高中数学必修二第一章经典测试题及答案

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高中数学必修二第一章测试题及答案

高中数学必修二第一章测试题及答案

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第一章 空间几何体一、选择题1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体可能是一个( ).主视图 左视图 俯视图 (第1题) A .棱台 B .棱锥 C .棱柱 D .正八面体2.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( ).A .2+2B .221+C .22+2 D .2+13.棱长都是1的三棱锥的表面积为( ).A .3B .23C .33D .434.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( ).A .25πB .50πC .125πD .都不对 5.正方体的棱长和外接球的半径之比为( ). A .3∶1 B .3∶2 C .2∶3 D .3∶36.在△ABC 中,AB =2,BC =1.5,∠ABC =120°,若使△ABC 绕直线BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是( ).A .29πB .27πC .25πD .23π7.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是( ).A .130B .140C .150D .1608.如图,在多面体ABCDEF 中,已知平面ABCD 是边长为3的正方形,EF ∥AB ,EF =23,且EF 与平面ABCD 的距离为2,则该多面体的体积为( ).A .29 B .5 C .6 D .2159.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误..的是( ). A .用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B .几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C .水平放置的矩形的直观图是平行四边形D .水平放置的圆的直观图是椭圆10.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是( ).(第8题)(第10题)二、填空题11.一个棱柱至少有______个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱.12.若三个球的表面积之比是1∶2∶3,则它们的体积之比是_____________.13.正方体ABCD-A1B1C1D1 中,O是上底面ABCD的中心,若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为_____________.14.如图,E,F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________.(第14题)15.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,则这个长方体的对角线长是___________,它的体积为___________.16.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米.三、解答题17.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm,求它的深度.18 *.已知半球内有一个内接正方体,求这个半球的体积与正方体的体积之比.[提示:过正方体的对角面作截面]19.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.(第19题)20.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m,高4 m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;(3)哪个方案更经济些?第一章 空间几何体参考答案A 组一、选择题 1.A解析:从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断可能是棱台.2.A解析:原图形为一直角梯形,其面积S =21(1+2+1)×2=2+2.3.A解析:因为四个面是全等的正三角形,则S 表面=4×43=3. 4.B解析:长方体的对角线是球的直径, l =2225+4+3=52,2R =52,R =225,S =4πR 2=50π. 5.C解析:正方体的对角线是外接球的直径. 6.D解析:V =V 大-V 小=31πr 2(1+1.5-1)=23π.7.D解析:设底面边长是a ,底面的两条对角线分别为l 1,l 2,而21l =152-52,22l =92-52,而21l +22l =4a 2,即152-52+92-52=4a 2,a =8,S 侧面=4×8×5=160. 8.D解析:过点E ,F 作底面的垂面,得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱,V =2×31×43×3×2+21×3×2×23=215.9.B解析:斜二测画法的规则中,已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半.平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变.10.D解析:从三视图看底面为圆,且为组合体,所以选D. 二、填空题11.参考答案:5,4,3.解析:符合条件的几何体分别是:三棱柱,三棱锥,三棱台.12.参考答案:1∶22∶33.r 1∶r 2∶r 3=1∶2∶3,31r ∶32r ∶33r =13∶(2)3∶(3)3=1∶22∶33.13.参考答案:361a .解析:画出正方体,平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点, 三棱锥O -AB 1D 1的高h =33a ,V =31Sh =31×43×2a 2×33a =61a 3. 另法:三棱锥O -AB 1D 1也可以看成三棱锥A -OB 1D 1,它的高为AO ,等腰三角形OB 1D 1为底面.14.参考答案:平行四边形或线段.15.参考答案:6,6.解析:设ab =2,bc =3,ac =6,则V = abc =6,c =3,a =2,b =1, l =1+2+3=6. 16.参考答案:12.解析:V =Sh =πr 2h =34πR 3,R =32764×=12. 三、解答题 17.参考答案:V =31(S +S S ′+S )h ,h =S S S S V ′+′+3=6001+4002+60030001903×=75.18.参考答案:如图是过正方体对角面作的截面.设半球的半径为R ,正方体的棱长为a ,则CC'=a ,OC =22a ,OC'=R .(第18题)在Rt △C'CO 中,由勾股定理,得CC' 2+OC 2=OC' 2,即 a 2+(22a )2=R 2. ∴R =26a ,∴V 半球=26πa 3,V 正方体=a 3. ∴V 半球 ∶V 正方体=6π∶2. 19.参考答案:S 表面=S 下底面+S 台侧面+S 锥侧面=π×52+π×(2+5)×5+π×2×22 =(60+42)π. V =V 台-V 锥 =31π(21r +r 1r 2+22r )h -31πr 2h 1 =3148π.20.解:(1) 参考答案:如果按方案一,仓库的底面直径变成16 m ,则仓库的体积V 1=31Sh =31×π×(216)2×4=3256π(m 3).如果按方案二,仓库的高变成8 m ,则仓库的体积COAV 2=31Sh =31×π×(212)2×8=3288π(m 3).(2) 参考答案:如果按方案一,仓库的底面直径变成16 m ,半径为8 m . 棱锥的母线长为l =224+8=45, 仓库的表面积S 1=π×8×45=325π(m 2). 如果按方案二,仓库的高变成8 m .棱锥的母线长为l =226+8=10,仓库的表面积S 2=π×6×10=60π(m 2).(3) 参考答案:∵V 2>V 1,S 2<S 1,∴方案二比方案一更加经济些.。

高二数学必修二第一章检测试题(含答案)

高二数学必修二第一章检测试题(含答案)

高二数学必修二第一章测试题一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1、 图(1)是由哪个平面图形旋转得到的( )A B C D2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比( )A.1:2:3B.1:3:5C.1:2:4D.1:3:93、已知水平放置的ABC 的平面直观图A B C '''是边长为a 的正三角形,那么ABC 的面积为( ) A.222a 2D. 32a4、已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为V 1和V 2,则V 1:V 2是:( )A. 1:3B. 1:1C. 2:1D. 3:1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( )A.8:27B. 2:3C.4:9D. 2:96、有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位cm ),则该几何体的表面积及体积为( )A. 24πcm 2,12πcm 3B. 15πcm 2,12πcm 3C. 24πcm 2,36πcm3D. 以上都不正确7、一个球的外切正方体的表面积等于6 cm 2,则此球的体积为( )A.334cm π B.386cm π C. 361cm π D. 366cm π8、一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是( )A .28cm πB .212cm πC .216cm πD .220cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上,此球与正方体的表面积之比是( )A. 3πB. 4πC. 2π D. π10、如右图为一个几何体的三视图,其中府视图为正三角形,A 1B 1=2,AA 1=4,则该几何体的表面积为( )A. 6+3B. 24+3C. 24+23D. 32一、选择题答题表二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15,则它的体积为_______________. 12.一个半球的全面积为Q ,一个圆柱与此半球等底等体积,则这个圆柱的全面积是 . 13、从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E 、F 、G ,过此三点作长方体的截面,那么截去的几何体是_________.14、一个圆柱和一个圆锥的母线相等,底面半径也相等,则侧面积之比是_________.三、解答题(本大题共6小题,15、16、17、18每题13分,19、20每题14分,共80分) 15.将圆心角为1200,面积为3π的扇形,作为圆锥的侧面,求圆锥的表面积和体积.16. (如图)在底半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱,求圆柱 的表面积A B 1正视图侧视图府视图17、如图,在四边形ABCD中,,,,,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.18.已知长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,求长方体的对角线的长。

数学必修二第一章习题 及答案

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必修二第一章1.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( ) A . 22+ B .221+ C . 222+ D . 21+2.半径为R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( )A 3RB 3RC 3RD 3R 3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2cm ,则球的表面积是( )A.28cm π B.212cmπ C.216cm π D.220cm π 4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( )A .7 B.6 C.5 D.35.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为( )A . 1:2:3B . 1:3:5C . 1:2:4D . 1:3:96.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为1V 和2V ,则12:V V =( )A . 1:3B . 1:1C . 2:1 D. 3:17.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( )A . 8:27B . 2:3C . 4:9D . 2:98.一个半球的全面积为Q ,一个圆柱与此半球等底等体积,则这个圆柱的全面积是 .9.球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.10.已知棱台的上下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为___________。

11.Rt ABC ∆中,3,4,5AB BC AC ===,将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为____________。

12.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球___S 正方体13.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5,从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________。

高中数学必修二第一章测试题及答案(人教版)

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第一章空间几何体一、选择题1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体可能是一个().主视图左视图俯视图(第1题)A.棱台B.棱锥C.棱柱D.正八面体2.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是().A.2+2B.221+C.22+2D.2+13.棱长都是1的三棱锥的表面积为().A.3B.23C.33D.434.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是().A.25πB.50πC.125πD.都不对5.正方体的棱长和外接球的半径之比为().A.3∶1B.3∶2C.2∶3D.3∶36.在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是().A.29πB.27πC.25πD.23π7.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是().A.130B.140C.150D.1608.如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=23,且EF与平面ABCD的距离为2,则该多面体的体积为().A.29B.5C.6D.2159.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误..的是().A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B.几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形D.水平放置的圆的直观图是椭圆10.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是().(第8题)(第10题)二、填空题11.一个棱柱至少有______个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱.12.若三个球的表面积之比是1∶2∶3,则它们的体积之比是_____________.13.正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD的中心,若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为_____________.14.如图,E,F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________.(第14题)15.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,则这个长方体的对角线长是___________,它的体积为___________.16.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米.三、解答题17.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm和40cm,求它的深度.18 *.已知半球内有一个内接正方体,求这个半球的体积与正方体的体积之比.[提示:过正方体的对角面作截面]19.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.(第20.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m ,高4 m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m (底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;(3)哪个方案更经济些?第一章 空间几何体参考答案A 组一、选择题1.A解析:从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断可能是棱台.2.A解析:原图形为一直角梯形,其面积S =21(1+2+1)×2=2+2. 3.A解析:因为四个面是全等的正三角形,则S 表面=4×43=3. 4.B解析:长方体的对角线是球的直径,l =2225+4+3=52,2R =52,R=225,S =4πR2=50π. 5.C解析:正方体的对角线是外接球的直径.6.D解析:V =V 大-V 小=31πr 2(1+1.5-1)=23π. 7.D解析:设底面边长是a ,底面的两条对角线分别为l 1,l 2,而21l =152-52,22l =92-52,而21l +22l =4a 2,即152-52+92-52=4a2,a =8,S 侧面=4×8×5=160.8.D解析:过点E ,F 作底面的垂面,得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱,V =2×31×43×3×2+21×3×2×23=215.9.B解析:斜二测画法的规则中,已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y 轴的线段,长度为原来的一半.平行于z 轴的线段的平行性和长度都不变.10.D解析:从三视图看底面为圆,且为组合体,所以选D.二、填空题11.参考答案:5,4,3.解析:符合条件的几何体分别是:三棱柱,三棱锥,三棱台.12.参考答案:1∶22∶33.r 1∶r2∶r 3=1∶2∶3,31r ∶32r ∶33r =13∶(2)3∶(3)3=1∶22∶33.13.参考答案:361a . 解析:画出正方体,平面A B1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点,三棱锥O -AB 1D 1的高h =33a ,V =31Sh =31×43×2a 2×33a =61a3. 另法:三棱锥O-A B1D1也可以看成三棱锥A -OB 1D 1,它的高为AO ,等腰三角形OB 1D1为底面.14.参考答案:平行四边形或线段. 15.参考答案:6,6.解析:设a b=2,b c=3,ac =6,则V = abc =6,c =3,a =2,b =1,l =1+2+3=6. 16.参考答案:12.解析:V =Sh =πr2h=34πR 3,R =32764×=12. 三、解答题17.参考答案:V =31(S +S S ′+S)h ,h=S S S S V ′+′+3=6001+4002+60030001903×=75.18.参考答案:如图是过正方体对角面作的截面.设半球的半径为R ,正方体的棱长为a ,则CC'=a ,OC =22a ,OC'=R .(第18题) 在Rt △C'CO 中,由勾股定理,得CC'2+OC 2=OC'2,即 a 2+(22a )2=R2. ∴R =26a ,∴V 半球=26πa3,V 正方体=a 3.C OA∴V 半球 ∶V 正方体=6π∶2.19.参考答案:S表面=S 下底面+S 台侧面+S锥侧面=π×52+π×(2+5)×5+π×2×22=(60+42)π.V =V 台-V 锥 =31π(21r +r 1r 2+22r )h -31πr 2h 1 =3148π. 20.解:(1) 参考答案:如果按方案一,仓库的底面直径变成16 m,则仓库的体积V1=31Sh =31×π×(216)2×4=3256π(m 3). 如果按方案二,仓库的高变成8 m ,则仓库的体积V2=31Sh =31×π×(212)2×8=3288π(m 3). (2) 参考答案:如果按方案一,仓库的底面直径变成16 m,半径为8 m . 棱锥的母线长为l =224+8=45,仓库的表面积S1=π×8×45=325π(m 2).如果按方案二,仓库的高变成8 m.棱锥的母线长为l =226+8=10,仓库的表面积S 2=π×6×10=60π(m 2).(3) 参考答案:∵V 2>V 1,S2<S 1,∴方案二比方案一更加经济些.。

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(完整版)高中数学必修二第一章同步练习(含答案).docx.1.1.1 柱、锥、台、球的的结构特征练习一一、选择题1、下列命题中,正确命题的个数是()(1 )桌面是平面;( 2)一个平面长 2 米,宽 3 米;( 3)用平行四边形表示平面,只能画出平面的一部分;(4)空间图形是由空间的点、线、面所构成。

A 、 1B、2C、3D、42、下列说法正确的是()A、水平放置的平面是大小确定的平行四边形B、平面ABCD就是四边形ABCD 的四条边围来的部分C、100 个平面重叠在一起比10 个平面重叠在一起厚D、平面是光滑的,向四周无限延展的面3、下列说法中表示平面的是()A、水面B、屏面C、版面D、铅垂面4、下列说法中正确的是()A、棱柱的面中,至少有两个面互相平行B、棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C、棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高D、棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形5、长方体的三条棱长分别是AA /=1 , AB=2 ,AD=4 ,则从 A 点出发,沿长方体的表面到C/的最短距离是()A、5C、29D、376、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()A、三棱锥B、四棱锥C、五棱锥D、六棱锥]7、过球面上两点可能作出球的大圆()A、0 个或 1 个B、有且仅有 1 个C、无数个D、一个或无数个8、一个圆柱的母线长为 5 ,底面半径为2,则圆柱的轴截面的面积为()A、10B、20二、填空题9、用一个平面去截一个正方体,截面边数最多是----------------条。

10、正三棱台的上、下底面边长及高分别为1、 2、 2,则它的斜高是------------。

11、一个圆柱的轴截面面积为Q,则它的侧面面积是----------------。

12、若圆锥的侧面面积是其底面面积的2 倍,则这个圆锥的母线与底面所成的角为----------------,圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为----------------。

(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试(包含答案解析)(1)

