2212二次函数的图像和性质
人教数学九上22.1.2二次函数 的图象和性质1优质课
总结:二次函数 y = ax2 的图象和性质
a>0
a<0
大致图象
开口方向 开口大小 顶点坐标
对称轴
Y随x的增大如何变化
最值
3．巩固练习
1、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1） y 3x2； 开口向上、y 轴、原点．
3、已知抛物线 y ax2 开口向下，且 a 3 ，
则 a = -3 。
3．巩固练习
4、二次函数 y ax2 的图象如图所示，
其顶点是
，当x<0时，y随x
的增大而
，当x>0时，y随x
的增大而
。
5、（1）已知点（-1，y１）, （-3，y２）都在二次函
数y=-5x2的图象上，则y1 ，y2的大小关系是
二．类比探究
探究一 用描点法画出二次函数 y = x2 的图象，并说说 它的图象特征和性质。 1、概况图象特征：
图象的形状是：抛物线 开口方向：向上 对称轴：y轴 顶点：原点 2、性质：Y随x的增大如何变化 X<0时，y随x的增大而减小； X>0时，y随x的增大而增大。
探究二
1、在同一直角坐标系中，画出函数
（一）复习引入-----学习导图
图象的形状 图象的位置
一 次
类比
二 次
函
函
数
数
图象的形状 图象的位置
性质：Y随x的
增大如何变化
y kx
(k 0)
由 特 殊
到
k 0, k 0
一 般
y x, y 2x
y ax2 (a 0)
性质：Y随x的 增大如何变化
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y ax2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
2212 二次函数的图象和性质(解析版)
22.1.2二次函数的图象和性质夯实双基，稳中求进二次函数y=ax 2的图象与性质题型一：二次函数y=ax 2的图象与性质【例题1】（2021·湖南九年级二模）已知抛物线2y ax =（0a >）过()12,A y -，()21,B y 两点，则下列关系式一定正确的是（ ） A ．120y y >> B ．210y y >>C ．120y y >>D ．210y y >>【答案】C【详解】∵抛物线2(0),y ax a =>()12,A y ∴-关于y 轴对称点的坐标为)1(2,y ．又0,012,a ><<210y y ∴<<． 故选：C ．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．知识点管理 归类探究 1变式训练【变式1-1】（2021·江苏中考真题）已知二次函数2(1)y a x =-，当0x >时，y 随x 增大而增大，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a > B ．1a > C ．1a ≠ D ．1a <【答案】B【分析】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解． 【详解】∵二次函数2(1)y a x =-的对称轴为y 轴，当0x >时，y 随x 增大而增大， ∵二次函数2(1)y a x =-的图象开口向上， ∵a -1＞0，即：1a >， 故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 【变式1-2】（2021·古浪县第四中学九年级月考）抛物线y=-x 2的对称轴是 ______________，顶点坐标是_________________． 【答案】y 轴 (0，0)【分析】形如y =ax 2的抛物线的对称轴为y 轴，顶点坐标为原点． 【详解】解：抛物线y =-x 2的对称轴为y 轴，顶点坐标为（0，0）． 故答案为：y 轴；（0，0）．【点睛】本题考查二次函数的性质，对于二次函数()20y ax a =≠，它的对称轴是y 轴，顶点是原点．【变式1-3】（2021·西安高新一中实验中学九年级其他模拟）在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x 的图象如图所示，则123,,a a a 的大小关系为___________（用“>”连接）．【答案】321a a a >>．【分析】抛物线的开口方向由a 的符号决定，开口大小由a 的绝对值决定，绝对值越大，开口越小．【详解】解：∵二次函数y 1=a 1x 2的开口最大，二次函数y 3=a 3x 2的开口最小， 而抛物线的开口都是向上的，则二次项的系数都为正数， ∵321a a a >>，故答案为：321a a a >>．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a 的值决定是解题的关键．二次函数y=ax 2+k 的图象与性质题型二：二次函数y=ax 2+k 的图象与性质【例题2】（黑龙江省哈尔滨市2021年中考数学真题）二次函数232y x =-的最小值为________． 【答案】-2【分析】由二次函数232y x =-可直接求解．【详解】解：由二次函数232y x =-可得：开口向上，有最小值， ∵二次函数232y x =-的最小值为-2； 故答案为-2．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 变式训练【变式2-1】（2020·广西南宁市·九年级期中）二次函数y =2x 2﹣x ，当x _____时y 随x 增大而增大，当x _____2时，y 随x 增大而减小． 【答案】x ＞14 x ＜14【分析】首先确定二次函数的对称轴，然后据对称轴及开口方向判断其增减性即可． 【详解】解：∵二次函数y =2x 2﹣x 中对称轴为112224b x a -=-=-=⨯，开口向上， ∵当x ＞14时y 随x 增大而增大，当x ＜14时，y 随x 增大而减小，故答案为：x ＞14，x ＜14．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握求二次函数开口方向，对称轴，顶点坐标的方法是解决问题的关键．【变式2-2】抛物线213y x =-的顶点是（ ） A ．(1,3)- B ．(3,1)-C ．(1,0)D ．(0,1)【答案】D【分析】根据题目中的抛物线解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线y =1-3x 2=-3x 2+1， ∵该抛物线的顶点坐标为（0，1）， 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【变式2-3】（2020·全国九年级课时练习）在同一坐标中，一次函数y ＝﹣kx +2与二次函数y ＝x 2+k 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由二次函数y ＝x 2+k 得抛物线开口向上，排除B ；根据一次函数y ＝﹣kx +2，得直线与y 轴的正半轴相交，排除D ；根据A 、C 可知，k ＜0，故选A. 