第二章 古代希腊数学

上述诸派多以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强 了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下几个方面。
（一）三大几何问题
古希腊三大著名几何问题是： ⊙化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。 ⊙倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。 ⊙三等分角，即分任意角为三等分。
三大几何问题的起源涉及一些古老的传说。如 倍立方体问题：说神话中的米诺斯王(King Minos)嫌儿子格劳 卡斯(Glaucus)为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍。
虽然泰勒斯沿着论证数学的方向迈出了第一步，但希腊数学著 作的评注者主要是将数学中这一新方向的成长归功于毕达哥拉斯 学派。
一般认为，欧几里得《原本》前二卷的大部分材料来源于毕达 哥拉斯学派，包括西方文献中一直以毕达哥拉斯的名字命名勾股定 理。但迄今并没有毕达哥拉斯发现和证明了勾股定理的直接证据。
尽管如此，人们仍然对毕达哥拉斯证明勾股定理的方 法给出了种种猜测，其中最著名的是普鲁塔克（Plutarch, 约46-120）的面积剖分法。
毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，曾游历 埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于当时的大希腊 (Magna Graecia)，即今意大利东南沿海的克洛托内(Crotone)，并 在那里建立了一个秘密会社，也就是今天所称的毕达哥拉斯学派。 这是一个宗教式的组织。
相传“哲学”（希腊原词φιλοσοφια意为“智力爱好”）和数学 （希腊原词µαθηµατιχα，意为“可学到的知识”）这两个词正是毕 达哥拉斯本人所创。
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用 DA 和 A B 分别表示这两条移动线段在任一时刻的位置， 那么他们的交点P产生的曲线就是割圆曲线。
希腊波斯战争（公元前492-前449）以后，雅典成为希腊 民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学派 林立，主要有： ●伊利亚学派 以居住在意大利南部依利亚(Eles)地方的芝 诺（Zeno,约公元前490-前430）为代表。 ●诡辩学派 活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城，主要代 表人 物有希比阿斯（Hippias,约生于公元前460年）、安 提丰（Antiphon,约公元前480-411）等，均以雄辩著称。 ●雅典学院（柏拉图学派） 柏拉图（Plato,公元前427-前 347）曾师从毕达哥拉斯学派的学者，约公元前387年在雅典 创办学院，讲授哲学与数学，形成了自己的学派。 ●亚里士多德学派 亚里士多德（Aristotle,公元前384前322）是柏拉图的学生，公元前335年建立自己的学派。
关于倍立方体问题，一个关键的进展是希波克拉底对这一 问题的“简化”。希波克拉底指出了倍立方体问题可以化为求 一线段与它的二倍长线段之间的双重比例中项问题：
a: x=x: y=y: 2a
这样求出 x 的必须满足
x 3 = 2a 3
，即为倍立方问题的解。
希波克拉底并没有能从几何上作出这样的比例中项线段。比 他稍晚的柏拉图学派的梅内赫莫斯（Menaechmus,公元前4世纪中） 为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。事实上，前述的比例中 项关系等价于方程：
x 2 = ay, y 2 = 2ax, xy = 2a 2
因此,量 x, y 应为两条抛物线的交点或一条抛物线与一条双曲线 的交点之坐标。
希腊人还利用其它多种曲线来解决 三大作图问题，例如，据说巧辩学派的 希比阿斯为了三等分任意角而发明了 “割圆曲线”（quadratrix）。
AB 在正方形 ABCD中，令 平行于自 身匀速下降直至与 DC 重合。与此同时 DA顺时针匀速转动直至与DC重合。若
最早的希腊数学家是泰勒斯(Thales of Miletus,约公元前625-前 547)。泰勒斯出生于小亚细亚（今土耳其）西部爱奥尼亚地方的 米利都城，他领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题证明之先河。 他在数学上的贡献的最可靠的证据是来自公元5世纪新柏拉图 学派哲学家普罗克鲁斯(Proclus,410-485)所著《欧几里得<原本>第 一卷评注》一书（援引罗德岛的欧多莫斯（Eudemus of Rhodes,约 公元前320 ）所撰《几何学史》） ： ……（泰勒斯）首先来到埃及，然后将几何研究引进希腊。 他本人发现了许多命题，并指导学生研究那些可以推出其他命题 的基本原理”。
普罗克鲁斯在《评注》其他地方再次根据欧多莫斯的著作介 绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理：
◇圆的直径将圆分为两个相等的部分； ◇等腰三角形两底角相等； ◇两相交的直线形成的对顶角相等； ◇如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、 边相等，那么这两个三角形全等。
上述间接的记载却流传至今，使泰勒斯获得了第一位数学家 和论证几何学鼻祖的美名。