(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题1.若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1,当该圆锥体积取最小值时,该圆锥体积与其内切球体积比为( ) A .2:1B .4:1C .8:1D .8:32.已知正方体1111ABCD A B C D -,E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,则EF 和BD 所成的角的大小是( ) A .30B .45C .60D .903.如图,四棱柱ABCD A B C D ''''-中,底面ABCD 为正方形,侧棱AA '⊥底面ABCD ,32AB =,6AA '=,以D 为圆心,DC '为半径在侧面BCC B ''上画弧,当半径的端点完整地划过C E '时,半径扫过的轨迹形成的曲面面积为( )A .96π B .93π C .96π D .93π 4.如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为6cm ,该纸片上的正方形ABCD 的中心为O .E ,F ,G ,H 为圆O 上的点,ABE △,BCF △,CDG ,ADH 分别是以AB ,BC ,CD ,DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB ,BC ,CD ,DA 为折痕折起ABE △,BCF △,CDG ,ADH ,使得E ,F ,G ,H 重合得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时,该四棱锥的外接球的表面积为( )A .163πB .253πC .643πD .1003π5.如图,在四棱锥E ABCD -中,底面ABCD 是正方形,且平面ABCD ⊥平面AEB ,则( )A .DEC ∠可能为90︒B .若AEB △是等边三角形,则DEC 也是等边三角形C .若AEB △是等边三角形,则异面直线DE 和AB 所成角的余弦值为24D .若AEB △是直角三角形,则BE ⊥平面ADE6.在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是棱C 1D 1,B 1C 1的中点,P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点,若AP ∥平面BDEF ,则线段AP 长度的取值范围是( ) A .[322,5] B .[5,22]C .[324,6] D .[6,22]7.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形.其中3AB =,2AD =,PAD △是以A ∠为直角的等腰直角三角形,若60PAB ∠=︒,则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值是( )A 22B .22C 27D 2118.三个平面将空间分成n 个部分,则n 不可能是( ) A .5B .6C .7D .89.正三棱柱111ABC A B C -各棱长均为1,M 为1CC 的中点,则点1B 到面1A BM 的距离为( ) A 2B .22C .12D .3210.已知四面体ABCD ,AB ⊥平面BCD ,1AB BC CD BD ====,若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上,则球O 的表面积为( )A .73π B .7π C .712π D .79π 11.空间四边形PABC 的各边及对角线长度都相等,D 、E 、F 外别是AB 、BC 、CA 的中点,下列四个结论中不成立的是( ) A .//BC 平面PDF B . DF ⊥平面PAE C .平面PDE ⊥平面ABCD .平面PAE ⊥平面ABC12.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形,其中2O A ''=,45B A O '''∠=,//B C O A ''''.则原平面图形的面积为( )A .32B .62C .322D .34二、填空题13.已知直三棱柱111ABC A B C -,14AB BC AA ===,42AC =,若点P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点,若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π,则此时点P 构成的图形面积为________.14.已知正三棱锥A BCD -的四个顶点在球O 的球面上,2AB =,且π2BAC ∠=,则球O 的表面积为_______.15.如图,在矩形ABCD 中,2AB =,1AD =,点E 为CD 的中点,F 为线段CE (端点除外)上一动点.现将DAF △沿AF 折起,使得平面ABD ⊥平面ABC .设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ,θ的取值范围为__________.16.如图,四边形ABCD 是矩形,且有2AB BC =,沿AC 将ADC 翻折成AD C ',当二面角D AC B '--的大小为3π时,则异面直线D C '与AB 所成角余弦值是______.17.正四面体ABCD 棱长为2,AO ⊥平面BCD ,垂足为O ,设M 为线段AO 上一点,且90BMC ︒∠=则二面角M BC O --的余弦值为________.18.已知棱长为4的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点M 是棱AD 的中点,点N 是棱AA 1的中点,P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点(含边界),若C 1P ∥平面CMN ,则线段C 1P 长度的取值范围是________.19.已知四面体P ﹣ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC ,2AC 3=AB ,若四面体P ﹣ABC 的体积为32,则该球的体积为_____. 20.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,60BAC ∠=︒,23AB AC ==,2PA =,则三棱锥P ABC -外接球的半径为____________.三、解答题21.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1,2AC BC AC BC CC ⊥===.(1)求三棱柱111ABC A B C -的体积; (2)求异面直线1CB 与1AC 所成角的大小; (3)求二面角1B AC C --的平面角的余弦值.22.如图,四棱锥P ABCD -的底面为正方形,PA ⊥底面ABCD ,E ,F ,H 分别为AB ,PC ,BC 的中点.(1)求证:DE ⊥平面PAH ;(2)若2PA AD ==,求直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值.23.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA PD ⊥,PA PD =,3BAD π∠=,E 是线段AD 的中点,连结BE .(1)求证:BE PA ⊥;(2)求二面角A PD C --的余弦值;(3)在线段PB 上是否存在点F ,使得//EF 平面PCD ?若存在,求出PFPB的值;若不存在,说明理由.24.如图,在三棱锥M 中,M 为BC 的中点,3PA PB PC AB AC =====,26BC =.(1)求二面角P BC A --的大小; (2)求异面直线AM 与PB 所成角的余弦值. 25.如图,在三棱锥P ABC -中,1,2,135AB AC BAC ︒==∠=,1cos ,3BAP AP BC ∠=-⊥.(1)若23BM MC =,求证:PM BC ⊥; (2)当3AP =,且N 为BC 中点时,求AN 与平面PBC 所成角的正弦值.26.在三棱锥P ABC -中,AE BC ⊥于点,E CF AB ⊥于点F ,且AE CF O ⋂=,若点P 在平面ABC 上的射影为点O .(1)证明:AC PB ⊥;(2)若ABC 是正三角形,点,G H 分别为,PA PC 的中点.证明:四边形EFGH 是矩形.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系,根据体积公式和基本不等式得出答案. 【详解】设圆锥的高为h ,底面半径为r ,则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时,轴截面如图,由~AOE ACF 可得:22(1)11h r --=,即22r h h =-, ∴圆锥的体积22148[(2)4]33(2)323h V r h h h h ππππ===-++--.当且仅当22h -=,即4h =时取等号.∴该圆锥体积的最小值为83π. 内切球体积为43π. 该圆锥体积与其内切球体积比2:1. 故选:A .【点睛】方法点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.2.C解析:C 【分析】作出图形,连接1AD 、11B D 、1AB ,推导出1//EF AB ,11//BD B D ,可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠,分析11AB D 的形状,即可得出结果. 【详解】如下图所示,连接1AD 、11B D 、1AB ,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则11112AD AB B D === 所以,11AB D 为等边三角形,则1160AB D ∠=,因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点,所以,1//EF AB ,在正方体1111ABCD A B C D -中,11//BB DD 且11BB DD =, 所以,四边形11BB D D 为平行四边形,则11//BD B D , 所以,异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选:C. 【点睛】思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下: (1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角; (2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角; (3)计算:求该角的值,常利用解三角形; (4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.3.A解析:A 【分析】先确定曲面面积占以点D 为顶点, DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18,利用圆锥的侧面积S rl π=即可得出结论. 【详解】由题意 6,32CE CC AA BC AB ''=====22361832BE CE CB -=-=,所以45BCE ∠=, 45ECC '∠=, 所以曲面面积占以点D 为顶点, DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18,所以圆锥的侧面积 636186S rl CC DC ππππ'==⨯⨯=⨯⨯=, 所以曲面面积为1961868ππ⨯=. 故选:A. 【点睛】方法点睛:本题考查曲面面积,考查圆锥的侧面积,确定曲面面积占以点D 为顶点, DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18是关键,考查系数的空间想象力. 4.D解析:D 【分析】连接OE 交AB 于点I ,设E ,F ,G ,H 重合于点P ,正方形的边长为x (0x >)cm ,则2x OI =,62xIE =-,求出x 的值,再利用勾股定理求R ,代入球的表面积公式,即可得答案. 【详解】连接OE 交AB 于点I ,设E ,F ,G ,H 重合于点P ,正方形的边长为x (0x >)cm ,则2x OI =,62x IE =-, 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍, 所以246222x x x ⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭,解得4x =. 设该四棱锥的外接球的球心为Q ,半径为R ,如图,则QP QC R ==,22OC =16423OP =-=所以()(222RR =+,解得R =所以外接球的表面积为210043S ππ==(2cm ). 故选:D . 【点睛】关键点点睛:本题考查平面图形的折叠,四棱锥外接球的半径,解题关键在于平面图形折叠成立体图形后,要明确变化的量和没有变的量,以及线线的位置,线面的位置关系,对于几何体的外接球的问题,关键在于确定外接球的球心的位置.5.C解析:C 【分析】对A ,直角三角形的斜边大于直角边可判断;对B ,由>=EC EB DC 可判断;对C ,可得CDE ∠即异面直线DE 和AB 所成角,即可求出;对D ,EAB ∠(或EBA ∠)为直角时,BE 与平面ADE 不垂直. 【详解】对A ,由题意,若90DEC ∠=︒,则DC EC >,但EC BC CD >=,故A 不正确; 对B ,若AEB △是等边三角形,显然有>=EC EB DC ,所以DEC 不会是等边三角形,故B 不正确;对C ,若AEB △是等边三角形,设边长为2,则DE EC ==//AB CD ,则CDE ∠即异面直线DE 和AB 所成角,易求cos4CDE ∠==,故C 正确; 对D ,当AEB △是以AEB ∠为直角的直角三角形时,BE ⊥平面ADE ,当AEB △是以EAB ∠(或EBA ∠)为直角的直角三角形时,BE 与平面ADE 不垂直,故D 不正确. 故选:C. 【点睛】本题考查四棱锥的有关位置关系的判断,解题的关键是正确理解长度关系,正确理解位置关系的变化.6.A解析:A 【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ,连接MN ,可证平面AMN ∥平面BDEF ,得P 点在线段MN 上.由此可判断当P 在MN 的中点时,AP 最小;当P 与M 或N 重合时,AP 最大.然后求解直角三角形得答案. 【详解】如图所示,分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ,连接MN ,连接B 1D 1, ∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点,∴MN ∥B 1D 1,EF ∥B 1D 1,∴MN ∥EF ,又MN ⊄平面BDEF ,EF ⊂平面BDEF ,∴MN ∥平面BDEF ; 连接NF ,由NF ∥A 1B 1,NF =A 1B 1,A 1B 1∥AB ,A 1B 1=AB , 可得NF ∥AB ,NF =AB ,则四边形ANFB 为平行四边形,则AN ∥FB ,而AN ⊄平面BDEF ,FB ⊂平面BDEF ,则AN ∥平面BDEF . 又AN ∩NM =N ,∴平面AMN ∥平面BDEF .又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点,且AP ∥平面BDEF ,∴P 点在线段MN 上. 在Rt △AA 1M 中,AM 222211215AA A M =+=+=,同理,在Rt △AA 1N 中,求得AN 5=,则△AMN 为等腰三角形.当P 在MN 的中点时,AP 最小为222322()2+=, 当P 与M 或N 重合时,AP 最大为5.∴线段AP 长度的取值范围是32,52⎡⎤⎢⎥⎣. 故选:A .【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题,其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键,意在考查空间想象能力与运算能力,属于中档试题.7.D解析:D 【分析】在图形中找到(并证明)异面直线所成的角,然后在三角形中计算. 【详解】因为//AD BC ,所以PCB ∠是异面直线PC 与AD 所成角(或其补角), 又PA AD ⊥,所以PA BC ⊥,因为AB BC ⊥,AB PA A ⋂=,,AB PA ⊂平面PAB ,所以BC ⊥平面PAB , 又PB ⊂平面PAB ,所以PB BC ⊥. 由已知2PA AD ==,所以22222cos 23223cos607PB PA AB PA AB PAB =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=22211cos 11(7)2BC PCB PC ∠===+, 所以异面直线PC 与AD 所成角的余弦值为21111. 故选:D . 【点睛】思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下: (1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角; (2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角; (3)计算:求该角的值,常利用解三角形; (4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.8.A解析:A 【分析】三个平面不重合,先按其中平行的平面的个数分类:三个平面两两平行,两个平面平行,没有平行的平面(两两相交),对两两相交的情况,再根据三条交线互相平行,重合,交于一点,分别讨论. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类:(1)三个平面两两平行,如图1,可将空间分成4部分;(2)两个平面平行,第三个平面与这两个平行平面相交,如图2,可将空间分成6部分;(3)三个平面中没有平行的平面:(i )三个平面两两相交且交线互相平行,如图3,可将空间分成7部分; (ii )三个平面两两相交且三条交线交于一点,如图4,可将空间分成8部分.(iii )三个平面两两相交且交线重合,如图5,可将空间分成6部分;综上,可以为4,6,7,8部分,不能为5部分, 故选:A.9.B解析:B 【分析】 连接11A N B AB =,根据已知条件先证明11B A A B ⊥、1⊥MN AB ,再通过线面垂直的判定定理证明1AB ⊥平面1A BM ,由此确定出1B N 的长度即为点1B 到面1A BM 的距离,最后完成求解. 【详解】连接1B A 交1A B 于N ,连接11,,,,MB MN MB MA MA ,如图所示:因为11A ABB 为正方形,所以11B A A B ⊥, 又因为22111115142MB MC C B =+=+=2215142MA MC CA =+=+=, 所以1MB MA =且N 为1AB 中点,则MN 为等腰三角形1AMB 的中垂线, ∴1⊥MN AB 且1MNA B N =,∴1AB ⊥平面1A BM ,∴1B N 就是点1B 到截面1A BM 的距离, 又因为111121122B N AB ==+=,所以点1B 到截面1A BM 2, 故选:B. 【点睛】方法点睛:求解平面外一点A 到平面α的距离的方法:(1)几何方法:通过线面垂直的证明,找到A 在平面α内的投影点A ',则AA '即为A 到平面α的距离;(2)向量方法:①建立合适空间直角坐标系,在平面α内取一点B ;②求解出AB 和平面α的法向量n ;③根据AB n d n⋅=即可求解出点A 到平面α的距离.10.A解析:A 【分析】本题首先可根据题意将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分,然后求出直三棱柱的外接球的半径,最后根据球的表面积计算公式即可得出结果. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ,1AB BC CD BD ====,所以可将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分,如图所示:则四面体ABCD 的外接球即直三棱柱的外接球,因为底面三角形BCD 的外心到三角形BCD 的顶点的长度为222131323, 所以直三棱柱的外接球的半径221372312r, 则球O 的表面积2277π4π4π123S r ,故选:A. 【点睛】关键点点睛:本题考查四面体的外接球的表面积的计算,能否将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分是解决本题的关键,考查直三棱柱的外接球的半径的计算,是中档题.11.C解析:C 【分析】由线面平行的判定定理可判断A ;由线面垂直的判定定理可判断B ;反证法可说明C ;由面面垂直的判定定理可判断D. 【详解】 对于A ,D ,F 外别是AB ,CA 的中点,//BC DF ∴,DF ⊂平面PDF ,∴//BC 平面PDF ,故A 正确,不符合题意;对于B ,各棱长相等,E 为BC 中点,,BC AE BC PE ∴⊥⊥,PEAE E =,BC ∴⊥平面PAE ,//BC DF ,∴DF ⊥平面PAE ,故B 正确,不符合题意;对于C ,假设平面PDE ⊥平面ABC ,设DE BF O ⋂=,连接PO ,则O 是DE 中点,PO DE ∴⊥,平面PDE平面ABC DE =,PO ∴⊥平面ABC ,BF ⊂平面ABC ,PO BF ∴⊥,则PB PF =,与PB PF ≠矛盾,故C 错误,符合题意;对于D ,由B 选项 DF ⊥平面PAE , DF ⊂平面ABC ,∴平面PAE ⊥平面ABC ,故D 正确,不符合题意. 故选:C. 【点睛】本题考查线面关系和面面关系的判定,解题的关键是正确理解判断定理,正确理解垂直平行关系.12.A解析:A 【分析】作出原平面图形,然后求出面积即可. 【详解】45B A O '''∠=B O A '''=∠,则O A B '''△是等腰直角三角形,∴2A B OB '''==又O C C B ''''⊥,45C O B '''∠=︒,∴1B C ''=, 在直角坐标系中作出原图形为:梯形OABC ,//OA BC ,2,1OA BC ==,高22OB = ∴其面积为1(21)22322S =+⨯= 故选:A 【点睛】方法点睛:本题考查斜二测法画平面图形直观图,求原图形的面积,可能通过还原出原平面图形求得面积,也可以通过直观图到原图形面积的关系求解:直观图面积为S ',原图形面积为S ,则2S S '=二、填空题13.【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面 解析:4π【分析】确定ABC 是等腰直角三角形,11,AC A C 的中点1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心,由直棱柱性质得P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上,外接球面与平面111A B C 的交线是圆,是以1D 为圆心,1D P 为半径的圆,求出1PD 可得面积. 【详解】4,2AB BC AC ===90ABC ∠=︒,设1,D D 分别是11,AC A C 的中点,则1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心,由直三棱柱的性质得1DD ⊥平面ABC , 所以P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上,如图,24()41OA ππ=,则41OP OA ==,2222413(22)22OD OA AD ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以11135422OD DD OD AA OD =-=-=-=, 222211415222PD OP OD ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, P ABC -的外接球面与平面111A B C 的交线是圆,是以1D 为圆心,1D P 为半径的圆,其面积为224S ππ=⨯=. 故答案为:4π.【点睛】关键点点睛:本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解,重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解,关键是根据外接球的性质确定球心位置,结合勾股定理得出动点所满足的具体条件,结论:三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上.14.【分析】经分析正三棱锥是以△BCD 底面的三棱锥可以把看出以AB 为边长的正方体切割下来的可借助于正方体的外接球求解【详解】正三棱锥中所以△BCD 为底面且所以正三棱锥是以AB 为边长的正方体切割下来的所以 解析:6π【分析】经分析,正三棱锥A BCD -是以△BCD 底面的三棱锥,可以把看出以AB 为边长的正方体切割下来的,可借助于正方体的外接球求解. 【详解】正三棱锥A BCD -中,π2BAC ∠=, 所以△BCD 为底面,且π2BAD DAC BAC ∠=∠=∠=, 所以正三棱锥A BCD -是以AB 为边长的正方体切割下来的, 所以正三棱锥A BCD -的外接球就是正方体的外接球.设外接球的半径为R ,所以2R =所以外接球的表面积为246S R ππ==. 故答案为:6π 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径,求半径的方法有:(1)公式法;(2) 多面体几何性质法;(3)补形法;(4)寻求轴截面圆半径法;(5)确定球心位置法.15.【分析】在矩形中作交于交于在翻折后的几何体中证得平面平面从而平面得是直线与平面所成的角设C 求得的范围后可得范围【详解】在矩形中作交于交于设由图易知∴即∴则在翻折后的几何体中又平面∴平面又平面∴平面平解析:(0,]6π【分析】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥,交AF 于O ,交AB 于M ,在翻折后的几何体中,证得平面ODM ⊥平面ABCF ,从而DM ⊥平面ABCF ,得DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角.设(01)CF x x =<<C ,求得sin θ的范围后可得θ范围.【详解】在矩形ABCD 中作DO AF ⊥,交AF 于O ,交AB 于M , 设(01)CF x x =<<,AM t =,由图易知DAM FDA △△,∴AM AD DA DF =,即112t x =-,∴12t x=-,01x <<,则112t <<. 在翻折后的几何体中,AF OD ⊥,AF OM ⊥,又OD OM O =,,OD OM ⊂平面ODM ,∴AF ⊥平面ODM ,又AF ⊂平面ABCF ,∴平面ODM ⊥平面ABCF ,又平面ABD ⊥平面ABC AB =.平面ODM平面ABD DM =,∴DM ⊥平面ABCF ,连接MF ,则DFM ∠是直线FD 与平面ABCF 所成的角.DFM θ∠=,而DM =12DF x t=-=,∴2422211sin 1()24DM t t t t t DF θ==-=-+=--+, ∵112t <<,∴2114t <<,∴10sin 2θ<≤,即06πθ<≤.故答案为:(0,]6π.【点睛】方法点睛:本题考查求直线与平面所成的角,求线面角常用方法:(1)定义法:作出直线与平面所成的角并证明,然后在直角三角形中计算可得; (2)向量法:建立空间直角坐标系,由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算.16.【分析】作于于可得等于二面角的平面角从而可得然后求得而因此可得是异面直线与所成角(或补角)这样在求解可得【详解】如图作于于则连接根据二面角平面角的定义知与的夹角等于二面角的平面角所以因为所以设则在矩解析:12. 【分析】作DM AC ⊥于M ,BN AC ⊥于N ,可得,MD NB '<>等于二面角D AC B '--的平面角,从而可得DMD '∠,然后求得DD ',而//AB CD ,因此可得D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角(或补角).这样在DCD '求解可得.【详解】如图,作DM AC ⊥于M ,BN AC ⊥于N ,则//DM BN ,连接,D M DD '', 根据二面角平面角的定义知MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角, 所以,3MD NB π'<>=,因为//DM BN ,所以23DMD π'∠=, 设1BC =,则22AB BC ==ABCD 中,3AC =1263DM ⨯==, 63D M DM '==, 则222222666612cos 22333332DD DM D M DM D M π⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以2DD '=,因为//AB CD ,所以D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角(或补角).DCD '是正三角形,3D CD π'∠=,1cos 2D CD '∠=. 所以异面直线D C '与AB 所成角余弦值是12. 故答案为:12.【点睛】关键点点睛:本题考查求异面直线所成的角,解题方法根据异面直线所成角定义作出它们所成的角,然后解三角形可得,解题关键是利用图中MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角,从而求得DMD '∠,只要设1BC =,可求得DD ',从而求得结论.17.【分析】连接延长交于则是中点可得是二面角的平面角求出可得结论【详解】由已知是中心连接延长交于则是中点连接则而∴平面平面∴∴是二面角的平面角由对称性又由平面平面得∴故答案为:【点睛】关键点点睛:本题考 3 【分析】连接DO 延长交BC 于E ,则E 是BC 中点,可得MEO ∠是二面角M BC O --的平面角.求出,ME OE 可得结论. 【详解】由已知O 是BCD △中心,连接DO 延长交BC 于E ,则E 是BC 中点,连接AE ,则BC AE ⊥,BC DE ⊥,而AEDE E =,∴BC ⊥平面AED ,ME ⊂平面AED ,∴BC ME ⊥,∴MEO ∠是二面角M BC O --的平面角.2BC =,90BMC ︒∠=,由对称性2BM CM ==,112ME BC ==, 又1133233EO DE ==⨯⨯=, 由AO ⊥平面BCD ,EO ⊂平面BCD ,得AO EO ⊥, ∴3cos 3EO MEO ME ∠==. 故答案为:33.【点睛】关键点点睛:本题考查求二面角,解题关键是作出二面角的平面角.这可根据平面角的定义作出(并证明),然后在直角三角形中求角即得.注意一作二证三计算三个步骤.18.【分析】分别取棱的中点连接易证平面平面由题意知点必在线段上由此可判断在或处时最长位于线段中点处时最短通过解直角三角形即可求得【详解】如下图所示连分别为所在棱的中点则又平面平面平面四边形为平行四边形又 解析:[32,25]【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ,连接MN ,易证平面1//A MN 平面AEF ,由题意知点P 必在线段MN 上,由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长,位于线段MN 中点处时最短,通过解直角三角形即可求得. 【详解】 如下图所示,连MN ,EF ,1A D ,EMM ,N ,E ,F 分别为所在棱的中点,则1//MN A D ,1//EF A D ,//EF MN ∴,又MN ⊂平面1C EF ,EF ⊂平面1C EF ,//MN ∴平面1C EF .11//,C C EM C C EM =, ∴四边形1C CME 为平行四边形,1//C E CM ,又CM ⊄平面1C EF ,1C E ⊂平面1C EF ,//CM ∴平面1C EF ,又NMCM M =,∴平面//NMC 平面1C EF .P 是侧面四边形ADD 1A 1内一动点,且C 1P ∥平面CMN , ∴点P 必在线段EF 上.在Rt △11C D E 中,222211114225C E C D D E =+=+=同理,在Rt △11C D F 中,可得125C F =,∴△1C EF 为等腰三角形.当点P 为EF 中点O 时,1C P EF ⊥,此时1C P 最短;点P 位于,E F 处时,1C P 最长.()222211(25)232C O C E OE =-=-=1125C E C F ==∴线段1C P 长度的取值范围是[32,25].故答案为:[32,25] 【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题,考查学生的运算能力及推理转化能力,属中档题,解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置.19.【分析】根据四面体是球的内接四面体结合位置关系可得棱锥的形状以及棱长之间的关系利用体积公式即可代值计算【详解】设该球的半径为R 则AB =2R2ACAB2R ∴ACR 由于AB 是球的直径所以△ABC 在大圆所解析:【分析】根据四面体是球的内接四面体,结合位置关系,可得棱锥的形状,以及棱长之间的关系,利用体积公式即可代值计算. 【详解】设该球的半径为R ,则AB =2R ,2AC ==2R , ∴AC=,由于AB 是球的直径,所以△ABC 在大圆所在平面内且有AC ⊥BC , 在Rt △ABC 中,由勾股定理,得:BC 2=AB 2﹣AC 2=R 2,所以R t △ABC 面积S 12=⨯BC ×AC =2, 又PO ⊥平面ABC ,且PO =R ,四面体P ﹣ABC 的体积为32,∴VP ﹣ABC 13=⨯R R 232=3=9,R 3=所以:球的体积V 43=⨯πR 343=⨯=.故答案为:. 【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算,属基础题;本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态,从而解决问题.20.【分析】先在等边三角形中求出外接圆半径从而可求该三棱锥的外接球的半径【详解】详解:因为所以为等边三角形所以等边外接圆的半径为如图三棱锥外接球球心为半径为设球心到平面的距离为外接圆圆心为连接则平面取中【分析】先在等边三角形ABC 中求出BC =,外接圆半径2r ,从而可求该三棱锥的外接球的半径. 【详解】详解:因为060AB AC BAC ==∠=,所以ABC 为等边三角形,所以BC =ABC 外接圆的半径为23r,如图,三棱锥P ABC -外接球球心为O ,半径为R , 设球心O 到平面ABC 的距离为d ,ABC 外接圆圆心为'O , 连接,','AO AO OO ,则'OO ⊥平面ABC , 取PA 中点,D OP OA =,所以OD PA ⊥,又PA ⊥平面ABC ,所以//PA OO ',则四边形'ADOO 是矩形, 所以在PDO △和'OAO △中,由勾股定理可得()222222222R d R d ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩,解得:1,5d R ==. 故答案为:5.【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的表面积,其中根据几何体的结构特征和球的性质,求得三棱锥的外接球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力,以及推理与运算能力.三、解答题21.(1)4;(2)60︒;(33【分析】(1)根据棱锥的体积公式求解即可;(2)作辅助线,利用平行得出异面直线1CB 与1AC 所成角就是COE ∠,再结合等边三角形的性质得出夹角;(3)过C 作1CF AC ⊥于点F ,连接,CF BF ,由11,CF AC BF AC ⊥⊥结合定义得出二面角1B AC C --的平面角,再由直角三角形的边角关系得出平面角的余弦值. 【详解】(1)三棱柱111ABC A B C -的体积1122242ABC V SCC ⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭(2)记1BC 与1B C 的交点为O ,作AB 的中点E ,连接,OE CE ,异面直线1CB 与1AC 所成角就是COE ∠2CO OE CE ===60COE ︒∴∠=(3)过C 作1CF AC ⊥于点F ,连接,CF BF11,CF AC BF AC BFC ⊥⊥⇒∠为所求角3tan 2,cos 32BC BFC BFC FC ∠===∠=【点睛】关键点睛:在求异面直线的夹角时,关键是利用中位线定理得出平行,从而得出异面直线的夹角.22.(1)证明见解析;(2)105. 【分析】(1)由PA ⊥底面ABCD ,得PA DE ⊥,由Rt ABH Rt DAE ≌△△,得DE AH ⊥,可得答案.(2)由可知DE ⊥平面PAH ,连接PG ,则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角,在Rt PDG △中,由sin DPG ∠可得答案. 【详解】(1)因为PA ⊥底面ABCD ,DE ⊂底面ABCD ,所以PA DE ⊥,因为E ,H 分别为正方形ABCD 的边AB ,BC 的中点,,,AB DA BH AE HBAEAD ,所以Rt ABH Rt DAE ≌△△,所以BAH ADE ∠=∠,由90AED ADE ∠+∠=所以90BAH AED ∠+∠=,所以DE AH ⊥, 因为PA ⊂平面PAH ,AH ⊂平面PAH ,PA AH A ⋂=,所以DE ⊥平面PAH .(2)由(1)可知DE ⊥平面PAH ,设AH DE G ⋂=,如图,连接PG ,则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角, 因为2PA AD ==,所以22PD =,5DE =, 在Rt DAE 中,由于AG DE ⊥,所以2AD DG DE =⋅, 所以45DG =⋅,所以5DG =, 所以在Rt PDG △中,105sin 22DG DPG PD ∠===,即直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值为10.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、线面角的求法,对于线面角的求法的步骤,作:作(或找)出斜线在平面上的射影,证:证明某平面角就是斜线与平面所成的角;算:通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算. 23.(1)证明见解析;(2)73)存在;12PF PB =. 【分析】(1)首先证明BE AD ⊥,再由面面垂直的性质定理可得BE ⊥平面PAD ,即证. (2)连结PE ,以E 为坐标原点,EP ,EA ,EB 为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,(0,3,0)EB a =是平面PAD 的一个法向量,再求出平面PCD 的一个法向量,利用空间向量的数量积即可求解.(3)根据题意可得EF 与平面PCD 的法向量垂直,假设线段PB 上存在点F 使得//EF 平面PCD ,再利用向量的数量积即可求解. 【详解】解:(1)因为四边形ABCD 为菱形,所以AB AD =.。

(2021年整理)高中数学必修二第一章测试题及答案

(2021年整理)高中数学必修二第一章测试题及答案

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第一章空间几何体一、选择题1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体可能是一个().主视图左视图俯视图(第1题)A.棱台B.棱锥C.棱柱D.正八面体2.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( ).A.2+2B.221+C.22+2D.2+13.棱长都是1的三棱锥的表面积为( ).A.3B.23C.33D.434.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( ).A.25πB.50πC.125πD.都不对5.正方体的棱长和外接球的半径之比为( ).A.3∶1 B.3∶2 C.2∶3D.3∶36.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是().A.130 B.140 C.150 D.1607.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是( ).(第7题)8.已知a 、b 、c 是直线,β是平面,给出下列命题: ①若c a c b b a //,,则⊥⊥; ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//; ③若b a b a //,,//则ββ⊂;④若a 与b 异面,且ββ与则b a ,//相交;⑤若a 与b 异面,则至多有一条直线与a ,b 都垂直. 其中真命题的个数是A .1B .2C .3D .4二、填空题9.若三个球的表面积之比是1∶2∶3,则它们的体积之比是_____________.10.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 中,O 是上底面ABCD 的中心,若正方体的棱长为a ,则三棱锥O -AB 1D 1的体积为_____________.11.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,则这个长方体的对角线长是___________,它的体积为___________.三、解答题12 .已知半球内有一个内接正方体,求这个半球的体积与正方体的体积之比.13.如图,在四边形ABCD 中,∠DAB =90°,∠ADC =135°,AB =5,CD =22,AD =2,求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.(第13题)15。

(好题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(有答案解析)

(好题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(有答案解析)