【详解】由二次函数y ＝x 2+k 得抛物线开口向上，排除B ；根据一次函数y ＝﹣kx +2，得直线与y 轴的正半轴相交，交点为(0，2)，排除D ； 根据A 、C 可知，抛物线交y 轴于负半轴，所以k ＜0，故选A.【点睛】本题为判断一次函数与二次函数图象问题，关键是明确各个系数与二次函数与一次函数图象的关系.二次函数y=a （x -b ）2的图象与性质题型三：二次函数y=a （x -b ）2的图象与性质【例题3】（2021·安徽九年级期中）关于二次函数2(2)y x =--的图象，下列说法正确的是（ ） A ．开口向上B ．最高点是（2，0）C ．对称轴是直线x ＝﹣2D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小【答案】B【分析】根据二次函数图象的性质逐一判断即可． 【详解】解：A 、该二次函数开口向下，故本项说法错误；B 、二次函数开口向下，在2x =处取得最大值0y =，所以本项正确；C 、该二次函数的对称轴是2x =，故本项说法错误；D 、当2x >时y 随x 的增大而减小，故本项说法错误； 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质；熟知二次函数图象的性质与表达式之间的关系式解题的关键． 变式训练3【变式3-1】若点()()()1233,,2,,1,A y B y C y ---三点在抛物线2(1)(0)y a x a =+>的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．213y y y >> B ．213y y y >>C ．312y y y >>D ．231y y y >>【答案】A【分析】先求出二次函数抛物线y =a （x +1）2（a ＞0）的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数y =a （x +1）2中a ＞0， ∵开口向上，对称轴为x =-1， ∵-3＜-2＜-1， ∵y 1＞y 2＞y 3． 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式3-2】）关于二次函数2(2)y x =--的图象，下列说法正确的是（ ） A ．开口向上B ．最低点是(2,0)C ．可以由2y x =-向左平移2个单位得到D ．当0x <时，y 随x 的增大而增大【答案】D【分析】已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断． 【详解】解：2(2)y x =--中，-1＜0， ∵开口向下，顶点坐标为（2，0），是最高点， 可以由2y x =-向右平移2个单位得到， 当2x <时，y 随x 的增大而增大， ∵说法正确的是D ， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，从抛物线的表达式可知抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最高（最低）点坐标，增减性等．【变式3-3】（2021·江苏中考真题）在函数2(1)y x =-中,当x ＞1时,y 随x 的增大而 ___．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大【分析】根据其顶点式函数2(1)y x =-可知,抛物线开口向上,对称轴为1x = ,在对称轴右侧y 随x 的增大而增大,可得到答案．【详解】由题意可知: 函数2(1)y x =-,开口向上,在对称轴右侧y 随x 的增大而增大,又∵对称轴为1x =, ∵当1x >时,y 随的增大而增大, 故答案为:增大．【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性,掌握当二次函数开口向上时,在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大,在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小是解题的关键．二次函数y=a （x -h ）2+k 的图象与性质题型四：二次函数y=a （x -h ）2+k 的图象与性质【例题4】（2021·河南）设()12,A y ，()23,B y ，()34,C y -是抛物线()231=-+y x k 图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．321y y y >>B ．312y y y >>C ．213y y y >>D ．132y y y >>【答案】A【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【详解】解：∵抛物线()231=-+y x k 的开口向上，对称轴是直线x =1， ∵当x >1时，y 随x 的增大而增大，∵()34,C y -关于直线x =1的对称点是()36,y ， ∵2<3<6，4∵321y y y >>． 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．熟记二次函数的性质是解题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末）二次函数y ＝（x ＋3）2﹣5的顶点坐标是（ ） A ．（3，﹣5） B ．（﹣3，﹣5）C ．（﹣3，5）D ．（3，5）【答案】B【分析】根据顶点式可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线解析式为y ＝（x ＋3）2﹣5， ∵二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，﹣5）． 故选：B ．【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知顶点式的特点．【变式4-2】点(,)P a b 在抛物线2(1)1y x =--+上，若01a <<，关于a ，b 的数量关系，下列描述正确的是（ ） A ．a b < B ．b a <C ．b a =D ．无法确定【答案】A【分析】将P 代入抛物线表达式，从而得到-a b (1)a a =-，根据a 的范围得到结果的符号，即可比较． 【详解】解：∵(,)P a b 在2(1)1y x =--+上， ∵2(1)1a b --+=，∵-a b 2(1)1a a =+--2a a =-(1)a a =-， ∵01a << ∵10a -<， ∵(1)0a a -<， ∵0a b -<， ∵a b <． 