用分块处理的方法。具体的变差函数模型公式
为 (h) w11(h1) w21，(h其2 ) 中w对3于1(h3 ) 做和几何各1向(h1)
异性相同的处理，对于 1(h做2 ) 如下处理
h3
hw aw
h2，对ahvv于
做如1(h下3) 处理：
总的来说，对于带状各向异性的处理方法是将其看作是几 何各向异性进行坐标变换后，再分别对次轴和垂直轴方向 上多出的基台值进行叠加处理。
2
• 变差函数值与区域化变量位置 x 无关
二阶平稳假设
当区域化变量满足下列两个条件时，称该区域化变量满
足二阶平稳：
（１）在整个研究区内，区域化变量Z(x的) 期望存在且等于常 数：
E[（Z(常x)数] ）m
x
（２）在整个研究区内，区域化变量的空间协方差函数存在
且平稳：
Cov[Z (x), Z (x h)] E[Z (x)Z (x h)] m2 C(h) x,h
当时h 0，上式变成：
Var[Z(x)] C(0) x
即它有有限先验方差。
本征假设
当区域化变量Z(x) 的增量 Z(x) Z(x h) 满足下列两个条 件时，称该区域化变量满足本征假设： （１）在整个研究区内，区域化变量Z(x的) 增量 Z(x) Z(x 的h)
期望为０： E[Z(x) Z(x h)] 0 x,h
变差函数定义
• 我们可以把一个矿床看成是空间中的一个域，如图中 x, x h为沿 x
方向被矢量 h分割的两个点，其观测值分别为 Z及(x) Z，(x该 h两) 者
的差值 [Z(x) Z(x就是h)一] 个有明确物理意义的结构信息，因而可 以看成是一个变量。
V
x h xh
x
• 区域化变量 Z(x在) 空间相距 的h任意两点 和 x 处x的值h 与 Z(x)
内容介绍 • 二、区域化变量
区域化变量
• G.马特隆定义区域化变量是：一种在空间上具有 数值的实函数，它在空间的每一个点取一个确定 的数值，即当由一个点移到下一个点时，函数值 是变化的.
• 特征：随机性和结构性
•
随机性
•
结构性
区域化变量
从地质及矿业角度来看，区域化变量具有如下性质：
（1）空间局限性：即它被限制在一个特定的空间（如一个矿 体内）；该空间称为区域化的几何域；区域化变量是按几何支 撑定义的。 （2）连续性：不同的区域化变量具有不同的连续性，这种连 续性是通过相邻样品之间的变差函数来描述的。 （3）异向性：当区域化变量在各个方向上具有相同的性质时 称各向同性，否则称各向异性。 （4）相关性：一定范围内、一定程度上的空间相关性，当超 出这一范围后相关性减弱以至消失。 （5）对于任一区域化变量而言，特殊的变异性是叠加在一般 规律之上。
不同方向结构套合
• 几何各向异性
• 基本思路为通过线性变换将各向异性的坐标向量 h (hu , hv , hw )T
转化为各向同性的新坐标向量 h' (h'u , h'设v , h这'w个)T 线性变换为
h' ，Ah其中
A aa1211
a12 a22
a13 a23
a31 a32 a33
• 图中表示的是东西方向，相距为100米的样本点对。
实验变差函数计算实例
• 通过变差函数计算公式得到东西方向上，滞后距为100米 的变差函数值。
实验变差函数计算实例
• 变差函数图：滞后距100米的变差函数点
变差函数
20 18 16 14 12 10
8 6 4 2 0
0
100
200
300
400
500
滞后距
实验变差函数计算实例
• 相距为200米的样本点对。
实验变差函数计算实例
• 滞后距为200米的变差函数值。
变差函数计算实例
• 变差函数图：滞后距200米的变差函数点
变差函数
20 18 16 14 12 10
8 6 4 2 0
0
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200
300
400
500
滞后距
变差函数计算实例
• 变差函数图：滞后距300米、400米的变差函数点
