对数与对数函数备课讲稿
高二数学教案：对数与对数函数
高二数学教学设计：对数与对数函数一、课前准备：【自主梳理】1.对数：(1)一般地，假如，那么实数叫做 ________________ ，记为________，此中叫做对数的 _______，叫做 ________. (2)以 10 为底的对数记为________，以为底的对数记为_______.(3)， .2.对数的运算性质：(1)假如，那么，(2)对数的换底公式：.3.对数函数：一般地，我们把函数____________ 叫做对数函数，此中是自变量，函数的定义域是______.4.对数函数的图像与性质：a1 0图象性质定义域： ___________值域： _____________过点 (1， 0)，即当 x=1 时， y=0x(0 ，1)时 _________x(1 ，+)时 ________ x(0 ， 1)时_________x(1 ，+)时 ________在___________ 上是增函数在 __________上是减函数【自我检测】1.的定义域为 _________.2.化简： .3.不等式的解集为 ________________.4.利用对数的换底公式计算：.5.函数的奇偶性是 ____________.6.对于随意的，若函数，则与的大小关系是___________________________.二、讲堂活动：【例 1】填空题：(1) .(2)比较与的大小为___________.(3)假如函数，那么的最大值是_____________.(4)函数的奇偶性是___________.【例 2】求函数的定义域和值域.【例 3】已知函数知足.(1)求的分析式 ;(2)判断的奇偶性;(3)解不等式.讲堂小结三、课后作业1. .略2.函数的定义域为 _______________.3.函数的值域是 _____________.4.若，则的取值范围是_____________.5.设则的大小关系是 _____________.6.设函数，若，则的取值范围为_________________.7.当时，不等式恒建立，则的取值范围为______________.8.函数在区间上的值域为，则的最小值为____________.9.已知 .(1)求的定义域 ;(2)判断的奇偶性并予以证明;(3)求使的的取值范围.10.对于函数，回答以下问题：(1)若的定义域为，务实数的取值范围;(2)若的值域为，务实数的取值范围;(3)若函数在内存心义，务实数的取值范围.四、纠错剖析错题卡题号错题原由剖析高二数学教学设计：对数与对数函数一、课前准备：【自主梳理】1.对数(1)以为底的的对数，，底数，真数.(2)， .(3)0， 1.2.对数的运算性质(1)， , .(2).3.对数函数4.对数函数的图像与性质a1 0图象性质定义域：(0，+)值域： R过点 (1， 0)，即当 x=1 时， y=0x(0 ，1)时 y0x(1 ，+)时 y0 x(0 ，1)时 y0x(1 ，+)时 y0在(0， +) 上是增函数在 (0，+)上是减函数【自我检测】1. 2. 3.4. 5.奇函数 6. .二、讲堂活动：【例 1】填空题：(1)3.(2).(3)0.(4)奇函数 .【例 2】解：由得.因此函数的定义域是(0，1).由于，因此，当时，，函数的值域为;当时，，函数的值域为.【例 3】解： (1) ，因此.(2)定义域 (-3，3)对于原点对称，因此“教书先生”唯恐是街市百姓最为熟习的一种称号，从最先的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人仰慕甚或敬畏的一种社会职业。
对数与对数函数(教案)
对数与对数函数一、知识讲解考点1对数的概念及其运算性质（1）对数的概念：b a ＝N （a ＞0, a ≠1）N b a log =⇒（2）对数的性质： ①负数与零没有对数； ②，；③对数恒等式：．（3）对数的运算：①log MN a ＝log N M a a log + ②log N M NMa a alog log -= ③M n M a na log log =（M 、N ＞0, a ＞0, a ≠1）推广：M mnMa na m log log =01log =a 1log =a a log a N a N=④换底公式：aNN b b a log log log =（a ，b ＞0，a ≠1，b ≠1）考点2对数函数（1）对数函数定义：形如y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）的函数，叫做对数函数． （2）对数函数的图象与性质二、例题精析【例题1】求下列各式的值：（1）； （2）； （3）；（4）．【解析】（1）.（2）.（3）.()352log 24⨯5log 125lg 32lg 21lg1.2+-22log log ()3535222log 24log 2log 4⨯=+235log 435213=+=+⨯=3555log 125log 53log 53===lg32lg 21lg3lg 41lg1.2lg1.2+-+-=lg1.21lg1.2==（4）.【例题2】求下列各式的值． （1）35log 5＋2log 221－501log 5－14log 5；（2）6log 4log 1836＋log 263． 【解析】（1）35log 5＋2log 221－501log 5－14log 5 ＝35log 5－2log 2＋50log 5－14log 5 ＝)145035(log 5÷⨯－１＝355log －１＝2． （2）6log 4log 1836＋log 263＝18log 2log 66⋅＋log 263＝)3log 22(log 2log 666+⋅＋log 263 ＝3log 3log 22log 6626⋅+＋log 263 ＝266)2log 3(log +＝1．提示：灵活运用对数的运算性质、换底公式进行对数式的转化，是对数学习的重点，需进行反复训练，熟能生巧．【例题3】已知 ，, 用, 表示．【解析】因为，所以， 所以 ．22log log2log =22log log 42===2log 3a =3log 7b =a b 42log 562log 3a =31log 2a=2333423333log (79)log 7log 3log 63log (237)log 2log 3log 7⨯+==⨯⨯++22111b ab a ab a b a++==++++【例题4】计算（1）；（2）【解析】（1）原式． 或 原式． （2）原式．【例题5】（1）设410=a ，5lg =b ，求b a -210的值． （2）1052==b a ，求ba 11+的值． （3）设3log 22=x ，求xx xx --+-222233的值．【解析】（1）由5lg =b ，得510=b，∴ba -210＝51610102=b a ．（2）∵1052==b a ， ∴a ＝10log 2,b ＝10log 5， ∴15lg 2lg 11=+=+ba ． （3）由3log 22=x ，得3log 2=x ，∵ N a Na=log，∴xx xx --+-222233＝6131331931333133=+-=+-． 提示：对数的运算性质和换底公式都是根据对数的定义及对数与指数的关系推导，灵活进行指数、对数之间的的转化，可以帮助我们解决对数式的求值、化简和等式证明． 【例题6】427125log 9log 25log 16⋅⋅483912(log 3log 3)(log 2log 2)log ++-lg 9lg 25lg16lg 4lg 27lg125=⨯⨯2lg32lg54lg 282lg 23lg33lg59=⨯⨯=23524log 3log 5log 233=⋅⋅89==2233111(log 3log 3)(log 2log 2)232+⋅+25log 24+53556242=⨯+=求下列函数的定义域：（1）； （2）； （3）． 【解析】（1）由得，所以函数的定义域是；（2）由，得， 所以函数的定义域是． （3）由 得，所以，函数的定义域是． 【例题7】对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值；（6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围. 【解析】记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==，（1）R x u ∈>对0 恒成立，33032min <<-⇒>-=∴a a u ， ∴a 的取值范围是)3,3(-；（2）由u 21log 的值域为R ，即)(x g u =能取遍),0(+∞的一切值．)(x g u = 的值域为),,0(),3[2+∞⊇+∞-a∴命题等价于33032min ≥-≤⇒≤-=a a a u 或，0.2log (4)y x =-71log 13y x=-y =40x ->4x <0.2log (4)y x =-(,4)-∞130x ->13x <71log 13y x =-1{|}3x x <2log (43)0x -≥431x -≥1x≥y =[1,)+∞∴a 的取值范围是),3[]3,(+∞--∞ ；（3）命题等价于“),1[0)(+∞-∈>=x x g u 对恒成立”，应按)(x g 的对称轴a x =0分类，∴ ⎩⎨⎧<<--≥⎩⎨⎧->-<⇒⎩⎨⎧<-=∆-≥⎩⎨⎧>--<33121012410)1(12a a a a a a g a 或或， ∴a 的取值范围是)3,2(-；（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式0322>+-ax x 的解集为}31|{><x x x 或， ∴ 3,121==x x 是方程0322=+-ax x 的两根， ∴ ,2322121=⇒⎩⎨⎧=⋅=+a x x ax x 即a 的值为2；（5）函数的值域为]1,(--∞，即)(x g 的值域为),2[+∞， ∵)(x g 的值域是),3[2+∞-a ，∴命题等价于123)]([2min ±=⇒=-=a a x g ； 即a 的值为±1； （6）命题等价于：⎩⎨⎧>≥=⇔⎩⎨⎧-∞∈>-∞0)1(1]1,(0)(]1,()(0g a x x x g x g 恒成立对为减函数在， 即⎩⎨⎧<≥21a a ，得a 的取值范围是)2,1[.三、课堂运用【基础】 1.填空：（1）－ ； （2） － ；（3） ； （4）=3+2log 32）（－. 【答案】（1）1；（2）－1； （3）2；（4）－1.2log 62log 3=3log 53log 15=551log 75log 3+=2．计算：（1）14；（2）. 【解析】（1）原式.或原式； （2）原式.【巩固】3．已知，试用表示．【解析】因为，所以， 所以． 4．（1）已知a =3log 2，b =7log 3，用a ，b 表示56log 42；（2）已知log ,6log ,3log ,2===c b a x x x 求x abc log 的值． 【解析】（1）log 5642＝42lg 56lg ＝3lg 2lg 7lg 2lg 37lg +++， 又∵,3lg 2lg ,3lg 7lg 3lg 7lg ,2lg 3lg ab b a ==⇒== ∴ log 5642＝131133lg 3lg 3lg 3lg 33lg +++=+++=+++a ab ab ab a b a b a b ． （2）∵a ＝x 2，b ＝63,x c x =，∴ 111log log 632==++x x x abc ． lg -2lg18lg 7lg 37-+2lg 2lg32lg 0.362lg 2+++2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=0=27lg14lg()lg 7lg183=-+-2147lg 7()183⨯=⨯lg10==2lg 2lg32lg3622lg 2+=+-+2lg 2lg314lg 22lg32+==+3log 12a =a 3log 24333log 12log (34)12log 2a =⨯=+=31log 22a -=333log 24log (83)13log 2=⨯=+1311322a a --=+⨯=5．比较下列各组数中两个数的大小：（1），； （2），； （3），，． 【解析】（1）对数函数在上是减函数，于是；（2）因为，，所以；（3）因为，，而， 所以． 【拔高】6．求值（n n 3log 27log 9log 3log 2842++++ ）n 32log 9；【解析】 ∵ ,3log 3log 22=nn∴ 原式＝25=2log 3log =32log 3log 532922nn ．7．已知11log )(--=x mxx f a是奇函数（其中)1,0≠>a a ， （1）求m 的值；（2）讨论)(x f 的单调性； （3）求)(x f 的反函数)(1x f-；（4）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时，)(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值.【解析】（1）011log 11log 11log )()(222=--=--+--+=+-xx m x mx x mx x f x f a a a对定义域内的任意x 恒成立，0.5log 1.80.5log 2.17log 56log 72log 34log 5320.5log y x =(0,)+∞0.5log 1.8>0.5log 2.766log 7log 61>=77log 5log 71<=6log 7>7log 524log 3log 9=43log 82=444log 5log 8log 9<<4log 532<<2log 3∴10)1(11122222±=⇒=-⇒=--m x m xx m ， 当)1(0)(1≠==x x f m 时不是奇函数，1-=∴m ， （2）11log )(-+=x x x f a，∴定义域为),1()1,(+∞--∞ ， 11log )(-+=x x x f a ＝)121(log -+x a ， 1>a 时，)(x f 在),1()1,(+∞--∞与上都是减函数； 10<<a 时，)(x f 在),1()1,(+∞--∞与上都是增函数；另解：设11)(-+=x x x g ，任取111221>>-<<x x x x 或， ∵0)1)(1()(21111)()(2112112212<----=-+--+=-x x x x x x x x x g x g ， ∴)()(12x g x g <，结论同上；（3）111)1(1111log -+=⇒+=-⇒-+=⇒-+=y y yy y a a a x a x a x x a x x y ， ∵ 01≠-y a ，∴0≠y ；)10,0(11)(1≠>≠-+=-a a x a a x f x x 且．（4）)2,1()(,3,21->∴-<<a x f a a x 在 上为减函数， ∴ 命题等价于1)2(=-a f ，即014131log 2=+-⇒=--a a a a a ， 解得32+=a .提示：函数的性质综合问题，需要准确把握定义域、值域、奇偶性、单调性、反函数等概念，充分运用数形结合、分类讨论、等价转换等数学思想，灵活运用通性通法．四、课程小结（1）对数函数与指数函数的关系对数函数y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）是指数函数xa y =)1,0(≠>a a 且的反函数．互为反函数的两个函数的图象关于直线x y =对称． （2）对数函数图象特征1,0≠>a a 时，)(log x y a -=与x y a log =的图象关于y 轴对称；x x x y a aalog 1log log 1-===，x y a1log =与x y a log =的图象关于x 轴对称； 对数函数y ＝x a log （a ＞0且a ≠1，x ＞0）都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴，当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）．（3）利用对数函数比较大小问题的处理方法： ①看类型 ②同底用单调性 ③其它类型找中间量． 