一、选择题1.如下图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是平面11ADD A 的中心,M 、N 、F 分别是11B C 、1CC 、AB 的中点,则下列说法正确的是( )A .12MN EF =,且MN 与EF 平行B .12MN EF ≠,且MN 与EF 平行 C .12MN EF =,且MN 与EF 异面 D .12MN EF ≠,且MN 与EF 异面 2.如图,圆锥的母线长为4,点M 为母线AB 的中点,从点M 处拉一条绳子,绕圆锥的侧面转一周达到B 点,这条绳子的长度最短值为25,则此圆锥的表面积为( )A .4πB .5πC .6πD .8π 3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的体积(单位:3cm )是( )A .24B .30C .47D .67 4.已知点A ,B ,C 在半径为5的球面上,且214AB AC ==,27BC =,P 为球面上的动点,则三棱锥P ABC -体积的最大值为( )A .567B .527C .497D .14735.如图为某几何体的三视图,正视图、左视图和俯视图均为等腰直角三角形,则该几何体的表面积是( )A .23+B .223+C .63D .66.三棱锥P ABC -中,6AB =,8AC =,90BAC ∠=︒,若52PA PB PC ===则点B 到平面PAC 的距离为( )A .32B 3041C 1534D .67.已知四面体ABCD 中,二面角A BC D --的大小为60,且2AB =,4CD =,120CBD ∠=,则四面体ABCD 体积的最大值是( )A .439B .239C .83D .438.如下图所示是一个正方体的平面展开图,在这个正方体中①//BM平面ADE ;②DE BM ⊥;③平面//BDM 平面AFN ;④AM ⊥平面BDE .以上四个命题中,真命题的序号是( )A .①②③④B .①②③C .①②④D .②③④ 9.在正方体1111ABCD A B C D -中,三棱锥11A B CD -的表面积为43,则正方体外接球的体积为( )A .43πB .6πC .323πD .86π10.已知直线a 、b 都不在平面α内,则下列命题错误的是( )A .若//a b ,//a α,则//b αB .若//a b ,a α⊥,则b α⊥C .若a b ⊥,//a α,则b α⊥D .若a b ⊥,a α⊥,则//b α11.在正方体1111ABCD A B C D -中,M 和N 分别为11A B ,和1BB 的中点.,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )A .25B .1010C .35D .3212.已知在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中,14,42AB BD ==60BAD ︒∠=,则异面直线1B C 与1AD 所成的角为( )A .90︒B .60︒C .45︒D .30︒二、填空题13.已知直三棱柱111ABC A B C -,14AB BC AA ===,42AC =,若点P 是上底面111 A B C 所在平面内一动点,若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π,则此时点P 构成的图形面积为________.14.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,22AB =,3BC =,4PA =,4ABC π∠=,则该三棱锥的外接球体积为___________.15.如图在菱形ABCD 中,2AB =,60A ∠=,E 为AB 中点,将AED 沿DE 折起使二面角A ED C '--的大小为90,则空间A '、C 两点的距离为________;16.如图,已知ABC 的顶点C ∈平面α,点,A B 在平面α的同一侧,且||23,||2AC BC ==.若,AC BC 与平面α所成的角分别为5,124ππ,则ABC 面积的取值范围是_____17.在三棱锥-P ABC 中,侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形,若3PA =,则侧棱PA 与底面ABC 所成的角的大小是___________.18.已知扇形的面积为56π,圆心角为63π,则由该扇形围成的圆锥的外接球的表面积为_________. 19.有一个半径为4的球是用橡皮泥制作的,现要将该球所用的橡皮泥重新制作成一个圆柱和一个圆锥,使得圆柱和圆锥有相等的底面半径和相等的高,若它们的高为8,则它们的底面圆的半径是___________.20.若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,23AB =,7SA SB SC ===,则该三棱锥的外接球的表面积为__________.三、解答题21.已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形,60,BCD PD AD ∠=︒⊥,点E 是BC 边的中点.(Ⅰ)求证:AD ⊥平面PDE ;(Ⅱ)若二面角P AD C --的大小等于60︒,且834,3AB PD ==①点P 到平面ABCD 的距离;②求直线PB 与平面ABCD 所成角的大小.22.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,PA ⊥底面ABCD ,PA AB =,点M 是棱PD 的中点.(1)求证://PB 平面ACM ;(2)求三棱锥P ACM -的体积.23.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,32,3,PB PD PA AD ====点,E F 分别为线段,PD BC 的中点.(1)求证://EF 平面ABP ;(2)求证:平面AEF ⊥平面PCD ;(3)求三棱锥C AEF -的体积24.如图,四棱锥P ABCD -中,2PC PD DC AD ===,底面ABCD 为矩形,平面PCD ⊥平面ABCD ,O 、E 分别是棱CD 、PA 的中点.(1)求证://OE 平面PBC ;(2)求二面角P AB C 的大小.25.在三棱锥P ABC -中,AE BC ⊥于点,E CF AB ⊥于点F ,且AE CF O ⋂=,若点P 在平面ABC 上的射影为点O .(1)证明:AC PB ⊥;(2)若ABC 是正三角形,点,G H 分别为,PA PC 的中点.证明:四边形EFGH 是矩形.26.已知圆锥的侧面展开图为半圆,母线长为23.(1)求圆锥的底面积;(2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱,当圆柱的侧面积最大时,求圆柱的体积.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【分析】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,利用正方体性质可求得2MN =,3EF =知12MN EF ≠,再利用三角形中位线性质知1//MN B C ,从而//MN ED ,又EF 与ED 相交,可知MN 与EF 异面,即可选出答案.【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,则22112MN MC C N =+=作E 点在平面ABCD 的投影点G ,即EG ⊥平面ABCD ,连接,EG GF ,在直角EGF △中,1EG =,222GF AG AF =+=2222123EF EG GF =+=+=以12MN EF ≠,故排除A 、C连接DE ,由E 是平面11ADD A 的中心,得112DE A D = 又M N 、分别是11B C 、1CC 的中点,所以1//MN B C又11//A D B C ,所以//MN ED ,又EF ED E ⋂=,所以MN 与EF 异面故选:D.【点睛】关键点睛:本题考查正方体中的线面关系,线线平行的关系,及判断异面直线,解题的关键是熟记正方体的性质,考查学生的逻辑推理能力,属于基础题.2.B解析:B【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形,且线段25MB =计算底面圆半径即可求解.【详解】设底面圆半径为r ,由母线长4l ,可知侧面展开图扇形的圆心角为22r r l ππα==, 将圆锥侧面展开成一个扇形,从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ,最短距离为BM ; 如图,在ABM 中,25,2,4MB AM AB ===,所以222AM AB MB +=,所以2MAB π∠=,故22r ππα==,解得1r =,所以圆锥的表面积为25S rl r πππ=+=,故选:B【点睛】关键点点睛:首先圆锥的侧面展开图为扇形,其圆心角为2r l πα=,其次从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ,绳子的最短距离即为展开图中线段MB 的长,解三角即可求解底面圆半径r ,利用圆锥表面积公式求解. 3.D解析:D【分析】先找到几何体的原图,再求出几何体的高,再求几何体的体积得解.【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -,由题得22437AD =-7所以几何体的体积为11(24)676732⋅+⋅=. 故选:D【点睛】方法点睛:通过三视图找几何体原图常用的方法有:(1)直接法;(2)拼凑法;(3)模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 4.A解析:A【分析】求出球心到平面ABC 的距离,由这个距离加上球半径得P 到平面ABC 距离的最大值,再由体积公式可得P ABC -体积的最大值.【详解】如图,M 是ABC 的外心,O 是球心,OM ⊥平面ABC ,当P 是MO 的延长线与球面交点时,P 到平面ABC 距离最大, 由214AB AC ==,27BC =,得72cos 214ACB ∠==,则14sin 4ACB ∠=, 21428sin 144AB AM CB ===∠,4AM =, 2222543OM OA AM =-=-=,358PM =+=,又1114sin 2142777224ABC S AC BC ACB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△, 所以最大的15677783P ABC V -=⨯⨯=. 故选:A .【点睛】本题考查求三棱锥的体积,解题关键是确定三棱锥体积最大时P 点在球面上的位置,根据球的性质易得结论.当底面ABC 固定,M 是ABC 外心,当PM ⊥平面ABC ,且球心O 在线段PM 上时,P 到平面ABC 距离最大.5.A解析:A【分析】由三视图可知原几何体是三棱锥,平面ACD ⊥平面ABC ,ACD ACB ≅底面是等腰直角三角形,底为2AC =,高为1BE =,ABD BCD ≅是边长为2的等边三角形,计算四个三角形面积之和即可求解.【详解】由三视图可知原几何体是三棱锥:底面ACB △是等腰直角三角形,底2AC =,高1BE =,平面ACD ⊥平面ABC ,ACD ACB ≅,由三视图知ACB △中,2AC =,ACB △是等腰直角三角形,所以2AB BC ==ACD △是等腰直角三角形,2AD CD ==,2AC =,222BD BE DE =+=所以等腰直角三角形ACB △的面积为12112⨯⨯=, 等腰直角三角形ACD △的面积为12112⨯⨯=, 等边ABD △的面积为233242=, 等边BCD △的面积为233242=, 所以该几何体的表面积是331123++=+, 故选:A.6.C解析:C 【分析】取BC 中点为O ,连接OP ,OA ,根据题中条件,由线面垂直的判断定理,证明PO ⊥平面ABC ;求出三棱锥P ABC -的体积;以及PAC △的面积,设点B 到平面PAC 的距离为d ,根据等体积法,由P ABC B PAC V V --=,即可求出结果. 【详解】取BC 中点为O ,连接OP ,OA ,因为6AB =,8AC =,90BAC ∠=︒,所以226810BC =+=,则152AO BC ==; 又52PA PB PC ===222100PB PC BC +==,则PB BC ⊥,152PO BC ==, 所以22250PO OA PA +==,所以PO AO ⊥; 因为PB PC =,O 为BC 中点,所以PO BC ⊥,又BC AO O ⋂=,BC ⊂平面ABC ,AO ⊂平面ABC ,所以PO ⊥平面ABC ; 此时三棱锥P ABC -的体积为11168540332P ABC ABCV S PO -=⋅=⨯⨯⨯⨯=, 因为在PAC △中,52PA PC ==,8AC =,所以PAC △的面积为221843422PACAC SPA ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭, 设点B 到平面PAC 的距离为d , 由P ABC B PAC V V --=可得1403PACS d =⋅,所以153417434d ==. 故选:C. 【点睛】 方法点睛:求解空间中点P 到面α的距离的常用方法:(1)等体积法:先设所求点到面的距离,根据几何体中的垂直关系,由同一几何体的不同的侧面(或底面)当作底,利用体积公式列出方程,即可求解;(2)空间向量法:先建立适当的空间直角坐标系,求出平面α的一个法向量m ,以及平面α的一条斜线PA 所对应的向量PA ,则点P 到面α的距离即为PA m d m⋅=.7.D解析:D 【分析】在BCD △中,利用余弦定理和基本不等式可得163BC BD ⋅≤,由三角形的面积公式可得BCDS≤,由二面角A BC D --的大小为60,可得A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==ABCD 体积的最大值.【详解】在BCD △中,由余弦定理可得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅22BC BD BC BD =++⋅因为222BC BD BC BD +≥,所以23CD BC BD ≥⋅, 所以163BC BD ⋅≤,当且仅当BC BD =时等号成立,1116sin120223BCDSBC BD =⋅≤⨯= 因为二面角A BC D --的大小为60,所以点A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==所以114333A BCD BCDV S h -=⋅≤=, 所以四面体ABCD 体积的最大值是43, 故选:D 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是利用余弦定理和基本不等式、三角形面积公式求出BCD S △最大值,再由二面角求出高的最大值.8.A解析:A 【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ,得出BM ∥平面ADNE ,判断①正确;由连接AN ,则AN ∥BM ,又ED AN ⊥,判断②正确;由BD ∥FN ,得出BD ∥平面AFN ,同理BM ∥平面AFN ,证明平面BDM ∥平面AFN ,判断③正确;由MC BD ⊥,ED ⊥AM ,根据线面垂直的判定,判断④正确.【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ,如图1所示; 对于①,平面BCMF ∥平面ADNE ,BM ⊂平面BCMF , ∴BM ∥平面ADNE ,①正确;对于②,如图2所示,连接AN ,则AN ∥BM ,又ED AN ⊥,所以DE BM ⊥,②正确; 对于③,如图2所示,BD ∥FN ,BD ⊄平面AFN ,FN ⊂平面AFN ,∴BD ∥平面AFN ;同理BM ∥平面AFN ,且BD ∩BM =B ,∴平面BDM ∥平面AFN ,③正确; 对于④,如图3所示,连接AC ,则BD AC ⊥,又MC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以MC BD ⊥,又AC MC C ,所以BD ⊥平面ACM ,所以BD ⊥AM , 同理得ED ⊥AM ,ED BD D =,所以AM ⊥平面BDE ,∴④正确.故选:A .【点睛】关键点点睛:解决本题的关键在于展开空间想象,将正方体的平面展开图还原,再由空间的线线,线面,面面关系及平行,垂直的判定定理去判断命题的正确性.9.B解析:B 【分析】根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长,最后求出正方体的外接球的半径,进一步求出结果. 【详解】解:设正方体的棱长为a ,则1111112B D AC AB AD B C D C a ======, 由于三棱锥11A B CD -的表面积为3 所以)12133442242AB CS S a==⨯⨯=所以2a =()()()2222226++=, 所以正方体的外接球的体积为34663ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故选:B . 【点睛】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.10.C解析:C 【分析】利用线面平行的性质和判定定理可判断A 选项的正误;由线面垂直的定义可判断B 选项的正误;根据已知条件判断b 与α的位置关系,可判断C 选项的正误;根据已知条件判断b 与α的位置关系,可判断D 选项的正误. 【详解】由于直线a 、b 都不在平面α内.在A 中,若//a α,过直线a 的平面β与α的交线m 与a 平行,因为//a b ,可得//b m ,b α⊄,m α⊂,所以,//b α,A 选项正确;在B 中,若a α⊥,则a 垂直于平面α内所有直线,//a b ,则b 垂直于平面α内所有直线,故b α⊥,B 选项正确; 在C 中,若a b ⊥,//a α,则b 与α相交或平行,C 选项错误;在D 中,若a b ⊥,a α⊥,则//b α或b α⊂,b α⊄,//b α∴,D 选项正确.故选:C. 【点睛】方法点睛:对于空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的结论需要通过举出反例说明其错误,在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳.11.A解析:A 【分析】作出异面直线AM 和CN 所成的角,然后解三角形求出两条异面直线所成角的余弦值. 【详解】设,E F 分别是1,AB CC 的中点,由于,M N 分别是111,A B BB 的中点,结合正方体的性质可知11//,//B E AM B F CN ,所以1EB F ∠是异面直线AM 和CN 所成的角或其补角, 设异面直线AM 和CN 所成的角为θ,设正方体的边长为2,2211125B E B F ==+=,2221216EF =++=,则1cos cos EB F θ=∠=55625255+-=⨯⨯.故选:A.【点睛】思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下: (1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角; (2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角; (3)计算:求该角的值,常利用解三角形; (4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.12.A解析:A 【分析】把1AD 平移到1BC ,把异面直线所成的角转化为相交直线的夹角. 【详解】连接1,BD BC ,∵四边形ABCD 为菱形, 60,4BAD AB ︒∠==,4BD ∴=.又1BDD 为直角三角形,22211BD BD DD ∴=+,得14DD =,∴四边形11BCC B 为正方形.连接1BC 交1B C 于点O 11//BC AD ,BOC ∴∠(或其补角)为异面直线1B C 与1AD 所成的角,由于11BCC B 为正方形, 90BOC ︒∴∠=,故异面直线1B C 与1AD 所成的角为90°. 故选:A. 【点睛】思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下: (1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角; (2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角; (3)计算:求该角的值,常利用解三角形; (4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.二、填空题13.【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面 解析:4π【分析】确定ABC 是等腰直角三角形,11,AC A C 的中点1,D D 分别是ABC 和111A B C △的外心,由直棱柱性质得P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上,外接球面与平面111A B C 的交线是圆,是以1D 为圆心,1D P 为半径的圆,求出1PD 可得面积. 【详解】4,2AB BC AC ===90ABC ∠=︒,设1,D D 分别是11,AC A C 的中点,则1,D D分别是ABC 和111A B C △的外心,由直三棱柱的性质得1DD ⊥平面ABC , 所以P ABC -的外接球的球心O 在1DD 上,如图,24()41OA ππ=,则412OP OA ==,2222413(22)22OD OA AD ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以11135422OD DD OD AA OD =-=-=-=, 222211415222PD OP OD ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, P ABC -的外接球面与平面111A B C 的交线是圆,是以1D 为圆心,1D P 为半径的圆,其面积为224S ππ=⨯=. 故答案为:4π.【点睛】关键点点睛:本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解,重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解,关键是根据外接球的性质确定球心位置,结合勾股定理得出动点所满足的具体条件,结论:三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上.14.【分析】利用余弦定理求得利用正弦定理计算出的外接圆直径可计算出三棱锥的外接球半径然后利用球体体积公式可求得结果【详解】如下图所示圆柱的底面圆直径为圆柱的母线长为则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等 1326π【分析】利用余弦定理求得AC ,利用正弦定理计算出ABC 的外接圆直径2r ,可计算出三棱锥P ABC -的外接球半径R ,然后利用球体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示,圆柱12O O 的底面圆直径为2r ,圆柱的母线长为h ,则12O O 的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等, 所以,圆柱12O O 的外接球直径为()2222R r h =+.本题中,作出ABC 的外接圆2O ,由于PA ⊥平面ABC ,可将三棱锥P ABC -放在圆柱12O O 中,在ABC 中,22AB =3BC =,4ABC π∠=,由余弦定理可得222cos 5AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠=,由正弦定理可知,ABC 的外接圆直径为5210sin 2ACr ABC===∠ 则三棱锥P ABC -的外接球直径为()222226R PA r =+=26R =, 因此,三棱锥P ABC -的外接球的体积为334426132633V R ππ==⨯=⎝⎭. 故答案为:13263. 【点睛】方法点睛:求空间多面体的外接球半径的常用方法:①补形法:侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;②利用球的性质:几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径,也即球的直径; ③定义法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据带其他顶点距离也是半径,列关系求解即可.15.【分析】由二面角的大小为可得平面平面得到平面由勾股定理可得答案【详解】连接所以是等边三角形所以因为为中点所以所以即所以因为平面平面平面平面所以平面平面所以所以故答案为:【点睛】对于翻折问题解题时要认解析:22. 【分析】由二面角A ED C '--的大小为90,可得平面A ED '⊥平面EDCB ,得到A E '⊥平面EDCB ,由勾股定理可得答案. 【详解】连接DB CE 、,2AB AD ==,60A ∠=,所以ABD △、CBD 是等边三角形, 所以2AD BD CD ===,因为E 为AB 中点,1AE A E '==, 所以DE AB ⊥,DE A E ⊥',3DE =,30EDB ∠=,所以90EDC ∠=,即DE CD ⊥,所以222347EC ED CD =+=+=,因为平面A ED '⊥平面EDCB ,DE A E ⊥',平面A ED'平面EDCB DE =,所以A E '⊥平面EDCB ,EC ⊂平面EDCB ,所以A E EC '⊥, 所以221722A C A E EC ''=+=+=.故答案为:22.【点睛】对于翻折问题,解题时要认真分析图形,确定有关元素间的关系及翻折前后哪些量变了,哪些量没有变,根据线线、线面、面面关系正确作出判断,考查了学生的空间想象力..16.【分析】由题意可得AB 的轨迹得到当ACBC 与轴l 共面时∠ACB 取到最大值和最小值求得sin ∠ACB 的范围代入三角形面积公式得答案【详解】∵ACBC 与平面α所成的角分别为且|AC|=2|BC|=2则A 解析:[3,3]【分析】由题意可得A ,B 的轨迹,得到当AC 、BC 与轴l 共面时,∠ACB 取到最大值和最小值,求得sin ∠ACB 的范围,代入三角形面积公式得答案.【详解】∵AC ,BC 与平面α所成的角分别为512π,4π,且|AC |=23,|BC |=2, 则A ,B 分别在如图所示的两个不同的圆周上运动,当直线AC ,BC 与轴l 在同一平面内时,∠ACB 取到最大值和最小值,于是,有63ACB ππ≤∠≤, ∴sin 6π≤sin ∠ACB ≤sin 3π,即12≤sin ∠ACB ≤3 而ABC 的面积S =12|AC |⋅|BC |⋅sin ∠ACB =3∠ACB . ∴33S ≤≤.故答案为:[3,3]【点睛】关键点睛:根据题意得到A ,B 的轨迹,利用几何直观和空间想象进行分析是解题的关键. 17.【分析】先画出直观图证明平面平面然后侧棱与底面ABC 所成的角即为根据题目中的数据算出即可【详解】如图作的中点连结因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而为的中点所以又所以平面同时平面所以平 解析:o 60.【分析】先画出直观图,证明平面PAD ⊥平面ABC ,然后侧棱PA 与底面ABC 所成的角即为PAD ∠,根据题目中的数据算出即可.【详解】如图,作BC 的中点D ,连结AD 、PD因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而D 为BC 的中点,所以BC PD ⊥,BC AD ⊥,又PD AD D ⋂=,所以BC ⊥平面PAD ,同时BC ⊂平面ABC所以平面PAD ⊥平面ABC ,所以PAD ∠即为侧棱PA 与底面ABC 所成的角由侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形得3AD PD ==3PA =所以PAD ∆为等边三角形,则=PAD ∠o 60即侧棱PA 与底面ABC 所成的角为o 60故答案为:o 60【点睛】本题主要考查空间直线与平面所成角的计算,较简单.18.【分析】由扇形的面积及圆心角可得扇形的半径再由扇形的弧长等于圆锥的底面周长可得底面半径再由外接球的半径与圆锥的高和底面半径的关系求出外接球的半径进而求出球的表面积【详解】设扇形的长为l 半径为R 则解得 解析:36π【分析】由扇形的面积及圆心角可得扇形的半径,再由扇形的弧长等于圆锥的底面周长可得底面半径,再由外接球的半径与圆锥的高和底面半径的关系求出外接球的半径,进而求出球的表面积.【详解】设扇形的长为l ,半径为R ,则22111656222S lR R παπ====,解得30R =l 为锥底面周长2r π,∴底面的半径5r =∴225R r -=.设外接球的半径为1R ,∴()222115(5)R R =-+,解得13R =,∴该外接球的表面积为21436R ππ=,故答案为:36π.本题考查扇形的弧长与圆锥的底面周长的关系及外接球的半径和圆锥的高及底面半径的关系,和球的表面积公式的应用,属于中档题.19.【详解】设它们的底面圆的半径为()依题意得化简得所以故答案为: 解析:22 【详解】 设它们的底面圆的半径为r (0r >). 依题意得3443V π=⨯球V V =+圆柱圆锥221(+)83r r ππ=⨯, 化简得28r =,所以22r =. 故答案为:22.20.【详解】取的中点由题意可得:所以面ABC 所以球心在直线上所以得所以解析:494π 【详解】取AB 的中点,由题意可得:2222,3,SD DC SD DC SC ==+=,所以,SD AB SD DC ⊥⊥,SD ⊥面ABC. 所以球心在直线SD 上,所以()2232R R =+-,得74R =, 所以24944S R ππ==. 三、解答题21.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)①4,②3π.(Ⅰ)连接BD ,点E 是BC 边的中点,得出DE BC ⊥,DE AD ⊥再由DP AD ⊥,得出结果;(Ⅱ)DE AD ⊥,PD AD ⊥,PDE ∠为二面角P AD C --的平面角,60PDE ∠=︒,过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ,易证PK ⊥面ABCD ,PK 为点到面的距离,PBK ∠即为线面角.【详解】(Ⅰ)连接BD ,底面ABCD 是菱形,∠BDC =60°,∴△BCD 是正三角形.∵点E 是BC 边的中点,∴DE ⊥BC ,∵AD ∥BC ,∴DE ⊥AD .∵DP ⊥AD ,DP ∩AD =D ,∴AD ⊥平面PDE ;(Ⅱ)①∵DE ⊥AD ,PD ⊥AD ,∴PDE ∠为二面角P -AD -C 的平面角,∴60PDE ∠=︒,过P 在平面PDE 内做PK DE ⊥于K ,由(Ⅰ)易AD PK ⊥.∴PK ⊥面ABCD . ∵83PD =∴43DK =,4PK =, 即点P 到平面ABCD 的距离是4. ②AB =4,∴23DE =∴23DK DE =,∴K 为BCD △重心. 连接BK ,∵BCD △为正三角形,所以BK 为BP 在面ABCD 内的射影.∴PB ⊥AB ,PBK ∠为直线PB 与平面ABCD 所成角,RT PKB △中,tan 3PK PK PKB KB DK ∠===3PKB π∠=, 直线PB 与平面ABCD 所成角的大小为3π. 【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤: ①找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成;②计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.22.(1)证明见解析;(2)23. 【分析】 (1)连接BD 交AC 于点O ,由中位线定理得//OM PB ,从而得证线面平行; (2)由M 是PD 中点,得12M ACD P ACD V V --=,求出三棱锥P ACD -的体积后可得. 【详解】(1)如图,连接BD 交AC 于点O ,连接OM ,则O 是BD 中点,又M 是PD 中点, ∴//OM PB ,又PB ⊄平面ACM ,OM ⊂平面ACM ,所以//PB 平面ACM ;(2)由已知12222ACD S =⨯⨯=,11422333P ACD ACD V S PA -=⋅=⨯⨯=△, 又M 是PD 中点,所以1223M ACD P ACD V V --==, 所以23P ACM P ACD M ACD V V V ---=-=.【点睛】思路点睛:本题考查证明线面平行,求三棱锥的体积.求三棱锥的体积除掌握体积公式外,还需要注意割补法,不易求体积的三棱锥(或一个不规则的几何体)的体积可通过几个规则的几何体(柱、锥、台等)的体积加减求得.三棱锥的体积还可通过转化顶点,转移底面利用等体积法转化为求其他三棱锥的体积,从而得出结论.23.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)98. 【分析】(1)取PA 的中点G ,连接,BG EG ,证明四边形EFBG 为平行四边形,得出//EF BG ,再由线面平行的判定定理证明即可;(2)先证明PA ⊥平面ABCD ,从而得出PA CD ⊥,再由等腰三角形的性质得出AE PD ⊥,最后由面面垂直的判定定理证明即可;(3)以AFC △为底,12PA 为高,由棱锥的体积公式得出答案.【详解】(1)如图,取PA 的中点G ,连接,BG EG .因为点,E G 分别为,PD PA 的中点,所以1//,2EG AD EG AD = 又因为F 是BC 的中点,四边形ABCD 是正方形,所以//BF EG 且BF EG = 故四边形EFBG 为平行四边形,所以//EF BG因为BG ⊂平面,ABP EF 不在平面ABP 内,所以//EF 平面ABP .(2)由条件知32,3PB PD PA AD AB =====,所以PAB △和PAD △都是等腰直角三角形,,PA AB PA AD ⊥⊥又因为,,AB AD A AB AD =⊂平面,ABCD 所以PA ⊥平面ABCD因为CD ⊂平面ABCD ,所以PA CD ⊥又因为,,AD CD PA AD A ⊥⋂=所以CD ⊥平面PAD ,所以CD AE ⊥因为E 是PD 的中点,所以AE PD ⊥又因为,,PD CD D PD CD ⋂=⊂平面PCD ,所以AE ⊥平面PCD因为AE ⊂平面,AEF 所以平面AEF ⊥平面PCD .(3)由图可知C AEF E ACF V V --=,1111319333232228E ACF ACF V S PA -=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=△, 即三棱锥C AEF -的体积为98【点睛】关键点睛:在证明线线平行时,关键是证明四边形EFBG 为平行四边形,从而得出//EF BG .24.(1)证明见解析;(2)3π. 【分析】(1)取PB 中点F ,连接,EF FC ,证明EFCO 是平行四边形,得线线平行后可证得线面平行;(2)取AB 中点G ,连接,,OG PG OP ,可证PGO ∠(或其补角)是二面角PAB C 的平面角.然后在PGO △中求解.【详解】(1)取PB 中点F ,连接,EF FC , 因为E 是PA 中点,∴//EF AB ,且12EF AB =, 又ABCD 是矩形,//,AB CD AB CD =,O 是CD 中点,∴//,EF OC EF OC =,∴EFCO 是平行四边形,∴//OE CF ,而OE ⊄平面PBC ,CF ⊂平面PBC ,∴//OE 平面PBC .(2)取AB 中点G ,连接,,OG PG OP ,ABCD 是矩形,O 是CD 中点,则OG AB ⊥,又PA PC CD ==,∴PO CD ⊥,而平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD 平面ABCD CD =,PO ⊂平面PCD , ∴PO ⊥平面ABCD ,∵,OG AB ⊂平面ABCD ,∴PO AB ⊥,PO OG ⊥. PO OG O =,,PO OG ⊂平面POG ,∴AB ⊥平面POG ,而PG ⊂平面POG , ∴AB PG ⊥,∴PGO ∠(或其补角)是二面角PAB C 的平面角. 设1AD =,则1OG =,2CD =,3PO =,∴3tan 3PO PGO OG ∠===,[0,]PGO π∠∈,∴3PGO π∠=. ∴二面角P AB C 的大小为3π.【点睛】方法点睛:本题考查证明线面平行,考查求二面角.求二面角的方法:(1)定义法:根据定义作出二面角的平面角,然后通过解三角形得解;(2)空间向量法:建立空间直角坐标系,求出二面角的两个面的法向量,由法向量夹角得二面角.25.(1)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)根据三角形垂心的特征,以及点在面上的射影的定义,再结合线面垂直的判定定理和性质,证得结果;(2)利用平行四边形的邻边垂直,证得结果.【详解】证明:(1)连接BO 并延长交AC 于点M ,因为,AE BC CF AB ⊥⊥,所以O 为ABC 的垂心所以BM AC ⊥ 又因为P 在平面ABC 的射影为O ,所以PO ⊥平面ABC所以PO AC ⊥又因为PO BM O ⋂=,所以AC ⊥平面PBM所以AC PB ⊥(2)分别连接,,,EF EH GF GH因为,,AE BC CF AB ABC ⊥⊥为正三角形所以,E F 分别为,BC BA 的中点所以//EF AC又由(1)AC PB ⊥,所以EF PB ⊥因为,E H 分别为,BC PC 的中点,所以EH 平行等于1PB 2,又因为,F G 分别为,AB PA 的中点,所以GF 平行等于1PB 2,所以EH 平行等于GF ,所以四边形EFGH 为平行四边形又//,EH PB EF PB ⊥,所以EH EF ⊥,所以四边形EFGH 为矩形.【点睛】思路点睛:该题考查的是有关立体几何的问题,解题思路如下:(1)利用三角形的垂心的特征,结合点在面上射影的定义,得到相应的垂直关系,结合线面垂直的判定定理和性质证得结果;(2)根据正三角形的有关特征,结合题中所得到的平行关系,到的四边形EFGH 为平行四边形;(3)根据题中所给的垂直关系,得到EH EF ⊥,从而证得结果.。