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，不等式的性质，解题的关键是利用作差法，求出a -b 的符号进行比较．【变式4-3】（2020·全国九年级课时练习）抛物线y=2(x -1)2+c 过(-2，y 1)，(0，y 2)， (52，y 3)三点，则122,,y y y 大小关系是( ) A ．231y y y >> B ．123y y y >> C ．213y y y >> D ．132y y y >>【答案】D【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，求出(52，y 3) 直线x=1的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断y 1，y 2，y 3的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵y=2(x -1)2+c ，2>0， ∵抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，∵当x ＜1时，y 随x 的增大而减小；(52，y 3)关于直线x=1的对称点是(12-，y 3)，∵-2<12-<0<1∵y 1＞y 3＞y 2， 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答．【真题1】（2020·黑龙江哈尔滨市·中考真题）抛物线23(1)8y x =-+的顶点坐标为______________________________． 【答案】(1，8)【分析】根据题意可知，本题考察二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解． 【详解】解：由二次函数性质可知，()2y a x h k =-+的顶点坐标为(h ，k ) ∵23(1)8y x =-+的顶点坐标为(1，8) 故答案为：(1，8)【点睛】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标． 【真题2】（2021·浙江中考真题）关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）链接中考A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值6【答案】D【分析】根据二次函数22(4)6y x =-+的解析式，得到a 的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：∵在二次函数22(4)6y x =-+中，a =2>0，顶点坐标为（4,6）， ∵函数有最小值为6． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a 的符号和根据顶点坐标求出最值．【真题3】（2021·辽宁阜新市中考真题）如图，二次函数2(2)y a x k =++的图象与x 轴交于A ，(), 10B -两点，则下列说法正确的是（ ）A ．0a <B ．点A 的坐标为()4,0-C ．当0x <时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴为直线2x =-【答案】D【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断． 【详解】由图可得开口向上，故a ＞0，A 错误；∵解析式为2(2)y a x k =++，故对称轴为直线x =-2，D 正确 ∵(), 10B -∵A 点坐标为（-3，0），故B 错误；由图可知当2x <-时，y 随x 的增大而减小，故C 错误； 故选D ．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．满分冲刺【拓展1】（2020·江苏中考真题）下列关于二次函数22()1y x m m =--++（m 为常数）的结论，∵该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同；∵该函数的图象一定经过点(0,1)；∵当0x >时，y 随x 的增大而减小；∵该函数的图象的顶点在函数21y x =+的图象上，其中所有正确的结论序号是__________．【答案】∵∵∵【分析】∵两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；∵求出当0x =时，y 的值即可得；∵根据二次函数的增减性即可得；∵先求出二次函数22()1y x m m =--++的顶点坐标，再代入函数21y x =+进行验证即可得． 【详解】当0m >时，将二次函数2y x =-的图象先向右平移m 个单位长度，再向上平移21m +个单位长度即可得到二次函数22()1y x m m =--++的图象；当0m <时，将二次函数2y x =-的图象先向左平移m -个单位长度，再向上平移21m +个单位长度即可得到二次函数22()1y x m m =--++的图象∴该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同，结论∵正确对于22()1y x m m =--++当0x =时，22(0)11y m m =--++=即该函数的图象一定经过点(0,1)，结论∵正确由二次函数的性质可知，当x m ≤时，y 随x 的增大而增大；当x m >时，y 随x 的增大而减小则结论∵错误22()1y x m m =--++的顶点坐标为2(),1m m +对于二次函数21y x =+当x m =时，21y m =+即该函数的图象的顶点2(),1m m +在函数21y x =+的图象上，结论∵正确综上，所有正确的结论序号是∵∵∵故答案为：∵∵∵．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．【拓展2】（2020·宁县南义初级中学九年级月考）已知函数()()22(1)13{(5)13x x y x x --≤=--＞，若使y ＝k 成立的x 值恰好有三个，则k的值为_______．【答案】3【分析】首先在坐标系中画出已知函数22113{513x xyx x--≤=--（）（）（）（＞）的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值．【详解】函数22113{513x xyx x--≤=--（）（）（）（＞）的图象如图：根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∵k=3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．。
22.1.2 二次函数图像和性质(共15张PPT)
（4）a的绝对值越大，开口越小。 a的绝对 值相等时，函数图象关于是x轴对称