零和负数无对数，是求函数定义域的又一条原则．五、课后作业【基础】1.把下列各题的对数式写成指数式：（1）27log =5x ：___ _____ (2) 7log =8x ： ____ _____ (3) 3log =4x ： ___ _____ （4）31log 7=x ：___ _____ (5)log 241=-2： ___ _____ (6)log 3811=-4：___ _____ 【答案】（1）27=5x ； (2) 7=8x ； (3) 3=4x ；（4）31=7x； (5)41=22－； (6)811=34－．2.计算下列各式的值 （1）；（2）．【解析】（1）原式． 83log 9log 32⨯272log 9+lg9lg32lg8lg3=⨯2lg35lg 23lg 2lg3=⨯103=（2）原式． 3.函数x a y +=1 (0＜a ＜1)的反函数的图象大致是（）（A ）（B ）（C ）（D【答案】 C4.已知＝，＝，求下列对数的值(精确到小数点后第四位)（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）0.7781；(2) 0.1761； （3）1.5050.5.比较下列各题中两个值的大小：（1）5log ,9log 76； （2）6.0log ,log 23π；（3）7.0log ,7.0log 32；【解析】（1）1>9log 6，1<5log 7，∴5log >9log 76；（2）0>log 3π，0<6.0log 2，∴6.0log >log 23π；（3）0<2log <3log 7.07.0，∴7.0log =2log 1>3log 1=7.0log 27.07.03．【巩固】1.求下列函数的定义域：233log 922log 273=+=+=83lg 20.3010lg 30.4771lg 63lg 2lg 32lg 6lg 2lg3=+=3lg lg 3lg 22=-=lg325lg 2==（1）； （2）； （3）． 【解析】（1）由得，所以函数的定义域是．（2），且，解得且，所以函数的定义域是且． （3）， 得 或， 所以函数的定义域是．2．将函数()x x f 2=的图象向左平移一个单位得到图象1C ，再将1C 向上平移一个单位得图象2C ，作出2C 关于直线x y =对称的图象3C ，则3C 对应的函数的解析式为（）A. ()11log 2+-=x yB. ()11log 2--=x yC. ()11log 2++=x yD. ()11log 2-+=x y【答案】B3.计算1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅. 【解析】分子＝3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++； 分母＝41006lg 26lg 101100036lg)26(lg =-+=⨯-+； ∴ 原式＝43. 4．（1）已知36log ,518,9log 3018求==b a 值.log a y =(0,1)a a >≠21log y x=2(21)log (23)x y x x -=-++10x ->1x>log a y =(0,1)a a >≠{1}x x >2log 0x ≠0x >0x >1x ≠21log y x={0x >1x ≠}2210211230x x x x ⎧->⎪-≠⎨⎪-++>⎩112x <<13x <<2(21)log (23)x y x x -=-++1(,1)(1,3)2（2）已知a =++-)12(log )122(log 27，求)12(log )122(log 27-++．【解析】（1）518=b ，∴,5log 18b = ∴ab a b -+-=-+-+=++=22)2(2)3log 18(log )9log 18(log 16log 5log 2log 18log 36log 181818181818181830. （2）∵ )12(log )122(log 27++- ＝a =--+-)12(log )122(log 127 ∴a -=-++1)12(log )122(log 27．【拔高】1．若132log >a，则a 的取值范围是（）A ．231<<aB ．23110<<<<a a 或C ．132<<aD ．1320><<a a 或 【答案】C ．2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[2，4]D ．[4，16]【答案】D【解析】∵函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，即)2(xf y =中的4≤2≤2x ； 再由4≤log ≤22x ，得16≤≤4x ，∴函数)(log 2x f y =的定义域为[4，16]． 3．求函数)32(log 221-+=x x y 的单调递增区间．【答案】），－－3∞( 4．函数)+(log =221a ax x y －在]2,(-∞上是增函数，求实数a 的取值范围.【解析】 因为对数的底为21，问题转化为在]2,(-∞上0>+2a ax x －， 且a ax x x u +=)(2－在]2,(-∞上是减函数． 于是有2≥2a ，且0>+22=)2(2a a u －． 所以2+22<≤22a 即为所求实数a 的取值范围．。
对数及对数函数教案8篇
写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间，教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力，才能更好地帮助学生提高学习效果，下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇，感谢您的参阅。
对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。
2通过对对数函数的学习，树立相互联系、相互转化的观点，渗透数形结合的数学思想。
3通过对对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力。
二、识技能目标1理解对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图象，感受研究对数函数的意义。
2掌握对数函数的性质，并能初步应用对数的性质解决简单问题。
三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的.学习兴趣。
2在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。
教学重点难点：1对数函数的定义、图象和性质。
2对数函数性质的初步应用。
教学工具：多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。
对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。
它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。
高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式”教学方法。
将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。
其理论依据为建构主义学习理论。
它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。
2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。
(精品教案)《对数函数》讲课稿
（精品教案）《对数函数》讲课稿为大伙儿整理的《对数函数》讲课稿，欢迎阅读，希翼大伙儿可以喜爱。
我今天讲课的内容是《对数函数》，现就教材、教法、学法、教学程序、板书五个方面举行讲明。
恳请在座的各位老师批判指正。
1、教材的地位、作用及编写意图《对数函数》浮现在职业高中数学第一册第四章第四节。
函数是高中数学的核心，对数函数是函数的重要分支，对数函数的知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用；学生差不多学习了对数、反函数以及指数函数等内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用；“对数函数”这节教材，指出对数函数和指数函数互为反函数，反映了两个变量的相互关系，蕴含了函数与方程的数学思想与数学办法，是往后数学学习中别可缺少的部分，也是高考的必考内容。
2、教学目标的确定及依据。
依据教学大纲和学生获得知识、培养能力及思想教育等方面的要求：我制定了如下教育教学目标：（1）知识目标：明白对数函数的概念、掌握对数函数的图象和性质。
（2）能力目标：培养学生自主学习、综合归纳、数形结合的能力。
（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度、勇于探究和创新的精神。
（4）情感目标：在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流。
3、教学重点、难点及关键重点：对数函数的概念、图象和性质；难点：利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质；关键：抓住对数函数是指数函数的反函数这一要领。
大部分学生数学基础较差，明白能力，运算能力，思维能力等方面参差别齐；并且学生学好数学的自信心别强，学习积极性别高。
针对这种事情，在教学中，我引导学生从实例动身启示指数函数的定义，在概念明白上，用步步设咨询、课堂讨论来加深明白。
在对数函数图像的画法上，我借助多媒体，演示作图过程及图像变化的动画过程，从而使学生直截了当地同意并提高学生的学习兴趣和积极性，非常好地突破难点和提高教学效率。
教给学生办法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极考虑、主动探究，尽量地增加学生参与教学活动的时刻和空间，我举行了以下学法指导：（1）对比比较学习法：学习对数函数，处处与指数函数相对比。
对数与对数运算说课稿（精选5篇）
对数与对数运算说课稿（精选5篇）以下是网友分享的关于对数与对数运算说课稿的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
篇一§2.2.1对数与对数运算说课稿大家好，我是。
，我今天的讲课内容是对数与对数的运算。
我将从以下5个方面来进行今天的说课，第一是教学内容分析，第二是学生的学情分析，第三是教学方法的策略，第四是教学过程的设计，第五的教学反思。
一、教学内容分析对数与对数的运算是人教版高中教材必修一第二章第二节第一课时的内容。
本节课是第一课时，主要讲的就是认识对数和对数的一些基本运算性质。
本节课的学习蕴含着转化化规的数学思想，类比与对比等基本数学方法。
在上节课，我们学习了指数函数以及指数函数的性质，是本节课学习对数与对数的运算的基础，而下节课，我们又将学习对数函数与对数函数的性质，这节课恰好为下节课的学习做了一个铺垫。
二、学生学情分析接下来我将从认知、能力、情感三个方面来进行学生的学情分析。
首先是认知，该阶段的高中生已经学习了指数及指数函数的性质，具备了学习对数的基础知识；在能力方面，高一的学生已经初步具备运用所学知识解决问题的能力，但是大多数同学还缺乏类比迁移的能力；而在情感方面，大多数学生有积极的学习态度，能主动参与研究，但是还有部分的学生还是需要老师来加以引导的。
三、教学方法的策略根据教材的要求以及本阶段学生的具体学习情况，我制定了一下的教学目标。
首先是知识与技能，理解对数与指数的关系，能进行指对数互化并可利用对数的简单性质求值；接着是过程与方法，通过探究对数和指数之间的互化，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力；最后是情感态度与价值观，通过对问题转化过程的引导，培养学生敢于质疑、勇于开拓的创新精神。
基于以上的分析，我制定了本节课的重难点。
本节课的教学重点是对数的定义，对数式与指数式的互化，对数的运算法则及其推导和应用；本节课的难点是对数概念的理解和对数运算法则的探究和证明；本节课我所采用的教学方法是探究式教学法，分为以下几个环节：教师创设问题情境，启发式地讲授，讲练结合，引导学生思考，最后鼓励学生自主探究学习。
对数函数集体备课发言稿
对数函数集体备课发言稿各位老师、各位同事们：大家好！今天我们聚集在一起，是为了共同备课、探讨对数函数的教学内容。
对数函数作为高中数学课程中的一部分，对学生来说可能是一个比较新颖的内容，也是一个比较抽象的概念。
因此，我们需要共同努力，以最有效的方式向学生传授对数函数的知识，引导他们理解和掌握这一部分内容。
首先，我想要强调的是对数函数在现实生活中的应用。
对数函数在实际社会中有着广泛的应用，比如在金融领域中用于计算利率、在物理领域中用于描述震级、在化学领域中用于描述PH值等等。
因此，我们在教学的时候，可以结合生活实际，让学生了解对数函数的实际用处，提高学生的学习兴趣和学习动力。
其次，对于对数函数的基本概念和性质，我们需要重点强调。
比如对数函数的定义，以及其在图像上的特点，对数函数的性质，比如对数函数的增减性、奇偶性、零点和极值等等。
这些是对数函数的基础知识，也是学生理解和掌握对数函数的关键。
在教学方法上，我们可以采用多种方式来让学生更好地理解和掌握对数函数的知识。
比如通过举例进行讲解，让学生在具体的案例中感受对数函数的运用；通过实际计算来锻炼学生的计算能力和分析能力；通过问题解决来培养学生的动手能力和创新能力等等。
我们可以结合多种教学方法，使得对数函数的教学更加生动有趣，让学生在轻松愉快的氛围中掌握对数函数的知识。
此外，我们也需要关注学生的学习情况，考虑到不同学生的学习能力和学习方式可能不尽相同。
对于学习能力强的学生，我们可以适当地增加一些拓展内容，让他们对对数函数有更深入的了解；对于学习能力一般的学生，我们可以进行更细致的辅导和指导，帮助他们理解对数函数的知识；对于学习能力较弱的学生，我们可以采用更直观、更具体的方式来讲解对数函数，比如通过图表和实例来帮助他们理解。
我们要根据学生的具体情况，采取不同的授课方法，使得每一个学生都能够得到有效的学习。
最后，我希望我们在备课的过程中，能够相互交流、相互学习，共同进步。
人教A版高中数学必修一对数函数对数与对数运算说课稿
