八年级数学下册 专题突破讲练 巧解最值问题试题

巧解最值问题

利用函数性质求最值

1. 利用图象求最值：

如：若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降。当人日均用水量低于10千克时，政府将向当地居民送水。那么政府应开始送水的最合适号数为几号？

答案：24号。

2. 利用几何图形变化求最值：

如：在矩形ABCD 中，动点E 从点B 出发，沿BADC 方向运动至点C 处停止，设点E 运动的路程为x ，△BCE 的面积为y ，AB ＝4，AD ＝5时，则当x 的值在什么范围时，△BCE 面积最大？

答案：49x ≤≤。

3. 根据实际问题中条件求最值：

如：某市出租车价格是这样规定的：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按每千米

1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x （x ＞2）千米，付车费y 元，则所付车费y 元与出租车行驶的路程x 千米之间的函数关系为 。如果李老师有22元，那么他所乘车的最远距离是多少？

答案： 1.6 1.8y x =+，12.625千米。

4. 利用函数解析式中自变量的求值范围求最值：

如：某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元。

⑴求y 关于x 的函数关系式？

⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何才能获利最多？（注：利润＝售价－成本品牌

A B 进价（元/箱）

55 35 售价（元/箱）

63 40

答案：（1）y

（2）购进A种饮料125箱，购进B种饮料375箱。

总结：

从一次函数的基本性质来看，当自变量ｘ取全体实数时，它没有最值，但如果自变量ｘ的取值不是全体实数，那么它可能有最值，因此，解决有关一次函数的最值问题时。关键是求出自变量ｘ的取值范围，然后用一次函数的性质去处理。

例题1 有一个最多能称10千克的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表。那么在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为（）

A. 10厘米

B. 13.5厘米

C. 14厘米

D. 14.5厘米

重量（千克） 1 1.5 2 2.5 3 3.5

长度（厘米） 4.5 5 5.5 6 6.5 7 解析：弹簧在一定的称重范围内弹簧的长度与物体重量满足一次函数关系，设出一次函数关系式，根据图中提供的数据求得函数关系式，令x＝10代入求得y的值即可。

答案：由表中关系可以得到，弹簧长度y（厘米）与称重x（千克）的关系是一次函数关系，

∴设弹簧长度y（厘米）与称重x（千克）的关系式为y＝kx＋b，

根据表格中提供的数据得当x＝1时，y＝4.5；当x＝2时，y＝5.5；∴

4.5

2 5.5⎧

⎨

⎩

k b

k b

＋＝

＋＝

，

解得：

1

3.5

⎧

⎨

⎩

k

b

＝

＝

，∴解析式为y＝3.5＋x，当弹簧最长时就是所挂重物最重时，此时x＝10，

∴y＝3.5＋10＝13.5，故弹簧最长为13.5厘米。故选B。

点拨：本题考查了用待定系数法确定函数的解析式及如何求函数值的问题，把实际问题抽象成数学知识解决，是解决此类问题的关键。

利用自变量取值范围求最值

利用自变量取值范围求解最值问题，关键是正确寻找题目中的不等关系，列不等式组求得最佳方案。

例题为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本。若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，请你设计一种组建方案，使总费用最低，最低费用是（）

A. 22300元

B. 22610元

C. 22320元

D. 22650元

解析：设组建中型图书角x个、小型图书角（30－x）个，由于组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本。若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，因此可以列出不等式组80x＋30（30−x）≤190050x ＋60（30−x）≤1620，解不等式组然后去整数即可求解。

答案：设组建中型图书角x个、小型图书角（30－x）个，

由题意得

8030301900

5060301620

-≤

⎧

⎨

-≤

⎩

x x

x x

＋（）　

＋（）

，解之得：18≤x≤20，而x为整数，

∴x＝18、19、20，∴有三种方案，费用y ＝860x＋570（30－x）＝290x＋17100，

∴当x＝18时，费用最少，为290×18＋17100＝22320元。

故选C。

生活实践中求最值

一次函数在实际生活中的应用，关键是找等量关系列方程，并运用待定系数法求解一次函数解析式。

例题水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克。

（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？

（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系。

①求y与x之间的函数关系式；

②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入－进货金额）

解析：（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，根据原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克列出关于x的一元一次方程，解方程即可；

（2）①设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将（25，165），（35，55）代入，运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；

②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，根据利润＝销售收入－进货金额得到w关于x的函数关系式为w＝－11（x－30）2＋1100，再根据二次函数的性质即可求解。

答案：解：（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，则原来购进这种水果每千克（x ＋2）元，由题意，得80（x＋2）＝88x，解得x＝20。

答：现在实际购进这种水果每千克20元；

（2）①设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将（25，165），（35，55）代入，得，解得，故y与x之间的函数关系式为y＝－11x＋440；

②设这种水果的销售单价为x（元/千克）时，所获利润为w元，

则w＝（x－20）y＝（x－20）（－11x＋440）＝－11x2＋660x－8800＝－11（x－30）2＋1100，

所以当x＝30时，w有最大值1100。

答：将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元。