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抛物线 1、函数 y 3x 2 的图象是＿＿＿＿＿，开口方向 下 对称轴是＿＿＿ y 轴。顶点坐标＿＿＿＿， ＿＿＿， （0,0） x＜0时，
函数值y随增大而＿＿ 增大 ，x＞0时，函数值随增大而 0 ＿＿减小 ，x= ＿＿＿时，有最＿＿值是＿＿＿。 大 0 2、抛物线的开口向上对称轴是y轴，顶点在坐标原点 2 和上面1题的形状大小一样，它的解析式是＿＿＿＿ y 3x 减小 ，x＞0时，函数值随 x＜0时，函数值y随增大而＿＿ 增大 ，x= ＿＿＿时，有最＿＿值是＿＿＿ 小 0 0 增大而＿＿
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y 2 x 2 … -8
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y
-3
-2
-1
-1 -2 -3 -4
o
1
x
2 3
1 2 y x 2
y x2
y 2 x 2
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y
3
y
y 2x2
已知函数y＝(m2－3m) 的图 象是抛物线，则函数的解析式为 ______ ， 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为 ______ ， 对 称 轴 为 ______ ， 开 口 ______
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已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)． (1)求这个函数的解析式； (2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标； (3)求△OAB的面积； (4)抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等 于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐 标；若不存在，请说明理由．
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.2y ax c=+的性质：上加下减。
a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()00，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．a < 向下()00，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
a > 向上()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．a < 向下()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．a < 向下()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．4.()2y a x h k=-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．a < 向下()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴cbx axy ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，cbx ax y ++=2变成mc bx ax y +++=2（或mc bx axy -++=2） ⑵cbx axy ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，cbx ax y ++=2变成cm x b m x a y ++++=)()(2（或cm x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y axbx c=++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y axbx c=++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴a b x 2-=在y 轴左边则>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=++关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2=---；y ax bx c()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2=---；y a x h k2. 关于y轴对称2=++关于y轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2y ax bx c=-+；()2=-+关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k()2=++；y a x h k3. 关于原点对称2=++关于原点对称后，得到的解析式是y ax bx c2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by axbx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：x …-7 -6-5-4-3-2 -1…y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x 2y=x 22y=2x y=x 2y=-2x 2y= -x 2y= -x 22y=2x 2-4y=2x +2y=2x 2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x 2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x 2y (2)50 23--2 23- 0 25…【例2】求作函数342+--=x xy 的图象。
最全二次函数概念的图像与性质(系统归纳)完整版.doc
二次函数的图像与性质抛物线y=ax+bx+c与坐标轴的交点:①抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）②抛物线与x轴的交点坐标为(x1,,0) (x2,,0),其中x1,、 x2是方程ax2+bx+c=0的两个实数根。
