2212二次函数的图像和性质

(1) y=3x-l (2) y=2x2 (3) y=x2+6 (4) y=-3x2-2x+4
（1）一次函数的图象是一条___直__线，
(2) 通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
从最简单的二 次函数开始！
(3) 二次函数的图象是什么形 状呢？
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
画函数 y=x 2的图像
y ? 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8
···
x
··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y ? 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
y ? x2
8 6
4 2
y ? 2x2 y ? 1 x2 2
－4 －2
2、二次函数
y=2x2
、
y
?
1 2
x2
的图象
与二次函数 y=x2的图象有什么相同和
不同？
Байду номын сангаас
y ? 2x 3.5
2
y? x2
3
2.5
y ? 1 x2
2
2
1.5
1
a＞0
0.5
-2
-1
1
2
y
5 4 3 2
1
–5 –4 –3 –2 –1–O1 –2 –3 –4 –5
a＜0
x 12345
y ? ? 1 x2 2
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数及其图象
22.1.2 二次函数 y=ax2的图像和性质
基础回顾 二次函数:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) 的函 数,叫做二次函数 .其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表 达式的二次项系数、一次项系数和常数项 .
下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线
x … -3 y=x2 … 9
根据表中 x,y的数值在坐 标平面中描点 (x,y),再用 平滑曲线顺次连接各点 , 就得到 y=x 2的图像 .
-2 -1 0 1 2 3 … 4 1 0 1 4 9…
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y=x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
有什么共同点和不同点．
你画出的图象与图中相同吗？
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
?
?
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
4 ··· ···
－8
x
··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y ? ? 2x2 ··· －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5－2 －4.5 －8 ···
（3）顶点坐标（0,0） （4）有最低点，没有最高点 （5）当x<0时，y随着x的增大而减小.
当x>0时, y随着x的增大而增大.
9 6 3
－3
3
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y ? 1 x2 , y ? 2x 2 的图象． 2
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
还可以看出,二次函数y=x2的图像是轴对称图形,y轴 是它的对称轴.
抛物线与对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点. 抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线 （2）图象关于y轴对称
对比抛物线， y=x 2和y=－x 2.它 们关于x轴对称吗？
一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
－4 －2 －2 －4
－6
－8
y ? ? x2
24
y ? ? 1 x2 2
y ? ?2x2
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_y_轴___，顶点是_原__点___．
当a>0时，抛物线的开口_向__上___，顶点是抛物线的最__低____点， a越大，抛物线的开口越 _小______；
y＝ax2
向上 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0)
|a|越大开口越小， |a|越小开口越大。
反馈测试
1. 抛物线y=4x2中的开口方向是
称轴是
.
，顶点坐标是 ，对
1
2. 抛物线 y= - 4 x2 的开口方向是 对称轴是________
，顶点坐标是 ，
3. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向 相反，则a= .
课前复习
1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口 向_____，顶点坐标是_____；对称轴是 ______，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ______，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ______，函数y＝2x2当x＝______时， y有最 ______值，其最______值是______。
从图像可以看出,二次函数y=x2的图像都是一条曲线,它的
形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
9
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
6
实际上,二次函数的图像都是抛物线.
它们的开口向上或者向下.
3
－3
3
一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=y=x2ax2+bx+c.
y ? ?2x2 y? ?x2
3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
y＝ax2
向上 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数 y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐 标是否相同?它们有什么关系？我们应该 采取什么方法来研究这个问题？
24
函数 y ? 1 x2 , y ? 2x2 的图象与函数 y=x2 2
有什么共同点和不同点？
的图象相比，
相同点：开口都向上，顶点是原 点而且是抛物线的最低点，对称 轴是 y 轴
不同点：a 要越大，抛物线的开 口越小．
y ? 2x2 y ? x2
8
y ? 1 x2
2
6
4 2
－4 －2
24
探究
画出函数 y ? ? x2 , y ? ? 1 x2 , y ? ? 2x2 的图象，并考虑这些抛物线 2
当a<0时，抛物线的开口_向__下____,顶点是抛物线的最__高______点， a越大，抛物线的开口越___大______．
y
a>0
练习：
函数 y ? (? 2x)2的图象是 ，顶点坐标是 ， o
x
对称轴是 ，开口方向是 .
a<0
3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．