(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试(答案解析)(1)

(必考题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试(答案解析)(1)

一、选择题1.正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心的棱锥)的三视图如图所示,俯视图是正三角形,O 是其中心,则正视图(等腰三角形)的腰长等于( )A .5B .2C .3D .22.在正方体1111ABCD A BC D -中,点,E F 分别是梭BC ,CD 的中点,则1A F 与1C E 所成角的余弦值为( ) A .5B .25C .5 D .253.已知平面,αβ,直线l ,记l 与,αβ所成的角分别为1θ,2θ,若αβ⊥,则( ) A .12sin sin 1θθ+≤B .12sin sin 1θθ+≥C .122πθθ+≤D .122πθθ+≥4.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为正方形,PA AB =,E 为AP 的中点,则异面直线PC 与DE 所成的角的正弦值为( ).A 2B 5C 15D 10 5.如图,在Rt ABC △中,1AC =,BC x =,D 是斜边AB 的中点,将BCD △沿直线CD 翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得CB AD ⊥,则x 的取值范围是( )A .(0,3⎤⎦B .2,22⎛⎤⎥ ⎝⎦C .3,23D .(]2,46.设有直线m ,n ,l 和平面α,β,下列四个命题中,正确的是( ) A .若//,//m n αα,则//m n B .若//,//,//l m αβαβ,则//l m C .若,m αβα⊥⊂,则m β⊥D .若,,m m αββα⊥⊥⊄,则//m α7.已知四面体ABCD 中,二面角A BC D --的大小为60,且2AB =,4CD =,120CBD ∠=,则四面体ABCD 体积的最大值是( )A .43B .23C .83D .438.如下图所示是一个正方体的平面展开图,在这个正方体中①//BM 平面ADE ;②D E BM ⊥;③平面//BDM 平面AFN ;④AM ⊥平面BDE .以上四个命题中,真命题的序号是( )A .①②③④B .①②③C .①②④D .②③④9.如图是某个四面体的三视图,则下列结论正确的是( )A .该四面体外接球的体积为48πB .该四面体内切球的体积为23π C .该四面体外接球的表面积为323π D .该四面体内切球的表面积为2π10.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为V ,该几何体所有棱的棱长之和为L ,则( )A .8,14253V L ==+ B .8,1425V L ==+ C .8,16253V L ==+ D .8,1625VL ==+11.某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的体积为( )A .16B .13C .23D .212.已知长方体1111ABCD A BC D -的顶点A ,B ,C ,D ,在球O 的表面上,顶点1A,1B ,1C ,1D ,在过球心O 的一个平面上,若6AB =,8AD =,14AA =,则球O 的表面积为( ) A .169πB .161πC .164πD .265π二、填空题13.如图,四边形ABCD 是矩形,且有2AB BC =,沿AC 将ADC 翻折成AD C ',当二面角D AC B '--的大小为3π时,则异面直线D C '与AB 所成角余弦值是______.14.已知长方体1234ABCD A B C D -,底面是边长为4的正方形,高为2,点O 是底面ABCD 的中心,点P 在以O 为球心,半径为1的球面上,设二面角111P A B C --的平面角为θ,则tan θ的取值范围是________.15.在三棱锥P ABC -中,4PA PB ==,42BC =,8AC =,AB BC ⊥.平面PAB ⊥平面ABC ,若球O 是三棱锥P ABC -的外接球,则球O 的半径为_________.16.二面角a αβ--的大小为135A AE a E α︒∈⊥,,,为垂足,,B BF a F β∈⊥,为垂足,2,31AE BF EF P ===,,是棱上动点,则AP PB +的最小值为_______. 17.如图,在三棱锥V ABC -中,22AB =,VA VB =,1VC =,且AV BV ⊥,AC BC ⊥,则二面角V AB C --的余弦值是_____.18.已知四面体P ﹣ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC ,2AC 3=,若四面体P ﹣ABC 的体积为32,则该球的体积为_____. 19.在正方体1111ABCD A BC D -中,P 为线段1AB 上的任意一点,有下面三个命题:①//PB 平面11CC D D ;②1BD AC ⊥;③1BD PC ⊥.上述命题中正确命题的序号为__________(写出所有正确命题的序号).20.已知点O 为圆锥PO 底面的圆心,圆锥PO 的轴截面为边长为2的等边三角形PAB ,圆锥PO 的外接球的表面积为______.三、解答题21.如图,三棱柱111ABC A B C -中,1CC ⊥平面ABC ,5AB =,3AC =,14BC CC ==,M 是1CC 的中点.(Ⅰ)求证:BC AM ⊥;(Ⅱ)若N 是AB 上的点,且//CN 平面1AB M ,求BN 的长.22.如图,四棱锥P ABCD -的底面为正方形,PA ⊥底面ABCD ,E ,F ,H 分别为AB ,PC ,BC 的中点.(1)求证:DE ⊥平面PAH ;(2)若2PA AD ==,求直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值.23.如图,四棱锥P ABCD -,底面ABCD 为矩形,PD ⊥面ABCD ,E 、F 分别为PA 、BC 的中点.(1)求证://EF 面PCD ;(2)若2AB =,1AD PD ==,求三棱锥P BEF -的体积.24.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,M 是棱PD 的中点.(1)求证://PB 平面AMC ;(2)若PD ⊥平面ABCD ,2AD PD ==,3BAD π∠=,求点B 到平面AMC 的距离.25.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,平面11A ACC ⊥平面ABC ,2,AB BC ==30ACB ∠=,13AA =,11BC AC ,E 为AC 的中点.(1)求证:1//AB 平面1C EB ;(2)求证:1AC ⊥平面1C EB . 26.如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ,226AB PD ==,O 为AC 与BD 的交点,E 为棱PB 上一点.(1)证明:平面EAC ⊥平面PBD ;(2)若//PD 平面EAC ,求三棱锥B AEC -的体积.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -,取BD 中点E ,连接,AE CE ,设底面边长为2x ,表示出2522x AO OE -===133xOE CE ==,即可求出x ,进而求出腰长. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -,取BD 中点E ,连接,AE CE ,则底面中心O 在CE 上,连接AO ,可得AO ⊥平面ABC ,由三视图可知5AB AC AD ===45AEC ∠=, 设底面边长为2x ,则DE x =,则25AE x =-则在等腰直角三角形AOE 中,2522xAO OE -===O 是底面中心,则133xOE CE ==,2532x x-=,解得3x = 则1AO =,底面边长为23则正视图(等腰三角形)的腰长为()22312+=.故选:B.【点睛】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量,解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.2.D解析:D【分析】延长DA至G,使AG CE=,可证11//AG C E,得1GA F∠是异面直线1A F与1C E所成的角(或其补角).在1AGF△中,由余弦定理可得结论.【详解】延长DA至G,使AG CE=,连接1,GE GA,GF,11,AC AC,又//AG CE所以AGEC是平行四边形,//,GE AC GE AC=,又正方体中1111//,AC AC AC AC=,所以1111//,AC DE AC DE=,所以11AC EG是平行四边形,则11//AG C E,所以1GA F∠是异面直线1A F与1C E所成的角(或其补角).设正方体棱长为2,在正方体中易得15AG10GF22222112(21)3A F AA AF=+=++=,1AGF△中,2221111125cos2253AG A F GFGA FAG A F+-∠===⋅⨯⨯.故选:D.【点睛】方法点睛:本题考查空间向量法求异面直线所成的角,求异面直线所成角的方法: (1)定义法:根据定义作出异面直线所成的角并证明,然后解三角形得结论; (2)建立空间直角坐标系,由两异面直线的方向向量的夹角得异面直线所成的角.3.C解析:C 【分析】如图,作出1θ和2θ,再由线面角推得12sin sin 2πθθ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭,利用三角函数的单调性判断选项. 【详解】设直线l 为直线AB ,m αβ=,AD m ⊥,BC m ⊥,连结BD ,AC ,1ABD θ=∠,2BAC θ=∠,12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭,12,2πθθ-都是锐角, 122πθθ∴≤-,即122πθθ+≤故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键是作图,并利用线段AD AC ≤,传递不等式,12sin sin 2AD AC AB AB πθθ⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭. 4.D解析:D 【分析】先取正方形的中心O ,连接OE ,由PC //OE 知OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角,再在OED 中求OED ∠的正弦即可. 【详解】连AC ,BD 相交于点O ,连OE 、BE ,因为E 为AP 的中点,O 为AC 的中点,有PC //OE ,可得OED ∠为异面直线PC 与DE 所成的角,不妨设正方形中,2AB =,则2PA =,由PA ⊥平面ABCD ,可得,PA AB PA AD ⊥⊥, 则145BE DE ==+=1122222OD BD ==⨯= 因为BE DE =,O 为BD 的中点,所以90EOD ∠=︒,210sin 5OD OED DE ∠===故选:D. 【点睛】 方法点睛:求空间角的常用方法:(1)定义法,由异面直线所成角、线面角、二面角的定义,结合图形,作出所求空间角,再结合题中条件,解对应三角形,即可求出结果;(2)向量法:建立适当的空间直角坐标系,通过计算向量夹角(直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量,平面法向量与平面法向量)余弦值,即可求出结果.5.A解析:A 【分析】取BC 中点E ,连接DE ,AE ,若CB AD ⊥,则可证明出BC ⊥平面ADE ,则可得BC AE ⊥. 根据题目中各边长的关系可得出AE ,AD 关于x 的表达式,然后在ADE中,利用三边关系求解即可.【详解】由题意得BC x =,则212x AD CD BD +===,如图所示,取BC 中点E ,翻折前,在图1中,连接DE ,CD ,则1122DE AC ==, 翻折后,在图2中,若CB AD ⊥,则有:∵BC DE ⊥,BC AD ⊥,AD DE D ⋂=,且,AD DE 平面ADE ,∴BC ⊥平面ADE ,∴BC AE ⊥,又BC AE ⊥,E 为BC 中点,∴1AB AC ==∴2114AE x =-212x AD +=,在ADE 中,由三边关系得:①221111224x x ++>-,②221111224x x +<-,③0x >;由①②③可得03x << 故选:A. 【点睛】本题考查折叠性问题,考查线面垂直的判定及性质在解题中的运用,解答本题的主要思路分析在于将异面直线间的垂直转化为线面垂直关系,即作出辅助线DE 与AE ,根据题目条件确定出BC ⊥平面ADE ,得到BC AE ⊥,从而通过几何条件求解.6.D解析:D 【分析】在A 中,m 与n 相交、平行或异面; 在B 中,l 与m 不一定平行,有可能相交; 在C 中,m ⊥β或m ∥β或m 与β相交;在D 中,由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m ∥α.【详解】由直线m 、n ,和平面α、β,知: 对于A ,若m ∥α,n ∥α,则m 与n 相交、平行或异面,故A 错误;对于B ,若//,//,//l m αβαβ,l 与m 不一定平行,有可能相交,故B 错误; 对于C ,若α⊥β,m ⊂α,则m ⊥β或m ∥β或m 与β相交,故C 错误;对于D ,若α⊥β,m ⊥β,m ⊄α,则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m ∥α,故D 正确.故选:D . 【点睛】本题考查了命题真假的判断问题,考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用,体现符号语言与图形语言的相互转化,是中档题.7.D解析:D 【分析】在BCD △中,利用余弦定理和基本不等式可得163BC BD ⋅≤,由三角形的面积公式可得43BCDS≤,由二面角A BC D --的大小为60,可得A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==ABCD 体积的最大值.【详解】在BCD △中,由余弦定理可得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅22BC BD BC BD =++⋅因为222BC BD BC BD +≥,所以23CD BC BD ≥⋅, 所以163BC BD ⋅≤,当且仅当BC BD =时等号成立, 111634sin120322323BCDSBC BD =⋅≤⨯⨯= 因为二面角A BC D --的大小为60,所以点A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==所以1144333333A BCD BCDV S h -=⋅≤⨯⨯=, 所以四面体ABCD 体积的最大值是43, 故选:D 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是利用余弦定理和基本不等式、三角形面积公式求出BCD S △最大值,再由二面角求出高的最大值. 8.A解析:A 【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ,得出BM ∥平面ADNE ,判断①正确;由连接AN ,则AN ∥BM ,又ED AN ⊥,判断②正确;由BD ∥FN ,得出BD ∥平面AFN ,同理BM ∥平面AFN ,证明平面BDM ∥平面AFN ,判断③正确;由MC BD ⊥,ED ⊥AM ,根据线面垂直的判定,判断④正确.【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA ﹣EFMN ,如图1所示; 对于①,平面BCMF ∥平面ADNE ,BM ⊂平面BCMF , ∴BM ∥平面ADNE ,①正确;对于②,如图2所示,连接AN ,则AN ∥BM ,又ED AN ⊥,所以D E BM ⊥,②正确; 对于③,如图2所示,BD ∥FN ,BD ⊄平面AFN ,FN ⊂平面AFN ,∴BD ∥平面AFN ;同理BM ∥平面AFN ,且BD ∩BM =B ,∴平面BDM ∥平面AFN ,③正确; 对于④,如图3所示,连接AC ,则BD AC ⊥,又MC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以MC BD ⊥,又AC MC C ,所以BD ⊥平面ACM ,所以BD ⊥AM ,同理得ED ⊥AM ,ED BD D =,所以AM ⊥平面BDE ,∴④正确.故选:A .【点睛】关键点点睛:解决本题的关键在于展开空间想象,将正方体的平面展开图还原,再由空间的线线,线面,面面关系及平行,垂直的判定定理去判断命题的正确性.9.D解析:D 【分析】先找到几何体原图,再求出几何体的外接球的半径和内切球的半径,再判断每一个选项得解. 【详解】由三视图得几何体为下图中的三棱锥A BCD -,AB ⊥平面BCD,AB =2CE DE ==,2BE =,由题得2CBD π∠=.设外接球的球心为,O 外接球的半径为R ,则OE ⊥平面BCD , 连接,OB OA ,取AB 中点F ,连接OF .由题得12OE BF AB ===所以2222,R R =+∴=,所以外接球的体积为343π⨯=,所以选项A 错误;所以外接球的表面积为2448ππ⨯=,所以选项C 错误;由题得AC AD ===所以△ACD △6=, 设内切球的半径为r ,则11111112446)243222232r ++⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯⨯所以2r,所以内切球的体积为343π⨯=,所以选项B 错误;所以内切球的表面积为242ππ⨯=,所以选项D 正确. 故选:D【点睛】方法点睛:求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中,使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合,则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的,长方体的外接球的半径22212r a b c =++就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系,可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心O 和截面圆的圆心O ',找到OO '、球的半径OA 、截面圆的半径O A '确定的Rt OO A '△,再解Rt OO A '△求出球的半径OA .10.A解析:A 【分析】由三视图还原几何体,由棱锥的体积公式可得选项. 【详解】在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中,P ,E 分别为11,BC BC 的中点,该几何体为四棱锥P ABCD -,且PE ⊥平面ABCD . 由三视图可知2AB =,则5,3PC PB PD PA ====,则21825681425,2233L V =++=+=⨯⨯=. 故选:A.【点睛】方法点睛:三视图问题的常见类型及解题策略:(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.11.C解析:C【分析】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体,得到相应的三棱锥,之后利用椎体体积公式求得结果.【详解】根据题中所给的几何体的三视图还原几何体如图所示:该三棱锥满足底面BCD△是等腰三角形,且底边和底边上的高线都是2;且侧棱AD⊥底面BCD,1AD=,所以112=221=323V⨯⨯⨯⨯,故选:C.【点睛】方法点睛:该题考查的是有关根据所给几何体三视图求几何体体积的问题,解题方法如下:(1)应注意把握三个视图的尺寸关系:主视图与俯视图长应对正(简称长对正),主视图与左视图高度保持平齐(简称高平齐),左视图与俯视图宽度应相等(简称宽相等),若不按顺序放置和不全时,则应注意三个视图名称;(2)根据三视图还原几何体;(3)利用椎体体积公式求解即可.12.C【分析】把两个这样的长方体叠放在一起,构成一个长宽高分别为6,8,8的长方体,则球O 就是该长方体的外接球,根据长方体外接球的直径等于体对角线的长,求出直径,即可得出球的表面积. 【详解】 如下图所示:把两个这样的长方体叠放在一起,构成一个长宽高分别为6,8,8的长方体,则球O 就是该长方体的外接球,根据长方体的结构特征可得,其外接球直径等于体对角线的长, 所以球O 的半径R 满足2222688164R =++=, 所以球O 的表面积24164S R ππ==. 故选:C.【点睛】关键点点睛:本题主要考查几何体外接球的表面积,熟记长方体结构特征,其外接球的球心和半径与长方体的关系,以及球的表面积公式,是解决此类问题的关键.二、填空题13.【分析】作于于可得等于二面角的平面角从而可得然后求得而因此可得是异面直线与所成角(或补角)这样在求解可得【详解】如图作于于则连接根据二面角平面角的定义知与的夹角等于二面角的平面角所以因为所以设则在矩解析:12. 【分析】作DM AC ⊥于M ,BN AC ⊥于N ,可得,MD NB '<>等于二面角D AC B '--的平面角,从而可得DMD '∠,然后求得DD ',而//AB CD ,因此可得D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角(或补角).这样在DCD '求解可得.如图,作DM AC ⊥于M ,BN AC ⊥于N ,则//DM BN ,连接,D M DD '', 根据二面角平面角的定义知MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角, 所以,3MD NB π'<>=,因为//DM BN ,所以23DMD π'∠=, 设1BC =,则22AB BC ==,在矩形ABCD 中,3AC =,1263DM ⨯==, 63D M DM '==, 则222222666612cos 22333332DD DM D M DM D M π⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以2DD '=,因为//AB CD ,所以D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角(或补角).DCD '是正三角形,3D CD π'∠=,1cos 2D CD '∠=. 所以异面直线D C '与AB 所成角余弦值是12. 故答案为:12.【点睛】关键点点睛:本题考查求异面直线所成的角,解题方法根据异面直线所成角定义作出它们所成的角,然后解三角形可得,解题关键是利用图中MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角,从而求得DMD '∠,只要设1BC =,可求得DD ',从而求得结论.14.【分析】根据题意画出相应的图形结合题意找出什么情况下取最大值什么情况下取最小值利用和差角正切公式求得最值得到结果【详解】根据题意如图所示:取的中点过点作球的切线切点分别为可以判断为的最小值为的最大值解析:4747,⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意,画出相应的图形,结合题意,找出什么情况下取最大值,什么情况下取最小值,利用和差角正切公式求得最值,得到结果. 【详解】根据题意,如图所示:取11A B 的中点H ,过H 点作球O 的切线,切点分别为,M N , 可以判断1O HN ∠为θ的最小值,1O HM ∠为θ的最大值, 且1112tan 12OO O HO HO ∠===, 22,1OH OM ON ===,所以7HM HN ==tan tan 7NHO OHM ∠=∠=, 11171827477tan tan()17117O HN O HO NHO ----∠=∠-∠====+ 11171827477tan tan()17117O HM O HO OHM ++++∠=∠+∠====-, 所以tan θ的取值范围是474733⎡⎢⎣⎦, 故答案为:4747-+⎣⎦.【点睛】方法点睛:该题考查的是有关二面角的求解问题,解题方法如下: (1)先根据题意画图;(2)结合题意,找出在什么情况下取最大值和最小值; (3)结合图形求得相应角的正切值; (4)利用和差角正切公式求得结果.15.4【分析】取中点连接再根据题意依次计算进而得球的球心即为(与重合)【详解】解:因为所以又因为所以所以因为平面平面平面平面平面所以平面取中点连接所以所以平面所以此时所以即球的球心球心即为(与重合)半径解析:4 【分析】取,AB AC 中点,D E ,连接DE ,DP ,再根据题意依次计算4EA EB EC EP ====,进而得球O 的球心O 即为E (O 与E 重合)【详解】解:因为BC =8AC =,AB BC ⊥,所以AB =4PA PB ==, 所以222PA PB AB +=,所以PA PB ⊥,因为平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ⋂平面ABC AB =,AB BC ⊥,BC ⊂平面ABC ,所以BC ⊥平面PAB ,取,AB AC 中点,D E ,连接DE ,DP所以//DE BC ,DE =DP =所以DE ⊥平面PAB ,所以DE PD ⊥,此时,142EB AC EA EC ====, 4EP =, 所以4EA EB EC EP ====,即球O 的球心球心O 即为E (O 与E 重合),半径为4EA =. 故答案为:4.【点睛】本题解题的关键在于寻找球心,在本题中,,PAB ABC △△均为直角三角形,故易得AC 中点即为球心.考查空间思维能力,运算求解能力,是中档题.16.【分析】首先将二面角展平根据两点距离线段最短求最小值【详解】如图将二面角沿棱展成平角连结根据两点之间线段最短可知就是的最小值以为邻边作矩形由可知三点共线则故答案为:【点睛】思路点睛:本题考查立体几何 解析:26 【分析】首先将二面角展平,根据两点距离线段最短,求AP PB +最小值.【详解】如图,将二面角沿棱a 展成平角,连结AB ,根据两点之间线段最短,可知AB 就是AP PB +的最小值,以,AE EF 为邻边,作矩形AEFC ,由,CF a BF a ⊥⊥可知,,C F B 三点共线, 则()222213226AB AC BC =+=++= 26【点睛】思路点睛:本题考查立体几何中的折线段和的最小值,一般都是沿交线展成平面,利用折线段中,两点间距离最短求解,本题与二面角的大小无关.17.【分析】取的中点连接证明出可得出面角的平面角为计算出利用余弦定理求得由此可得出二面角的余弦值【详解】取的中点连接如下图所示:为的中点则且同理可得且所以二面角的平面角为由余弦定理得因此二面角的余弦值为 解析:34【分析】 取AB 的中点O ,连接VO 、OC ,证明出VO AB ⊥,OC AB ⊥,可得出面角V AB C --的平面角为VOC ∠,计算出VO 、OC ,利用余弦定理求得cos VOC ∠,由此可得出二面角V AB C --的余弦值.【详解】取AB 的中点O ,连接VO 、OC ,如下图所示:VA VB =,O 为AB 的中点,则VO AB ⊥,且AV BV ⊥,22AB =122VO AB ∴== 同理可得OC AB ⊥,且2OC =V AB C --的平面角为VOC ∠,由余弦定理得2223cos 24VO OC VC VOC VO OC +-∠==⋅, 因此,二面角V AB C --的余弦值为34. 故答案为:34. 【点睛】本题考查二面角余弦值的计算,考查二面角的定义,考查计算能力,属于中等题. 18.【分析】根据四面体是球的内接四面体结合位置关系可得棱锥的形状以及棱长之间的关系利用体积公式即可代值计算【详解】设该球的半径为R 则AB =2R2ACAB2R ∴ACR 由于AB 是球的直径所以△ABC 在大圆所解析:43π【分析】根据四面体是球的内接四面体,结合位置关系,可得棱锥的形状,以及棱长之间的关系,利用体积公式即可代值计算.【详解】设该球的半径为R ,则AB =2R ,2AC 3=AB 3=⨯2R , ∴AC 3=R ,由于AB 是球的直径,所以△ABC 在大圆所在平面内且有AC ⊥BC ,在Rt △ABC 中,由勾股定理,得:BC 2=AB 2﹣AC 2=R 2,所以R t △ABC 面积S 12=⨯BC ×AC 3=R 2, 又PO ⊥平面ABC ,且PO =R ,四面体P ﹣ABC 的体积为32, ∴V P ﹣ABC 13=⨯R 32⨯⨯R 232=,即3R 3=9,R 3=33, 所以:球的体积V 43=⨯πR 343=⨯π×33=43π. 故答案为:43π.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算,属基础题;本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态,从而解决问题.19.①②③【分析】①证明线面平行可判断对错;②证明线面垂直可判断对错;③证明线面垂直可判断对错【详解】①如下图所示:因为平面平面平面所以平面故①正确;②连接如下图所示:因为平面所以又因为且所以平面又因为解析:①②③【分析】①证明线面平行可判断对错;②证明线面垂直可判断对错;③证明线面垂直可判断对错.【详解】①如下图所示:因为平面11//ABB A 平面11CC D D ,BP ⊂平面11ABB A ,所以//PB 平面11CC D D ,故①正确;②连接,AC BD ,如下图所示:因为1DD ⊥平面ABCD ,所以1DD AC ⊥,又因为AC BD ⊥且1DD BD D =,所以AC ⊥平面1DBD ,又因为1BD ⊂平面1DBD ,所以1BD AC ⊥,故②正确;③连接11,,,AC PC B C BC ,如下图所示:因为11D C ⊥平面11BCC B ,所以11D C ⊥1BC ,又因为11BC B C ⊥,且1111D C BC C ⋂=,所以1B C ⊥平面11BD C ,又1BD ⊂平面11BD C ,所以11B C BD ⊥,由②的证明可知1BD AC ⊥,且1AC BC C ⋂=,所以1BD ⊥平面1ABC ,又因为PC ⊂平面1ABC ,所以1BD PC ⊥,故③正确,故答案为:①②③.【点睛】本题考查空间线面平行、线线垂直关系的判断,涉及线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用,主要考查学生对空间中位置关系的逻辑推理能力,难度一般.20.【分析】由题意知圆锥的轴截面为外接球的最大截面即过球心的截面且球心在上由等边三角形性质有即求得外接球的半径为R 进而求外接球的表面积【详解】设外接球球心为连接设外接球的半径为R 依题意可得在中有即解得故解析:163π 【分析】由题意知圆锥PO 的轴截面为外接球的最大截面,即过球心的截面且球心在PO 上,由等边三角形性质有Rt AO O '△,即222O A AO O O ''=+求得外接球的半径为R ,进而求外接球的表面积.【详解】设外接球球心为O ',连接AO ',设外接球的半径为R ,依题意可得1AO =,3PO =,在Rt AO O '△中,有222O A AO O O ''=+,即)22213R R =+,解得3R =, 故外接球的表面积为24164433S R πππ==⋅=. 故答案为:163π. 【点睛】 本题考查了求圆锥体的外接球面积,由截面是等边三角形,结合等边三角形的性质求球半径,进而求外接球面积,属于基础题.三、解答题21.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)52. 【分析】(Ⅰ)可证BC ⊥平面11AAC C ,从而可得BC AM ⊥.(Ⅱ)可证N 为AB 的中点,从而可得BN 的长.【详解】(Ⅰ)证明:1CC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面平面ABC ,∴1CC BC ⊥.又5AB =,3AC =,4BC =,∴222AC BC AB +=,即BC AC ⊥.又1AC CC C =,∴BC ⊥平面11AAC C ,又AM ⊂平面11AAC C ,∴BC AM ⊥. (Ⅱ)过点N 作1//NE BB 交1AB 于点E ,连ME ,由三棱柱111ABC A B C -可得11//BB CC ,∴1//NE CC 即四边形NEMC 为平面图形. 又//CN 平面1AB M ,CN ⊂平面NEMC ,且平面NEMC 平面1AB M ME =, ∴//CN ME ,∴四边形NEMC 为平行四边形,∴NE CM =,且//NE CM ,又点M 为1CC 中点,∴112CM BB =,且1//CM BB ,∴112NE BB =,且1//NE BB , ∴1522BN AB ==. 【点睛】思路点睛:线面垂直的判定可由线线垂直得到,注意线线是相交的,也可由面面垂直得到,注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.由线面平行得到线线平行时,注意构造过线的平面.22.(1)证明见解析;(2)105. 【分析】(1)由PA ⊥底面ABCD ,得PA DE ⊥,由Rt ABH Rt DAE ≌△△,得DE AH ⊥,可得答案.(2)由可知DE ⊥平面PAH ,连接PG ,则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角,在Rt PDG △中,由sin DPG ∠可得答案.【详解】(1)因为PA ⊥底面ABCD ,DE ⊂底面ABCD ,所以PA DE ⊥,因为E ,H 分别为正方形ABCD 的边AB ,BC 的中点, ,,AB DA BH AE HBA EAD ,所以Rt ABH Rt DAE ≌△△,所以BAH ADE ∠=∠,由90AED ADE ∠+∠= 所以90BAH AED ∠+∠=,所以DE AH ⊥,因为PA ⊂平面PAH ,AH ⊂平面PAH ,PA AH A ⋂=,所以DE ⊥平面PAH .(2)由(1)可知DE ⊥平面PAH ,设AH DE G ⋂=,如图,连接PG ,则DPG ∠即为直线PD 与平面PAH 所成线面角, 因为2PA AD ==,所以22PD =,5DE =,在Rt DAE 中,由于AG DE ⊥,所以2AD DG DE =⋅,所以45DG =⋅,所以5DG =, 所以在Rt PDG △中,105sin 522DG DPG PD ∠===,即直线PD 与平面PAH 所成线面角的正弦值为10.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、线面角的求法,对于线面角的求法的步骤,作:作(或找)出斜线在平面上的射影,证:证明某平面角就是斜线与平面所成的角;算:通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算.23.(1)证明见解析;(2)112. 【分析】(1)取PD 的中点M ,连接EM 、CM ,证明四边形CMEF 为平行四边形,可得出//EF CM ,利用线面平行的判定定理可证得结论成立;(2)连接AF ,取AD 的中点N ,连接EN ,由题意可知点P 、A 到平面BEF 的距离相等,并推导出EN ⊥平面ABCD ,可得出P BEF A BEF E ABF V V V ---==,利用锥体的体积公式可求得三棱锥P BEF -的体积.【详解】(1)如下图所示,取PD 的中点M ,连接EM 、CM ,因为四边形ABCD 为矩形,则//AD BC 且AD BC =,E 、M 分别为PA 、PD 的中点,则//EM AD 且12EM AD =, F 为BC 的中点,所以,//EM CF 且EM CF =,所以,四边形CMEF 为平行四边形,所以,//EF CM ,EF ⊄平面PCD ,CM ⊂平面PCD ,//EF ∴平面PCD ;(2)如下图所示,连接AF ,取AD 的中点N ,连接EN ,E 为PA 的中点,所以,点P 、A 到平面BEF 的距离相等, 所以,P BEF A BEF E ABF V V V ---==,E 、N 分别为PA 、AD 的中点,则//EN PD 且1122EN PD ==, PD ⊥平面ABCD ,EN ∴⊥平面ABCD ,ABF 的面积为111122222ABF S AB BF =⋅=⨯⨯=△, 因此,11111332212P BEF A BEF E ABF ABF V V V S EN ---===⋅=⨯⨯=△. 【点睛】方法点睛:常见的线面平行的证明方法有:(1)通过面面平行得到线面平行;(2)通过线线平行得到线面平行,在证明线线平行中,经常用到中位线定理或平行四边形的性质.24.(1)证明见详解;(2)22. 【分析】(1)连接BD 交AC 于点O ,连接OM ,根据题中条件,推出//OM PB ,再由线面平行的判定定理,即可证明结论成立;(2)根据题中条件,求出AMC S △,ABC S ,MD ;设点B 到平面AMC 的距离为d ,由B AMC M ABC V V --=,列出等式求解, 即可得出结果.【详解】(1)连接BD 交AC 于点O ,因为底面ABCD 为菱形,所以O 为AC 中点;连接OM ,因为M 是棱PD 的中点,所以//OM PB ,因为OM ⊂平面AMC ,PB ⊄平面AMC ,所以//PB 平面AMC ;(2)因为PD ⊥平面ABCD ,所以PD AD ⊥,PD DC ⊥,因为2AD PD ==,3BAD π∠=,所以22215AM MC ==+2BD =,23ABC π∠=, 则112sin 22sin 3223ABC S AB BC ABC π=⋅⋅∠=⋅⋅⋅=22cos 236AC AO AB π==⋅⋅= 所以22532MO MC CO =--=11232622AMC S AC MO =⋅⋅=⋅=, 设点B 到平面AMC 的距离为d ,由B AMC M ABC V V --=可得1133AMC ABC S d S MD ⋅=⋅, 则3226ABC AMC S MDd S ⋅===, 即点B 到平面AMC 的距离为22. 【点睛】方法点睛: 求解空间中点P 到平面的距离的方法:(1)空间向量的方法:建立适当的空间直角坐标系,求出平面的法向量m ,以及一条斜线的方向向量PA ,根据PA md m ⋅=,即可求出点到面的距离;(2)等体积法:先设所求点到面的距离,选几何体不同的定点为顶点,表示出该几何体的体积,列出等量关系,即可求出点到面的距离.25.(1)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)连接1AB 、1BC ,设11B C BC F =,连接EF ,可知点F 为1BC 的中点,利用中位线的性质可得出1//EF AB ,再利用线面平行的判定定理可证得结论成立; (2)推导出BE ⊥平面11AAC C ,可得出1BE AC ⊥,再由11BC AC ,利用线面垂直的判定定理可证得1AC ⊥平面1C EB . 【详解】(1)如下图所示,连接1AB 、1BC ,设11B C BC F =,连接EF ,在三棱柱111ABC A B C -中,四边形11BB C C 为平行四边形,因为11B C BC F =,在点F 为1BC 的中点,又因为点E 为AC 的中点,1//EF AB ∴, 1AB ⊄平面1C EB ,EF ⊂平面1C EB ,所以,1//AB 平面1C EB ;(2)AB BC =,E 为AC 的中点,BE AC ∴⊥,因为平面11A ACC ⊥平面ABC ,平面11A ACC ⋂平面ABC AC =,BE ⊂平面ABC , BE ∴⊥平面11A ACC ,1AC ⊂平面11A ACC ,1AC BE ∴⊥, 11BC AC ⊥,1BE BC B =,1AC ∴⊥平面1C EB . 【点睛】方法点睛:证明线面垂直的方法:一是线面垂直的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面),解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.26.(1)证明见解析;(226.。