抛物线与x轴的交点情况：（可由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式判定）①△＞0⇔抛物线与x轴有两个交点；②△＝0⇔抛物线与x轴有一个交点；③△＜0⇔抛物线与x轴没有交点。
抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用：(1)a决定抛物线形状及开口方向:①若|a|相等，则形状相同。
②a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下。
③ |a|越大,开口越小.(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x= -b/2a 故①若b＝0⇔对称轴为y轴；②若a与b同号⇔对称轴在y轴左侧；③若a与b异号⇔对称轴在y轴右侧。
(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。
当x＝0时，y＝c ，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)。
①c＝0⇔抛物线经过原点；②c＞0⇔抛物线与y轴交于正半轴；③c＜0⇔抛物线与y轴交于负半轴。
（4）判断a＋b＋c的符号：可以看图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为何值决定正负。
判断a－b＋c的符号：可以看图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为何值决定正负。
利用待定系数法求二次函数的方法：①已知抛物线过三点，设一般式y=ax2+bx+c ②已知抛物线顶点（对称轴、最值）及一点，设顶点式y=a(x-h)2+k③已知抛物线与x轴的两个交点（抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式y=a(x-x1)( x-x2) 其中x1 、x2是抛物线与x轴交点的横坐标。
赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，， 且2t t -，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，， 且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+．)图(1)图(2)天)图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价．故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593； ③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56． 综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++） （2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-，2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）．解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式． （2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令M N x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．B A D MF第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b=+⎧∴⎨=+⎩ 解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=．B 图(1)图(2)l3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。
《1.2.2二次函数图像与性质》同步教学课件ppt
对称轴是过点O'（1，0）且平行与y轴的直线l ' ，直
线l'是有横坐标为1的所有点组成的，我们把直线l '记
做直线x =1，抛物线 y 1 x -12 的开口向上.
2
类似地，我们可以证明下述结论：
二次函数 y ax - h2 的图像是抛物线，它的对称
“列表，描点，连线”三个步骤.
画函数 y (x 2)2
的
图象.
解 抛物线 y (x 2)2
顶点坐标是（2，0）
的对称轴是 x=2，
列表：自变量x从顶点的横坐标2开始取值.
x
2 2.5 3 4 5
y (x 2)2 0 0.25 1 4 9
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.
利用对称性画出图象在对称轴左边的部分:
对称轴是 直__线__x=h
顶点坐标是 _(_h_,_0_)_____。
练习:
对于二次函数
y 1 (x 4)2 3
请回答下列问题：
1、把函数 y 1 x2 的图象作怎样的平移
3
变换，就能得到函数 y 1 (x 4)2 的图象。
3
2、说出函数 y 1 (x 4)2 的图象的顶点坐标 和对称轴。 3
直线x=h
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
由h和k的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最小值为k.
2212二次函数的图像和性质总结
;
5、抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0） , 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧，
y随着x的增大而增大；在 对称轴的左 侧，
y随着x的增大而减小，当x=
0
时，
2 2 下 y x （2）抛物线 方（除顶点外）， 3 在x轴的
函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物 线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外）。 当 x〈 0 时，y随着x的 增大而增大 ； 当 x 〉0 时，y随着x的 增大而减小 ， 当 x = 0 时，函数y的值最大，最大值是 当x
2
…
-４ -2.25
-2.25 -４ …
-１.１２５
…
-2
-１.１２５
-2
…
y=－2x2
… -８
-4. 5
-２
-０ . ５ ０
-０ . ５
-２
-4. 5
-８ …
1
-3 -2 -1 0 -1 -2 -3
y
1 2 3 x
1 2 y x 2
(2) 描点 (3) 连线
-4
yx
2
-5
0
，
0 时，y<0.