• 地质统计学是数学地质的重要分支，它首先由 D·G·克立格（Krige）工程师在南非的金属矿产 储量计算中使用，后由法国马特隆 （G·Mathreon）教授领导的小组对此作了深入 的研究并系统地总结出地质统计学的理论和方法。
地质统计学定义
• 地质统计学(Geostatistics)是以区域化变量理论 作为理论基础，以变差函数作为主要工具，对既 具有随机性又具有结构性的变量（如品位值）进 行研究的科学。其核心即“克里格法”，它是一 种无偏的最小误差的储量计算方法。
then insert and crop
对于不规则采样点： • 沿某一特定方向和特定滞后距上并没有足够的样
本点 • 采用距离和角度容差解决该问题
1st semester 2005
实验变差函数计算
• 步长：4m • 步长容差：2m • 方位角：60 • 倾角：0 • 方位容差：22.5 • 倾角容差：22.5 • 水平带宽：5m • 垂直带宽：5m
对于各向同性模型， (h) (hu , hv , h，w)其 中1(h1)
h1 hu2 hv2 hw2
对于几何各向异性变差函数 h1
( hu )2 ( h，v )2变 (化hw )为2 矩阵形式
au
av
aw
A
1
av 0
0 1 au
0
0
0 0 1 aw
变差函数结构套合
பைடு நூலகம்
不同方向结构套合
各向异性椭球
• 主轴变程 • 次轴变程 • 垂直轴变程 • 方位角 • 倾角 • 旋转角度
内容介绍 • 克里格插值算法
克里格插值算法
• 克里格插值算法建立在变差函数及结构分析理论 之上
• 适用条件是变差函数及相关分析的结果表明样品 间存在空间相关性
• 其实质是利用区域化变量的原始数据和变差函数 的结构特点，对未采样点的区域化变量的取值进 行线性、无偏、最优估计。
地质统计学的发展
• 完善的理论基础
• 基本概念—区域化变量 • 基本假设—本征假设
基本工具—变差函数 基本方法—克里格法
• 方法与技巧不断涌出
• 析取克里格、多元高斯克里格和各种条件模拟技术的应用和发展
• 地质统计学的软件包及应用软件不断推出
• 美国斯坦福大学的GSLIB软件包 • 挪威ODEN公司的STORM随机建模软件 • 加拿大的Geostat地质统计学软件 • 澳大利亚的Surpac Vision\Micromine矿山工程软件
Z(x 差h)的方差之半定义为区域化变量 的Z(变x)差函数，记为
(x, h)
(x, h) 1 Var[Z (x) Z (x h)]
2
变差函数定义
• 定义：在任一方向 a ，相距 | h |的两个区域 化变量 Z(x) 和 Z(x h) 的增量的方差的一半。
• 公式： (h) 1 E[Z (x) Z (x h)]2
实验变差函数计算(3D)
实验变差函数参数选择
步长大小的选择：
步长间距太小
步长间距较合适
实验变差函数参数选择
步长个数的选择： 原则:
步长大小*步长个数=研究区域长度的一半
步长总间距
理论变差函数
• 实验变差函数并不能定量的反映数据空间相关性， 需要对实验变差函数进行拟合得到理论变差函数。
• 理论变差函数三参数：块金值/基台值/变程
地质统计学原理
中国地质调查局发展研究中心
回顾：地理学第一定律及应用
• 地理学第一定律： 距离越近，两点的地理现象相似性越大
逐点移面内插：以待插点为中心， 确定一个邻域范围，用该邻域内 的采样点计算内插点的高程值。
反距离加权平均法
内容介绍 • 一、地质统计学简介
历史背景与产生
• 为解决矿床从普查勘探、矿山设计到矿山开发整 个过程中各种储量计算和误差估计问题发展起来 的。
普通克立格方程组
克里格插值类型
• 根据研究目的和条件不同，有各种各样的克立格 法相继产生，如当区域化变量满足二阶平稳（或 内蕴）假设时，可用普通克立格法；在非平稳条 件下采用泛克立格法；当区域化变量服从对数正 态分布时，可用对数正态克立格法；对有多个变 量的协同区域化现象可用协同克立格法；对有特
2 (x, h) 2 (h) x,h
即要求Z(x) 的变差函数 (h) 存在且平稳
实验变差函数计算
• 变差函数计算公式：
(h)
球状模型
• 球状模型公式：
