第五章 线性规划LP

第五章 线性规划（LP ）

第一节 向量和矩阵的基本知识

1．矩阵的概念

定义1：由t s ⨯个数ij c 排成的一个s 行t 列（数）表⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛st s s t t c c c c c c c c c 2122221

112

11叫做一个s 行t 列（或t s ⨯）矩阵。ij c 叫做这个矩阵的元素；常用大写字母A 、B 等表示矩阵，有时为明确t s ⨯矩阵记为t s A ⨯或()

t

s ij

c A ⨯=。

注意：

（1）解释几个术语：行、列、下标等。

（2）矩阵与行列式形式不同、意义不同，行列式表示一个数，矩阵只是一个数表；行列式要求行列数相同，而矩阵不然。 例如：（1）三阶矩阵 （2）45⨯的矩阵

210121312A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

B=1

1000011000

01100

001

1⎡⎤⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

向量是一种特殊的矩阵，分为行向量和列向量。 （1）行向量是1n ⨯的矩阵，它的具体形式为 12[,,,]n a a a a = ； （2）列向量是1n ⨯的矩阵，它的具体形式为：

12

n b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，或者12[,,,]T n b b b b = 。

例如：

[1,2,,]a n = ；100b ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

2．几种特殊矩阵

（1）零矩阵：元素全为零的矩阵；记为O 。

Note ：零矩阵只是给出了元素的特征（全为0），由于行、列数的不同有不同形式的零矩阵。例如

二阶零矩阵： 0000A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，34⨯零矩阵：000000000000B ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

。 （2）负矩阵：设()ij m n A a ⨯=，则称()ij m n a ⨯-为A 的负矩阵；记为A -。 Note ：负矩阵是相对于一个给定的矩阵而言的。

（3）方阵：行列数相同的矩阵。n 行n 列矩阵叫n 阶矩阵。

二阶方阵1112A -⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

；四阶方阵12342

34134124

12

3A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

. （4）单位矩阵：主对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵。 Note ：

（1）单位阵是一类特殊方阵。

（2）定义给出了元素特征，由于阶数不同有不同形式的单位阵。n 阶单位矩阵记为n I 。

例如，三阶单位阵100010001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

, （3）矩阵的相等：设A 、B 是数域F 上两个矩阵，若1）A 、B 具有相同的行数和列数；2）

对应位置上的元素相等。则称A 与B 相等。记为A=B 。

3、矩阵的运算及性质

(1）加法：

定义：设()ij m n A a ⨯=，()ij m n B b ⨯=；A 与B 的和为矩阵()ij ij m n a b ⨯+；记为A B +，即A B +=()ij ij m n a b ⨯+。

Note ：(1)注意可加的条件以及相加的结果，实质转化为数的加法运算。

(2）利用负矩阵可以定义矩阵的减法：设()ij m n A a ⨯=，()ij m n B b ⨯=，定义

A B -=()A B +-=()ij ij m n a b ⨯-。

例1：设121111121A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，111211321B -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，于是

230122402A B ⎡⎤⎢⎥+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，012300240A B ⎡⎤

⎢⎥-=-⎢⎥

⎢⎥--⎣⎦

。

例2：设三阶方阵A 满足325A I B +=，其中124238641B -⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

，求A 。

(2）数量乘法

定义：设,()()ij m n m n k F A a M F ⨯⨯∈=∈，k 与A 的数乘为()ij m n ka ⨯，记为kA 。

例如：设124238641B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

，则2124248223846166411282B --⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦。 (3）乘法

(A ）定义：设()ij m n A a ⨯=，()ij n p B b ⨯=；A 与B 的乘积为()ij m p C c ⨯=，其中

11ij i j in nj c a b a b =++ ；记为AB 。

Note ：可乘的条件与结果。 例如：（1）设1111,1211A B --⎡⎤⎡⎤==⎢

⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,于是0231AB -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，0321BA -⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

。 （2）设11010111A -⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦

，1

011

000100

01B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

，于是 000111AB ⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

。

(B ）性质：（注意下列式子有意义的条件）

（1）()()AB C A BC =； （2）,n n p n p m n n m n I A A A I A ⨯⨯⨯⨯==； （3）();()A B C AB AC B C A BA CA +=++=+；

（4） ()()()a AB aA B A aB ==。

Note ：1）由定义及矩阵相等的概念证明（略）。

2）乘法一般不满足交换律（可分析不同的情况）。