2.2.1 对数与对数运算（2）从容说课本课是在理解对数概念的基础上，联系指数幂的运算性质来学习对数的运算性质.教学重点是探究并证明对数的运算性质.教学难点是在掌握对数运算性质的基础上，能灵活运用运算性质进行化简求值.根据指数式和对数式之间的关系，通过与指数幂的运算性质类比得出对数的运算性质，引导学生自己完成推导过程，以加深对公式的记忆和理解.对公式不仅要掌握其内容，更要注意公式适用条件.（运算性质的探究，层次较高的学生可以采用“概念形成”的学习方式通过对具体例子的提出，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明）对数运算性质的综合运用，经常要求逆用运算性质，应掌握变形技巧，各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系，且要避免错用对数运算性质.运算性质的认识，可以类比指数运算法则来理解记忆，强化法则使用的条件，注意对数式中每一个字母的取值范围.三维目标一、知识与技能掌握对数的运算性质，能较熟练地运用对数的运算性质解决有关对数式的化简、求值问题.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，培养学生会与别人共同学习、共同研究探讨的能力.2.利用类比的方法，得出对数的运算性质，让学生体会到数学知识的前后连贯性，加深对公式内容及公式适用条件的记忆.3.通过探究、思考，培养学生理性思维能力、观察能力以及判断能力.三、情感态度与价值观1.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对对数运算性质的推导过程的理解，增强学生数学交流能力和数学地分析问题的能力.2.通过对数运算性质的学习，使学生明确数学概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性.3.通过计算器来探索对数的运算性质，使学生认识到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具，激发学生学习数学的热情.教学重点1.掌握对数的运算性质.2.应用对数运算性质求值、化简.教学难点对数运算性质的灵活运用.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、复习回顾，引入新课师：上一节课我们学习了对数的概念、指数式与对数式的互化，我们知道，对数和指数都是一种运算，而且对数运算是指数运算的逆运算，指数有它自己的一套运算性质.从指数与对数的关系以及指数运算性质，能得出相应的对数运算性质吗？这就是本节课所要探究的知识.（引入课题，书写课题——对数的运算性质） 二、讲解新课（一）对数的运算性质的探索 师：指数幂运算有哪些性质？ （生口答，师简单板书） 当a 、b ＞0，m 、n ∈R 时， a m ·a n =a m +n ，a m ÷a n =a m －n ， （a m ）n =a mn ，mna =amn .师：根据对数的定义可得：log a N =b a b =N （a ＞0，a ≠1，N ＞0），那么，对数运算也有相应的运算性质吗？如果有，它们的运算性质会与指数幂的运算性质之间有什么联系呢？（生思考）合作探究：由于a m ·a n =a m +n ， 设M =a m ，N =a n ， 于是MN =a m +n .由对数的定义得到log a M =m ，log a N =n ，log a （M ·N ）=m +n .这样，我们就得到对数的一个运算性质：log a （M ·N ）=log a M +log a N .师：同样地，可以仿照上述过程，由a m ÷a n =a m －n 和（a m ）n =a mn ，得出对数运算的其他性质.（生板演）∵a m ÷a n =a m －n ，设M =a m ，N =a n ，∴NM =a m －n.∴由对数的定义得到 log a M =m ，log a N =n ， log aNM=m －n . ∴log a N M =log a M －log a N .∵（a m）n =a mn ， 设M =a m ，∴M n =a mn . ∴由对数的定义得到 log a M =m ， log a M n =mn ， ∴log a M n =n log a M .（师组织生讨论得出） 对数的运算性质：log a （MN ）=log a M +log a N ，log aNM=log a M －log a N ， log a M n =n log a M （n ∈R ），其中，a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0.师：以上三个性质可归纳为：（1）积的对数等于各因式对数的和；（2）商的对数等于被除数的对数减除数的对数；（3）幂的对数等于指数乘以底数的对数.师：这几条运算性质会对我们进行对数运算带来哪些方便呢？ （生交流探讨，得出如下结论）结论：利用以上性质，可以使两正数的积、商的对数运算问题转化为两正数各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简、求值.（二）概念理解合作探究：利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件？ （师组织，生交流探讨得出如下结论）底数a ＞0，且a ≠1，真数M ＞0，N ＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.师：性质能否进行推广？ （生交流讨论）性质（1）可以推广到n 个正数的情形，即log a （M 1M 2M 3…M n ）=log a M 1+log a M 2+log a M 3+…+log a M n （其中a ＞0，且a ≠1，M 1、M 2、M 3…M n ＞0）.知识拓展：当a ＞0，a ≠1，M ＞0时，还有log m a M n =mnlog a M . （三）运算性质的应用师：这样我们就可以心底坦然地使用这些性质了，请同学们完成以下训练. （投影显示如下练习，生完成，组织学生交流评析各自的训练成果） 【例1】 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式： （1）log a z xy ；（2）log a 32zy x . （生板演）【例2】 求下列各式的值： （1）log 2（47×25）；（2）lg 5100.（生板演）【例3】 已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值：（结果保留4位有效数字）（1）lg12；（2）lg 1627. 方法引导：要用lg2≈0.3010，lg3≈0.4771这个已知条件来求以上各式的值，需先根据对数的运算性质将其化为含lg2、lg3的多项式进而求出结果.【例4】 计算：（1）lg14－2lg 37+lg7－lg18；（2）9lg 243lg ；（3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+.（1）解法一：lg14－2lg 37+lg7－lg18 =lg （2×7）－2（lg7－lg3）+lg7－lg （32×2） =lg2+lg7－2lg7+2lg3+lg7－2lg3－lg2=0. 解法二：lg14－2lg37+lg7－lg18=lg14－lg （37）2+lg7－lg18=lg 18)37(7142⨯⨯=lg1=0.（2）解：9lg 243lg =253lg 3lg =3lg 2351g =25. （3）解：2.1lg 10lg 38lg 27lg -+=1023lg10312lg )3lg(2213213⨯-+g =12213lg )12213(lg 23-+-+g g =23.方法引导：以上各题的解答，体现对数运算法则的综合运用，应注意掌握变形技巧，每题的各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系，要避免错用对数运算性质.（四）目标检测课本P 79练习第1，2，3.答案：1.（1）lg （xyz ）=lg x +lg y +lg z ；（2）lg zxy 2=lg （xy 2）－lg z=lg x +lg y 2－lg z =lg x +2lg y －lg z ；（3）lgzxy 3=lg （xy 3）－lg z=lg x +lg y 3－21lg z =lg x +3lg y －21lg z ；（4）lgzy x 2=lg x －lg （y 2z ）=21lg x －lg y 2－lg z =21lg x －2lg y －lg z . 2.（1）7；（2）4；（3）－5；（4）0.56.3.（1）log 26－log 23=log 236=log 22=1；（2）lg5－lg2=lg 25；（3）log 53+log 531=log 53×31=log 51=0；（4）log 35－log 315=log 3155=log 331=log 33－1=－1. 补充练习：若a ＞0，a ≠1，且x ＞y ＞0，N ∈N ，则下列八个等式： ①（log a x ）n =n log x ； ②（log a x ）n =log a （x n ）；③－log a x =log a （x1）； ④y x a a log log =log a （yx ）； ⑤n a x log =x1log a x ； ⑥n1log a x =log a n x ； ⑦anxa log =x n ；⑧log ay x y x +-=－log a yx yx -+.其中成立的有________个.（答案：4） 三、课堂小结 1.对数的运算性质.2.对数运算法则的综合运用，应掌握变形技巧：（1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系； （2）要避免错用对数运算性质.四、布置作业课本P 86习题2.2A 组第3，4，5题.补充作业：1.（1）已知3a =2，用a 表示log 34－log 36； （2）已知log 32=a ，3b =5，用a 、b 表示log 330. 2.计算：（1）1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+；（2）2log 32－log 3932+log 38－53log 25；（3）lg （53++53-）.板书设计2.2.1 对数与对数运算（2）对数的运算性质对数与指数的比较性质的应用（例题及学生练习）例1例2例3例4三、课堂小结与布置作业。
对数与对数函数说课稿
说课稿（人教A版必修一第二章第二节对数函数的第一课时---对数）新课标指出，学生是教学的主体，教师的教应从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上建构新的知识体系。
下面将以此为基础从教材分析、学情分析、教学策略、教学程序、教学评价这几方面加以阐述：教材分析学情分析教学策略教学程序教学评价教材分析本节课是对数与对数运算的第一课时，主要包括对数的概念、指数与对数的互化以及对数的性质等内容，其中蕴含着转化与化归的数学思想，类比与对比的数学方法。
通过本节课的学习，既能加深学生对指数的理解，又能为后面对数运算性质和对数函数的学习打下基础。
基于以上分析，结合新课程标准，制定以下教学目标：知识与技能：1.理解对数的概念，了解对数与指数的关系；2.理解和掌握对数的性质；3.掌握对数式与指数式的互化。
过程与方法：1.通过与指数式的比较，引出对数的定义；2.经历探索对数基本性质的过程；3.感悟和体会转化和化归的数学思想。
情感、态度与价值观：1.学生能类比、分析、归纳；2.形成严谨的思维品质和探究意识；3.增强分析问题和解决问题的能力。
学情分析学生在此之前已经学习了指数与指数函数，具有了一定的探究能力和分析解决问题的能力，这有利于本节课的学习。
然而，高一学生的理解能力及逆向思维能力等方面参差不齐,大部分学生也比较怕概念的学习。
为此，结合教材分析和学生的实际情况，确定本课的教学重点和难点如下：教学重点：对数式与指数式的互化，对数的性质。
教学难点：对数概念的理解，对数性质的推导。
教学策略基于对学生情况的分析和本课的特点，在教学过程中，我将从实际问题出发，不断创设疑问，激发学生的求知欲和学习主动性，使学生紧紧抓住对数运算是指数运算的逆运算这一实质，重视指数式与对数式的互化。
通过教师的引导点拨和学生的练习思考,使学生理解和掌握对数的概念及本质。
教学程序知识引入：1.如果我国GDP 平均每年增长8%，则经过多少年我国的GDP 是现在的两倍？解：设经过x 年国民生产总值是现在的两倍,令现在的国民生产总值为a.依题意得：即： 如何计算式子中的x2.求下列各式中x 的值1).2 =32 2). =16 3).2 =7 X=5 X= -2 X=讲授新课：1.对数的定义：一般地，如果a =N ( a > 0 , 且a ≠ 1 )，那么数x 叫做以a 为底N 的对数， 其中a 叫做对数的底数, N 叫做真数.注意：限制条件是a > 0 , 且a ≠ 1a x =log N 记作： +=x a(18%)2a+=x (18%)21).练习1（将下列指数式写成对数式）2).思考（对数与指数的区别与联系）2.指数和对数的相互转化3.两个重要的对数（常用对数和自然对数）例题分析：例1．将下列指数式写成对数式：例2．将下列对数式写成指数式：例3.求下列各式中的x的值:讲授新课:4.对数的性质（1）试求下列各式的值：结论：零和负数没有对数（2）试求下列各式的值：思考：你发现了什么？（3）试求下列各式的值：思考：你发现了什么？（4）试求下列各式的值：思考：你发现了什么？（5）试求下列各式的值：思考：你发现了什么？巩固练习：归纳小结：布置作业：教学评价本节课的教学设计力求体现以教师为主导、学生为主体的原则，强调学生参与知识的形成过程，让学生在教师的点拨下开展探究活动，最终效果如何还需经过课堂教学来检验。
《对数函数》说课稿
《对数函数》说课稿对数函数说课稿一、教学目标- 理解对数函数的定义、性质和应用。
- 掌握对数函数的图像、增减性及其特殊值。
- 能够应用对数函数解决实际问题。
二、教学重点和难点重点- 对数函数的定义和性质。
- 对数函数图像的绘制和分析。
- 对数函数的增减性及其特殊值。
难点- 对数函数的应用。
- 解决实际问题的对数函数模型建立。
三、教学内容和方法内容1. 对数函数的定义和性质：- 对数函数的定义和反函数关系。
- 对数函数的性质：定义域、值域、单调性等。
- 对数函数与指数函数的关系。
2. 对数函数的图像和分析：- 绘制对数函数的基本图像。
- 分析对数函数的图像特点：渐近线、拐点等。
3. 对数函数的增减性及其特殊值：- 讨论对数函数的增减性。
- 求解对数函数的特殊值。
4. 对数函数的应用：- 对数函数在科学计算中的应用。
- 对数函数在等比数列或等比数列中的应用。
方法- 教师讲解结合示例分析，引导学生理解对数函数的定义和性质。
- 利用计算工具或手绘方法绘制对数函数的图像，让学生感受对数函数的变化规律。
- 针对对数函数的增减性进行讨论和练，强调求解特殊值的方法和意义。
- 引导学生应用对数函数解决实际问题，培养学生的应用能力和创新思维。
四、学情分析学生在前一阶段已研究过指数函数的相关知识，对指数函数的性质和应用有一定的了解。
通过对数函数的研究，可以进一步加深学生对指数函数与对数函数的关系的理解，并提高学生的数学分析和问题解决能力。
五、教学过程1. 导入：通过复指数函数的相关知识，引导学生思考指数函数和对数函数的关系。
2. 知识讲解：讲解对数函数的定义和性质，引导学生理解对数函数的基本概念。
3. 图像绘制：利用计算工具或手绘方法绘制对数函数的图像，并对其特点进行分析。
4. 增减性和特殊值：讨论对数函数的增减性，求解对数函数的特殊值，并解释其意义。
5. 应用练：引导学生应用对数函数解决实际问题，并结合实例进行讲解和练。
对数函数说课稿
《对数函数》说课稿一、教材分析本节内容是在学习指数函数、对数的基础上引入的。
对数函数的学习，不但是对函数这一重要思想的进一步认识与理解，使学生的知识体系更加完善、系统，同时，它又是学生进一步学习，解决生产和生活中实际问题的重要工具。
为此，我制定了以下教学目标。
1、在探索指数与对数内在联系的基础上，掌握对数函数的概念、图象、性质并能简单应用。
2、在学习过程中，体会由特殊到一般、类比联想、数形结合、分类讨论等数学思想方法，发展学生的形象思维、逻辑思维能力，提高他们的信息检查和整合能力。
3、在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流。
教学重点：对数函数的概念、图象和性质． 教学难点：指数函数和对数函数的内在关系。
二、指导思想和教学方法1、树立以学生发展为本的思想。
通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境，提供学生自主探索和动手操作的机会，鼓励他们创新思考，亲身参与知识的形成过程。
2、利用多媒体辅助教学，采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，启发引导学生思考、分析、探索、归纳，并在教学中渗透“类比联想”、“数形结合”及“分类讨论”的数学思想方法。
三、学法指导本节课采用学生经过观察分析、类比联想、协作学习、自已发现结论的学习方法，以培养学生逻辑思维能力、动手实践能力和探索精神。
四、教学过程分以下几个环节进行 1、提出问题首先给出一个问题：在细胞分裂过程中，细胞个数y 是分裂次数x 的指数函数2xy =。
若研究其相反问题：知道分裂后细胞个数y ，要求其分裂次数x 的值，即有：22log xyy x =→=。
上述函数中，y 是自变量，x 是y 的函数，但习惯上，用x 表示自变量，y 表示它的函数，因此对上式进行改写：22lo glo g x y y x=→=。
设计意图：这里，以学生熟悉的问题为背景，以旧有知识为基点，顺利切入学生的最近发展区，使学生亲历了对数函数模型的形成过程，初步理解对数函数的概念，感受研究对数函数的意义。
对数与对数函数备课讲稿
解答：(1)原式＝
.