0
(h)
c0
c(
3 2
h a
1 2
h3 a3
)
c0 c
h0 0ha ha
• 接近原点处，变差函数呈线性形状，在变程处达到基台值 。原点处变差函数的切线在变程的2/3处与基台值相交。
• 实验变差函数在大多数情况下可以拟合成球状模型。因此 ，球状模型是应用最广的一种变差函数模型。
1 2N (h)
N (h)
[Z
i 1
( xi
)
Z
(xi
h)]2
其中: h = 两个样本点间的距离
Z (xi ) = 样本点属性值(位置 ) xi
Z (xi =h)样本点属性值(位置 ) xi h N (h) = 样本点数
变差函数计算实例
• 某地区规则采样数据，数据为属性值，样本间距为100米。
实验变差函数计算实例
内容介绍
• 三、变差函数建模
变差函数建模
• 为表征一个矿床金属品位等特征量的变化，经 典统计学通常采用均值、方差等一类参数，这些 统计量只能概括该矿床中金属品位等特征量的全 貌，却无法反映局部范围和特定方向上地质特征 的变化。地质统计学引入变差函数这一工具，它 能够反映区域化变量的空间变化特征——相关性 和随机性，特别是透过随机性反映区域化变量的 结构性，故变差函数又称结构函数。
( h)
基台值
..
块金值 0
. . . Samples
Spatially Correlated 样本空间相关
.(基台值=先. 验方差)
Samples not spatially correlated
样本空间不相关
h
变程
理论变差函数模型
Samples Spatially Correlated
• 球状模型 • 线性模型 Samp•les指no数t 模型 spatially•cor高rel斯ate模d 型
异值的数据可用指示克立格法等。最基本，应 用最为广泛的是普通克立格法。
总结
• 根据实际品位数据，计算不同间距间的变差值， 形成实验变差图。
• 拟合变差值变化的曲线，求曲线的近似公式，形 成理论变差函数
• 确定插值点的搜索范围，找出有实际品位的邻近 点。
• 解克里格方程组，求每个邻近点的权系数 • 加权计算估算点的品位值
• 区域化变量 • 变差函数 • 克里格估值
与传统储量估算方法相比
• 从传统方法把部分钻孔品位当作一个块段的品位， 从而使高品位估计偏高，低品位估计偏低，而且 没有考虑矿石品位的空间变异性，在计算块段平 均品位时，每个样品的贡献仅仅是若干个几何因 素。
• 地质统计学方法避免了传统方法的两个缺陷。其 加权因子是以矿床的各个方向变差函数的参数为 基础计算出来的, 这种加权方法充分考虑了矿体形 态的空间变化及其品位空间变化特征, 并且采用了 无偏的、误差最小的数理统计方法计算样品的加 权因子和块段的品位。
1.46
5.35
3.3
9.87
4.31
18.88
6.7
实验变差函数计算实例
• 变差函数图：东西方向和南北方向
变差函数
20 18 16 14 12 10
8 6 4 2 0
0
100
200
300
400
滞后距
南北方向 东西方向
500
实验变Sa差v函e t数hi计s s算lid--e距to离E和M角F,度容差
几何各向异性
• 基台值相同 • 变程不同
在不同的方向具有相同的变异程 度（基台值相同）但具有不同的 连续程度（变程不同）为几何各 向异性。
带状各向异性
• 基台值不同 • 变程可同可不同
在一些不同的方向上具有不同的变异 程度（基台值不同）连续程度（变程） 可以相同也可不同为带状各向异性。
变差函数结构套合
变差函数
20 18 16 14 12 10
8 6 4 2 0
0
100
200
300
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滞后距
变差函数计算实例
• 计算南北方向滞后距为100米、200米和300米的变差函 数。
实验变差函数计算实例
• 南北方向400m点数过少，不参与计算。
滞后距 100 200 300 400
变差函数值
东西方向 南北方向
几点注意内容
• 变差函数参数