高中数学必修2教学同步讲练第一章《圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征》练习题(含答案)

高中数学必修2教学同步讲练第一章《圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征》练习题(含答案)

第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征A级基础巩固一、选择题1.下列几何体中是旋转体的是()①圆柱②六棱锥③正方体④球体⑤四面体A.①和⑤B.①C.③和④D.①和④解析:圆柱、球体是旋转体,其余均为多面体.答案:D2.如图所示的简单组合体的结构特征是()A.由两个四棱锥组合成的B.由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C.由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D.由一个四棱锥和一个四棱台组合成的解析:这个8面体是由两个四棱锥组合而成.答案:A3.下图是由哪个平面图形旋转得到的()解析:图中几何体由圆锥、圆台组合而成,可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到.答案:A4.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个平面去截这个几何体,若这个平面平行于底面,那么截面图形为()解析:截面图形应为图C所示的圆环面.答案:C5.用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径是()A.2 B.2πC.2π或4πD.π2或π4解析:如图所示,设底面半径为r,若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长,则2πr=8,所以r=4;π同理,若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长,则2πr=4,所以r=2.所以选C.π答案:C二、填空题6.等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°,所得几何体是________.解析:结合旋转体及圆锥的特征知,所得几何体为圆锥.答案:圆锥7.给出下列说法:①圆柱的母线与它的轴可以不平行;②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线,都可以构成直角三角形;③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是____________(填序号).解析:由旋转体的形成与几何特征可知①③错误,②④正确.答案:②④8.如图是一个几何体的表面展成的平面图形,则这个几何体是__________.答案:圆柱三、解答题9.如图所示的物体是运动器材——空竹,你能描述它的几何特征吗?解:此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的.10.如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的半径分别2 cm和5 cm,圆台的母线长是12 cm,求圆锥SO的母线长.解:如图,过圆台的轴作截面,截面为等腰梯形ABCD,由已知可得上底半径O1A=2 cm,下底半径OB=5 cm,且腰长AB=12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l,则由△SAO1∽△SBO,可得l -12l =25,所以l =20 cm. 故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B 级 能力提升1.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为( )A .一个球体B .一个球体中间挖出一个圆柱C .一个圆柱D .一个球体中间挖去一个长方体解析:外面的圆旋转形成一个球,里面的长方形旋转形成一个圆柱.所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱.答案:B2.一个半径为5 cm 的球,被一平面所截,球心到截面圆心的距离为4 cm ,则截面圆面积为__________cm 2.解析:如图所示,过球心O 作轴截面,设截面圆的圆心为O 1,其半径为r .由球的性质,OO1⊥CD.在Rt△OO1C中,R=OC=5,OO1=4,则O1C=3,所以截面圆的面积S=π·r2=π·O1C2=9π.答案:9π3.如图,底面半径为1,高为2的圆柱,在A点有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?解:把圆柱的侧面沿AB剪开,然后展开成为平面图形——矩形,如图所示,连接AB′,即为蚂蚁爬行的最短距离.因为AB=A′B′=2,AA′为底面圆的周长,且AA′=2π×1=2π.所以AB′=A′B′2+AA′2=4+(2π)2=21+π2,所以蚂蚁爬行的最短距离为21+π2.。

人教版高中数学必修二第一章单元测试(一)及参考答案

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2018-2019学年必修二第一章训练卷空间几何体(一)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.已知某空间几何体的三视图如图所示,则此几何体为( )A.圆台B.四棱锥C.四棱柱D.四棱台2.如图,△O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图,则△OAB 的面积为( )A.6B.32C.62D.123.已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5,菱形的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是( ) A.3034B.6034C.3034135+D.1354.半径为R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( ) A.3324R π B.338R π C.3525R π D.358R π 5.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为V 1和V 2,则V 1:V 2=( ) A.1:3B.1:1C.2:1D.3:16.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )A.163π B.193π C.1912π D.43π 7.一个正方体的体积是8,则这个正方体的内切球的表面积是( ) A.8πB.6πC.4πD.π8.如图是一个空间几何体的三视图,如果直角三角形的直角边长均为1,那么这个几何体的体积为( )A.1B.12 C.13D.169.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有( )此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛10.正三棱柱有一个半径为3cm 的内切球,则此棱柱的体积是( ) A.393cmB.354cmC.327cmD.3183cm11.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm ),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm ,高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.1312.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )A.3500cm 3πB.3cm 3866πC.3cm 31372π D.3cm 32048π二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号).①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.14.用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时,如果在已知图形中取的x 轴和正三角形的一边平行,则这个正三角形的直观图的面积是__________________. 15.棱锥的高为16,底面积为512,平行于底面的截面面积为50,则截得的棱台的高为__________________.16.如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积是__________________.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10分)把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1:4,母线长为10cm .求圆锥的母线长.18.(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图. (1)试判断该几何体是什么几何体?(2)画出其侧视图,并求该平面图形的面积;(3)求出该几何体的体积.19.(12分)如下图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由. 20.(12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同,相关的尺寸如图所示,求这个几何体的体积.21.(12分)如图所示,设计一个四棱锥形冷水塔塔顶,四棱锥的底面是正方形,侧面是全等的等腰三角形,已知底面边长为2m,7m,制造这个塔顶需要多少铁板?(2)三棱锥A′-BC′D的体积.22.(12分)如图,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,连接A′C′,A′D,A′B,BD,BC′,C′D,得到一个三棱锥.求:(1)三棱锥A′-BC′D的表面积与正方体表面积的比值;2018-2019学年必修二第一章训练卷空间几何体(一)答 案一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.【答案】D【解析】由几何体的三视图可得,该几何体为四棱台.故选D. 2.【答案】D【解析】△OAB 是直角三角形,OA =6,OB =4,∠AOB =90°,∴164122OAB S =⨯⨯=△.故选D .3.【答案】A【解析】由菱形的对角线长分别是9和15,得菱形的边长为22915334222⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则这个菱柱的侧面积为3434530342⨯⨯=.故选A . 4.【答案】A【解析】依题意,得圆锥的底面周长为πR ,母线长为R ,则底面半径为2R,高为32R ,所以圆锥的体积2313332224R R R ⎛⎫⨯π⨯⨯=π ⎪⎝⎭.故选A . 5.【答案】D【解析】()121::3:13V V Sh Sh ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选D .6.【答案】B【解析】设球半径是R ,依题意知,该三棱柱是一个底面边长为2,侧棱长为1的正三棱柱,记上,下底面的中心分别是O 1,O ,易知球心是线段O 1O 的中点,于是222123192312R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此所求球的表面积是2191944123R ππ=π⨯=, 故选B. 7.【答案】C【解析】设正方体的棱长为a,则a 3=8,所以a =2,而此正方体内的球直径为2,所以S表=4πr 2=4π.故选C.8.【答案】C【解析】该几何体的直观图为如图所示的四棱锥P -ABCD ,且P A =AB =AD =1,P A⊥AB ,P A ⊥AD ,四边形ABCD 为正方形,则2111133V =⨯⨯=,故选C.9.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ,则12384r ⨯⨯=,∴163r =,所以米堆的体积为21116320354339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,故堆放的米约为320 1.62229÷≈,故选B. 10.【答案】B【解析】由题意知棱柱的高为23cm ,底面正三角形的内切圆的半径为3cm ,∴底面正三角形的边长为6cm ,正三棱柱的底面面积为293cm ,∴此三棱柱的体积()3932354cm V =⨯=.故选B.11.【答案】C【解析】由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示.切削掉部分的体积V 1=π×32×6-π×22×4-π×32×2=20π(cm 3), 原来毛坯体积V 2=π×32×6=54π(cm 3).故所求比值为1220105427V V π==π.故选C. 12.【答案】A【解析】设球的半径为R ,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4, 球心到截面圆的距离为R -2,则R 2=(R -2)2+42,解得R =5.∴球的体积为3345500cm33π⨯π=.故选A.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.【答案】①②③⑤【解析】三棱锥的三视图中含有三角形,∴正视图有可能是三角形,满足条件.四棱锥的三视图中含有三角形,满足条件.三棱柱的三视图中含有三角形,满足条件.四棱柱的三视图中都为四边形,不满足条件.圆锥的三视图中含有三角形,满足条件.圆柱的三视图中不含有三角形,不满足条件.故答案为①②③⑤.14.【答案】6 415.【答案】11【解析】设棱台的高为x,则有2165016512x-⎛⎫=⎪⎝⎭,解之,得x=11.16.【答案】36+128π【解析】由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱,上面是一个三棱柱,故所求体积为134616836128 2V=⨯⨯⨯+π⨯=+π.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.【答案】403cm.【解析】如图,设圆锥母线长为l,则1014ll-=,所以cm403l=.18.【答案】(1)正六棱锥;(2)见解析,232a;(3)332a.【解析】(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥.(2)该几何体的侧视图如图.其中AB=AC,AD⊥BC,且BC的长是俯视图正六边形对边的距离,即3BC a=,AD是正六棱锥的高,即3AD a,所以该平面图形的面积为2133322a a a=.(3)设这个正六棱锥的底面积是S,体积为V,则223336S==,所以231333332V a a==.19.【答案】不会,见解析.【解析】因为()33314144134cm2323V R=⨯π=⨯⨯π⨯≈半球,()22311412201cm33V r h=π=π⨯⨯≈圆锥,134<201,所以V半球<V圆锥,所以,冰淇淋融化了,不会溢出杯子.20.【答案】74Vπ=.【解析】由三视图可知,该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱,两个圆柱高均为1,底面是半径为2和32的同心圆,故该几何体的体积为23741124Vπ⎛⎫=π⨯-π⨯=⎪⎝⎭.21.【答案】282m .【解析】如图所示,连接AC 和BD 交于O ,连接SO .作SP ⊥AB ,连接OP .在Rt △SOP 中,)7m SO =,()11m 2OP BC ==,所以)22m SP =, 则△SAB 的面积是)2122222m 2⨯⨯.所以四棱锥的侧面积是)242282m ⨯=,即制造这个塔顶需要282铁板.22.【答案】3;(2)33a .【解析】(1)∵ABCD -A ′B ′C ′D ′是正方体, ∴2A B A C A D BC BD C D a ''''''======,∴三棱锥A ′-BC ′D 的表面积为213422232a a a ⨯=.而正方体的表面积为6a 2,故三棱锥A ′-BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为2233a =. (2)三棱锥A ′-ABD ,C ′-BCD ,D -A ′D ′C ′,B -A ′B ′C ′是完全一样的.故V 三棱锥A ′-BC ′D =V 正方体-4V 三棱锥A ′-ABD =332114323a a a a -⨯⨯⨯=.。

人教A版数学必修二第一章测试卷附解析

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第一章测试卷附解析(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.棱锥的侧面和底面可以都是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形2.如图,Rt△O′A′B′是一平面图的直观图,斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是()A.22B.1C. 2 D.2 23.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+36 5 B.54+18 5C.90 D.814.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为()A.316B.916C .38D .9325.如图所示的正方体中,M ,N 分别是AA 1,CC 1的中点,作四边形D 1MBN ,则四边形D 1MBN 在正方体各个面上的正投影图形中,不可能出现的是( )6.如图,圆锥形容器的高为h ,圆锥内水面的高为h 1,且h 1=13h ,若将圆锥形容器倒置,水面高为h 2,则h 2等于( )A .23hB .1927hC .363hD .3193h7.若在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是( )A .23B .16C .56D .138.某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示,则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )A.①③B.②C.①③④D.②③④9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3π B.4πC.2π+4 D.3π+410.如图所示是某几何体的三视图,则这个几何体的体积等于()A.4 B.6C.8 D.1211.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为1,2,3,则此三棱锥的外接球的表面积为()A.3π B.6πC.18π D.24π12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A .14斛B .22斛C .36斛D .66斛二、填空题(本题共4小题,第小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.一块正方形薄铁皮的边长为4,以它的一个顶点为圆心,剪下一个最大的扇形,用这块扇形铁皮围成一个圆锥,则这个圆锥的容积为________.(铁皮厚度忽略不计)14.若一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.15.一个体积为123的正三棱柱(底面为正三角形,且侧棱垂直于底面)的三视图如图所示,则侧视图的面积为________.16.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,且这个球的体积是323π,那么这个三棱柱的体积是________.三、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图的内外均为正方形,边长分别为2和4,几何体的高为3,求此几何体的表面积和体积.18.(12分)有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.19.(12分)如图所示,在正三棱柱ABC-A 1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为29.设这条最短路线与CC1的交点为N,求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;(2)PC和NC的长.20.(12分)如图所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.21.(12分)如图,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,连接A′C′,A′D,A′B,BD,BC′,C′D,得到一个三棱锥A′-BC′D,求:(1)三棱锥A′-BC′D的表面积与正方体表面积的比值;(2)三棱锥A′-BC′D的体积.22.(12分)如图所示,四边形ABCD是直角梯形(单位:cm),求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积.第一章测试卷附解析(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.棱锥的侧面和底面可以都是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:选A三棱锥的侧面和底面均为三角形.2.如图,Rt△O′A′B′是一平面图的直观图,斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是()A.22B.1C. 2 D.2 2解析:选D∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,斜边O′B′=2,∴直角三角形的直角边长是2,∴直角三角形的面积是12×2×2=1,∴原平面图形的面积是1×22=22.故选D.3.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+36 5 B.54+18 5C.90 D.81解析:选B由已知中的三视图可得:该几何体是一个以边长为3的正方形为底面的斜四棱柱,其底面面积为:3×3×2=18,前后侧面的面积为:3×6×2=36,左右侧面的面积为:3×32+62×2=185,故棱柱的表面积为:18+36+185=54+185.故选B.4.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为()A.316B.916C.38D.932解析:选A设球的半径为R,所得的截面为圆M,圆M的半径为r.画图可知(图略),R2=14R2+r2,∴34R2=r2.∴S球=4πR2,截面圆M的面积为πr2=34πR2,则所得截面的面积与球的表面积的比为34πR24πR2=316.故选A.5.如图所示的正方体中,M,N分别是AA1,CC1的中点,作四边形D1MBN,则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中,不可能出现的是()解析:选D 四边形D 1MBN 在上下底面的正投影为选项A ;在前后面上的正投影为选项B ;在左右面上的正投影为选项C .故选D .6.如图,圆锥形容器的高为h ,圆锥内水面的高为h 1,且h 1=13h ,若将圆锥形容器倒置,水面高为h 2,则h 2等于( )A .23hB .1927hC .363hD .3193h解析:选D 设圆锥形容器的底面积为S , 则未倒置前液面的面积为49S ,∴水的体积V =13Sh -13×49S (h -h 1)=1981Sh , 设倒置后液面面积为S ′,则S ′S =⎝ ⎛⎭⎪⎫h 2h 2,∴S ′=Sh 22h 2,∴水的体积V =13S ′h 2=Sh 323h 2,∴1981Sh =Sh 323h 2,解得h 2=319h3,故选D .7.若在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是( )A .23B .16C .56D .13解析:选C 易知V =1-8×13×12×12×12×12=56.8.某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示,则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )A .①③B .②C .①③④D .②③④解析:选A 若图②是俯视图,则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切,故图②不合要求;若图④是俯视图,则正视图和侧视图不相同,故图④不合要求;①③都是能符合要求的几何体,故选A .9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.3π B.4πC.2π+4 D.3π+4解析:选D由三视图可知原几何体为半圆柱,底面半径为1,高为2,则表面积为S=2×12π×12+12×2π×1×2+2×2=π+2π+4=3π+4.10.如图所示是某几何体的三视图,则这个几何体的体积等于()A.4 B.6C.8 D.12解析:选A由三视图得该几何体为四棱锥S-ABCD,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且ABCD为直角梯形,∠DAB=90°.∴V=13SA×12(AB+CD)·AD=13×2×12×(2+4)×2=4,故选A.11.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为1,2,3,则此三棱锥的外接球的表面积为()A.3π B.6πC.18π D.24π解析:选B将三棱锥补成棱长分别为1,2,3的长方体,则长方体的体对角线是外接球的直径,所以2R=6,解得R=62,故S=4πR2=6π.12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析:选B米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积,设圆锥底面半径为r,则14×2πr=8,得r=16π,所以米堆的体积为13×14πr2×5≈3209(立方尺),3209÷1.62≈22(斛).二、填空题(本题共4小题,第小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.一块正方形薄铁皮的边长为4,以它的一个顶点为圆心,剪下一个最大的扇形,用这块扇形铁皮围成一个圆锥,则这个圆锥的容积为________.(铁皮厚度忽略不计)解析:如图所示,剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l等于正方形的边长4,扇形的弧长=14×(2π×4)=2π,即为圆锥的底面周长,设圆锥的底面半径为r,高为h,则2πr=2π,所以r=1,所以h=l2-r2=15,所以圆锥的容积为13πr 2h=15π3.答案:15π314.若一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.解析:该组合体为在一个圆柱内去掉一个半球,其体积V=π×12×1-4 3π×13×12=π3.答案:π315.一个体积为123的正三棱柱(底面为正三角形,且侧棱垂直于底面)的三视图如图所示,则侧视图的面积为________.解析:由三视图可知底面正三角形的高为23,则底面边长为4,所以底面面积为43,因此该三棱柱的高为123÷43=3,故侧视图的面积为23×3=63.答案:6 316.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,且这个球的体积是323π,那么这个三棱柱的体积是________.解析:设球的半径为r,则43πr3=323π,得r=2,柱体的高为2r=4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等,所以底面正三角形的边长为43,所以正三棱柱的体积V =34×(43)2×4=483. 答案:48 3三、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图的内外均为正方形,边长分别为2和4,几何体的高为3,求此几何体的表面积和体积.解:由已知得,该几何体为一个棱台,其侧面的高 h ′=⎝ ⎛⎭⎪⎫4-222+32=10. 故S =S 上底+S 下底+S 侧面=22+42+4×12×(2+4)×10=20+1210, 所以该几何体的表面积为20+1210, 体积V =13(42+22+2×4)×3=28.18.(12分)有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r 的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.解:由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知,当球在容器内时,水深为3r ,水面的半径为3r ,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=13π·(3r)2·3r-43πr3=53πr3,而将球取出后,设容器内水的深度为h,则水面圆的半径为33h,从而容器内水的体积是V′=13π·⎝⎛⎭⎪⎫33h2·h=19πh3,由V=V′,得h=315r.即容器中水的深度为315r.19.(12分)如图所示,在正三棱柱ABC-A 1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为29.设这条最短路线与CC1的交点为N,求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;(2)PC和NC的长.解:(1)该三棱柱的侧面展开图是宽为4,长为9的矩形,所以对角线的长为42+92=97.(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB1展开,如图所示.设PC的长为x,则MP2=MA2+(AC+x)2.因为MP=29,MA=2,AC=3,所以x=2(负值舍去),即PC的长为2.又因为NC∥AM,所以PCP A=NCAM,即25=NC2,所以NC=45.20.(12分)如图所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.解:由题图可知半球的半径为4 cm,所以V半球=12×43πR3=12×43π×43=1283π(cm3),V圆锥=13πr2h=13π×42×12=64π(cm3).因为V 半球<V 圆锥,所以如果冰淇淋融化了,不会溢出杯子.21.(12分)如图,正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为a ,连接A ′C ′,A ′D ,A ′B ,BD ,BC ′,C ′D ,得到一个三棱锥A ′-BC ′D ,求:(1)三棱锥A ′-BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值; (2)三棱锥A ′-BC ′D 的体积.解:(1)∵ABCD -A ′B ′C ′D ′是正方体,∴A ′B =A ′C ′=A ′D =BC ′=BD =C ′D =2a ,∴三棱锥A ′-BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a =23a 2. 而正方体的表面积为6a 2,故三棱锥A ′-BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a 26a 2=33.(2)三棱锥A ′-ABD ,C ′-BCD ,D -A ′D ′C ′,B -A ′B ′C ′是完全一样的.故V 三棱锥A ′-BC ′D =V 正方体-4V 三棱锥A ′-ABD =a 3-4×13×12a 2·a =a 33.22.(12分)如图所示,四边形ABCD 是直角梯形(单位:cm),求图中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积.解:由题意知,所成几何体的表面积等于圆台下底面面积+圆台的侧面积+半球面面积.因为S 半球面=12×4π×22=8π(cm 2), S 圆台侧=π(2+5)(5-2)2+42=35π(cm 2), S 圆台下底=π×52=25π(cm 2),所以表面积为8π+35π+25π=68π(cm 2). 又因为V 圆台=π3×(22+2×5+52)×4=52π(cm 3),V半球=12×4π3×23=16π3(cm3),所以该几何体的体积为V圆台-V半球=140π3(cm3).。