(2)原式＝(lg 2＋lg 5)(lg22－lg 2lg 5＋lg25)＋3lg 2lg 5
＝lg22＋2lg 2lg 5＋lg25＝(lg 2＋lg 5)2＝1.
(3)解法一：原式＝
解法二：原式＝
变式1.(1)若2a＝5b＝10，求＋ 的值．(2)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值．
变式2. 若函数f(x)满足对于(0，＋∞)上的任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)， 且x>1时 f(x)>0，试证： (1)f( )＝f(x)－f(y)；(2)f(x)＝－f( )；(3)f(x)在(0，＋∞)上递增． 证明：(1)由已知f( )＋f(y)＝f(x)，即f(x)－f(y)＝f( )． (2)令x＝y＝1，则f(
答案：D
4．(2010·黄冈月考)已知函数f(x)＝lg
，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )
A.
B．－
C．－b
D．b
解析：函数f(x)的定义域为－1＜x＜1，又f(－x)＝lg
＝lg
－1＝
－lg
＝－f(x)，则f(x)为奇函数，f(－a)＝－f(a)＝－b.
ห้องสมุดไป่ตู้
答案：C
5 比较下列各组数的大小.
解答：(1)由已知a＝log210，b＝log510，则
＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
(2)由已知x＝log43，则
对数函数与指数函数互为反函数，在解决与对数函数相关的问题可类比指数 函数问题，不仅要注意二者之间的联系，同时更要明确二者之间的区别．
【例2】 设函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)>f(b)，证明：ab<1. 证明：证法一：由题设f(a)>f(b)，即|lg a|>|lg b|. 上式等价于lg2a>lg2b，即：(lg a＋lg b)(lg a－lg b)>0， lg(ab)lg >0，由已知b>a>0，得0< <1.∴lg<0，故lg (ab)<0，∴ab<1. 证法二：数形结合，函数y＝|lg x|的图象如图，由0<a<b且f(a)>f(b)可得两种 情况，①0<a<b<1，则ab<1或②0<a<1，b>1，则lg a<0，lg b>0. 故f(a)>f(b)等价于－lg a>lg b，即lg a＋lg b<0，可得lg(ab)<0，故ab<1.
高中数学 《对数函数-对数与对数运算》说课稿1 新人教A版必修1
2.2 对数函数“对数〞一节主要介绍对数的概念、对数式与指数式的相互转化、对数的运算法那么和性质以及换底公式.a N =b 中，知道底数a 和指数N 求幂值b ，是上节内容中的指数问题，知道底数a 和幂值b 求指数N ，就是本节研究的对数问题.教学中要抓住指数和对数的关系这一关键，同时结合实际问题引入，有利于培养学生应用数学解决实际问题的意识.其次对于对数的性质及零和负数没有对数的理解也可以通过指数式来证明、验证.对数作为一种运算，除了认识运算符号“log 〞以外，更重要的是把握运算法那么，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，因此对数法那么的推导可以借助指数运算法那么来完成，推导过程又加深了对指数式和对数式的关系的认识，自然应成为本节的重点，应特别予以关注.换底公式是我们进行对数式的化简与求值过程中一个很重要的角色，教学中首先应明确它的推导过程以及公式存在的合理性，同时也应该认清这一公式的结构特征，为灵活运用公式打下坚实的基础.有了学习指数函数的图象和性质的学习经历，以及对数知识的知识准备，对数函数概念的引入、对数函数图象和性质的研究便水到渠成.对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受.在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为〔0，+∞〕的理解.在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数a 的值对于函数值变化的影响〔即对对数函数单调性的影响〕是教学的一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解.为了便于学生理解对数函数的性质，教学时可以先要学生在同一坐标系内画出函数y =log 2x 和y =log 21x 的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析它们的性质.有条件的学校也可以利用《几何画板》软件，定义变量a ，作出函数y =log a x 的图象，通过改变a 的值，在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图象和性质.研究了对数函数的图象和性质之后，可以将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质进行比较，以便加深学生对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出作一些准备.对数与对数运算〔1〕从容说课本课是对数学习的第一课时，首先从人口问题中引出对数的概念，让学生感受到对数的现实背景，使学生认识引进对数的必要性，激发学生学习的兴趣.本课主要学习对数的概念、指对数式的相互转化，同时，让学生了解常用对数以及自然对数的概念和记法，并尝试推导两个对数恒等式.本课的教学重点是理解对数式和指数式之间的关系以及对数式和指数式的相互转化.本课的教学难点是对数概念的理解以及对数符号的理解.a 和真数N 的限制条件，对于对数的性质及零和负数没有对数的理解也可以通过指数式来证明、验证，同时还可借助计算器或计算机计算真数为负数的情况，计算器或计算机会提示出错信息，以加深学生对“负数和零没有对数〞的理解.对数首先作为一种运算，是由a b=N 引出的，在这个式子中一个数a 和它的指数求幂的运算就是指数运算，而一个数和它的幂值求指数就是对数运算〔指数和幂值求这个数的运算就是开方运算〕，从方程角度来看，这个式子中有三个量，知二求一，恰好可以构成以上三种运算，这样引入对数运算是很自然，也是很重要的，这就完成了对a b=N的全面认识.此外，对数作为一种运算，除了认识运算符号“log〞以外，更重要的是把握其运算法那么.由于对数与指数在概念上相通，因此对数运算法那么的推导可以借助指数运算法那么来完成，在推导过程中可加深对指数式和对数式之间的关系的认识.对于对数运算符号的认识与理解是同学们认识对数的一个障碍，教学中可以将“log〞与其他符号如“+〞“〞等符号进行比较，指出“log〞和“+〞“〞等符号一样都表示一种运算，不过对数运算的符号写在有关数的前面而已.一开始学生会不习惯，在认识上感到有些困难，教学中可以多次组织学生使用这一运算符号，帮助学生突破这一障碍.三维目标一、知识与技能1.理解对数的概念.2.理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.3.了解自然对数和常用对数的概念以及对数恒等式.二、过程与方法1.通过探究对数的概念以及对数式和指数式之间的关系，明确数学概念的严谨性和科学性，感受化归的数学思想，使学生能用相互转化的观点辩证地看问题.2.通过计算器或计算机的演示，使学生加深对“N＞0〞的理解，培养学生数学地分析问题的意识.3.通过探究、思考、反思、完善，培养学生理性思维能力.三、情感态度与价值观1.通过具体实例引出对数的概念，使学生感受到数学源于实际生活，激发学生的学习兴趣.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对数概念理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.“对数的发展史〞不断了解数学、走进数学，增强学生的数学素养.教学重点1.对数式和指数式之间的关系.2.对数的概念以及对数式和指数式的相互转化.教学难点对数概念的理解以及对数符号的理解.教具准备多媒体课件、投影仪、计算器或计算机、打印好的作业.教学过程一、创设情景，引入新课〔多媒体投影我国人口增长情况分析图，并显示如下材料〕截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？〔精确到亿〕师：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，那么y=13×x.我们能从这个关系式中算出任意一个年头x的人口总数.反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿……〞该如何解决？〔生思考，师组织学生讨论得出〕由y x的图象可求出当y =1318、1320、1330时，相应的x x =1318x =1320x =1330……中分别求出x . x=1318中，要我们求解的量在什么位置？ 生：在等式左边的指数位置上.师：那么，要求x 的值，也就是让我们求指数式中的哪一个量？ 生：求指数x .师：这样，就出现了与前面学习指数时不同的一类问题——指数式的底数和幂值，求指数式的指数，这就是我们本节课所要研究的对数问题.〔引入新课，书写课题——对数〕 二、讲解新课〔一〕介绍对数的概念x=1318，那么x 1318的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？ 〔生合作探究，师适时归纳总结，引出对数的定义并板书〕一般地，如果a x=N 〔a ＞0，且a ≠1〕，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.合作探究：根据对数的概念写出几个对数式，同桌之间互相检查写法是否正确. 师：你如何理解“log 〞和log a N ？ 〔生探讨，得出如下结论〕知识拓展：符号“log 〞与“+，〞等符号一样表示一种运算，log a N 是一个整体，表示以a 为底N 的对数，不表示log 、a 、Na 为底N 的对数，注意a 应写在右下方.〔二〕概念理解合作探究：对数和指数幂之间有何关系？ 〔生交流探讨得出如下结论〕合作探究：是不是所有的实数都有对数呢？在对数式log a N =b 中，真数N 可以取哪些值？为什么？〔生讨论，结合指数式加以解释〕∵在指数式中幂N =a b＞0，∴在对数式中，真数N ＞0.〔师借助计算器或计算机进行示X 〕可以发现真数为负数时，计算器会提示出错信息. 师：条件N ＞0说明了什么？ 生：负数与零没有对数.合作探究：根据对数的定义以及对数式和指数式的关系，试求log a 1和log a a 〔a ＞0，且a ≠1〕的值.〔生根据对数式和指数式之间的关系，得出如下结论〕∵对任意a ＞0且a ≠1，都有a 0=1， ∴log a 1=0.同样，∵对任意a ＞0且a ≠1，都有a 1=a ，∴log a a =1.合作探究：a Na log =N 、log a a b=b 是否成立？〔师生共同讨论，给出如下解释〕〔1〕设a Na log =x ，那么log a N =log a x ，所以x =N ，即a Na log =N .〔2〕∵a b =a b ，∴log a a b=b 〔对数恒等式〕.师：对数运算在研究科学和了解自然中起了巨大的作用，其中有两类对数贡献最大，它们就是自然对数和常用对数.〔师指导学生阅读课本第57页常用对数和自然对数的概念和记法，然后板书〕 〔三〕常用对数通常将以10为底的对数称为常用对数，如log 102、log 1012等，并把对数log 10N 简记为lg N ，如lg2、lg12等.〔四〕自然对数…N 的自然对数log e N 一般简记为ln N ，如ln2、ln15等. 〔五〕例题讲解师：我们已经对对数的概念有了一定的理解，你能快速地完成下面练习吗？ 〔投影显示如下例题〕[例1] 将以下指数式化为对数式，对数式化为指数式：〔1〕54=625；〔2〕2－6=641；〔3〕〔31〕m=5.73；〔4〕log 2116=－4；〔5〕lg0.01=－2； 〔6〕ln10=2.303.方法引导：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色.〔生口答，师板书〕解：〔1〕log 5625=4；〔2〕log 2641=－6；〔3〕log 315.73=m ；〔4〕〔21〕－4=16；〔5〕10－2=0.01；〔6〕e=10.[例2] 求以下各式中的x 的值：〔1〕log 64x =－32；〔2〕log x 8=6；〔3〕lg100=x ；〔4〕－lne 2=x . 〔师生共同讨论，师板书〕 解：〔1〕因为log 64x =－32，所以x =6432-=〔43〕32-=4－2=161； 〔2〕因为log x 8=6，所以x 6=8，x =861=〔23〕61=221=2；〔3〕因为lg100=x ，所以10x=100，10x=102，于是x =2；〔4〕因为－lne 2=x ，所以lne 2=－x ，e 2=e －x，于是x =－2.方法小结：在解决对数式求值问题时，假设不能一下子看出结果，根据指数式与对数式的关系，首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质求出结果.〔六〕目标检测课本P 74练习第1，2，3，4题.〔生完成，师组织学生进行课堂评价〕解答：1.〔1〕log 28=3；〔2〕log 232=5；〔3〕log 221=－1；〔4〕log 2731=－31.2.〔1〕32=9；〔2〕53=125；〔3〕2－2=41；〔4〕3－4=811.3.〔1〕设x =log 525，那么5x =25=52，所以x =2；〔2〕设x =log 2161，那么2x=161=2－4，所以x =－4；〔3〕设x =lg1000，那么10x =1000=103，所以x =3；〔4〕设x =lg0.001，那么10x =0.001=10－3，所以x =－3. 4.〔1〕1；〔2〕0；〔3〕2；〔4〕2；〔5〕3；〔6〕5. 三、课堂小结 师：请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得哪些知识你已经掌握？哪些东西你还没有掌握？〔生总结，并互相交流讨论，师投影显示本课重点知识〕 1.对数的定义及其记法； 2.对数式和指数式的关系； 3.自然对数和常用对数的概念. 四、布置作业课本P 86习题组第1、2题. 板书设计对数与对数运算〔1〕一、例题解析及学生练习 例1 例2二、课堂小结与布置作业。
对数与对数函数说课
说课课题：对数函数各位老师，根据上周说课安排，我们到今天应该基本完成指数函数的教学，没有完成的，估计一次课就可以结束指数函数，开始进入对数函数的教学，因此，本周说课的主题为对数函数。
下面，我从对数函数教学内容，一周课时安排，教学分析，重点难点突破，教法设计，学法指导等方面进行说明。
不到之处，请大家指正和补充。
一、说教材1、本节知识结构本节知识分两个小节。
其一是对数与对数运算，牵涉的知识点有对数的定义，对数式与指数式的互化，对数的运算性质以及对数的初步应用；其二是对数函数及其性质，包括知识点有对数函数的定义，对数函数的图像，性质以及对数函数的初步应用，反函数的简单认识，另外，考虑适当补充复合函数的单调性判断方法，函数的图像变换等知识。