• 块金值：块金值越小，距离越近的点越重要，这样会导 致权值的变化范围变大（从负值到大于1的值变化），使 数据出现异常。块金值越大，估值结果越平滑。
• 带状各向异性
• 对于带状各向异性，采用分块处理的方法。具体的变差函数模型公式
为 (h) w11(h1) w21，(h其2 ) 中w对3于1(h3 ) 做和几何各1向(h1)
异性相同的处理，对于 1(h做2 ) 如下处理
h3
hw aw
h2，对ahvv于
做如1(h下3) 处理：
总的来说，对于带状各向异性的处理方法是将其看作是几 何各向异性进行坐标变换后，再分别对次轴和垂直轴方向 上多出的基台值进行叠加处理。
2
• 变差函数值与区域化变量位置 x 无关
二阶平稳假设
当区域化变量满足下列两个条件时，称该区域化变量满
足二阶平稳：
（１）在整个研究区内，区域化变量Z(x的) 期望存在且等于常 数：
E[（Z(常x)数] ）m
x
（２）在整个研究区内，区域化变量的空间协方差函数存在
且平稳：
Cov[Z (x), Z (x h)] E[Z (x)Z (x h)] m2 C(h) x,h
当时h 0，上式变成：
Var[Z(x)] C(0) x
即它有有限先验方差。
本征假设
当区域化变量Z(x) 的增量 Z(x) Z(x h) 满足下列两个条 件时，称该区域化变量满足本征假设： （１）在整个研究区内，区域化变量Z(x的) 增量 Z(x) Z(x 的h)
期望为０： E[Z(x) Z(x h)] 0 x,h
变差函数定义
• 我们可以把一个矿床看成是空间中的一个域，如图中 x, x h为沿 x
方向被矢量 h分割的两个点，其观测值分别为 Z及(x) Z，(x该 h两) 者
的差值 [Z(x) Z(x就是h)一] 个有明确物理意义的结构信息，因而可 以看成是一个变量。
V
x h xh
x
• 区域化变量 Z(x在) 空间相距 的h任意两点 和 x 处x的值h 与 Z(x)
内容介绍 • 二、区域化变量
区域化变量
• G.马特隆定义区域化变量是：一种在空间上具有 数值的实函数，它在空间的每一个点取一个确定 的数值，即当由一个点移到下一个点时，函数值 是变化的.
• 特征：随机性和结构性
•
随机性
•
结构性
区域化变量
从地质及矿业角度来看，区域化变量具有如下性质：
（1）空间局限性：即它被限制在一个特定的空间（如一个矿 体内）；该空间称为区域化的几何域；区域化变量是按几何支 撑定义的。 （2）连续性：不同的区域化变量具有不同的连续性，这种连 续性是通过相邻样品之间的变差函数来描述的。 （3）异向性：当区域化变量在各个方向上具有相同的性质时 称各向同性，否则称各向异性。 （4）相关性：一定范围内、一定程度上的空间相关性，当超 出这一范围后相关性减弱以至消失。 （5）对于任一区域化变量而言，特殊的变异性是叠加在一般 规律之上。
不同方向结构套合
• 几何各向异性
• 基本思路为通过线性变换将各向异性的坐标向量 h (hu , hv , hw )T
转化为各向同性的新坐标向量 h' (h'u , h'设v , h这'w个)T 线性变换为
h' ，Ah其中
A aa1211
a12 a22
a13 a23
a31 a32 a33
• 图中表示的是东西方向，相距为100米的样本点对。
实验变差函数计算实例
• 通过变差函数计算公式得到东西方向上，滞后距为100米 的变差函数值。
实验变差函数计算实例
• 变差函数图：滞后距100米的变差函数点
变差函数
20 18 16 14 12 10
8 6 4 2 0
0
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滞后距
实验变差函数计算实例
• 相距为200米的样本点对。
实验变差函数计算实例
• 滞后距为200米的变差函数值。
变差函数计算实例
• 变差函数图：滞后距200米的变差函数点
变差函数
20 18 16 14 12 10
8 6 4 2 0
0
100
200
300
400
500
滞后距
变差函数计算实例