(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测题(包含答案解析)

(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》检测题(包含答案解析)

一、选择题1.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB AD ==,12AA =,M 为棱1DD 上的一点.当1A M MC +取得最小值时,1B M 的长为( )A .3B .6C .23D .26 2.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 为棱1AA 的中点,截面1CD E 交棱AB 于点F ,则四面体1CDFD 的外接球表面积为( )A .394πB .414πC .12πD .434π 3.某几何体的三视图如图所示,其中网格纸的小正方形的边长是1,则该几何体外接球的体积为( )A .323πB .48πC 323D .643π 4.如图,在矩形ABCD 中,1AB =,3BC =,沿BD 将矩形ABCD 折叠,连接AC ,所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图,则三棱锥A BCD -中AC 长为( )A .32B .3C .102D .25.已知球O 的半径为5,球面上有,,A B C 三点,满足214,27AB AC BC ===,则三棱锥O ABC -的体积为( )A .77B .142C .714D .147 6.在下面四个正方体ABCD A B C D ''''-中,点M 、N 、P 均为所在棱的中点,过M 、N 、P 作正方体截面,则下列图形中,平面MNP 不与直线A C '垂直的是( ) A . B . C . D . 7.在正方体1111ABCD A B C D -中,M 是棱1CC 的中点.则下列说法正确的是( ) A .异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为53B .BDM 为等腰直角三角形C .直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于105D .直线1AC 与平面BDM 相交 8.如图是某个四面体的三视图,则下列结论正确的是( )A .该四面体外接球的体积为48πB .该四面体内切球的体积为23π C .该四面体外接球的表面积为323πD .该四面体内切球的表面积为2π9.在正方体1111ABCD A B C D -中,三棱锥11A B CD -的表面积为43的体积为( )A .3πB 6πC .3πD .86π 10.已知四面体ABCD ,AB ⊥平面BCD ,1AB BC CD BD ====,若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上,则球O 的表面积为( )A .73πB .7πC .712πD .79π 11.设m 、n 是两条不同的直线,α是平面,m 、n 不在α内,下列结论中错误的是( )A .m α⊥,//n α,则m n ⊥B .m α⊥,n α⊥,则//m nC .m α⊥,m n ⊥,则//n αD .m n ⊥,//n α,则m α⊥ 12.如图(1),Rt ABC ,1,3,2AC AB BC ===,D 为BC 的中点,沿AD 将ACD △折起到AC D ',使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上,如图(2),则以下结论正确的是( )A .AC BD '⊥B .AD BC '⊥ C .BD C D ⊥' D .AB C D ⊥'二、填空题13.圆锥底面半径为1,母线长为4,轴截面为PAB ,如图,从A 点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A 点,则最短绳长为_________.14.如图,点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点,点M 在线段1BD 上运动,则下列结论正确的有__________.①直线AD 与直线1C M 始终是异面直线②存在点M ,使得1B M AE ⊥③四面体EMAC 的体积为定值④当12D M MB =时,平面EAC ⊥平面MAC15.已知直三棱柱111ABC A B C -,90CAB ∠=︒,1222AA AB AC ===,则直线1A B 与侧面11B C CB 所成角的正弦值是______.16.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,22AB =,3BC =,4PA =,4ABC π∠=,则该三棱锥的外接球体积为___________.17.如图所示,Rt A B C '''∆为水平放置的ABC ∆的直观图,其中A C B C ''''⊥,2B O O C ''''==,则ABC ∆的面积是________________.18.已知正四棱锥的体积为18,侧棱与底面所成的角为45,则该正四棱锥外接球的表面积为___________.19.如图,圆柱的体积为16π,正方形ABCD 为该圆柱的轴截面,F 为AB 的中点,E为母线BC 的中点,则异面直线AC ,EF 所成的角的余弦值为______.20.在三棱锥-P ABC 中,侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形,若3PA =,则侧棱PA 与底面ABC 所成的角的大小是___________. 三、解答题21.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,11,2AB AA ==,点E 为1CC 中点,点F 为1BD 中点.(1)求异面直线1BD 与1CC 的距离;(2)求直线1BD 与平面BDE 所成角的正弦值;(3)求点F 到平面BDE 的距离.22.正四棱台两底面边长分别为3和9,若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45,求棱台的侧面积.23.如图,圆柱的轴截面ABCD 是长方形,点E 是底面圆周上异于A ,B 的一点,AF DE ⊥,F 是垂足.(1)证明:AF DB ⊥;(2)若2AB =,3AD =,当三棱锥D ABE -体积最大时,求点C 到平面BDE 的距离. 24.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,底面是等腰直角三角形,90ACB ∠=︒且AC a =,侧棱12AA =,D ,E 分别是1CC ,11A B 的中点.(1)求直三棱柱111ABC A B C -的体积(用字母a 表示);(2)若点E 在平面ABD 上的射影是三角形ABD 的重心G ,①求直线EB 与平面ABD 所成角的余弦值;②求点1A 到平面ABD 的距离25.如图,已知三棱锥P ABC -﹐PC AB ⊥,ABC 是边长为23的正三角形,43PB =﹐60PBC ∠=,点F 为线段AP 的中点.(1)证明:PC ⊥平面ABC ;(2)求直线BF 与平面PAC 所成角的大小.26.我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息,如图(1)的多面体石凳是由图(2)的正方体石块截去八个相同的四面体得到,且该石凳的体积是3160dm 3.(Ⅰ)求正方体石块的棱长;(Ⅱ)若将图(2)的正方体石块打磨成一个球形的石凳,求此球形石凳的最大体积.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.A解析:A【分析】本题首先可通过将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开得出当1A 、M 、2C 共线时1A M MC +取得最小值,此时M 为1DD 的中点,然后根据11B A ⊥平面11A D DA 得出111B A A M ⊥,最后根据221111M A B B A M =+即可得出结果.【详解】如图,将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开,与侧面11ADD A 共面,连接12A C ,易知当1A 、M 、2C 共线时,1A M MC +取得最小值,因为1AB AD ==,12AA =,所以M 为1DD 的中点,12A M = 因为11B A ⊥平面11A D DA ,1A M ⊂平面11A D DA ,所以111B A A M ⊥,则222211111(2)3M B A A M B =+=+=故选:A.【点睛】关键点点睛:本题考查根据线面垂直判断线线垂直,能否根据题意得出当M 为1DD 的中点时1A M MC +取得最小值是解决本题的关键,考查计算能力,考查数形结合思想,是中档题. 2.B解析:B【分析】可证F 为AB 的中点,设1DD 的中点为G ,DFC △的外接圆的球心为1O ,四面体1CDFD 的外接球的球心为O ,连接11,,,OG OF OO A B ,利用解三角形的方法可求DFC △的外接圆的半径,从而可求四面体1CDFD 的外接球的半径.【详解】设1DD 的中点为G ,DFC △的外接圆的圆心为1O ,四面体1CDFD 的外接球的球心为O ,连接11,,,OG OF OO A B ,因为平面11//A ABB 平面11D DCC ,平面1CD E ⋂平面11A ABB EF =,平面1CD E ⋂平面111D DCC D C =,故1//EF D C ,而11//A B D C ,故1//EF A B ,故F 为AB 的中点, 所以145DF CF ==+=,故3cos 5255DFC ∠==⨯⨯, 因为DFC ∠为三角形的内角,故4sin 5DFC ∠=,故DFC △的外接圆的半径为1254245⨯=,1OO ⊥平面ABCD ,1DD ⊥平面ABCD ,故11//OO DD ,在平面1GDO O 中,111,OG DD O D DD ⊥⊥,故1//OG O D ,故四边形1GDO O 为平行四边形,故1//OO GD ,1OO GD =,所以四面体1CDFD 2541116+= 故四面体1CDFD 的外接球表面积为41414164ππ⨯=, 故选:B.【点睛】方法点睛:三棱锥的外接球的球的半径,关键是球心位置的确定,通常利用“球心在过底面外接圆的圆心且垂直于底面的直线上”来确定. 3.A解析:A【分析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,其中四棱锥底面是边长为4的正方形,将四棱锥补成棱长为4的正方体,则该几何体的外接球就是正方体的外接球,进而可得答案. 【详解】由三视图可知,该几何体是如图所示的四棱锥P ABCD -, 其中四棱锥底面是边长为4的正方形,四棱锥的一条侧棱与底面垂直,四棱锥的高为4, 将四棱锥补成棱长为4的正方体, 则该几何体的外接球就是正方体的外接球, 外接球的直径2R 等于正方体的对角线长, 即24323R R =⇒=,所以该几何体外接球的体积为()34233π⨯=323π,故选:A.【点睛】方法点睛:三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响,对简单组合体三视图问题,先看俯视图确定底面的形状,根据正视图和侧视图,确定组合体的形状.4.C解析:C 【分析】先由正视图、俯视图及题意还原三棱锥,过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ,把AC 放在直角三角形AMC 中解AC . 【详解】根据三棱锥A BCD -正视图和俯视图,还原后得到三棱锥的直观图如图示,由图可知:平面ABD ⊥平面CBD ,过A 作AM ⊥BD 于点M ,连结MC ,则AM ⊥平面CBD , ∴△MCA 为直角三角形. 过C 作CN ⊥BD 于点N ,在直角三角形ABD 中,AB =1,AD 3,∴222BD AB AD =+=所以∠ABD=60°,∠ADB=30°,则在直角三角形ABM 中,AB =1,∠ABM=60°,∴13,22BM AM ==. 同理,在直角三角形CBD 中,13,22DN CN ==. ∴MN =BD -BM -DN =112122--=, ∴222237()122CM CN MN =+=+= 在直角三角形AMC 中,22227310()222AC CM AM ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭故选:C 【点睛】(1)根据三视图画直观图,可以按下面步骤进行:①、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图 ;②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;③、画出整体,让后再根据三视图进行调整.(2)立体几何中求线段长度:①、把线段放在特殊三角形中,解三角形;②、用等体积法求线段.5.A解析:A 【分析】利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径,则可求出三棱锥的高,进而求出三棱锥体积. 【详解】设ABC 的外接圆的圆心为D ,半径为r ,在ABC 中,72cos 4214ABC ∠==,14sin ABC ∴∠=, 由正弦定理可得28sin ACr ABC==∠,即4r =,则22543OD =-=,11114214273773324O ABC ABCV SOD -∴=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=. 故选:A.【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算,解题的关键是利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径,利用勾股关系求出高.6.A解析:A 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断BCD 选项,利用假设法推出矛盾,可判断A 选项. 【详解】对于A 选项,连接B C ',假设A C '⊥平面MNP ,在正方体ABCD A B C D ''''-中,A B ''⊥平面BB C C '',B C '⊂平面BB C C '',A B B C '''∴⊥,所以,A B C ''为直角三角形,且A CB ''∠为锐角,因为M 、N 分别为BB '、BC 的中点,则//MN B C ',所以,MN 与A C '不垂直, 这与A C '⊥平面MNP 矛盾,故假设不成立,即A C '与平面MNP 不垂直;对于B 选项,连接B D ''、A C '',如下图所示:因为四边形A B C D ''''为正方形,则A C B D ''''⊥,CC '⊥平面A B C D '''',B D ''⊂平面A B C D '''',CC B D '''∴⊥, A C CC C ''''=,B D ''∴⊥平面A CC '',A C '⊂平面A CC '',A CB D '''∴⊥,M 、P 分别为A B ''、A D ''的中点,则//MN B D '',可得MP A C '⊥, 同理可证A C MN '⊥,MP MN M ⋂=,A C '∴⊥平面MNP ;对于C 选项,连接C D '、A N '、CN 、A P '、PC ,取A B ''的中点E ,连接C E '、PE ,因为四边形CC D D ''为正方形,则CD C D ''⊥,A D ''⊥平面CC D D '',C D '⊂平面CC D D '',C D A D '''∴⊥, CD A D D ''''=,C D '∴⊥平面A CD '',A C '⊂平面A CD '',A C C D ''∴⊥,M 、N 分别为DD '、C D ''的中点,//MN C D '∴,A C MN '∴⊥,在正方形A B C D ''''中,E 、N 分别为A B ''、C D ''的中点,//A E C N ''∴且A E C N ''=, 所以,四边形A EC N ''为平行四边形,所以,//A N C E ''且A N C E ''=, 同理可证四边形CC EP '为平行四边形,//C E CP '∴且C E CP '=, 所以,//A N CP '且A N CP '=,所以,四边形A PCN '为平行四边形, 易得A N CN '=,所以,四边形A PCN '为菱形,所以,A C PN '⊥,MN PN N =,A C '∴⊥平面MNP ;对于D 选项,连接AC 、BD ,因为四边形ABCD 为正方形,则AC BD ⊥,AA '⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,AA BD '∴⊥, AC AA A '⋂=,BD ∴⊥平面AA C ',A C '⊂平面AA C ',AC BD '∴⊥,M 、N 分别为CD 、BC 的中点,则//MN BD ,A C MN '∴⊥,同理可证A C MP '⊥,MN MP M ⋂=,A C '∴⊥平面MNP .故选:A. 【点睛】方法点睛:证明线面垂直的方法: 一是线面垂直的判定定理; 二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面),解题时,注意线线、线面与面面关系的相互转化;另外,在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.7.C解析:C 【分析】A 通过平移,找出异面直线所成角,利用直角三角形求余弦即可. B.求出三角形的三边,通过勾股定理说明是不是直角三角形.C.求出点M 到面11BB D D 的距离,再求直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦.D.可通过线线平行证明线面平行. 【详解】 设正方体棱长为2A. 取1BB 的中点为N ,则//BC MN ,则AM 与BC 所成角为AMN ∠ 由BC ⊥面11ABB A ,故MN ⊥面11ABB A ,故MN AN ⊥,在Rt ANM △中,5tan 2AMN ∠=,故2cos 3AMN ∠=B. BDM 中,5BM =,22BD =,5DM =,不满足勾股定理,不是直角三角形C. AC BD ⊥,1AC BB ⊥,故AC ⊥面11BB D D ,1//CC 面11BB D D ,故M 到面11BB D D 的距离等于C 到面11BB D D 的距离,即为122d AC ==直线BM 与平面11BDD B 所成角为θ210sin 55d BM θ===直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于105D.如图ACBD O =OM 为1ACC △的中位线,有1//OM AC故直线1AC 与平面BDM 平行故选:C 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明:(1)对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念:把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线;(2)对于线面位置关系的判定中,熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.8.D解析:D 【分析】先找到几何体原图,再求出几何体的外接球的半径和内切球的半径,再判断每一个选项得解. 【详解】由三视图得几何体为下图中的三棱锥A BCD -,AB ⊥平面BCD ,42AB =,2CE DE ==,2BE =,由题得2CBD π∠=.设外接球的球心为,O 外接球的半径为R ,则OE ⊥平面BCD , 连接,OB OA ,取AB 中点F ,连接OF .由题得1222OE BF AB ===,所以222(22)2,23R R =+∴=, 所以外接球的体积为34(23)3233ππ⨯=,所以选项A 错误; 所以外接球的表面积为24(23)48ππ⨯=,所以选项C 错误; 由题得22(42)(22)210AC AD ==+=, 所以△ACD △的高为24026-=, 设内切球的半径为r ,则1111111(422242222446)24423222232r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 所以22r, 所以内切球的体积为3422)323ππ⨯=(,所以选项B 错误; 所以内切球的表面积为224()22ππ⨯=,所以选项D 正确. 故选:D【点睛】方法点睛:求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中,使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合,则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的,长方体的外接球的半径22212r a b c =++几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系,可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心O 和截面圆的圆心O ',找到OO '、球的半径OA 、截面圆的半径O A '确定的Rt OO A '△,再解Rt OO A '△求出球的半径OA .9.B解析:B 【分析】根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长,最后求出正方体的外接球的半径,进一步求出结果. 【详解】解:设正方体的棱长为a ,则1111112B D AC AB AD B C D C a ======, 由于三棱锥11A B CD -的表面积为43, 所以()12133442242AB CS S a==⨯⨯=所以2a =()()()2222226++=, 所以正方体的外接球的体积为34663ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭故选:B . 【点睛】与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.10.A解析:A 【分析】本题首先可根据题意将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分,然后求出直三棱柱的外接球的半径,最后根据球的表面积计算公式即可得出结果. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ,1AB BC CD BD ====,所以可将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分,如图所示:则四面体ABCD 的外接球即直三棱柱的外接球,因为底面三角形BCD 的外心到三角形BCD 的顶点的长度为222131323, 所以直三棱柱的外接球的半径221372312r, 则球O 的表面积277π4π4π123S r , 故选:A. 【点睛】关键点点睛:本题考查四面体的外接球的表面积的计算,能否将四面体ABCD 看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分是解决本题的关键,考查直三棱柱的外接球的半径的计算,是中档题.11.D解析:D 【分析】利用线面平行的性质定理和线面垂直的定义可判断A 选项的正误;由线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误;根据已知条件判断直线n 与平面α的位置关系,可判断C 选项的正误;根据已知条件判断直线m 与平面α的位置关系,可判断D 选项的正误. 【详解】 对于A ,//n α,由线面平行的性质定理可知,过直线n 的平面β与平面α的交线l 平行于n ,m α⊥,l α⊂,m l ∴⊥,m n ∴⊥,故A 正确;对于B ,若m α⊥,n α⊥,由直线与平面垂直的性质,可得//m n ,故B 正确; 对于C ,若m α⊥,m n ⊥,则//n α或n ⊂α,又n α⊄,//n α∴,故C 正确;对于D ,若m n ⊥,//n α,则//m α或m 与α相交或m α⊂, 而m α⊄,则//m α或m 与α相交,故D 错误. 故选:D . 【点睛】方法点睛:对于空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的结论需要通过举出反例说明其错误,在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳.12.C解析:C 【分析】设AH a =,则BH a =,由线面垂直的性质和勾股定理可求得DH a AH ==,由等腰三角形的性质可证得BD ⊥DH ,再根据线面垂直的判定和性质可得选项. 【详解】设AH a =,则BH a =,因为'C H ⊥面ABD ,AB 面ABD ,DH ⊂面ABD ,所以'C H ⊥AB ,'C H ⊥DH ,'C H ⊥DB ,又Rt ABC ,1,2AC AB BC ===,D 为BC 的中点,所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=,所以在'Rt AC H 中,'C H ==Rt C HD ’中,()2'222'211DH C D C H a a =-=--=,所以DH a AH ==,所以6ADH DAB π∠=∠=,又23ADB π∠=,所以2HDB π∠=,所以BD ⊥DH ,又'C HDH H =,所以BD ⊥面'C DH ,又'C D ⊂面'C DH ,所以BD ⊥'C D , 故选:C. 【点睛】关键点点睛:在解决折叠问题时,关键在于得出折叠的前后中,线线、线面、面面之间的位置关系的不变和变化,以及其中的边的长度、角度中的不变量和变化的量.二、填空题13.【分析】把圆锥侧面展开为一个平面图形利用平面上两点间线段最短可得【详解】由题意所以圆锥侧面展开图中心角为如图则故答案为:【点睛】关键点点睛:本题考查圆锥侧面上的最短距离问题空间几何体表面上两点间的最解析:【分析】把圆锥侧面展开为一个平面图形,利用平面上两点间线段最短可得. 【详解】由题意1,4r l ==,所以圆锥侧面展开图中心角为2142ππθ⨯==,如图,2APA π'∠=, 则2442AA '=⨯=.故答案为:42.【点睛】关键点点睛:本题考查圆锥侧面上的最短距离问题,空间几何体表面上两点间的最短距离问题的解决方法常常是把几何体的表面展开摊平为一个平面图形,利用平面上两点间线段最短求解.14.②③④【分析】取点为线段的中点可判断①建立空间直角坐标系假设存在点使得利用解出的值即可判断②;连接交于点证明线段到平面的距离为定值可判断③;求出点的坐标然后计算平面和平面的法向量即可判断④【详解】对解析:②③④. 【分析】取点M 为线段1BD 的中点可判断①,建立空间直角坐标系假设存在点M ,使得1B M AE ⊥,利用()1110AE B M AE B B BD λ⋅=⋅+=解出λ的值即可判断②;连接AC 、BD 交于点1O ,证明11//EO BD ,线段1BD 到平面AEC 的距离为定值,可判断③;求出点M 的坐标,然后计算平面AEC 和平面MAC 的法向量,即可判断④. 【详解】对于①:连接1AC 交1BD 于点O ,当点M 在O 点时直线AD 与直线1C M 相交,故①不正确,以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的边长为2,则()0,0,0D ,()10,0,2D ,()2,0,0A ,()0,2,0C ,()0,0,1E ,()2,2,0B ,()12,2,2B ,对于②:()2,0,1AE =-,假设存在点M ,使得1B M AE ⊥,()()()1110,0,22,2,22,2,22B M B B BD λλλλλ=+=-+--=---,[]0,1λ∈,所以14220AE B M λλ⋅=+-=,解得13λ=,所以当12D M MB =时1B M AE ⊥, 故②正确;对于③:连接AC 、BD 交于点1O ,因为点E 是棱1DD 的中点,此时11//EO BD ,故线段1BD 到平面AEC 的距离为定值,所以四面体EMAC 的体积为定值,故③正确;对于④:当12D M MB =时,442,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭,()2,0,1AE =-,()2,2,0AC =-,设平面AEC 的法向量为()111,,m x y z =,由111120220m AE x z m AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令12z =,可得11x =,11y =,可得()1,1,2m =,设平面MAC 的法向量为()222,,n x y z =,242,,333MA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,由22222220242333n AC x y n MA x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩解得:20y =,令 21x =可得22z =,所以1,1,1n,因为1111120m n ⋅=⨯+⨯-⨯=,m n ⊥所以平面EAC ⊥平面MAC ,故④正确; 故答案为:②③④. 【点睛】方法点睛:证明面面垂直的方法(1)利用面面垂直的判定定理,先找到其中一个平面的一条垂线,再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可; (2)利用性质://,αββγαγ⊥⇒⊥(客观题常用); (3)面面垂直的定义(不常用);(4)向量方法:证明两个平面的法向量垂直,即法向量数量积等于0.15.【分析】取中点连接证明平面可得为直线与侧面所成的角进而可得答案【详解】取中点连接直三棱柱中平面平面又又面平面在平面上的射影为故为直线与侧面所成的角中中中故答案为:【点睛】方法点睛:求直线与平面所成的 解析:10 【分析】取11B C 中点D ,连接1,A D BD ,证明1A D ⊥平面11B C CB ,可得1A BD ∠为直线1A B 与侧面11B C CB 所成的角,进而可得答案. 【详解】取11B C 中点D ,连接1,A D BD ,直三棱柱中,1BB ⊥平面111A B C ,1A D ⊂平面111A B C ,11BB A D ∴⊥,又11111A B A C ==,111A D B C ∴⊥, 又1111B C BB B =,111,B C BB ⊂面11BB C C ,1A D ∴⊥平面11B C CB ,1A B ∴在平面11B C CB 上的射影为DB ,故1A BD ∠为直线1A B 与侧面11B C CB 所成的角,11Rt A B B 中,22211121125BB A B A B =+=+=111Rt B A C 中,1112212122B C A D=⨯==,1Rt A BD ∴中,1112102sin 5A D A BD AB ∠===, 故答案为:1010. 【点睛】方法点睛:求直线与平面所成的角有两种方法:一是传统法,证明线面垂直找到直线与平面所成的角,利用平面几何知识解答;二是利用空间向量,求出直线的方向向量以及平面的方向向量,利用空间向量夹角余弦公式求解即可.16.【分析】利用余弦定理求得利用正弦定理计算出的外接圆直径可计算出三棱锥的外接球半径然后利用球体体积公式可求得结果【详解】如下图所示圆柱的底面圆直径为圆柱的母线长为则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等 解析:1326π【分析】利用余弦定理求得AC ,利用正弦定理计算出ABC 的外接圆直径2r ,可计算出三棱锥P ABC -的外接球半径R ,然后利用球体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示,圆柱12O O 的底面圆直径为2r ,圆柱的母线长为h , 则12O O 的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等, 所以,圆柱12O O 的外接球直径为()2222R r h =+.本题中,作出ABC 的外接圆2O ,由于PA ⊥平面ABC ,可将三棱锥P ABC -放在圆柱12O O 中,在ABC 中,22AB =3BC =,4ABC π∠=,由余弦定理可得222cos 5AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠=,由正弦定理可知,ABC 的外接圆直径为5210sin 2ACr ABC===∠ 则三棱锥P ABC -的外接球直径为()222226R PA r =+=26R =, 因此,三棱锥P ABC -的外接球的体积为334426132633V R ππ==⨯=⎝⎭. 故答案为:13263. 【点睛】方法点睛:求空间多面体的外接球半径的常用方法:①补形法:侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;②利用球的性质:几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径,也即球的直径; ③定义法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据带其他顶点距离也是半径,列关系求解即可.17.【分析】根据直观图和原图的之间的关系由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形直接求解其面积即可【详解】由直观图画法规则将还原为如图所示是一个等腰三角形则有所以故答案为:【点睛】关键点点睛:根 解析:2【分析】根据直观图和原图的之间的关系,由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ,如图所示,ABC 是一个等腰三角形,直接求解其面积即可. 【详解】由直观图画法规则将Rt A B C '''还原为ABC ,如图所示,ABC 是一个等腰三角形,则有2BO OC B O O C ''''====,242AO A O ''==所以114428222ABCSBC AO =⋅=⨯⨯= 故答案为:82 【点睛】关键点点睛:根据斜二测画法的规则,可得出三角形的直观图,并求出对应边长,根据面积公式求解.18.【分析】作出图形计算出正四棱锥的高与底面边长设底面的中心为计算得出为正四棱锥的外接球球心可求得该正四棱锥的外接球半径即可得解【详解】如下图所示设正四棱锥的底面的中心为连接设正四棱锥的底面边长为则由于 解析:36π【分析】作出图形,计算出正四棱锥P ABCD -的高与底面边长,设底面ABCD 的中心为E ,计算得出E 为正四棱锥P ABCD -的外接球球心,可求得该正四棱锥的外接球半径,即可得解. 【详解】如下图所示,设正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心为E ,连接PE 、AC 、BD ,设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ,则2AC BD a ==,由于E 为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 的中心,则PE ⊥平面ABCD , 由于正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成的角为45,则45PAC PCA ∠=∠=, 所以,PAC △是以APC ∠为直角的等腰直角三角形, 同理可知,PBD △是以BPD ∠为直角的等腰直角三角形,E 为AC 的中点,122PE AC a ==,2ABCD S a =正方形,2311183326P ABCD ABCD V S PE a a a -=⋅=⨯⨯==正方形,解得a =,232PE a ==,由直角三角形的性质可得1122PE AC BD ==,即PE AE BE CE DE ====,所以,E 为正四棱锥P ABCD -外接球的球心, 球E 的半径为3r PE ==,该球的表面积为2436r ππ=. 故答案为:36π. 【点睛】方法点睛:求空间多面体的外接球半径的常用方法:①补形法:侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;②利用球的性质:几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径,也即球的直径; ③定义法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据带其他顶点距离也是半径,列关系求解即可.19.【分析】由圆柱体积求得底面半径母线长设底面圆心为可得为异面直线与所成的角(或其补角)在对应三角形中求解可得【详解】设圆柱底面半径为则母线长为由得设底面圆心为连接则所以为异面直线所成的角在中所以故答案【分析】由圆柱体积求得底面半径,母线长,设底面圆心为O ,可得OEF ∠为异面直线AC 与EF 所成的角(或其补角).在对应三角形中求解可得. 【详解】设圆柱底面半径为r ,则母线长为2r ,由2216r r ππ⋅=得2r.设底面圆心为O ,连接OE ,OF .则//OE AC ,所以OEF ∠为异面直线AC ,EF 所成的角.在Rt OEF △中,2OF =,OE =EF =所以cos 3OE OEF EF ∠==..【点睛】思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下: (1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角; (2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角; (3)计算:求该角的值,常利用解三角形; (4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.20.【分析】先画出直观图证明平面平面然后侧棱与底面ABC 所成的角即为根据题目中的数据算出即可【详解】如图作的中点连结因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形而为的中点所以又所以平面同时平面所以平解析:o 60. 【分析】先画出直观图,证明平面PAD ⊥平面ABC ,然后侧棱PA 与底面ABC 所成的角即为PAD ∠,根据题目中的数据算出即可.【详解】如图,作BC 的中点D ,连结AD 、PD 因为侧面PBC 和底面ABC 都是边长为2的正三角形 而D 为BC 的中点,所以BC PD ⊥,BC AD ⊥,又PD AD D ⋂=,所以BC ⊥平面PAD ,同时BC ⊂平面ABC。