增补内容复合函数的单调性虽然是新教材弱化内容，但从课改区高考命题来看，该知识点无法回避，函数图象变换虽然在三角函数部分才系统学习，但目前研究函数有必要补充。
2、教材重点难点分析本节的重点是对数函数的概念、图像和性质。
理解对数的意义，符号，以及如何从对数函数的图像归纳出对数函数的性质，是教学中可能遇到的难点。
3、本节知识地位作用本节内容是在学习了指数函数后，进而学习的新一类基本初等函数-----对数函数。
由于对数与指数的对应关系，对数函数与指数函数着很多对应的性质，这在教学中要充分引起重视。
本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如归纳的思想、数形结合的思想、类比的思想等，同时，对数函数定义的引入问题，对数函数的应用等实际问题都能充分体现数学的应用价值。
教学中应予以重视，以体现数学的思想方法及价值。
二、说一周课时大致安排本周共有10节6次课，外加3个晚自习6节课，本节内容大纲课时安排是6节课，考虑到增补内容，习题处理，本周计划完成本节教学任务。
其中，指数函数补充1次课，对数与对数的运算2节课，对数函数及其性质2节课，性质应用2节课，增补内容1节课，自主调节2节课，晚自习处理作业和补充训练，若有可能，可进入幂函数教学。
高考数学讲义对数与对数函数.参考教案.教师版
对数运算和对数函数要求层次 重难点对数的概念及其运算性质 B 理解对数的概念掌握当底数1a >与01a <<时，对数函数的不同性质掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题换底公式A 对数函数的概念B 对数函数的图象和性质C指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数（0a >且1a ≠）B版块一：对数的定义和相关概念（一）知识内容<教师备案>在指数函数x y a =中，对于每个y +∈R ，存在唯一的x 与之对应，幂指数x 叫做以a 为底的y 的对数，这样从y 到x 的对应是指数运算的一个相反运算，让同学思考由函数的定义，判断这是否可以定义一种新的函数？这种运算和对应的函数有什么样的性质呢？1．对数：一般地，如果x a y =(0a >，且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底y 的对数，记作log a x y =，其中a 叫做对数的底数，y 叫做真数．关系式a xy指数式 x a y =底数(0,1)a a >≠ 指数(R)x ∈ 幂（值）(R )y +∈知识精讲高考要求对数与对数函数对数恒等式及对数的性质，对数log (0,1)a N a a >≠满足： ⑴零和负数没有对数； ⑵1的对数是零，即log 10a =； ⑶底的对数等于1，即log 1a a =．2．常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N ．3．自然对数：在科学技术中常使用以无理数 2.71828e =L 为底的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并且把log e N 记为ln N ．4．对数与指数间的关系：当0,1a a >≠时，log x a a N x N =⇔=． 5．指数和对数的互化：log b a a N N b =⇔=．log a N a N =，log N a a N =版块二：对数的运算性质和法则（一）知识内容1．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log(...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈⑷1log log a a N n=（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）<教师备案>以性质⑴为例进行证明如下：已知log a M ，log a N （M 、0N >），求log ()a MN设log a M p =，log a N q =，根据对数的定义，可得p M a =，q N a = 由p q MN a a =⋅p q a +=∴log ()log log a a a MN p q M N =+=+2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>）<教师备案>证明：法一：根据指数的运算性质推导 设log b N x =，则x b N =．两边取以a 为底的对数，得log log a a x b N =， 所以log log a a N x b =，即log log log a b a NN b=． 法二：根据对数恒等式及对数的运算性质推导由对数恒等式得：log log log log ()log b N b a a a N b b N ⋅==， 所以有log log log a b a NN b=． 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的．<教师备案>常见错误：log ()log log a a a M N M N ±=±；log ()log log a a a MN M N =⋅；log log log a aa MM N N=． 3．关于对数的恒等式①log a N a N =②log n a a n =③1log log a b b a =④log log n n a a M M =⑤log log log log a b a b M M N N=版块三：对数函数1．对数函数：我们把函数log (0a y x a =>且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞，值域为实数集R ．2．对数函数的图象和性质：一般地，对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象和性质如下表所示：<教师备案>因为对数函数与指数函数密切相关，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处与指数函数相对照．如：指数函数的值域(0,)+∞，变成了对数函数的定义域；而指数函数的定义域为实数集R ，则变成了对数函数的值域；同底的指数函数与对数函数的图象关于直线y x =对称等．【例1】 计算：26666[(1log 3)log 2log 18]log 4-+⋅÷ 【解析】 1；<教师备案>计算的前提是化简，运用对数的运算性质时，各部分变形要化到最简形式，同时注意分子和分母的联系【例2】 计算：24892(log 3log 9log 27...log 3)log 32()n n n n *++++⋅∈N【解析】 52；【例3】 计算：lg 0.5lg30153⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【解析】 从对数的定义和对数的运算性质出发，结合对数恒等式可求设lg30lg0.515()3x ⋅=，则lg30lg0.511lg lg[5()]lg30lg5lg lg0.533x =⋅=⋅+⋅(1lg3)lg5lg3(lg51)lg5lg3lg15=+--=+= 所以，15x =，即lg30lg0.515()153⋅=【例4】 （04-北京-模拟）已知18log 9a =，185b =． 用,a b 表示36log 45 【解析】 ∵ 18log 9a =，18log 5b =∴1818181818361818181818log 45log 9log 5log 9log 5log 4518log 36log 18log 22log 18log 9a ba+++====+-+【备选】 解方程： 2(lg )lg 10100x x x ⋅=【解析】 两边同时取对数：2(lg )lg lg lg100x x x +⋅=例题精讲22(lg )2x = ∴lg 1x =± ∴10x =或0.1x =<教师备案>将此题变为 “2(lg )lg 1020x x x +=”让学生思考作答，观察2(lg )lg 2lg10lg (lg )x x x x == 2(lg )lg lg lg 102201010x x x x x x x x ⇒=⇒=⇒=⇒=或0.1x =【例5】 已知6lg lg A p q =+，其中,p q 为素数，且满足29q p -=，求证：34A << 【解析】 由于,p q 为素数，其差29q p -=为奇数，∴2,31p q ==6lg lg lg1984A p q =+=，1000198410000<< 故34A <<【备选】 （2004-3121log 202x +>的解集为_______【解析】 原不等式等价于223331log 0222log 1000x x x x -++>⎪-⎨⎪>⎪>⎪⎩≥t =，则有23122t t t ⎧-+>⎪⎨⎪≥⎩ 解得01t <≤ ，即20log 11x -<≤ ∴24x <≤板块二：对数函数及其性质1．理解对数函数的概念，底数大于０且不等于１，真数为正．根据对数的性质可知：当底数和真数同在)1,0( 上或),1(∞+ 上时，对数为正；当真数为１时，对数为０；当底数和真数一个在)1,0( 上另一个在),1(∞+ 上时，对数为负．这在对数的大小和比较中有重要应用．2．理解对数函数与指数函数互为反函数，其图象关于x y =对称，单调性一致． 3．对数函数恒过点)0,1( ，要注意这个条件的灵活应用．即这个点是与底数a 无关的，不随a 的变化而变化．例如，函数1)2(log 2-+-=x x y a 0(>a 且)1≠a 恒过一定点，则该点的坐标为 ．我们知道01log =a ，这是与a 无关的一个等式，于是12=-x 则3=x ，从而8132=-=y ，故定点为)8,3( 4．掌握对数函数性质，在1>a 时，函数为增函数；在10<<a 时，函数减函数． 5．掌握对数函数图象的性质，在第一象限，沿着逆时针方向，a 逐渐变小．6．在对数函数的大小比较中，常见的方法是作差法、中间量法，在含绝对值的对数函数的大小比较时，还经常用到作商法和求和法（利用实数的性质），注意结合第1、第4、第五点进行大小比较时的灵活应用． 7．形如)(log 2b ax x y a ++=的函数定义域为R 或值域为R 时的等价转换．【备选】 已知函数log ()x a y a a =-，其中1a >，求它的定义域和值域． 【解析】 0x x a a a a ->⇒<，又1,x a a >Q 是增函数，1x ∴<∵x a a <，且0x a >，∴x a a a -<，log ()1x a a a ∴-<∴函数log ()x a y a a =-的定义域与值域分别是{|1}x x <，{|1}y y <<教师备案>求函数定义域、值域是一个复杂的问题，一定要引起足够的重视，求定义域时，观察、思考问题要全面，把限制条件要摆全、勿遗漏，对数函数的底、真数的允许值范围要记熟；求函数值域时，千万不要忘记函数的定义域．【例6】 已知5log 5log n m >，试确定m 和n 的关系．【解析】 这是一个真数相同底数不同的比较大小问题，应分各种情况予以讨论．令5log 1m y =，5log 2n y =，由于5log 5log n m >，它的函数图象可能有如下三种情况，如图在图⑴中n m <<1，在图⑵中10<<<n m ，在图⑶中1>m ，10<<n ．<教师备案>这类题型应数形结合，充分利用函数图象的直观性．【例7】 设10<<x ，0>a 且1≠a ，试比较|)1(log |x a -与|)1(log |x a +的大小． 【解析】 这是一道典型的比较大小的题目，其中a 与1的大小未确定，对数双在绝对值内，这就增加了解题的难度和解法的灵活性，此题解法较多．下面主要介绍作差法，平方法和作比法．解法1 作差法：∵10<<x ，∴211<+<x ，110<-<x ， 当10<<a 时，0)1(log >-x a ，0)1(log <+x a ， ∴)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |x x x x a a a a ++-=+-- )1(log )]1)(1[(log 2x x x a a -=+-=． ∵10<<x ， ∴1102<-<x ． 故0)1(log 2>-x a ． 因此 |)1(log ||)1(log |x x a a +>-．当1>a 时，0)1(log <-x a ，0)1(log >+x a ，∴)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |x x x x a a a a +---=+-- 0)1(log )]1)(1[(log 2>--=+--=x x x a a ． 因此|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．综上所述，当10<<x ，0>a 且1≠a 时，总有|)1(log ||)1(log |x x a a +>-． 解法2平方法：∵)1(log )1(log |)1(log ||)1(log |2222x x x x a a a a +--=+--)]1(log )1()][log 1(log )1([log x x x x a a a a ++-+--=)1(log 11log 2x xxa a-⋅+-= ∵10<<x ，∴1102<-<x ，10 1.1xx-<<+ 对于任意0>a 且1≠a ，)1(log 2x a -总与xxa +-11log 同号． 因此|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．解法3 作比法： ∵10<<x ，211<+<x ，110<-<x ，xx x x x x x x a a -=--=-=+-+++11log )1(log |)1(log ||)1(log ||)1(log |1111)1(log 11log 121=+>-+=++x x xx x． 因此|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．<教师备案>对于此题尽管同样是作差法、作比法，但过程却可千变万化，各具特色，巧妙之处常在某些“灵活”的处理上．如解析3中判断(1)1log 1x x+-与1的大小关系，处理得比较巧妙，避免了一系列的讨论．【例8】 设01a <<，,x y 满足：log 3log log 3a x x x a y +-=，如果y，求此时a 和x 的值．【解析】 由已知条件得22log 333log 3log log 3log 3(log )log log 24a a a a a a a a y x y x x x x x +-=⇒=-+=-+当3log 2a x =时，log a y 有最小值34∵01a << ∴y 有最大值34a ．依题意得33334224112()()24a -===∴14a =，此时332211()48x a ===．【例9】 当a为何值时，不等式215log 1)log (6)log 30a ax ax ⋅+++≥有且只有一解【解析】 易知：0a >且1a ≠，设25u x ax =++，原不等式可化为5331log (1)0log u a++≥⑴ 当01a <<时，原不等式为35log 1)log (1)1u ⋅+≥ ⑴由于当0u ≥时，3log 1)与5log (1)u +均为单调增函数，所以它们的乘积35()log 1)log (1)f u u =+⋅+也是单增函数因为35(4)log (21)log (41)1f =+⋅+=所以⑴等价于4u ≥，即254x ax ++≥此不等式有无穷多解 ⑵当1a >时，不等式化为35log 1)log (1)1u ⋅+≤⑵ 由(4)1f =知，⑵等价于04u ≤≤，即2054x ax ++≤≤从上式可知，只有当254x ax ++=有唯一解即240a ∆=-=时，不等式2054x ax ++≤≤有唯一解1x =-综上所述，当2a =时原不等式有且只有一个解．