时钟上的角度

时钟上的角度
北师大版数学教材七年级上第四章《平面图形及其位置关系》中第三节内容《角的度量与表示》以及各种辅导资料上都提出了时钟上的角的问题，所以在此将此类问题进行总结。

1 基础知识
时钟上，时针转一圈（即转了360°）经过了12小时，所以时针转1小时所转过的角度为360°÷12=30°。

类似的，分针转一圈（即转了360°）经过了60分钟，所以分针转1分钟所转过的角度为360°÷60=6°
２解决问题（方法一）
2.1 当时钟指向上午8:00时，时针和分针的夹角是多少度？分析：如图所示，8:00时，时针与分针都指向正点刻度，此时分针与时针夹角为四格（1格为一小时），所以此时时针与分针的夹角为4×30°=120°
小结：当时钟指向整点位置时，此问题很简单，只需数出时针和分针中间有几个，然后乘以30即为时针与分针之间的夹角。

2.２当时钟指向上午8:30时，时针和分针的夹角时多少度？分析：如图所示，8:30时，时针与分针的夹角包含了两个整格及半格（弧AB）所以此时时针与分针的夹角为２×30°＋×３０°＝７５°。

当时钟指向上午8:45时，时针和分针的夹角时多少度？
分析：如图所示，8:45时，时针与分针的夹角包含了四分之一格（即弧AB，一格代表一小时，45分钟占了一小时，也就是60分钟的四分之三，所以弧AB占了一格的四分之一），所以此时时针与分针的夹角为×３０°＝７.５°小结：对于时钟上简单的问题，我们一般可以采用上述方法进行画图求解。

3 探究新方法（方法二）
教辅资料上出现了这样的问题：时钟上时针和分针的夹角是90°有几种情况？
分析：如果采用上述方法解决此类问题，显然不可能将所有的时刻都考虑到。

所以我们必须思考新的方法。

3.1 以8:45为例。

以00:00为基准，8:45时，时针走了小时，分针走了45分钟。

所以时针转过的角度为×30°=262.5°。

（时针转一小时所转过的角度为30°）
分针转过的角度为45×6°=270°。

（分针转一分钟所转过的角度为6°）
所以此时时针与分针的夹角为270°-262.5°=7.5°
3.2 一般情况：求a：b时指针和分针的夹角是多少度。

a:b时，时针走了小时，分针走了分钟。

所以时针转过的角度为×30=30a+b。

分针转过的角度为b×6=6b。

所以此时时针与分针的夹角为|30a+b-6b|=|30a-b|。

例如：8:45时，a=8，b=45。

此时时针与分针的夹角为｜３０a-b｜=|30×8-×45｜=7.5°
4 总结规律
有了方法二所归纳出的一般情况，我们就可以解决上面提出的问题：时钟上时针和分针的夹角是90°有几种情况？
分析：令|30a-b|=90°，（a的取值为1、2、3、4…12，b为非负整数）
①当30a-b=90时，可得b=(a-3)，
根据a、b的取值范围限制，a只能取3，才能保证b是一个非负整数。

当a=3时，b=0。

所以当3:00时，时针和分针的夹角是90°
②当30a-b=-90时，可得b=(a+3)，根据a、b的取值范围限制，a只能取8，才能保证b是一个非负整数）。

当a=8时，b=60。

所以当8:60即9:00时，时针和分针的夹角是90°。

综上所述，只有在3:00和9:00时，时针和分针的夹角是90°。