6、若抛物线 y 6 x 上点P的坐标为 (2，a)，则抛物线上与P点对称的点 P’的坐标为 。
2
7、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的 是 y ( ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b y x2 的函数值相等; o x (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. (D) 对任意实数x,都有y＞0.
1 2 y x 2
初中数学人教版九年级上册《22.1.2二次函数的图象和性质》课件
二次函数y=ax2的 图象和性质
人教版 九年级数学上
知识要点
1.二次函数y=ax2的图象 2.二次函数y=ax2的性质
看一看：观察下列运动，试着发现它们的规律。
二次函数y=ax2的图象
问题1.1：根据所学知识，试着画出二次函数y=x2的图像。
在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组 对应值：
x … -3 -2 -1
0
1
2
3…
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
二次函数y=ax2的性质 y
顶点
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-3
对称轴
-6
根据表中x,y的数值在坐 标平面中描点（x,y）
用平滑曲线顺次连接 各点，就得到y = -x2 的图象 图象开口向下，有最高点
A.-9<y≤-1 B.-9≤y<-1 C.-9≤y≤0 D.-9<y≤0
4.如图，在同一坐标系中，作出①y=3x2，②y= 1 x2， 2
③y=x2的图象，则图象中从里到外的三条抛物线对应的
函数依次是___①__③_②______.（填序号）
5.二次函数y=ax2的图象如图所示. (1)求这个二次函数解析式； (2)若另一函数图象与该函数图象关于x轴对称，试求另一个 函数的解析式.
-9
y
y
9
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
6
y = x2
-3 y =- x2
-6 3
-9 -3 -2 -1 O1 2 3 x
二次函数y=ax2的图象
练一练：如图,函数y=2x2的图象大致为( C )
二次函数的图像和性质分析
二次函数图像的平移和变换
向上平移：增加常数项b的值 向下平移：减小常数项b的值 向左平移：增加x的系数a的值 向右平移：减小x的系数a的值
二次函数的性质
二次函数的开口方向
开口方向与二次项系数a有关，当 a>0时，开口向上；当a<0时，开 口向下。
开口方向与一次项系数b和常数项c 无关。
添加标题
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一 元二次方程的
根的关系
ห้องสมุดไป่ตู้
二次函数与一 元二次方程的
图像关系
二次函数与一 元二次方程的
系数关系
二次函数与一 元二次方程在 实际问题中的
应用
二次函数与三角函数的关系
二次函数与三角函数图像的相 似性
二次函数与三角函数的周期性
二次函数与三角函数的对称性
二次函数与三角函数的极值点
添加标题
添加标题
添加标题
开口大小与二次项系数a的绝对值有 关，|a|越大，开口越小；|a|越小， 开口越大。
二次函数的开口方向与对称轴的位 置有关，对称轴在y轴左侧时，开口 向上；对称轴在y轴右侧时，开口向 下。
二次函数的对称轴
二次函数图像的对称轴是x=-b/2a
对称轴的性质：当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，抛物线开口向下， 对称轴为x=-b/2a
计算梯形面积：利用二次函数表示梯形的上底、 下底和高，进而求出面积
计算圆和椭圆面积：将圆和椭圆看作是无 数个小的等腰三角形，利用二次函数表示 这些三角形的面积，进而求出整个圆或椭 圆的面积
计算抛物线形物体面积：利用二次函数表示抛物 线形物体的面积，进而求出其表面积或体积
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y ? ?2x2 y? ?x2
3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
y＝ax2
向上 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数 y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐 标是否相同?它们有什么关系？我们应该 采取什么方法来研究这个问题？
（3）顶点坐标（0,0） （4）有最低点，没有最高点 （5）当x<0时，y随着x的增大而减小.