【备选】 （00-京皖春季-理T21）设函数()|lg |f x x =，若0a b <<，且()()f a f b >，证明：1ab <【解析】 证法一：由已知 lg ,[1,)()|lg |lg ,(0,1)x x f x x x x ∈+∞⎧==⎨-∈⎩∵0,()()a b f a f b <<> ∴,a b 不能同时在区间[1,)+∞上． 又由于0a b <<，故必有(0,1)a ∈若(0,1)b ∈，显然有1ab <． 若[1,)b ∈+∞，由()()0f a f b -> 有lg lg 0a b -->，故lg 0ab < 1ab ∴<证法二：有题设()()f a f b >，即|lg ||lg |a b >，上式等价于22(lg )(lg )a b >(lg lg )(lg lg )0a b a b +->，lg()lg0aab b> 由已知0b a >>，1a b ∴< lg 0ab∴<，lg()0,01ab ab ∴<<<【备选】 设124()min(3log ,log )f x x x =+，其中min(,)p q 表示p 、q 中的较小者，求()f x 的最大值【解析】 易知()f x 的定义域为(0,)+∞因为1143log y x =+在(0,)+∞上是减函数，22log y x =在(0,)+∞上是增函数，而当12y y =，即1243log log x x +=时，4x =，所以由1143log y x =+和22log y x =的图象可知1423log ()log x f x x+⎧⎪=⎨⎪⎩ (4)(04)x x <<≥ 故当4x =时，得()f x 的最大值是2 另解：1241()3log 3log 2f x x x =+=-⑴2()log f x x = ⑵⑴×2+⑵消去2log x ，得()2f x = 又(4)2f =，故()f x 的最大值为2板块三：指数函数与对数函数<教师备案>1． 复习指数函数、对数函数的概念2． 反函数的概念：一般地，函数()y f x =中x 是自变量，y 是x 的函数，设它的定义域为A ，值域为C ，由()y f x =可得()x y φ=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过()x y φ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么()x y φ=就表示x 是自变量y 的函数． 这样的函数()x y φ=，y C ∈叫函数()y f x =的反函数，记作：1()x f y -=． 习惯上，用x 表示自变量，y 表示函数，因此()y f x =的反函数1()x f y -=2y x =通常改写成：1()y f x -=注：①明确反函数存在的条件：当一个函数是一一映射时函数有反函数，否则如等均无反函数② ()y f x =与1()y f x -=互为反函数③()y f x =的定义域、值域分别是反函数1()y f x -=的值域、定义域3． 奇函数若有反函数，则反函数仍是奇函数，偶函数若存在反函数，则其定义域为{0}；若函数()y f x =是增（减）函数，则其反函数1()y f x -=是增（减）函数． 4． 求反函数的步骤：由()y f x =解出1()x f y -=，注意由原函数定义域确定单值对应；交换,x y ，得1()y f x -=；根据()y f x =的值域，写出1()y f x -=的定义域．【备选】 求下列函数的反函数：①31()y x x =-∈R ； ②31()y x x =+∈R ；③1(0)y x =+≥； ④23(,1)1x y x x x +=∈≠-R 【解析】 略．【铺垫】函数2()log 2f x x =-，则1()f x -的定义域是（ ） A ．R B ． [)2,-+∞ C ．[)1,+∞ D ．()0,1 【解析】 A ;即函数2()log 2f x x =-的值域．【例10】 求函数11x x e y e +=-，()0,x ∈+∞的反函数．【解析】 ∵ 12111x e y x x e e +==+--，∴211x e y =+-， 即11x y e y +=-，∴1ln 1y x y +=-，∵0x >,∴1x e >．∴2111x y e =+>－． ∴11x x e y e +=-，()0,x ∈+∞的反函数为1ln 1x y x +=-()1x >．【例11】 已知函数21()21x f x x ⎧-=⎨-⎩，求它的反函数.【解析】1()12f x x -=⎨+⎪⎩ 11x x -<-≥<教师备案>分段函数的反函数仍是分段函数，在求其反函数时，要在每一段上分别求出它的反函数，然后分段写出，要特别注意定义域的限制作用．【例12】 已知xa x f =)(，x x gb log )(-=，且0lg lg =+b a ，1≠a ，1≠b ．则)(x f y =与)(x g y =的图象 （ ）A ．关于直线0=+y x 对称；B ．关于直线0=-y x 对称；C ．关于y 轴对称；D ．关于原点对称．【解析】 此题可以采用的方法有：①分情况讨论a 和b ；②给a 和b 赋特殊值；③求出两个函数的解析式．下面给出③的解析过程． 由0lg lg =+b a 得1=ab ，∴x x x x g a a b log log log )(1=-=-=-．∴)(x f y =与)(x g y =的图象关于直线0=-y x 对称，故选B ．<教师备案>由0lg lg =+b a 去掉a 或者b ，再进行比较，关于直线0=+y x 对称的两点坐标为(,)x y ，),(x y -- ；关于直线0=-y x 对称的两点坐标为(,)x y 和(,)y x ．【备选】 （04-全国-理15）已知函数()y f x =是奇函数，当0x ≥时，()31x f x =-，设()f x 的反函数是()yg x =，则(8)g -=【解析】 由奇函数得当0x <时，()31x f x --=-+即31()31xx f x -⎧-⎪=⎨-+⎪⎩ 00x x <≥又由()y f x =与()y g x =互为反函数，可知求(8)g -即求()8f x =-时的x ．由()31x f x =-(0)x ≥知值域为[0,)+∞ 由()31x f x -=--(0)x <知值域为(,0]-∞故(8)g -即为求318x ---=-，2x ∴=-，即(8)2g -=-【备选】 已知实数0,1a a ≠≠，函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠ 求证：函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a ≠的图象关于直线y x =成轴对称图形． 【解析】 要证明函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠的图象关于直线y x =成轴对称图形，只要证明该函数的反函数是其自身，即该函数与它的反函数是同一个函数．由1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠，得(1)1y ax x -=- (1)1ay x y ∴-=- 若10ay -=，则1y a=，代入11x y ax -=-，得111x a ax -=-从而1ax a ax -=-1a ∴=，与已知矛盾，故10ay -≠ 于是，由(1)1ay x y -=-，得11()1y x y ay a -=≠-（1y a≠可通过变量分离法直接得到）∴函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a ≠的反函数为1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠，即为自身故函数1(,1x y x ax -=∈-R 且1)x a≠的图象关于直线y x =成轴对称图形【例13】 设,a b 分别是方程2log 30x x +-=和230x x +-=的根，求a b +及2log 2b a + 【解析】 在直角坐标系内分别作出函数2x y =和2log y x =的图象，再作直线y x =和3y x =-+，由于2x y =和2log y x =互为反函数，故它们的图象关于直线y x =对称，方程2log 30x x +-=的根a 就是直线3y x =-+与对数曲线2log y x =的交点A 的横坐标，方程230x x +-=的根b 就是直线3y x =-+与指数曲线2x y =的交点B 的横坐标设3y x =-+与y x =的交点为M ，则点M 的坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以23M a b x +== 2log 223b M a y +==习题1. 已知()2x f x =，则方程11(1)()1f x f x ---+=的解集为_________． 【解析】 12()log f x x -=，所以方程11(1)()1f x f x ---+=，即22log (1)log 1x x -+=，即(1)2x x -=，解得2x =或1x =-．又0x >，故2x =．习题2. 已知函数()3x f x =，且1(18)2f a -=+，()34ax x g x =-． ⑴求a 的值；⑵求()g x 的表达式；⑶当[1,1]x ∈-时，()g x 的值域并判断()g x 的单调性． 【解析】 ⑴13()log f x x -=，3log 182a =+，3log 2a ∴=⑵3log 2()(3)4(3)424a x x x x x x g x =-=-=-⑶令2x u =，∵11x -≤≤，则122u ≤≤，2211()()()24g x u u u u φ==-=--+当12u =时，max 1()4u φ=；当2u =时，min ()2u φ=－．∴()g x 的值域为1[2,]4-当11x -≤≤时，122u ≤≤，()u φ为减函数，而2x u =为增函数．∴ ()g x 在[1,1]-上为减函数．习题3. 2(lg 27lg8lg 1000)lg 3lg91+--+【解析】 32-习题4. 已知,,x y z R +∈，346x y z ==家庭作业（1）求证：1112z x y-=；（2）比较3,4,6x y z 的大小；【解析】 设346x y z t ===，由0,x >知1t >故取以t 为底的对数，可得 log 3log 4log 61t t t x y z === 1log 3t x ∴=，1log 4t y =，1log 6t z = ⑴易证：1112z x y-=⑵64lg8134lg 0lg3lg 4x y t -=⋅<⋅Q 34x y ∴< 又2lg 46(lg36lg64)0lg 4lg6ty z -=-<⋅46y z ∴< 346x y z ∴<<习题5. 已知)(log )(x a a a x f -=)1(>a ，⑴求)(x f 的定义域和值域； ⑵判断函数的单调性并证明；⑶解不等12(2)()f x f x -->【解析】 ⑴(),1-∞，(),1-∞ ；⑵减函数；⑶11x -<<习题6. 如图曲线是对数函数x y a log =的图象，已知a 的取值4313,,,3510，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的a 值依次是 ．【解析】 C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次是4313,,,3510．习题7. 设0,1,(),()x x x x a a f x a a g x a a -->≠=-=+且()()4,()()8f x f y g x g y ==．求,x y 的值【解析】 2222222211(2)(2)1611(2)(2)64x yx y x y x y a a a a a a a a ⎧+-+-=⎪⎪⎨⎪++++=⎪⎩令222211,x yx ym a n a a a=+=+ 解得6m n == ，即log (21)a x y ==±习题8. 设}1,0{ =M ，}2lg 11{a a a N a，， ， -=，是否存在a 的值，使}1{=N M I ． 【解析】 不存在a 的值，使}1{=N M I1. 解方程：2lg [lg ]20x x --= （其中[]x 表示不大于实数x 的最大整数） 【解析】 由[]x 的定义知，[]x x ≤，故原方程可变为不等式：2lg lg 20x x --≤即1lg 2x -≤≤当1lg 0x -<≤时，[lg ]1x =-，于是原方程为2lg 1x =，lg 1x =-，110x =当0lg 1x <≤时，[lg ]0x =，原方程为2lg 2x =，lg 2x =均不符合[lg ]0x = 当1lg 2x <≤时，[lg ]1x =，原方程为2lg 3x =，所以lg 3x =，310x =当lg 2x =时，100x = 所以原方程的解为1110x =，3210x =，3100x =2. 方程x x 3)3(log 2=+有多少个实数根．【解析】 可用数形结合的办法，作出函数2log (3)y x =+及3x y =的图象，如图可知，两交点A 、B 的横坐标即为原方程的解，故个数为2个．3. 设]1)(2[log 225.0+-+=xx x b ab a y ，a ，b 都是正实数，求使y 取负值时x 的取值范围．【解析】 依据01log =a ，当)1,0( ∈a ，1>t ，0log <=t y a ，将对数式转化为指数不等式；再将指数式转化为一元二次不等式来求解．要使0<y ，须使11)(222>+-+x x x b ab a ，即 0)(222>-+x x x b ab a ． 又因a 、b 均为正数，两边同除以x b 2，则01)(2)(2>-+x x ba b a．由ab +∈R ，所以12)(->x ba ．若0>>b a ，则1>b a，)),12((log ∞+-∈ ba x ． 月测备选若0>=b a ，则1=ba，不等式恒成立．所以x ∈R ． <教师备案>通常对于较复杂的对数，指数运算，一方面要注意互化，另一方面还要注意等价转化，对含有字母的式子，要注意对底数的讨论．4. 设0,1,(),()x x x x a a f x a a g x a a -->≠=-=+且()()4,()()8f x f y g x g y ==．求,x y 的值．【解析】 2222222211(2)(2)1611(2)(2)64x yx y x y x y a a a a a a a a ⎧+-+-=⎪⎪⎨⎪++++=⎪⎩令222211,x yx ym a n a a a =+=+解得6m n ==，即log 1)a x y ==5. 设函数21()2ax y f x x b+==-的图象关于直线y x =对称，求,a b 应满足的条件． 【解析】 由已知得，函数21()2ax y f x x b+==-的反函数就是它自身，可以利用系数对应相等，或给x 附值法． 比较系数得2b a =，此即,a b 所满足的关系．6. 已知0a >且1a ≠，试求使方程22)log ()a x ak x a -=-有解的k 的取值范围 【解析】 原方程即log ()log a a x ak -=即0x ak <-<分别解关于xa 的不等式、方程得：212x k k a k +<= （0k ≠时）所以212k k k+<，解得1k <-或01k <<又当0k =时，代入原式可推出0a =与已知矛盾，故k 的取值范围为(,1)(0,1)-∞-U。