设直角三角形的两直角边与斜边分别为a,b,c。以此直角三 角形为基础做出两个边长为a+b的正方形。由于这两个正方形内 各含有四个与原来的直角三角形全等的三角形，除去这些三角 形后，两个图形剩下部分的面积显然应该相等，即第一个图形 中以斜边c为边的正方形的面积等于第二个图形中以直角边a和b 为边的两个正方形面积之和，这就是勾股定理。
毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条，由 于不可公度量的发现而受到了动摇。这些“怪物”深深地困 惑着古希腊的数学家，希腊数学中出现的这一逻辑困难，有 时也被称为“第一次数学危机”。大约一个世纪后，这一 “危机”才由于欧多克斯(Eudoxus)提出的新比例理论而暂时 消除。
2.1.2 雅典时期的希腊数学
这类问题激发了古希腊时代许多数学家的研究兴趣，其中贡 献最多的是诡辩学派。由于希腊人限制了作图工具只能是圆规和 （不带刻度的）直尺，使这些问题变得难以解决并富有理论魅力。
最早研究化圆为方问题的是安纳萨哥拉斯（Anaxagoras,约 公元前500 –前428），但详情不得而知。公元5世纪下半叶，开 奥斯的希波克拉底（Hippociates of Chios）解决了与化圆为方有 关的化月牙形为方。但单个圆的化圆为方问题没有解决。 巧辨学派的代表人物安提丰（Antiphon，约公元前 480-前 411），则首先提出了用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化 圆为方。他从一个圆内接正方形出发，将边数逐步加倍得到正八 边形、正十六边形、……，无限重复这一过程，随着圆面积的逐 渐“穷竭”（Exaustion），将得到一个边长极微小的圆内接正多 边形。安提丰因此成为古希腊“穷竭法”的始祖。
在这方面，这些海滨移民具有两大优势： ●他们具有典型的开拓精神，对于所接受的事物，不愿因袭传统； ●他们身处与两大河谷地区毗邻之地，易于汲取那里的文化。
埃及和美索不达米亚人的数学知识，在古代希腊城邦社会所 特有的唯理主义气氛中被加工升华为具有初步逻辑结构的论证数 学体系。
2.1 论证数学的发端
2.1.1泰勒斯与毕达哥拉斯
m2 −1 m2 + 1 , m, 2 2
（m为整数）
给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形 的两条直角边和斜边，与勾股定理密切相关。
毕达哥拉斯学派数学神秘主义的外壳，包含者理性的内核： ◇ 它加强了数概念中的理论倾向。如果说埃及与巴比伦算 术主要是实用的数字计算技巧，那么毕达哥拉斯学派算术 则更多地成为某种初等数论的智力领域，这是向理论数学 过渡时观念上的飞跃，并且由于数形结合的观点这种飞跃 实质上推动了几何学的抽象化倾向。 ◇ “万物皆数”的信念，使毕达格拉斯学派成为相信自然 现象可以通过数学来理解的先驱。
毕达哥拉斯相信任何量都可以表示成两个整数之比（即某个 有理量）。在几何上这相当于说：对于任何两条给定的线段，总 能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为 整数段。希腊人称这样两条给定线段为“可公度量”，意即有公 共的度量单位。
然而毕达哥拉斯学派后来却发现：并不是任意两条线段都 是可公度的，存在着不可公度的线段，例如正方形的对角线和 其一边就构成不可公度线段。 这一事实的证明最早出现在亚里士多德的著作中：根据 α 勾股定理，如正方形对角线与其一边之比为α ︰ β （ , β 互 2 素），则有 α 2 = 2 β 2 。这里为α 偶数，则α 也必为偶数， 2 2 2 2 2 2 设 α = 2 ρ ，于是 α = 4 ρ = 2 β ，即 β = 2 ρ , β 为偶数，则 β 也必为偶数， 这与 α , β 互素的假设相矛盾，因此正方形对角 线与其一边不可公度。
关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说： ▽泰勒斯早年经商，因进行橄榄轧油机生意而发了大财； ▽在埃及，泰勒斯测量过金字塔的高； ▽在巴比伦，预报了公元前585年的一次日蚀，等等。
希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯(Pythagoras of Samos,约公元前580-前500)。
今人对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是通过普罗克 鲁斯等人关于希腊数学著作的评注，另外还有如柏拉图、希罗多 德的著述也提供了一些信息。
尽管人们将许多几何成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学 派基本的信条却是：“万物皆数”。
该学派晚期的一位成员费洛罗斯（Philolaus,约卒于公元前390 年）确曾明确地宣称： 人们所知道的一切事物都包含数；因此没有数就既不 可能表达、也不可能理解任何事物。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数，分数是被看成两个整数 之比的关系。他们认为： ▲ 数1生成所有的数，并命之为“原因数”(Number of reason)。 ▲一切数中最神圣的是10，它是完美、和谐的标志。
数学史讲义
古代希腊数学
主讲 王鸿业
古代希腊数学
希腊数学一般是指从公元前600年至公元600年间，活动于希 腊半岛、爱琴海地区、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚 细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。
古希腊人也叫海仑人(Hellene)，其历史可以追溯到公元前 2000年。当时，作为希腊先民的一些原始部落由北向南挺进，在 希腊半岛定居，后来又逐步向爱琴海诸岛和小亚细亚扩张。到公 元前600年左右，希腊人已散布于地中海与黑海沿岸的大部分地 区，正是在这一带掀起了新的数学浪潮。