当x>0时, y随着x的增大而增大.
9 6 3
－3
3
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y ? 1 x2 , y ? 2x 2 的图象． 2
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
当a<0时，抛物线的开口_向__下____,顶点是抛物线的最__高______点， a越大，抛物线的开口越___大______．
y
a>0
练习：
函数 y ? (? 2x)2的图象是 ，顶点坐标是 ， o
x
对称轴是 ，开口方向是 .
a<0
3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
y＝ax2
向上 y轴 (0，0) 向下 y轴 (0，0)
|a|越大开口越小， |a|越小开口越大。
反馈测试
1. 抛物线y=4x2中的开口方向是
称轴是
.
，顶点坐标是 ，对
1
2. 抛物线 y= - 4 x2 的开口方向是 对称轴是________
，顶点坐标是 ，
3. 二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向 相反，则a= .
(1) y=3x-l (2) y=2x2 (3) y=x2+6 (4) y=-3x2-2x+4
（1）一次函数的图象是一条___直__线，
(2) 通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
从最简单的二 次函数开始！
(3) 二次函数的图象是什么形 状呢？
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
画函数 y=x 2的图像
有什么共同点和不同点．
你画出的图象与图中相同吗？
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
y
?
?
1 2
x2
···
－8
－4.5
－2 －0.5
0
－0.5
－2 －4.5
4 ··· ···
－8
x
··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y ? ? 2x2 ··· －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5－2 －4.5 －8 ···
对比抛物线， y=x 2和y=－x 2.它 们关于x轴对称吗？
一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
－4 －2 －2 －4
－6
－8
y ? ? x2
24
y ? ? 1 x2 2
y ? ?2x2
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_y_轴___，顶点是_原__点___．
当a>0时，抛物线的开口_向__上___，顶点是抛物线的最__低____点， a越大，抛物线的开口越 _小______；
2、二次函数
y=2x2
、
y
?
1 2
x2
的图象
与二次函数 y=x2的图象有什么相同和
不同？
y ? 2x 3.5
2
y? x2
3
2.5
y ? 1 x2
2
2
1.5
1
a＞0
0.5
-2
-1
1
2
y
5 4 3 2
1
–5 –4 –3 –2 –1–O1 –2 –3 –4 –5
a＜0
x 12345
y ? ? 1 x2 2
还可以看出,二次函数y=x2的图像是轴对称图形,y轴 是它的对称轴.
抛物线与对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点. 抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线 （2）图象关于y轴对称
解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线
x … -3 y=x2 … 9
根据表中 x,y的数值在坐 标平面中描点 (x,y),再用 平滑曲线顺次连接各点 , 就得到 y=x 2的图像 .
-2 -1 0 1 2 3 … 4 1 0 1 4 9…
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y=x2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数及其图象
22.1.2 二次函数 y=ax2的图像和性质
基础回顾 二次函数:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) 的函 数,叫做二次函数 .其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表 达式的二次项系数、一次项系数和常数项 .
下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
y ? 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8
···
x
··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y ? 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
y ? x2
8 6
4 2
y ? 2x2 y ? 1 x2 2
－4 －2
从图像可以看出,二次函数y=x2的图像都是一条曲线,它的
形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
9
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
6
实际上,二次函数的图像都是抛物线.
它们的开口向上或者向下.
3
－3
3
一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=y=x2ax2+bx+c.
课前复习
1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口 向_____，顶点坐标是_____；对称轴是 ______，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ______，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ______，函数y＝2x2当x＝______时， y有最 ______值，其最______值是______。
24
函数 y ? 1 x2 , y ? 2x2 的图象与函数 y=x2 2
有什么共同点和不同点？
的图象相比，
相同点：开口都向上，顶点是原 点而且是抛物线的最低点，对称 轴是 y 轴
不同点：a 要越大，抛物线的开 口越小．
y ? 2x2 y ? x2
8
y ? 1 x2
2
6
4 2
－4 －2
24
探究
画出函数 y ? ? x2 , y ? ? 1 x2 , y ? ? 2x2 的图象，并考虑这些抛物线 2