对数及对数函数教案
对数教学目的：（1）理解对数的概念；（2）能够说明对数与指数的关系； （3）掌握对数式与指数式的相互转化．教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化 教学难点：对数概念的理解． 教学过程： 一、引入课题1． （对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要性；设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神． 2． 尝试解决本小节开始提出的问题． 二、新课教学1．对数的概念一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ），记作：N x a log =a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =⇔=log ； ○3 注意对数的书写格式． 思考：○1 为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ； ○2 是否是所有的实数都有对数呢？ 设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备． 两个重要对数：○1 常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ；○2 自然对数（natural logarithm ）：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．2． 对数式与指数式的互化x N a =log⇔N a x =对数式 ⇔ 指数式 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂例1．（教材P 73例1） 巩固练习：（教材P 74练习1、2）设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念．说明：本例题和练习均让学生独立阅读思考完成，并指出对数式与指数式的互化中应注意哪些问题．3． 对数的性质 （学生活动）○1 阅读教材P 73例2，指出其中求x 的依据； ○2 独立思考完成教材P 74练习3、4，指出其中蕴含的结论 对数的性质（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01log =a ； （3）底数的对数是1：1log =a a ；（4）对数恒等式：N aNa =log ；（5）n a n a =log ．三、归纳小结，强化思想○1 引入对数的必要性； ○2 指数与对数的关系； ○3 对数的基本性质． 四、作业布置教材P 86习题2．2（A 组） 第1、2题，（B 组） 第1题．课题：§2.2.1对数的运算性质教学目的：（1）理解对数的运算性质；（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； （3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数 教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用． 教学过程： 五、引入课题3． 对数的定义：b N N a a b =⇔=log ； 4． 对数恒等式：b a N ab a Na ==log ,log ；六、新课教学1．对数的运算性质 提出问题：根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：○1 设m a =2log ，n a =3log ，求n m a +； ○2 设m M a =log ，n N a =log ，试利用m 、n 表示M a (log ·)N ． （学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）运算性质：学生活动：○1 阅读教材Ｐ75例3、4，；设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质． ○2 完成教材Ｐ79练习1~3 设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识． 4． 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法． 思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解1318log 01.1的值？从而引入换底公式．5． 换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 学生活动○1 根据对数的定义推导对数的换底公式． 设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系． ○2 思考完成教材P 76问题（即本小节开始提出的问题）； ○3 利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a na m log log =；（2）ab b a log 1log =．设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数． 6． 课堂练习○1 教材Ｐ79练习4 ○2 已知的值。
对数与对数函数-范良花
高新学习中心学科教师辅导讲义(3)log aMN＝log a M －log a N (a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0)． 证明：设log a M ＝p ，log a N ＝q ，由对数定义，得a p ＝M ，a q ＝N .由指数的运算性质，得p q M a N a ＝a p ·a －q ＝a p －q .∴log a M N ＝p －q ，即log a M N＝log a M －log a N . 5．对数的运算性质记忆口诀：积的对数变加法，商的对数变减法，幂的乘方取对数，要把指数提到前． 5．换底公式对数换底公式为：log b N ＝log a Nlog a b a ，b >0，a ，b ≠1，N证明：设x ＝log b N ，根据对数定义，有N ＝b x .根据相等的两个正数的同底对数相等，两边取以a 为底的对数，得log a N ＝log a b x ， 而log a b x ＝x log a b ，所以log a N ＝x log a b . 由于b ≠1，则log a b ≠0，解出x ，得x ＝log a Nlog a b ，因为x ＝log b N ，所以log b N ＝log a N log a b .由换底公式容易得到log b a ＝1log a b. （二）对数函数 1．对数函数的概念一般地，函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)叫作对数函数，a 叫作对数函数的底数，特别地，我们称以10为底的对数函数y ＝lg x 为常用对数函数；称以无理数e 为底的对数函数y ＝ln x 为自然对数函数． 谈重点 对数函数解析式的结构特征在对数函数y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，对数的底数a 是一个大于0而不等于1的常数，对数的真数仅有自变量x .有些函数貌似不是对数函数，实际上却是，如y ＝2log a x (a ＞0，a ≠1)，y ＝log 2x 都是对数函数，因为y ＝2log a x ＝logax ，y ＝log 2x ＝12log 2x ＝log 4x .2．同底的指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系指数函数y ＝a x 和对数函数x ＝log a y 刻画的是同一对变量x ，y 之间的关系，所不同的是：在指数函数y ＝a x 中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域为R ，值域是(0，＋∞)；在对数函数x ＝log a y 中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域为(0，＋∞)，值域是R .像这样的两个函数叫作互为反函数，就是说，对数函数y ＝log a x 是指数函数y ＝a x 的反函数，指数函数y ＝a x 也是对数函数y ＝log a x 的反函数．通常情况下，x 表示自变量，y 表示函数，所以对数函数应该表示为y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)，指数函数表示为y ＝a x (a ＞0，a ≠1)．因此，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)是对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的反函数；同时，对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)也是指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的反函数． 破疑点 反函数是一种函数吗？我们知道，一个学生不能说是同桌，同桌是两个学生之间的关系，不能独立存在．反函数也是如此，一个函数不能说是不是反函数，只有两个函数之间才能说是否具有反函数的关系，即反函数是两个函数之间的相互关系，且成对出现．例如，函数y ＝log 7x 的反函数是y ＝7x .同样，函数y ＝7x 的反函数是y ＝log 7x . 3．对数函数y ＝log 2x 的图像和性质(1)画对数函数y ＝log 2x 的图像，可以有两种不同的方法：①描点法；②变换法：画出函数x ＝log 2y 的图像，再变换这种变换法经历了由指数函数到对数函数的过程，体现了两个函数间的关系．但是，也要看出，要画出给定的对数函数的图像，这种方法是不方便的，通常还是用描点法画图．的图像可知，函数y＝log2x有如下性质：图像恒过点(1,0)，即x轴右边，表示零和负数没有对数；当x＞1时，y＝log2x的图像位于x轴上方，即x＞1轴下方，即0＜x＜1时，y＜0；函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．过点(1,0)时，y＝0当x＞1时，y＞0，当x＞1时，y＜0，当0＜x＜1时，y＞)可根据对数、常用对数和自然对数的概念以及对数式与指数式的转化，对各结论进行判断．由于(2013～2014学年度河北衡水中学高一期中测试)若[答案] A 点P (lg a ，lg b )关于x 轴的对称点为(lg a ，－lg b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ lg a ＝0－lg b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝10. 5．若f (10x )＝x ，则f (3)的值为( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103D ．310[答案] B ∵f (10x )＝x ，令10x ＝t ，∴x ＝lg t ，∴f (t )＝lg t ，∴f (3)＝lg3. 6．log 7(log 3x )＝－1，则x 的值为( ) A. 17 B ．13C ．317D ．713[答案] C ∵log 7(log 3x )＝－1，∴log 3x ＝7－1＝17，∴x ＝317 .7．若f (4x )＝x ，则f (2)等于( ) A ．42 B ．24 C. 12D ．2[答案] C 令4x ＝2，则x ＝12，故选C.8．下列语句正确的是( )①对数式log a N ＝b 与指数式a b ＝N (a ＞0，且a ≠1)是同一关系式的两种不同表示方法； ②若a b ＝N (a ＞0，且a ≠1)，则a log a N ＝N 一定成立；③对数的底数为任意正实数； ④log a a b ＝b ，对于一切a ＞0且a ≠1恒成立． A ．①②③④ B ．①②④ C ．①③④D ．②③④ [答案] B ③错，对数的底数不能为1，排除A 、C 、D ，故选B. 9．若log 3[log 4(log 5a )]＝log 4[log 3(log 5b )]＝0，则ab 等于( )A ．4B ．5C ．3D ．15[答案] B ∵log 3[log 4(log 5a )]＝log 4[log 3(log 5b )]＝0，∴log 4(log 5a )＝1，log 3(log 5b )＝1，∴log 5a ＝4，log 5b ＝3， ∴a ＝54，b ＝53，∴ab＝5.10．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. [答案] －3 由对数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞01－x ≠1＋x2≠0＋x 2＝1－x，解得x ＝－3.11．若log x (2＋3)＝－1，则x ＝________.[答案] 2－ 3 ∵log x (2＋3)＝－1，∴x －1＝2＋3，∴1x ＝2＋3，∴x ＝12＋3＝2－ 3.5．（2013浙江）已知x,y 为正实数,则 ( ) A.2lgx+lgy =2lgx +2lgy B.2lg(x+y)=2lgx ·2lgyC.2lgx·lgy =2lgx +2lgyD.2lg(xy)=2lgx ·2lgy【解析】选D.选项A,2lgx+lgy =2lgx ·2lgy ,故A 错误;选项B,2lgx ·2lgy =2lgx+lgy ≠2lg(x+y),故B 错误;选项C,2lgx·lgy =(2lgx )lgy ,故C 错误.6．方程2log 3x ＝14的解是( )A.33B ．3C ．19D ．9[答案] C [解析] ∵2 log 3x ＝14＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.7．(lg5)2＋lg2·lg5＋lg20的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] C [解析] (lg5)2＋lg2·lg5＋lg20＝lg5(lg5＋lg2)＋lg20＝lg5＋lg20＝lg100＝2. 8．(2013·四川)lg 5＋lg 20的值是________．[答案] 1 [解析] lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg10＝1. 9．log 63＝0.6131，log 6x ＝0.3869，则x ＝________.[答案] 2 [解析] log 6x ＝0.3869＝1－0.6131＝1－log 63 ＝log 66－log 63＝log 663＝log 62，∴x ＝2.10．