• 变差函数图：滞后距300米、400米的变差函数点
• 地质统计学是数学地质的重要分支，它首先由 D·G·克立格（Krige）工程师在南非的金属矿产 储量计算中使用，后由法国马特隆 （G·Mathreon）教授领导的小组对此作了深入 的研究并系统地总结出地质统计学的理论和方法。
地质统计学定义
• 地质统计学(Geostatistics)是以区域化变量理论 作为理论基础，以变差函数作为主要工具，对既 具有随机性又具有结构性的变量（如品位值）进 行研究的科学。其核心即“克里格法”，它是一 种无偏的最小误差的储量计算方法。
then insert and crop
对于不规则采样点： • 沿某一特定方向和特定滞后距上并没有足够的样
本点 • 采用距离和角度容差解决该问题
1st semester 2005
实验变差函数计算
• 步长：4m • 步长容差：2m • 方位角：60 • 倾角：0 • 方位容差：22.5 • 倾角容差：22.5 • 水平带宽：5m • 垂直带宽：5m
对于各向同性模型， (h) (hu , hv , h，w)其 中1(h1)
h1 hu2 hv2 hw2
对于几何各向异性变差函数 h1
( hu )2 ( h，v )2变 (化hw )为2 矩阵形式
au
av
aw
A
1
av 0
0 1 au
0
0
0 0 1 aw
变差函数结构套合
பைடு நூலகம்
不同方向结构套合
各向异性椭球
• 主轴变程 • 次轴变程 • 垂直轴变程 • 方位角 • 倾角 • 旋转角度
内容介绍 • 克里格插值算法
克里格插值算法
• 克里格插值算法建立在变差函数及结构分析理论 之上
• 适用条件是变差函数及相关分析的结果表明样品 间存在空间相关性
• 其实质是利用区域化变量的原始数据和变差函数 的结构特点，对未采样点的区域化变量的取值进 行线性、无偏、最优估计。
地质统计学的发展
• 完善的理论基础
• 基本概念—区域化变量 • 基本假设—本征假设
基本工具—变差函数 基本方法—克里格法
• 方法与技巧不断涌出
• 析取克里格、多元高斯克里格和各种条件模拟技术的应用和发展
• 地质统计学的软件包及应用软件不断推出
• 美国斯坦福大学的GSLIB软件包 • 挪威ODEN公司的STORM随机建模软件 • 加拿大的Geostat地质统计学软件 • 澳大利亚的Surpac Vision\Micromine矿山工程软件
Z(x 差h)的方差之半定义为区域化变量 的Z(变x)差函数，记为
(x, h)
(x, h) 1 Var[Z (x) Z (x h)]
2
变差函数定义
• 定义：在任一方向 a ，相距 | h |的两个区域 化变量 Z(x) 和 Z(x h) 的增量的方差的一半。
• 公式： (h) 1 E[Z (x) Z (x h)]2
实验变差函数计算(3D)
实验变差函数参数选择
步长大小的选择：
步长间距太小
步长间距较合适
实验变差函数参数选择
步长个数的选择： 原则:
步长大小*步长个数=研究区域长度的一半
步长总间距
理论变差函数
• 实验变差函数并不能定量的反映数据空间相关性， 需要对实验变差函数进行拟合得到理论变差函数。
• 理论变差函数三参数：块金值/基台值/变程
地质统计学原理
中国地质调查局发展研究中心
回顾：地理学第一定律及应用
• 地理学第一定律： 距离越近，两点的地理现象相似性越大
逐点移面内插：以待插点为中心， 确定一个邻域范围，用该邻域内 的采样点计算内插点的高程值。
反距离加权平均法
内容介绍 • 一、地质统计学简介
历史背景与产生
• 为解决矿床从普查勘探、矿山设计到矿山开发整 个过程中各种储量计算和误差估计问题发展起来 的。
普通克立格方程组
克里格插值类型
• 根据研究目的和条件不同，有各种各样的克立格 法相继产生，如当区域化变量满足二阶平稳（或 内蕴）假设时，可用普通克立格法；在非平稳条 件下采用泛克立格法；当区域化变量服从对数正 态分布时，可用对数正态克立格法；对有多个变 量的协同区域化现象可用协同克立格法；对有特