人教a版数学必修二第一章试题及答案

人教a版数学必修二第一章试题及答案

人教a版数学必修二第一章试题及答案一、选择题(每题4分,共40分)1. 已知函数\( f(x) = \frac{1}{x} \),下列说法正确的是()。

A. \( f(x) \)是奇函数B. \( f(x) \)是偶函数C. \( f(x) \)既不是奇函数也不是偶函数D. \( f(x) \)是周期函数2. 函数\( y = x^2 - 4x + c \)的图象是抛物线,且顶点在x轴上,那么c的值为()。

A. 4B. -4C. 0D. 83. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项\( a_1 = 3 \),公差\( d = 2 \),则\( a_5 \)的值为()。

A. 13B. 11C. 9D. 74. 函数\( y = \log_2 x \)的值域是()。

A. \( (-\infty, 0) \)B. \( (0, +\infty) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)5. 若\( \sin \alpha = \frac{1}{2} \),\( \cos \beta = -\frac{1}{2} \),则\( \sin (\alpha + \beta) \)的值为()。

A. \( \frac{1}{4} \)B. \( -\frac{1}{4} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( -\frac{1}{2} \)6. 已知\( \tan \alpha = 2 \),\( \tan \beta = -1 \),则\( \tan (\alpha - \beta) \)的值为()。

A. 3B. -3C. \( \frac{1}{3} \)D. \( -\frac{1}{3} \)7. 函数\( y = \frac{1}{x} \)的图象在第一象限内是()。

A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增8. 已知\( \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \),\( \sin \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \),则\( \cos (\alpha - \beta) \)的值为()。

(典型题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(含答案解析)

(典型题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试卷(含答案解析)

一、选择题1.已知正方体1111ABCD A B C D -,E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,则EF 和BD 所成的角的大小是( ) A .30B .45C .60D .902.已知AB 是平面α外的一条直线,则下列命题中真命题的个数是( ) ①在α内存在无数多条直线与直线AB 平行; ②在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直; ③在α内存在无数多条直线与直线AB 异面; ④一定存在过AB 且与α垂直的平面β. A .1个B .2个C .3个D .4个3.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB AD ==,12AA =,M 为棱1DD 上的一点.当1A M MC +取得最小值时,1B M 的长为( )A 3B 6C .23D .264.已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上,侧棱1AA ⊥底面111A B C ,底面111A B C △是正三角形,1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是3O 的表面积是( ) A .28π3B .14π3C .56π3D .7π 35.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 是1CC 的中点,则点1C 到平面EBD 的距离为( ) A .34B 6C 5D 226.在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别是棱C 1D 1,B 1C 1的中点,P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点,若AP ∥平面BDEF ,则线段AP 长度的取值范围是( )A .[322,5] B .[5,22]C .[324,6] D .[6,22]7.如图为某几何体的三视图,正视图、左视图和俯视图均为等腰直角三角形,则该几何体的表面积是( )A .23+B .223+C .63+D .6 8.三个平面将空间分成n 个部分,则n 不可能是( )A .5B .6C .7D .89.如图,正方体1111ABCD A B C D -中,P 为线段1A B 上的动点,则下列结论错误的是( )A .1DC PC ⊥B .异面直线AD 与PC 不可能垂直 C .1D PC ∠不可能是直角或者钝角 D .1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 10.已知四面体ABCD 中,二面角A BC D --的大小为60,且2AB =,4CD =,120CBD ∠=,则四面体ABCD 体积的最大值是( )A 43B 23C .83D .4311.已知长方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,B ,C ,D ,在球O 的表面上,顶点1A ,1B ,1C ,1D ,在过球心O 的一个平面上,若6AB =,8AD =,14AA =,则球O 的表面积为( ) A .169πB .161πC .164πD .265π12.如图,长、宽、高分别为2、1、1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ,则它爬行的最短路程是( )A .10B .5C .22D .3二、填空题13.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,22AB =,3BC =,4PA =,4ABC π∠=,则该三棱锥的外接球体积为___________.14.如图,在三棱台111ABC A B C -中,11190,4,22ACB AC BC A B CC ∠=︒====,平面11AA B B ⊥平面ABC ,则该三棱台外接球的表面积为___________.15.在正三棱锥A BCD -中,5AB AC AD ===,6BC BD CD ===.点M 是线段BC 上的点,且2BM MC =.点P 是棱AC 上的动点,直线PM 与平面BCD 所成角为θ,则sin θ的最大值为______.16.如图,在长方体1111ABCDA B C D ﹣中,O 是11B D 的中点,P 是线段AC 上一点,且直线1PA 交平面11AB D 于点M .给出下列结论:①A ,M ,O 三点共线;②A ,M ,O ,1A 不共面;③A ,M ,C ,O 共面;④B ,1B ,O ,M 共面.其中正确结论的序号为______.17.如下图所示,三棱锥P ABC -外接球的半径为1,且PA 过球心,PAB △围绕棱PA 旋转60︒后恰好与PAC △重合.若3PB =,则三棱锥P ABC -的体积为_____________.18.如图在长方形ABCD 中,AB 6=,BC 2=.E 为线段DC 上一动点,现将△AED 沿AE 折起.使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上,当E 从D 运动到C .则K 所形成轨迹的长度为_____.19.若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,23AB =,7SA SB SC ===,则该三棱锥的外接球的表面积为__________. 20.棱长为a 的正四面体的外接球的表面积为______.三、解答题21.如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形,60BCD ∠=,已知2PB PD ==,6PA =,E 为PA 的中点.(1)求证:PC BD ⊥;(2)求二面角B PC E --的余弦值; (3)求三棱锥P BCE -的体积.22.将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿平面11A BCD 截去一半(如图1所示)得到如图2所示的几何体,点E ,F 分别是BC ,DC 的中点.(Ⅰ)证明:EF ⊥平面1A AC ; (Ⅱ)求三棱锥1A D EF -的体积.23.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,平面PAD ⊥平面ABCD ,PA PD ⊥,PA PD =,3BAD π∠=,E 是线段AD 的中点,连结BE .(1)求证:BE PA ⊥;(2)求二面角A PD C --的余弦值;(3)在线段PB 上是否存在点F ,使得//EF 平面PCD ?若存在,求出PFPB的值;若不存在,说明理由.24.如图,已知三棱锥P ABC -﹐PC AB ⊥,ABC 是边长为33PB =60PBC ∠=,点F 为线段AP 的中点.(1)证明:PC ⊥平面ABC ;(2)求直线BF 与平面PAC 所成角的大小.25.如图,在直角梯形ABED 中,//BE AD ,DE AD ⊥,BC AD ⊥,4AB =,23BE =.将矩形BEDC 沿BC 翻折,使得平面ABC ⊥平面BCDE .(1)若BC BE =,证明:平面ABD ⊥平面ACE ;(2)当三棱锥A BCE -的体积最大时,求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.26.我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息,如图(1)的多面体石凳是由图(2)的正方体石块截去八个相同的四面体得到,且该石凳的体积是3160dm 3.(Ⅰ)求正方体石块的棱长;(Ⅱ)若将图(2)的正方体石块打磨成一个球形的石凳,求此球形石凳的最大体积.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】作出图形,连接1AD 、11B D 、1AB ,推导出1//EF AB ,11//BD B D ,可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠,分析11AB D 的形状,即可得出结果. 【详解】如下图所示,连接1AD 、11B D 、1AB ,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则11112AD AB B D ===, 所以,11AB D 为等边三角形,则1160AB D ∠=,因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心,则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点,所以,1//EF AB ,在正方体1111ABCD A B C D -中,11//BB DD 且11BB DD =, 所以,四边形11BB D D 为平行四边形,则11//BD B D , 所以,异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选:C. 【点睛】思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下: (1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角; (2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角; (3)计算:求该角的值,常利用解三角形; (4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.2.C解析:C 【分析】根据线面平行,线面垂直,异面直线等有关结论和定义即可判断. 【详解】对于A ,若直线AB 与平面α相交,则在α内不存在直线与直线AB 平行,错误; 对于B ,若直线AB 与平面α相交且不垂直,设AB M α=,过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥,垂足为C ,则在平面α内过点C 一定可以作一条直线CD ,使得CD CM ⊥,所以CD AB ⊥,而在平面α内,与直线CD 平行的直线有无数条,所以在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直,若直线AB 与平面α垂直,显然在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直,当直线AB 与平面α平行时,显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直,正确;对于C ,若直线AB 与平面α相交,设AB M α=,根据异面直线的判定定理,在平面α内,不过点M 的直线与直线AB 异面,所以在α内存在无数多条直线与直线AB 异面,当直线AB 与平面α平行时,显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB 异面,正确; 对于D ,若直线AB 与平面α相交且不垂直,设AB M α=,过平面α外直线AB 上一点P 作PC α⊥,垂足为C ,所以平面ABC 与平面α垂直,若直线AB 与平面α垂直,则过直线AB 的所有平面都与平面α垂直,当直线AB 与平面α平行时,在直线AB 上取一点P 作PC α⊥,垂足为C ,所以平面ABC 与平面α垂直,正确. 故真命题的个数是3个. 故选:C . 【点睛】本题主要考查线面平行,线面垂直,异面直线等有关结论和定义的理解和应用,熟记定义,定理和有关结论是解题的关键,属于中档题.3.A解析:A 【分析】本题首先可通过将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开得出当1A 、M 、2C 共线时1A M MC +取得最小值,此时M 为1DD 的中点,然后根据11B A ⊥平面11A D DA 得出111B A A M ⊥,最后根据1M B =即可得出结果.【详解】如图,将侧面11CDD C 绕1DD 逆时针转90展开,与侧面11ADD A 共面,连接12A C ,易知当1A 、M 、2C 共线时,1A M MC +取得最小值, 因为1AB AD ==,12AA =,所以M 为1DD 的中点,12A M = 因为11B A ⊥平面11A D DA ,1A M ⊂平面11A D DA ,所以111B A A M ⊥, 则222211111(2)3M B A A M B =+=+=故选:A. 【点睛】关键点点睛:本题考查根据线面垂直判断线线垂直,能否根据题意得出当M 为1DD 的中点时1A M MC +取得最小值是解决本题的关键,考查计算能力,考查数形结合思想,是中档题.4.A解析:A 【分析】首先得到11AB A ∠是1AB 与底面111A B C 所成的角,再通过三棱柱的体积得到三棱柱的底面等边三角形的边长,最后通过球的半径,球心到底面距离,底面外接圆半径的关系计算. 【详解】因为侧棱1AA ⊥底面111A B C ,则11AB A ∠是1AB 与底面111A B C 所成的角,则1145AB A ∠=︒. 故由11111tan tan 451AA AB A A B ∠=︒==,得111AA A B =. 设111AA A B a ==,则111313323224ABC A B C a V a a -=⨯⨯⨯==三棱柱 解得2a =.所以球O 的半径22232722233R ⎛⎫⎛⎫+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭,所以球O 的表面积22728π4π4π33S R ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选:A . 【点睛】解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.5.B解析:B 【分析】利用等体积法11C EBD D C EB V V --=,设点1C 到平面EBD 的距离为d ,利用三棱锥的体积公式代入面积即求得d . 【详解】如图,利用等体积法,11C EBD D C EB V V --=,设点1C 到平面EBD 的距离为d ,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,故22,5BD BE ED ===,如图,2215232h ED BD ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭11223622EBDSBD h =⨯⨯=⨯= 又点D 到平面1C EB 的距离,即D 到平面11C CBB 的距离,为CD =2,111212EBC S=⨯⨯=, 由11C EBD D C EB V V --=得,1161233d =⨯⨯,故636d ==. 故选:B.【点睛】方法点睛:空间中求点到平面的距离的常见方法:(1)定义法:直接作垂线,求垂线段长;(2)等体积法:利用三棱锥换底求体积,结合两个面积和另一个高求未知高,即得距离;(3)向量法:过点的一个斜线段对应的向量a,平面法向量n,则a n dn⋅=.6.A解析:A【分析】分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N,连接MN,可证平面AMN∥平面BDEF,得P点在线段MN上.由此可判断当P在MN的中点时,AP最小;当P与M或N重合时,AP最大.然后求解直角三角形得答案.【详解】如图所示,分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N,连接MN,连接B1D1,∵M、N、E、F为所在棱的中点,∴MN∥B1D1,EF∥B1D1,∴MN∥EF,又MN⊄平面BDEF,EF⊂平面BDEF,∴MN∥平面BDEF;连接NF,由NF∥A1B1,NF=A1B1,A1B1∥AB,A1B1=AB,可得NF∥AB,NF=AB,则四边形ANFB为平行四边形,则AN∥FB,而AN⊄平面BDEF,FB⊂平面BDEF,则AN∥平面BDEF.又AN∩NM=N,∴平面AMN∥平面BDEF.又P是上底面A1B1C1D1内一点,且AP∥平面BDEF,∴P点在线段MN上.在Rt△AA1M中,AM===同理,在Rt△AA1N中,求得AN=△AMN为等腰三角形.当P在MN的中点时,AP,当P与M或N重合时,AP∴线段AP长度的取值范围是2⎡⎢⎣.故选:A.【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题,其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键,意在考查空间想象能力与运算能力,属于中档试题.7.A解析:A 【分析】由三视图可知原几何体是三棱锥,平面ACD ⊥平面ABC ,ACD ACB ≅底面是等腰直角三角形,底为2AC =,高为1BE =,ABD BCD ≅是边长为2的等边三角形,计算四个三角形面积之和即可求解. 【详解】由三视图可知原几何体是三棱锥:底面ACB △是等腰直角三角形,底2AC =,高1BE =,平面ACD ⊥平面ABC ,ACD ACB ≅,由三视图知ACB △中,2AC =,ACB △是等腰直角三角形,所以2AB BC ==ACD △是等腰直角三角形,2AD CD ==,2AC =,222BD BE DE =+=所以等腰直角三角形ACB △的面积为12112⨯⨯=, 等腰直角三角形ACD △的面积为12112⨯⨯=,等边ABD △的面积为()233242⨯=, 等边BCD △的面积为()2332⨯=, 所以该几何体的表面积是331123+++=+, 故选:A.8.A解析:A 【分析】三个平面不重合,先按其中平行的平面的个数分类:三个平面两两平行,两个平面平行,没有平行的平面(两两相交),对两两相交的情况,再根据三条交线互相平行,重合,交于一点,分别讨论. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类:(1)三个平面两两平行,如图1,可将空间分成4部分;(2)两个平面平行,第三个平面与这两个平行平面相交,如图2,可将空间分成6部分;(3)三个平面中没有平行的平面:(i )三个平面两两相交且交线互相平行,如图3,可将空间分成7部分; (ii )三个平面两两相交且三条交线交于一点,如图4,可将空间分成8部分.(iii )三个平面两两相交且交线重合,如图5,可将空间分成6部分;综上,可以为4,6,7,8部分,不能为5部分, 故选:A.9.D解析:D 【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A ,根据异面直线所成角可判断B ,由余弦定理可判断CD. 【详解】 如图,设正方体棱长为2,在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ,P 为线段1A B 上的动点,则PC ⊂平面11A BCD ,所以1DC PC ⊥,故A 正确;因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角,在Rt PBC 中不可能BC 与PC 垂直,所以异面直线AD 与PC 不可能垂直,故B 正确;由正方体棱长为2,则222222211114480D P PC D C A P BP A P BP +-=+++-=+>,所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>,即1D PC ∠不可能是直角或者钝角,故C 正确;设1(0A P x x =≤≤,则2214D P x =+,222422cos44AP x x x π=+-⨯=+-,由余弦定理,2222111112cos =22AP D P AD x AP D P A PD P AP D ∠=+--⋅⋅,当x <1cos 0APD ∠<,所以1APD ∠为钝角,故D 错误.故选:D 【点睛】关键点点睛:判断正方体中的角的范围时,可选择合适三角形,利用正方体中数量关系,位置关系,使用余弦定理,即可判断三角形形状或角的范围,属于中档题.10.D解析:D 【分析】在BCD △中,利用余弦定理和基本不等式可得163BC BD ⋅≤,由三角形的面积公式可得3BCDS≤,由二面角A BC D --的大小为60,可得A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==ABCD 体积的最大值.【详解】在BCD △中,由余弦定理可得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅22BC BD BC BD =++⋅因为222BC BD BC BD +≥,所以23CD BC BD ≥⋅, 所以163BC BD ⋅≤,当且仅当BC BD =时等号成立,1116sin1202232BCDSBC BD =⋅≤⨯⨯= 因为二面角A BC D --的大小为60,所以点A 到平面BCD的最大距离为2sin603h == 所以114333A BCD BCDV S h -=⋅≤=,所以四面体ABCD 体积的最大值是43, 故选:D 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是利用余弦定理和基本不等式、三角形面积公式求出BCD S △最大值,再由二面角求出高的最大值.11.C解析:C 【分析】把两个这样的长方体叠放在一起,构成一个长宽高分别为6,8,8的长方体,则球O 就是该长方体的外接球,根据长方体外接球的直径等于体对角线的长,求出直径,即可得出球的表面积. 【详解】 如下图所示:把两个这样的长方体叠放在一起,构成一个长宽高分别为6,8,8的长方体,则球O 就是该长方体的外接球,根据长方体的结构特征可得,其外接球直径等于体对角线的长, 所以球O 的半径R 满足2222688164R =++=, 所以球O 的表面积24164S R ππ==. 故选:C.【点睛】关键点点睛:本题主要考查几何体外接球的表面积,熟记长方体结构特征,其外接球的球心和半径与长方体的关系,以及球的表面积公式,是解决此类问题的关键.12.C解析:C 【分析】小虫有两种爬法,一种是从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行,另一种是从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行,将两种情况下的两个面延展为一个面,计算出平面图形的对角线长,比较大小后可得结果. 【详解】由于长方体ACDE FGBH -的长、宽、高分别为2、1、1,则小虫从点A 沿着侧面AEHF 和上底面FHBG 爬行,以及小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行,这两条线路的最短路程相等.①若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行,将侧面ACGF 和上底面BHFG 延展为一个平面,如下图所示:则2AC BC ==,最短路程为2222AB AC BC =+=;②若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行,将面ACGF 和侧面BDCG 延展为一个平面,如下图所示:则3AD AC CD =+=,1BD =,最短路程为2210AB AD BD =+.因为2210<,因此,小虫爬行的最短路程为22 故选:C. 【点睛】方法点睛:(1)计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时,一般采用转化的方法进行,即将侧面展开化为平面图形,即“化折为直”或“化曲为直”来解决,要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状;(2)对于几何体内部折线段长的最值,可采用转化法,转化为两点间的距离,结合勾股定理求解.二、填空题13.【分析】利用余弦定理求得利用正弦定理计算出的外接圆直径可计算出三棱锥的外接球半径然后利用球体体积公式可求得结果【详解】如下图所示圆柱的底面圆直径为圆柱的母线长为则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等解析:13263π【分析】利用余弦定理求得AC,利用正弦定理计算出ABC的外接圆直径2r,可计算出三棱锥P ABC-的外接球半径R,然后利用球体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示,圆柱12O O的底面圆直径为2r,圆柱的母线长为h,则12O O的中点O到圆柱底面圆上每点的距离都相等,所以,圆柱12O O的外接球直径为()2222R r h=+.本题中,作出ABC的外接圆2O,由于PA⊥平面ABC,可将三棱锥P ABC-放在圆柱12O O中,在ABC中,22AB=3BC=,4ABCπ∠=,由余弦定理可得222cos5AC AB BC AB BC ABC+-⋅∠=,由正弦定理可知,ABC的外接圆直径为5210sin2ACrABC===∠则三棱锥P ABC-的外接球直径为()222226R PA r=+=262R=,因此,三棱锥P ABC -的外接球的体积为334433V R ππ==⨯=⎝⎭.故答案为:3. 【点睛】方法点睛:求空间多面体的外接球半径的常用方法:①补形法:侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱二面角均相等的模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;②利用球的性质:几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径,也即球的直径; ③定义法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据带其他顶点距离也是半径,列关系求解即可.14.【分析】取与中点根据平面平面可知平面球心必在直线上设球心为D 则可求得球心恰好为点O 从而求得外接球的半径代入球的表面积公式计算【详解】在三棱台中可得都是等腰三角形四边形为等腰梯形即如图取与中点连接则可 解析:32π【分析】取AB 与11A B 中点,O O ',根据平面11AA B B ⊥平面ABC ,可知'⊥O O 平面ABC ,球心必在直线O O '上,设球心为D ,则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+,可求得球心恰好为点O ,从而求得外接球的半径R ,代入球的表面积公式计算. 【详解】在三棱台111ABC A B C -中,11190,4,ACB AC BC A B CC ∠=︒====111,A A C C B B 都是等腰三角形,11112A C B C ==,四边形11A ABB 为等腰梯形即11AA BB =,如图,取AB 与11A B 中点,O O ',连接1,,CO OO C O '',则可得1CO C O '==O O AB '⊥,又平面11AA B B ⊥平面ABC ,两面交线为AB ,所以'⊥O O 平面ABC .因为OA OB OC ==,111O A O B O C '''==,面//ABC 面111A B C ,所以球心必在直线O O '上.所以在直角梯形1C O OC '中可求得O O '=由题意可知,该三棱台外接球的外接球的球心必在直线O O '上,设球的半径为R ,球心为D ,则()22221O D O O OC O D O C ''''-+=+,得O D '=O ,所以球的半径为2432ππ=. 故答案为:32π【点睛】方法点睛:定义法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助面面垂直的性质,找到线面垂直,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点距离也是半径,列关系求解即可.15.【分析】证明直线与平面所成角中当此为二面角的平面角时最大即可得【详解】先证一个命题:平面内所有直线与平面所成的角中当此角为二面角的平面角时最大如图平面于点于是上任一点则而则平面又平面∴是二面角的平面 13 【分析】证明直线PM 与平面BCD 所成角中当此为二面角的平面角时最大即可得. 【详解】先证一个命题:平面ABC 内所有直线与平面BCD 所成的角中,当此角为二面角的平面角时最大.如图AO ⊥平面BCD 于点O ,OE BC ⊥于E ,Q 是BC 上任一点, 则AO BC ⊥,而AOOE O =,则BC ⊥平面OAE ,又AE ⊂平面OAE ,∴AEO∠是二面角A BC D --的平面角,而AQO 是直线AQ 与平面ABCD 所成的角,显然sin AOAEO AE∠=,sin AO AQO AQ ∠=,又AQ AE ≥,∴sin sin sin AQO AEO ∠≤∠,,AEO AQO ∠∠都是锐角,∴AQO AEO ∠≤∠,,Q E 重合时等号成立.由此可知平面ABC 内所有直线与平面BCD 所成的角中,当此角为二面角的平面角时最大. 由已知3636EO ==22534AE -=,2213AO AE EO - 13sin 4AEO ∠=, ∴直线PM 与平面BCD 所成角最大值等于AEO ∠, ∴sin θ13.故答案为:134. 【点睛】结论点睛:在二面角A BC D --(为锐二面角)中,AEO ∠是A BC D --二面角的平面角,Q 是棱BC 上任一点,则AQ 与平面BCD 所成角中最大值为二面角的平面角,AQ 与平面BCD 内过Q 点的直线(实际上是所有直线)所成角中最大值为直线AQ 与平面BCD 所成的角.16.①③【分析】由公理1判断①正确;由公理2判断②错误③正确用反证法可得④错误【详解】∵连接∵是的中点∴平面与平面有公共点与则平面平面对于①平面则平面又平面则即三点共线故①正确;对于②在平面内由①知∴平解析:①③【分析】由公理1判断①正确;由公理2判断②错误③正确,用反证法可得④错误.【详解】∵连接11A C ,∵O 是11B D 的中点,∴11O A C ∈.平面11AB D 与平面11AAC C 有公共点A 与O ,则平面11AAC C 平面11AB D AO =.对于①,1M PA ∈,1PA ⊂平面11AAC C ,则M ∈平面11AAC C ,又M ∈平面11AB D ,则M AO ∈,即A ,M ,O 三点共线,故①正确;对于②,A ,O ,1A 在平面11AAC C 内,由①知M AO ∈,∴O ∈平面11AAC C , 即A ,M ,O ,1A 共面,故②错误;对于③,A ,O ,C 在平面11AAC C 内,由①知M AO ∈,∴O ∈平面11AA C CA , 则A ,M ,C ,O 共面11AAC C ,故③正确;对于④,连接BD ,则B ,1B ,O 都在平面11BB D D 上,若M ∈平面11BB D D ,则直线OM ⊂平面11BB D D ,∴A ∈面11BB D D ,显然A ∉面11BB D D 的,故④错误.∴正确命题的序号是①③.故答案为:①③.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,考查空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力与思维能力,是中档题.17.【分析】作于可证得平面得得等边三角形利用是球的直径得然后计算出再应用棱锥体积公式计算体积【详解】∵围绕棱旋转后恰好与重合∴作于连接则∴又过球心∴而∴同理由得平面∴故答案为:【点睛】易错点睛:本题考查 解析:38【分析】作BH PA ⊥于H ,可证得PA ⊥平面BCH ,得60BHC ∠=︒,得等边三角形BCH ,利用PA 是球的直径,得PB AB ⊥,然后计算出BH ,再应用棱锥体积公式计算体积.【详解】∵PAB △围绕棱PA 旋转60︒后恰好与PAC △重合,∴PAB PAC ≅△△,作BH PA ⊥于H ,连接CH ,则,CH PA CH BH ⊥=,60BHC ∠=︒,∴BC BH CH ==.又PA 过球心,∴PB AB ⊥,而2,3PA PB ==,∴1AB =,同理1AC =,313PB AB BH PA ⋅⨯===,223333344216BCH S BH ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭△, 由BH PA ⊥,CH PA ⊥,CHBH H =,得PA ⊥平面BCH , ∴11333233168P ABC BCH V S PA -=⋅=⨯⨯=△ 故答案为:38.【点睛】易错点睛:本题考查求棱锥的体积,解题关键是作BH PA ⊥于H ,利用旋转重合,得PA ⊥平面BCH ,这样只要计算出BCH 的面积,即可得体积,这样作图可以得出60BHC ∠=︒,为旋转所形成的二面角的平面角,这里容易出错在误认为旋转60︒,即为60CAB ∠=︒.旋转60︒是旋转形成的二面角为60︒.应用作出二面角的平面角. 18.【分析】由题意分析可得可知K 所形成轨迹为一个圆弧求出圆心角再求弧长即可【详解】由题意D′K ⊥AE 所以K 的轨迹是以AD′为直径的一段圆弧D′K 设AD′的中点为O ∵长方形ABCD′中ABBC ∴∠D′AC 解析:23π 【分析】 由题意分析可得DK AE ⊥可知K 所形成轨迹为一个圆弧,求出圆心角再求弧长即可.【详解】由题意,D ′K ⊥AE ,所以K 的轨迹是以AD ′为直径的一段圆弧D ′K ,设AD ′的中点为O , ∵长方形ABCD ′中,AB 6=,BC 2=, ∴∠D ′AC =60°,∴∠D ′OK =120°23π=, ∴K 所形成轨迹的长度为2223ππ⨯=,2 【点睛】 本题主要考查了空间中的轨迹问题,主要是找到定量关系分析轨迹,属于中等题型. 19.【详解】取的中点由题意可得:所以面ABC 所以球心在直线上所以得所以解析:494π 【详解】取AB 的中点,由题意可得:2222,3,SD DC SD DC SC ==+=,所以,SD AB SD DC ⊥⊥,SD ⊥面ABC. 所以球心在直线SD 上,所以()2232R R =+-,得74R =, 所以24944S R ππ==. 20.【分析】由正四面体性质可知球心在棱锥高线上利用勾股定理可求出半径R 即可求出球的面积【详解】正四面体的棱长为:底面三角形的高:棱锥的高为:设外接球半径为R 解得所以外接球的表面积为:;故答案为:【点睛】 解析:232a π 【分析】由正四面体性质可知,球心在棱锥高线上,利用勾股定理可求出半径R ,即可求出球的面积.【详解】正四面体的棱长为:a , 底面三角形的高:3322a a =, 22236()323a a a -⨯⨯=, 设外接球半径为R ,222)()33R a R a =-+,解得4R a =,所以外接球的表面积为:22342a ππ⎫⨯=⎪⎪⎝⎭; 故答案为:232a π. 【点睛】本题考查球的表面积的求法,解题的关键是根据球心的位置,在正四面体中求出球的半径. 三、解答题21.(1)证明见解析;(2;(3)12. 【分析】(1)连接AC 交BD 于点O ,连接PO ,推导出BD ⊥平面PAC ,进而可得出PC BD ⊥;(2)过点O 在平面PAC 内作OF PC ⊥,垂足为点F ,连接BF ,推导出OFB ∠为二面角B PC E --的平面角,计算出OF 、BF ,可计算出cos OFB ∠,即可得解; (3)计算出PCE 的面积,利用锥体的体积公式可得出13P BCE B PCE PCE V V S OB --==⋅△,即可得解. 【详解】证明:(1)连接AC 交BD 于O 点,连接PO ,∵四边形ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥,则O 是BD 的中点,PB PD =,PO BD ∴⊥,又AC PO O =,AC 、OP ⊂平面PAC ,BD ∴⊥平面PAC ,又PC ⊂平面PAC ,PC BD ∴⊥;(2)由(1)知BO ⊥平面PAC ,PC ⊂平面PAC ,则OB PC ⊥,过O 在平面PAC 内作OF PC ⊥于F ,连接BF ,由OB OF O ⋂=,则PC ⊥平面OBF ,BF ⊂平面OBF ,得BF PC ⊥,故OFB ∠为二面角B PC E --的平面角, 四边形ABCD 是菱形,60BAD ∠=,ABD ∴为等边三角形,2BD AB AD ∴===,112OB BD ∴==,223OC OA AB OB ==-= OB ⊥平面PAC ,OP ⊂平面PAC ,OP OB ∴⊥,223OP PB OB ∴-= 3OA =3OP =6PA =222OP PA OA +∴=,即OA OP ⊥,即PO AC ⊥,3366PO OC OF PC ⋅⨯∴===,222261012BF BO OF ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭, 故615cos 510OF OFB BF ∠===,即二面角B PC E --的余弦值是155; (3)E 为PA 的中点,11333222PCE PAC POA S S S ∴====△△△, 又OB ⊥平面PAC ,113113322P BCE B PCE PCE V V S OB --∴==⋅=⨯⨯=△. 【点睛】方法点睛:求二面角常用的方法:(1)几何法:二面角的大小常用它的平面角来度量,平面角的作法常见的有: ①定义法;②垂面法,注意利用等腰三角形的性质;(2)空间向量法:分别求出两个平面的法向量,然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.22.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)1.【分析】(Ⅰ)由BD AC ⊥和1A A BD ⊥,利用线面垂直的判定定理证得BD ⊥平面1A AC ,然后再由//BD EF 证明.(Ⅱ)由1D D ⊥平面ABCD ,则1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高,然后利用等体积法11A D EF D AEF V V --=求解.【详解】(Ⅰ)如图所示:连接BD ,易知BD AC ⊥,因为1A A ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以1A A BD ⊥,又1A AAC A =, 所以BD ⊥平面1A AC .在CBD 中,点E ,F 分别是BC ,DC 的中点,所以//BD EF .所以EF ⊥平面1A AC .(Ⅱ)∵1D D ⊥平面ABCD ,∴1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高,且12D D =.∵点E ,F 分别是BC ,DC 的中点,∴1DF CF CE BE ====. ∴2111322222AEF S AD DF CF CE AB BE =-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=△. ∴11111321332A D EFD AEF AEF V V S D D --==⋅⋅=⨯⨯=△. 【点睛】方法点睛:(1)证明直线和平面垂直的常用方法:①线面垂直的定义;②判定定理;③垂直于平面的传递性(a ∥b ,a ⊥α⇒b ⊥α);④面面平行的性质(a ⊥α,α∥β⇒a ⊥β);⑤面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.23.(1)证明见解析;(2)77-;(3)存在;12PF PB =. 【分析】(1)首先证明BE AD ⊥,再由面面垂直的性质定理可得BE ⊥平面PAD ,即证.(2)连结PE ,以E 为坐标原点,EP ,EA ,EB 为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,。