log (2＋1)(3－22)的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3[答案] B [解析] log (2＋1)(3－22)＝log (2＋1)12＋2＝log (2＋1)(2＋1)－2＝－2.11．已知|lg a |＝|lg b |，(a ＞0，b ＞0)，那么( ) A ．a ＝b B ．a ＝b 或a ·b ＝1 C ．a ＝±bD ．a ·b ＝1[答案] B [解析] ∵|lg a |＝|lg b |；∴lg a ＝±lg b .∴lg a ＝lg b 或lg a ＝lg 1b ，∴a ＝b 或a ＝1b .12．某企业的年产值每一年比上一年增长p %，经过n 年产值翻了一番，则n 等于( ) A ．2(1＋p %) B ．log (1＋p %)2 C ．log 2(1＋p %)D ．log 2(1＋p %)2[答案] B [解析] 由题意得1·(1＋p %)n ＝2，∴n ＝log (1＋p %)2. 13、2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3[答案] B [解析]2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝lg4＋lg3lg10＋lg0.6＋lg2＝lg12lg12＝1.14．已知log 32＝a ，则2log 36＋log 30.5＝________.[答案] 2＋a [解析] 2log 36＋log 30.5＝log 336＋log 30.5＝log 3(36×0.5)＝log 318＝log 39＋log 32＝log 332＋log 32＝2＋a . 15．方程lg x 2－lg(x ＋2)＝0的解集是________．[答案] {－1,2} [解析] ∵lg x 2－lg(x ＋2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0x ＋2＞0x 2＝x ＋2，解得x ＝－1或x ＝2.∴方程lg x 2－lg(x ＋2)＝0的解集为{－1,2}． 16．计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 2＋lg3－lg 10lg1.8. [解析] (1)原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12.(2)原式＝12＋lg9－lg1.8＝12lg1.8lg1.8＝12.17．计算：2723 －2log 23×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)．[解析] 2723 －2 log 23×log 218＋2lg(3＋5＋3－5)＝(33) 23 －3×log 22－3＋lg(3＋5＋3－5)2＝9＋9＋lg10＝19.18．(1)设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a2m ＋n的值； 吧 (2)设x ＝log 23，求22x ＋2－2x ＋22x ＋2－x的值． [解析] (1)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝(a log a 2)2·a log a 3＝4×3＝12. (2)22x ＋2－2x ＋22x ＋2－x＝x ＋2－x22x ＋2－x＝2x ＋2－x ＝2 log 23＋(2 log 23)－1＝3＋13＝103.19．计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2. [解析](1)原式＝log 2748＋log 212－log 242＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫748×142×12＝log 2⎝⎛⎭⎫16×8×16×12＝log 228＝log 22－12 ＝－12. (2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)＝2＋lg5＋lg2＝2＋1＝3. 题型三 对数函数及其性质【例】下列函数是对数函数的是________(填序号)．(1)y ＝4x ；(2)y ＝log x 2； (3)y ＝－log 3x ；(4)y ＝0.4log x ；(5)y ＝log (2a －1)x (12a >，且a ≠1，x 是自变量)；(6)y ＝log 2(x ＋1)．答案：(3)(4)(5)【例】写出下列函数的反函数：上是增函数，则a＞1.答案：D 的图像，已知a的取值分别为3的取值范围是()．的图像，由图像可知，log26＞log36.，∴log34＞log43.上是增函数，5.1＜5.9，故log a5.1＜log a5.9.当0＜a＜1时，函数y＝log a x在(0，＋(6)＜5，则a，b，c的大小关系为(2．下列函数为对数函数的是( ) A ．y ＝log a x ＋1(a ＞0且a ≠1) B ．y ＝log a (2x )(a ＞0且a ≠1) C ．y ＝log (a －1)x (a ＞1且a ≠2) D ．y ＝2log a x (a ＞0且a ≠1)[答案] C [解析] 根据对数函数的定义可知选C.3．已知{}2,log |2<==x x y y A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<==2,)21(|x y y B x，则B A ⋂=（ ）A ．φB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, [答案] B4．函数()()1,0log ≠>=a a x x f a ，若()2010201021=⋅⋅⋅x x x f ，则()()()220102221x f x f x f +⋅⋅⋅++= ．[答案] 40205．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1＋x log 2x 2－x，则f [f (2)]的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D [解析] ∵x ≥2时，f (x )＝log 2(x 2－2)，∴f (2)＝log 2(4－2)＝log 22＝1， 又∵x <2时，f (x )＝2e x －1＋1，∴f (1)＝2e 0＋1＝2＋1＝3，∴f [f (2)]＝f (1)＝3.6．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的2倍，则a 的值为( ) A.22 B ．14C.24D ．12[答案] B [解析] ∵函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝log a a ＝1，f (x )min ＝f (2a )＝log a (2a )＝log a 2＋log a a ＝log a 2＋1，由题意，得1＝2log a 2＋2，∴2log a 2＝－1，∴log a 2＝－12，∴a ＝14.7．已知a >0且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是下图中的( )[答案] B [解析] ∵函数y ＝log a (－x )中，－x >0，∴x <0，故其图象应在y 轴左侧，排除A 、D ； 又函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的单调性相反，排除C ，故选B.8．函数y ＝－x x ＋1的定义域为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．[－1,1)D ．(－1,1)[答案] D [解析] 本题主要考查函数定义域的求解．为使函数y ＝－x x ＋1有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，得函数y ＝－x x ＋1的定义域为(－1,1)，故选D.9．（2012江苏）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ． 【答案】(0 6⎤⎦，。
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＋
)＝ln
＝ln(x＋
)－1＝－f(x)．因此f(x)为奇函数．
(2)由f(x)＝ln(2＋ )，即x＋
变式2. 若函数f(x)满足对于(0，＋∞)上的任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)， 且x>1时 f(x)>0，试证： (1)f( )＝f(x)－f(y)；(2)f(x)＝－f( )；(3)f(x)在(0，＋∞)上递增． 证明：(1)由已知f( )＋f(y)＝f(x)，即f(x)－f(y)＝f( )． (2)令x＝y＝1，则f(
利用对数函数的图象和性质可研究与对数函数相关的复合函数的图象和性 质，
比如函数y＝lg(ax＋b)，y＝lg(ax2＋bx＋c)， y＝
y＝ln(x＋
)等．
【例3】设f(x)＝lg
是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.解之，得a＝－1.∴f(x)＝lg
则0<
<1，∴x∈(－1，0)．
.令f(x)<0，
答案：A
变式3.已知函数f(x)＝ln(x＋
)
(1)证明f(x)为奇函数；(2)若f(x)＝ln(2＋ )，求x的值．
解答：(1)证明：∵x＋
>x＋|x|≥0，∴f(x)的定义域为R.f(－x)＝ln(－x
A．0.76<log0.76<60.7
B．0.76<60.7<log0.76
C．log0.76<60.7<0.76
D．log0.76<0.76<60.7
解 析 ： 首 先 看 这 三 个 数 的 符 号 ， log0.76 是 负 数 ， 而 0.76 和 60.7 都 是 正 数 ， 因 此 log0.76最小，排除A、B.又0<0.76<1，而60.7>1，则0.76<1<60.7.
(1)log3 32与log5 56; (2)log1.10.7与log1.20.7;
(3)已知 lo1gblo1galo1gc,比较2b,2a,2c的大
2
2
2
小关系.
解
（1）∵ log
3
2 3
<log31;log51=0,
∴
log3
2 3
log5 56.
(2)方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2,
答案：D
4．(2010·黄冈月考)已知函数f(x)＝lg
，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )
A.
B．－
C．－b
D．b
解析：函数f(x)的定义域为－1＜x＜1，又f(－x)＝lg
＝lg
－1＝
－lg
＝－f(x)，则f(x)为奇函数，f(－a)＝－f(a)＝－b.
答案：C
5 比较下列各组数的大小.
第9课时 对数与对数函数
掌握对数的定义和运算性质/掌握对数函数的图象和性质
1．定义 一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N 的数，记作logaN＝b，a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．重要公式 (1)负数与零没有对数；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)对数恒等式alogaN＝N.
6．对数函数的性质
2．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 ， 则a等于 ( )
A.
B．2
C．2
D．4
解析：根据已知条件loga(2a)－logaa＝ ，整理得：loga2＝ ，则 ＝2， 即a＝4.
答案：D
3．三个数60.7、0.76、log0.76的大小顺序是( )
∴0>log0.71.1>log0.71.2, 1 1 ,
lo0g.71.1 lo0g.71.2 即由换底公式可得log1.10.7<log1.20.7.
方法二 作出y=log1.1x与 y=log1.2x的图象. 如图所示两图象与x=0.7相
交可知log1.10.7<log1.20.7.
(3)∵ y log 1 x 为减函数，
2
且 lo1gblo1galo1gc,
2
2
2
∴b>a>c,而y=2x是增函数，∴2b>2a>2c.
对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对 数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与 对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化．
解答：(1)原式＝
.
(2)原式＝(lg 2＋lg 5)(lg22－lg 2lg 5＋lg25)＋3lg 2lg 5
＝lg22＋2lg 2lg 5＋lg25＝(lg 2＋lg 5)2＝1.
(3)解法一：原式＝
解法二：原式＝
变式1.(1)若2a＝5b＝10，求＋ 的值．(2)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值．
解答：(1)由已知a＝log210，b＝log510，则
＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
(2)由已知x＝log43，则
对数函数与指数函数互为反函数，在解决与对数函数相关的问题可类比指数 函数问题，不仅要注意二者之间的联系，同时更要明确二者之间的区别．
【例2】 设函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)>f(b)，证明：ab<1. 证明：证法一：由题设f(a)>f(b)，即|lg a|>|lg b|. 上式等价于lg2a>lg2b，即：(lg a＋lg b)(lg a－lg b)>0， lg(ab)lg >0，由已知b>a>0，得0< <1.∴lg<0，故lg (ab)<0，∴ab<1. 证法二：数形结合，函数y＝|lg x|的图象如图，由0<a<b且f(a)>f(b)可得两种 情况，①0<a<b<1，则ab<1或②0<a<1，b>1，则lg a<0，lg b>0. 故f(a)>f(b)等价于－lg a>lg b，即lg a＋lg b<0，可得lg(ab)<0，故ab<1.
3．积、商、幂的对数运算法则 如果a>0，a≠1，M >0，N>0有：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga ＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
4．对数换底公式
logaN＝
(a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)
5．对数函数的定义
函数y＝logax(a>0且a≠1)叫做对数函数，它是指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的反数．