对数与对数函数备课讲稿

∴0>log0.71.1>log0.71.2, 1 1 ,
lo0g.71.1 lo0g.71.2 即由换底公式可得log1.10.7<log1.20.7.
方法二 作出y=log1.1x与 y=log1.2x的图象. 如图所示两图象与x=0.7相
交可知log1.10.7<log1.20.7.
(3)∵ y log 1 x 为减函数，
第9课时 对数与对数函数
掌握对数的定义和运算性质/掌握对数函数的图象和性质
1．定义 一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N 的数，记作logaN＝b，a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．重要公式 (1)负数与零没有对数；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)对数恒等式alogaN＝N.
2
且 lo1gblo1galo1gc,
2
2
2
∴b>a>c,而y=2x是增函数，∴2b>2a>2c.
对数源于指数，对数与指数互为逆运算，对数的运算可根据对数的定义、对 数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行．在解决对数的运算和与 对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化．
(1)log3 32与log5 56; (2)log1.10.7与log1.20.7;
(3)已知 lo1gblo1galo1gc,比较2b,2a,2c的大
2
2
2
小关系.
解
（1）∵ log
3
2 3
<log31=0,
6 log 5 5
>log51=0,
∴
log3
2 3
log5 56.
(2)方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2,
解答：(1)由已知a＝log210，b＝log510，则
＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
(2)由已知x＝log43，则
对数函数与指数函数互为反函数，在解决与对数函数相关的问题可类比指数 函数问题，不仅要注意二者之间的联系，同时更要明确二者之间的区别．
【例2】 设函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)>f(b)，证明：ab<1. 证明：证法一：由题设f(a)>f(b)，即|lg a|>|lg b|. 上式等价于lg2a>lg2b，即：(lg a＋lg b)(lg a－lg b)>0， lg(ab)lg >0，由已知b>a>0，得0< <1.∴lg<0，故lg (ab)<0，∴ab<1. 证法二：数形结合，函数y＝|lg x|的图象如图，由0<a<b且f(a)>f(b)可得两种 情况，①0<a<b<1，则ab<1或②0<a<1，b>1，则lg a<0，lg b>0. 故f(a)>f(b)等价于－lg a>lg b，即lg a＋lg b<0，可得lg(ab)<0，故ab<1.
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.解之，得a＝－1.∴f(x)＝lg
则0<
<1，∴x∈(－1，0)．
.令f(x)<0，
答案：A
变式3.已知函数f(x)＝ln(x＋
)
(1)证明f(x)为奇函数；(2)若f(x)＝ln(2＋ )，求x的值．
解答：(1)证明：∵x＋
>x＋|x|≥0，∴f(x)的定义域为R.f(－x)＝ln(－x
答案：D
4．(2010·黄冈月考)已知函数f(x)＝lg
，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )
A.
B．－
C．－b
D．b
解析：函数f(x)的定义域为－1＜x＜1，又f(－x)＝lg
＝lg
－1＝
－lg
＝－f(x)，则f(x)为奇函数，f(－a)＝－f(a)＝－b.
答案：C
5 比较下列各组数的大小.
6．对数函数的性质
2．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 ， 则a等于 ( )
A.
B．2
C．2
D．4
解析：根据已知条件loga(2a)－logaa＝ ，整理得：loga2＝ ，则 ＝2， 即a＝4.
答案：D
3．三个数60.7、0.76、log0.76的大小顺序是( )
利用对数函数的图象和性质可研究与对数函数相关的复合函数的图象和性 质，
比如函数y＝lg(ax＋b)，y＝lg(ax2＋bx＋c)， y＝
y＝ln(x＋
)等．
【例3】设f(x)＝lg
是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解答：(1)原式＝
.
(2)原式＝(lg 2＋lg 5)(lg22－lg 2lg 5＋lg25)＋3lg 2lg 5
＝lg22＋2lg 2lg 5＋lg25＝(lg 2＋lg 5)2＝1.
(3)解法一：原式＝
解法二：原式＝
变式1.(1)若2a＝5b＝10，求＋ 的值．(2)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值．
A．0.76<log0.76<60.7
B．0.76<60.7<log0.76
C．log0.76<60.7<0.76
D．log0.76<0.76<60.7
解 析 ： 首 先 看 这 三 个 数 的 符 号 ， log0.76 是 负 数 ， 而 0.76 和 60.7 都 是 正 数 ， 因 此 log0.76最小，排除A、B.又0<0.76<1，而60.7>1，则0.76<1<60.7.
变式2. 若函数f(x)满足对于(0，＋∞)上的任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)， 且x>1时 f(x)>0，试证： (1)f( )＝f(x)－f(y)；(2)f(x)＝－f( )；(3)f(x)在(0，＋∞)上递增． 证明：(1)由已知f( )＋f(y)＝f(x)，即f(x)－f(y)＝f( )． (2)令x＝y＝1，则f(
3．积、商、幂的对数运算法则 如果a>0，a≠1，M >0，N>0有：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga ＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4．对数换底公式
logaN＝
(a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)
5．对数函数的定义
函数y＝logax(a>0且a≠1)叫做对数函数，它是指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的反数．
＋
)＝ln
＝ln(x＋
)－1＝－f(x)．因此f(x)为奇函数．
(2)由f(x)＝ln(2＋ )，即x＋