人教版高一数学必修二-第一章综合测评题(答案解析)

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第一章综合测评题时间:120分钟 满分:150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.下列命题中,正确的是( ) A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C .侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D.底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1+2π2πB.错误!C.错误! ﻩD.错误!3.有下列四种说法:①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点;②空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平行线可能变成相交的直线;③空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现方式.其中正确的命题有( )A .1个 B.2个 C.3个D.0个4.长方体AB CD -A 1B1C 1D 1中截去一角B 1-A1BC1,则它的体积是长方体体积的( )A .错误! B.错误! C .错误! ﻩD.错误!5.底面是边长为4的正方形,侧棱长都为25的四棱锥的侧面积和体积依次为( ) A.24,错误! B .8,错误! C.32,错误! D.32,错误! 6.若圆台两底面周长的比是14,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比是( )A.错误! B .错误! C.1D.错误!7.(2012·新课标全国卷)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为错误!,则此球的体积为( )A.\r (6)π B.4错误!π C.4错误!π D.6错误!π8.如图所示,梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABC D的直观图(斜二测),若A 1D 1∥O1y1,A 1B 1∥C 1D 1,A1B1=\f(2,3)C 1D 1=2,A 1D 1=1,则四边形ABCD 的面积是( )A.10 ﻩB.5C .5\r(2) ﻩD .10错误!9.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.\f(1,3)B.23C .1D.210.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的表面积(单位:cm 2)为( )A .48+12 2B .48+24错误! C.36+12错误! D.36+24错误! 11.等边三角形的边长为a ,它绕其一边所在的直线旋转一周,则所得旋转体的体积为( )A.错误!πa 3 B.错误!πa 3 C.错误!πa 3D.错误!πa 312.已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.8 B.错误! C.错误!ﻩD.错误!二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M,若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于________.14.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥C-ABD,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为________.15.一个母线长为2的圆锥侧面展开图为一个半圆,则此圆锥的体积为________.16.一个正四棱柱(底面是正方形,各个侧面均为矩形)的各个顶点都在一个直径为2cm的球面上,如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为________cm2.三、解答题(本大题共6小题,共70分,17题10分,18~22题,每题12分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.画出下图中三个图形的指定三视图之一.18.如图所示,为一建筑物的三视图,现需将其外壁用油漆刷一遍,已知每平方米用漆0.2kg,问需要油漆多少千克?(尺寸如图所示,单位:m,π取3.14,结果精确到0.01 kg)19.已知四棱锥P-ABCD,其三视图和直观图如图,求该四棱锥的体积.20.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m).(1)试画出它的直观图;(2)求它的表面积和体积.21.正三棱锥的高为1,底面边长为2\r(6),内有一个球与它的四个面都相切, 求:(1)棱锥的表面积;(2)内切球的表面积与体积.22.如图,一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,在其中有一个高为x cm的内接圆柱.(1)试用x表示圆柱的侧面积;(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?第一章综合测评题(答案)1、解析:认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析,故A,C都不够准确,B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明,故也不正确.答案:D2、解析:利用侧面展开图与底面圆的联系解题.设底面圆半径为r,母线即高为h,则h=2πr,所以错误!=错误!=错误!=错误!=错误!.故选A.答案:A3、解析:本题考查中心投影与平行投影的有关概念及性质.利用中心投影与平行投影的概念判断,①③正确;利用中心投影与平行投影的性质判断,②也正确.故正确的命题有3个.故选C.答案:C4、解析:VB1-A1BC1=VC1-A1B1B=\f(1,3)·S△A1B1B·B1C1=13×12S四边形AA1B1B×B1C1=错误!VABCD-A1B1C1D1.答案:B5、解析:如图,O为正方形ABCD的中心,VO为四棱锥的高,E为边BC中点,所以VE⊥BC.由BC=AB=4,VB=VC=2错误!可得VE=4,VO=2错误!,∴S侧=4S△VBC=32,V=错误!S正方形ABCD·VO=错误!.答案:D6、解析:圆台的轴截面如图,∵圆台的两底面周长之比为1:4,∴两底面半径之比1:4.设上底面半径为r ,则下底面半径为4r .∴经过高的中点与底面平行的截面半径为52r.∴圆台被分成两部分的体积比为 错误!=错误!. 答案:D7、解析:设球O 的半径为R,则R = 错误!=错误!,故V 球=错误!πR3=4错误!π. 答案:B 8、解析:四边形AB CD 是直角梯形,其中AD =2,AB =2,CD =3,所以四边形ABC D的面积为\f(1,2)·(2+3)×2=5. 答案:B9、解析:由三视图可知,该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱,三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和2,三棱柱的高为错误!,所以该几何体的体积V =错误!×1×错误!×错误!=1.答案:C10、解析:由三视图知,该几何体可看做由两个全等的小三棱锥侧面重合放置而成.每个小三棱锥的高为4,底面是腰长为3错误!、底边长为6的等腰三角形,斜高为5,所以每个三棱锥的底面积为错误!×3×6=9,侧面积为错误!×5×6=15或错误!×4×3错误!=6错误!,所以组合体的表面积为9×2+15×2+6错误!×2=48+12错误!.答案:A11、解析:所得的旋转体为以等边三角形的高为底面半径的两个相同底的圆锥,每个圆锥的高都为a2,∴V =2×错误!×π×错误!2·错误!=错误!πa 3. 答案:A12、解析:几何体是正方体截去一个三棱台, V =23-\f(1,3)·错误!×2=错误!. 答案:C13、解析:设球半径为R ,圆M 的半径为r ,则πr2=3π,即r 2=3, 由题得R 2-错误!2=3,所以R 2=4⇒4πR2=16π. 答案:16π14、解析:由题意可知,侧视图为等腰直角三角形,腰长为错误!,故其面积为错误!×错误!2=错误!.答案:错误!15、解析:由题意可知,圆锥的底面周长为2πr =12·2π×2,得r =1.∴圆锥的高h =错误!=错误!,∴圆锥的体积V=错误!×π×12×错误!=错误!π. 答案:33π16、解析:设正四棱柱的高为a cm,则22=12+12+a 2, ∴a =2.∴S 表面积=1×1×2+4×1×2=(2+4\r(2))(cm 2). 答案:2+4 217、解:如图所示.18、解:由三视图知建筑物为一组合体,自上而下分别是圆锥和四棱柱,并且圆锥的底面半径为3m,母线长5m,四棱柱的高为4m,底面是边长为3 m的正方形.∴圆锥的表面积为πr2+πrl=3.14×32+3.14×3×5=28.26+47.1=75.36(m2).四棱柱的一个底面积为32=9(m2),四棱柱的侧面积为4×4×3=48(m2).∴建筑物的外壁面积为75.36-9+48=114.36(m2).∴需要油漆114.36×0.2=22.872≈22.87(kg).19、解:由三视图知底面ABCD为矩形,AB=2,BC=4,顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E,即棱锥的高为2,则体积V P-ABCD=\f(1,3)S矩形ABCD×PE=错误!×2×4×2=错误!.20、解:(1)直观图如图所示.(2)解法一:由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角得到的,且该几何体的体积是以A 1A、A1D 1、A 1B 1为棱的长方体的体积的错误!.在直角梯形AA 1B 1B 中,作BE ⊥A 1B 1,则四边形AA 1E B是正方形,∴AA 1=B E=1. 在Rt △BEB 1中,BE =1,E B1=1,∴BB 1=错误!.∴几何体的表面积S =S 正方形AA1D 1D +2S 梯形AA 1B 1B+S矩形BB 1C 1C +S 正方形ABCD +S矩形A 1B 1C1D1=1+2×错误!(1+2)×1+1×错误!+1+1×2=(7+错误!)(m2).∴几何体的体积V =\f (3,4)×1×2×1=错误!(m3).∴该几何体的表面积为(7+\r(2))m2,体积为32m 3. 解法二:几何体也可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱,其表面积求法同解法一,V 直四棱柱D1C 1CD -A 1B 1BA =Sh =32×1=32(m3). 21、解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为13×错误!×2错误!=错误!, 则正棱锥侧面的斜高为\r (12+(\r(2))2)=\r(3).∴S侧=3×错误!×2错误!×错误!=9错误!.∴S表=S 侧+S 底=92+\f(1,2)×错误!×(2错误!)2=92+6错误!.(2)如图所示,设正三棱锥P-ABC 的内切球球心为O ,连接OP 、OA 、OB 、OC ,而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .∴V P -A BC =V O -P AB +VO -PBC +V O -P A C+V O -ABC =错误!·S 侧·r+错误!·S △ABC ·r=错误!·S表·r =(3错误!+2错误!)r .又V P-ABC =\f(1,3)×错误!×错误!×(2错误!)2×1=2错误!,∴(32+2错误!)r =2错误!,得r =错误!=错误!=错误!-2.∴S 内切球=4π(6-2)2=(40-16错误!)π.V内切球=错误!π(错误!-2)3=错误!(9错误!-22)π.22、解:设圆柱的底面半径为r .由题意知,错误!=错误!,∴r =2-错误!x .(1)S 圆柱侧=2πr ·x =2π·错误!·x=-2π3x2+4πx =-\f(2π,3)(x -3)2+6π(0<x <6). (2)当x=3时,圆柱的侧面积最大.。

高中数学必修二第一章测试题及答案

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三、解答题
12.已知半球内有一个内接正方体,求这个半球的体积与正方体的体积之比.
13.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2 ,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
(第13题)
15.S是正三角形ABC所在平面外的一点,如图SA=SB=SC,
且 ,M、N分别是AB和SC的中点.
求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.
第一章 空间几何体
参考答案
一、选择题
1.A
解析:从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断可能是棱台.
2.A
解析:原图形为一直角梯形,其面积S= (1+ +1)×2=2+ .
3.A
解析:因为四个面是全等的正三角形,则S表面=4× = .
A.130B.140C.150D.160
7.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是().
(第7题)
8.已知 、 、 是直线, 是平面,给出下列命题:
①若 ;
②若 ;
③若 ;
④若 与b异面,且 相交;
⑤若 与b异面,则至多有一条直线与 ,b都垂直.
其中真命题的个数是
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
第一章空间几何体
一、选择题
1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体可能是一个().
主视图 左视图 俯视图
(第1题)
A.棱台B.棱锥C.棱柱D.正八面体
2.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是().
A.2+ B. C. D.
3.棱长都是 的三棱锥的表面积为().
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一、选择题
1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体可能是一个( ).
主视图 左视图 俯视图
A .棱台
B .棱柱
C . 棱锥
D .正八面体
2.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( ).
A .2+2
B .
2
2
+2 C .
2
2
1+ D .2+1
3.棱长都是1的三棱锥的表面积为( ). A .3
B . 43
C .33
D . 23
4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( ).
A . 125π
B .50π
C .25π
D .全不对
5.正方体的棱长和外接球的半径之比为( ). A .
3∶3
B .3∶2
C .2∶3
D . 3∶1
6.在△ABC 中,AB =2,BC =,∠ABC =120°,若使△ABC 绕直线BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是( ).
A .
2
9π B .
2
7π C .
2
5π D .
2
3π 7.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是( ).
A .130
B .140
C .150
D .160
8.如图,在多面体ABCDEF 中,已知平面ABCD 是边长为3的正方形,EF ∥AB ,EF =2
3
,且EF 与平面ABCD 的距离为2,则该多面体的体积为( ).
A.
2
9
B.5 C.2 D.
2
15
9.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误
..的是( ).
A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形
B.几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同
C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D.水平放置的圆的直观图是椭圆
10.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是( ).
(第10题)
二、填空题
11.一个棱柱至少有______个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱.
12.若三个球的表面积之比是1∶2∶3,则它们的体积之比是_____________.
13.正方体ABCD-A1B1C1D1 中,O是上底面ABCD的中心,若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为_____________.
14.如图,E,F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________.
(第8题)
(第14题)
15.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,则这个长方体的对角线长是___________,它的体积为___________.
16.一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米.
三、解答题
17.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm,求它的深度.
18 *.已知半球内有一个内接正方体,求这个半球的体积与正方体的体积之比.[提示:过正方体的对角面作截面]
19.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD =2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
(第19题)
参考答案
一、选择题
1.A2.A3.A4.B5.C6.D7.D8.D9.B10.D 二、填空题
11.参考答案:5,4,3. 12.参考答案:1∶22∶33.
r 1∶r 2∶r 3=1∶2∶3,31r ∶32r ∶33r =13∶(2)3∶(3)3=1∶22∶33.
13.参考答案:36
1
a .
解析:画出正方体,平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点, 三棱锥O -AB 1D 1的高h =
33a ,V =31Sh =3
1×43×2a 2×33a =61a 3. 14.参考答案:平行四边形或线段.
15.参考答案:6,6. 解析:设ab =2,bc =3,ac =6,则V = abc =6,c =3,a =2,b =1, l =1+2+3=6.
16.参考答案:12. 解析:V =Sh =πr 2h =3
4πR 3
,R =32764×=12. 三、解答题 17.参考答案:
V =31
(S +S S ′+S )h ,h =S S S S V ′+′+3=600
1+4002+60030001903×=75.
18.参考答案:
如图是过正方体对角面作的截面.设半球的半径为R ,正方体的棱长为a ,则CC'=a ,OC =
2
2
a ,OC'=R .
(第18题)
在Rt △C'CO 中,由勾股定理,得CC' 2+OC 2=OC' 2, 即 a 2+(2
2a )2
=R 2. ∴R =
26a ,∴V 半球=2
6πa 3,V 正方体=a 3. ∴V 半球 ∶V 正方体=6π∶2. 19.参考答案:
S 表面=S 下底面+S 台侧面+S 锥侧面
=π×52+π×(2+5)×5+π×2×22 =(60+42)π. V =V 台-V 锥
=31π(21r +r 1r 2+22r )h -31
πr 2h 1 =3
148
π.
:
C
O A。

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